TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP C ơ LÝ THUYÉT GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP C ơ LÝ THUYỂT GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI - 2015 L Ờ I CẢ M ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè nhũng người đã luôn quan tâm giúp đõ' tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận của mình. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào. Neu trong khóa luận có gì không trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Phương M Ụ C LỤC L Ờ I C Ả M ƠN LỜI CAM ĐOAN M Ở Đ Ầ U .............................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu đề tài................................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứ u ........................................................................................... 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên c ứ u .................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên c ú n ....................................................................................2 6. Bố cục của đề tà i.................................................................................................. 2 7. Đóng góp của đề t à i .............................................................................................2 CHƯƠNG 1: NHỬNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN............................................... 3 1.1. Khái niệm về liên k ế t....................................................................................... 3 1.1.1. Số bậc tự do - Liên k ế t............................................................................. 3 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ả o ...................................................5 1.2. Tọa độ suy rộng.................................................................................................6 1.3. Liên kết lí tưởng................................................................................................6 1.4. Hàm Lagrange................................................................................................... 7 1.4.1. Hàm Lagrange.............................................................................................7 1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự d o .................................................................... 9 1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau................................. 10 1.5. Hàm H am inton..............................................................................................11 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON........................................... 12 2.1. Phương trình tổng quát của động lực h ọ c.................................................. 12 2.2. Phương trình H am inton................................................................................ 13 2.2.1. Xung lượng suy rộ n g .............................................................................. 13 2.2.2. Xây dựng hàm Haminton....................................................................... 13 2.2.3. Phương trình Haminton...........................................................................15 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẲNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON....................................................................................................... 17 3.1. Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin để giải bài tập.................17 3.2. Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập.....................17 K ÉT L U Ậ N ...................................................................................................... 45 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O ..........................................................................46 M Ở ĐÀU 1. Lí do chọn đề tài Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thế kỉ XIX một chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khắng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết”. Nó đã diễn tả được các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tồng quát và có ỷ nghĩa to lớn trong khoa học và đời sống cũng như trong kĩ thuật. Bên cạnh đó, nhờ nhũng suy luận lôgic nó còn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng thực nghiệm. Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt. Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với người học. Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần phát triển khả năng tư duy. Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho người học. Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới đế tiếp cận bài Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lỷ thuyết giải bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng phương trình Haminton đế giải một số bài tập cơ lý thuyết đế tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ. 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết. - Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lỷ thuyết. - Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Haminton. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết. - Phương pháp vật lý toán học. 6. Bố cục của đề tài Chưong 1: Những khái niệm cơ bản. Chương 2: Phương trình Haminton. Chưong 3: Giải một số bài tập bằng hệ phương trình Haminton. 7. Đóng góp của đề tài - Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminton và áp dụng nó đế giải một số bài tập cơ lý thuyết. - Là tài liệu tham khảo cho sinh viến khi học môn cơ lý thuyết. 2 N Ộ I DƯ N G CHƯƠNG 1 N H Ũ N G K H Á I N IỆ M c ơ BẢ N 1.1. Khái niệm về liên kết 1.1.1. Số bậc tự do - Liên kết 1.1.1.1. Số bậc tự do Xét 1 cơ hệ gồm N chất điểm Mị, M 2v... Mn chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm M¡ trong không gian được xác định bởi bán kính vecto r hay ba tọa độ Descartes X i, y¡, Z j. Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto r¡, (i = 1,2,...,AO hay 3N tọa độ D e s c a r t e s X j, y ị, Zị ( i = 1, 2 , . . . , A O - Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đon giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của nó. 1.1.1.2. Khái niệm về liên kết Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điếm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của các tọa độ. Xét 3 chất điểm A(x1,y 1,z ]),ß (x 2,y 2,z 2),C (x3, y 3, z 3)v à khoảng cách giữa 2 chất điểm A, B là ĩn, 2 chất điểm B, c là r23, 2 chất điểm A, r31, biểu thức thể hiện sự ràng buộc: c là A (x,, y ,, Z, ) (x2 - x ly + ( y 2- y i)2 + ( z 2- z,y = r122 (x3 - x 2ý + ( y ì - y 2ý + (z3 - z 2)2 = r232 (x, - x3ý + ?,+s M ' t ) =ữ V , + b,ới + cf À + 8e( ĩ,’t ) = ữ ỹ/l, Ệ + 8 Á ĩn t ) = ° V r + g/ì(r„t)dl=0 với (/? = l,2,....,N ;i = 1,2,...N) (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm. 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên kết (1.1) và (1.2): df ợ ' t ) = ỵ ^ d r ; + ^ c h = 0 t I d r i' ' õt p„id’:: + g,>ựÊ,t)dt = 0 p/»dr'+g/ì(r;,t)dt = 0 1.1.2.2. Dịch chuyển ảo Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé ổri = cựi —cữ.i 5 1.2. Tọa độ suy rộng Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi (i = \,2,...,N) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học. Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3 N - m - n tọa độ độc lập qi, q2v... qs thì q,, q2,— qslà những tọa độ suy rộng. dt = s + ) Id Ả Ỉ L A dt ị ị dt ị dt ỐS' = ỏ s + ô ịd f ( q k,t) ^ Ổ S ' = ỔS Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange có ỷ nghĩa bất định. 8 1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào f , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc V . Từ tính đắng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của V có nghĩa là: L = L(y2) Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Khi chuyển từ hệ K sang K ’ thì: L(v2)^> l ( v + ỹ ) : L = av2 L(v2) = av2 = a í(v ' + _ ỹ)2Ị= av'- + 2av'V + a V 2 dr ' dt => L(v-) = L ự 2) + — ( 2a 7 V + a V 2t) > d/ ì tt v' 1 Chọn a = — do đó L ——— 2 2 1 T _ , Đôi với hệ: L = ^ N mv y2 — - trong đó n là sô chât điêm của cơ hệ. Ỵ Ị -ị r Trong hệ tọa độ Descartes: 9 r t (vỴ = ídp ã_ Kdt J dt d i1 = dx L= + d y 2 + dz m ^ dx2 dy2 d z2^ dt dt -------- 1 -----------1 -------dt ^ T / 2 2 2\ L = — (x + y + z ) 2 - Trong tọa độ trụ: X = rcosạ? y = rsin ạ ) z =z d í - = d r 2 + r 2d ( p + d z T _ m í •2 . 2^ - 2 - 2 , •2 \ ^ Trong hệ tọa độ cầu: X = r s 'm ỡ c o s (p y = rsin ỡ sin ọ z = r cosớ dl2 = dr2 + r2d ỡ 2 + r 2sin26 d ọ 2 ^ L = - ( r + r ỏ 2 + r 2s i n 2Ỡ Ọ - ) 1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ. Dùng các hệ tọa độ suy rộng: 10 • _ V OJ ị . *=1 a, u +ỳ, + i ) - v { x „ i=i y,z ,) =^Zöa(?)-9Ä - f/(fl') z /,* 1.5. Hàm Haminton Ta có: s H = r p kqk - L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ Jt=i Neu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng í ? = 0>i thì: H=T +Ư L =T -U ư= U (r) ÕL = > Pi = ổật % ÔH Qk ~ ổpt Với k = l,2 ,... 11 ÕT — - —— CHƯƠNG 2 P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N 2.1. Phương trình tống quát của động lực học Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng. Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng: mw=F+R (2.1) nên: m.w. ĩ ĩ —F.ĩ = R;ĩ Từ điều kiện: X«. Pt = Ệ L = ^ - = Ỳ . aA dqk õqt (.1 — +bt { k = \ , s ) Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian Từ đó ta có: [...]... phương ngang một góc a Bỏ qua sức cản của không không khí nên chuyển động của vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực Vật chỉ chuyển dộng trong mặt phắng thẳng dứng nên chỉ có 2 bậc tự 27 Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Gốc tọa độ trùng với vị trí ban đầu của vật Chon tọa độ X, y trên các trục là tọa độ suy rộng của vật Động năng của vật: T =—m(x2+ ỷ 2) 2 Chọn gốc thế năng tại o Thế năng của vật: ư =mgỵ... nghĩa bất định 8 1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự do Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào f , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc V Từ tính đắng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của V có nghĩa là: L = L(y2) Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu... t=0 thì X =x0 =0 Vật rơi xuống mặt đất từ độ cao h nên ta có: 26 h = v„t + ị1g r2 + h „ ^h= -ỵ =>í 2= —2/7 = > í = Ỉ—— 2/z Vs 8 =>x = g F ^ = y/2~gĩĩ Vs Vậy vận tốc của vật là: i = Bài tập 6: Một vật khối lượng m được ném lên vói vận tốc ban đầu v0, dưới một góc a so với phương nằm ngang Hãy tìm phương trình vận tốc và phương trình chuyến động của vật Bỏ qua sức cản của không khí Giải: Vật có khối lượng... năng u không phụ thuộc vào qk nên pk có dạng: dĩ dT > Pt = Ệ L = ^ - = Ỳ aA dqk õqt (.1 — +bt { k = \ , s ) Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian Từ đó ta có: ... HỌC su ' PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP C LÝ THUYỂT GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn... không ngừng khoa học, vào kỉ XIX chuyên ngành vật lý đời, khắng định mối liên hệ chặt chẽ vật lý học toán học, ngành Vật lý lý thuyết Nó diễn tả quy luật vật lý, học thuyết tồng quát có ỷ nghĩa... hy vọng khóa luận làm tài liệu tham khảo có ích cho bạn sinh viên đam mê nghiên cún vật lý lý thuyết, đặc biệt học lý thuyết- học phần có tính chất sở toàn chương trình vật lý lý thuyết 45