Thông tin tài liệu
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
1
BIEÅU THÖÙC TOÅ HÔÏP – NHÒ THÖÙC NEWTON
1.
(CÑSP TPHCM 1999)
k
k+ 2
k +1
C14
+ C14
= 2C14
Tìm soá töï nhieân k thoaû maõn heä thöùc:
2.
(ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
6
7
8
9
10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
Tính toång: C10
trong ñoù Ckn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.
3.
(ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
Tìm caùc soá nguyeân döông x thoaû: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 − 14x
4.
(ÑH Baùch khoa HN 1999)
Tính toång: S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn
5.
trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2.
(ÑHQG HN khoái A 2000)
+1
1001
≤ C1000
Chöùng minh raèng: Ck2001 + Ck2001
2001 + C2001
6.
(trong ñoù k nguyeân, 0 ≤ k ≤ 2000û)
(ÑHQG HN khoái B 2000)
Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa bieåu thöùc sau:
17
1
4
+ x3 ÷ , x ≠ 0
3 2
÷
x
7.
8.
(ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000)
1 2
6
A2x − A2x ≤ .C3x + 10
Giaûi baát phöông trình:
2
x
(ÑHSP HN khoái A 2000)
n
28
−
Trong khai trieån nhò thöùc x3 x + x 15 ÷ , haõy tìm soá haïng khoâng phuï
÷
thuoäc vaøo x, bieát raèng Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79
9.
(ÑHSP HN khoái BD 2000)
Bieát toång taát caû caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc (x 2 + 1)n baèng 1024,
haõy tìm heä soá a (a laø soá töï nhieân) cuûa soá haïng ax 12 trong khai trieån
ñoù.
10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
1 1 1 2
1 n
0
Cn
Tính toång: S = Cn + Cn + Cn + ... +
2
3
n+1
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
2
11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000)
Chöùng minh: 2n−1C1n + 2n−1Cn2 + 2n−3 Cn3 + 2n− 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000)
40
1
Tìm heä soá cuûa x31 trong khai trieån cuûa f(x) = x + 2 ÷
x
13. (ÑH Thuyû lôïi 2000)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n ≥ 2, ta luoân coù:
1
1
1
1 n−1
+ 2 + 2 + ... + 2 =
2
n
A2 A3 A4
An
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000)
Cho ña thöùc P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 coù
daïng khai trieån laø: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14.
Haõy tính heä soá a9.
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000)
Vôùi n laø soá nguyeân döông, haõy chöùng minh caùc heä thöùc sau:
1. Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n
−1
2. C12n + C32n + C52n + ... + C2n
= C02n + C22n + C42n + ... + C2n
2n
2n
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000)
Tính toång:
2
2000
+ ... + 2001C2000
S = C02000 + 2C12000 + 3C2000
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
Khai trieån ña thöùc: P(x) = (1 + 2x)12 thaønh daïng:
a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Tìm max(a1, a2, …, a12).
18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
1
Tính tích phaân:
I=
∫ x(1− x
2 n
0
) dx
(n ∈ N*)
Töø ñoù chöùng minh raèng:
1 0 1 1 1 2 1 3
(−1)n n
1
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn =
2
4
6
8
2(n + 1)
2(n + 1)
19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
20. (ÑH An Ninh khoái A 2001)
Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn, … vôùi
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
3
xn =
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
An4+ 4 143
−
(n = 1, 2, 3, …)
Pn+ 2 4Pn
21. (ÑH An ninh nhaân daân khoái A 2001)
Chöùng minh raèng vôùi n laø soá töï nhieân, n ≥ 2, ta coù:
1
1
1
+ 2 + ... + 2 = n − 1 .
2
A2 A3
An
n
22. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2001)
2Ayx + 5Cyx = 90
y
Giaûi heä phöông trình:
y
5Ax − 2Cx = 80
23. (ÑH Daân laäp Duy Taân khoái A 2001)
1
1. Tính tích phaân: I =
6
∫ (x + 2) dx
0
2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6
C6 +
C6 +
C6 +
C6 +
C6 + C6 + C6
1
2
3
4
5
6
7
24. (ÑH Ñaø Laït khoái D 2001)
1 n k
k
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá x ta coù: xn = n ∑ Cn (2x − 1) (n ∈ N) (*)
2 k =0
2. Tính toång: S =
6
25. (ÑH Ñaø Naüng khoái A 2001)
Vôùi moãi n laø soá töï nhieân, haõy tính toång:
1 1
1 2 2 1 3 3
1 n n
0
Cn .2
S = Cn + Cn .2 + Cn .2 + Cn .2 + ... +
2
3
4
n+1
26. (ÑH Haøng haûi 2001)
2n
= 22n−1(22n + 1)
Chöùng minh: C02n + C22n.32 + C42n.34 + ... + C2n
2n .3
27. (ÑH Luaät TPHCM khoái A 2001)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n ≥ 1, ta coù:
C1n .3n−1 + 2.Cn2 .3n− 2 + 3.Cn3 .3n−3 + ... + n.Cnn = n.4n–1
28. (ÑHSP HN khoái A 2001)
10
1 2
Trong khai trieån cuûa + x ÷ thaønh ña thöùc:
3 3
a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R)
haõy tìm heä soá ak lôùn nhaát (0 ≤ k ≤ 10).
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
4
29. (ÑH Vinh khoái AB 2001)
Cho n laø moät soá nguyeân döông coá ñònh. Chöùng minh raèng Ckn lôùn
nhaát neáu k laø soá töï nhieân lôùn nhaát khoâng vöôït quaù
30. (ÑH Vinh khoái DTM 2001)
Chöùng minh raèng:
n+1
.
2
2
4
2000
C02001 + 32 C2001
+ 34 C2001
+ ... + 32000 C2001
= 22000 (22001 − 1)
31. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2001)
Cho k vaø n laø caùc soá nguyeân thoaû maõn: 9 ≤ k ≤ n. Chöùng minh raèng:
(
Cn2n+k .Cn2n−k ≤ Cn2n
)
2
32. (ÑH khoái A 2002)
Cho khai trieån nhò thöùc:
(2
x −1
2
+
)
−x n
23
( 2 ) + C ( 2 ) ( 2 ) + ... +
=
(2 )(2 ) +C (2 )
+ Cnn−1
Cn0
x −1
2
x −1 n
2
− x n−1
3
1
n
x −1 n−1
2
n
n
−x
3
−x n
3
(n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù Cn3 = 5C1n vaø soá
haïng thöù tö baèng 20. Tìm n vaø x.
33. (ÑH khoái B 2002)
Cho ña giaùc ñeàu A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O).
Bieát raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A 1, A2, …, A2n
nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A 1,
A2, …, A2n. Tìm n?
34. (ÑH khoái D 2002)
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243
35. (ÑH döï bò 2 2002)
Tìm soá n nguyeân döông thoaû maõn baát phöông trình: An3 + 2Cnn− 2 ≤ 9n.
36. (ÑH döï bò 4 2002)
Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø:
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn
ak −1 ak ak +1
=
=
Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho
.
2
9
24
Haõy tính n.
37. (ÑH döï bò 6 2002)
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
5
Goïi a1, a2, …, a11 laø caùc heä soá trong khai trieån sau:
(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.
Haõy tính heä soá a5.
38. (ÑH khoái A 2003)
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x 8 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
n
1
5
n+1
n
3 + x ÷ , bieát raèng: Cn+ 4 − Cn+ 3 = 7(n + 3) (n nguyeân döông, x > 0).
x
39. (ÑH khoái B 2003)
Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång:
22 − 1 1 23 − 1 2
2n+1 − 1 n
Cn0 +
Cn +
Cn + ... +
Cn
2
3
n+1
40. (ÑH khoái D 2003)
Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a 3n–3 laø heä soá cuûa x 3n–3 trong khai trieån
thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n ñeå a3n–3 = 26n.
41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2)
Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn:
Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100
42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ta ñeàu coù:
−1
0
2
4
2n
C12n + C32n + C52n + ... + C2n
2n = C2n + C2n + C2n + ... + C2n
43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002)
1. Giaûi phöông trình: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 – 14x
19
19
2. Chöùng minh raèng: C120 + C320 + C520 + ... + C17
20 + C20 = 2
44. (CÑ khoái AD 2003)
Chöùng minh raèng:
P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1
45. (CÑ Giao thoâng II 2003)
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ≥ 2, ta ñeàu coù:
Cn0C1n...Cnn
n−1
2n − 2
≤
÷
n−1
46. (CÑ Giao thoâng III 2003)
1. Tính toång:
S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1nCnn
1 1 1 2
1 n
0
Cn
2. Tính toång:
T = Cn + Cn + Cn + ... +
2
3
n+1
bieát raèng n laø soá nguyeân döông thoaû ñieàu kieän:
Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79
(n > 2)
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
6
47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003)
Chöùng minh raèng: C02Ckn− 2 + C12Cnk −−12 + C22Cnk −−22 = Cnk
(vôùi n, k ∈ Z+;n ≥ k + 2)
48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò)
Giaûi baát phöông trình: (n!)3 Cnn .Cn2n .Cn3n ≤ 720
49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003)
Cho ña thöùc: P(x) = (16x – 15)2003. Khai trieån ña thöùc ñoù döôùi daïng:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003
Tính toång S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003)
Tìm soá nguyeân döông n thoaû maõn ñaúng thöùc:
An3 + 2Cn2 = 16n
51. (CÑ Noâng Laâm 2003)
Tìm heä soá lôùn nhaát cuûa ña thöùc trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa:
15
1 2
+ x÷ .
3 3
52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003)
Haõy khai trieån nhò thöùc Newton (1 – x) 2n, vôùi n laø soá nguyeân döông.
Töø ñoù chöùng minh raèng:
−1
2
4
2n
1C12n + 3C32n + ... + (2n − 1)C2n
2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n
53. (ÑH khoái A 2004)
Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa [1 + x2(1 – x)]8.
54. (ÑH khoái D 2004)
Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa:
7
1
3
x+4 ÷
x
vôùi x > 0
55. (ÑH khoái A 2005)
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
2
2 3
3 4
2n 2n+1
C12n+1 − 2.2C2n
+1 + 3.2 C2n+1 − 4.2 C2n+1 + ... + (2n + 1).2 C2n+1 = 2005
56. (ÑH khoái D 2005)
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: M =
An4+1 + 3An3
(n + 1)!
bieát Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149.
57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2)
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
7
Tìm heä soá cuûa x trong khai trieån ña thöùc (2 – 3x) 2n, trong ñoù n laø soá
7
2n+1
nguyeân döông thoaû maõn: C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + ... + C2n
+1 = 1024
58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1)
Tìm k ∈ {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck2005 ñaït giaù trò lôùn nhaát.
59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2)
Tìm soá nguyeân n > 1 thoaû maõn ñaúng thöùc: 2Pn + 6 An2 − PnAn2 = 12.
60. (ÑH khoái A 2006)
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x 26 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
n
1
7
1
2
n
20
4 + x ÷ , bieát raèng: C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 2 − 1
x
61. (ÑH khoái B 2006)
Cho taäp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû
cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm k∈{1,2,…, n}
sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.
62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006)
1
x
x
Cy : Cy + 2 = 3
Giaûi heä phöông trình:
Cx : Ax = 1
y
y
24
63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006)
1
1
1
− n = n
Tìm soá töï nhieân n sao cho:
n
C4 C5 C6
64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006)
Tính toång S =
1.Cn0
A11
+
2.C1n
A12
+
3.Cn2
A13
+ ... +
(n + 1).Cnn
A1n+1
Bieát raèng: Cn0 + C1n + Cn2 = 211
65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006)
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng:
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006)
n
2 1
Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc x + 3 ÷ , bieát
x
raèng: C1n + Cn3 = 13n (n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2, x laø soá thöïc khaùc 0).
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
8
Traàn Só Tuøng
67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006)
2
4
2n
Tìm n ∈ N sao cho: C04n+ 2 + C4n
+ 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 256
68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006)
20
10
1
3 1
Cho A = x − 2 ÷ + x − ÷ . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu
x
x
thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá haïng?
69. (CÑ KT Y teá I 2006)
Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn ñaúng thöùc sau:
2k
− 2 2n− 2
2n
C02n + C22n 32 + ... + C2k
+ ... + C2n
+ C2n
= 215 (216 + 1)
2n 3
2n 3
2n 3
70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006)
Chöùng minh: Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn = Cn0 + C1n + ... + Cnn
71. (CÑ KT Y teá 1 2005)
Giaûi baát phöông trình: 2C2x +1 + 3Ax2 − 20 < 0
72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
Tìm heä soá cuûa x29y8 trong khai trieån cuûa (x3 – xy)15.
73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006)
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng:
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
BAØI GIAÛI
1.
(CÑSP TPHCM 1999)
k
k+ 2
k +1
C14
+ C14
= 2C14
(0 ≤ k ≤ 12, k ∈ N)
14!
14!
14!
+
=2
⇔
k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)!
(k + 1)!(13 − k)!
1
1
1
+
=2
⇔
(14 − k)(13 − k) (k + 1)(k + 2)
(k + 1)(13 − k)
2.
⇔ (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)
⇔ k2 – 12k + 32 = 0
⇔ k = 4 hoaëc k = 8
Vaäy: k = 4 hoaëc k = 8
(ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
6
7
8
9
10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
S = C10
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
1 0
1 10
1 10 1 5
1
9
10
C10 + C10
+ ... + C10
+ C10
− C10
= .2 − C10 = 386.
2
2
2
2
(ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
=
3.
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
9
(
)
C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 − 14x
(x ∈ N, x ≥ 3)
⇔ x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x2 – 14x
x = 0 (loaïi)
2
⇔ x(x – 9x + 14) = 0 ⇔ x = 2 (loaïi)
x = 7 (nhaän)
2
4.
3
2
Vaäy: x = 7
(ÑH Baùch khoa HN 1999)
S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn
(n > 2)
Xeùt ña thöùc p(x) = (1 – x) . Khai trieån theo coâng thöùc Newton ta ñöôïc:
n
p(x) = (1 – x)n =
n
∑ (−1)k Ckn .xk
k =0
Suy ra: – p′(x) = n(1 – x)n–1 =
Cho x = 1 ta ñöôïc: 0 =
n
∑ (−1)k−1.kCkn.xk −1
k =1
n
∑ (−1)k−1.kCkn
k =1
= C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn = S
5.
Vaäy: S = 0
(ÑHQG HN khoái A 2000)
Ta seõ chöùng toû:
2001
2000
2
1000
1001
C02001 = C2001
< C12001 = C2001
< C2001
= C1999
2001 < ... < C2001 = C2001
+1
Thaät vaäy, chæ caàn chöùng toû: Ck2001 < Ck2001
(1) vôùi ∀k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta coù: (1) ⇔
2001!
2001!
<
k!(2001− k)! (k + 1)!(2000 − k)!
⇔ (k + 1) < 2001 – k
⇔ 2k < 2000 ⇔ k < 1000 ñuùng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
k = 1000
Vì vaäy: Ck2001 ≤ C1000
2001 ,∀k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1001 )
k = 999
+1
≤ C1001
vaø: Ck2001
2001 , ∀k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1000 )
+1
1001
≤ C1000
⇒ Ck2001 + Ck2001
2001 + C2001 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1000)
6.
(ÑHQG HN khoái B 2000)
Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø:
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
k
C17
Traàn Só Tuøng
10
(x ) (x )
−
2 17 −k
3
3 k
4
Ñeå soá haïng khoâng chöùa x thì
k
= C17
17 34
3 12 k − 3
x4
( )
(k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 17)
17
34
k−
=0 ⇒k=8
12
3
8
Vaäy soá haïng caàn tìm laø soá haïng thöù 9 cuûa khai trieån vaø baèng C17
.
7.
(ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000)
x ∈ N
2 ≤ 2x
x ∈ N
⇔
Ñieàu kieän:
2
≤
x
x ≥ 3
3 ≤ x
Ta coù:
1 2
6
A2x − A2x ≤ .C3x + 10
2
x
6 x(x − 1)(x − 2)
1
+ 10
.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ .
x
1.2.3
2
⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x ≤ 4
Keát hôïp ñieàu kieän, ta ñöôïc: x = 3, x = 4.
(ÑHSP HN khoái A 2000)
n(n − 1)
* Xaùc ñònh n: Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79 ⇔ 1 + n +
= 79
2
n = 12
⇔
n = −13 (loaïi)
⇔
8.
12
28
−
* Ta coù: x3 x + x 15 ÷
÷
4
k 3
C12
x
k
12−k
48 112
− 28
12
k−
k 15
5
x 15 ÷
=∑
x
= ∑ C12
÷
k =0
k
=
0
48
112
k−
= 0 ⇔ k = 7.
Soá haïng khoâng phuï thuoäc x ⇔
15
5
12
÷
÷
7
Vaäy soá haïng caàn tìm laø: C12
= 792
9.
(ÑHSP HN khoái BD 2000)
Ta coù: (x2 + 1)n =
n
∑ Cknx2k
(1)
k =0
Soá k öùng vôùi soá haïng ax12 thoaû maõn phöông trình: x12 = x2k ⇒ k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì
n
∑ Ckn
k =0
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
= 2n
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
11
Töø giaû thieát ⇒
n
∑ Ckn
k =0
= 1024 ⇔ 2n = 1024 ⇔ n = 10
6
Vaäy heä soá caàn tìm laø: C10
= 210.
10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
1
n
* Ta coù: I = ∫ (1+ x) dx =
0
(1+ x)n+1
n+1
1
=
0
2n+1 − 1
n+1
1
1
2
0
xn+1
0
1
n n
1 x
+ ... + Cnn
÷
* I = ∫ (Cn +Cnx + ... + Cnx )dx = Cn x + Cn
2
n + 1÷
0
0
0
= Cn +
1 1 1 2
1 n
Cn + Cn + ... +
Cn = S
2
3
n+1
2n+1 − 1
.
n+1
11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000)
Vaäy: S =
Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + Cn4 x4 + ... + Cnnxn
Laáy ñaïo haøm hai veá:
n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2x + 3Cn3 x2 + 4Cn4 x3 + ... + nCnnxn−1
Thay x =
n
3n−1
n−1
2
1
, ta ñöôïc:
2
= C1n + 2Cn2 .2−1 + 3Cn3 2−2 + 4Cn4 .2−3 + ... + nCnn 2−n+1
⇒ 2n−1C1n + 2n−1Cn2 + 3.2n−3 Cn3 + 4.2n− 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000)
40
1
x + 2 ÷
x
=
Heä soá cuûa x laø
31
40
∑
k =0
Ck40
40−k
1
÷
x2
Ck40 xk .
=
40
∑ Ck40x3k−80
k =0
vôùi k thoaû maõn ñieàu kieän: 3k – 80 = 31 ⇔ k = 37
37
3
Vaäy: heä soá cuûa x31 laø C40 = C40 =
40.39.38
= 40.13.19 = 9880.
1.2.3
13. (ÑH Thuyû lôïi 2000)
Chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp.
1
1
2
* Vôùi n = 2, ñpcm ⇔ 2 = 2 ⇔ A2 = 2 ñuùng
A2
* Giaû söû BÑT caàn chöùng minh ñuùng vôùi n = k (k ≥ 2), töùc laø ta coù:
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
1
+
A22
Traàn Só Tuøng
12
1
+
A32
1
A42
+ ... +
1
Ak2
=
k −1
k
Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n = k + 1.
1
1
1
1
1
k −1
1
k −1
1
+
Thaät vaäy, 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = k + 2 =
A2 A3 A4
Ak Ak +1
Ak +1
k
(k + 1)k
(k 2 − 1) + 1
k
=
(k + 1)k
k +1
1
1
1
1
n−1
+ 2 + 2 + ... + 2 =
Vaäy:
2
n , ∀n ≥ 2
A2 A3 A4
An
=
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000)
9
9
9
9
9
+ C11
+ C12
+ C13
+ C14
a9 = 1 + C10
2
3
4
5
+ C12
+ C13
+ C14
= 1 + C110 + C11
= 1 + 10 +
11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10
+
+
+
2
6
24
120
= 3003
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000)
1. (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + ... + Cnnxn
Cho x = 1 ⇒ Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n
2n
2. (1 – x)2n = C02n − C12nx + C22nx2 − C32nx3 + ... + C2n
2nx
Cho x = 1 ⇒ ñpcm.
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000)
Coù (x + 1)2000 =
2000
∑
i= 0
Ci2000 xi
Trong (1) cho x = 1 ta ñöôïc
(1)
2000
∑
i= 0
Ci2000 = 22000
Ñaïo haøm 2 veá cuûa (1) theo x, ta coù: 2000.(x + 1)1999 =
Cho x = 1 ta ñöôïc:
Do ñoù: S =
2000
∑
i= 0
2000
∑ i.Ci2000
i=1
Ci2000 +
2000
= 2000.21999 = 1000.22000
∑ i.Ci2000
i=1
= 1001.22000.
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
2000
∑ i.Ci2000xi−1
i=1
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
13
k
.2k ;
ak = C12
ak < ak+1 ⇔ k <
23
3
8
⇒ max(ai ) = a8 = C12 = 126720
i=1,12
18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
• Tính I baèng 2 caùch:
* Ñoåi bieán: t = 1 – x2 ⇒ dt = –2xdx
0
1
1
1 n
1 n
1
1
tn+1 =
⇒ I = ∫ − t ÷dt = ∫ t dt =
2
2
2(n + 1)
2(n + 1)
1
0
0
* Khai trieån nhò thöùc:
(
0
1 2
2 4
3 6
n n 2n
x(1 – x2)n = x Cn − Cnx + Cn x − Cn x + ... + (−1) Cnx
)
1
4
6
8
0 x2
x 2n+ 2
1 x
2 x
3 x
+ ... + (−1)n Cnn .
÷
⇒ I = Cn . − Cn . + Cn . − Cn .
2
4
6
8
2n + 2 ÷
0
=
1 0 1 1 1 2 1 3
(−1)n n
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn
2
4
6
8
2(n + 1)
Töø ñoù suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh.
19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000)
Heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
6!
7!
+
laø: C55 + C56 + C57 = 1 +
= 28
5!1! 5!2!
20. (ÑH An Ninh khoái A 2001)
Ta phaûi tìm caùc soá töï nhieân n > 0 thoaû maõn:
xn =
An4+ 4 143
−
a1 > … > an
(1)
Thaät vaäy, ta coù BÑT ak > ak+1 vôùi 0 ≤ k ≤ n – 1
(2)
(2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)!
.
>
.
⇔
n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)!
2n − k 2n + k + 1
>
⇔
⇔ (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)
n−k
n+k +1
⇔ 2nk + n > 0
Ta ñöôïc BÑT ñuùng ⇒ (2) ñuùng ⇒ (1) ñuùng.
(
Do ñoù: ak = Cn2n+k .Cn2n−k ≤ Cn2n
Daáu “=” xaûy ra ⇔ k = 0.
32. (ÑH khoái A 2002)
Töø Cn3 = 5C1n ta coù n ≥ 3 vaø
)
2
= a0
n!
n!
n(n − 1)(n − 2)
=5
= 5n
⇔
3!(n − 3)!
(n − 1)!
6
⇔
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
17
n = −4 (loaïi)
⇔ n2 – 3n – 28 = 0 ⇔
n = 7
Vôùi n = 7 ta coù:
C37
(2 )(2 )
x −1
2
−x 3
3
= 140 ⇔ 35.22x–2.2–x = 140
⇔ 2x–2 = 4 ⇔ x = 4.
Vaäy n = 7, x = 4.
33. (ÑH khoái B 2002)
Soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, …, A2n laø C32n .
Goïi ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc ñeàu A 1A2…A2n ñi qua taâm ñöôøng troøn (O)
laø ñöôøng cheùo lôùn thì ña giaùc ñaõ cho coù n ñöôøng cheùo lôùn.
Moãi hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A 1, A2, …, A2n coù caùc
ñöôøng cheùo laø hai ñöôøng cheùo lôùn. Ngöôïc laïi, vôùi moãi caëp ñöôøng
cheùo lôùn ta coù caùc ñaàu muùt cuûa chuùng laø 4 ñænh cuûa moät hình chöõ
nhaät. Vaäy soá hình chöõ nhaät noùi treân baèng soá caëp ñöôøng cheùo lôùn cuûa
ña giaùc A1, A2, …, A2n, töùc Cn2 .
Theo giaû thieát thì:
(2n)!
n!
= 20.
3!(2n − 3)!
2!(n − 2)!
2n(2n − 1)(2n − 2)
n(n − 1)
= 20
⇔
⇔ 2n – 1 = 15 ⇔ n = 8.
6
2
34. (ÑH khoái D 2002)
C32n = 20Cn2 ⇔
Ta coù: (x + 1)n =
n
∑ Cknxk
k =0
Cho x = 2 ta ñöôïc: 3 =
n
n
∑ Ckn 2k
k =0
⇒ 3n = 243 ⇔ n = 5.
35. (ÑH döï bò 2 2002)
n ≥ 3
n ≥ 3
BPT ⇔
⇔ 2
n - 2n - 8 ≤ 0
n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) ≤ 9n
⇔ 3 ≤ n ≤ 4 ⇔ n = 3 hoaëc n = 4.
36. (ÑH döï bò 4 2002)
ak −1 ak ak +1
=
=
Ta coù:
(1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
2
9
24
⇔
Ckn−1 Ckn Ckn+1
=
=
2
9
24
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
⇔
Traàn Só Tuøng
18
1
n!
1
n!
1
n!
=
=
2 (k − 1)!(n − k + 1)! 9 k!(n − k)! 24 (k + 1)!(n − k − 1)!
⇔ 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
⇔ 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
2n + 2
k = 11
2(n − k + 1) = 9k
⇔
⇔
9(n − k) = 24(k + 1)
k = 3n − 8
11
Ñeå toàn taïi k thoaû maõn heä thöùc (1), ñieàu kieän aét coù vaø ñuû laø:
3n – 8 = 2n + 2 ⇔ n = 10.
37. (ÑH döï bò 6 2002)
2 8
3 7
9
x + C10
x + ... + C10
x +1
Ta coù: (x + 1)10 = x10 + C110 x9 + C10
2 9
3 8
9 2
x + C10
x + ... + C10
x +x +
⇒ (x + 1)10(x + 2) = x11 + C110 x10 + C10
(
(
)
(
)
(
)
2
3
2
+ C110 .2 x9 + C10
+ C10
.2 x8 + ... +
= x11 + C110 + 2 x10 + C10
(
)
(
)
9
8
9
+ C10
.2 x 2 + C10
+ C10
10 + C10 .2 x + 2
= x + a1x + a2x + … + a11
11
10
9
5
4
+ 2C10
Vaäy a5 = C10
= 672.
38. (ÑH khoái A 2003)
(
)
Ta coù: Cnn++14 − Cnn+ 3 = 7(n + 3) ⇔ Cnn++13 + Cnn+ 3 − Cnn+ 3 = 7(n + 3)
(n + 2)(n + 3)
= 7(n + 3) ⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12.
2!
Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø:
⇔
k
C12
(x−3 )k
Ta coù: x
60−11k
2
)
2 8
3 7
9
x + C10
x + ... + C10
x +1
+ 2 x10 + C110 x9 + C10
(x )
= x8 ⇔
5 12−k
2
k
= C12
x
60−11k
2
60 − 11k
= 8 ⇔ k = 4.
2
4
Do ñoù heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 laø C12 =
12!
= 495.
4!(12 − 4)!
39. (ÑH khoái B 2003)
Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + ... + Cnnxn
2
2
1
1
(
)
n
0
1
2 2
n n
⇒ ∫ (1+ x) dx = ∫ Cn + Cnx + Cn x + ... + Cnx dx
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
19
2
⇔
2
1
x2
x3
xn+1
(1+ x)n+1 = Cn0 x + C1n
+ Cn2
+ ... + Cnn
÷
n+1
2
3
n + 1 1
1
22 − 1 1 23 − 1 2
2n+1 − 1 n
3n+1 − 2n+1
Cn +
Cn + ... +
Cn =
2
3
n+1
n+1
40. (ÑH khoái D 2003)
⇔ Cn0 +
Ta coù:
(x2 + 1)n = Cn0 x2n + C1nx 2n− 2 + Cn2x2n− 4 + ... + Cnn
(x + 2)n = Cn0 xn + 2C1nxn−1 + 22 Cn2xn− 2 + 23 Cn3 xn−3 + ... + 2n Cnn
Deã daøng kieåm tra n = 1, n = 2 khoâng thoaû maõn ñieàu kieän baøi toaùn.
Vôùi n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1
Do ñoù heä soá cuûa x3n–3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa:
(x2 + 1)n(x + 2)n
laø: a3n–3 = 23.Cn0 .Cn3 + 2.C1n.C1n
n = 5
2n(2n2 − 3n + 4)
= 26n ⇔
7
⇒ a3n–3 = 26n ⇔
n = − (loaïi)
3
2
Vaäy: n = 5.
41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2)
Ta coù:
⇔
⇔
Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100
2
( Cn2 ) + 2Cn2Cn3 + ( Cn3 )
2
( Cn2 + Cn3 ) = 100
2
= 100
⇔ Cn2 + Cn3 = 10
n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)
+
= 10
2
6
⇔
3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60
⇔
(n2 – n)(n + 1) = 60
⇔
(n – 1)n(n + 1) = 3.4.5
⇔
n = 4.
42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Ta coù khai trieån:
⇔
−1
2n
(x + 1)2n = C02nx 2n + C12nx 2n−1 + C22nx2n− 2 + ... + C2n
2n x + C2n
Cho x = –1 ta ñöôïc:
2
4
−1
2n
− C32n + C2n
− ... − C2n
0 = C02n − C12n + C2n
2n + C2n
−1
0
2
2n
⇔ C12n + C32n + ... + C2n
2n = C2n + C2n + ... + C2n
43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002)
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
20
x ≥ 1
x ≥ 2
x ≥ 3
⇔
1. Ñieàu kieän:
x ∈ N
x ≥ 3
x ∈ N
PT ⇔ x + 6
x!
x!
+6
= 9x2 – 14x
2!(x − 2)!
3!(x − 3)!
⇔ x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x
x = 0 (loaïi)
2
⇔ x(x – 9x + 14) – 0 ⇔ x = 7 (loaïi) ⇔ x = 2
x = 2
2. • Caùch 1:
2 2
19
20 20
x − ... − C19
+ C20
x
* Ta coù: (1 – x)20 = C020 − C120 x + C20
20 x
2
20
− ... − C19
Cho x = 1 ta coù: C020 − C120 + C20
20 + C20 = 0
2
20
+ ... + C20
= C120 + C320 + ... + C19
⇒ C020 + C20
20
Ñaët:
2
20
+ ... + C20
A = C020 + C20
;
⇒A=B
B = C120 + C320 + ... + C19
20
(1)
2 2
19
20
x + ... + C19
+ C20
* Ta coù: (1 + x) = C020 + C120 x + C20
20 x
20 x
20
2
20
20
+ ... + C19
Cho x = 1 ta coù: C020 + C120 + C20
20 + C20 = 2
⇒ A + B = 220
(2)
Töø (1) vaø (2) suy ra A =
220
= 219 (ñpcm).
2
• Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc Ckn+1 = Cnk −1 + Ckn vaø Cn0 = 1, ta ñöôïc:
19
C120 + C320 + C520 + ... + C17
20 + C20 =
0
1
2
3
16
17
18
19
+ C19
+ C19
+ C19
+ C19
+ C19
+ C19
+ C19
= C19
= (1 + 1)19 = 219.
44. (CÑ khoái AD 2003)
• Caùch 1:
Ta coù:
Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] =
= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1!
= …..
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
21
= 2! – 1.1! = 1
Vaäy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1.
• Caùch 2: Chöùng minh baèng qui naïp:
* Vôùi n = 1, ta coù P1 = P2 – 1 ⇔ 1! = 2! – 1. Meänh ñeà ñuùng.
* Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi n = k (k > 1), töùc laø ta coù:
P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – 1
* Ta caàn ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1
Thaät vaäy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1
= (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (ñpcm)
45. (CÑ Giao thoâng II 2003)
Do Cn0 = Cnn = 1 neân ta coù: Cn0C1n...Cnn = C1nCn2 ...Cnn−1
AÙp duïng BÑT Coâsi ta coù:
C1nCn2 ...Cnn−1
n−1
C1 + Cn2 + ... + Cnn−1
≤ n
÷
n−1
AÙp duïng khai trieån (a + b)n =
n
∑ Cknakbn−k
k =0
vôùi a = b = 1, ta coù:
Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n ⇒ C1n + Cn2 + ... + Cnn−1 = 2n – 2
n−1
2n − 2
Suy ra:
≤
÷
n−1
46. (CÑ Giao thoâng III 2003)
C1nCn2 ...Cnn−1
(ñpcm).
1. Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnnxn
Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc:
n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2x + 3Cn3 x2 + ... + nCnnxn−1
Cho x = –1
0 = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1nCnn
Vaäy S = 0.
2. Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnnxn
1
n
⇒ ∫ (1+ x) dx =
0
(1+ x)n+1
⇒
n=1
⇒
n+1
2
1
0
1
∫ ( Cn + Cnx + Cn x
0
0
1
2 2
)
+ Cn3 x3 + ... + Cnnxn dx
1
1
1
1 n n+1
= Cn0 x + C1nx2 + Cn2x3 + ... +
Cnx ÷
2
3
n+1
0
−1
1
1
1 n
= Cn0 + C1n + Cn2 + ... +
Cn
n+1
2
3
n+1
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Do ñoù: T =
Ta coù:
Cnn
Traàn Só Tuøng
22
n+1
2
−1
n+1
+ Cnn−1 + Cnn− 2
n ∈ N, n ≥ 2
= 79 ⇔
n(n − 1)
⇔ n = 12
1+ n + 2 = 79
213 − 1
.
13
47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003)
Vaäy: T =
Veá traùi = Ckn− 2 + Cnk −−12 + Cnk −−12 + Cnk−−22 = Ckn−1 + Cnk −−11 = Ckn .
48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò)
Ñieàu kieän: n ∈ Z, n ≥ 0.
3 (2n)! (3n)!
.
≤ 720 ⇔ (3n)! ≤ 720
BPT ⇔ (n!) .
n!n! (2n)!n!
Ta thaáy (3n)! taêng theo n vaø maët khaùc 6! = 720 ≥ (3n)!
0 ≤ n ≤ 2
Do ñoù: BPT coù nghieäm
.
n ∈ Z
49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003)
P(x)
= (16x – 15)2003 =
=
2003
∑
k =0
2003
∑
k =0
Ck2003 (16x)2003−k (−15)k
Ck2003 (16)2003−k (−15)k x2003−k
Caùc heä soá trong khai trieån ña thöùc laø: ak = Ck2003 (16)2003−k (−15)k
Vaäy: S =
2003
∑
k =0
ak =
2003
∑ Ck2003 (16)2003−k (−15)k = (16 – 15)
2003
k =0
=1
50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003)
Ñieàu kieän: n ∈ N, n ≥ 3.
n!
n!
+2
= 16n ⇔ n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n
PT ⇔
(n − 3)!
2!(n − 2)!
n = 5
⇔ n2 – 2n – 15 = 0 ⇔
n = −3 (loaïi)
vaäy: n = 5.
51. (CÑ Noâng Laâm 2003)
15
1 2
Ta coù: + x ÷
3 3
=
15
15−k
1
k
÷
∑ C15
3
k =0
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
k
2 k 15 k 2 k
÷x = ∑ C15 15 x
3
3
k =0
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
23
Goïi ak laø heä soá cuûa x trong khai trieån:
1 k k
ak = 15 C15 .2 ; k = 0, 1, 2, …, 15.
3
Xeùt söï taêng giaûm cuûa daõy ak:
k
k −1 k −1
k
k −1
k
.2 < C15
.2k ⇔ C15
< 2C15
ak–1 < ak ⇔ C15
32
, k = 0, 1,.., 15
3
Töø ñoù: a0 < a1 < a2 < … < a10
Ñaûo daáu BÑT treân ta ñöôïc:
32
ak–1 > ak ⇔ k >
⇒ a10 > a11 > … > a15.
3
⇔k<
Vaäy heä soá lôùn nhaát phaûi tìm laø: a10 =
210
210
10
C
=
3003.
.
15
315
315
52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003)
Ta coù:
−1 2n−1
2n
+ C2n
(1 – x)2n = C02n − C12nx + C22nx2 − C32nx3 + C42nx 4 − ... − C2n
2n x
2nx
Ñaïo haøm 2 veá theo x, ta coù:
–2n(1 – x)2n–1 =
−1 2n− 2
2n−1
+ 2nC2n
= −C12n + 2C22nx − 3C32nx 2 + 4C42nx3 − ... − (2n − 1)C2n
2n x
2nx
Theá x = 1 vaøo ñaúng thöùc treân, ta coù:
−1
2n
0 = −C12n + 2C22n − 3C32n + 4C42n − ... − (2n − 1)C2n
2n + 2nC2n
−1
2
4
2n
Vaäy: 1C12n + 3C32n + ... + (2n − 1)C2n
2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n .
53. (ÑH khoái A 2004)
Ta coù: [1 + x2(1 – x)]8 = C08 + C18 x 2 (1− x) + C82x 4 (1− x)2 + C38 x6 (1− x)3 +
+ C84 x8 (1− x)4 + C58 x10 (1− x)5 + C68 x12 (1− x)6 + C78 x14 (1− x)7 + C88x16 (1− x)8
Baäc cuûa x trong 3 soá haïng ñaàu nhoû hôn 8, baäc cuûa x trong 4 soá haïng
cuoái lôùn hôn 8.
Vaäy x8 chæ coù trong caùc soá haïng thö tö, thöù naêm, vôùi heä soá töông öùng
laø:
C38 .C32 ; C84 .C04
Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238.
54. (ÑH khoái D 2004)
7
1
3
Ta coù: x + 4 ÷ =
x
7
∑
k =0
7 −k 1
Ck7 3 x
4
(
)
k
÷ =
x
7
∑
k =0
28−7k
k
C7 x 12
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
24
Soá haïng khoâng chöùa x laø soá haïng töông öùng vôùi k (k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ 7)
28 − 7k
=0 ⇔k=4
thoaû maõn:
12
Vaäy soá haïng khoâng chöùa x caàn tìm laø: C74 = 35.
55. (ÑH khoái A 2005)
2
2
3
3
2n+1 2n+1
Ta coù: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n
+1x + C2n+1x + ... + C2n+1x
Ñaïo haøm 2 veá ta coù:
2
3
2
2n+1 2n
(2n + 1)(1 + x)2n = C12n+1 + 2C2n
+1x + 3C2n+1x + ... + (2n + 1)C2n+1x
Thay x = –2, ta coù:
2
2 3
2n 2n+1
C12n+1 − 2.2C2n
+1 + 3.2 C2n+1 − ... + (2n + 1)2 C2n+1 = 2n + 1
Theo giaû thieát ta coù: 2n + 1 = 2005 ⇒ n = 1002.
56. (ÑH khoái D 2005)
Ñieàu kieän: n ≥ 3.
Ta coù: Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149
(n + 1)!
(n + 2)!
(n + 3)!
(n + 4)!
+2
+2
+
= 149
2!(n − 1)!
2!n!
2!(n + 1)! 2!(n + 2)!
n = 5
⇔ n2 + 4n – 45 = 0 ⇔
n = −9 (loaïi)
⇔
Vaäy: n = 5.
57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2)
2
2
3
3
2n+1 2n+1
Ta coù: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n
+1x + C2n+1x + ... + C2n+1x
2
3
2n+1
Cho x = 1 ta coù: 22n+1 = C02n+1 + C12n+1 + C2n
+1 + C2n+1 + ... + C2n+1
Cho x = –1 ta coù: 0 =
Laáy (1) – (2) ⇒ 2
2n+1
2
3
2n+1
C02n+1 − C12n+1 + C2n
+1 − C2n+1 + ... − C2n+1
= 2
(
2n+1
C12n+1 + C32n+1 + ... + C2n
+1
)
2n+1
⇒ 22n = C12n+1 + C32n+1 + ... + C2n
+1 = 1024 ⇒ 2n = 10
Ta coù: (2 – 3x) =
10
10
k 10−k
2
(3x)k
∑ (−1)k C10
k =0
7 7 3
3 2
Suy ra heä soá cuûa x laø −C10
7
58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1)
+1
Ck2005 ≥ Ck2005
(k ∈ N)
Ck2005 lôùn nhaát ⇔ k
k −1
C2005 ≥ C2005
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
(1)
(2)
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
25
2005!
2005!
k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)!
k + 1 ≥ 2005 − k
⇔
⇔
2005!
2005!
2006 − k ≥ k
≥
k!(2005 − k)! (k − 1)!(2006 − k)!
k ≥ 1002
⇔
⇔ 1002 ≤ k ≤ 1003, k ∈ N.
k ≤ 1003
⇔ k = 1002 hoaëc k = 1003.
59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2)
Ta coù: 2Pn + 6 An2 − PnAn2 = 12 (n ∈ N, n > 1)
6.n!
n!
n!
− n!
= 12 ⇔
(6 − n!) − 2(6 − n!) = 0
(n − 2)!
(n − 2)!
(n − 2)!
6 − n! = 0
n = 3
n! = 6
⇔ n!
⇔
⇔ 2
−2=0
n − n − 2 = 0
n(n − 1) − 2 = 0
(n − 2)!
⇔ 2n! +
n = 3
⇔
n = 2 (vì n ≥ 2)
Vaäy: n = 2 hoaëc n = 3.
60. (ÑH khoái A 2006)
2
n
20
• Töø giaû thieát suy ra: C02n+1 + C12n+1 + C2n
+1 + ... + C2n+1 = 2
Vì
Ck2n+1
=
2n+1−k
C2n
=1
(1)
, ∀k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 neân:
1 0
2
2n+1
C2n+1 + C12n+1 + C2n
+1 + ... + C2n+1
2
Töø khai trieån nhò thöùc Newton cuûa (1 + 1)2n+1 suy ra:
2
n
C02n+1 + C12n+1 + C2n
+1 + ... + C2n+1 =
(
2
2n+1
2n+1
C02n+1 + C12n+1 + C2n
= 22n+1
+1 + ... + C2n+1 = (1+ 1)
)
(2)
(3)
töø (1), (2), (3) suy ra: 2 = 2 ⇔ n = 10.
2n
10
1
7
• Ta coù: 4 + x ÷
x
Heä soá cuûa x laø
26
k
C10
=
20
10
k
(x−4 )10−k ( x7 )
∑ C10
k =0
k
=
10
k 11k − 40
x
∑ C10
k =0
vôùi k thoaû maõn: 11k–40 = 26 ⇔ k = 6
6
Vaäy heä soá cuûa x26 laø C10
= 210.
61. (ÑH khoái B 2006)
Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng Ckn . Töø giaû thieát suy ra:
Cn4 = 20Cn2 ⇔ n2 – 5n – 234 = 0 ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4)
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Do
k +1
C18
k
C18
=
26
Traàn Só Tuøng
18 − k
2
9
> 1 ⇔ k < 9, neân: C118 < C18
< ... < C18
k +1
9
10
18
> C18
> ... > C18
⇒ C18
Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9.
62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006)
ÑK: x ∈ N, y ∈ N*, x ≤ y.
Töø phöông trình thöù hai suy ra x = 4
Thay vaøo phöông trình thöù nhaát ta ñöôïc:
y = 1(loaïi)
y2 – 9y + 8 = 0 ⇔
.
Vaäy: x = 4; y = 8.
y = 8
63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006)
ÑK: n ∈ N, n ≤ 4
1
1
1
− n = n ⇔ n!(4 − n)! − n!(5 − n)! = n!(6 − n)!
n
C4 C5 C6
4!
5!
6!
n = 15 (loaïi)
⇔ n2 – 17n + 30 = 0 ⇔
n = 2
Vaäy: n = 2.
64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006)
n ∈ N,n ≥ 2
n(n − 1)
• Cn0 + C1n + Cn2 = 211 ⇔
1+ n + 2 = 211
n ∈ N,n ≥ 2
⇔ 2
⇔ n = 20
n + n − 420 = 0
•
(k + 1).Ckn
A1k+1
=
(k + 1)Ckn
= Ckn
(k = 1, 2, …, n)
(k + 1)!
k!
20
Do ñoù: vôùi n = 20 ta coù: S = C020 + C120 + ... + C20
= 220.
65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006)
Soá haïng thöù k + 1 trong khai trieån (1 – 2x)n laø: Tk+1 = Ckn (−2)k .xk
Töø ñoù ta coù: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71
n ∈ N, n ≥ 2
n ∈ N, n ≥ 2
n(n − 1)
⇔
⇔ 2
⇔n=7
n + 2n − 35 = 0
1− 2n + 4 2 = 71
Vôùi n = 7, ta coù heä soá cuûa x5 trong khai trieån (1 – 2x)n laø:
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
Traàn Só Tuøng
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
27
a5 =
C57 (−2)5
= – 672.
66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006)
n(n − 1)(n − 2)
= 13n
Ta coù: C1n + Cn3 = 13n ⇔ n +
6
n = 10
⇔ n2 – 3n – 70 ⇔
n = −7 (loaïi)
Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån nhò thöùc laø:
k
k 20− 5k
(x2 )10−k (x−3 )k = C10
x
Tk+1 = C10
Tk+1 khoâng chöùa x ⇔ 20 – 5k = 0 ⇔ k = 4
4
Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø: T5 = C10
= 210.
67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006)
2
4n+ 2
4n+ 2
• Caùch 1: Ta coù: C04n+ 2 + C14n+ 2 + C4n
+ 2 + ... + C4n+ 2 = 2
2
4
4n+ 2
4n+1
C04n+ 2 + C4n
+ 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 2
2
4
2n
4n
C04n+ 2 + C4n
+ 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 2
Vaäy coù: 24n = 256 ⇔ n = 2
2
4
2n
• Caùch 2: Ñaët Sn = C04n+ 2 + C4n
+ 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2
2
4
2n
Thì Sn+1 = C04n+ 6 + C4n
+ 6 + C4n+ 6 + ... + C4n+ 6
2k
Vì C2k
4n+ 6 ≥ C4n+ 2 (0 ≤ k ≤ n) neân Sn+1 > Sn ⇒ daõy (Sn) taêng.
0
2
4
+ C10
+ C10
Khi n = 2 thì S2 = C10
= 256
Vaäy Sn = 256 ⇔ n = 2.
68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006)
20
1
A = x − 2 ÷
x
10
1
+ x3 − ÷
x
20
k
k k 20−k ( −2 )
x
+
= ∑ (−1) C20 x
=
k =0
20
∑ ( −1)
k =0
k
Ck20 x20−3k +
10
10
n ( 3)
x
∑ (−1)n C10
( x−1) n
n=0
∑ ( −1)
n= 0
10−k
n
n 30− 4n
C10
x
Xeùt tröôøng hôïp 20 – 3k = 30 – 4n ⇔ 10 – n = 3(n – k)
Vì 0 ≤ n ≤ 10 vaø 10 – n phaûi laø boäi soá cuûa 3 neân n = 4 hay n= 7 hay n=
10
⇒ coù 3 soá haïng trong hai khai trieån treân coù luyõ thöøa cuûa x gioáng
nhau.
Vaäy sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu thöùc A seõ goàm:
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Traàn Só Tuøng
28
21 + 11 – 3 = 29 soá haïng.
69. (CÑ KT Y teá I 2006)
−1 2n−1
2n
+ C2n
Ta coù: 42n = (1 + 3)2n = C02n + C12n 31 + C22n 32 + ... + C2n
2n 3
2n 3
−1 2n−1
2n
+ C2n
22n = (1 – 3)2n = C02n − C12n 31 + C22n 32 − ... − C2n
2n 3
2n 3
⇒
(
2n
42n + 22n = 2 C02n + C22n 32 + ... + C2n
2n 3
)
⇒
4 + 2 = 2.2 (2 + 1)
⇒
(22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0
⇒
22n = 216
⇒ n = 8.
70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006)
Theo khai trieån nhò thöùc Newton ta coù:
2n
2n
15
16
(a + b)n = Cn0an + C1nan−1b + ... + Cnnbn
• Vôùi a = 3, b = – 1 ⇒ 2n = (3 – 1)n = Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn
• Vôùi a = 1, b = 1
⇒ 2n = (1 + 1)n = Cn0 + C1n + ... + Cnn
Vaäy: Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn = Cn0 + C1n + ... + Cnn
71. (CÑ KT Y teá 1 2005)
ÑK: x ∈ N, x ≥ 2
(x + 1)!
x!
+3
− 20 < 0
BPT ⇔ 2
2!(x − 1)!
(x − 2)!
⇔ x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 ⇔ 2x2 – x – 10 < 0 ⇔ – 2 < x <
Keát hôïp ñieàu kieän ⇒ x = 2.
72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006)
k
(−1)k x45− 2k yk
Soá haïng toång quaùt: C15
45 − 2k = 29
⇒
⇔k=8
k = 8
8
Vaäy heä soá cuûa x29y8 laø: C15
= 6435.
73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006)
Soá haïng thöù k + 1 trong khai trieån (1 – 2x)n laø:
Tk+1 = Ckn (−2)k xk
Töø ñoù ta coù: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71
n ∈ N, n ≥ 2
n(n − 1)
⇔
⇔
1− 2n + 4 2 = 71
Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com
n ∈ N, n ≥ 2
2
⇔ n = 7.
n + 2n − 35 = 0
5
2
Traàn Só Tuøng
29
Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
[...]... Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8 Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: C38 C32 ; C84 C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 54 (ĐH khối D 2004) 7 1 3 Ta có: x + 4 ÷ = x 7 ∑ k =0 7 −k 1 Ck7 3 x 4 ( ) k ÷ = x 7 ∑ k =0 28−7k k C7 x 12 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 24 Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng... 10 2n 10 1 7 • Ta có: 4 + x ÷ x Hệ số của x là 26 k C10 = 20 10 k (x−4 )10−k ( x7 ) ∑ C10 k =0 k = 10 k 11k − 40 x ∑ C10 k =0 với k thoả mãn: 11k–40 = 26 ⇔ k = 6 6 Vậy hệ số của x26 là C10 = 210 61 (ĐH khối B 2006) Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng Ckn Từ giả thiết suy ra: Cn4 = 20Cn2 ⇔ n2 – 5n – 234 = 0 ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4) Tuyển tập Đại số tổ hợp Do k +1 C18 k C18 = 26 Trần Só Tùng 18... n=0 ∑ ( −1) n= 0 10−k n n 30− 4n C10 x Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n ⇔ 10 – n = 3(n – k) Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 10 ⇒ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 28 21 + 11 – 3 = 29 số hạng 69 (CĐ KT Y tế I 2006) −1 2n−1 2n + C2n Ta... ∑ C15 15 x 3 3 k =0 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 23 Gọi ak là hệ số của x trong khai triển: 1 k k ak = 15 C15 2 ; k = 0, 1, 2, …, 15 3 Xét sự tăng giảm của dãy ak: k k −1 k −1 k k −1 k 2 < C15 2k ⇔ C15 < 2C15 ak–1 < ak ⇔ C15 32 , k = 0, 1, , 15 3 Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10 Đảo dấu BĐT trên ta được: 32 ak–1 > ak ⇔ k > ⇒ a10 > a11 > … > a15 3 ⇔k< Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = 210... (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (−2)k xk Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ 2 n ∈ N, n ≥ 2 n(n − 1) ⇔ ⇔ 2 ⇔n=7 n + 2n − 35 = 0 1− 2n + 4 2 = 71 Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 27 a5 = C57 (−2)5 = – 672... Hệ số của x là 31 40 ∑ k =0 Ck40 40−k 1 ÷ x2 Ck40 xk = 40 ∑ Ck40x3k−80 k =0 với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 ⇔ k = 37 37 3 Vậy: hệ số của x31 là C40 = C40 = 40.39.38 = 40.13.19 = 9880 1.2.3 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp 1 1 2 * Với n = 2, đpcm ⇔ 2 = 2 ⇔ A2 = 2 đúng A2 * Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có: Tuyển tập Đại số tổ hợp. .. Vinh khối AB 2001) Ta có: Ckn = Ckn n! n! n−k +1 và Ckn−1 = ⇒ k −1 = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k Cn Do đó: Ckn > Ckn−1 ⇔ Bảng biến thiên: n−k +1 n+1 >1 ⇔ k < k 2 Tuyển tập Đại số tổ hợp 16 Trần Só Tùng n+1 2 ⇒ Ckn lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Ta có: 2001 ∑ Ck2001.xk (x + 1)2001 = (–x + 1)2001 = k =0 2001 ∑ Ck2001.(−x)k k =0 Cộng lại ta được: (x... + + C2n +1 = 1024 ⇒ 2n = 10 Ta có: (2 – 3x) = 10 10 k 10−k 2 (3x)k ∑ (−1)k C10 k =0 7 7 3 3 2 Suy ra hệ số của x là −C10 7 58 (ĐH khối D 2005 dự bò 1) +1 Ck2005 ≥ Ck2005 (k ∈ N) Ck2005 lớn nhất ⇔ k k −1 C2005 ≥ C2005 Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com (1) (2) Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 25 2005! 2005! k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)! k + 1 ≥ 2005 − k ⇔ ⇔ 2005! 2005! 2006... a0 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 = 5n ⇔ 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇔ Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 17 n = −4 (loại) ⇔ n2 – 3n – 28 = 0 ⇔ n = 7 Với n = 7 ta có: C37 (2 )(2 ) x −1 2 −x 3 3 = 140 ⇔ 35.22x–2.2–x = 140 ⇔ 2x–2 = 4 ⇔ x = 4 Vậy n = 7, x = 4 33 (ĐH khối B 2002) Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n là C32n Gọi đường chéo của đa giác đều A 1A2…A2n... ⇔ (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 ⇔ n = 4 42 (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Ta có khai triển: ⇔ −1 2n (x + 1)2n = C02nx 2n + C12nx 2n−1 + C22nx2n− 2 + + C2n 2n x + C2n Cho x = –1 ta được: 2 4 −1 2n − C32n + C2n − − C2n 0 = C02n − C12n + C2n 2n + C2n −1 0 2 2n ⇔ C12n + C32n + + C2n 2n = C2n + C2n + + C2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 20 x ≥ 1 x ≥ 2 x ≥ 3 ⇔ 1 Điều ... wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tính hệ số a5 38 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x... a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 29 (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n số nguyên dương cố đònh Chứng minh Ckn lớn k số tự nhiên lớn không vượt... (đẳng thức ⇔ k = 1000) (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát khai triển là: Tuyển tập Đại số tổ hợp k C17 Trần Só Tùng 10 (x ) (x ) − 17 −k 3 k Để số hạng không chứa x k = C17 17 34 12 k − x4
Ngày đăng: 11/10/2015, 07:31
Xem thêm: Tuyển tập đại số tổ hợp