TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ GIẢI TÍCH VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Luận văn tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: TS. NGUYỄN THANH PHONG MAI THỊ THÙY VÂN Mã số SV: 1100273 Lớp: Sư phạm vật lý Khóa: 36 Cần Thơ, năm 2014 Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 3 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI..................................................................................................... 3 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ................................................................................................ 4 3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI.................................................................................................. 4 4. PHƢƠNG PHÁP VÀ PHƢƠNG TIỆN THỰC HIỆN ..................................................... 4 5. CÁC BƢỚC THỰC HIỆN ................................................................................................ 4 PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................................... 5 CHƢƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG ................... 5 1.1 CÁC HỆ TỌA ĐỘ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN R 3 ..................................... 5 1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong R 3 ........................................................................... 5 1.1.2 Định thức Jacobi ................................................................................................... 8 1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát ............................................................................. 8 1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực ........................................................... 10 1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES ................................................................................................................... 10  1.2.1 Toán tử Gradient  ............................................................................................ 10    1.2.2 Toán tử Divergence   ...................................................................................... 16  1.2.3 Toán tử Curl   : ................................................................................................ 17   1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG .................... 18 1.3.1 Toán tử Gradient .................................................................................................. 18 1.3.2 Toán tử Divergence ............................................................................................. 19 1.3.3 Toán tử Curl ......................................................................................................... 21 CHƢƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT .................................................................................................... 23 2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ ..................................................................................................... 23 2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ ........................................................................................ 23  2.1.2 Các toán tử liên quan đến  trong hệ tọa độ trụ.................................................. 26 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 1 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 2.1.3 Một số vấn đề vật lý đƣợc giải trong hệ tọa độ trụ .............................................. 30 2.1.3.1 Số hạng Navier – Stoke ................................................................................. 30 2.1.3.2 Định luật diện tích cho chuyển động của các hành tinh ................................ 31 2.2.3.3 Phƣơng trình Laplace trong hệ tọa độ trụ...................................................... 33 2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU .................................................................................................... 35 2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu ....................................................................................... 35  2.2.2 Các toán tử liên quan đến  trong hệ tọa độ cầu ................................................ 38 2.2.3 Một số vấn đề vật lý đƣợc giải trong hệ tọa độ cầu............................................. 41 2.2.3.1 Phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu.............................................. 41 2.2.3.2 Nguyên tử Hydro .......................................................................................... 58 2.2.3.3 Phƣơng trình Laplace trong hệ tọa độ cầu..................................................... 65 CHƢƠNG 3: BÀI TẬP ....................................................................................................... 67 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................. 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 78 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 2 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học và vật lý là hai môn học có mối tƣơng quan sâu sắc. Các vấn đề trong vật lý sẽ đƣợc khái quát lên thành bài toán cho toán học giải quyết. Và sau đó, kết quả của các bài toán này lại đƣợc nhà vật lý kiểm chứng thông qua thí nghiệm. Đôi khi chính các kết quả toán học lại mở ra một hƣớng nghiên cứu mới cho ngành vật lý. Ví dụ, năm 1928, nhà vật lý học ngƣời Anh, Paul Dirac đã giải một phƣơng trình toán lý và tìm ra những “điện tử mang năng lƣợng âm” mà xƣa nay các nhà vật lý cho rằng không thể có đƣợc. Dirac cũng cảm thấy băn khoăn. Ông giải phƣơng trình sai chăng? Không, ông đã kiểm tra lại nhiều lần rồi. Lời giải của ông hoàn toàn đúng. Chỉ còn một cách thừa nhận rằng có tồn tại những điện tử mang năng lƣợng âm mà thôi. Bảy năm sau, các nhà vật lý đã tìm ra đƣợc điện tử mang năng lƣợng âm này qua thực nghiệm – đó chính là những hạt positron. Kết quả này đã giúp các nhà vật lý đi đến quan niệm phản vật chất – một quan niệm mới mẻ trong vật lý học hiện đại. Chính vì vậy, để có thể lĩnh hội cũng nhƣ nghiên cứu về vật lý thì trƣớc tiên chúng ta cần phải trang bị cho mình kiến thức toán thật vững vàng, có thể nói toán học là công cụ không thể thiếu cho một nhà vật lý. Có rất nhiều phƣơng pháp toán học ứng dụng trong vật lý, đặc biệt là vật lý hiện đại nhƣ các phép biến đổi tích phân, phƣơng trình vi phân, đại số tuyến tính…Nhƣng việc sử dụng chúng trong vật lý của sinh viên chƣa đƣợc tốt, nhất là khi học về vật lý lý thuyết, đòi hỏi lƣợng kiến thức toán phải rộng và sâu hơn nữa. Có những bài tập khi ta giải trong hệ tọa độ này thì rất phức tạp thế nhƣng nếu giải trong hệ tọa độ khác lại vô cùng đơn giản. Do đó đòi hỏi các bạn cần phải nắm rõ các phép toán trong các hệ tọa độ cũng nhƣ sự chuyển đổi qua lại giữa chúng để có thể áp dụng khi cần thiết. Luận văn “Giải tích vector trong hệ tọa độ cong” tổng hợp những kiến thức cơ bản và hữu ích về các phép toán vector nhƣng không phải trong hệ Descartes mà đƣợc mở rộng cho các hệ tọa độ khác, cụ thể là hệ tạo độ cong trực giao (gồm hệ tọa độ trụ và cầu). Hy vọng đề tài này giúp sinh viên thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu và học tập sau này. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 3 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI - Mở rộng phần giải tích vector trong hệ tọa độ cong trên cơ sở của hệ tọa độ Descartes. - Ứng dụng toán giải tích vector trong các hệ tọa độ qua một số bài toán vật lý cụ thể. 3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI - Phần giải tích vector chủ yếu trình bày về các phép tính gradient, divergence, curl và Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao gồm hệ tọa độ trụ và cầu. - Một số bài toán đƣợc giải tổng quát nhằm cụ thể việc áp dụng toán học cho vật lý chứ không đi sâu vào ý nghĩa vật lý của từng bài. 4. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN - Sử dụng phƣơng pháp tìm kiếm và nghiên cứu các tài liệu khác có nội dung liên quan đến đề tài. - Phƣơng pháp tổng hợp, phân tích tài liệu rồi hệ thống lại cho phù hợp với mục đích nghiên cứu. 5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN - Xác định mục đích, phƣơng pháp và giới hạn của đề tài nghiên cứu. - Tiến hành tìm kiếm tài liệu có liên quan. - Tổng hợp, phân tích tài liệu để viết bài. - Trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn, sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn. - Báo cáo luận văn. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 4 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 CÁC HỆ TỌA ĐỘ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN R 3 1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong R 3 Trong hệ tọa độ Descartes, ta giải bài toán vật lý bằng các họ mặt phẳng vuông góc từng đôi một: x  const, y  const, z  const. Bây giờ ta sẽ tìm hiểu hệ tọa độ khác đƣợc biểu diễn bởi 3 mặt qi  x, y, z  với i  1,2,3, các mặt này không nhất thiết phải trực giao và phẳng. Tuy nhiên để đơn giản chúng ta sẽ xét các mặt vuông góc lẫn nhau vì hệ tọa độ trực giao rất phổ biến trong ứng dụng vật lý. Hình thức chung của hệ tọa độ cong trực giao xuất phát từ việc tính vi phân tọa độ trong hình học, sử dụng các yếu tố độ dài, yếu tố diện tích, yếu tố thể tích và toán tử vector. Để biểu diễn vị trí của 1 điểm, trong hệ tọa độ Descartes ta sử dụng bộ ba số x, y, z  , còn trong hệ tọa độ cong ta sử dụng bộ số mới là q1 , q2 , q3 . Ví dụ trong không gian ta có điểm Ax, y, z  , điểm này sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ cong bởi các mặt q1  const , q2  const , q3  const và chúng ta có thể xác định đƣợc x, y, z  theo q1 , q2 , q3  hay ngƣợc lại. Hệ tọa độ cong tổng quát Hệ tọa độ trụ  , , z q1 , q2 , q3 x  xq1 , q2 , q3     x   cos   y  yq1 , q2 , q3     y   sin    z  z q1 , q2 , q3    z  z   (1.1) và ngƣợc lại q1 , q2 , q3  là các hàm theo x, y, z :   1 2 q1  q1 x, y, z  0    x2  y2 q2  q2 x, y, z   y 0    arctan   2  x q3  q3 x, y, z  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong  (1.2)   z  z   5 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Các đại lƣợng q1 , q2 , q3 gọi là các tọa độ cong, qi  const gọi là mặt tọa độ và giao tuyến của hai mặt tọa độ cho ta đƣờng cong tọa độ. Mỗi mặt qi  const ta chọn 1 vector đơn vị qˆ i vuông góc với mặt này và hƣớng theo chiều tăng của qi . Một cách tổng quát, các qi  const  phụ thuộc vị trí trong không gian. Khi đó vector V có thể biễu diễn nhƣ sau:  V  qˆ1V1  qˆ 2V2  qˆ 3V3 nhƣng đối với vector định vị không đƣợc biểu diễn nhƣ vậy, tức là nói chung:  r  qˆ1q1  qˆ 2 q2  qˆ3 q3  Ví dụ trong tọa độ cực thì r  rrˆ  ˆ . Các vector đơn vị phải đƣợc chuẩn hóa và tạo thành một hệ tọa độ thuận qˆ1  qˆ2  qˆ3   0 1. Từ (1.1) ta đƣợc: dx  x x x dq1  dq2  dq3 q1 q2 q3 (1.3) Tƣơng tự đối với y, z : dy  y y y dq1  dq2  dq3 q1 q2 q3 dz  z z z dq1  dq2  dq3 q1 q2 q3 Ta có:     dr  dxi  dyj  dzk  x   y    z  x x y y z z   dq1  dq2  dq3 i   dq1  dq2  dq3  j   dq1  dq2  dq3 k q2 q3 q2 q3 q2 q3  q1   q1   q1   x  y  z    x  y  z    x  y  z     i j k dq1   i j k dq2   i j k dq3  q  q  q  q  q  q  q  q  q 1 1  2 2 3 3   1  2   3    r r r  dq1  dq2  dq3 q1 q2 q3 Vậy tổng quát :   r dr   dqi i q i GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 6 (1.4) SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Trong hệ tọa độ Descartes thì bình phƣơng khoảng cách giữa hai điểm kế cận là:    ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  dr 2  dr  dr (1.5) Thay (1.4) vào (1.5) ta đƣợc: ds 2   ij          r   r  r r r r r r dqi dq j   dq1  dq2  dq3    dq1  dq2  dq3  qi q j q2 q3 q2 q3  q1   q1   g11dq12  g12 dq1 dq 2  g13dq1 dq3  g 21dq 2 dq1  g 22 dq 22  g 23dq 2 dq3  g 31dq3 dq1  g 32 dq3 dq 2  g 33dq32   g ij dqi dq j (1.6) ij Trong đó:   x x y y z z r r g ij (q1 , q2 , q3 )      qi q j qi q j qi q j qi q j   r r (1.7) là tích vô hƣớng của hai vector tiếp tuyến và với đƣờng cong q j qi  r qi  ̴ qˆi và r q j q j const (1.7)  r đó là: ̴ qˆ j qi  const Các giá trị khác 0 của g ij nói lên rằng các mặt của hệ tọa độ là không trực giao (tức là các vector qˆ i không trực giao). Tuy nhiên, thông thƣờng ta xét các hệ tọa độ là trực giao. Do đó:  g ij  0  qˆ i  qˆ j   ij với  ij gọi là ký hiệu Kronecker. Đặt g ij  hi2  0 thì (1.6) đƣợc viết lại nhƣ sau: ds 2  h1dq1   h2 dq2   h3 dq3    hi dqi  2 2 2 2 i Các hệ số h1 , h2 , h3 có giá trị phụ thuộc vào từng hệ tọa độ cong mà ta xét. Các hệ số này có thể xác định từ quan hệ: ds  hi dqi ,  r  hi qˆi qi (1.8) Chú ý rằng q1 , q2 , q3 không nhất thiết phải là độ dài, nhƣng hệ số hi có thể phụ thuộc vào qi và GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 7 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong tích hi dqi phải có đơn vị dài. Khi đó:  dr  h1dq1qˆ1  h2 dq2 qˆ 2  h3 dq3 qˆ3   hi dqi qˆi . i Sử dụng các thành phần của vector trong hệ tọa độ cong thì tích phân đƣờng đƣợc viết:   V   dr    Vi hi dq i i Từ (1.8) ta có thể suy rộng ra cho phần tử diện tích và phần tử thể tích: d ij  dsi ds j  hi h j dqi dq j , (1.9) d  ds1ds2 ds3  h1h2 h3dq1dq2 dq3 . (1.10) Từ (1.9) suy ra:  d  ds1ds2 qˆ3  ds1ds3qˆ 2  ds2 ds3qˆ1  h1h2 dq1dq2 qˆ3  h1h3dq1dq3qˆ2  h2 h3dq2 dq3qˆ1. Tích phân mặt:    V  d   V h h dq dq   V h h dq dq  V h h dq dq 1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 Tích vô hƣớng của 2 vector:   A  B   Ai qˆi  qˆ k Bk   Ai Bk  ik   Ai Bi ik ik i Và tích có hƣớng của hai vector đƣợc viết dƣới dạng định thức nhƣ sau: qˆ1   A  B  A1 qˆ 2 qˆ 3 A2 A3 B1 B2 B3 1.1.2 Định thức Jacobi 1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát Yếu tố mặt và yếu tố khối là một phần của tích phân, rất phổ biến trong ứng dụng vật lý nhƣ xác định khối tâm hay moment quán tính của vật (định lý Gauss đã chuyển tích phân thể tích thành tích phân mặt và định lý Stoke chuyển tích phân mặt thành tích phân đƣờng). Trong hệ tọa độ trực giao các yếu tố diện tích và thể tích chỉ đơn giản là tích vô hƣớng của yếu tố độ dài hi dqi . GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 8 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  r Trong trƣờng hợp tổng quát, ta sử dụng ý nghĩa hình học của vector tiếp tuyến . qi Xét yếu tố diện tích dxdy (trong hệ tọa độ Descartes), trong hệ tọa độ mới q1 ,q2  yếu tố diện  tích này đƣợc hình thành bởi hai yếu tố vector dr :     r q1  dq1 , q2  dr1  r (q1  dq1 , q2 )  r (q1 , q2 )  dq1 q1  q1 , q2  dq2     r dr2  r (q1 , q2  dq2 )  r (q1 , q2 )  dq2 q2  dr2 Suy ra:    x y x y  dxdy  dr1  dr2     dq1dq2  q1 q2 q2 q1   x x q1 q 2 y y q1 q 2  dr1 q1 , q2  (1.11) dq1dq2 định thức (1.11) đƣợc gọi là định thức Jacobi (hay đơn giản là Jacobian).   r Tƣơng tự, yếu tố thể tích cũng trở thành tích vô hƣớng của 3 vector dr  dqi theo hƣớng qi vector đơn vị qˆ i , cụ thể: x q1 dxdydz  x q 2 y q1 y q 2 z q1 z q 2 x q 3 y dq dq dq 1 2 3 q 3 z q 3 Đối với hệ tọa độ trực giao hệ thức Jacobian chỉ đơn giản là tích của các vector tiếp tuyến thành tích của các hi , ví dụ nhƣ đối với định thức thể tích : h1h2 h3 (qˆ1  qˆ2 )  qˆ3  h1h2 h3 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 9 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực Chúng ta sẽ minh họa sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực với yếu tố diện tích dxdy : x   cos  x  dxdy  y  x cos   dd  sin  y  , y   sin    sin  dd  cos  M y    (  cos 2    sin 2  )dd  dd x z Tƣơng tự trong hệ tọa độ cầu ta có: M x  r sin  cos  r y  r sin  sin   z  r cos y  x x r y J r z r  (1)11 cos   x  y  z  r cos  cos  r cos  sin  x  sin  cos  y = sin  sin   cos  z  M' r cos  cos   r sin  sin  r cos  sin  r sin  cos   r sin  0  r sin  sin  sin  cos   (1)12 (r sin  ) r sin  cos  sin  sin    r 2 sin  cos 2   sin 2   r 2 sin   r sin  sin  r sin  cos  (1.12) Từ (1.12) ta suy ra đƣợc yếu tố vi phân thể tích là: dxdydz  r 2 dr sin dd 1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES  1.2.1 Toán tử Gradient    - Sự quay của hệ trục tọa độ: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 10 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Giả sử không gian là đẳng hƣớng, các hệ thống vật lý đƣợc phân tích và các định luật vật lý có liên quan không phụ thuộc vào sự lựa chọn và hƣớng của các trục tọa độ. Do đó, một giá trị số S nào đó sẽ không thay đổi dƣới sự quay của hệ trục tọa độ trong không gian ba chiều, ta gọi đó là giá trị vô hƣớng (ví dụ nhƣ khối lƣợng, tích vô hƣớng giữa hai vector…). Tƣơng tự, một đại lƣợng mà các thành phần của nó sẽ biến đổi dƣới sự quay thì ta gọi đó là vector và trong phép quay tọa độ này, vector vẫn đƣợc bảo toàn nhƣ một thực thể hình học (mũi tên trong không gian) và độc lập với hƣớng của hệ tọa độ. y y'  r y x' x' y'  x x Hình 1.1: Hệ tọa độ Descartes quay 1 góc  quanh trục z  Đặt vector r (là một đối tƣợng hình học không phụ thuộc vào hệ tọa độ) trong hai hệ khác nhau, một hệ quay một góc  so với hệ còn lại, để đơn giản ta sẽ xét trong không gian hai chiều.  Mối quan hệ giữa các thành phần của vector r trong hai hệ tọa độ là: x '  x cos   y sin  (1.13) y '   x sin   y cos     Thay vector r bằng vector A bất kỳ với ( Ax , Ay là các thành phần của vector A ), ta định  nghĩa vector A khi các thành phần của nó biến đổi dƣới sự quay của hệ tọa độ: Ax'  Ax cos   Ay sin  Ay'   Ax sin   Ay cos  (1.14) Nếu cặp số Ax , Ay không đƣợc thể hiện trong dạng bất biến này thì nó không phải là thành GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 11 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  phần của vector. Mỗi thành phần của vector A đều bị thay đổi độ dài khi quay hệ tọa độ nhƣng độ lớn của vector là số vô hƣớng. Ta thấy cặp số Ax' , Ay' là hai thành phần của vector có độ lớn và hƣớng giống với vector tạo bởi Ax , Ay trong hệ tọa độ xy , hay nói cách khác một vector bất kỳ là bất biến khi ta quay hệ trục tọa độ. Khi không gian không phải là hai chiều mà là ba hoặc nhiều hơn nữa, ta sử dụng kí hiệu đơn giản sau, giả sử: x  x1 y  x2 a11  cos  , a 21   sin  , a12  sin  a22  cos  Khi đó biểu thức (1.13) trở thành: x1  a11x1  a12 x2 , ' x2  a21x1  a22 x2 ' (1.15) Hệ số aij là cosine của góc tạo bởi hai trục xi' và x j : a12  cos 1'2  sin    a21  cos  2'1  cos     sin  2  Từ (1.15) ta có thể viết lại theo dạng  nhƣ sau: 2 xi'   aij x j j 1 Tổng quát, khi biểu diễn vector trong không gian ba, bốn hoặc N chiều trở nên rất dễ dàng.  Tập hợp N các số V j đƣợc cho là thành phần của vector V trong không gian N chiều khi và chỉ khi giá trị của nó thỏa mãn hệ thức sau khi quay hệ trục tọa độ: N Vi '   aijV j j 1 , i  1,2,..., N (1.16) Từ định nghĩa của hệ số a ij , ta có thể viết: xi'  aij x j (1.17) Ngƣợc lại khi    : GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 12 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong x j 2 x j   aij xi' hay i 1 xi'  aij (1.18) Từ (1.16), (1.17), (1.18) ta đƣợc: N x xi' j Vj   ' Vj j 1 x j 1 x j i N Vi '   (1.19)  - Toán tử Gradient    Ta có biến phân toàn phần của hàm F x, y  là dF dƣới dạng tổng của hai số gia, một hoàn toàn theo hƣớng của trục x và phần còn lại theo hƣớng của trục y : dF x, y   F x  dx, y  dy   F x, y   F x  dx, y  dy   F x, y  dy   F x, y  dy   F x, y   F F dx  dy x y (1.20) bao gồm hai biến độc lập theo hƣớng của trục x và y. Đối với hàm  gồm 3 biến thì: d x, y, z    x  dx, y  dy, z  dz    x, y  dy, z  dz    x, y  dy, z  dz    x, y, z  dz    x, y, z  dz    x, y, z   (1.21)    dx  dy  dz x y z  Về phƣơng diện đại số, d là đại lƣợng vô hƣớng của sự thay đổi vị trí dr và sự thay đổi hƣớng của  . Giả sử  x, y, z  là một hàm vô hƣớng phụ thuộc vào giá trị của các tọa độ x, y, z  , hàm  có giá trị nhƣ nhau tại mỗi điểm trong không gian và không phụ thuộc vào sự quay của hệ trục tọa độ, hay:  ' x1' , x2' , x3'    x1 , x2 , x3      ' x1' , x2' , x3'  x1 , x2 , x3   x j     aij ' ' ' xi xi x j j x j xi j (1.22) So sánh (1.22) và (1.19), ta thấy xuất hiện một vector với các thành phần là  . Vector này x j gọi là gradient của  đƣợc biểu diễn nhƣ sau: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 13 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong   ˆ  ˆ    x, y, z   i j k x y z (1.23)    ˆ    iˆ  j k. x y z (1.24) Hay Ví dụ: Gradient của điện thế V r  . Tính gradient của V r   V   x2  y2  z 2 . Ta có:  V r   V r   V r   V r   i j k x y z Với: V r  V r dV r  r     x r x dr x Mà:  r  x 2  y 2  z 2  x x  12  x x 2 y z 2  2 12 x  . r Nên: V r  V r dV r  x     . x r x dr r (1.25) V r  V r dV r  y     . y r y dr r (1.26) V r  V r dV r  z     . z r z dr r (1.27) Tƣơng tự: Từ (1.25), (1.26), (1.27) ta đƣợc:  1 dV r dV    dV x  dV y  dV z  dV V r    i  j  k  xi  yj  zk   rˆ dr r dr r dr r r dr r dr dr   - Ý nghĩa hình học của gradient:  Vector vị trí dr :     dr  dxi  dyj  dzk GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 14 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong   Nhân vô hƣớng  và dr :        dr  dx  dy  dz x y z  Sự thay đổi của hàm  tƣơng ứng với một sự thay đổi của vector vị trí dr . Giả sử ta có hai  điểm P và Q nằm trên mặt  x, y, z   CC  const  , khoảng cách giữa hai điểm này là dr (hình 1.2). Khi P tiến đến Q thì hàm  đƣợc cho bởi:   d    dr  0 (1.28)    (1.28) cho thấy  vuông góc với dr và dr sẽ có hƣớng bất kỳ từ điểm P miễn sao nó vẫn   nằm trên mặt  , điểm Q có hƣớng tùy ý. z   P  Q dr  x, y, z   C y x  Hình 1.2: Sự tăng chiều dài dr trên mặt   C Nếu P và Q thuộc hai bề mặt bề mặt liền kề   C1 và   C2 (hình 1.3) thì khi đó:   d  C1  C2  C    dr (1.29)   Đối với một d nhất định, dr có giá trị nhỏ nhất khi nó song song với  cos  1, hay   với một dr cho trƣớc, sự biến thiên của hàm vô hƣớng  là lớn nhất khi chọn dr song song   với  . Điều này cho thấy rằng  là một vector có chiều theo chiều biến thiên nhanh nhất   (theo không gian) của  . GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 15 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z   C2  C1 Q   C1 P y x Hình 1.3: Gradient của  . 1.2.2 Toán tử Divergence      Ta đã biết  là toán tử vector, nếu tác dụng toán tử   lên một vector thì kết quả thu đƣợc là một số vô hƣớng:   V V y Vz  V  x   x y z (1.30)  (1.30) gọi là divergence của vector V . - Ý nghĩa vật lý của divergence:    Xét   v  với v x, y, z  là vận tốc của chất lỏng (có thể nén đƣợc),  x, y, z  là mật độ chất lỏng tại x, y, z  . Xét một thể tích nhỏ dxdydz (hình 1.4) tại x  y  z  0 , lƣu lƣợng chất lỏng chảy vào thể tích này trong một đơn vị thời gian (theo chiều dƣơng của trục x ) qua mặt EFGH là vx x 0 dydz . Lƣu lƣợng chất lỏng chảy ra (vẫn theo chiều dƣơng của trục x ) qua mặt ABCD là vx x dx dydz : v x x  dx    dydz   v x  v x dx  dydz x   x 0 Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục x ) là:  vx dxdydz. x (1.31) Lập luận tƣơng tự cho các mặt AEGC và BDHF (tính theo trục y ), mặt CDHF và ABFE (tính theo trục z ) ta đƣợc: + Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 16 y) là:  v y dxdydz. x (1.32) SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong + Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục z ) là:  vz dxdydz . x (1.33) z G H C D dz E F y dx A B dy x Hình 1.4:Yếu tố thể tích của hình hộp chữ nhật. Từ (1.31), (1.32) và (1.33) ta có lƣu lƣợng tổng cộng đi ra khỏi yếu tổ thể tích là (tính trong 1 đơn vị thời gian):             v   v   v dxdydz    v dxdydz .  x x x y x z  (1.34) Ta thấy lƣu lƣợng chất lỏng đi ra khỏi yếu tố thể tích dxdydz trong một đơn vị thời gian   chính là   v  .    Vậy tổng quát   V là thông lƣợng của vector V đi ra khỏi thể tích 1m 3 trong 1 giây.   1.2.3 Toán tử Curl   : tác dụng toán tử   lên một vector ta sẽ thu đƣợc một vector.   ˆj iˆ     V  x Vx  y Vy kˆ  z Vz (1.35)  (1.35) gọi là curl của vector V . - Ý nghĩa vật lý của curl:  Xét lƣu số của vector V dọc theo đƣờng cong kín (1,2,3,4) trong mặt phẳng xy (hình 1.5) là: V x, y d V x, y d V x, y d V x, y d 1 x GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong x 2 y y 3 17 x x 4 y y (1.36) SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong y x0 , y0  dy 3 4 x0  dx, y0  dy 2 1 x0 , y0 x0  dx, y0 x Hình 1.5: Vòng tròn vi phân trong mặt phẳng xy Ở tích phân thứ nhất dx  dx nhƣng ở tích phân thứ ba thì dx  dx (ngƣợc chiều dƣơng của trục x ), tƣơng tự nhƣ vậy ở tích phân thứ hai d y  dy và tích phân thứ tƣ d y  dy . Do đó (1.36) sẽ bằng: V y     V Vx x0 , y0 dx  V y x0 , y0   dx  dy  Vx x0 , y0   x dy   dx   V y x0 , y0  dy  x  y     V y V y  dxdy.     x  x   (1.37)   Chia (1.37) cho dxdy ta đƣợc lƣu thông của chất lỏng trên một đơn vị diện tích là   V . Về z nguyên tắc, hƣớng của curl là hƣớng của trục xoay theo tắc bàn tay phải, vuông góc với mặt phẳng lƣu thông, độ lớn của curl là độ lớn của mức độ xoáy.    Vậy tổng quát   V là lƣu số của vector V dọc theo đƣờng cong kín giới hạn diện tích 1m 2 . 1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.3.1 Toán tử Gradient Điểm khởi đầu của việc phát triển toán tử gradient, divergence, curl trong hệ tọa độ cong là giải thích ý nghĩa hình học của gradient. Gradient của một trƣờng vô hƣớng là một vector mà theo hƣớng của nó hàm sẽ tăng với vận tốc lớn nhất. Từ đó ta có thể tìm đƣợc thành phần  của  theo hƣớng vuông góc với mặt phẳng q1  const là:    1  qˆ1     1 s1 h1 q1 Mặt khác theo định nghĩa ta có: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 18 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong lim  q1  q1, q2 , q3   q1, q2 , q3  s1 s1 0  lim  q1  q1, q2 , q3   q1, q2 , q3  q1 q1 q1 0 . s1   1 . q1 h1 Vậy:    1  qˆ1     1 s1 h1 q1 Tƣơng tự đối với mặt q2 ,q3 :    1  qˆ 2     2 s2 h2 q2    1  qˆ3     3 s3 h3 q3 Tổng quát ta có gradient trong hệ tọa độ cong là:     1  1  1   (q1 , q2 , q3 )  qˆ1  qˆ 2  qˆ3  qˆ1  qˆ 2  qˆ3 s1 s2 s3 h1 q1 h2 q2 h3 q3 1    qˆi hi qi i (1.38) 1.3.2 Toán tử Divergence    Toán tử divergence của trƣờng vector V trong hệ tọa độ cong là (dựa vào ý nghĩa của   V  cho ta thông lƣợng của V đi ra khỏi 1m3 /1s ):   V  d      V q1 , q2 , q3   lim  d 0  d (1.39)  Tử số của (1.39) là thông lƣợng của V ra khỏi mặt kín  , mẫu số là thể tích kín giới hạn bởi . Xét yếu tố thể tích cong nhƣ hình 1.6: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 19 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z ds3  h3dq3 ds1  h1dq1 ds2  h2 dq2 y x Hình 1.6: Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cong Ta có thể tích của yếu tố này là:  d  V hinhhop  h1h2 h3 dq1dq2 dq3 (1.40)  Bây giờ ta đi tính thông lƣợng của vector V qua các mặt của yếu tố này.  Thông lƣợng của trƣờng vector qua mặt q1 là:  V1h2 h3dq2 dq3 (dấu âm vì V đi vào trong thể   tích do đó V , n  900 ).     Thông lƣợng của trƣờng vector qua mặt ( q1  q1 ) là: V1h2 h3   V1h2 h3 dq1  dq2 dq3 (dấu q  1     dƣơng vì V đi ra khỏi thể tích do đó V , n  900 ).   Vậy thông lƣợng tổng cộng qua 2 mặt q1 là:    V1h2 h3 dq1  dq2 dq3  V1h2 h3dq2 dq3   V1h2 h3 dq1dq2 dq3 V1h2 h3  q1 q1   Tƣơng tự cho các mặt q2 , q3 ta có: Thông lƣợng qua 2 mặt q2 :  V2 h3h1 dq1dq2 dq3 q2 Thông lƣợng qua 2 mặt q3 :  V3h1h2 dq1dq2 dq3 q3 Vậy thông lƣợng tổng cộng đi ra khỏi yếu tố thể tích cong là: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 20 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong        V  q1 , q2 , q3   d   q1 V1h2 h3   q2 V2 h3h1   q3 V3h1h2 dq1dq2 dq3 (1.41) Thay (1.39), (1.40) vào (1.41) ta có :     V q1 , q2 , q3     1   V1h2 h3    V2 h3h1    V3h1h2   h1h2 h3  q1 q2 q3  (1.42)  Khi V   q1 , q2 , q3  biểu thức trên đƣợc viết lại nhƣ sau:      q1 , q2 , q3   1 h1h2 h3      : là toán tử Laplace.    h2 h3         q1  h1 q1  q2  h3 h1     h1h2         h2 q2  q3  h3 q3  (1.43) 1.3.3 Toán tử Curl   Cuối cùng chúng ta sẽ sử dụng định lý Stoke để tìm biểu thức của   V trong hệ tọa độ cong tổng quát. Để cho đơn giản, ta đi xét từng thành phần của toán tử này. Trƣớc tiên ta chọn mặt q1  const và yếu tố diện tích trên mặt này nhƣ hình 1.7: z 4 3 q2 , q3  qˆ 2 2 1 ds2  h2 dq2 ds3  h3dq3 qˆ 3 y x Hình 1.7: Yếu tố diện tích nằm trên mặt cong q1  const Diện tích của yếu tố vi phân mặt đƣợc giới hạn bởi (1,2,3,4) là: d  ds2 ds3  h2 h3 dq2 dq3 Ta có, theo định lý về giá trị trung bình của tích phân:         V  d  qˆ    V h h dq dq S 1 2 3 2 3 Theo định lý Stoke: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 21 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong     qˆ1    V h2 h3dq2 dq3   V  dr   (1.44) Tích phân đƣờng nằm trong mặt q1  const theo đƣờng cong kín (1,2,3,4) là:   V (q , q 1 2       V3 h3 dq2  dq3  V2 h2   V2 h2 dq3  dq2  V3 h3 dq3 , q3 )  dr  V2 h2 dq2  V3 h3  q2 q3        h3V3    h2V2  dq2 dq3  q3  q2  (1.45) Thay (1.45) vào (1.44) ta đƣợc:    1       V  h3V3   h2V2   1 h2 h3  q2 q3  (1.46) Tƣơng tự cho mặt q2  const, q3  const là:    1   h1V1    h3V3   V   2 h3 h1  q3 q1  (1.47)    1   (1.48) h2V2    h1V1   V   3 h1h2  q1 q2   Từ (1.46), (1.47), (1.48) ta suy ra biểu thức tƣờng minh của   dƣới dạng định thức nhƣ sau: qˆ1h1    V   1 h1h2 h3 q1 h1V1 qˆ 2 h2  q 2 h2V2 qˆ 3 h3  q 3 (1.49) h3V3  Chú ý rằng phép toán trên là không đồng nhất với tích hữu hƣớng của hai vector,  không phải là vector thông thƣờng mà là toán tử vector. Giải tích hình học về gradient và sử dụng định lý Gauss, định lý Stoke (hay định nghĩa về divergence và curl) đã giúp chúng ta thu đƣợc những con số mà không cần phải lấy vi phân vector đơn vị qˆ i . Có nhiều cách để xác định grad, div và curl dựa trên việc lấy vi phân theo hƣớng của qˆ i . GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 22 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT 2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ 2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ Trong hệ tọa độ trụ thì 3 tọa độ cong q1 , q2 , q3  là  , , z  . Chúng ta sử dụng  cho khoảng cách vuông góc tính từ trục z (thay cho khoảng cách r tính từ gốc tọa độ), giới hạn của  ,, z là: 0     z   0    2 Các mặt của hệ tọa độ này:  Các mặt trụ   const có trục z làm trục chung:   x 2  y 2  2  const 1  Các nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục z :   tan 1  y   const x  Các mặt phẳng song song với mặt xy giống nhƣ hệ tọa độ Descartes: z  const Mối quan hệ chuyển đổi giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là: zz y   sin  x   cos    tan 1 y x với trục z vẫn không thay đổi, điều này đơn giản chỉ là hệ hai đƣờng cong và thêm vào đƣờng z trong hệ tọa độ Descartes tạo thành hệ 3 đƣờng mới. Các vector đơn vị qˆ1 , qˆ 2 , qˆ3 trong hệ tọa độ này là ˆ ,ˆ , zˆ  : ˆ  cos iˆ  sin ˆj  x ˆ   sin iˆ  cos ˆj  x 2 y x  2 2 y 2 y iˆ   2 2 x iˆ  y 2  y2 x  2 x 2  y2 ˆj  2 ˆj iˆ  cos ˆ  sin ˆ ˆj  sin ˆ  cos ˆ GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 23 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z ˆ  y ˆ x Hình 2.1: Hệ tọa độ trụ Vector đơn vị ˆ là pháp tuyến của mặt trụ, hƣớng theo chiều tăng của bán kính. Vector đơn vị ˆ là tiếp tuyến của mặt trụ, vuông góc với nửa mặt phẳng   const và hƣớng theo chiều tăng của góc phƣơng vị  . Vector đơn vị zˆ cũng giống nhƣ trong hệ tọa độ Descartes. Vector định vị trong hệ tọa độ trụ:  r  xiˆ  yˆj  zkˆ   cos  cos ˆ  sin ˆ    sin  sin ˆ  cos ˆ   zzˆ   cos 2 ˆ   cos  sin ˆ   sin 2 ˆ   cos  sin ˆ  zˆz  ˆ  zˆz Biểu diễn vector tổng quát:  V  ˆV  ˆV  zˆVz  Vx cos   Vy sin  ˆ   Vx sin   Vy cos  ˆ  Vz zˆ V  Vx cos   V y sin    V  Vx sin   V y cos   Vz  Vz  Công thức liên hệ của vector V trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ dƣới dạng ma trận là: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 24 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong sin  V  cos     V    sin  V  0  z 0 Vx    0 V y  1  Vz  cos  0 Và ngƣợc lại: Vx  cos     V y   sin  V  0  z  sin  cos  0 0 V    0 V  1  Vz  Các hệ số hi trong hệ tọa độ trụ là: h 2 2 2 2 2 2 2  x   y   z            cos 2   sin 2   1  h  1           x   y   z  h            2 sin 2    2 cos 2    2  h            2  x   y   z  hz           1  hz  1  z   z   z  2 2 2 2 Khi đó, vi phân vector định vị là:  dr  ˆds  ˆds  zˆds z  ˆds  ˆds  zˆds z Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ trụ: dV  dddz z zˆ ˆ  y ˆ x Hình 2.2: Các vector đơn vị trong hệ tọa độ trụ GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 25 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng gia tốc của một hạt đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ trụ tại thời điểm bất kỳ nhƣ sau:   a     2     2 ˆ  zzˆ Giải: Vector định vị trọng hệ tọa độ trụ là:  r  ˆ  zzˆ Vector vận tốc:   v  r  ˆ  ˆ  zzˆ Với: dˆ d dˆ ˆ      sin iˆ  cos ˆj   ˆ dt dt d Nên:  r  ˆ  ˆ  zzˆ Vector gia tốc:    a  v  r  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  zzˆ Với dˆ d dˆ ˆ      cos iˆ  sin ˆj     ˆ  dt dt d Nên: r  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ   2 ˆ  zzˆ Vì vậy cuối cùng ta đƣợc vector gia tốc là:   a  r  ˆ    2   ˆ 2    zzˆ   2.1.2 Các toán tử liên quan đến trong hệ tọa độ trụ - Toán tử gradient: Toán tử gradient trong hệ tọa độ cong tổng quát là:     1  1  1   (q1 , q2 , q3 )  qˆ1  qˆ 2  qˆ3  qˆ1  qˆ 2  qˆ3 s1 s2 s3 h1 q1 h2 q2 h3 q3 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 26 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Trong hệ tọa độ trụ thì q1 , q2 , q3  là  , , z  , h  1, h   , hz  1, thay vào công thức tổng quát ta thu đƣợc gradient trong hệ tọa độ trụ:   1    (  , , z )  ˆ  ˆ  zˆ    z - Toán tử divergence: Công thức tổng quát của divergence trong hệ tọa độ cong là:     V q1 , q2 , q3   1 h1h2 h3    V1h2 h3    V2 h3h1    V3h1h2   q2 q3  q1  Vậy trong hệ tọa độ trụ là:    V   1  h hzV    hz hV    h hVz   h h hz    z  1  V    V    Vz   1  V   1 V  Vz      z   z    - Toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong tổng quát là:      q1 , q2 , q3   1 h1h2 h3    h2 h3         q h  q 1 1 1   q2   h3 h1     h1h2         h2 q2  q3  h3 q3  Vậy trong hệ tọa độ trụ là:   2  1 h h hz    h hz     hz h     h h             h   z  h z    h             1        1                       z  z 1     1  2  2           2  2 z 2     - Toán tử Curl trong hệ tọa độ cong tổng quát là: qˆ1h1    V  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong  1 h1h2 h3 q1 h1V1 27 qˆ 2 h2  q 2 h2V2 qˆ 3 h3  q 3 h3V3 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Trong hệ tọa độ trụ là: ˆh    V   1 h h hz  hV ˆh zˆhz   h V  z h zV z ˆ 1     V ˆ zˆ   z  V V z Ví dụ 2.2: Xác minh lại định lý Gauss trên một hình trụ có mặt bên song song với trục z có bán kính là 2 và chiều cao là 5 với:  F   2  sin 2  ˆ   sin  cos ˆ  3z 2 zˆ Giải: Ta có định lý Gauss:       FdV   F  nda  V S   1  V   1 V  Vz  F      z    1  2 1  sin  cos    3z 2  2  sin 2        z     4  2 sin2   cos2   sin2   6 z  5  6 z Vế trái của định lý:  V   2 2 5   FdV   5  6 z dddz   d  d  5  6 z dz  2 .2.100  400 V 0 0 0 Vế phải của định lý:         F  n da  F  n da  F  n da  F      nda S S1 S2 S3 với S1 là diện tích mặt bên hình trụ, S 2 là diện tích mặt đáy hình trụ, S 3 là diện tích mặt trên hình trụ.    F  nda   S1 S1  4 2 0  2 5 F  ˆ da     2  sin 2   0 2  sin 2 0  5 0 S2 S2    2 2 2 ˆ F  n da  F  z da      3z S3 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong S3 dz  2 d  d  dz  4.5 .5  100   2 F   nda   F   zˆ da    3z S2   0 0   28 z 5  z 0 da  0 dd  75.2 .2  300 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Vậy:    F  nda  100  300  400 S Cuối cùng ta đƣợc kết quả phù hợp với định lý Gauss:  V       FdV   F  nda S Ví dụ 2.3: Cho trƣờng vector sau:    B  B  F   A  2  cos ˆ   A  2  sin ˆ         a. Chứng minh rằng   F  0   b. Tìm thế vô hƣớng  biết   F  c. Chứng minh rằng  2   0 Giải: a. ˆ   1   F    V ˆ   V zˆ  z Vz ˆ 1      B   A  2  cos     ˆ zˆ    z 0  B     A  2  sin        B  1   B     A  2  sin   zˆ   A  2           1       1  B  B    A  2  sin    A  2  sin   zˆ  0         b.    cos   zˆ     1     ˆ  ˆ  zˆ    z   B B   A  2  cos ˆ   A  2  sin ˆ       Với: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 29 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong   B    A  2  cos        B      A  2  sin       B     A   cos    c.  1      2       1  2  2   2  2 2 z     1 2  1     B B   A   cos     A   cos    2 2               1 B 1 B  A   cos    A   cos   0     2.1.3 Một số vấn đề vật lý được giải trong hệ tọa độ trụ 2.1.3.1 Số hạng Navier – Stokes Phƣơng trình Navier – Stokes của thủy động lực học có chứa một số hạng phi tuyến:      v  v  Với v là vận tốc chất lỏng. Cho chất lỏng chảy qua một ống hình trụ dọc theo trục z với vận    tốc:  v  zˆ   Từ phép tính toán tử curl ta có: ˆ zˆ     ˆ    z    0 ˆ   1  v    0 ˆ    v  v  0 ˆ 0 0    zˆ     ˆ     0 Cuối cùng: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 30 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong ˆ     1    v    v     v   ˆ   0 zˆ  0 z 0  Nhƣ vậy trong trƣờng hợp đặc biệt này v  zˆv  số hạng phi tuyến không tồn tại. 2.1.3.2 Định luật diện tích cho chuyển động của các hành tinh Trƣớc tiên ta chứng minh định luật Kepler, đó là “vector bán kính quét đƣợc những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kỳ” từ sự bảo toàn moment động lƣợng.  Thật vậy, chúng ta coi Mặt Trời nhƣ là tâm của nguồn hấp dẫn F  f r rˆ, moment động    lƣợng quỹ đạo L  r  mv của hành tinh (có khối lƣợng m và vận tốc v ) đƣợc bảo toàn, ta có:     dL dr dr  dv    m  r m r F 0 dt dt dt dt  Do đó L  const. Chọn trục z dọc theo hƣớng của moment động lƣợng quỹ đạo, khi đó  L  Lzˆ, vector  vị trí r   , , z   ˆ và vector vận tốc là:  dˆ  dr v  ˆ    ˆ  ˆ dt dt Và :    L  r  mv  ˆ  mˆ  ˆ   ˆ  mˆ  ˆ  mˆ  m  ˆ ˆ   m 2zˆ  const  Diện tích tam giác quét bởi bán kính vector  trong khoảng thời gian dt, tích phân diện tích trong 1 chu kỳ: A 1 1 L L  d     2dt  dt    2 2 2m 2m Với  là chu kỳ quay của hành tinh đó quanh mặt trời, L  const. Bây giờ ta chứng minh định luật I Kepler nói rằng quỹ đạo của các hành tinh này là một hình ellipse, chúng ta sẽ rút ra phƣơng trình quỹ đạo của hành tinh là    và phƣơng trình này có dạng ellipse trong hệ tọa độ cực (là trƣờng hợp riêng của hệ tọa độ trụ khi z  0 ) GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 31 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  ,  x a a b Hình 2.3: Ellipse trong hệ tọa cực Ta coi Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm của ellipse và nằm tại gốc tọa độ của hệ tọa độ trụ. Theo đặc điểm hình học của ellipse thì ta có    '  2a với a là bán trục lớn; khoảng cách giữa hai tiêu điểm luôn thỏa mãn 0  2a  2a hay 0    1 ,  là tâm sai hay độ lệch tâm của ellipse, nếu   0 thì ellipse trở thành hình tròn. Áp dụng định lý Pythagora trong tam giác ' vuông tại nơi mà     a ta đƣợc: b 2  a 2 2  a 2  1   2  b là tỉ số giữa bán trục lớn và bán trục nhỏ. a ' Xét tam giác đƣợc tạo bởi các cạnh  ,  ,2a theo định lý cosin ta có:  '2   2  4a 2 2  4a cos  Thay  '  2a   vào phƣơng trình trên và thu gọn lại cuối cùng đƣợc: 2a   2   2  4a 2 2  4a cos   4a 2  4a   2   2  4a 2  4 a cos      1   cos    a 1   2  p Phƣơng trình trên gọi phƣơng trình quỹ đạo Kepler trong hệ tọa độ cực. Ngoài ra, ta sẽ tìm phƣơng trình quỹ đạo trong hệ tọa độ Descartes bằng cách thay x   cos  :  2  x 2  y 2   p  x 2  p 2  x 2 2  2 px Phƣơng trình ellipse trong hệ tọa độ Descartes: p  p 2 2 p  2 2 1   x   y  p    2 2 1   1  1  2   2  2 So sánh phƣơng trình trên với phƣơng trình chuẩn của ellipse: x  x0 2 a2  y2 1 b2 Chúng ta thu đƣợc: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 32 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong b p 1  2  a 1  2 , a p 1  2 2.2.3.3 Phương trình Laplace trong hệ tọa độ trụ Ta có toán tử Laplace trong hệ tọa độ trụ là:  1      2       1  2  2   2  2 0 2 z    (2.1) Khai triển công thức trên: 2 1   2 1  2  2      0    2  2  2 z 2 (2.2) Tách biến phƣơng trình trên ta đƣợc:   , , z   R P Z z  (2.3) Thay (2.3) vào phƣơng trình (2.2): PZ dR d 2 R RZ d 2 P d 2Z  PZ 2  2  RP 0  d d  d 2 dz 2 (2.4) Tiếp tục chia (2.4) cho RPZ : 1 dR 1 d 2 R 1 d 2P 1 d 2Z    0 R d R d 2 P 2 d 2 Z dz 2 1 dR 1 d 2 R 1 d 2P 1 d 2Z     R d R d 2 P 2 d 2 Z dz 2 (2.5) Vế phải phƣơng trình trên phụ thuộc vào  ,  , vế trái phụ thuộc vào z , vậy để phƣơng trình thỏa mãn với mọi giá trị thì cả hai vế bằng hằng số 2 nào đó: 1 d 2Z  2 Z dz 2 (2.6) 1 dR 1 d 2 R 1 d 2P    2 2 2 2 R d R d P d (2.7)  Ở phƣơng trình (2.7) ta nhân cho  : 2  dR  2 d 2 R 1 d 2 P    2  2 R d R d 2 P d 2  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong  dR  2 d 2 R 2 2 1 d 2P       R d R d 2 P d 2 33 (2.8) SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Tƣơng tự nhƣ trên ta có: 1 d 2P  2 2 P d (2.9)  dR  2 d 2 R 2 2    2 2 R d R d (2.10) Phƣơng trình (2.6) đƣợc viết lại thành: d 2Z  2 Z  0 2 dz (2.11) Dạng nghiệm của phƣơng trình (2.11) là: Z z   Ae z  Be z Phƣơng trình (2.9) viết lại thành: 1 d 2P   2P  0 2 P d (2.12) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.12) là: P   C sin  D cos Hàm P  tuần hoàn với chu kỳ 2 nên: P   P  2   2  2n    n  0,1,2,3... Khi đó hàm P  có dạng: P   Cn sinn   Dn cosn  Khi n  0 thì P   Dn  const. Phƣơng trình (2.10) đƣợc viết lại thành:    dR d 2R   2 2  2  2   2 R  0 d d (2.13) Phƣơng trình trên là phƣơng trình Bessel và có nghiệm là hàm Bessel J n   . Cuối cùng ta đƣợc hàm  trong hệ tọa độ trụ là:   ,  , z    J n  C sin n   D cosn Ae z  Be z   n 0 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 34 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU 2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu Trong hệ tọa độ cầu các tọa độ q1 , q2 , q3  là r, ,  với:  Mặt cầu nhận gốc tọa độ làm tâm: r  x 2  y 2  z 2  1 2  const 0r  ,  Nửa mặt nón có đỉnh là gốc tọa độ và nhận 0 z là trục:   arccos x z 2  y2  z2  1  const , 0    2  Nửa mặt phẳng giới hạn bởi 0 z :   arctan y  const x , 0    2 Khi r  0 thì  và  không xác định. Mối quan hệ giữa các tọa độ trên với các tọa độ trọng hệ tọa độ Descartes là: y  r sin  sin  x  r sin  cos  z  r cos  Hình 2.4: Yếu tố diện tích trong hệ tọa độ cầu Mối liên hệ giữa các vector đơn vị: rˆ  sin  cos iˆ  sin  sin ˆj  coskˆ ˆ  cos  cos iˆ  cos  sin ˆj  sin kˆ ˆ   sin iˆ  cos ˆj GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 35 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Tƣơng tự ta cũng có: iˆ  sin  cos rˆ  cos cos ˆ  sin ˆ ˆj  sin  sin rˆ  cos sin ˆ  cos ˆ kˆ  cos rˆ  sin ˆ Vector định vị trong hệ tọa độ cầu:  r  xiˆ  yˆj  zkˆ         r sin  cos  sin  cos rˆ  cos  cos ˆ  sin ˆ  r sin  sin  sin  sin rˆ  cos  sin ˆ  cos ˆ  r cos  cos ˆr  sin ˆ     r sin  cos  sin  cos rˆ  cos  cos ˆ  sin ˆ  r sin  sin  sin  sin rˆ  cos  sin ˆ  cos ˆ  r cos  cos ˆr  sin ˆ   rr   Vậy cuối cùng ta đƣợc:  r  rrˆ Biểu diễn vector tổng quát:  V  Vr rˆ  V ˆ  Vˆ  Vx sin  cos   Vy sin  sin   Vz cos  rˆ  Vx cos cos   Vy cos  sin   Vz sin  ˆ   Vx sin   Vy cos  ˆ Vr  V x sin  cos   V y sin  sin   V z cos    V  V x cos  cos   V y cos  sin   V z sin   V  V x sin   V y cos   Ta có công thức liên hệ của vector V trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cầu dƣới dạng ma trận là: Vr  sin  cos     V    cos  cos  V   sin    sin  sin  cos  sin  cos  cos   Vx     sin   V y   Vz  0 Và ngƣợc lại: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 36 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong cos  sin  Vx  sin  cos     V y   sin  sin  V  cos   z cos  sin   sin   sin   Vr    cos   V   V  0 Các hệ số hi trong hệ tọa độ cầu:  x   y   z  2 hr           sin 2  cos 2   sin 2  sin 2   cos 2   1  hr  1  r   r   r  2 2 2  x   y   z  2 h           r 2 cos 2  cos 2   r 2 cos 2  sin 2   r 2 sin 2   r 2  h  r          2 2 2 2 2 2  x   y   z  h           r 2 sin 2  sin 2   r 2 sin 2  cos 2   r 2 sin 2   hz  r sin           2 Vi phân vector định vị:  dr  rˆdr  ˆrd  ˆr sin d Vì vậy:   ds 2  dr  dr  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2 d 2 Yếu tố diện tích trong hệ tọa độ cầu: dA  d   r 2 sin dd Cho góc   2 ta đƣợc: dA  2r 2 sin d Yếu tố góc khối đƣợc cho bởi: d  dA  sin dd r2 Lấy tích phân trên toàn bộ hình cầu ta đƣợc:  d   2 0  d  sin d  4 0 Yếu tố thể tích: d  r 2 dr sin dd GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 37 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z rˆ ˆ x, y, z  ˆ  y  x, y,0 ˆ rˆ ˆ x Hình 2.5: Các vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu  2.2.2 Các toán tử liên quan đến  trong hệ tọa độ cầu - Toán tử gradient trong hệ tọa độ cong tổng quát:     1  1  1   (q1 , q2 , q3 )  qˆ1  qˆ 2  qˆ3  qˆ1  qˆ 2  qˆ3 s1 s2 s3 h1 q1 h2 q2 h3 q3 Trong hệ tọa độ cầu thì q1 , q2 , q3  là r , ,  , h  1, h  r, hz  r sin  , thay vào công thức tổng quát ta thu đƣợc gradient trong hệ tọa độ cầu:  r ,  ,    rˆ  1  1    ˆ r   r sin   - Toán tử divergence trong hệ tọa độ cong tổng quát:     V q1 , q2 , q3   1 h1h2 h3    V1h2 h3    V2 h3h1    V3h1h2   q2 q3  q1  Vậy trong hệ tọa độ cầu là:    V  1  V h hz    V hz h    Vz h h   h h hz    z  1  2  r sin V    rV  r sin Vr     r sin   r  1   2  sin V   r    2 sin  r sin Vr  r  r    r sin    2     - Toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong tổng quát là: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 38 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong      q1 , q2 , q3   1 h1h2 h3    h2 h3         q1  h1 q1  q2  h3 h1     h1h2        h  q  q h  q 2  3  3 3   2 Vậy toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu là:   2  1    h2 h3     h3 h1     h1h2          h1h2 h3  q1  h1 q1  q2  h2 q2  q3  h3 q3    2    r sin  r  r  1    2   2 sin   r r  r r sin    1 r sin  2    1         sin      1  2       sin      sin   2           sin      - Toán tử curl trong hệ tọa độ cong tổng quát là: qˆ 2 h2 qˆ1h1    V   q 2  1 h1h2 h3 q1 h1V1 h2V2 qˆ 3 h3  q 3 h3V3 Vậy toán tử curl trong hệ tọa độ cầu là: rˆhr    V   1 hr h h r hrVr ˆh   h V ˆh   hV rˆ  1  r sin  r Vr 2 rˆ   rV r sin ˆ   V Ví dụ 2.5: Tính các phép tính sau trong hệ tọa độ cầu:          r,   r , r n ,   r n rˆ, 2 r n , f r ,   f r ,   f r rˆ Giải:   r  rˆ r  rˆ r   r  1  2 sin  r r 3 r r sin    2   r n  rˆ r n  r n nr n 1 r    r n rˆ  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 1  1 sin  r n r 2  2 n  2r n1 r r sin  r 2 39 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  2r n  1   2 r n  1 r   nn  1r n  nn  1r n2 sin  r  r  r 2 r 2 sin   f r  f r   rˆ  rˆ   0 rˆ    f r rˆ   1 r sin  r f r  2 r sin ˆ   0 1  f r  ˆ f r     ˆ   0   r sin     2 Liên hệ các tọa độ giữa ba hệ tọa độ: Hệ tọa độ Descartes Hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ cầu x, y, z   ,  , z  r,  ,   Hệ tọa độ Descartes x, y, z  Hệ tọa độ trụ  ,  , z  x   cos  x  r sin  cos  y   sin  y  r sin  sin  zz z  r cos    r sin    x 2  y 2 2 1    y   arctan   x z  r cos zz Hệ tọa độ cầu r,  ,    r  x2  y2  z 2   arctan   arccos  1  2 r   2  z2 y x x   arctan z 2  y2  z2  1  1 2  z   2 Bảng 2.1: Liên hệ tọa độ giữa ba hệ tọa độ GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 40 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Toán tử vi phân vector trong các hệ tọa độ: Hệ tọa độ Hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ cầu Descartes  ,  , z  r,  ,   x, y, z       ˆ  ˆ   i j k x y z ˆ Vx V y Vz   x y z  1    ˆ  zˆ    z 1  V   1 V  Vz     z  1  1    ˆ r   r sin   rˆ  2   sin  r r sin Vr  r  sin V   1 r sin  2  r    V  2 iˆ  x Vx ˆj  y Vy kˆ  z Vz ˆ zˆ   z  V V z ˆ 1    V  2  2  2   x 2 y 2 z 2 1          1  2  2   2  2 2 z    rˆ rˆ 1  r sin  r Vr 2 1 r sin  2    rV     r sin ˆ   V    2   sin  r  r r          1  2   sin        sin   2  Bảng 2.2: Toán tử vi phân vector trong các hệ tọa độ 2.2.3 Một số vấn đề vật lý được giải trong hệ tọa độ cầu 2.2.3.1 Phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu * Tách biến phƣơng trình Schrodinger : Phƣơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian của hạt có năng lƣợng E là:  2  2    V  E 2m Trong hệ tọa độ cầu toán tử Laplace đƣợc cho bởi:  1     1     1  2  2  2  r 2  2  sin   2 2   r sin   2 r r  r  r sin    GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 41 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Vậy phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu là:  2 2m  1   2   1     1  2  r  sin        2   V  E r  r 2 sin      r 2 sin 2   2   r r  (2.14) Ta có thể tách biến hàm sóng thành:  r, ,   Rr Y  ,  (2.15) Thay lại vào phƣơng trình (2.14) ta đƣợc:  2 2m  Y d  2 dR  R   Y  R  2Y  r  2  sin   2  2   VRY  ERY   r sin 2   2   r dr  dr  r sin    Chia phƣơng trình trên cho RY (2.16) 2 và nhân cho  2mr ta đƣợc: 2   1 d  2 dR  2mr 2  1 1   Y  1  2Y      r  V r  E  sin          0   sin 2   2  2  R dr  dr   Y  sin    Trong phƣơng trình trên ta thấy thành phần trong dấu ngoặc đơn thứ nhất chỉ phụ thuộc vào r , thành phần trong dấu ngoặc đơn thứ hai phụ thuộc vào  , nên chúng chỉ có thể bằng nhau khi cả hai đều không phụ thuộc gì vào các biến số r ,  ,  và cùng bằng một đại lƣợng l l  1 nào đó nhƣ sau:  1 d  2 dR  2mr 2  r   2 V r   E   l l  1    R dr  dr   1 1   Y  1  2Y   sin      l l  1 Y  sin      sin 2   2  (2.17) (2.18) * Hàm cầu Ta nhân (2.18) cho Y sin 2  : sin  Ta tiếp tục tách biến hàm Y   Y   2Y  l l  1Y sin 2   sin        2 (2.19) : Y  ,      Thay vào (2.19) ta đƣợc: 2 1  d sin   d   l l  1sin 2    1 d 2  0  sin  d d      d GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 42 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Hệ thức trên gồm phần trƣớc dấu cộng chỉ phụ thuộc vào  , phần còn lại phụ thuộc vào  . Ta đặt hai phần đó theo m 2 nhƣ sau: 1 d sin   d   l l  1sin 2   m 2 sin    d d  1 d 2  m 2 2  d Dễ dàng tìm đƣợc  : 1 d 2 d 2 2   m   m 2      e im 2 2  d d Vì các tọa độ r , ,  và r, ,  2  đều biểu diễn cùng một điểm trong không gian và hàm sóng phải đơn trị, do đó:   2     Nghĩa là: eim 2   eim  ei 2m  1 Suy ra m phải nhận các trị số nguyên: m  0,1,2,.... Phƣơng trình  :    d  d  2 2 sin  d  sin  d   l l  1sin   m   0    (2.20) Ta thấy rằng: sin   d  d  d d 2    sin   sin    sin   cos  d  d  d d 2    sin 2  d 2 d  sin  cos  2 d d Thay vào (2.20) ta đƣợc: sin 2    d 2 d  sin  cos   l l 2  1 sin 2   m 2   0 2 d d  Đặt x  cos thì: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 43 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong dx   sin d  d  dx  dx dx     sin  d dx d dx d 2   d  dx   dx  d dx     sin    sin     cos  2 d  dx  dx d dx d   cos  dx  d dx dx   sin  dx dx d dx   cos  dx  d dx   sin   sin   dx dx dx   cos  dx  d 2 x   sin 2  dx dx 2 Thay vào phƣơng trình ta đƣợc:  d 2 x  dx   dx    2 2 2  sin 2   sin 2   cos   sin  cos   sin     l l  1 sin   m x   0 2  dx  dx  dx      Chia phƣơng trình trên cho sin 2  : sin 2  d 2 x  dx  dx   2 m2   cos   cos   l l  1  x   0  2  dx dx dx 2 sin      d dxx  2 x ddxx  l l  1 x2  2 2  2  1   m2  x   0 1 x2  Phƣơng trình trên chính là phƣơng trình Legendre mở rộng và nghiệm của phƣơng trình có dạng: x   APl m x  Hay:    APl m cos   Với Pl m là đa thức Legendre mở rộng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  Pl x   1  x m 2  m m 2 d    Pl x   dx  (2.21) Pl x  là đa thức Legendre bậc l . Thông thƣờng ngƣời ta viết đa thức Legendre dƣới dạng vi phân (công thức Rodrigies): GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 44 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Pl x   l   l 1 d  2  x 1 l  2 l!  dx  (2.22) Ví dụ: P1 x   P0 x   1 2     1 d 2 x 1  x 2 dx   2 1 d  2 1 2   x  1  3x  1 4.2  dx  2 P2 x   Và một số đa thức Legendre mở rộng: P20 x     1 2 3x  1 2    d 1  dx  2 3x P21 x   1  x 2 P22 x   1  x 2 1 2   d 1  3x 2  1   3x 1  x 2  dx  2   2    1   3 1  x 2   Nhƣng chúng ta cần là Pl m cos x  nên ta thay x  cos x. Ta có một số hàm Legendre mở rộng trong bảng 2.3 sau: P11  sin  P11  15 sin 2  cos  P10  cos    3 sin  5 cos 2  2 1 P30  3 cos 2   3 cos  2 P31  P22  3 sin 2  P21  3 sin  cos   1 P  3 cos 2   1 2 0 2  Bảng 2.3: Một số hàm Legendre mở rộng Ta thấy rằng Pl m x  có đƣợc nhờ lấy đạo hàm bậc m của Pl x  . Theo (2.22) thì l phải là số nguyên không âm, hơn nữa, nếu m  l thì Pl m  0 . Do đó, Pl m x  chỉ khác không và có nghĩa khi m  l , nói cách khác, với mọi giá trị của l ta sẽ có 2l  1 giá trị m : l  0,1,2,3... ; m  l ,l  1,... 1,0,1,..., l  1, l Phƣơng trình  (2.20) là phƣơng trình vi phân bậc hai nên nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính với mọi giá trị của m và l , nhƣng ở đây sẽ có một nghiệm bị loại bởi vì nó không phải là hàm sóng thông thƣờng. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 45 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Ví dụ 2.6: Chứng minh:        Aln  tan  2    thỏa mãn phƣơng trình  (2.20) khi m  l  0 . Giải: Ta có: d 1 1 A  A. .  2 d 2 tan cos  2 sin  cos  d d d  d   A  0  sin   d  d     khi m  l  0 , vậy    Aln  tan  là nghiệm của phƣơng trình  với:   2  0  A ln 0  A         A ln tan   A    2  Ta có yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cầu là: d 3 r  r 2 sin drdd Vậy xác suất tìm thấy hạt trong không gian khi đó là:  r sin drdd   R r 2 dr  Y sin  dd  1 2 2 2 2 Xác suất tìm thấy hạt giữa hai hình cầu có bán kính r và r  dr là: Rr  r 2 dr  2 2 0   0 với điều kiện Y dd  Rr  r 2 dr 2 2 2    0 (2.23) Y sin dd  1 2 0 Xác suất tìm thấy hạt trong góc khối d là:  Y  ,  d Rr  r 2 dr  Y  ,  d 2 2 2 0  với điều kiện  Rr  r 2 dr  0 0 2 (2.24) Bình thƣờng hàm sóng theo góc ngƣời ta gọi là hàm cầu. Ta có một số hàm cầu đầu tiên trong bảng 2.4 sau: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 46 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 12 12  1  Y    4  2 2 0 0 Y 12 12  3  Y    cos   4   7  Y    16  0 1 0 3 12 1 1 Y 12  5  Y    16  3 cos 2 Y 3 1 3  21  2  i    sin  5 cos   1e  64  2 3  105  2  2 i    sin  cos e  32  3 3  35  3  3 i    sin e  64  Y 12   1 Y 12 1 2 5 cos   3 cos  12  3     sin e i  8  0 2  15  2  i   sin e  32  12  15     sin  cos e i  8  Y Bảng 2.4: Một số hàm cầu đầu tiên * Chuẩn hóa hàm cầu: Theo điều kiện chuẩn hóa ta có: 2    0 2 0 Y sin dd  1 2   A2  d  Pl m  , Pl m  , sin d  1 0 0 (2.25)  Đặt I lm   Pl m  , Pl m  , sin d thì (2.25) trở thành: 0 2A2 I lm  1  A  Chúng ta sẽ đi tìm A bằng cách tính tích phân 1 2I lm I lm  ? Ta có:  I lm   Pl m cos  Pl m cos  sin d 0 (2.26) Đặt: x  cos  dx   sin ,   0  x  1      x  1 (2.27) Thay (2.27) vào (2.26) đƣợc: 1 I lm    Pl m x Pl m x dx 1 Hay: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 47 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong I lm  1  1 Pl m x Pl m x dx (2.28) Thay (2.21) vào (2.28): 1  I lm   1  x 2 1 1    1 x 1 2   m m m 2  d  2   Pl x  1  x dx   m  d     dx   d  d  Pl x    dx  dx  m m 2 m 1 d    Pl x dx  dx  Pl x dx Đặt: m  2 m  d  u  1  x    Pl x    dx   m 1 d d   dv  Pl x dx    dx  dx   m   d  2 m  d  du   1  x   Pl x  dx   dx       d  m 1 v    Pl x    dx   nên  Khi đó áp dụng tích phân từng phần ta đƣợc:  I  1 x m l m  2 m d  d    Pl x .   dx   dx  1  d  0   1 dx   d      1 dx   1 m 1 m 1 Pl x  d  2  1 x dx   d  Pl x   1  x 2 dx    1 m 1 m  d  Pl x      1 dx   1 1 m m 1 d  Pl x   1  x 2 dx    m m  d    Pl x dx  dx   m  d    Pl x dx  dx   m  d    Pl x dx  dx   (2.29) m d Ta có   Pl x  là nghiệm của phƣơng trình Legendre:  dx  1  x  dxd  m 2 2   d  Pl x   2 x m  1   dx  m 1 m d   l l  1  m  m  1  Pl x   0  dx  Thay m bằng m  1 thì phƣơng trình trên chuyển thành: 1  x  dxd  m 1 2     d   1 x    dx  2 m 1 d  Pl x   2 x m    dx  d  Pl x   2 x m    dx  Nhân hai vế phƣơng trình với 1  x 2  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong m 1 m m d   l l  1  m  m  1   dx  d   l  m l  m  1   dx  m 1 m 1 Pl x   0 Pl x   0 ta đƣợc: 48 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp 1  x  2 m d     dx  m 1 Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  Pl x   2 x m 1  x 2  m 1 m  d  2   Pl x   l  m l  m  1 1  x  dx   m 1 d     dx  m 1 Pl x   0 Hay: d  2  1 x dx    m m  d  2   Pl x   l  m l  m  1 1  x  dx     m 1 d     dx  m 1 Pl x   0 Thay vào (2.29):  I lm  l  m l  m  1 1  x 2 1 1  m 1 d     dx  m 1 d  Pl x    dx  m 1 Pl x dx I lm  l  m l  m  1I lm1 I lm1  l  m  1l   m  1  1I lm2  l  m  1l  m  2I lm2 I lm2  l  m  2l   m  2  1I lm3  l  m  2l  m  3I lm3 I l1  l  1l  Pl x Pl x dx  l  1lI l0 1 1 Vậy: I lm  l  m l  m  1l  m  1l  m  2l  m  2l  m  3...l  1lI l0 Với: l  m l  m  1l  m  2...l  1  l  m ! l! l  m  1l  m  2l  m  3...l  l! l  m ! Vậy: I lm  l  m ! I l  m ! 0 l Ngoài ra, ta cũng có: I l0  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 1  1 Pl x Pl x dx 49 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Thay Pl x   Giải tích vector trong hệ tọa độ cong l   l 1  d  2   x  1 vào tích phân trên: l 2 l!  dx  l  l    l d  l d  2 2 I   x  1   x  1 dx 2 1  l  dx   dx  2 l! 1 0 l 1   l l 1 l  d  l d  2 2  x  1 d x  1       dx 2  2l l! 1  dx   dx   1  1      Tích phân từng phần l ta đƣợc: I  0 l  1l  2 l!  2 l 1  l 2 l   1 2l !  x 2 l!  1 2 l   d 2l x 2  1 x 1 dx 2l 1 l  l  1 dx 2 1 Mặt khác: x 2   1   1 1  x  1  x  l  12l l l l 1 Nên: I10  2l ! 1  x  1  x  dx 2 l!  l 1 2 l l 1 Đặt: I   1  x  1  x  dx   1  x  1 l 1 l 1 l 1 d 1  x  l 1 l 1 Chọn: u  1  x l  l 1  d 1  x  dv   l 1  du  d 1  x l   1  x l 1 v   l 1  nên Áp dụng tích phân từng phần: 1  x l 1 I  1  x  1 1 l l 1 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 1  1 50 1  x l 1 d 1  x l l 1 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 1 1  x  l l d 1  x    1 l 1 l 1 1 l 1  x l 1 1  x l 1 dx    1 l 1 l 1  Tiếp tục tích phân từng phần l  1 : I l l  1 l  2 1  l  1 l  2 l  3 2l  1  x  1 2l 1 dx l! 1 1  x 2l dx l! 1 2l    1  x dx  2l ! 1 2l ! 1 l! 2 Đặt: t 1  x  dt  dx Suy ra: 2 2 2    l! 1 l! 2 2l l! 2 2l 1 2l 1  x  dx  I t dt  2l ! 1 2l ! 0 2l ! 2l  1 Nên: I 0 1 2l ! 2  2l ! l! 2 2l 1 2  I  2 2 2 l l 2 l! 2 l! 2l! 2l  1 2l  1 I lm  l  m ! I l  m ! 0 l  l  m ! 2 l  m ! 2l  1 Suy ra: A 1 2I lm  l  m !2l  1 4 l  m ! Cuối cùng ta thu đƣợc: Yl m  ,     2l  1 l  m !eim P m cos   4 l  m ! l m Với    1 khi m  0 và   1 khi m  0 . *Hàm xuyên tâm GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 51 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Các hàm góc Yl m  ,  là nhƣ nhau đối với mọi thế có đối xứng xuyên tâm U r , còn hàm tia Rr  phụ thuộc vào hàm cụ thể của hàm thế trong mỗi bài toán. Ta có phƣơng trình: d  2 dR  2mr 2 V r   E R  l l  1R r  dr  dr   2 (2.30) Ta sẽ đổi biến số để phƣơng trình trở nên đơn giản: ur   rRr  Với u R r du u dR dr  dr r2 r , d  2 dR  d 2u r r 2 dr  dr  dr , (2.31) Thay (2.31) vào phƣơng trình (2.30) ta đƣợc:   2 d 2u   2 l l  1  V   u  Eu 2m dr 2  2m r 2  (2.32) Phƣơng trình trên đƣợc gọi là phƣơng trình bán kính, nó tƣơng tự phƣơng trình Schrodinger một chiều với thế năng hiệu dụng: Veff  V   2 l l  1 2m r 2 Rõ ràng khi hạt chuyển động trong trƣờng xuyên tâm, thế năng của nó đƣợc bổ sung thêm 2 một lƣợng  l l 2 1 , gọi là năng lƣợng li tâm, nó có xu hƣớng ném hạt ra ngoài (đi từ tâm 2m r lực), giống nhƣ lực li tâm trong cơ học cổ điển, ta có xác suất tìm thấy hạt:   0 R r 2 dr  1 2 Ví dụ 2.7: Chuyển động của hạt trong giếng thế vuông góc đối xứng cầu. - Xét một giếng cầu vô hạn: 0, V r    , nếu ra ra Hàm sóng bên ngoài giếng thế bằng không, phƣơng trình bán kính bên trong giếng thế đƣợc cho nhƣ sau: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 52 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong d 2u  l l  1 2    k u dr 2  r 2  (2.33) Nhƣ bình thƣờng chúng ta đặt: 2mE  k (2.34) Để đơn giản ta cho l  0 và điều kiện biên u a   0 , phƣơng trình (2.33) trở thành: d 2u  k 2u  u r   A sin kr  B coskr dr 2 Nhƣng thực tế hàm sóng xuyên tâm của chúng ta là Rr   u r  , và  coskr   khi r  0 r  r  Vì vậy chúng ta phải chọn B  0. Từ điều kiện biên ua   0 , ta có: Asinka  0  sinka  0  ka  n với n  0,1,2,3,..... Thay k vào (2.34) đƣợc: En 0  n 2 2  2 2ma 2 giống nhƣ công thức tính E trong giếng thế vuông góc sâu vô hạn. Ngoài ra nghiệm của phƣơng trình (2.33) đƣợc biểu diễn nhƣ sau: ur   Arjl kr  Brnl kr (2.35) Với jl x  là hàm cầu Bessel bậc l , và nl x  là hàm cầu Neumann bậc l , đƣợc định nghĩa nhƣ sau: l l l  1 d  sin x jl x    x     x dx  x l  1 d  cos x nl x    x     x dx  x , Ví dụ: j0  x   j1 x    x  sin x x 1 d  sin x  sin x cos x   2  x dx  x  x x GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong n0 x    , , cos x x n1 x    x  53 1 d  cos x  cos x sin x   2  x dx  x  x x SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 3 Các giá trị tiệm cận của hàm Besse và hàm Neumann khi x rất nhỏ ( sin x  x  x  x5  ....., 3! cos x  1  5! x2 x4 ):  2 4 jl  x   xl 1.3.5...2l  1 nl x    , 1.3.5...2l  1 x l 1 Nên suy ra: j0  x   1 , n0  x   1 x , j1 x   x 3 , n0 x    1 x2 Ta có một số hàm Bessel và Neumann đầu tiên trong bảng 2.3: sin x x sin x cos x j1  2  x x 3  3 1 j2   3   sin x  2 cos x x x x cos x x cos x sin x n1   2  x x 3  3 1 n2   3   cos x  2 sin x x x x j0  n0   Bảng 2.3: Một số hàm Bessel và Neumann Đồ thị của một số hàm Bessel và Neumann đầu tiên: Hình 2.6: Đồ thị hàm Bessel Hình 2.7: Đồ thị hàm Neumann Ta thấy rằng hai hằng số A, B trong (2.35) là tùy ý đƣợc xác định từ điều kiện biên và điều kiện chuẩn hóa. Nếu chuyển động của hạt có thể xảy ra trong toàn miền kể cả x  0 thì khi GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 54 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong đó giá trị trong hàm Bessel là hữu hạn nhƣng trong hàm Neumann thì tiến tới vô cùng, do đó ta phải cho B  0, điều này dẫn đến: Rr   Ajl kr Nếu hạt chuyển động tự do ở bên ngoài hình cầu bán kính r thì cả hai hằng số A, B đều khác không và tỷ số giữa chúng đƣợc xác định từ điều kiện về tính liên tục của  và  trên mặt r cầu bán kính r khi chuyển từ miền ngoài vào miền trong, tại đó có các lực tác dụng. Đối chiếu với điều kiện biên Ra   0 đƣợc: jl ka  0 Nếu ký hiệu  nl là nghiệm của hàm cầu Bessel cấp l (trong đó n  1,2..... ) thì chúng ta có đƣợc các giá trị gián đoạn là:. k 1  nl a 1 a Thay k   nl vào công thức tính năng lƣợng ta đƣợc: Enl  2  nl2 2ma Và hàm sóng là:   nl r  m Yl  ,   a   nml r , ,   Anl jl  l l  1  2l l  1 Ta chú ý rằng, số hạng tƣơng ứng với thế năng hiệu dụng . Giá trị V  eff r2 2mr 2 2 của r khi thế năng bằng động năng là:  2l l  1  2 k 2 1  r  l l  1  rl 2 2mr 2m k Với r  rl , hàm sóng Rr  giảm theo quy luật hàm số mũ về phía các giá trị r nhỏ. Với r  rl thì ta có thể bỏ qua thế năng hiệu dụng và miền này đƣợc gọi là miền chuyển động cho phép cổ điển. Nhƣ vậy khi hạt chuyển động tự do trong trạng thái có số lƣợng tử l thì xác suất tìm thấy hạt ở trong miền không gian tại đó r  rl sẽ rất nhỏ. - Đối với giếng cầu hữu hạn: U GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 55 0 a r Mai Thị Thùy Vân SVTH: Luận văn tốt nghiệp  U 0 , V r    0, Giải tích vector trong hệ tọa độ cong ra ra Tƣơng tác giữa các hạt cho bởi thế trên đƣợc gọi là tƣơng tác tầm ngắn, nó thể hiện những lực tƣơng tác là đáng kể trong một khoảng cách a nào đó rất nhỏ kể từ tâm và giảm nhanh tới không ngoài khoảng trên. Ta có phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu:  d 2 u 2m  2 E  U 0 u  0, r  a   dr 2   2  d u  2m Eu  0, r  a  2  dr 2 2.36 2.37  Phƣơng trình (2.36) có nghiệm dạng: ur   Asink1r   B cosk1r  k1  , 2mE  U 0   Nghiệm trên phải hữu hạn khi r  0 nên cuối cùng ta có nghiệm: ur   A sink1r  Phƣơng trình (2.37) có nghiệm dạng: ur   Ce k2r  De k2r , k 2  2m E  Nghiệm trên phải bằng không khi r   nên cuối cùng ta có nghiệm: ur   De k2r ' Tại r  a ta có u,u :  A sin k1a   De k2a  k1 A cosk1a   k 2 Dek2a Lấy u ta đƣợc: u' k1ctg k1a   k2 Đặt   k1a  0 ,   k 2 a  0 và nhân phƣơng trình trên với a đƣợc: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 56 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong   ctg ,  2  2  2mU 0 a 2 2 (2.38) Nghiệm của phƣơng trình trên xác định các mức năng lƣợng của hạt trong giếng và cũng là giao điểm của đƣờng cong   ctg với đƣờng tròn bán kính a 2mU 0 .  Hình 2.8: Nghiệm đồ thị của phƣơng trình   ctg và  2   2  2mU20 a  Trên hình vẽ biểu diễn các đƣờng cong   ctg và ba đƣờng tròn. 2 Ứng với đƣờng tròn 1 ta có bất đẳng thức sau: 2mU 0 a 2  2  2 4 Quan sát đồ thị ta thấy hai đƣờng không cắt nhau và do đó không có trạng thái dừng với năng lƣợng âm hay nói cách khác hạt không bị giữ trong giếng và có thể đi ra xa vô cùng, không có các trạng thái liên kết. Ứng với đƣờng tròn 2 ta có bất đẳng thức sau: 2 4  2mU 0 a 2 9 2  2 4 Trong trƣờng hợp này, ta thấy có một giao điểm vậy là có một trạng thái liên kết ứng với năng lƣợng âm. Đây là điểm cắt đầu tiên của hai đƣờng, ta xác định đƣợc độ sâu tối thiểu của giếng để có thể giữ đƣợc hạt: 2 4 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong  2mU 0 a 2  2 2  2 2  U   U  0 0 min 2 8ma 2 8ma 2 57 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Và mức năng lƣợng đầu tiên trong giếng thế có độ sâu tối thiểu đƣợc xác định theo công thức: k2  2m E   2 k2  2 2  2m 2ma 2 2 E  Ứng với đƣờng cong 3, lúc này độ sâu của giếng đã tăng lên, sẽ xuất hiện thêm điểm cắt tức là có thêm nhiều trạng thái liên kết và mức năng lƣợng đầu tiên cũng sẽ giảm. 2.2.3.2 Nguyên tử Hydro e electron  e  proton Hình 2.9: Nguyên tử Hydro Nguyên tử hydro gồm hạt nhân là proton và một electron chuyển động tròn xung quanh nó. Hai hạt này tƣơng tác với nhau bởi lực hút Coulom, với thế năng: V r    e2 1 4 0 r Phân bố xác suất của điện tử theo các góc đã đƣợc xác định ở trên qua các hàm cầu. Ở đây ta sẽ tìm phân bố xác suất của điện tử dọc theo bán kính đƣợc biểu thị qua hàm xuyên tâm:   2 d 2u  e 2 1  2 l l  1    u  Eu 2m dr 2  4 0 r 2m r 2  (2.39) Chúng ta chỉ quan tâm đến chuyển động hữu hạn của điện tử quanh hạt nhân, nghĩa là trƣờng hợp E  0 . Ở trạng thái cơ bản năng lƣợng E  0, có thể đặt:   2mE  Ta chia phƣơng trình (2.39) cho E thì thu đƣợc: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 58 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 1 d 2u  me2 1 l l  1  1   u  2 2 2 2   dr  2 0   r  r   (2.40) Đặt :   r và  0  me2 2 0  2 Vì vậy: d 2u   0 l l  1  1  u  d 2   2  (2.41) Chúng ta xét dạng tiệm cận của u r  trên những khoảng cách lớn, khi    thì phƣơng trình (2.39) đƣợc viết lại nhƣ sau: d 2u u d 2 Nghiệm của phƣơng trình trên có dạng: u   Ae    Be   Nhƣng e   khi    vì vậy ta chọn B  0 , rõ ràng: u   Ae   Mặt khác, khi   0 thì chịu tác dụng của lực ly tâm: d 2u l l  1  u d 2 2 (2.42) Nghiệm phƣơng trình trên có dạng: u   C l 1  D l l Nhƣng    khi   0 vì thế D  0 , do đó: u    C l 1 Do đó ta có thể biểu diễn u   dƣới dạng: u    l 1e     du d  l  1 l e       l 1   e       l 1e   d d GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 59 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong   du d    l e   l  1      d d   Và : d 2u l l  1 d d 2  l        e  2 l  2      2 l  1         d d 2 d 2   Thay vào phƣơng trình (2.42) cuối cùng ta đƣợc:  d 2 d  2l  1      0  2l  1  0 2 d d (2.43) Phƣơng trình trên có thể giải bằng cách tìm nghiệm thông qua việc xác định các hệ số của một chuỗi lũy thừa:       a j  j (2.44) j 0 Vấn đề của chúng là là đi tính các hệ số a0 , a1 , a2 ,... . Ta tính các đạo hàm:  d    ja j  j 1   j  1a j 1   j d j 0 j 0 Thay j  j  1 ta đƣợc: d     j  1a j 1   j d j 0 Và: d 2    j  j  1a j 1  j 1 2 d j 0 Thay vào phƣơng trình (2.40) ta đƣợc:   j j  1a j 0 j 1    j 0 j 0 j 0  j  2l  1  j  1a j 1  j  2 ja j  j   p0  2l  1 a j  j  0 Để phƣơng trình trên nghiệm đúng với mọi  thì:  j  j  1a j 1  2l  1 j  1a j 1  2 ja j  j   p0  2l  1a j  0 j 0 Hay GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 60 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong a j 1  2 j  l  1   0 a  j  1 j  2l  2 j a j 1  2j 2 aj  aj j  j  1 j 1 Khi j   thì: Vì thế aj  2j A j! Thay a j vào (2.44) ta đƣợc:  2j j     A   Ae 2  j 0 j! Và do đó: u    l 1e      A l 1e   e 2   A l 1e  Để hàm u r  thỏa mãn điều kiện hữu hạn ở mọi khoảng tùy ý từ tâm trƣờng lực, chuỗi (2.44) phải đƣợc ngắt ở một số hạng nào đấy thành một đa thức bậc j. Nhƣ vậy từ một số jmax nào đó, a jmax  0 nhƣng : a jmax 1  0  2 jmax  l  1   0  0 Ta định nghĩa: n  jmax  l  1 với n đƣợc gọi là số lƣợng tử chính, ta có:  0  2n Từ  0 có thể xác định đƣợc E : E  2 2 me4  2 2 2 2 2m 8  0   0 Thay  02  4n 2 vào biểu thức trên ta thu đƣợc công thức tổng quát tính năng lƣợng là:  m  e2 En    2   2  4 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong    2  1 E  2  21 n  n 61 với n  1,2,3... (2.45) SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Kết hợp  0  2n và  0  me2 ta đƣợc: 2 0  2  me2  1 1      2   2 0   n an 2 với a  4 02  0.529 10 10 m gọi là bán kính Bohr. me Rõ ràng hàm sóng của nguyên tử hydro phụ thuộc vào ba số lƣợng tử n, l , m :  nlm r, ,   Rnl r Yl m  ,  Với: 1 Rnl r    l 1e     r Và    là một đa thức có bậc jmax  n  l  1 , hệ số đƣợc xác định theo công thức truy hồi: a j 1  2 j  l  1  n  a  j  1 j  2l  2 j (2.46) Ở trạng thái cơ bản (trạng thái năng lƣợng thấp nhất) ứng với trƣờng hợp n  1 , ta thu đƣợc năng lƣợng là một hằng số:  m  e2 2     13.6eV E1    2   2  4 0   Rõ ràng năng lƣợng liên kết của nguyên tử hydro là 13.6eV, hàm sóng lúc này là l  0, m  0 :  100r, ,   R10 r Y00  ,  Với j  0, a1  0,    const  a0 : R10 r   r r 1 l 1   1 r  a a0  a  e     a0 e  e r r na a Chuẩn hóa hàm xuyên tâm với R10 :   0 2 R10 r 2 dr   a0 a 2 2 Cuối cùng ta thu đƣợc hàm sóng  Y00   GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong   0 e 2 r a r 2 dr  a0 2 a 2  1  a0  4 a 1   là: 4  62 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  100 r , ,   1 a 3 e  r a Khi n  2 ta có năng lƣợng: E2   13.6eV  3.4eV 4 đây là trạng thái kích thích thứ nhất, trong trƣờng hợp n  2 này, ta thu đƣợc hai giá trị của l đó là:  j  0  l  2 1  0  1  m  0   j  1  l  2  1  1  0  m  1,0,1 Vì vậy sẽ có 4 trạng thái khác nhau sử dụng năng lƣợng này. Nếu l  0 thì theo (2.43) thu đƣợc: a1  a0  j  0 a2  0 j  1 và Khi đó: 1      a j  j a0  0  a1  1  a0  0  a0  1  a0 1    j 0 Và do đó: R20 r   a  1  1 r  r   r   e     a0 1  e 2 a  0 1  e 2 a r r 2 a  2a  2a  2 a  r Chuẩn hóa hàm xuyên tâm với R10 (đặt   0 2 R20 r r  t  dr  adt ): a 2 a02 3   z   z 2 a02 a   2 a02 a 1 4  z 2 3 r dr  2 a  1   e z dz   a0   z  z  z e dz   0 0 4 4  4 4a a  2  2 Tƣơng tự nếu l  0 tìm đƣợc     const và: R21r   r r  a 1 2  1 r 2  2a  e     a0 e  02 re 2 a 2 r r 4a 4a Với mọi n , các giá trị có thể có của l là: l  0,1,2,..., n  1 Với mỗi l , có 2l  1 giá trị của m , vậy tổng các giá trị của các mức năng lƣợng E n là: n 1 d n    2l  1  n 2 l 0 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 63 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Đa thức    trong toán học đƣợc biểu diễn nhƣ sau:     L2nll11 2  Với: p p q p L x    1  d  Lq x   dx  p là đa thức Laguerre mở rộng, và: q  d  Lq x   e x   e  x x q  dx   Là đa thức Laguerre bậc q . Cuối cùng ta thu đƣợc hàm sóng của nguyên tử hydro trong hệ tọa độ cầu là:  2  n  l  1! na  2r  2l 1  2r  m  nlm    e   Lnl 1  Yl  ,  3  na  2nn  l !  na   na  3 r l Một số đa thức Laguerre và đa thức Laguerre mở rộng trong hai bảng sau: L0  1 L1   x  1 L2  x 2  4 x  2 L3   x 3  9 x 2  18 x  6 L4  x 4  16 x 3  72 x 2  96 x  24 L5   x 5  25 x 4  200 x 3  600 x 2  600 x  120 L6  x 6  36 x 5  450 x 4  2400 x 3  5400 x 2  4320 x  720 Bảng 2.4: Một số đa thức Laguerre L00  1 L20  2 L10   x  1 L12  6 x  18 L02  x 2  4 x  2 L22  12 x 2  96 x  144 L10  1 L30  6 L11  2 x  4 L13  24 x  96 L12  3 x 2  18 x  18 L32  60 x 2  600 x  1200 Bảng 2.5: Một số đa thức Laguerre mở rộng GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 64 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 2.2.3.3 Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu Phƣơng trình Laplace:  r , ,   1   2  r r 2 r  r 1      2  sin    r sin    1  2   0  2 2 2  r sin   (2.47) Tách biến phƣơng trình trên thành:  r,  ,    Rr    Thay vào phƣơng trình (2.47) rồi chia cho R và nhân cho r 2 đƣợc: 1 d  2 dR  1 d  d  1 d 2 0 r   sin   R dr  dr   sin  d  d   sin 2  d 2 (2.48) Trong phƣơng trình trên ta thấy số hạng thứ nhất phụ thuộc vào r , số hạng thứ hai phụ thuộc vào  ,  nên chúng chỉ có thể bằng nhau khi cả hai đều không phụ thuộc gì vào các biến số r ,  ,  , và cùng bằng một hằng số: 1 d  2 dR  r   l l  1 R dr  dr  (2.49) 1 d  d  1 d 2  l l  1  sin    sin  d  d   sin 2  d 2 (2.50) Phƣơng trình (2.49) đƣợc viết lại nhƣ sau: 1 d  2 d 2R  r   l l  1  0 R dr  dr 2  (2.51) Đặt: u r   rRr   d  2 dR  d 2u r r 2 dr  dr  dr Phƣơng trình (2.51) trở thành: d 2 u l l  1  u0 dr 2 r2 (2.52) Dạng nghiệm của phƣơng trình trên: u r   Ar l 1  Br l  Rr   Ar l  B r l 1 (2.53) Nhân phƣơng trình (2.50) cho sin 2  : GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 65 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  sin  d  d  1 d 2 2    sin   l l  1 sin       d   d 2  0 d     (2.54) Tách phƣơng trình trên thành: 1 d 2  m 2 2  d (2.55) sin  d  d  2 2  sin    l l  1sin   m  d  d  (2.56) Nghiệm của phƣơng trình (2.55) là:    C cos m  D sin m Nhân phƣơng trình (2.56) cho  :    d  d  2 2 sin  d  sin  d   l l  1sin   m   0    (2.57) Phƣơng trình trên và phƣơng trình (2.20) là nhƣ nhau và ta đã tìm đƣợc nghiệm là:    FPl m cos  Vậy cuối cùng ta thu đƣợc nghiệm là:    r ,  ,     Ar l  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong B  C cos m  D sin m FPl m cos   l 1  r  66 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong CHƯƠNG 3: BÀI TẬP Bài 1: Sử dụng hệ tọa độ trụ tính diện tích của một mặt cong của hình trụ có bán kính r  2m ,  2 chiều cao h  5m,    . 6 3 Giải: Ta có phần tử diện tích là: dS  rddz Vậy: 2 3 5 A  2 dz  d 0 6  2.5.  2    5 m 2   Bài 2: Cho điểm P 2,6,3 và vector A  yiˆ  x  z  ˆj , biểu diễn P và A trong hệ tọa độ trụ  và hệ tọa độ cầu. Giá trị của P và A trong hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. Giải  - Biểu diễn P và A : Điểm P : x  2, y  6, z  3   x 2  y 2  4  36  40   cot an y 6  cot an  108,430 x 2 z 3 r x2  y2  z 2  4  36  9  7 x2  y2 40  cot an  64,62 0 z 3   cot an Suy ra:    P 2,6,3  P 6,32,108,430 ,3  P 7,64,620 ,108,430   Trong hệ tọa độ Descartes, A tại P :  A  6iˆ  ˆj GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 67 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Ax  y, Ay  x  z, Az  0 Trong hệ tọa độ trụ: sin  V  cos     V    sin  V  0  z cos  0 0  y  0  x  z  1  0   A  y cos   x  z sin     A   y sin   x  z cos    Az  0 Mặt khác x   cos  , y   sin  , nên:  A  A , A , Az    cos  sin    cos   z sin  ˆ    sin 2    cos   z cos  ˆ   Tại điểm P ta có:   40 , tan  3 , cos   2 40 , sin   6 40   2 6 2 36  2   6   2  A   40     40   3    40   3   ˆ   40  ˆ 40  40 40  40 40  40   40     6 38 ˆ  ˆ 40 40 Tƣơng tự trong hệ tọa độ cầu ta có:  Ar  sin  cos      A    cos  cos   A   sin    sin  sin  cos  sin  cos  cos    y   sin    x  z   0  0  Ar  y sin  cos   x  z sin  sin     A  y cos  cos   x  z cos  sin   A   y sin   x  z cos    Mặt khác x  rsincos , y  rsinsin , nên:   A  Ar , A , A   r sin 2  cos  sin   sin  cos   cos  sin  sin  rˆ  rsin  cos  sin  cos   sin  cos   cos cos sin  ˆ  r sin  sin 2   sin  cos   cos cos  ˆ Tại điểm P: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 68 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong r  7, tan   3, cos   tan  2 , sin   40 6 40 40 3 40 , cos   , sin   3 7 7  40  2  40  2 3  40 6   40 3 6 6 2 A  7               rˆ  7  40 7  7 40   7 7 40 40  49 40 40  7   40  2 3  3 6  ˆ 40 36  40  2 3   2         7           ˆ  7 40 7  7 40  40 7  40    7 40  7  6 18 ˆ 38 rˆ   ˆ 7 7 40 40  Độ lớn vector A trong ba hệ tọa độ là: Ax, y, z   A , , z   Ar , ,   6,083 Bài 3:    a) Cho điểm P 6 , , 2  trong hệ tọa độ trụ. Hãy biểu diễn điểm này trong hệ tọa độ cầu. 4    b) Cho trƣờng vector A  yziˆ  yˆj  xz 2 kˆ trong hệ tọa độ trụ. Tính divergence trong hệ tọa độ trụ và Descartes sau đó so sánh kết quả. Giải: Ta có: z  r cos r   2  z2  6  2  8  2 2 z  r cos   cos    z 2     r 2 2 3  4    Vậy tọa độ điểm P trong hệ tọa độ cầu là P 2 2 , ,  3 4  b) Điểm A trong hệ tọa độ trụ:  A  z sin  cos ˆ  sin ˆ    sin  sin ˆ  cos ˆ   z 2  cos zˆ GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 69 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong      z sin  cos    sin 2  ˆ  z sin 2   sin  cos  ˆ  z 2  cos zˆ  divA trong hệ tọa độ trụ là:  1  V   1 V  Vz  A      z  2 z sin  cos   2 sin 2   2 z sin  cos   cos 2   sin 2   2 z cos   2 z cos   1  divA trong hệ tọa độ Descartes là:  A Ay Az  A  x    2 zx  1 x y z mà x   cos   Vậy kết quả divA trong hai hệ tọa độ là nhƣ nhau. Bài 4: Một hạt có khối lƣợng m định xứ trong giếng cầu hữu hạn: 0, V r    V0 , ra ra Tìm năng lƣợng ở trạng thái cơ bản với l  0 . Chứng minh rằng không có trạng thái liên kết 2 2 nếu V0 a 2    . 8m Giải: Trƣờng hợp r  a ta có: ur   A sinkr k với 2mE  (3.1) Trƣờng hợp r  al  0,V  V0  : d 2 u 2m  2 V0  E u  2u 2 dr  với  2mV0  E   ur   Ce r  Der Khi r   ta cho C  0 nên: ur   Der (3.2) Từ (3.1) và (3.2) ta đƣợc (tại r  a ): GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 70 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong u  A sin ka  De a u ,  Ak coska   De a , Lấy u : u k cot anka     cot anka   k Đặt ka  z , suy ra:  k Tiếp tục đặt z 0  2mV0 a   2mV0 a 2  z2 2  z đƣợc:  cot anz  z02 1 z2 Ta thấy phƣơng trình (3.3) vô nghiệm khi z 0   2 (3.3) hay: 2mV0 a 2  2  2 2 2   V a  0 4 8m 2 2 2 Vậy không có năng lƣợng khi V0 a 2    . 8m Năng lƣợng giữa z   2 và z   : E GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 2k 2a2 2 z2  2 2  2 2    E  0 2ma 2 2ma 2 8ma 2 2ma 2 71 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  cot anz z 02 1 z2 z0  3 2  2 2 5 2 z Hình 3.1 Bài 5: Một hành tinh đang quay trên trục của nó (hình dạng cầu của hành tinh bị lệch nhƣ hình 3.2). Vị trí trên bề mặt của nó đƣợc cho bởi: R ,   R0  P2 cos  Quan sát thấy rằng, đối với bậc nhất của  thì biến dạng này không làm thay đổi khối lƣợng của nó. Giả sử hành tinh có mật độ khối lƣợng là  0 . Tìm thế năng hấp dẫn bên ngoài của hành tinh này. R0  R Hình 3.2 Giải: Thế năng hấp dẫn tuân theo phƣơng trình Poisson:  2  4G x  GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 72 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Với G là hằng số hấp dẫn. Mở rộng  nhƣ một chuỗi lũy thừa theo  ta đƣợc:  r,   0 r,   1 r ,   ... Chia khối lƣợng hấp dẫn của hành tinh thành một quả cầu hoàn chỉnh với thế năng bên ngoài đƣợc cho bởi: 4 3 G , r  0,ext r ,    R03  0  r  R0 Và một vỏ cầu mỏng có khối lƣợng và gây ra thế năng là:      0P2 cos  1,int r,   Ar 2 P2 cos  , r  R0 (3.4) 1,ext r ,    B , r  R0 (3.5) 1 P2 cos   r3 Tại mặt cầu thì 1,int  1,ext và: 1,ext r  1,int r  4G   (3.6) Từ (3.4) (3.5), (3.6) ta tìm đƣợc: 4 5 A  BR 5 và B   G 0 R04 Cuối cùng thu đƣợc kết quả: 4 3 1 r  r , B   G 0 R03   P cos   4 G 0 R04 2 3  M 2 5 r     , r  R0 Bài 6: Hai bán cầu bán kính a có tâm cùng đặt tại gốc tọa độ (nhƣ hình 3.3). Một bán cầu có điện thế trên mặt là  0 , bán cầu còn lại không tích điện. Xác định điện thế bên trong và bên ngoài quả cầu. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 73 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z a   0  r y   0 x a Hình 3.3 Giải: Ta chọn bán cầu nằm ở trên là bán cầu có điện thế  0 . Khi đó điều kiện biên là:  0,  a, ,    0, 0  cos  1  1  cos  0 0   2  2   (3.7) Do tính đối xứng nên điện thế  không phụ thuộc vào biến  suy ra m  0 :   l 0   r ,      Al r l  Bl   Pl cos   r l 1  Ở bên trong hình cầu, tại r  0 nghiệm phải hữu hạn, do đó ta chọn Bl  0 với mọi l . Điều kiện biên tại r  a có:   a,     Al a l Pl cos   l 0 Dựa vào công thức tính hệ số của đa thức Legendre đƣợc: 2l  1 1  a,  ,  Pl  d 2 1 2l  1 1   0  Pl  d 0 2 Al a l  với   cos  Tích phân đa thức Legendre phụ thuộc vào l nên ta có các kết quả là: A0  0 2 , A1  3 0 , 4a A2  0, A3   7 0 16a 3 ,… Điện thế bên trong quả cầu là: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 74 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  a,    0   3r 7r 3   1  P cos   P cos    ... 1  3 3 2  2a 8a  Ở bên ngoài quả cầu, khi r   nghiệm phải hữu hạn, nên lúc này ta chọn Al  0 với mọi l . Điều kiện biên tại r  a :   a,     l 0 Bl Pl cos   a l 1 Dựa vào công thức tính hệ số của đa thức Legendre đƣợc: Bl 2l  1 1   0  Pl  d l 1 0 2 a với   cos  Điện thế ở bên ngoài quả cầu là:  r ,    a 0 2r  3a  7a 3   1  P cos   P3 cos    ... 1  2r 3 8r   Với kết quả trên, ta lấy ví dụ nhƣ trên đƣờng xích đạo của quả cầu sẽ có điện thế là:      a,   0  2 2 Bài 7: Một xilanh rắn hình trụ (bán vô hạn nhƣ hình 3.4) bán kính a , nhiệt độ thành bên là 0 0 C , nhiệt độ dƣới đáy là T0 . Tìm phân bố nhiệt độ bên trong xi lanh. z u0 u0 y u  T0 x Hình 3.4 Giải: GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 75 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Sự phân bố nhiệt độ u , , z  thỏa mãn phƣơng trình Laplace và các điều kiện biên. Hình trụ đối xứng qua trục z và cao vô hạn theo chiều dƣơng, do dó u sẽ không phụ thuộc vào biến  (suy ra m  0 ). Bên cạnh đó u phải hữu hạn tại mọi điểm trên hình trụ nên A  0 , khi đó nghiệm tổng quát là:  u  , z    Bn J 0  e z n 1 Điều kiện biên tiếp theo ta có là u ,0  T0  :  u  ,0   Bn J 0    T0 n 0 Hệ số Bn đƣợc tính theo công thức: Bn  Với tích phân  a 0 a 2T0 J 0  d a 2 J12 a  0 a 1 1  J 0  d   J1 a   aJ 1 a  thì giá trị của là Bn :  0  Bn  2T0  aJ1 a  2T0  2   a J1 a     aJ1 a  2 Vậy phân bố nhiệt độ bên trong xi lanh là:  u  , z    n 1 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 2T0 J  e z aJ1 a  0 76 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong PHẦN KẾT LUẬN Luận văn “ Giải tích vector trong hệ tọa độ cong” trình bày đƣợc những nội dung cụ thể nhƣ sau: * Toán tử vi phân vector trong hệ tọa độ cong tổng quát và áp dụng vào hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. * Đƣa ra một số vấn đề vật lý có sử dụng toán giải tích vector trong hệ tọa độ mới. * Giải bài tập để củng cố lại phần lý thuyết. Với kiến thức còn hạn chế nên các vấn đề vật lý cũng nhƣ bài tập đƣa ra trong trong luận văn chƣa đƣợc phong phú. Tuy đã hoàn thành mục đích của đề tài nhƣng vẫn không bao quát hết tính ứng dụng của toán học giải tích vector. Vì vậy rất mong quý thầy cô và các bạn sinh viên có quan tâm đến đề tài nghiên cứu này sẽ góp ý và bổ sung để nội dung đề tài hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 77 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. David J. Griffiths. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. The United States of America. 2. George B. Arfken, & Hans J. Weber.(2005). Mathematical methods for physicists (6th ed) UK: Elsevier Academic Press. 3. K. F. Rilay, M. P. Hobson, & S. J. Bence (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering. New York: Cambridge University Press. 4. Nguyễn Huyền Tụng. Cơ học lƣợng tử. NXB Khoa học và kỹ thuật. Năm 2008. 5. Vũ Văn Hùng, Đỗ Đình Thanh. Phƣơng Pháp Toán Lý. NXB Giáo Dục. Năm 2012. GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 78 SVTH: Mai Thị Thùy Vân [...]... Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT 2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ 2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ Trong hệ tọa độ trụ thì 3 tọa độ cong q1 , q2 , q3  là  , , z  Chúng ta sử dụng  cho khoảng cách vuông góc tính từ trục z (thay cho khoảng cách r tính từ gốc tọa độ) , giới hạn của  ,, z là: 0... Cuối cùng ta đƣợc hàm  trong hệ tọa độ trụ là:   ,  , z    J n  C sin n   D cosn Ae z  Be z   n 0 GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 34 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU 2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu Trong hệ tọa độ cầu các tọa độ q1 , q2 , q3  là r, ,  với:  Mặt cầu nhận gốc tọa độ làm tâm: r  x 2  y... văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  phần của vector Mỗi thành phần của vector A đều bị thay đổi độ dài khi quay hệ tọa độ nhƣng độ lớn của vector là số vô hƣớng Ta thấy cặp số Ax' , Ay' là hai thành phần của vector có độ lớn và hƣớng giống với vector tạo bởi Ax , Ay trong hệ tọa độ xy , hay nói cách khác một vector bất kỳ là bất biến khi ta quay hệ trục tọa độ Khi không gian không...   và phƣơng trình này có dạng ellipse trong hệ tọa độ cực (là trƣờng hợp riêng của hệ tọa độ trụ khi z  0 ) GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 31 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong  ,  x a a b Hình 2.3: Ellipse trong hệ tọa cực Ta coi Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm của ellipse và nằm tại gốc tọa độ của hệ tọa độ trụ Theo đặc điểm hình học của ellipse... Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ trụ: dV  dddz z zˆ ˆ  y ˆ x Hình 2.2: Các vector đơn vị trong hệ tọa độ trụ GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong 25 SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng gia tốc của một hạt đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ trụ tại thời điểm bất kỳ nhƣ sau:   a     2     2 ˆ  zzˆ Giải: Vector định... Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong z ˆ  y ˆ x Hình 2.1: Hệ tọa độ trụ Vector đơn vị ˆ là pháp tuyến của mặt trụ, hƣớng theo chiều tăng của bán kính Vector đơn vị ˆ là tiếp tuyến của mặt trụ, vuông góc với nửa mặt phẳng   const và hƣớng theo chiều tăng của góc phƣơng vị  Vector đơn vị zˆ cũng giống nhƣ trong hệ tọa độ Descartes Vector định vị trong hệ tọa độ trụ:  r  xiˆ...Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong 1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực Chúng ta sẽ minh họa sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực với yếu tố diện tích dxdy : x   cos  x  dxdy  y  x cos   dd  sin  y  , y   sin    sin  dd  cos  M y    (  cos 2    sin 2  )dd  dd x z Tƣơng tự trong hệ tọa độ cầu ta có: M x ... trong không gian) và độc lập với hƣớng của hệ tọa độ y y'  r y x' x' y'  x x Hình 1.1: Hệ tọa độ Descartes quay 1 góc  quanh trục z  Đặt vector r (là một đối tƣợng hình học không phụ thuộc vào hệ tọa độ) trong hai hệ khác nhau, một hệ quay một góc  so với hệ còn lại, để đơn giản ta sẽ xét trong không gian hai chiều  Mối quan hệ giữa các thành phần của vector r trong hai hệ tọa độ là: x '  x cos... SVTH: Mai Thị Thùy Vân Luận văn tốt nghiệp Giải tích vector trong hệ tọa độ cong Trong hệ tọa độ trụ thì q1 , q2 , q3  là  , , z  , h  1, h   , hz  1, thay vào công thức tổng quát ta thu đƣợc gradient trong hệ tọa độ trụ:   1    (  , , z )  ˆ  ˆ  zˆ    z - Toán tử divergence: Công thức tổng quát của divergence trong hệ tọa độ cong là:     V q1 , q2 , q3   1 h1h2... thông, độ lớn của curl là độ lớn của mức độ xoáy    Vậy tổng quát   V là lƣu số của vector V dọc theo đƣờng cong kín giới hạn diện tích 1m 2 1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.3.1 Toán tử Gradient Điểm khởi đầu của việc phát triển toán tử gradient, divergence, curl trong hệ tọa độ cong là giải thích ý nghĩa hình học của gradient Gradient của một trƣờng vô hƣớng là một vector