Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2012 Môn Toán – Đề thi chung ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 1 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Bài giải Câu 1: Trước hết ta đặt điều kiện cho biểu thức dưới mẫu số và biểu thức dưới dấu căn thức. Nhận thấy giả thiết a>b>0 nên các biểu thức a − b , a + b + a − b và a 2 − b 2 đều có nghĩa. Ta chỉ cần tìm điều kiện để: a 2 − b2 − a + b ≠ 0 ⇔ a − b( a + b − ( a − b) ≠ 0 Dễ dàng nhận thấy biểu thức trên cũng khác không. Đây là bài toán dễ, các em học sinh chỉ cần chú ý đến việc tách thành các nhân tử dựa vào đẳng thức x 2 − y 2 = ( x − y )( x + y ) .   a2 + b2 a −b a −b + ÷. 2 2 Ta có: P =  a 2 − b2 − a + b ÷  a +b + a −b  a −b  =    =    =    =   =  a 2 + b2 a −b a −b + ÷. 2 2 a +b + a −b a 2 − b 2 − (a − b) ÷  a −b  a 2 + b2 a −b a−b + ÷. 2 2 a +b + a −b a − b( a + b − a − b) ÷  a −b  a2 + b2 a −b a −b + ÷. 2 2 a + b + a − b ( a + b − a − b) ÷  a −b a − b ( a + b − a − b ) + a − b ( a + b + a − b )  a 2 + b2 ÷ ÷. a 2 − b 2 ( a + b + a − b )( a + b − a − b )  2 a 2 − b2 a 2 + b2 a 2 + b2 . = a + b − (a − b) a 2 − b 2 b b) Biết a-b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 2 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện. Thay a=b+1 ta có: P = a 2 + b 2 (b + 1) 2 + b 2 2b 2 + 2b + 1 1 = = = 2b + 2 + b b b b Đến đây ta nhìn thấy bất đẳng thức Cô-si cho 2 số: 2b + 1 1 ≥ 2 (2b)( ) = 2 2 b b 1 Dấu bằng xảy ra khi: 2b = b ⇔ b = 1 2 Từ đó suy ra: P ≥ 2 + 2 2 và dấu bằng xảy ra khi b = Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 + 2 2 khi b = 1 . 2 1 1 và a = 1 + 2 2 Nhận xét: Đây là dạng toán hết sức cơ bản. Câu a để kiểm tra kiến thức cơ bản, còn câu b là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhât. Các em cần cẩn thận để không bị nhầm lẫn ở câu a, qua đó có thể giải đúng câu b. Một số em, do không cẩn thận nên làm nhầm câu a, sau đó mày mò mãi mà không ra câu b. Như vậy sẽ mất thời gian và ảnh hưởng đến tâm lý làm bài của các em. Câu 2: Gọi vận tốc của xe máy là x, vận tốc của oto là y. M A B Do khi hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được là AB = 210. 210 Vậy thời gian hai xe gặp nhau là: x + y ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 3 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Sau khi gặp nhau xe máy đi thêm 4h nữa thì đến B tức là xe máy đã đi được 210 km. Vậy ta có phương trình: ( 210 + 4).x = 210 x+ y Tương tự, sau khi gặp nhau, oto đi thêm 2,25h thì đến A tức là đi được BA = 210km. Suy ra: ( 210 + 2, 25). y = 210 x+ y Đến đây ta dễ dàng giải được hệ phương trình hai ẩn. Ta có nghiệm: x=30(km/h), y =40(km/h). Nhận xét: Đây là bài toán dễ, chỉ cần chú ý đến các điều kiện của đề bài (về vận tốc, đường đi) là ta có thể giải được. Câu 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 4 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Vậy m=2 và m=-6 là các giá trị cần tìm. Câu 4: ChuTieu xin lỗi vì không vẽ được hình nha. Các em chịu khó tự vẽ nhé. Gõ công thức Toán nhiều mỏi quá 1 2 a) Chứng minh: ∠MON = 900 − ∠BAC Ta có theo tính chất tiếp tuyến AK, AL là hai tiếp tuyến của đường tròn: ∠KOL + ∠BAC = 1800 ∠KOL = ∠KON + ∠NOE + ∠EOM + ∠MOL (1) Tương tự NK, NE, ME, ML là tuyến tuyến của đường tròn: Suy ra: ∠KON = ∠NOE ∠EOM = ∠MOL (2) Từ (1) và (2) ta có: ∠KOL = 2(∠NOE + ∠EOM ) = 2∠MON = 1800 − ∠BAC 1 2 Từ đó suy ra: ∠MON = 900 − ∠BAC b) Gợi ý: Chứng minh OE, MQ, NP là 3 đường cao của tam giác. c) ChuTieu xin gợi ý nhé: Các em tự chứng mình nếu không được thì alo ChuTieu sẽ giải đáp Ta đi chứng minh hai tam giác LPM đồng dạng với tam giác KNQ (góc – góc). Câu 5: ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 5 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Các em học sinh để ý thấy nếu chúng ta bình phương hai vế thì sẽ xuất hiện x2, y2 và xy mà thôi. Như thế sẽ triệt tiêu được x-y và x+y. (Chú ý: x,y là các số thực dương nên chúng ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới căn thức nữa. Ta có: xy ( x − y ) = x + y ⇔ xy ( x − y ) 2 = ( x + y ) 2 ⇔ xy ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) Đến đây các em để ý nếu ta thêm bớt khéo léo sẽ được được về dạng sau: ⇔ xy ( x 2 + 2 xy + y 2 − 4 xy ) = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) ⇔ xy ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4 x 2 y 2 = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) ⇔ ( xy − 1)( x 2 + 2 xy + y 2 ) = 4 x 2 y 2 ⇔ ( x + y)2 = 4x2 y2 xy − 1 Chú ý lập luận là xy – 1 khác 0 nên ta có thể chia được như trên. Hơn nữa từ biểu thức trên ta cũng dễ dàng suy ra xy – 1 > 0. (vì các số còn lại đều > 0) Như vậy ta đã đưa được biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất về dạng đơn giản ở trên. 4 x2 y2 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Như vậy, một xy − 1 lần nữa trong đề thi lại có bài về GTNN. Vì thế, các em có thể nhận thấy đây là dạng toán quen thuộc và phổ biến trong chương trình thi. Đặt xy – 1 = a. Bài toán trở thành tìm GTNN của 4( a + 1) 2 . a ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 6 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Đến đây thì quá dễ rồi phải không nào? Em nào còn thấy khó thì đến gặp ChuTieu nhé. ChuTieu sẽ bổ túc cho đến khi nào không thấy khó nữa thì thôi. Ta có: (a + 1) 2 ≥ 4a 4(a + 1) 2 ⇒ ≥ 16 a Dấu bằng xảy ra khi a = 1 hay xy = 2. Từ đó suy ra: ( x + y )2 ≥ 16 => x + y ≥ 4 . Dấu bằng xảy ra khi xy = 2. Từ xy = 2 kết hợp với điều kiện đề bài xy ( x − y ) = x + y ta tìm được x và y. Đây là bài giải hệ đơn giản, ChuTieu để các em tự giải nha Nhận xét và góp ý của ChuTieu - Đây là đề thi chung nên tương đối dễ. Chỉ cần nắm chắc các kiến thức cơ bản là giải được. Kiến thức nào cần dùng đến thì thông qua bài giải các em tự tìm hiểu và bổ sung cho mình nhé. - Khi các em giải đề thi, hay làm bài tập, nên phân loại bài tập. Xem bài tập thuộc dạng nào, như thế các em sẽ có thể tổng hợp, và luyện tập 1 cách dễ dàng. - Khi các em học theo chuyên đề, việc giải 1 bài toán cùng dạng với chuyên đề mà các em đang học sẽ không là điều khó khăn vì các em đang quen với dạng đó. Tuy nhiên khi đi thi, đứng trước đề thi có nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau, việc này sẽ khó khăn hơn. ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 7 Các đề thi– Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Vì thế, việc nhìn nhận bài toán và phân loại được bài toán đó, cùng với những nhận xét để đi đến cách giải là hết sức quan trọng. - ChuTieu rất mong muốn các em rèn luyện được điều này. Các em có thể giải nhiều bài toán, nhớ cách giải, nhưng các em nên nhớ rằng khi đi thi không mấy khi các em gặp bài đã làm, mà chỉ gặp “dạng” đã làm. Như vậy, nhận biết dạng toán và vận dụng cách giải đã học để giải là việc quan trọng hơn. “Quá trình giải được bài toán, quan trọng hơn lời giải một bài Toán” Các em thử suy nghĩ xem nhé. Hãy đặt câu hỏi, tại sao lại nghĩ ra cách giải như vậy??? Chúc các em học tốt. Hà nội, ngày 28/06/2012 ChuTieuThichHocToan ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) 8  ... ToanCap2.com (0987 702 775) Các đề thi Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Vì thế, việc nhìn nhận toán phân loại toán đó, với nhận xét để đến cách giải quan trọng - ChuTieu mong... b) Biết a-b = Tìm giá trị nhỏ P ChuTieuThichHocToan – ToanCap2.com (0987 702 775) Các đề thi Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Đây dạng toán tìm giá trị nhỏ biểu thức có điều...Các đề thi Đề thi chung vào Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2012 Bài giải Câu 1: Trước hết ta đặt điều kiện cho biểu thức mẫu số biểu thức dấu thức Nhận thấy giả thi t a>b>0 nên biểu