Bài 10: Phương trình xy  xz  sin z  0 nghiệm đúng tại ( x, y, z )  (0,0,0). Chứng minh rằng: tập nghiệm của phương trình đã cho trong lận cận của điểm này có thể biểu diễn với dạng của một đồ thị. Đồng thời chỉ ra rằng điều khẳng định trên là đúng tại mọi nghiệm của phương trình. Giải +Ta đặt: C   x, y, z  xy  xz  sin z  0 +Gọi: f ( x, y, z )  xy  xz  sin z  f x'  y  z    f y'  x  '  f z  x  cos z +Ta xét hệ phương trình:  f x'  0 y  z  0  ' y  z  0   fy  0 x  0     cos z  0 (Vô nghiệm). '  fz  0  x  cos z  0 sin z  0  xy  xz  sin z  0  xy  xz  sin z  0    f không chứa điểm tới hạn nào.  ( x, y, z )  C thì f x'  0 hoặc f y'  0 hoặc f z'  0 nên theo định lý 1.7 thì C trong lân cận nào đó của điểm ( x, y, z ) có thể biểu diễn dưới dạng một đồ thị. Do đúng với ( x, y, z )  C nên đúng với (0,0,0)  C. Bài 11: Gọi 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, ℎ(𝑥, 𝑦))} ∁ 𝑅3 là đồ thị của hàm ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥𝑦 3 . Chứng tỏ rằng trong một lân cận của mỗi điểm của 𝑆 thỏa mãn điều 3𝑥𝑦 2 ≠ 1, 𝑆 có thể được viết dưới dạng đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑧) với 𝑔 là trơn. Giải Xét C  x, y, z  : z  xy 3  y  0 Suy ra C  x, y, z  : z  y  xy 3   S Đặt f ( x, y, z )  z  xy 3  y Giả sử x0 , y0 , z0  là điểm bất kỳ thuộc C ( S ) thỏa 3x0 y02  1. . Khi đó f x0 , y0 , z0   3x0 y02 1 0 . y Theo định lý 1.7 thì tồn tại 1 lân cận nào đó của x0 , y0 , z0  sao cho C (hay S ) có thể được viết dưới dạng đồ thị của hàm y  g x , z  với g là hàm trơn. (đpcm) Bài 12: Xét hệ phương trình trong 𝑅3 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑧 2 − 𝑦 2 = 0 và𝑥𝑦𝑧 = 1 nghiệm đúng tại (1,1,1). Chứng minh rằng, tồn tại một lân cận mà trong đó tập nghiệm có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của hàm (𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑧), với 𝑥 và 𝑦 là các hàm của 𝑧. Giải  0  2x 2  x 2 z 2  y 2   ; c    Xét f x , y , z     xyz   1   4 x  2 xz Có ma trận Jacobi là Df x , y , z     yz 2  2  Df 1,1,1   1 1 2  2y xz  2 zx 2   xy   2  1  Định thức cấp 2 của 2 cột đầu là 4, vì định thức này khác không nên theo định lý 1.7 ta có thể giả sử x , y  là hàm của z trong lân cận của 1,1,1 . Nói cách khác tồn tại một lân cận của 1 ,1 ,1 mà trong đó tập nghiệm có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của hàm hz   x , y  (đpcm). Câu 13: Xét ánh xạ f: R 3  R 2 và c  R 2 được cho bởi 1 f ( x, y, z )  ( x 2  y 2  z 2 ,( x  )2  y 2 ), với c  (1, a 2 ) 2 Với a  0. Gọi L  R 3 là tập nghiệm của hệ phương trình f ( x, y, z )  c a)Giải thích việc L là giao tuyến của mặt cầu và mặt trụ, đồng thời xác định bán kính của nó. b)Với mỗi một trường hợp trong 6 trường hợp sau đây, hãy xác định tập hợp các điểm trong L sao cho tại đó rank(Df(p)) 1 Suy ra mặt trụ chứa mặt cầu với bán kính giao tuyến là 1.