Download sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học toán ứng dụng tích vô hướng để chứng minh bất đẳng thức

5 299 0
Download sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học toán ứng dụng tích vô hướng để chứng minh bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm PhÇn I: Më ®Çu Trong ch¬ng tr×nh to¸n PTTH vÊn ®Ò tÝch v« híng cña hai vect¬ cã vÞ trÝ rÊt quan träng. §Æc biÖt ®èi víi viÖc båi dìng häc sinh giái. ViÖc cung cÊp cho häc sinh mét ph¬ng ph¸p míi (ph¬ng ph¸p vect¬) ®Ó gi¶i to¸n vµ nhÊt lµ gi¶i bµi to¸n §¹i sè ®· cho ta nhiÒu lêi gi¶i ®Ñp nªn ®· g©y søc hÊp dÉn cho häc sinh. Gióp cho häc sinh cã t duy s¸ng t¹o, cã ý chÝ vµ lßng say mª trong häc tËp bé m«n To¸n. Dïng tÝch v« híng sÏ gi¶i ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n thuéc c¸c lo¹i sau ®©y: 1.TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng ®îc ®a vÒ tÝch b×nh ph¬ng v« híng vect¬. 2.Chøng minh tÝnh chÊt h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®é dµi ®o¹n th¼ng. 3.TÝnh ®é lín gãc qui vÒ tÝnh tÝch v« híng cña hai vect¬. 4.Chøng minh tÝnh chÊt h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®é lín gãc. 5.Chøng minh sù vu«ng gãc. 6.Chøng minh bÊt ®¼ng thøc h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®o¹n th¼ng. 7.Chøng minh bÊt ®¼ng thøc h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®é lín gãc. 8.T×m cùc trÞ h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®é dµi ®o¹n th¼ng. 9. T×m cùc trÞ h×nh häc cã liªn quan ®Õn ®é lín gãc. 10.T×m tËp hîp ®iÓm cã liªn quan ®Õn ®é dµi ®o¹n th¼ng. 11.Gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh ... øng dông cña tÝch v« híng thËt lµ réng r·i nhng trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i chØ ®Ò cËp vÊn ®Ò ¸p dông tÝch v« híng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc. §ã lµ 2 lo¹i bµi to¸n 6 vµ 7 nãi trªn Nh»m môc ®Ých chñ yÕu båi dìng c¸ch ph©n tÝch ®Ò bµi ®Ó ®Þnh híng c¸ch gi¶i vµ båi dìng kÜ n¨ng gi¶i to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc h×nh häc liªn quan ®Õn ®o¹n th¼ng vµ ®é lín cña gãc th«ng qua c¸c vÝ dô. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm PhÇn II: Néi dung cña ®Ò tµi 1/C¬ së ®Ó sö dông tÝch v« híng vµo gi¶i bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc §Þnh nghÜa u & v lµ 2 vect¬ bÊt k× tõ u. v = |u|. |v| cos(u,v) ≤ |u|. |v| DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi u & v cïng híng hay mét trong hai vect¬ lµ vect¬ kh«ng. Nhng do vect¬ kh«ng cïng chiÒu víi mäi vect¬ nªn ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu ®¼ng thøc nãi trªn chØ cÇn u & v cïng híng lµ ®ñ. 2/Nh÷ng vÝ dô: Bµi 1 : Hai tam gi¸c ABC vµ A’B’C’ cã c¸c c¹nh lµ a,b,c vµ a’,b’,c’. Chøng minh r»ng: a.a' + bb' + cc' ≤ a + b + c . a'+b'+c' (1). Ph©n tÝch kÕt luËn bµi to¸n ®Ó thÊy r»ng vÕ tr¸i bÊt ®¼ng thøc lµ biÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« híng cña hai vect¬ u = ( a, b, c)&v=( a ’, b ’, c ’) cßn vÕ ph¶i lµ tÝch cña hai ®é dµi cña hai vect¬ ®ã nªn theo (*) bÊt ®¼ng thøc (1) ®îc chøng minh. - DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Khi u & v cïng chiÒu ⇔ a = a' b b' = c c' a b c = k > 0 ⇔ a' = b' = c' ⇔ ∆ABC ~ ∆A’B’C’ . Bµi 2 : Víi mäi a,b,c ∈ R, bÊt ®¼ng thøc a −1 + b −1 + c −1 > (ab +1)c (2) lµ ®óng hay sai ? (*) a, b, c < 1 ⇒ bÊt ®¼ng thøc v« nghÜa. (**) a, b, c ≥ 1: tríc hÕt ®Ó ý r»ng nÕu u = ( x −1 ; 1 ); v = ( y −1 ; 1 ) ⇒ u . v = x −1 + y −1 ≤ | u |. | v | = ( x −1) +1 . ( y −1) +1 = xy ⇒ x −1 + y −1 ≤ xy ¸p dông vµo bµi to¸n ⇒ ( a −1 + b −1 )+ c −1 ≤ ab + c −1 (3) . MÆt kh¸c ab = (ab +1) −1 ⇒ ab + c −1 ≤ (ab +1)c (4). Tõ (3) & (4) ⇒ ®pcm S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ⇒ bÊt ®¼ng thøc (2) lµ bÊt ®¼ng thøc sai. Bµi 3: Mét tam gi¸c cã ba c¹nh a, b, c tho¶ m·n a + b + c = 1. Chøng minh r»ng: a) a2 + b2 +c2 < 12 . b) Kh«ng thÓ thay k < 12 ®Ó a2 + b2 +c2 < k - Cã b×nh ph¬ng ®é dµi ⇒ chuyÓn vÒ b×nh ph¬ng v« híng cña vect¬ . - MÆt kh¸c tõ gi¶ thiÕt ⇒ a, b, c lµ ®é dµi cña 3 vect¬ a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0 & a + b + c = 1 a) §Ó ¸p dông tÝch v« híng cÇn xÐt (a + b + c) 2 =0 ⇒a2+ b2+c2+2a.b+2a.c+ 2bc = 0 ⇒ a2+ b2+ c2 = -(2ab +2ac + 2bc) ≤ 2 |ab + ac + bc | ≤ 2 (|ab| + |ac| + |bc |) ≤ 2 (ab + ac + bc ) = (a + b + c) 2 – (a2+ b2+ c2) ( V× | ab | ≤ ab (*) ) . MÆt kh¸c a + b + c = 1 nªn tõ kq trªn ⇒ a2+ b2+ c2 ≤ 12 – (a2+ b2+ c2 ) ⇒ cã a) b) ChØ cÇn chØ ra cã 3 vect¬ x, y, z sao cho x + y + z = 0 & |x| = |y| = |z| = 1 vµ víi mäi ε > 0 bÐ tuú ý , |x|2 + |y|2 + |z|2 ≥ 1 - ε . 1 1 Víi ε > 0 cho tríc, chän a cã ®é dµi = ε; b cã ®é dµi = 2 - ε; c cã ®é dµi = 2 trong ®ã a & b cïng chiÒu; c ngîc chiÒu víi a & b. Víi 3 vect¬ trªn ta cã a + b + c = (a + b ) + c = 0 & |a| + |b| + |c| = 1 ®ång thêi |a|2 + |b|2 + |c|2 = 1 1 1 1 ε2 +( 2 - ε)2 + ( 2 )2 = 2ε2 - ε + 2 > -ε2 + 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm cos x = 1   cos y = 1  cos z = 1 sin x = 1   sin y = 1  sin z = 1 ; ; cos x = 1   cos y = −1  cos z = −1 sin x = 1   sin y = −1  sin z = −1 ; ; cos x = −1   cos y = 1  cos z = −1 sin x = −1   sin y = −1  sin z = 1 ; ; cos x = −1   cos y = −1  cos z = 1 sin x = −1   sin y = 1  sin z = −1 Bµi to¸n t¬ng tù ? PhÇn III tæng kÕt kinh nghiÖm: Qua gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái vÌ chñ ®Ò øng dông tÝch v« híng ®Ó gi¶i to¸n chøng minh bÊt d¼ng thøc, b¶n th©n t«i nhËn thÊy lµm tèt vÊn ®Ò nµy sÏ rÌn luyÖn ®îc cho häc sinh nh÷ng phÈm chÊt vµ kû n¨ng sau ®©y: 1. Kü n¨ng chuyÓn bµi to¸n thêng cã b×nh ph¬ng ®é dµi sang b×nh ph¬ng vect¬ ®Ó sö dông tÝch v« híng (§Þnh híng lêi gi¶i) a2 = AB2 = AB2 Ch¼ng h¹n trong bµi 3a do yªu cÇu chøng minh a2 + b2 +c2 < 12 trong khi ®ã a,b,c lµ 3 c¹nh mét tam gi¸c th× ph¶i biÕt chuyÓn gi¶ thiÕt thµnh a + b + c = 0 vµ sö dông (a + b + c) 2 = 0 2. Båi dìng ãc t duy s¸ng t¹o : Khi ph©n tÝch bµi 7 do yªu cÇu chøng minh a2 + b2 + c2 > 32 + 22 + 12 vµ tõ gi¶ thiÕt ⇒ 3a + 2b + c ≥ 32 + 22 + 12. Häc sinh sÏ liªn tëng ®Õn bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pski vµ tõ ®ã suy nghÜ ®Õn c¸ch gi¶i thø hai lµ øng dông tÝch v« híng. Khi ph©n tÝch bµi 1 ph¶i nghÜ ®Õn vÕ tr¸i (*) bÊt ®¼ng thøc lµ biÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« híng cña 2 vect¬ cßn vÕ ph¶i lµ tÝch 2 ®é dµi cña 2 vect¬ ®ã. T¬ng tù ®èi víi bµi 2 còng víi c¸ch suy nghÜ nh bµi 1 mµ ®Þnh ra ®êng lèi gi¶i. 3. Båi dìng cho häc sinh mét ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc S¸ng kiÕn kinh nghiÖm (ph¬ng ph¸p vect¬). Ch¼ng h¹n bµi 4: biÕt chän 3 vect¬ e1, e2, e3 vµ sö dông (e1 + e2 + e3 )2 ≥ 0 ®èi víi c©u 1 hoÆc (OA + OB + OC) 2 ≥ 0 ®èi víi c©u 2 vµ t¬ng tù ®èi víi c©u 3. 4. RÌn luyÖn cho häc sinh ®øc tÝnh lao ®éng khoa häc, ý thøc t×m tßi nghiªn cøu . VÝ dô t¬ng tù ta dïng tÝch v« híng ®Ó gi¶i bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc . Ta còng gi¶i ®îc cho bµi to¸n t×m cùc trÞ. Ph¶i biÕt chuyÓn bµi to¸n t×m cùc trÞ vÒ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ ngîc l¹i. Nh bµi 7 cã thÓ yªu cÇu t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a + b + c & bµi 4 th× chuyÓn ®îc vÒ bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = cosA + cos B + cosC ®èi víi c©u 1 hay t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = cos2A + cos2B + cos2C ®èi víi c©u 2 5) Nh÷ng bµi to¸n gi¶i ®îc b»ng tÝch v« híng nãi riªng vµ b»ng vect¬ nãi chung ®Æc biÖt lµ bµi to¸n ®¹i sè thêng cã lêi gi¶i ®Ñp; gän gµng, chÝnh x¸c sÏ g©y ®îc høng thó cho häc sinh t¹o cho häc sinh lßng say mª trong häc tËp cña häc sinh. øng dông tÝch v« híng ®Ó gi¶i to¸n nãi chung vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc nãi riªng lµ mét néi dung quan träng vµ lµ mét chuyªn ®Ò lín trong gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng . Trong ph¹m vi ®Ò tµi nhá nµy t«i chØ muèn viÕt nªn nh÷ng suy nghÜ vµ c«ng viÖc cña m×nh ®· lµm vµ cã kÕt qu¶ ®¸ng khÝch lÖ . Tuy vËy do kh¶ n¨ng b¶n th©n cã h¹n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng khiÕm khuyÕt . KÝnh mong sù gãp ý ch©n thµnh vµ nh÷ng ®iÓm chØ b¶o cña ®ång nghiÖp . Xin ch©n thµnh c¶m ¬n. §ång Híi ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2001 TrÇn V¨n Kh¸ng Tµi liÖu tham kh¶o : 1) Ph¬ng ph¸p to¹ ®é cña Phan Huy Kh¶i 2) Bµi gi¶ng cña c¸c gi¸o s, båi dìng cho gi¸o viªn To¸n. .. .Sáng kiến kinh nghiệm Phần II: Nội dung đề tài 1/Cơ sở để sử dụng tích vô hớng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức Định nghĩa u & v vectơ từ u v = |u| |v| cos(u,v) |u| |v| Dấu đẳng thức... III tổng kết kinh nghiệm: Qua giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi vè chủ đề ứng dụng tích vô hớng để giải toán chứng minh bất dẳng thức, thân nhận thấy làm tốt vấn đề rèn luyện đợc cho học sinh phẩm... thấy vế trái bất đẳng thức biểu thức toạ độ tích vô hớng hai vectơ u = ( a, b, c)&v=( a , b , c ) vế phải tích hai độ dài hai vectơ nên theo (*) bất đẳng thức (1) đợc chứng minh - Dấu đẳng thức

Ngày đăng: 11/10/2015, 08:18

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • PhÇn II: Néi dung cña ®Ò tµi

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan