TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  NGUYỄN THÚY AN MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI – 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  NGUYỄN THÚY AN MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thúy An LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kì một tác giả nào. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thúy An MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Nội dung của khóa luận................................................................................. 2 7. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2 NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm cơ bản 1.1: Khái niệm về liên kết ................................................................................. 3 1.1.1: Số bậc tự do- liên kết .............................................................................. 3 1.1.2: Dịch chuyển ảo và dịch chuyển khả dĩ ................................................... 5 1.2: Tọa độ suy rộng.......................................................................................... 5 1.3: Liên kết lý tưởng ........................................................................................ 6 1.4: Hàm Lagrange .......................................................................................... 6 1.5: Hàm Haminton ......................................................................................... 10 Chương 2: Phương trình Lagrange 2.1: Phương trình Lagrange loại I ................................................................... 11 2.1.1: Nguyên lí Đalămbe –Lagrange ............................................................. 11 2.1.2: Phương trình Lagrange loại I ................................................................ 11 2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I ................................... 13 2.3: Phương trình Lagrange loại II .................................................................. 14 2.3.1: Xây dựng phương trình ......................................................................... 14 2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk ............................................................................. 15 2.3.3: Ý nghĩa của Zk....................................................................................... 17 2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế ......................... 16 2.3.3: Phương trình Lagrange loại II là một phương trình vi phân bậc hai đối với tọa độ suy rộng .......................................................................................... 17 Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ học ................................................................................................ 19 3.2: Vận dụng giải một số bài tập trong cơ lý thuyết ...................................... 19 KẾT LUẬN .................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 49 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết cho đến thế kỉ XIX 1 chuyên ngành vật lý mới ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học đó là “chuyên nghành vật lý lý thuyết”. Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống và kĩ thuật. Với sự kết hợp những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra được những quy luật mới chưa tìm được bằng thực nghiệm và tiên đoán trước những mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý. Phương pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu cơ học được gọi là cơ lý thuyết. Đối với cơ hệ có chịu liên kết đã được nhà vật lý Lagrange tìm ra và được gọi là phương trình Lagrange. Phương trình Lagrange loại II thì có ưu điển hơn phương trình Lagrange loại I. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” giải quyết một số bài toán trong cơ lý thuyết. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khóa luận này là áp dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết để nghiên cứu các hệ dao động bé và chuyển động của vật rắn mà chúng ta thường gặp trong thực tế. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lý tưởng, tọa độ suy rộng, hàm Lagrange, hàm Haminton. 1 - Xây dựng phương trình Lagrange loại I tìm ra những hạn chế của phương trình Lagrange loại I để từ đó xây dựng phương trình Lagrange loại II. - Ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào việc giải một số bài tập. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương trình Lagrange loại II là cơ sở quan trọng của nhiều bài toán. Đối tượng của khóa luận là ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào giải một số bài tập cơ lý thuyết. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và giải tích toán học trong việc ứng dụng để giải các bài tập cơ lý thuyết bằng phương trình Lagrange loại II. 6. Nội dung nghiên cứu Chương 1: Những khái niệm cơ bản. Chương 2: Phương trình Lagrange. Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết. 7. Đóng góp của đề tài. - Vận dụng để giải các bài tập một cách đơn giản để tìm đặc điểm chuyển động của chất điểm… - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý thuyết. 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1: Khái niệm về liên kết 1.1.1: Số bậc tự do – Liên kết 1.1.1.1: Số bậc tự do Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của nó. 1.1.1.2: Khái niệm về liên kết Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết củả tọa độ và vận tốc. Giả sử ta xét cơ hệ gồm 3 chất điểm có tọa độ A  x1 , y1 , z1  ; B  x2 , y2 , z2  ; C  x3 , y3 , z3  . Khoảng cách giữa 3 điểm lần lượt là r12 ; r23 ; r31 biểu diễn như hình vẽ: A  x1 , y1 , z1  r31 C  x3 , y3 , z3  r12 B  x2 , y2 , z2  r23 Hình 1.1 3 Biểu thức nêu lên điều kiện liên kết của 3 chất điểm là: ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2  2 2 2 2 ( x3  x2 )  ( y3  y2 )  ( z3  z2 )  r23 ( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2  r 2 1 3 1 3 31  1 3 Hay: ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2  0  2 2 2 2 ( x3  x2 )  ( y3  y2 )  ( z3  z2 )  r23  0 ( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2  r 2  0 1 3 1 3 31  1 3 Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng k phương trình: . f ( x1 , y1 , z1 ,....xN , yN , zN ;x1 , y1 ,z1 ,...x N , y N , zN , t)  0 với (  1,2,3,.....,k ) f (ri , ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N ) Hay rút gọn: - Khi cơ hệ không phụ thuộc vào vận tốc hay chỉ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học:  f  (ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N ) - Khi cơ hệ phụ thuộc cả tọa độ, vận tốc, thời gian thì liên kết đặt lên cơ hệ được gọi là liên kết động học: f  ri , ri , t   0 với (  1,2,...k , i  1,2,...N ) f f dri   dt  0 với (  1,2,...., N) t i 1 ri N - Ta có: df (ri , t )   4 (1.1) Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được. 1.1.1.1.3: Hệ hôlônôm Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên nó gọi là cơ hệ hôlônôm. P i ri  g   ri , t   0 a i xi  b i yi  c i zi  g   ri , t   0 P i dri  g   ri , t   0 dt P i dri  g   ri , t  dt  0 với (   1,2,...., N;i  1,2,...N) (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm. 1.1.2: Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1: Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên kết (1.1) và (1.2): f f dri   dt  0 t i 1 r i N df (ri , t )   f f dri   dt  0 t i 1 r  i N df (ri , t )   P i dri  g   ri , t  dt  0 P i dri  g   ri, t  dt  0 5 1.1.2.2: Dịch chuyển ảo Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé  ri  dri  dri 1.2: Tọa độ suy rộng Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi (i= 1,2,…N) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học. Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N-m-n tọa độ độc lập q1, q2,…. qs thì q1, q2,…. qs là những tọa độ suy rộng. qk  qk (ri , t ) ri  ri (qk , t ) với ( i  1, N ; k  1, s ) Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó. 1.3: Liên kết lý tưởng Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: N   N  R r   ( R x i 1 i i i 1 ix i  Riy yi  Riz zi )  0 1.4: Hàm Lagrange 1.4.1: Hàm Lagrange - Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng q1 , q2 ,...qs thì hàm Lagrange L  L  q1 ,q 2 ,...qs , q1 , q2 ,...qs , t  hay : L  L  qk , qk , t  với k=1,2…s 6 - Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange: d L L   0 với k=1,2,..s dt qk qk Trong đó: L=T-U a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính. Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Nếu bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L = LA + LB b) Hàm Lagrange có tính bất định Xét 2 hàm L  qk , qk , t  và L  qk , qk , t  liên hệ với nhau bằng biểu thức: L  qk , qk , t   L  qk , qk , t   t2 t2 t1 t1 df  qk , t  dt S    Ldt; S   Ldt t df  qk , t  df  qk , t  S    Ldt   dt  S   dt dt dt t t t t2 t2 1 1 2 1 t2  S    S    df  qk , t  t1 t2 t2 t1 t1   df  qk , t    d ( f  qk , t )   f  qk , t  t1   f  q2 , t    f  q1 , t   0 t2   S   S Vậy L và L cùng mô tả 1 trạng thái vật lí, có nghĩa là hàm Lagrange có ý nghĩa bất định. 7 1.4.2: Hàm Lagrange của hạt tự do - Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc v . - Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của v có nghĩa là: L  L (v 2 ) - Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. - Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì: v  v  V ; t  t  ; r  r  Vt L(v 2 )  L  v  V  L  av 2 2   L(v 2 )  av 2  a  v  V   av2  2avV  aV 2 2 v  dr  dt d 2ar V  aV 2t   dt df  qk , t  d 2ar V  aV 2t    dt dt  L(v 2 )  L(v2 )  mv 2 m Chọn a  do đó L  2 2 8 mi v 2i Đối với hệ: L   trong đó n là số chất điểm của cơ hệ. 2 i 1 N - Trong hệ tọa độ Đềcác: 2  dl  dl  v         dt   dt  dl 2  dx 2  dy 2  dz 2 2 2 m  dx 2 dy 2 dz 2  L    2  dt dt dt  L m 2 (x  y2  z2 ) 2 - Trong hệ tọa độ trụ: x  r cos y  r sin  zz dl 2  dr 2  r 2 d  dz 2 m L   r 2  r 2 2  z 2  2 - Trong hệ tọa độ cầu: x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 m  L   r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2  2 1.4.3: Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau. - Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ. 9 mi vi 2 L  U  r1 , r2 ,...rN  2 i 1 N - Dùng các hệ tọa độ suy rộng: xi  fi  q1 , q2 ,...qs  fi qk k 1 q k s xi   L  1 N  mi  xi  yi  zi   U  xi , yi , zi  2 i 1 1  aik (q)  qi qk  U  q  2 i ,k 1.5: Hàm Haminton Ta có hàm Haminton: s H   pk qk  L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ k 1  r  Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng  i  0  thì:  t  H  T  U ; L  T  U ;U  U (ri )  pk  L T H   qk  k  1, s qk qk pk  10  CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 2.1: Phương trình Lagrange loại I 2.1.1: Nguyên lí Đalămbe - Lagrange Xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lí tưởng đặt lên nó. Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ :    mi wi  Fi  Ri (2.1)    mi wi  Fi  Ri Hay:   R  iri  0 suy ra: N Từ điều kiện: i 1  m w N i i 1 i   Fi  ri  0 (2.2) Phương trình này gọi là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ hay nguyên lí Đalămbe – Lagrange. Nếu cơ hệ nằm trong trạng thái cân bằng w i  0 tức là: N  F r  0 : Nguyên lí dịch chuyển ảo nguyên lí Đalămbe. i 1 i i 2.1.2: Phương trình Lagrange loại I Từ nguyên lí Đalămbe – Lagrange và k phương trình biểu diễn liên kết đặt lên cơ hệ: N  A r  0 (  1,2,...k ) i 1 i i 11 (2.3) Ta có thể tìm được hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của cơ hệ không tự do. Thật vậy, nhân (2.3) với nhân tử vô định ( ) rồi lấy tổng N  k    A ri  0 theo  ta có: (2.4) i i 1  1 Cộng 2 vế của phương trình (2.2) và (2.4) ta có:    k  ( m w  F   A  i i i    )ri  0 N  1 i 1 (2.5) i Trong 3N dịch chuyển ảo xi ,yi ,zi (i= 1,2,…N) có s= 3N- k dịch chuyển ảo độc lập và k dịch chuyển ảo phụ thuộc. Ta có thể chọn  sao cho k mỗi nhân tử mi wi  Fi    A đứng trước dịch chuyển ảo phụ thuộc của  1 i tổng (2.5) bằng không. Khi đó tổng (2.5) chỉ còn lại s số hạng tương ứng với s dịch chuyển ảo độc lập tùy ý. Để tổng còn lại luôn luôn bằng không thì các k nhân tử mi wi  Fi    A đứng trước các dịch chuyển ảo độc lập trong tổng  1 i k buộc phải bằng không. Thành thử tất cả các nhân tử mi wi  Fi    A đứng  1 i  trước ri của (2.5) đều bằng không và ta nhận được hệ phương trình sau:   k  mi wi  Fi    A  1 Hay: mx  F  k  A  ix    i  1  k    m y  F   A   i iy  1  mz  F  k  A  iz    i  1 i (i= 1,2,…N) (2.6) (i=1,2,..N) (2.7) ix i,y i,z 12 Hệ 3N phương trình (2.7) và k phương trình (2.3) cho phép xác định (3N+k) đại lượng vô hướng xi , yi , zi ,  (i= 1,2, ...N;   1,2,...k ) . Những phương trình (2.6) hay (2.7) gọi là những phương trình Lagrange loại I. 2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I k Phương trình Lagrange loại I: mi wi  Fi    A  1 i Trong quá trình giải bài tập bằng phương trình Lagrange loại I do số ẩn rất lớn, số phương trình nhiều nên việc giải hệ thống những phương trình Lagrange loại I là một bài toán vô cùng phức tạp. Khi nghiên cứu chuyển động của cơ hệ tự do bài toán cho ta biết: - Khối lượng của các chất điểm mi. - Lực chủ động tác dụng lên các chất điểm Fi . - k phương trình liên kết. Yêu cầu của bài toán: - Xác định phương trình động học của chất điểm ri (t ) . - Xác định phản lực liên kết đặt lên các chất điểm Ri ( Rix , Riy , Riz ) . Vậy có tất cả 3N+k phương trình trong đó có 3N phương trình mô tả chuyển động. Và k phương trình liên kết: f  ri , ri , t   0 với   1,2,...k . Vì vậy để giải quyết bài toán đơn giản hơn, thuận tiện và dễ dàng hơn người ta nghiên cứu và đưa ra phương trình Lagrange loại II. 13 2.3: Phương trình Lagrange loại II 2.3.1: Xây dựng phương trình Ta khảo sát 1 cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm. Liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng n phương trình:     f (r1 , r2 , r3 ,...rN , t )  0 (   1,2,...n) (2.8) Số bậc tự do của cơ hệ là s= 3N-n. Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s  tọa độ suy rộng q1 , q2 ,...qs . Các bán kính véctơ ri là hàm của q1 , q2 ,...qs và t:   ri  ri (q1 , q2 ,...qs , t ) (i=1,2,…N) (2.9) Xuất phát từ nguyên lí Đalămbe- Lagrange (2.2) ta có thể thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng. Khi thực hiện dịch chuyển, qk thay đổi theo thời gian và theo liên kết: qk  qk (t , ) (2.10) Trong đó: t là biến số thời gian  là thông số thực biểu diễn tất cả các yếu tố khác mà qk phụ thuộc, kể cả liên kết. Khi liên kết thay đổi nhỏ hoặc tọa độ thay đổi nhỏ thì: qk (t )  qk (t ,   )  qk (t , )  qk   (2.11) Đại lượng qk (t ) được gọi là biến phân của tọa độ suy rộng qk(t). Dễ thấy: d d  qk (t )    qk (t )  q k (t ) dt  dt  14 (2.12)  ri  ri (   , t )  ri ( , t )  ri   Vì ri  ri (qk , t ); qk  qk ( , t );(k  1,2,...s) nên:  ri  s s  ri r q r    i . k    i  qk .  k 1 qk  k 1 qk (i=1,2,…N) (2.13) Thay vào phương trình tổng quát (2.2) ta được: N s ri r (mi wi )  qk   Fi  i  qk  0  i 1 k 1 qk i 1 k 1 qk N s  Do Fi chỉ phụ thuộc vào chất điểm thứ i mà không phụ thuộc vào k nên  đưa Fi vào trong dấu s  và hoán vị 2 dấu tổng ta được: k 1 s N  mi wi k 1 i 1 s  s N ri r  qk  Fi i  qk  0 qk qk k 1 i 1 ri N N    m w q k 1  i 1 i   Fi i i 1 k ri qk    qk  0   N  ri  ri Đặt Qk   Fi ; Z k   mi wi (k=1,2,…s) ta được: qk qk i 1 i 1 N s  (Z k 1 k  Qk ) qk  0 (2.14) 2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk ( xét công của các lực chủ động trong mọi dịch chuyển ảo). Công nguyên tố của những lực hoạt động đối với mọi dịch chuyển ảo bằng: 15   s A   Firi   Qk qk N i 1 (2.15) k 1 Thay (2.15) vào (2.17) ta được:  N s   s ri ri A   Fi  qk   Fi qk qk i 1 k 1 q k i 1 k 1 N s A   Qk q  Q1q1  Q2q2  ...  Qk qk  Qk 1qk 1  ....  Qsqs k 1 Ta chỉ cho một tọa độ biến thiên (dịch chuyển theo một phương) tức là qk  0,q j  0 với j  k: A  Qk qk Suy ra: Qk  A qk Qk bằng công của mọi dịch chuyển ảo chia cho biến thiên tọa độ suy rộng. Đó chính là lực ứng với tọa độ suy rộng thứ k, gọi là lực suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. 2.3.3: Ý nghĩa vật lí của Zk  N  ri Z k   mi wi   mi qk i 1 i 1 N     N dri ri d N  ri  d  ri   mi ri   mi ri  dt qk dt i 1 qk i 1 dt  qk    (2.16) Từ (2.9) và (2.10) ta có:      s s ri dqk ri ri ri  dri ri     q k  dt k 1 qk dt t k 1 qk t   ri ri  q k qk  d  ri     dt  qk  qk 16        dri  ri     dt  qk  (2.17) Thay (2.17) vào (2.16) ta có:   N d N  ri  ri Z k   mi ri   mi ri dt i 1 q k i 1 qk Gọi T là động năng của cơ hệ: (2.18) N 1  2 T   mi ri  i 1 2  N T 1   2 N  ri    mi (ri )   mi ri  qk i 1 2 qk qk  i 1   N T  ri    mi ri  q k i 1 q k (2.19) Từ (2.18) và (2.19) ta xác lập được công thức liên hệ giữa Zk và động năng T: Zk  d  T  dt  q k  T    qk Để phương trình (2.16) luôn thỏa mãn với mọi qk thì Zk - Qk = 0  d  T  dt  q k  T    Qk (k=1,2,…s)  q  k (2.20) Phương trình (2.20) là phương trình Lagrange loại II hay phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng. 2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế Xét cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế. Ta có thế năng tương tác của họ U (r1 , r2 ,...rN ) và lực thế Fi liên hệ với nhau bằng hệ thức: F  U ri 17   Hay: Fi   gradU i (ri ) Công nguyên tố của những lực chủ động đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:     A   Firi   gradU i (ri )ri  U i    U i   U N i 1 N i 1 N i 1 N  i 1  N Trong đó: U i lấy tổng theo số chất điểm nên U là thế năng của toàn hệ. i 1 Lực suy rộng ứng với bậc tự do thứ k: Qk   Thay (2.21) vào (2.20) ta có:  Vì U  U (r1 ,..., rN ) nên U U   qk qk (2.21) d T T U   dt qk qk qk d T  (T  U )  0 dt qk qk U 0 qk d  T U   dt  qk qk   T  U  0  qk  d  (T  U )  T  U   0 dt qk qk Đặt T – U = L: L được gọi là hàm Lagrange ta có: d L L  0 dt qk qk 18 (2.22) Phương trình (2.22) là phương trình Lagrange loại II viết cho cơ hệ trong trường lực thế và chỉ chịu tác dụng của trường lực thế. Nếu hệ chuyển động chịu tác dụng của những lực thế và lực không thế Q’k thì: Qk   U  Q'k qk d L L   Q'k dt qk qk (k=1,2,…s) (2.23) Phương trình (2.23) là phương trình Lagrange cho cơ hệ chuyển động trong trường lực thế chịu tác dụng của lực thế và lực không thế. Nhận thấy trong cả 3 phương trình (2.20), (2.22), (2.23) không thể hiện các phản lực liên kết mặc dù đó là hệ có chịu liên kết. Ưu điểm của phương trình Lagrange loại II là không chứa các phản lực liên kết và số phương trình đủ để mô tả chuyển động của cơ hệ là ít nhất đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ. 2.3.5: Phương trình Lagrange loại II là phương trình vi phân bậc 2 đối với tọa độ suy rộng. Biểu thức động năng của cơ hệ: 1 N T   mi rr i i 2 i 1  ri s ri   ri s ri  rr  qk     qj    i i    t k 1 qk   t j 1 q j  2 s r  s  ri  ri  s ri      qk   i q j     k 1 j 1 q  t  t  k 1 qk j  19 s ri  q j 1 k qk ri qj q j Biểu thức động năng T có thể viết: T  T0  T1  T2 Trong đó: 1 N  r  T0    i  2 i 1  t  T1  Đặt: N 1 N ri  s ri  s N r r m .2.  qk    mi i i qk  i 2 i 1 t  k 1 qk  k 1 i 1 t qk bk   mi i 1 2 ri ri  bk (q, t ) thì: t qk s T1   bk qk k 1 T2  N Đặt: akj   mi i 1 1 N s s r r mi i qk i q j  2 i 1 k 1 j 1 qk q j ri ri  a jk (q, t ) ta có: qk q j s 1 s s T T2   a jk qk q j   bk   a jk q j 2 k 1 j 1 qk j 1 d  T  dt  qk   chứa đạo hàm bậc hai của tọa độ suy rộng  Vậy phương trình Lagrange loại II : d  T  dt  qk  T  Qk   qk Là phương trình vi phân bậc hai đối với tọa độ suy rộng. 20 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI II TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ học. Phương trình Lagrange loại II áp dụng đối với cơ hệ Hôlônôm hay cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài tập: Bước 1: Phân tích đề bài, nếu liên kết là liên kết lý tưởng tức là N  R r  0 ta có thể vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài toán. i 1 i i Bước 2: Tìm số bậc tự do và chọn tọa độ suy rộng qk với k=1,2,..s. Bước 3: Tính động năng T và biểu diễn động năng T qua vận tốc suy rộng qk và tính thế năng U. N Bước 4: Tính công ảo cho các lực chủ động:  A   Fi ri và các lực suy i 1 rộng. Bước 5: Tính các đạo hàm: d L L ; dt qk qk và thay vào phương trình Lagrange loại II để giải bài tập. 3.2: Vận dụng giải một số bài tập cơ lý thuyết. 21 Bài tập 1: Hai chất điểm có khối lượng m1, m2 được nối với nhau bằng 1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài l, khối lượng không đáng kể, sợi dây được vắt qua 1 ròng rọc. Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng phương trình Lagrange loại II viết hàm Lagrange và tìm phương trình chuyển động của chất điểm. Giải: Chọn hệ tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ tại tâm của trục quay của ròng rọc. Hệ có 1 bậc tự do. Ta chọn tọa độ suy rộng là x ( x là khoảng cách từ tâm của ròng rọc đến m1). Với x là tọa độ suy rộng của chất điểm M1 O O T1 T2 m1 nên (l-x) là tọa độ suy rộng của chất điểm M2. m2 P1 x P2 Động năng của cơ hệ là: 2  1 1 1 1 2 T  m1 x  m2 (l  x)  m1 x 2  m2 x 2 2 2 2 2  ( Vì dây không giãn nên vận tốc của 2 vật bằng nhau do đó: x  (l  x) ) Chọn mốc thế năng tại 0 Ta có tổng thế năng của hệ: U  m1 gx  m2 g (l  x) Hàm Lagrange cho chất điểm có dạng: 1 1 L  T  U  m1 x 2  m2 x 2  m1 gx  m2 g (l  x ) 2 2 m  m2 2  1 x  (m2  m1 ) gx  m2 gl 2 22 Để tìm quy luật chuyển động của chất điểm ta dùng phương trình Lagrange loại II: d L L  0 dt x x Ta có:  L  x  (m1  m2 ) g   L   (m1  m2 ) x  x  d L  dt x  (m1  m2 ) x Thay vào phương trình trên ta được: (m1  m2 ) x  (m1  m2 ) g  0 x x (m1  m2 ) g (m1  m2 ) (m1  m2 ) gt  C1 (m1  m2 ) (m1  m2 ) gt 2 x  C1t  C2 2(m1  m2 ) C1  x0 Tại thời điểm t=0 ta có:  nên: C  x  2 0 (m1  m2 ) gt 2 x  x0t  x0 2(m1  m2 ) Vậy hàm Lagrange và quy luật chuyển động của chất điểm là: (m1  m2 ) gt 2 x  C1t  C2 (m1  m2 ) 23 L m1  m2 2 x  (m2  m1 ) gx  m2 gl 2 Bài tập 2: Các vật năng A, B được nối với nhau bằng sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc D (Hình 3.2). Khi vật nặng A có trọng lượng P1 hạ xuống dưới ròng rọc D có trọng lượng P3 quay xung quanh trục cố định của nó; còn vật B có trọng lượng P2 được nâng lên theo mặt phẳng nghiêng với phương ngang 1 góc  . Hãy xác định gia tốc của các vật A, B bằng phương trình Lagrange- Đalămbe, biết hệ số ma sát trượt của vật vào mặt phẳng nghiêng là f. Ròng rọc D được xem như đĩa tròn đồng chất. Bỏ qua khối lượng của dây cũng như ma sát. Giải: D O O T2 B P3 T1 A Fms  P2 x P1 Hình 3.2 Cơ hệ có 1 bậc tự do ta chọn trục tọa độ suy rộng là x. Các lực tác dụng vào A, B như hình vẽ. Chọn chiều chuyển động như hình vẽ. Vì dây không giãn, khối lượng không đáng kể nên A, B chuyển động với cùng gia tốc. 24 Khi vật A thực hiện 1 dịch chuyển ảo  x lên trên thì vật B cũng thực hiện 1 dịch chuyển ảo  x xuống dưới khi đó ròng rọc D sẽ quay 1 góc x   với R là bán kính của ròng rọc. R Viết phương trình Lagrange trong hệ tọa độ suy rộng đã chọn: d T T   Qx dt x x 1 1 1 T  m1 x 2  m2 x 2  J  2 2 2 2 2 1 P1 2 1 P2 2 1  1 P 2  x   T x  x   R    2g 2g 2 2 g  R   T 1  1  2  P1  P2  P  x 2g  2   A P2 x  Fms x  P1 x  x x  P sin  x  fP2 cos  x  P1  x  2 x   P2 sin   fP2 cos   P1 Qx  T 1  1    P1  P2  P  x x g  2  d T 1  1    P1  P2  P  x dt x g  2  T 0 x 1 1   Qx   P1  P2  P  x   P2 sin   fP2 cos   P1 g 2  P  P  sin   f cos   g x 1 2 P P1  P2  2 25 Vậy gia tốc chuyển động của các vật là: x  P1  P2  sin   f cos  g P P1  P2  2 Bài tập 3:Một con lắc phẳng M2 có khối lượng m2, có điểm treo M1 với khối lượng m1 chuyển động không ma sát trên một đường thẳng nằm ngang. Chiều dài của con lắc là l. Viết hàm Lagrange và các phương trình chuyển động của nó. Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz ( Oz vuông góc với mặt phẳng hình vẽ). Cơ hệ gồm 2 chất điểm M1 và M2 Các phương trình liên kết: O  y1  0; z1  0  2 2 2 ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  l ; z2  0 M1  x l Cơ hệ có số bậc tự do: M2 s= 3N-n=3.2-4=2 y Chọn tọa độ suy rộng: q1  x1  x Hình 3.3 q2   Các tọa độ Đềcác được biểu diễn qua tọa độ suy rộng:  x1  x; y1  0   x2  x  l sin  ; y2  l cos  Động năng của con lắc phẳng: 26 1 1 T  m1 x12  m2 ( x2 2  y2 2 ) 2 2 1 1 2 2  m1 x12  m2  x  l cos     l sin    2 2 1 1  m1 x12  m2  x 2   2l 2  2 xl cos   2 2 1 1  (m1  m2 ) x12  m2 ( 2l 2  2 xl cos  ) 2 2 Chọn mốc thế năng trùng với gốc tọa độ O. Thế năng của hệ: U  m2 gy2  m2 gl cos Hàm Lagrange của hệ có dạng: 1 1 L  T  U  (m1  m2 ) x 2  m2 ( 2l 2  2 xl cos )  m2 gl cos 2 2 Các phương trình Lagrange có dạng: d L L  0 dt x x (1) d L L  0 dt   (2) Ta có: L  (m1  m2 ) x  m2l cos  x 27 d L  (m1  m2 ) x  m2l cos   m2l 2 sin  dt x L 0 x Thay vào phương trình (1) ta được: (m1  m2 ) x  m2l cos   m2l 2 sin   0 (3) L  m2l 2  m2lxcos  d L  m2l 2  m2lxcos  m2lx sin  dt  L  m2lx sin   m2 gl sin   Thay vào phương trình (2) ta được: m2l 2  m2lxcos  m2lx sin   m2lx sin   m2 gl sin   0  l  xcos  g sin   0 (4) Khi chất điểm M1 cố định, nghĩa là x= const ( x  0 ) ta có con lắc phẳng toán học đơn giản. Hàm Lagrange và phương trình chuyển động của nó có dạng: 1 L  T  U  m2l 2 2  m2 gl cos 2 d L L  0 dt   Từ phương trình (4) thay x  0 có   28 g sin   0 l Nếu chỉ xét các dao động nhỏ thì sin    và ta có:    2  0 Trong đó:  2  g . Nghiệm tổng quát của phương trình này là: l   Asin t    Ở đây A và  là các hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu. Như vậy con lắc toán học sẽ thực hiện dao động điều hòa với chu kì: T 2  2  g l Bài tập 4: Tìm phương trình chuyển động của con lắc kép toán học chuyển động trong trọng trường đồng nhất (gia tốc trọng trường bằng g). Giải: x O Chọn hệ tọa độ Oxyz L1 (Oz vuông góc với mặt phẳng hình vẽ) x1 , y1 , z1 là tọa độ của chất điểm m1 m1  x2 , y2 , z2 là tọa độ của chất điểm m2. L2 m1g Các phương trình liên kết: m2 m2g  x12  y12  l12  0  2 2 2  x2  x1    y2  y1   l2  0   z1  0 z  0  2 y Hình 3.4 3.3 Số bậc tự do của hệ là s= 3N-n=3.2-4=2 Chọn các tọa độ suy rộng: 29 q1  1 q2   2 Mối liên hệ giữa các tọa độ Đềcác và các tọa độ suy rộng:  x1  l1 sin 1  x  l sin   l sin   2 1 1 2 2   y1  l1 cos 1  y2  l1 cos 1  l2 cos 2 Lực suy rộng Q1 và Q2: A  m1 g y1  m2 g y2  Q11  Q22 y1 y1   y     2  l1 sin 11  0  l1 sin 11 1 1  1 2    y  y2   y2   l sin    l sin   1 1 1 2 2 2  2 1 1 2 2  A  m1 gl1 sin 11  m2 g  l1 sin 11  l2 sin 22     m1  m2  gl1 sin 11  m2 gl2 sin 22 Đồng nhất hai biểu thức ta có: Q1    m1  m2  gl1 sin 1 Q2  m2 gl2 sin 2 Động năng của con lắc kép: 1 1 T  m1  x12  y12   m2  x2 2  y2 2  2 2  x12  y12   l1 1 cos 1 2   l1 1 sin 1 2  l1212  2 2  x2 2  y2 2   l1 1 cos 1  l2 2 cos 2    l1 1 sin 1  l2 2 sin 2   2 2 2 2 2 2 2 2 2  l1  1 cos 1  l2  2 cos 2  2l1l2 1 2 cos1l2 2 cos2  l1  1 sin 1  2 2 2 l2  2 sin 2  2l1l2 1 2 sin 2 sin 1  x12  y12  l1212  2 2 2 2 2 2  x2  y2  l1  1  l2  2  2l1l2 1 2 cos(1   2 ) 30 1 1 T  m1l1212  m2 l12 12  l2 2 2 2  2l1l2 1 2 cos(1  2 )  2 2 1 1 T  (m1  m2 )l1212  m2l2 22 2  m2l1l212 cos 1  2  2 2 Các phương trình Lagrange mô tả chuyển động của con lắc: d T T   Q1 dt 1 1 (*) d T T   Q2 dt 2 2 (**) T   m1  m2  l121  m2l1l22 cos 1  2  1 d T   m1  m2  l121  m2l1l22 cos 1  2   m2l1l22 cos 1  2  t dt 1 Mà: cos 1  2  t   cos 1 cos 2  sin 1 sin 2 t  1 sin 1 cos 2  2 sin 2 cos1  1 sin  2 cos1   2 sin 1 cos 2  1  sin 2 cos 1  sin 1 cos 2   2  sin 1 cos  2  sin  2 cos1   1 sin 2  1   2 sin 1  2   (2  1 )sin 1  2  d T  (m1  m2 )l121  m2l1l22 cos 1  2   m2l1l22 2  1  sin 1  2  dt 1 T  m2l1l212  cos1 cos2  sin 1 sin 2  1 1  m2l1l212   sin 1 cos2  cos1 sin 2   m2l1l212 sin 2  1  Do đó từ phương trình (*) ta có phương trình chuyển động: 31 (m1  m2 )l121  m2l1l22 cos 1  2   m2l1l22 2  1  sin 1  2  (***)    m1  m2  gl1 sin 1 T  m2l2 22  m2l1l21 cos 1  2  2 d T  m2l2 22  m2l1l21 cos 1  2   m2l1l21 2  1  sin 1   2  dt 2 T  m2l1l212  cos 1 cos 2  sin 1 sin 2  2 2  m2l1l212   sin 2 cos 1  cos2 sin 1   m2l1l212 sin 1  2  Do đó từ phương trình (**) ta có phương trình chuyển động: m2l2 22  m2l1l21 cos 1  2   m2l1l21 2  1  sin 1  2   m2 gl2 sin 2 (****) Vậy phương trình (***) và (****) là những phương trình chuyển động của con lắc kép. Bài tập 5: Tìm định luật chuyển động của chất điểm trong trường trọng lực. Giải: Chọn tọa độ suy rộng là x, y, z. Động năng của chất điểm bằng: T m 2 (x  y2  z2 ) 2 Thế năng của chất điểm: U=mgz Hàm Lagrange của chất điểm có dạng: L  T U  m 2 ( x  y 2  z 2 )  mgz 2 32 Ta có 3 phương trình Lagrange mô tả chuyển động của chất điểm: d L L  0 dt x x d L L  0 dt y y d L L  0 dt z z Từ đó suy ra: x  0; y  0; z   g Tích phân những phương trình này ta được: x  x0  v0 xt y  y0  v0 yt 1 z  z0  v0 zt  gt 2 2 Trong đó vox , voy , voz là 3 hình chiếu của 3 véc tơ vận tốc ban đầu của chất điểm lên các trục tọa độ x,y,z. x0,y0,z0 là những tọa độ ban đầu của chất điểm g là gia tốc rơi tự do Bài tập 6: Một vật rơi xuống đất từ độ cao h, không có vận tốc ban đầu. Dùng phương trình Lagrange loại II để tìm vận tốc của vật. Biết bán kính Trái Đất là R, bỏ qua ma sát và sức cản không khí. Giải: Cơ hệ có 1 bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng là x. 33 Chọn hệ trục tọa độ suy rộng Ox như hình vẽ gốc O tại vị trí ban đầu trước khi vật rơi. O Theo bài ra ta có hệ chuyển động trong trường lực thế. Áp dụng phương trình Lagrange x loại II trong trường lực thế ta có: d L L  0 dt x x h (1) Ta có: Hàm Lagrange L= T-U Hình 3.5 Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu trước khi thả vật ta có: 1 T  mx 2 2 U  mgx 1  L  T  U  mx 2  mgx 2 L L d L  mg ;  mx;  mx x x dt x Thay vào phương trình (1) ta có: mx  mg  0  x  g  dx  gdt x t 0 0   dx   gdt  x  gt Tại t=0 thì x  x0  0 1 1 Vật rơi xuống mặt đất từ độ cao h nên: h  v0t  gt 2  h0  h  gt 2 2 2  t2  2h 2h t  g g xg 2h  2 gh g 34 Vậy vận tốc của vật là x  2 gh Bài tập 7: Một chất điểm có khối lượng m được ném lên với vận tốc ban đầu v0 dưới 1 góc  so với phương nằm ngang. Dựa vào phương trình Lagrange loại II hãy viết phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật trong trường hợp bỏ qua sức cản không khí. Giải: y Rx R v Ry v0 O  x Hình 3.6 Bỏ qua sức cản của không khí do đó vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực. Hàm Lagrange của vật: 1 L  T  U  m  x 2  y 2   mgy 2 Phương trình Lagrange mô tả chuyển động của vật: Ta có: d L L  0 dt x x (1) d L L  0 dt y y (2) L d L L  mx;  mx;  0 x dt x x Thay vào phương trình (1) ta có: 35 mx  0  x  0 x  x0 x  x0t  x0 x  0 Trong đó:  0 nên x  v cos   0 0  x  v0 cos    x   v0 cos   t (3) L d L L  my;  my;   mg y dt y y Thay vào phương trình (2) ta có: my  mg  y   g y   gt  y0 gt 2 y  y0t  y0 2  y   gt  v0 sin   y0  0  Trong đó:  nên  (4) gt 2 y  v sin  y    v sin  t    0 0 0  2 Các phương trình (4) và (5) là các phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật. Kết luận: Xét trường hợp: - Khi   0 vật chuyển động ném ngang  x0  v0 , y0  0   y   gt   gt 2  y   2  x  v0   x  v0t - Khi   900 ta có :  v0 hướng lên trên vật chuyển động thẳng đứng lên trên  x0  0; y0  v0   y  v0  gt   gt 2  y  v0t  2 x  0  x  0  v0 hướng xuống dưới; vật chuyển động ném thẳng đứng xuống dưới  x0  0; y0  v0  36  y  v0  gt   gt 2  y  v0t  2 x  0  x  0 - Khi v0  0 ta có vật chuyển động rơi tự do  x0  0; y0  0   y   gt   gt 2  y   2 Từ các trường hợp trên ta thấy, bài toán ném vật nghiêng góc  so với phương ngang là bài toán tổng quát. Từ đó dễ dàng suy ra kết quả của các bài toán ném ngang, ném thẳng đứng, rơi tự do… x  0  x  0 Trường hợp R  0 , vật chuyển động trong trường trọng lực chỉ chịu tác dụng của lực thế chính là lực trọng trường ( trọng lực). Khi đó ta giải phương trình Lagrange cho hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế ( phương trình có vế phải bằng 0). Bài tập 8: Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mặt phẳng AC của chiếc nêm ABC cố định ( trục của hình trụ luôn hướng theo phương ngang) có hình tam giác vuông, góc ACB   . Xác định hàm Lagrange của hệ và gia tốc chuyển động tịnh tiến của khối trụ. Giải: O A x r  B C Hình 3.7 Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng AC của nêm nên số bậc tự do là 1. Chọn trục tọa độ Ox song song với mặt nêm như hình vẽ. 37 Chọn tọa độ x là tọa độ suy rộng. Động năng của khối trụ bao gồm động năng tịnh tiến của khối tâm và động năng quay quanh điểm tiếp xúc với nêm: 1 1 T  mx 2  J  2 2 2 1 J1  mr 2 là momen quán tính của trụ đối với trục đi qua tâm của trụ. 2 Theo định lí Huyghen- staino, momen quán tính của trụ đối với tâm quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ: 3 J  J1  mr 2  mr 2 2 v  x  r 1 1 3 5 T  mx  . mr 2 2  mx 2 2 2 2 4 Chọn gốc thế năng là vị trí ban đầu của khối trụ Thế năng của vật rắn: U  mgx sin  Hàm Lagrange mô tả chuyển động của vật rắn: 5 L  T  U  mx 2  mgx sin  4 Phương trình Lagrange: d L L  0 dt x x L 5 d L 5 L  mx;  mx;  mg sin  x 2 dt x 2 x Thay vào phương trình Lagrange ta có: 38 5 mx  mg sin   0 2 2 g sin  2 g sin  x x t  x0 5 5 g sin  2 x t  x0t  x0 5 Vì x0  0; x0  0  x  g sin  2 t 5 Bài tập 9: Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bán kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quanh đường kính thẳng đứng AB của nó với vận tốc  . Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M. A r  M B Hình 3.8 Giải: Chuyển động của chất điểm M có thể mô tả bằng1 tọa độ suy rộng, góc quay  của chất điểm theo vòng khuyên tròn. Động năng của chất điểm: 1 m m m 2 2 T  mv12  v2 2   r   r sin   2 2 2 2 Trong đó: v1 là vận tốc quay của chất điểm so với vành khuyên. 39 v2 là vận tốc quay của chất điểm ( tại vị trí xácđịnh bởi góc  ) quanh đường kính thẳng đứng với vận tốc góc  . Chọn gốc thế năng là vị trí thấp nhất của chất điểm. Thế năng của chất điểm: U  mg  r  r cos  Hàm Lagrange của chất điểm: 1 1  L  T  U  mr  r  r 2 sin 2   g 1  cos    2 2  1   mr  r  2   2 sin 2    g 1  cos    2  Phương trình Lagrange mô tả chuển động của chất điểm: d L L  0 dt   L d L L  mr 2 ,  mr 2 ,  m 2 r 2 sin  cos   mgrsin   dt   Suy ra: mr 2  m 2 r 2 sin  cos   mgr sin   0 g    2 sin  cos   sin   0 r g      2 cos   sin   0 r  Đó chính là phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M. Bài tập 10: Một hạt khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác dụng của lực điện từ F  eE  e v  B  . Trong đó: E là véc tơ cường độ điện trường B là véc tơ cảm ứng từ v là vận tốc của hạt. a. Chứng tỏ lực F có thể viết dưới dạng: F  d  V  dt  v Trong đó: V  e  eAv  là thế vô hướng. A là thế véc tơ đặc trưng cho trường điện từ. 40  V   r Các thế này là hàm của r , t và liên hệ với cường độ điện trường E , cảm ứng từ B bằng công thức: A  E  , B  rotA t r b. Tìm hàm lagrange của hạt. Giải: Ta có: v   x, y, z  B   Bx , By , Bz  y v  B   i By z z j Bz Bz x x k Bx Bx y By  i  yBz  zBy   j  zBx  xBz   k  xBy  yBx  i  B  rotA  x Ax i j  y Ay k  z Az A A Az A A A  j x k y k x  j z i y y z x y x z  A A  i  z  y  z   y  A A   A A  j x  z k y  x  x   z  x y   iBx  jBy  kBz Hình chiếu của lực F trên phương x có dạng: Fx  eEx  e v  B   eEx  e  yBz  zBy  x  e   A    A A   A A    e  x   e  y  y  x   z  x  z  x x    t    x y   z  e  A  A A   A A   e x  y x  z x   e y y  z z  x y z   x x   t 41 A  A  A A A   A A   e x  x x  y x  z x   e x x  y y  z z  x x y z   x y z   t A  A  dA A   e  e x  e x x  y y  z z  x dt y z   x  e    xAx    yAy    zAz    dA  e x  e    x dt x x   x dA   e x  e  evA dt x Tương tự có: dA  Fy  e y  e  evA dt y dA  Fz  e z  e  evA dt z Biểu thức của lực F có thể viết dưới dạng: dA  F  e  e  evA dt r Đặt: V  e  evA và chú ý rằng  e         V d  V  dA  eA,    e v dt  v  dt d  V  V Ta được: F    dt  v  r Đó là biểu thức cần chứng minh. Trong cơ lý thuyết, ngoài thế năng U  qk , t  người ta còn đưa thêm vào khái niệm thế năng suy rộng V  qk , qk , t  . Thế năng suy rộng V liên hệ với lực suy rộng Qk bằng các công thức: d V V (k=1,2,..s) Qk   dt qk qk d T T Khi đó phương trình Lagrange:   Qk được viết lại như sau: dt qk qk d T T  0 dt qk qk Trong đó: L  T  V (qk , qk , t ) là hàm Lagrange của hệ. 42 Nếu chọn các tọa độ suy rộng là các tọa độ Đềcác thì phương trình Lagrange của hạt tích điện chuyển động trong điện từ trường có dạng: d L L  0 dt v r mv 2  e  evA là hàm Lagrange của hạt chuyển Trong đó: L  T  V  2 động trong trường trọng điện từ. Bài tập 11:Vật E khối lượng m1 nối với ròng rọc B có khối lượng m2, bán kính r bằng sợi dây không dãn, không khối lượng, một đầu dây buộc vật E, đầu còn lại cuốn vào ròng rọc B và vắt qua ròng rọc cố định Q gắn trên góc A của chiếc nêm AOC nằm trên mặt phẳng ngang. Khi vật E chuyển động kéo ròng rọc B lăn trên mặt phẳng nghiêng AC của chiếc nêm. Khối lượng của nêm là m3 của ròng rọc Q không đáng kể, góc ACO   . Hãy tìm hàm Lagrange của hệ vật và quãng đường đi của vật E trong 2 trường hợp chiếc nêm đứng yên và trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang. Q A B E  O C Giải: Hình 3.9 a. Xét khi nêm đứng yên. Hệ gồm vật E (khối lượng m1) và vật B( khối lượng m2). Chọn trục tọa độ trùng với phương chuyển động của các vật. Gốc tọa trùng với vị trí ban đầu của các vật. Các phương trình liên kết: 43  y1  0; z1  0   y2  0; z2  0 x  2x 2  1 (Do ròng rọc D lăn không trượt nên ngoài chuyển động tịnh tiến đi lên của tâm N, dây treo tuột ra khỏi ròng rọc B dãn tới quãng đường đi được của vật E gấp đôi quãng đường đi được của ròng rọc B => vE=2vB). Số bậc tự do của hệ là: s=3N-n=3.2-5=1. Chọn tọa độ suy rộng là x là quãng đường đi được của vật E. Động năng của hệ bao gồm động năng tịnh tiến của vật E, ròng rọc B và động năng quay của ròng rọc B: 1 1 1 T  m1 x 2  m2vN 2  J N 2 2 2 2 vN là vận tốc tâm N của ròng rọc B 1 J N  m2r 2 là momen quán tính của ròng rọc B (đĩa đặc). 2 vN  x  r 2 1 1 1 T  m1 x 2  m2 x 2  m2 x 2 2 8 16 3  1   m1  m2  x 2 16  2 Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu của các vật. Thế năng của cơ hệ: U  m1 gx  m2 gx sin  Hàm Lagrange của cơ hệ: 3 1  L  T  U   m1  m2  x 2  m1 gx  m2 gx sin  16  2 1 3 Đặt M= m1  m2 2 16 44 Phương trình Lagrange mô tả chuyển động của cơ hệ: d L L  0 dt x x (1) L d L L  2Mx;  2Mx;  g  m1  m2 sin   x dt x x Thay vào phương trình (1) ta có: 2Mx  g  m1  m2 sin    0 Đặt: F= g  m1  m2 sin   suy ra: F F  x   x  t  x0  2M 2M   x  F t 2  x t  x 0 0  2M Trong đó x0 và x0 là vận tốc và vị trí ban đầu của vật E. b. Khi nêm chuyển động. Cơ hệ gồm 3 vật E ( tọa độ là x1,y1,z1), ròng rọc B( tọa độ x2,y2,z2) và nêm (tọa độ x3,y3,z3).  y1  0, z1  0  y  0, z  0  2 2   x1  2 x2  y3  0, z3  0 Số bậc tự do của cơ hệ là: s = 3.3-7 = 2 Chọn 2 tọa độ suy rộng là x, s. Trong đó s là quãng đường chuyển động của nêm. Động năng của cơ hệ bao gồm động năng tịnh tiến của 3 vật và động năng quay của ròng rọc B. 1 1 1 1 T  m1  x 2  s 2   m2vN 2  m3s 2  J  2 2 2 2 2 45 Vật E tham gia đồng thời 2 chuyển động: theo phương thẳng đứng với vận tốc x và theo phương ngang ( cùng với chuyển động của nêm) với vận tốc s . Hai phương này vuông góc với nhau nên v12  x 2  s 2 . Tâm N của ròng rọc B cũng tham gia đồng thời 2 chuyển động  vN  vN 1  vN 2  x 2 - Chuyển động theo phương ngang cùng với nêm với vận tốc vN  s - Chuyển động đi lên theo mặt nêm với vận tốc vN  1 2 1 1  x2 x 11  1 2 2 T  m1  x  s   m2   s 2  2 s cos    m3 s 2  m2 r 2 2 2 2 4 2 22  2 1 1 1 1 1 1 1 T  m1 x 2  m1s 2  m2 x 2  m2 s 2  m2 xs cos   m3 s 2  m2 x2 2 2 8 2 2 2 16 3 1 1  1 1  1 T   m1  m2  x 2   m1  m2  m3  s 2  m2 xs cos  16  2 2  2 2 2 Thế năng của cơ hệ: U  mgx  m2 gx sin  Hàm Lagrange của cơ hệ: L  T U 3 1 1  1 1  1   m1  m2  x 2   m1  m2  m3  s 2  m2 xs cos   mgx  m2 gx sin  16  2 2  2 2 2 Phương trình Lagrange: d L L  0 dt x x d L L  0 dt s s 46 (*) (**) L  3  1   m1  m2  x  m2 s cos  x  8  2 d L  3  1   m1  m2  x  m2 s cos  dt x  8  2 L  m1 g  m2 g sin  x Thay vào phương trình (*) ta có: 3  1   m1  m2  x  m2 s cos   m1 g  m2 g sin   0 8  2  (***) L 1   m1  m2  m3  s  m2 x cos  s 2 d L 1 L   m1  m2  m3  s  m2 x cos   0 dt s 2 s Thay vào phương trình (**) ta có: m 1 1  m2  m3  s  m2 x cos =0 2 s m2 x cos 2  m1  m2  m3  Thay phương trình (****) vào (***) ta có: 3  m2 2 cos 2   x  m1 g  m2 g sin   0  m1  m2  x  8  4(m1  m2  m3 )  m1 g  m2 g sin  x k 3 m2 2 cos 2  m1  m2  8 4(m1  m2  m3 )  x  kt  x0 kt 2 x  x0  x0 2 47 (****) KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu một số bài toán giải bằng phương trình Lagrange loại II trong cơ lý thuyết, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề tài đã cơ bản hoàn thành được nhiệm vụ đề ra. Trong khóa luận này, tôi đã trình bày cơ sở lý thuyết áp dụng của phương trình Lagrange loại II, trong đó tìm ra phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ, từ phương trình tổng quát đó để xây dựng phương trình Lagrange loại II áp dụng cho mọi cơ hệ chịu liên kết lý tưởng; trường hợp đặc biệt khi phản lực liên kết Ri  0 , ta chuyển về áp dụng cho cơ hệ tự do. Trong phần trọng tâm của khóa luận, tôi đã áp dụng những lý thuyết trên để giải hệ thống các bài tập tiêu biểu trong cơ lý thuyết. Đây là những bài toán trọng tâm về chất điểm, hệ chất điểm có chịu liên kết, là cơ sở để giải quyết tất cả các bài toán cơ học bằng phương trình Lagrange loại II. Tôi hy vọng khóa luận làm tài liệu tham khảo có ích cho những bạn sinh viên đam mê nghiên cứu vật lý lý thuyết, đặc biệt là cơ học lý thuyếthọc phần có tính chất cơ sở của toàn bộ chương trình vật lý lý thuyết. Do điều kiện không cho phép nên đề tài mới chỉ dừng lại ở nghiên cứu cho cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Đề tài có thể được mở rộng nghiên cứu để không chỉ áp dụng cho cơ hệ chịu liên kết lý tưởng mà còn cho cả những cơ hệ bất kì. Vì thời gian thực hiện đề tài còn hạn chế và đây là lần đầu em thực hiện nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm còn chưa nhiều, em rất mong ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Dũng, Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2004. Chu Tạo Đoan, Cơ học lý thuyết, Nxb Giao thông vận tải, Hà Nội, 2007 Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội, 1998. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nạp, Đỗ Đinh Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1983. 5. Giáo trình Cơ lý thuyết ( dành cho sinh viên khoa Vật lý), Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 1978. 6. Bài giảng của PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan về cơ học lý thuyết. 1. 2. 3. 4. 49 [...]...  Vậy phương trình Lagrange loại II : d  T  dt  qk  T  Qk   qk Là phương trình vi phân bậc hai đối với tọa độ suy rộng 20 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI II TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ học Phương trình Lagrange loại II áp dụng đối với cơ hệ Hôlônôm hay cơ hệ chịu liên kết lý tưởng... vào phương trình Lagrange loại II để giải bài tập 3.2: Vận dụng giải một số bài tập cơ lý thuyết 21 Bài tập 1: Hai chất điểm có khối lượng m1, m2 được nối với nhau bằng 1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài l, khối lượng không đáng kể, sợi dây được vắt qua 1 ròng rọc Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng phương trình Lagrange loại II viết hàm Lagrange và tìm phương trình chuyển động của chất điểm Giải: ... 12 Hệ 3N phương trình (2.7) và k phương trình (2.3) cho phép xác định (3N+k) đại lượng vô hướng xi , yi , zi ,  (i= 1,2, N;   1,2, k ) Những phương trình (2.6) hay (2.7) gọi là những phương trình Lagrange loại I 2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I k Phương trình Lagrange loại I: mi wi  Fi    A  1 i Trong quá trình giải bài tập bằng phương trình Lagrange loại I do số ẩn rất... cả 3N+k phương trình trong đó có 3N phương trình mô tả chuyển động Và k phương trình liên kết: f  ri , ri , t   0 với   1,2, k Vì vậy để giải quyết bài toán đơn giản hơn, thuận tiện và dễ dàng hơn người ta nghiên cứu và đưa ra phương trình Lagrange loại II 13 2.3: Phương trình Lagrange loại II 2.3.1: Xây dựng phương trình Ta khảo sát 1 cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Liên kết đặt lên cơ hệ được... 3 phương trình (2.20), (2.22), (2.23) không thể hiện các phản lực liên kết mặc dù đó là hệ có chịu liên kết Ưu điểm của phương trình Lagrange loại II là không chứa các phản lực liên kết và số phương trình đủ để mô tả chuyển động của cơ hệ là ít nhất đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ 2.3.5: Phương trình Lagrange loại II là phương trình vi phân bậc 2 đối với tọa độ suy rộng Biểu thức động năng của cơ. .. Lagrange loại II áp dụng đối với cơ hệ Hôlônôm hay cơ hệ chịu liên kết lý tưởng Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài tập: Bước 1: Phân tích đề bài, nếu liên kết là liên kết lý tưởng tức là N  R r  0 ta có thể vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài toán i 1 i i Bước 2: Tìm số bậc tự do và chọn tọa độ suy rộng qk với k=1,2, s Bước 3: Tính động năng T và biểu diễn động... trình Lagrange loại I do số ẩn rất lớn, số phương trình nhiều nên việc giải hệ thống những phương trình Lagrange loại I là một bài toán vô cùng phức tạp Khi nghiên cứu chuyển động của cơ hệ tự do bài toán cho ta biết: - Khối lượng của các chất điểm mi - Lực chủ động tác dụng lên các chất điểm Fi - k phương trình liên kết Yêu cầu của bài toán: - Xác định phương trình động học của chất điểm ri (t ) -... T  dt  q k  T    Qk (k=1,2,…s)  q  k (2.20) Phương trình (2.20) là phương trình Lagrange loại II hay phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng 2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế Xét cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế Ta có thế năng tương tác của họ U (r1 , r2 , rN ) và lực thế Fi liên hệ với nhau bằng hệ thức: F  U ri 17   Hay: Fi   gradU i (ri...  L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ k 1  r  Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng  i  0  thì:  t  H  T  U ; L  T  U ;U  U (ri )  pk  L T H   qk  k  1, s qk qk pk  10  CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 2.1: Phương trình Lagrange loại I 2.1.1: Nguyên lí Đalămbe - Lagrange Xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lí tưởng đặt lên nó Phương trình chuyển động... được gọi là hàm Lagrange ta có: d L L  0 dt qk qk 18 (2.22) Phương trình (2.22) là phương trình Lagrange loại II viết cho cơ hệ trong trường lực thế và chỉ chịu tác dụng của trường lực thế Nếu hệ chuyển động chịu tác dụng của những lực thế và lực không thế Q’k thì: Qk   U  Q'k qk d L L   Q'k dt qk qk (k=1,2,…s) (2.23) Phương trình (2.23) là phương trình Lagrange cho cơ hệ chuyển động ... đề tài: Một số tập lý thuyết giải phương trình Lagrange loại II giải số toán lý thuyết Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận áp dụng phương trình Lagrange loại II việc giải số tập lý thuyết. .. loại II vào giải số tập lý thuyết Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết giải tích toán học việc ứng dụng để giải tập lý thuyết phương trình Lagrange loại II Nội... hạn chế phương trình Lagrange loại I k Phương trình Lagrange loại I: mi wi  Fi    A  1 i Trong trình giải tập phương trình Lagrange loại I số ẩn lớn, số phương trình nhiều nên việc giải