TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHỎA t o á n PHẠM THỊ HUÊ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • __ r Chuyên ngành: Đại sô HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN PHẠM THỊ HUÊ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI • • • HỌC • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học DƯƠNG THỊ LUYÉN HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trong quá tình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo cũng như sự quan tâm động viên của các bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Dưo’ng Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em kính mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của em hoàn thiện hơn nữa. Em xin chân thành cảm on! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Phạm Thị Huê LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của cô Dương Thị Luyến. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận tốt nghiệp “ứng dụng của vành chính, vành Euclide” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác. Hà Nội, ngày 06 thảng 05 năm 2015 Sinh viên Phạm Thị Huê MỤC LỤC MỞ ĐẦ U .............................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu................................................................ 1 3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 2 CHƯƠNG 1. VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE.......................................... 3 1. Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên................................3 2. Vành chính..................................................................................................... 4 2.1. Định nghĩa.................................................................................................. 4 2.2. Tính chất..................................................................................................... 4 3. Vành Euclide.................................................................................................. 9 3.1. Định nghĩa.................................................................................................10 3.2. Tính chất....................................................................................................10 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE..... 13 1 .Vành số nguyên..............................................................................................13 7.7. Xây dụng vành số nguyên........................................................................ 13 1.2. Vành so nguyên là vành chính, vành Euclicle......................................... 14 2. Vành đa thức một ẩn..................................................................................... 15 2.1. Xây dưng vành đa thức một ẩ n ................................................................15 2.2. Vành đa thức một ân trên trường là vànhchính, vành E uclỉde............16 3. ứng dụng trong vành số nguyên................................................................ 17 3.Ì. Sự tồn tại của UCLN................................................................................17 3.2. Các tính chất của ƯCLN.......................................................................... 20 3.3. Cách tìm ƯCLN..........................................................................................26 3.4. Sự phân tích một số nguyên thành các thừa số nguyên to.................. 26 4. ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên các trường: số phức c , số thực R, số hữu tỉ Q .................................................................................................... 28 4.1. Sự tồn tại của UCLN.................................................................................. 28 4.2. Các tính chất của ƯCLN.......................................................................... 31 4.3. Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả q u y..................... 35 4.4. Các úng dụng khác của vành chỉnh trong vành đa thức...................... ^ KẾT LUẬN....................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến MỎ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Môn toán là môn học có vai trò rất quan trọng trong kho tàng tri thức của loài người, nó có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy. Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành chiếm một phần quan trọng trong Đại số. Vành chính và vành Euclide là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành. Hai lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, điều đó được thể hiện rõ nhất trong toàn bộ toán THCS. Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổ thông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số. Tuy nhiên cho đến nay, lý thuyết về vành chính và vành Euclide được trình bày một cách sơ lược và khá trừu tượng trong các tài liệu, do đó việc chỉ ra các ứng dụng của hai lớp vành này là rất khó khăn. Với tất cả các lí do trên em mạnh dạn chọn đề tài “ứng dụng của vành chính, vành Euclide” để làm khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cửu Nghiên cứu về các tính chất của vành chính và vành Euclide được ứng dụng như thế nào trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số. Khóa luận này gồm 2 chương: Chương 1. Vành chính, vành Euclide Chương 2. ứng dụng của vành chính, vành Euclide. Trong khóa luận này em đã sử dụng viết tắt: UCLN là ước chung lớn nhất. Phạm Thị Huê K37b Toán 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến 3. Đối tưọng nghiên cửu Vành chính, vành Euclide và các tính chất của chúng. 4. Phương pháp nghiên cún Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp. Phạm Thị Huê K37b Toán 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến CHƯƠNG 1. VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 1. Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1A. Ta có các khái niệm và tính chất số học sau: Định nghĩa 1. Các ước của 1Agọi là các phần tử khả nghịch. Chẳng hạn, trong vành z các số nguyên, các phần từ khả nghịch là 1 và -1. Trong vành đa thức K[x] với K là trường, các đa thức bậc 0 nghĩa là các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch. Định nghĩa 2. Hai phần tử Jt và Jt’ gọi là liên kết nếu có một quan hệ tương đương s xác định như sau: xSx’ khi x' = wc với u khả nghịch. Chẳng hạn, trong vành các số nguyên z, hai số nguyên a và - a là liên kết. Trong vành đa thức K[x] với K là trường, hai đa thức f(x) và a/(x), a e K và a ^ 0, là liên kết. Định nghĩa 3. Một phần tử a G A gọi là bội của một phần tử b G A hay a chia hết cho b, kí hiệu a : b, nếu c ó c e A sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b la. Định nghĩa 4. Các phần tử liên kết với X và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của X, còn các ước khác của X là các ước thực sự của Định nghĩa 5. Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của A; X gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu X không có ước thực sự. Phạm Thị Huê K37b Toán 3 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Định nghĩa 6 . Neu c la và c Ib thì c gọi là ước chung của a và b. Phần tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b), nếu c là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b là ước của c. Nếu c là một ước chung lớn nhất của a và b thì c’ cũng là ước chung lớn nhất của a và b, trong đó c’ là một phần tử liên kết với c. Nên ta viết: UCLN(a, b) ~ d Định nghĩa 7. a và b là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1A làm ước chung lớn nhất. Bổ đề 1. a Ib khi và chỉ khi Aa Z) Ab. 2. Vành chính 2.1. Định nghĩa Định nghĩa 8 . Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là iđếan chính. 2.2. Tính chất Tính chất 1.Ước chung lớn nhất của hai phần tử a v à b bất kì tồn tại. Chứng minh Gọi I là iđêan sinh ra bởi a và b. Các phần tử I có dạng ax + by với X, y e A. Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng (1) d = ax + by, JC, y e A Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b. Vì a, b e I = dA, nên a = da’, b = db’, a’, b’ e A. Do đó d là ước chung của a và b. Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là có a”, b” E A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành d = c(a”x + b”y) Phạm Thị Huê K37b Toán 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b. Tính chất l.Neu e là một ước chung lởn nhất của a và b, thì có r,s € A sao cho e = ar + bs Chứng minh Xét ước chung lớn nhất d của tính chất 1. d và e là liên kết, tức là có một phần tử khả nghịch u sao cho e = du. Nhân hai vế của (1) với u e = du = axu + byu = ar + bs, r = xu, s = yu. Tính chất 3. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s E A sao cho 1A = ar + bs Tính chất 4.Neu c \ab và c, a nguyên to cùng nhau, thì c Ib. Chứng minh Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất 3 có r, s E A sao cho 1 A = ar + cs. Nhân hai vế của đẳng thức với b b = abr + bcs. Vì c lab nên có q e A sao cho ab = cq. Do đó, b = c(qr + bs) tức là c Ib. Tính chất 5.Giả sử X là một phẩn tử bất khả quy và a là một phẩn tử bất kì. Thế thì hoặc X Ia hoặc X và a nguyên tố cùng nhau. Chứng minh Phạm Thị Huê K37b Toán 5 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Vì X là bất khả quy nên các ước của X là các phần tử liên kết với X và các phần tử khả nghịch, do đó một ước chung lớn nhất của X và a chỉ có thể là một phần tử liên kết với X hoặc một phần tử khả nghịch. Trong trường hợp thứ nhất ta có Jt la, trong trường hợp thứ hai X và a là nguyên tố cùng nhau. Tính chất 6.Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Các mệnh đê sau đây là tương đương: a ) X là b ấ t khả quy b ) X \ab thì X Ia h oặc X Ib. Chứng minh a) kéo theo b). Theo tính chất 5 ta có hoặc X la hoặc X và a nguyên tố cùng nhau. Neu X và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 4 ta có X Ib. b) kéo theo a). Giả sử a là một ước của X, thế thì cób G A sao cho X = ab. Vì X \x, nên X lab = Jt. Theo b) X la hoặc X Ib. Nếu X la thì kết hợp a \x ta có X và a liên kết. Neu Jt Ib thì kết hợp b Ix ta có X = ub, u là khả nghịch. Do đó X = ab = ub. Nhưng Jt ^ 0, nên b ^ 0, do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên. Cho nên một ước a của X chỉ có thể là hoặc liên kết với Jt hoặc là khả nghịch, vậy X là bất khả quy. Tính chất 7. Trong một họ không rỗng bất kỳ F nhũng ỉđêan của A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một ỉđêan M của họ F là tối đại trong F. Chứng minh Phạm Thị Huê K37b Toán 6 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử l o GVHD: TH.S Dương Thị Luyến là một iđêan của F. Hoặc lo là tối đại trong F và như vậy là xong, hoặc có một iđêan 1] của F sao cho li* lo và Ii=> I0. Nếu 1] là tối đại trong F thì thế là xong, nếu không ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2^ li và I2=> li. Tiếp tục quá trình này, hoặc là ta được một iđêan M của F tối đại trong F, hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F: I0C= li ... c= I nC=In+,C= ... Ta giả sử trường hợp sau xầy ra. Gọi I là hợp Dễ dàng thấy I là một iđêan của A. Vì A là một vành chính nên iđêan I được sinh ra bởi một phần tử X e ỉ. Theo định nghĩa của hợp, có một số tự nhiên n sao cho X e In. Điều này kéo theo I c Invà do đó In = In + 1 , mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt. Tính chất 8 . Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Ta chủng minh X c ó th ế v iết d ư ớ i d ạn g ( 2 ) X — p Ị P 2 ---- Prt Với các P i , ỉ = 1, n, là những phần tử bất khả quy. Chứng minh Gọi F là tập hợp các phần tử không khả nghịch X * 0 sao cho X không được viết dưới dạng (2). Ta hãy chứng minh F = ộ. Giả sử F *4 . Ta kí hiệu bằng (? họ các iđêan A x với X e F. Theo tính chất 7, F có một phần từ m sao cho Am là tối đại trong Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy thì m có dạng (2 ). m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳng hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b e A sao cho Phạm Thị Huê K37b Toán 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến m = ab Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m. Vì a và b là những ước thực sự của m, nên ta có Am c= Aa , Am ^ Aa và Am c= Ab , Am ^ Ab Do Am là tối đại trong ^ n ê n Aa và Ab không thuộc do đó a và b không thuộc F; a và b đều khác 0, khác khả nghjch và không thuộc F, nên a và b phải được viết dưới dạng (2 ) a = pi ... Pi, b = p i+i... Pn, điều này kéo theo m = ab = pi ... PÌPÌ+I ... Pn, mâu thuẫn với m e F. Tính chất 9. Giả sử X = P/P2 ... Pm = q iq i ... qn với Pì , , pm, ,qn là nhũng phần tử bất khả quy. Thế thì m = n, và với một sự đảnh số thích hợp ta có qi = UiPi , i= 1, m. Chứng minh Theo tính chất 6 nhân tử bất khả quy Pi của Jt phải là ước của một qi nào đó. Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng pi là ước thực sự của qj. Nhưng qi là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do đó Pi là ước không thực sự của qj. Thêm nữa Pi không khả nghịch, cho nên phải có Pi và Phạm Thị Huê K37b Toán 8 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến qi liên kết, tức là qi = Uịpi với Uị khả nghịch. Như vậy ta được P1P2 ... pm = u 1p 1q2 ... qn. VI pi^ 0 ta suy ra p2 ...p m =Uiq 2 ... qn. Theo tính chất 6 , p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với i > 2. Ta có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2. Do đó q2 = U2P2 với u2 khả nghịch. Như vậy ta được P2P3 - Pm = U1U2P2 ... qn. Vì p2^ 0 ta suy ra p3 ... pm = u,u2... qn. Sau khi lập lại quá trình đó m lần, ta được m < n và 1A = UịU2 ... Umqm+1 ... qn. Vì qn không khả nghịch nên ta phải có m = n. Tính chất 10. Giả sử K là trường các thương của vành chính A, a E K là một nghiệm của đa thứcýịx) = Xn + CLn.iX1'1 + ... + ã]X + a0 (ãịe A). Thế thì a e A. Chứng minh Theo như trên ta có thể viết a = a/b, với a, b e A nguyên tố cùng nhau. V ì/(a) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn: an + b(an.ian"' + ... + aiab11"2 + a0bn"') = 0 . Như vậy b chia hết an; vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp hệ quả 2 ta được b chia hết a. Do đó b là phần tử khả nghịch của A, tức là b'1 e A, điều này kéo theo oc = ab 1E A. 3. Vành Euclide Phạm Thị Huê K37b Toán 9 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến 3.1.Định nghĩa Định nghĩa 9. Giả sử Alà một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide) ô : A* —>• N từ A* đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất: 1° Nếu bla và a * 0 thì ô(b) < ô(a); 2° Với hai phần tử a và b tùy ý của A, b * 0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và ô(r) < ô(b) nếu r * 0 ; gọi là một vành Euclide. Phần từ r gọi là dư. Nếu r = 0 thì b chia hết a theo 1° ta có ô(b) < ô(a). Như vậy điều kiện cần để một phần tử b là ước của một phần tử a ^ 0 là 5(b) < 5(a). 3.2. Tính chất Tính chất 1. Nếu A ỉà một vành Eucỉỉde thì A là một vành chính. Chứng minh Giả sử I là một iđêan của A. Neu I = {0} thì I là iđêan sinh ra bởi 0. Giả sử I* {0}. Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho ô(a) là bé nhất trong tập hợp ô( I*), I* là tập hợp các phần tử khác 0 của I. Giả sử X là một phần tử tùy ý của I.Theo tính chất 2° ta có q, r e A sao cho X = aq + r Vì a, X e l , nên r = X - aq E I. Neu r * 0 ta có ô(r) < ô(b), mâu thuẫn với giả thiết ô(a) là bé nhất trong ô( I*). Vậy r = 0 và I = Aa. Phạm Thị Huê K37b Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Tính chất 2. Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thỏa mãn quan hệ a = bq + r . Thế thì ước chung lớn nhất của a v à b là ước chung lớỉí nhất của b và r. Chứng minh Gọi I là iđêan sinh ra bởi a, b và J là iđêan sinh ra bởi b, r. Từ a = bq + r, ta suy ra ae J, do đó I c= J. Từ r = a - bq, ta suy ra r G I, do đó J c I. Vậy I = J. Nhưng A là một vành chính, nên tồn tại d G I sao cho Ad = I. Theo tính chất 1 của vành chính, d là ước chung lớn nhất của a và b. Nhưng I = J, nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và r. Bây giờ giả sử A là một vành Euclide và ta đặt vấn đề tìm ước chung lớn nhất của hai phần từ a, b G A. Neu a = 0 thì rõ ràng ước chung lớn nhất của a và b là b, vì vậy ta hãy giả sử cả a lẫn b đều khác 0. Thực hiện phép chia a cho b ta được a = bq0 + rG với 5(r0) < ô(b) nếu r0^ 0 Neu rG^ 0 ta lại chia b cho rG: b = r0qi + ĩ| với ô(r,) < ô(r0) nếu 1*1 ^ 0 . Neu 1*1^ 0 ta lại chia rQcho 1*1 : 1*0 = riq2 + r2 với ô(r2) < ô(i'i) nếu r2^ 0 . Ọuá trình chia như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên ô(b) > ô( r0) > ô( ri) > ô( r2) ... không thể giảm vô hạn, tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0 fk- 1 = rkQk+i + 0 ' Phạm Thị Huê K37b Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Áp dụng tính chất 1 của vành chính ta có: rk = UCLN(rk, 0) = UCLN(rk - 1, rk) = ƯCLN(rk_ 2, rk_0 = ... = UCLN(r,, r2) = ƯCLN(b, r0) = UCLN(a, b). Phạm Thị Huê K37b Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến CHƯƠNG 2. ÚNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE 1. Vành số nguyên 1.1. Xây dụng vành số nguyên • Trên tập N X Nta xấc định một quan hệ tương đương s như sau (a, b)S(c, d)a + d = b + c. Trên z ta xây dựng hai phép toán: Phép cộng (+ ỵ(a ,b ) + ( c ,d ) = (a + c,b + d ) Phép trừ (•): (a,b) + ( c ,d )= (a c + b d , a d + bc) Khi đó z cùng hai phép toán (+), (•) lập thành một vành giao hoán có đơn vị. • Xét ánh xạ /: N —>z a Ta c ó / là một đơn cấu nửa nhóm cộng và đơn cấu nửa nhóm nhân và cặp (Z,y) xắc định như trên là duy nhất sai khác một đẳng cấu. Phạm Thị Huê K37b Toán 13 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến V X = { a , b ) e Z ta có: X = (a ,b )= ( a ,0 ) + (0,fr) = ( a , 0 ) - ( è ’° ) = /(a )-/(b ). Khi đó z = {/(a) - / ( b ) I a, b e N ) = {a - b I a, b e N Ị = {±1, ±2, ±3, ...} được gọi là vành số nguyên. 1.2. Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide Định nghĩa 10. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên Jt, kí hiệu là X t là một số nguyên xác định như sau: X nếu JC> 0 nếu Jt < 0 Định nghĩa 11. Cho các số nguyên a và b, b # 0 , tất có các số nguyên q, r duy nhất sao cho: a = bq + r, 0 < r < b • Ta chứng minh vành z các số nguyên là vành chính: Thật vậy, giả sử I là một iđêan của z . Neu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0. Neu I ^ {0}, giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I và b là một phần tử tùy ý của I. Ta có thể giả sử b > 0, vì nếu b < 0 thì -b > 0 và -b cũng thuộc I, do đó ta lấy - b. Lấy b chia cho a, ta được b = aq + r với r là dư, 0 < r < a. Phạm Thị Huê K37b Toán 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Mặt khác r = b - aq e I. Neu r ^ 0 thì a không phải là số nguyên dương bé nhất của I, mâu thuẫn. Do đó r = 0 và b = aq, tức là I = aZ là iđêan sinh ra bởi a. • Ta chứng minh vành z các số nguyên là một vành Euclide: Gọi z là tập các số nguyên khác 0. Khi đó tương ứng ô : z — là một ánh xạ Euclide. n 1— > ô(n) = n Thật vậy, với m, n e z , khi đó: a) Neu m I n thì ta thấy ngay ô(m) < ô(n). b) Với m, n tùy ý. Lấy n chia cho m thì có qvà r thuộc z sao cho n = mq + r và ô(r) (p(r) := (r, Or, Or, ...), ta có cp là một đơn cấu vành; do đó, ta có thể đồng nhất r với cp(r):= (r, 0 r , 0 r, ...). Đặtx := (Or , 1 r , Or , . . . ) , X E T.Ta có x2’-= (Or, Or, 1 r, Or, ...) x3:= (Or, Or, Or, 1 r, Or, ...) (k+ 1) xk’— (Or, Or, Or, 1 r, Or, ...) Ngoài ra, do đã đồng nhất a với (a, Or, Or, ...), ta có: (Or, Or, • a, Or, ...) = a / = xka. V / = (a0, ah an, Or, Or, ...) e T ,/được viết dưới dạng: / : = a0 + ai* + ... + anxn. Vành T nói trên được gọi là vành đa thức một biến có hệ số trong vành R, kí hiệu R[x]. Mỗi phần tử của R[x] được gọi là đa thức. 2.2. Vành đa thức một ấn trên trường là vành chính, vành Euclide Phạm Thị Huê K37b Toán 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Định nghĩa 12. Cho/(jc) = a0 + 3L\X + ... + an*ne R[x]\{OỊ, an^ 0. Khi đó ta nói aj gọi là hệ số thứ i,i = 0 , . . n; a0 là hệ số tự do; an là hệ số cao nhất; n là bậc của đa thức f{x). Kí hiệu bậc của f(x) là degf. Định lí 1. Giả sử A là một miền nguyên và g là đa thức của A[x], g khác đa thức không. Khi đó, ứng với mỗi đa thức / e A[x] tương ứng một và chỉ một cặp đa thức q ,r e A [ 4 sao cho/ = gq + r, degr < degg. • Ta chứng minh vành KỊXI với K là trường là một vành Euclide: Đặt s = K[x] và s* là tập hợp các phần tử khác 0 của s. Khi đó đặt tương ứng ô : s* —>Nlà một ánh xạ Euclide. /l- > 5 ự ) = degf Thật vậy, với/, g eS*, khi đó: a) N eu /là bội của g thì ta thấy ngay ô(m) 1 với hệ số thực đều phân tích được một cách duy nhất thành tích những nhân tử tuyến tính và những nhân tử bậc hai bất khả quy trên E, nếu không kể đến thứ tự của các nhân từ và các nhân tử bậc 0. Phạm Thị Huê K37b Toán 37 Khóa luận tốt nghiệp b) GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Trên trường số hữu tỉ Q Mệnh đề 7. Các đa thức bất khả quy trên trường Q ngoài các đa thức bậc nhất và các tam thức bậc hai với biệt thức A< 0 còn có các đa thức bậc cao hơn. Hệ quá 7. Mọi đa thức f(x ) eQ[jc] có bậc n > 1, đều phân tích một cách duy nhất dưới dạng sau (nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0 ). f ( x ) = ( x - a ])m' ...( x - a kỴ k pỊ (x)'h ...p,(x)ni Trong đó oti, . . a k là nghiệm của f(x ) trên Q pi(x) , i = 1 , . . 1 là các đa thức bất khả quy trên Q có bậc lớn hơn 1 . Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân từ f ( x ) = X8 + x4 +1 a. Trên R b. Trên c Lời giải: a.Trên IR: Phạm Thị Huê K37b Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến /( x ) = Ịx4) + 2x4 + \ - x 4 = ( * 4 + l) - X 4 = ( * 4 + * 2 + l ) ( x4 ~ ỵl + l) “ ( x4 + 2x 2 + 1-jc 2 )Ịx 4 + 2x2 + \ - 3 x 2) = (x 2 + l) 2 - x 2 = (x 2 + l) 2 - 3 x 2 —X + —^s^3jsc + l Ị ^ x 2 + *\/3.x b. Trên C: / (jc) = — Ị 2 x - ỉ + J3i){2x -1 - -J3i}(2x +1 + - Ẹ i ^ ị l x +1 - 1 đều có đúng n nghiệm phức, mỗi nghiệm tính với số bội của nó. Phạm Thị Huê K37b Toán 39 Khóa luận tốt nghiệp o GVHD: TH.S Dương Thị Luyến SỐ n g h iệm thực của m ột đ a thức với h ệ số thực bậc n > 1 hoặc bằng n hoặc bằng n trừ đi một số chẵn. Đặc biệt nếu n lẻ thì đa thức có ít nhất một nghiệm thực. 4.4.2. Công thức nghiệm Vỉète Cho đa thức fix) trên trường số K f ( x ) = aơx n + ữịX"-1 +... + an_ịX + an Neu trên trường số K, f{x) chỉ phân tích thành các nhân tử tuyến tính: f ( x ) = a (x -ỡ f1) ( x - a 2)(x -ớ '3)...(x-ỡ',ỉ). Trong đó a \’a 2 ’'"’an là các nghiệm của f(x). Ta có công thức nghiệm Viète: Cí I + a. + . . • + otn — — ao ao /,[...]... ' Phạm Thị Huê K37b Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Áp dụng tính chất 1 của vành chính ta có: rk = UCLN(rk, 0) = UCLN(rk - 1, rk) = ƯCLN(rk_ 2, rk_0 = = UCLN(r,, r2) = ƯCLN(b, r0) = UCLN(a, b) Phạm Thị Huê K37b Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến CHƯƠNG 2 ÚNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE 1 Vành số nguyên 1.1 Xây dụng vành số nguyên • Trên tập N X Nta... = xka V / = (a0, ah an, Or, Or, ) e T ,/được viết dưới dạng: / : = a0 + ai* + + anxn Vành T nói trên được gọi là vành đa thức một biến có hệ số trong vành R, kí hiệu R[x] Mỗi phần tử của R[x] được gọi là đa thức 2.2 Vành đa thức một ấn trên trường là vành chính, vành Euclide Phạm Thị Huê K37b Toán 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TH.S Dương Thị Luyến Định nghĩa 12 Cho/(jc) = a0 + 3L\X + + an*ne R[x]\{OỊ,... chung của a và b đều là ước chung của b và Tị và ngược lại nên (a, b) = (b, ri) Tương tự ta có (b, r,) = (r,, r2) = = (rm_ 2, rm_ ,) = rm_ Ví dụ 3: Áp dụng thuật toán Euclide để tìm (120, 84) Ta có 120 = 84 X 1 + 36 84 = 3 6 x 2 + 12 3 6= 1 2 x 3 Vậy (120, 84)= 12 3.3.2 Liên hệ với tính chất đại số của vành Euclỉde Vì z là một vành Euclide, nên theo tính chất 2 của vành Euclide ta có không những UCLN của. .. Rỵ(x) 4.1.3.Liên hệ với tính chất đại số của vành chính và vành Euclỉde Việc chứng minh sự tồn tại UCLN của hai đa thức tương tự như cách chứng minh tính chất 2 của vành Euclide Chứng minh Định lí 6 thực chất là chứng minh hai iđêan I và J bằng nhau; trong đó I là iđêan sinh bởi hai đa thức P(x) và Q(x), J là iđêan sinh bởi hai đa thức Q(x) và R(x) Do K[jt] là vành chính nên I là iđêan chính sinh ra... ánh xạ Euclide /l- > 5 ự ) = degf Thật vậy, với/, g eS*, khi đó: a) N eu /là bội của g thì ta thấy ngay ô(m) ... Euclide ứng dụng hai lớp vành: vành số nguyên vành đa thức ẩn trường số Khóa luận gồm chương: Chương Vành chính, vành Euclide Chương ứng dụng vành chính, vành Euclide Trong khóa luận em sử dụng. .. ứng dụng hai lớp vành khó khăn Với tất lí em mạnh dạn chọn đề tài ứng dụng vành chính, vành Euclide để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cửu Nghiên cứu tính chất vành vành Euclide. .. 10 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE 13 Vành số nguyên 13 7.7 Xây dụng vành số nguyên 13 1.2 Vành so nguyên vành chính, vành Euclicle 14 Vành đa thức ẩn