TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  BÙI THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI – 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  BÙI THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè những người đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận của mình. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Phƣơng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào. Nếu trong khóa luận có gì không trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Phƣơng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu đề tài ........................................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2 6. Bố cục của đề tài ........................................................................................ 2 7. Đóng góp của đề tài ................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................ 3 1.1. Khái niệm về liên kết .............................................................................. 3 1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết ..................................................................... 3 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo ............................................. 5 1.2. Tọa độ suy rộng....................................................................................... 6 1.3. Liên kết lí tưởng ...................................................................................... 6 1.4. Hàm Lagrange ......................................................................................... 7 1.4.1. Hàm Lagrange................................................................................... 7 1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do ............................................................. 9 1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau ............................. 10 1.5. Hàm Haminton ................................................................................... 11 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON ......................................... 12 2.1. Phương trình tổng quát của động lực học ............................................. 12 2.2. Phương trình Haminton ........................................................................ 13 2.2.1. Xung lượng suy rộng ...................................................................... 13 2.2.2. Xây dựng hàm Haminton ................................................................ 13 2.2.3. Phương trình Haminton. ................................................................. 15 CHƢƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON .................................................................................................. 17 3.1. Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin để giải bài tập. .............. 17 3.2. Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập. ................ 17 KẾT LUẬN ................................................................................................. 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................... 46 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thế kỉ XIX một chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khẳng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết”. Nó đã diễn tả được các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học và đời sống cũng như trong kĩ thuật. Bên cạnh đó, nhờ những suy luận lôgic nó còn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng thực nghiệm. Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt. Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với người học. Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần phát triển khả năng tư duy. Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho người học. Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới để tiếp cận bài tập. Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết để tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ. 1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết. - Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết. - Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Haminton. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết. - Phương pháp vật lý toán học. 6. Bố cục của đề tài Chương 1: Những khái niệm cơ bản. Chương 2: Phương trình Haminton. Chương 3: Giải một số bài tập bằng hệ phương trình Haminton. 7. Đóng góp của đề tài - Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminton và áp dụng nó để giải một số bài tập cơ lý thuyết. - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi học môn cơ lý thuyết. 2 NỘI DUNG CHƢƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Khái niệm về liên kết 1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết 1.1.1.1. Số bậc tự do Xét 1 cơ hệ gồm N chất điểm M1, M2,…. MN chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm Mi trong không gian được xác định  bởi bán kính vecto ri hay ba tọa độ Descartes xi, yi, zi. Để xác định vị trí của  cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto ri , ( i  1,2,...,N ) hay 3N tọa độ Descartes xi, yi, zi ( i  1,2,...,N ). Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của nó. 1.1.1.2. Khái niệm về liên kết Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của các tọa độ. Xét 3 chất điểm A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ),C ( x3 , y3 , z3 ) và khoảng cách giữa 2 chất điểm A, B là r12 , 2 chất điểm B, C là r23 , 2 chất điểm A, C là A  x1 , y1 , z1  r31 , biểu thức thể hiện sự ràng buộc: ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2 ( x3  x2 )  ( y3  y2 )  ( z3  z2 )  r23 2 2 2  r31 2  r12 ( x1  x3 ) 2  ( y1  y3 ) 2  ( z1  z3 ) 2  r312 Hay: C  x3 , y3 , z3  3  r23 B  x2 , y2 , z2  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2  0 ( x3  x2 ) 2  ( y3  y2 ) 2  ( z3  z2 ) 2  r232  0 ( x1  x3 ) 2  ( y1  y3 ) 2  ( z1  z3 ) 2  r312  0 Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng k phương trình: . f ( x1 , y1 , z1 ,....xN , yN , z N ;x 1 , y 1 ,z 1 ,...x N , y N , zN , t)  0 với (  1,2,3,.....,k ) Hay rút gọn:   f (ri , ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N ) Khi f  không phụ thuộc vào vận tốc thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học:  f  (ri , t )  0 (  1,2,...k , i  1,2,...N ) Khi f  phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học.   f  ri , ri , t   0 với (  1,2,...k , i  1,2,...N ) N f  f  Ta có: df (ri , t )    dri   dt  0 với (  1,2,...., N) t i 1 r i (1.1) Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được.. 1.1.1.3. Hệ hôlônôm Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên nó gọi là cơ hệ hôlônôm. 4    P i ri  g   ri , t   0  a i xi  b i yi  c i zi  g   ri , t   0  dri  P i  g   ri , t   0 dt    P i dri  g   ri , t  dt  0 với (  1,2,...., N;i  1,2,...N) (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm. 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên kết (1.1) và (1.2): N f  f  df (ri , t )    dri   dt  0 t i 1 r i N f  f  df (ri , t )    dri   dt  0 t i 1 r  i    P i dri  g   ri , t  dt  0    P i dri  g   ri, t  dt  0 1.1.2.2. Dịch chuyển ảo Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé     ri  dri  dri 5 1.2. Tọa độ suy rộng Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi ( i  1,2,...,N ) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học. Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s  3N  m  n tọa độ độc lập q1, q2,…. qs thì q1, q2,…. qs là những tọa độ suy rộng.  qk  qk (ri , t ) với ( i  1, N ; k  1, s )   ri  ri (qk , t ) Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó. 1.3. Liên kết lí tƣởng  Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fi ( i  1,2,...,N ). Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta có:   Fi wi  mi ( i  1,2,...,N ) (1.3)  Fi  Khi có liên kết đặt lên cơ hệ, gia tốc wi  có thể không thỏa mãn các mi phương trình liên kết. Ta có phương trình liên kết:    f (r1 , r2 ,..., rN , t)  0 Đạo hàm bậc nhất phương trình trên ta được: 6  f ri f  0   t i 1 r t i N Tiếp tục đạo hàm bậc 2 ta được: N f    d f  d f   0 (  1,2,...k )  wi   vi    dt ri dt t i 1 ri i 1 N (1.4)   Fi Gia tốc w i  có thể không thỏa mãn phương trình (1.4). Điều này có mi ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mi một lực nào đó gọi là phản  lực liên kết. Kí hiệu là Ri thì phương phương trình chuyển động của chất điểm không tự do Mi có dạng:    mi wi  Fi  Ri ( i  1,2,...,N ) (1.5)   Để phân biệt với phản lực Ri ta gọi lực Fi là hoạt lực hay lực hoạt động. Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:   N  Riri   ( Rixxi  Riyyi  Rizzi )  0 N i 1 i 1 1.4. Hàm Lagrange 1.4.1. Hàm Lagrange Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng q1 , q2 ,...qs thì hàm Lgrange L  L  q1 ,q 2 ,...qs , q1 , q2 ,...qs , t  hay : L  L  qk , qk , t  với k  1,2,...,s Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange: 7 d L L   0 với k=1,2,..s dt qk qk Trong đó: L=T-U a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Nếu bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA + LB. b) Hàm Lagrange có tính bất định Xét 2 hàm L  qk , qk , t  và L  qk , qk , t  liên hệ với nhau bằng biểu thức: L  qk , qk , t   L  qk , qk , t   t2 t2 t1 t1 df  qk , t  dt S    Ldt; S   Ldt t df  qk , t  df  qk , t  S    Ldt   dt  S   dt dt dt t t t t2 t2 1 1 2 1 t2  S    S    df  qk , t  t1 t2 t2 t1 t1 t1 t2   df  qk , t    d ( f  qk , t )   f  qk , t    f  q2 , t    f  q1 , t   0   S   S Vậy L và L cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange có ý nghĩa bất định. 8 1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của  hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc  vào vận tốc v . Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng  của v có nghĩa là: L  L (v 2 ) Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì:   L(v 2 )  L v  V  L  av 2  2      2    L(v 2 )  av 2  a v  V  av2  2avV  aV 2   dr  v  dt  d     L ( v 2 )  L ( v 2 )  2ar V  aV 2t dt  df  qk , t  d   2ar V  aV 2t  dt dt   Chọn a    mv 2 m do đó L  2 2 mi v 2i trong đó n là số chất điểm của cơ hệ. 2 i 1 N Đối với hệ: L   - Trong hệ tọa độ Descartes: 9  2  2  dl   dl  v         dt   dt  dl 2  dx 2  dy 2  dz 2 m  dx 2 dy 2 dz 2  L    2  dt dt dt  m L  ( x2  y 2  z 2 ) 2 - Trong tọa độ trụ: x  r cos  y  r sin  zz dl 2  dr 2  r 2 d  dz 2 L m 2 r  r 2 2  z 2   2 - Trong hệ tọa độ cầu: x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 L m 2 r  r 2 2  r 2 sin 2  2   2 1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tƣơng tác lẫn nhau Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ. mi vi 2    L  U  r1 , r2 ,...rN  2 i 1 N Dùng các hệ tọa độ suy rộng: 10 xi  f i  q1 , q2 ,...qs  f i qk k 1 q k s xi   L  1 N  mi  xi  yi  zi   U  xi , yi , zi  2 i 1 1  aik (q)  qi qk  U  q  2 i ,k 1.5. Hàm Haminton Ta có: s H   pk qk  L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ k 1   ri  Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng   0  thì:  t  H T U L T U U  U (ri )  pk  q k  H pk Với k=1,2,… 11 L T  q k q k CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON 2.1. Phƣơng trình tổng quát của động lực học Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng. Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ có dạng:    mi wi  Fi  Ri (2.1) nên:    mi wi  Fi  Ri Từ điều kiện:   R  iri  0 N i 1 Ta có:  N  (m w i 1 i i    Fi )ri  0 (2.2) Đây là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ hay còn gọi là nguyên lí D’ Alambert- Lagrange. Đó là một trong những nguyên lí quan trọng nhất của động lực học cơ hệ.   Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng vi  0, wi  0 ta được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học: N   F  iri  0 i 1 Phương trình này còn được gọi là nguyên lí dịch chuyển ảo. 12 (2.3) 2.2. Phƣơng trình Haminton 2.2.1. Xung lƣợng suy rộng Xét hàm Lagrange của cơ hệ: n 1     L  T  U   mi (ri ) 2  U (r1 , r2 ,......,rN ) I 1 2 L  Đại lượng   mi ri  pi ri (i=1, N ) là xung lượng của chất điểm thứ i. Trường hợp tổng quát đại lượng p k  L q k ( k  1, s ) gọi là xung lượng suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. Khi đó, q k được gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k. Thế năng U không phụ thuộc vào q k nên pk có dạng: s L T pk     aik q i  bk ( k  1, s ) q k q k i 1 Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian Từ đó ta có: s q i   cik pk  d i ( k  1, s ) (2.4) k 1 Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian. 2.2.2. Xây dựng hàm Haminton . Hàm Lagrange là hàm của tọa độ suy rộng q k , vận tốc suy rộng q k và thời gian t: 13 L  L(qk , q k , t )  L L L  dL    dqk  dq k  dt q k t  k 1  qk s Từ phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế: d  dL  dL    0 dt  q k  q k Có L L d L  pk và   p k qk dt .q k q k Nên: dL    p k dq k  p k dp k   s k 1 L dt t s =  ( p k dqk  d ( pk q k )  q k dpk )  k 1 s s k 1 k 1 L dt t d ( pk q k  L)   q k dpk  p k dqk  s . L dt t Hàm H   pk q k  L biểu diễn thông qua các biến số q k pk và t gọi là k 1 hàm Haminton H. s H (qk , pk , t )   pk qk  L k 1 14 s Và dH   q k dp k  p k dq k  k 1 L dt t (2.5) Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học bằng tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ bằng tọa độ suy rộng và xung lượng suy rộng. Chia phương trình (2.5) cho dt và chú ý rằng dp k dq  p k và k  q k dt dt Ta có: dH dL  dt dt Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì dri  0 và do đó lúc này hàm dt Lagrange không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên dL  0 ta thu được dt định luật bảo toàn đại lượng H: Ta có: dH dL =0  dt dt 2.2.3. Phƣơng trình Haminton. Biểu thức vi phân toàn phần của H có thể viết: s  H H  H dH    dp k  dt  q k  t k 1  p k Mà ta có: 15 (2.6) s . . dH   qk dpk  p k dqk  k 1 L dt t Ta thấy được: q k  H H và p k   p k q k Đây là các phương trình Haminton và hệ thức ( k  1, s ) (2.7) dH dL  dt dt Chia 2 vế của phương trình (2.6) cho dt và chú ý các hệ thức (2.7) ta thu được: dH L  dt t Nếu H không phụ thuộc tường minh vào thời gian có nghĩa là H  0 thì t H là một đại lượng bảo toàn. Như vậy, để mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ, ngoài việc sử dụng phương trình Lagrange loại II ta còn có thể sử dụng 2s phương trình Haminton (2.7) Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Lagrange thì trạng thái của cơ hệ được xác lập bởi những tọa độ suy rộng qk (k  1, s , vận tốc suy rộng q k (k  1, s ). Những biến số q k ( k  1, s ), q k (k  1, s ) và t gọi là biến số Lagrange. Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng qk (k  1, s) và xung lượng suy rộng pk (k  1, s) và gọi là biên số Haminton trong trường lực thế. Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế. 16 CHƢƠNG 3 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải bài tập đối với cơ hệ là cơ hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng. 3.1. Các bƣớc áp dụng hệ phƣơng trình Hamintin để giải bài tập. B1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa độ suy rộng thích hợp. B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng U. B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng P. B4: Xác định hàm Haminton. B5: Viết hệ phương trình Haminton và giải để tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, cơ hệ. 3.2. Áp dụng hệ phƣơng trình Haminton để giải một số bài tập. Bài tập 1: Một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế F= -kx, trong đó k là hằng số. Tìm định luật chuyển động của chất điểm. Giải: Động năng của chất điểm: mx 2 T 2 Thế năng của chất điểm: kx2 U    Fxdx  2 Hàm Lagrage L và xung lượng suy rộng pk của chất điểm có dạng: 17 mx 2 kx2 L  T U   2 2 px  L  mx x Hàm Haminton của chất điểm: p x2 kx2 L H  x  L  T U   E x 2m 2 Những phương trình chính tắc Haminton: x  H p x  p x m p x   H  kx x Từ hai phương trình trên ta suy ra: mx  kx hay mx  w2 x  0 Với w 2  k m Giải phương trình vi phân này ta thu được: x  A cos(wt   ) Đây là phương trình dao động điều hòa với A và  là biên độ và pha ban đầu. Bài tập 2: Tìm phương trình chuyển động của con lắc toán học có độ dài l , khối lượng m, góc lệch  khỏi phương thẳng đứng bé. Giải: O  l h Hình 3.1 3.1 18 Chọn tọa độ suy rộng  Động năng của chất điểm: T mv 2 ml 2 2  2 2 Thế năng của chất điểm: U  mgh  mg (l  l cos ) Hàm Lagrage L và xung lượng suy rộng p k của chất điểm có dạng: ml 2 2 L  T U   mg (l  l cos ) 2 p  L  ml 2  Hàm Haminton của chất điểm: p2 L H    L  T U   mg (l  l cos )  2ml 2 Những phương trình Haminton:   Và p    p H  2 p ml H  mgl sin   Từ hai phương trình này ta suy ra: g l   sin   0 Nếu góc  bé thì ta có sin    Hay   w2  0 với w 2  g l 19 Và giải phương trình này ta thu được:   A cos(wt   ) Trong đó A và  là các hằng số được xác định từ các điều kiện ban đầu. Bài tập 3: Tìm quy luật chuyển động của chất điểm trong trường trọng lực. Giải: Chọn các tọa độ suy rộng là x, y, z. Động năng của chất điểm: 1 T  m( x 2  y 2  z 2 ) 2 Thế năng của chất điểm: U  mgz (trục 0 z hướng từ dưới lên trên ) Hàm Lagrange và của chất điểm có dạng: 1 L  T  U  m( x 2  y 2  z 2 )  mgz 2 Hàm Haminton của chất điểm: H  xp x  y p y  zp z  L L L L  y  z  L x y z 1 1 1  mx 2  my 2  mz 2  mx 2  my 2  mz 2  mgz 2 2 2 1 1 1  mx 2  my 2  mz 2  mgz 2 2 2  x p y2 px2 pz2     mgz 2m 2m 2m 20 Những phương trình chính tắc Haminton: x  H H p x 0 , p x    x p x m y  H H p y 0 , p y    y p y m z  H H p z  mg  , p z   z p z m Từ đó ta suy ra: x  0 y  0 z   g Tích phân các phương trình này với các điều kiện đầu v0 x , v0 y , v0 z , x0 , y0 , z0 ta được: x  x0  v0 xt , y  y0  v0 y t , 1 z  z0  v0 z t  gt 2 , 2 Bài tập 4: Một con lắc phẳng M2 có khối lượng m2, có điểm treo M1 với khối lượng m1, chuyển động không ma sát trên một đường thẳng nằm ngang. Con lắc có chiều dài là. Tìm phương trình chuyển động của con lắc. 21 M1 O x  l M2 y Hình 3.2 Giải: Cơ hệ gồm hai chất điểm là M1 và M2. Các phương trình liên kết:  y1  0   z1  0 z  0  2 Cơ hệ có số bậc tự do là s  3N  n  3.2  4  2 Tọa độ suy rộng: q1  x1  x q2   Các tọa độ Descartes được biểu diễn qua các tọa độ suy rộng:  x1  x y  0  1   x2  x  l sin   y2  l cos  Động năng của con lắc phẳng: 1 1 T  m1 x12  m2 ( x 22  y 22 ) 2 2 22 1 1  m1 x 2  m2 ( x  l cos ) 2  (l sin  ) 2  2 2 1 1  m1 x 2  m2 ( x 2   2l 2  2 xl cos ) 2 2 1 1  (m1  m2 ) x 2  m2 (l 2 2  2lx cos ) 2 2 Chọn gốc thế năng trùng với gốc tọa độ O. Thế năng của hệ: U  m2 gy2  m2 gl cos Hàm Lagrage của hệ có dạng: L T U  1 1 (m1  m2 ) x 2  m2 (l 2 2  2lx cos )  m2 gl cos 2 2 Nếu chất điểm M1 cố định thì x  const nên x  0 . Hàm Lagrage của hệ có dạng: 1 L  T  U  m2l 2 2  m2 gl cos  2 Xung lượng suy rộng của hệ có dạng: px  p  L 0 x L  m2l 2  Hàm Haminton của chất điểm: 23 1 H  xp x  p  L  m2l 2 2  m2l 2 2  m2 gl cos  2 1  m2l 2 2  m2 gl cos  2 p2   m2 gl cos  2m2l 2 Những phương trình Haminton: H 0 px x  p x     p    H 0 x p H  2 p m2 l H  m2 gl sin   Từ đó ta có: m2l 2  m2 gl sin  g sin   0 l nên   Nếu góc  bé thì ta có sin    Thì ta có:   w2 sin   0, w2  Nghiệm tổng quát của phương trình này là:   A cos(wt   ) 24 g l Với A và  là những hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu Như vậy, ở đây con lắc toán học sẽ thực hiện dao động điều hòa với chu kỳ: T 2 l  2 w g Bài tập 5: Một vật rơi xuống đất từ độ cao h, không có vận tốc ban đầu. Dùng hệ phương trình Haminton để tìm vận tốc của vật. Biết bán kính Trái Đất là R, bỏ qua ma sát và sức cản không khí. Giải: O h x Hình 3.3 Cơ hệ có 1 bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng là x. Chọn hệ trục tọa độ suy rộng Ox như hình vẽ, gốc O tại vị trí ban đầu trước khi vật rơi. Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu trước khi thả vật. Động năng của vật là: 25 mx 2 T 2 Thế năng của vật là: U  mgx Hàm Lagrnge và xung lượng suy rộng có dạng: mx 2 L T U   mgx 2 px  L  mx x Hàm Haminton có dạng: p x2 L H  x  L T U   mgx x 2m Những phương trình Haminton: x  H p x  p x m p x   H  mg x Từ đó ta có: mx  mg  x  g  dx  gdt x t 0 0   dx   gdt  x  gt Tại t=0 thì x  x0  0 Vật rơi xuống mặt đất từ độ cao h nên ta có: 26 1 h  v0t  gt 2  h0 2 1  h  gt 2 2 2h 2h  t2  t  g g  x  g 2h  2 gh g Vậy vận tốc của vật là: x  2 gh Bài tập 6: Một vật khối lượng m được ném lên với vận tốc ban đầu v0 , dưới một góc  so với phương nằm ngang. Hãy tìm phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật. Bỏ qua sức cản của không khí. y Giải:  v0 O  R  Rx  v  Ry  Hình 3.4 x Vật có khối lượng m được ném theo phương hợp với phương ngang một góc  . Bỏ qua sức cản của không không khí nên chuyển động của vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực. Vật chỉ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng nên chỉ có 2 bậc tự do. 27 Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. Gốc tọa độ trùng với vị trí ban đầu của vật. Chon tọa độ x, y trên các trục là tọa độ suy rộng của vật. Động năng của vật: 1 T  m( x 2  y 2 ) 2 Chọn gốc thế năng tại O. Thế năng của vật: U  mgy Hàm Lagrange và xung lượng suy rộng của vật có dạng: 1 L  T  U  m( x 2  y 2 )  mgy 2 Hàm Haminton của chất điểm: H  xp x  yp y  L  x L L  y L x y 1 1  mx 2  my 2  mx 2  my 2  mgy 2 2 1 1  mx 2  my 2  mgy 2 2 p y2 px2    mgy 2m 2m Những phương trình chính tắc Haminton: x  H H p x 0 , p x    x p x m 28 (*) y  H H p y  mg , p y    y p y m (**) Từ (*) ta suy ra: mx  0   x0 x  x0 x  x0t  x0 x  0 Trong đó:  0  x0  v0 cos   x  v0 cos  nên   x   v0 cos   t Từ (**) ta có: my  mg   y  g y   gt  y 0 gt 2 y  y 0t  y0 2  y   gt  v0 sin   y0  0  Trong đó:  nên  gt 2   y0  v0 sin   y   2   v0 sin   t (***) (***) chính là phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật. Kết luận: Xét trường hợp: - Khi   0 vật chuyển động ném ngang  x0  v0 , y0  0   x  v0   x  v0t  y   gt   gt 2  y   2 29 - Khi   900 ta có :  + v0 hướng lên trên vật chuyển động thẳng đứng lên trên  x0  0; y0  v0   y  v0  gt  x  0  ,  gt 2  x  0  y  v0t   2  + v0 hướng xuống dưới; vật chuyển động ném thẳng đứng xuống dưới  x 0  0; y0  v0   x  0  x  0  y  v0  gt   gt 2 y   v t  0  2 ,   - Khi v0  0 ta có vật chuyển động rơi tự do  x0  0; y0  0   y   gt  x  0    gt 2 x  0   y   2 Từ các trường hợp trên ta thấy, bài toán ném vật nghiêng góc  so với phương ngang là bài toán tổng quát. Từ đó, dễ dàng suy ra kết quả của các bài toán ném ngang, ném thẳng đứng, rơi tự do… Bài tập 7: Hai chất điểm có khối lượng m1, m2 được nối với nhau bằng 1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài l, khối lượng không đáng kể, sợi dây được vắt qua 1 ròng rọc. Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng hệ phương trình Haminton tìm gia tốc và phương trình chuyển động của chất điểm. Giải: 30 O  T1  T2 m1  P1  P2 m2 x Hình 3.5 Chọn hệ tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ tại tâm của trục quay của ròng rọc. Hệ có 1 bậc tự do. Ta chọn tọa độ suy rộng là x (x là khoảng cách từ ròng rọc đến m1). Với x là tọa độ suy rộng của chất điểm M1 nên l  x là tọa độ suy rộng của chất điểm M2. Động năng của cơ hệ là: 1 1  2 1 1 2 T  m1 x  (l  x)  m1 x 2  m2 x 2 2 2 2 2 1  (m1  m2 ) x 2 2  ( Vì dây không giãn nên vận tốc của 2 vật bằng nhau do đó: x  (l  x) Chọn mốc thế năng tại 0. Ta có tổng thế năng của hệ: 31 U  m1 gx  m2 g (l  x) U  (m2  m1 ) gx  m2 gl Hàm Lagrange và xung lượng suy rộng có dạng: L T U 1  (m1  m2 ) x 2  (m2  m1 ) gx  m2 gl 2 Xung lượng suy rộng: px  L  (m1  m2 ) x x Hàm Haminton: H  x L 1  L  (m1  m2 ) x 2  (m1  m2 ) x 2  (m2  m1 ) gx  m2 gl x 2 1  (m1  m2 ) x 2  (m2  m1 ) gx  m2 gl 2 p x2   (m2  m1 ) gx  m2 gl 2(m1  m2 ) Những phương trình chính tắc Haminton: x  p x   px H  p x m1  m2 H  (m2  m1 ) g x Từ đó ta suy ra được: 32 (m1  m2 ) x  (m2  m1 ) g  x  m1  m2 g m1  m2  x  (m1  m2 ) gt  C1 m1  m2 x (m1  m2 ) gt 2  C1t  C2 2(m1  m2 ) C  x0 Tại thời điểm t=0 ta có:  1 C2  x0 Nên ta có: (m1  m2 ) gt 2 x  x0t  x0 2(m1  m2 ) Như vậy gia tốc của chất điểm là: x  (m1  m2 ) g m1  m2 Và phương trình chuyển động của chất điểm là: (m1  m2 ) gt 2 x  x 0 t  x0 2(m1  m2 ) Bài toán 8: Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mặt phẳng AC của chiếc nêm ABC cố định (trục của hình trụ luôn hướng theo phương ngang) có hình tam giác vuông, góc ACB = Xác định gia tốc của chuyển động tịnh tiến và phương trình chuyển động của khối trụ. Giải: 33 O A x r  B C Hình 3.6 Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng AC nên số bậc tự do là 1. Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ. Chọn tọa độ suy rộng là x. Động năng của khối trụ bao gồm động năng tịnh tiến của khối tâm và động năng quay quanh điểm tiếp xúc với nêm nên ta có: 1 1 T  mx 2  J  2 2 2 1 J1  mr 2 là momen quán tính của trụ đối với trục đi qua tâm của trụ. 2 Theo định lí Huyghen- staino, momen quán tính của trụ đối với quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ là: 3 J  J1  mr 2  mr 2 2 v  x   r 1 1 3 5 T  mx  . mr 2 2  mx 2 2 2 2 4 34 Chọn gốc thế năng là vị trí ban đầu của khối trụ. Thế năng của vật rắn là: U  mgx sin  Hàm Lagrange và xung lượng suy rộng mô tả chuyển động của vật rắn: 5 L  T  U  mx 2  mgx sin  4 px  L 5  mx x 2 Hàm Haminton: H  x L 5 5  L  mx 2  mx 2  mgx sin  x 2 4 5  mx 2  mgx sin  4 p x2   mgx sin  5m Những phương trình chính tắc Haminton: x  p x   H 2 p x  p x 5m H  mg sin  x Từ đó ta có: 35 5 mx  mg sin  2 2  x  g sin  5 2  x  gt sin   x 0 5 x Do x0  0; x0  0  x  g sin  2 t  x0 t  x0 5 g sin  2 t 5 Vậy gia tốc chuyển động tịnh tiến của khối trụ là: 2 x  g sin  5 Phương trình chuyển động của khối trụ là: x g sin  2 t 5 Bài tập 9: Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bán kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quanh đường kính thẳng đứng AB của nó với vận tốc  . Tìm phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M. Giải: 36 A r  M B Hình 3.7 Chuyển động của chất điểm M có thể mô tả bằng 1 tọa độ suy rộng là góc quay  của chất điểm theo vòng khuyên tròn. Động năng của chất điểm: 1 m m m 2 2 T  mv12  v2 2   r   r sin   2 2 2 2 Trong đó: v1 là vận tốc quay của chất điểm so với vành khuyên. v2 là vận tốc quay của chất điểm (tại vị trí xác định bởi góc  ) quanh đường kính thẳng đứng với vận tốc góc  . Chọn gốc thế năng là vị trí thấp nhất của chất điểm. Thế năng của chất điểm: U  mg  r  r cos  37 Hàm Lagrange của chất điểm: 1 1  L  T  U  mr  r  r 2 sin 2   g 1  cos    2 2  1   mr  r  2   2 sin 2    g 1  cos    2  Xung lượng suy rộng: p  L  mr 2  Hàm Haminton: H   L 1 1  L  mr 2 2  mr 2 2  mr 2 2 sin 2   mrg  mrg cos  2 2 1 1  mr 2 2  mr 2 2 sin 2   mrg  mrg cos 2 2  p2 1  mr 2 2 sin 2   mrg  mrg cos 2mr 2 2 Những phương trình chính tắc Haminton:   p    p H  2 p mr H  mr 2 2 sin  cos  mrg sin   Từ đó ta suy ra được: mr 2  mr 2 2 sin  cos  mrg sin      2 sin  cos  38 g sin  r     2 sin  cos  g sin   0 r g    ( 2 cos  ) sin   0 r Đây là phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M. Bài tập 10: Vật E khối lượng m1 nối với ròng rọc B có khối lượng m2, bán kính r bằng sợi dây không dãn, không khối lượng, một đầu dây buộc vật E, đầu còn lại cuốn vào ròng rọc B và vắt qua ròng rọc cố định Q gắn trên góc A của chiếc nêm AOC nằm trên mặt phẳng ngang. Khi vật E chuyển động kéo ròng rọc B lăn trên mặt phẳng nghiêng AC của chiếc nêm. Khối lượng của nêm là ACO   . Hãy tìm hàm Haminton của m3 của ròng rọc Q không đáng kể, góc  hệ vật và phương trình chuyển động trong trường hợp chiếc nêm đứng yên trên mặt phẳng ngang và bỏ qua ma sát. Q A B E  O C Hình 3.8 Hệ gồm vật E (khối lượng m1) và vật B (khối lượng m2). 39 Chọn trục tọa độ trùng với phương chuyển động của các vật. Gốc tọa trùng với vị trí ban đầu của các vật. Các phương trình liên kết:  y1  0; z1  0   y2  0; z2  0  x  2 x 2  1 (Do ròng rọc D lăn không trượt nên ngoài chuyển động tịnh tiến đi lên của tâm N, dây treo tuột ra khỏi ròng rọc B dãn tới quãng đường đi được của vật E gấp đôi quãng đường đi được của ròng rọc B => vE=2vB). Số bậc tự do của hệ là: s=3N-n=3.2-5=1. Chọn tọa độ suy rộng là x là quãng đường đi được của vật E. Động năng của hệ bao gồm động năng tịnh tiến của vật E, ròng rọc B và động năng quay của ròng rọc B: 1 1 1 T  m1 x 2  m2vN 2  J N 2 2 2 2 vN là vận tốc tâm N của ròng rọc B 1 J N  m2 r 2 là momen quán tính của ròng rọc B (đĩa đặc). 2 vN  x  r 2 1 1 1 T  m1 x 2  m2 x 2  m2 x 2 2 8 16 3  1   m1  m2  x 2 16  2 40 Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu của các vật. Thế năng của cơ hệ: U  m1 gx  m2 gx sin  Hàm Lagrange của cơ hệ: 3 1  L  T  U   m1  m2  x 2  m1 gx  m2 gx sin  16  2 1 3 Đặt M= m1  m2 2 16 Khi đó ta có: L  Mx 2  m1 gx  m2 gx sin  Xung lượng suy rộng: px  L  2Mx x Hàm Haminton: H  x L  L  2Mx 2  Mx 2  m1 gx  m2 gx sin  x  Mx 2  m1 gx  m2 gx sin  p x2   m1 gx  m2 gx sin  4M Những phương trình chính tắc Haminton: x  p H  x p x 2M 41 p x   H  mg1  m2 g sin  x Từ đó ta có: 2Mx  m1 g  m2 g sin  Đặt F= g  m1  m2 sin   suy ra: F F    x   x  t  x0  2M 2M   x  F t 2   x0t  x0  2M Trong đó x0 và x0 là vận tốc và vị trí ban đầu của vật E. Bài tập 11: Một chất điểm có khối lượng m chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm với thế năng U(r). Tìm quy luật chuyển động của chất điểm. Giải: z  V  r O  y x Hình 3.9 Số bậc tự do của cơ hệ là 3 42 Chọn tọa độ suy rộng là các tọa độ cầu: q1  r q2   q3   Động năng của chất điểm: 1 T  m(r 2  r 22  r 2 2 sin 2  2 Hàm Lagrange và xung lượng suy rộng của chất điểm có dạng: 1 L  m  r 2  r 22  r 2 2 sin 2    U (r ) 2 Hàm Haminton của chất điểm: L L  L H  rpr  p  p  L  r    L r   1  mr 2  mr 2 2 sin 2   mr 2 2  m(r 2  r 2 2  r 2 2 sin 2  )  U (r ) 2 1 1 1  mr 2  mr 2 2 sin 2   mr 2 2  U (r ) 2 2 2 2 p pr2 p2     U (r ) 2m 2mr 2 sin 2  2mr 2 Những phương trình chính tắc Haminton: r  H U H pr  mr 2  mr 2 sin 2    , p r   r r pr m 43 (1)   p H H 0  , p    2 2  p mr sin  (2)   H p H  r 2 2 sin  cos  2 , p     p mr (3) Từ (1) ta có: mr  mr 2  mr 2 sin 2   U r (*) Từ (2) ta có: mr 2 sin 2   0 (**) mr 2  r 2 2 sin  cos (***) Từ (3) ta có: Các phương trình (*), (**), (***) là các phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm 44 KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu một số bài toán giải bằng hệ phương trình Haminton trong cơ lý thuyết, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề tài đã cơ bản hoàn thành được nhiệm vụ đề ra. Trong khóa luận này, chúng tôi đã trình bày cơ sở lí thuyết áp dụng của hệ phương trình Haminton, trong đó tìm ra phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ, xây dựng hệ phương trình Haminton áp dụng cho mọi cơ hệ   chịu liên kết lí tưởng; trường hợp đặc biệt khi phản lực liên kết Ri  0 , ta chuyển về áp dụng cho cơ hệ tự do. Trong phần trọng tâm của khóa luận, chúng tôi đã áp dụng những lí thuyết trên để giải các bài tập tiêu biểu trong cơ lý thuyết. Đây là những bài toán trọng tâm về chất điểm, hệ chất điểm có chịu liên kết, là cơ sở để giải quyết tất cả các bài toán cơ học bằng phương pháp giải tích của cơ lý thuyết. Chúng tôi hy vọng khóa luận làm tài liệu tham khảo có ích cho những bạn sinh viên đam mê nghiên cứu vật lý lý thuyết, đặc biệt là cơ học lý thuyết- học phần có tính chất cơ sở của toàn bộ chương trình vật lý lý thuyết. 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Đình Dũng, Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2004. 2. Chu Tạo Đoan, Cơ học lý thuyết, Nxb Giao thông vận tải, Hà Nội, 2007 3. Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội, 1998. 4. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nạp, Đỗ Đinh Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1983. 5. Giáo trình Cơ lý thuyết ( dành cho sinh viên khoa vật lí), Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 1978. 6. Bài giảng của PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan về cơ học lý thuyết. 46 [...]... S Vậy L và L cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange có ý nghĩa bất định 8 1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự do Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của  hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc  vào vận tốc v Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng  của v có nghĩa là: L  L (v 2 ) Dạng của L được... Hình 3.4 x Vật có khối lượng m được ném theo phương hợp với phương ngang một góc  Bỏ qua sức cản của không không khí nên chuyển động của vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực Vật chỉ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng nên chỉ có 2 bậc tự do 27 Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Gốc tọa độ trùng với vị trí ban đầu của vật Chon tọa độ x, y trên các trục là tọa độ suy rộng của vật Động năng của vật: 1 T... Haminton và giải để tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, cơ hệ 3.2 Áp dụng hệ phƣơng trình Haminton để giải một số bài tập Bài tập 1: Một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế F= -kx, trong đó k là hằng số Tìm định luật chuyển động của chất điểm Giải: Động năng của chất điểm: mx 2 T 2 Thế năng của chất điểm: kx2 U    Fxdx  2 Hàm Lagrage L và xung lượng suy rộng pk của. .. Tại t=0 thì x  x0  0 Vật rơi xuống mặt đất từ độ cao h nên ta có: 26 1 h  v0t  gt 2  h0 2 1  h  gt 2 2 2h 2h  t2  t  g g  x  g 2h  2 gh g Vậy vận tốc của vật là: x  2 gh Bài tập 6: Một vật khối lượng m được ném lên với vận tốc ban đầu v0 , dưới một góc  so với phương nằm ngang Hãy tìm phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật Bỏ qua sức cản của không khí y Giải: ... không phụ thuộc vào q k nên pk có dạng: s L T pk     aik q i  bk ( k  1, s ) q k q k i 1 Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian Từ đó ta có: s q i   cik pk  d i ( k  1, s ) (2.4) k 1 Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian 2.2.2 Xây dựng hàm Haminton Hàm Lagrange là hàm của tọa độ suy rộng q k , vận tốc suy rộng q k và thời gian t:... là x Chọn hệ trục tọa độ suy rộng Ox như hình vẽ, gốc O tại vị trí ban đầu trước khi vật rơi Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu trước khi thả vật Động năng của vật là: 25 mx 2 T 2 Thế năng của vật là: U  mgx Hàm Lagrnge và xung lượng suy rộng có dạng: mx 2 L T U   mgx 2 px  L  mx x Hàm Haminton có dạng: p x2 L H  x  L T U   mgx x 2m Những phương trình Haminton: x  H p... Nghiệm tổng quát của phương trình này là:   A cos(wt   ) 24 g l Với A và  là những hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu Như vậy, ở đây con lắc toán học sẽ thực hiện dao động điều hòa với chu kỳ: T 2 l  2 w g Bài tập 5: Một vật rơi xuống đất từ độ cao h, không có vận tốc ban đầu Dùng hệ phương trình Haminton để tìm vận tốc của vật Biết bán kính Trái Đất là R, bỏ qua ma sát và sức cản không... s , vận tốc suy rộng q k (k  1, s ) Những biến số q k ( k  1, s ), q k (k  1, s ) và t gọi là biến số Lagrange Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng qk (k  1, s) và xung lượng suy rộng pk (k  1, s) và gọi là biên số Haminton trong trường lực thế Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế... điều kiện ban đầu Bài tập 3: Tìm quy luật chuyển động của chất điểm trong trường trọng lực Giải: Chọn các tọa độ suy rộng là x, y, z Động năng của chất điểm: 1 T  m( x 2  y 2  z 2 ) 2 Thế năng của chất điểm: U  mgz (trục 0 z hướng từ dưới lên trên ) Hàm Lagrange và của chất điểm có dạng: 1 L  T  U  m( x 2  y 2  z 2 )  mgz 2 Hàm Haminton của chất điểm: H  xp x  y p y  zp z  L L L... trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ k 1   ri  Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng   0  thì:  t  H T U L T U U  U (ri )  pk  q k  H pk Với k=1,2,… 11 L T  q k q k CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON 2.1 Phƣơng trình tổng quát của động lực học Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ có dạng:    ... không ngừng khoa học, vào kỉ XIX chuyên ngành vật lý đời, khẳng định mối liên hệ chặt chẽ vật lý học toán học, ngành Vật lý lý thuyết Nó diễn tả quy luật vật lý, học thuyết tổng quát có ý nghĩa... tham khảo có ích cho bạn sinh viên đam mê nghiên cứu vật lý lý thuyết, đặc biệt học lý thuyết- học phần có tính chất sở toàn chương trình vật lý lý thuyết 45 ... giải số tập lý thuyết để tìm quy luật chuyển động chất điểm, hệ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu khái niệm hệ có chịu liên kết - Dùng hình thức luận Haminton để giải số tập lý thuyết - Nghiên