TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TUYẾT MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đƣờng đại học đến nay, em đã nhận đƣợc rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật Lý Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trƣờng. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS. Hà Thanh Hùng, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt khóa luận này. Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí luận cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của thầy cô để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận đƣợc tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Tuyết LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của giảng viên TS. Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Tuyết MỤC LỤC M Đ U ........................................................................................................... 1 . Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đ ch nghiên cứu ...................................................................................... 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................... 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 5. Phƣơng ph p nghiên cứu ................................................................................ 2 6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2 NỘI DUNG ........................................................................................................ 3 CHƢƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM ............................................... 3 . . Định nghĩa về nhóm .................................................................................... 3 1.2. Các ví dụ về nhóm ....................................................................................... 5 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN ........................................................ 10 2.1. Nhóm hữu hạn ........................................................................................... 10 2.2.Nhóm không Abel ...................................................................................... 11 2.3. Nhóm hoán vị ............................................................................................ 13 2.4. Nhóm thƣơng ............................................................................................ 16 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP...................................... 21 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 32 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn tài Khi nghiên cứu c c đối tƣợng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc biệt – tính chất đối xứng. Cụ thể, đó là: - Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng lƣợng, xung lƣợng, momen xung lƣợng,…). - Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất nhƣ tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản dẫn đến phƣơng ph p phân loại các mức (mức năng lƣợng, mức “khối lƣợng”), hay một số đại lƣợng khác. Tính chất đối xứng của c c đối tƣợng tự nhiên có thể “t nh to n” bằng một bộ môn toán học trừu tƣợng gọi là lý thuyết nhóm. Đặc biệt, lý thuyết nhóm đã cung cấp cho vật lý học một phƣơng ph p gọn, chính xác, bổ sung cho các phƣơng ph p kh c. Trong một số bài to n đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm. Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phƣơng ph p lý thuyết nhóm dần dần trở thành một phƣơng ph p kh thông dụng, nói chung không thể thiếu đƣợc. Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bƣớc đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm. 2 Mục ch nghiên cứu - Tìm hiểu về lý thuyết nhóm và một số nhóm cơ bản. - Giải một số bài tập về c c nhóm đó. 3 Đối tƣ ng nghiên cứu - Một số nhóm cơ bản. - Một số bài tập về c c nhóm đó. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đƣa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản. - Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó. 5 Phƣơng ph p nghiên cứu - Đọc, tra cứu tài liệu - Phƣơng ph p vật lý lý thuyết và vật lý toán 6. Cấu trúc khóa luận Chƣơng 1: C c ịnh nghĩa của nhóm 1.1. Định nghĩa về nhóm 1.2. Các ví dụ về nhóm Chƣơng 2: Một số nhóm cơ bản 2.1 Nhóm hữu hạn 2.2 Nhóm không Abelian 2.3 Nhóm hoán vị 2.4 Nhóm thƣơng Chƣơng 3: Ứng dụng giải một số bài tập 2 NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM 1.1. Định nghĩa v nhóm  Định nghĩa nhóm Một tập hợp G  a, b, c đƣợc gọi là một nhóm nếu có một toán tử, đƣợc gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của nhóm G thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tính kín: Nếu a, b  G thì a.b  G . (ii) Tính kết hợp: Với mọi a, b, c  G thì  a.b  .c  a.  b.c  . (iii) Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử đơn vị e sao cho: a.e  a với a  G . (iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a  G có một phần tử nghịch đảo a 1  G sao cho: a.a 1  e . Từ c c tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra đƣợc các hệ quả sau: e 1  e, a 1 .a  e, e.a  a với a  G . Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dƣới phép cộng, phép nhân nhóm đƣợc thực hiện nhƣ phép cộng thông thƣờng. Trong nhóm này, phần tử đơn vị I đƣợc thay thế bằng số 0, và nghịch đảo của một số nguyên a là a . Khi đó điều kiện (i) và (ii) đƣợc thỏa mãn bởi các số nguyên dƣới phép cộng là hiển nhiên. Một nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông thƣờng, đƣợc hình thành bởi 1 và - ; trong nhóm này, t nh k n đƣợc thỏa mãn, 1 là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó.  C c ịnh nghĩa kh c Nhóm Abel: Một số nhóm G đƣợc gọi là nhóm Abel nếu phép nhân nhóm là giao hoán: a.b  b.a với a, b  G 3 Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thể sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ gồm một phần tử a . Nếu nhóm đƣợc viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của a , và khi nhóm đƣợc viết theo lối cộng thì mỗi phần tử của nhóm là một bội số của a . Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Bảng nhân nhóm: Là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử trong nhóm e a b … e e a b … a a aa ab … b b ba bb … … … … … … Nhóm con: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình thành một nhóm con của G. Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G đƣợc gọi là nhóm con bất biến nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó. aHa 1  H với a  G Đẳng thức trên có thể viết dƣới dạng sau: aH  Ha tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là nhƣ nhau. Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói c ch kh c, nếu đã chứa một phần tử của lớp  a  thì phải chứa toàn thể lớp  a  . Nhóm con bất biến tầm thƣờng: e và bản thân G. 4 Tất cả nhóm con của nhóm giao ho n đều bất biến. Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con bất biến của G. Các phần tử liên h p: Một phần tử b  G đƣợc gọi là liên hợp với a  G nếu tồn tại một phần tử khác p  G sao cho b  pap 1 . Ta sẽ biểu thị mối quan hệ này bằng kí hiệu “~”. Tính chất: (i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó a ~ a (quan hệ phản xạ). (ii) Nếu a ~ b thì b ~ a (quan hệ đối xứng). (iii) Nếu a ~ b và b ~ c thì a ~ c (quan hệ bắc cầu). Lớp liên h p: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành một lớp. Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó. Tích trực tiếp: Gọi H1 và H2 là các nhóm con của G với các tính chất sau: (i) Mọi phần tử của H1 giao hoán với mọi phần tử của H2, tức là: h1h2  h2 h1 , h1  H1 , h2  H 2 (ii) Mọi phần tử g  G có thể viết đƣợc duy nhất dƣới dạng g  h1h2 , ở đây h1  H1 , h2  H 2 . Trong trƣờng hợp này, G đƣợc gọi là tích trực tiếp của H1 và H2, kí hiệu là G  H1  H 2 . 1.2. Các ví dụ v nhóm Ví dụ 1: Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e . Phần tử nghịch đảo của e chính là e và quy tắc nhân nhóm là e.e  e . Dễ thấy 5 tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn. Số 1 với phép nhân thông thƣờng tạo thành một nhóm mà ta biểu thị bằng C1 . Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử đơn vị. Ta biểu thị nhóm này bởi e, a . Tùy theo tính chất của e , ta phải có e.e  e và e.a  a.e  a . Vậy chỉ còn a.a cần đƣợc x c định. Hoặc aa  e hoặc aa  a . Khả năng thứ hai là khả năng không thể vì nếu nhân cả hai vế với a 1 thì dẫn tới a  e . Luật nhân nhóm đƣợc tóm tắt ngắn gọn qua bảng . . Nhóm này đƣợc kí hiệu là C 2 . Rõ ràng các số  1(e) và  1(a) hình thành nhóm này cùng với phép nhân thông thƣờng e a e e a a a e Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C 2 . Ví dụ 3: Có một và chỉ một nhóm ba phần tử gọi là C 3 . Bảng nhân đƣợc 1 1 đƣa ra ở bảng 1.2. Vì a  b , ta có thể kí hiệu ba phần tử bởi e,a,a  với 3 điệu kiện a  e . Ví dụ: (i) Các số 1, e i 2 / 3 , e i 2 / 3  với quy tắc nhân thông thƣờng. (ii) Toán tử đối xứng cho tam gi c đều  trong mặt phẳng quay những góc 0,2 / 3,4 / 3 . e a b e e a b a a b e b b e a Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm C 3 . 6 Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thƣờng đƣợc gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và đƣợc kí hiệu bởi D2 . Nếu ta biểu thị bốn phần tử này là {e, a, b, c} , bảng nhân đƣợc đƣa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử này tƣơng ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1: (i) Giữ hình không đổi (ii) Phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3) (iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) (iv) Phép quay quanh tâm một góc  trong mặt phẳng. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D2 . 1 4 2 3 Hình 1.1: Dạng đối xứng D2 . Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6. Nó đƣợc tạo ra từ các phép biến đổi đối xứng dạng hình học nhƣ hình .2 7 1 3’ 2’ 2 3 1’ Hình 1.2: Dạng đối xứng D3 . Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) Phép biến đổi đơn vị (ii) Phép chiếu xuống các trục ( , ’), (2,2’), (3,3’) (iii) Phép quay các tâm với các góc 2 / 3 và 4 / 3 Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần lƣợt ta sẽ trở lại hình ban đầu. Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31). Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2 / 3 và 4 / 3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của cả ba điểm, sẽ đƣợc biểu thị lần lƣợt là (321) và (123) Ta nhận thấy rằng có một và chỉ một sự tƣơng ứng giữa các phép biến đổi đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị S 3 . Có thể dễ dàng kiểm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đổi (12) và (123) liên tiếp thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó chứng tỏ đây là nhóm không Abel. 8 e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3 (hay S 3 ) . Ví dụ 6: Nhóm D2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử e, a, e, b và e, c. Bình phƣơng của a trong hai trƣờng hợp này bằng e . Do đó e, a trùng với nhóm C 2 và hai tập còn lại cũng vậy. Ví dụ 7: Tập hợp các ma trận khả nghịch n  n bất kì bao gồm ma trận đơn vị và những ma trận có t nh k n dƣới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma trận. Một số nhóm quan trọng thƣờng dùng sau: (i) Nhóm tuyến tính phổ biến GLn bao gồm tất cả những ma trận n  n khả nghịch. (ii) Nhóm Unita U n  bao gồm tất cả các ma trận Unita, tức là các ma trận Unita n  n thỏa mãn: U .U   1 . (iii) Nhóm Unita đặc biệt SU n bao gồm các ma trận Unita với định thức đơn vị. (iv) Nhóm trực giao On  bao gồm các ma trận trực giao hoặc các ma trận n  n thỏa mãn: O.OT  1 ( O T là ma trận trực giao của ma trận O). Rõ ràng SU n và On  là các nhóm con của U n  ; và U n  lại là nhóm con của GLn  . 9 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN 2.1. Nhóm hữu hạn Ta xét một tập hợp S gồm bốn phần tử: S  1,3,5, 7 với phép nhân nhóm (phép đồng dƣ của 8) Để tìm t ch (phép đồng dƣ của 8) của hai phần tử trong S, ta nhân chúng với nhau theo c ch thông thƣờng, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta đƣợc phần dƣ, phần dƣ này ch nh là t ch mà ta cần tìm. Ví dụ, 5  7  35 , 35 chia 8 ta đƣợc phần dƣ là 3. Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a  b  b  a , ta có: 11  1, 3  3  1, 5  5  1, 7  7  1. 1 3  3, 3  5  7, 5  7  3, 1 5  5, 3  7  5, 1 7  7 Ta thấy rằng, tập hợp S thỏa mãn tính kín. 1 chính là phần tử đơn vị, tức là 1 a  a với a  S . Hơn nữa, đối với phần tử a  S có một phần tử b (trong trƣờng hợp này b  a ) thì a  b  1 , tức là mỗi một phần tử đều có một phần tử nghịch đảo. Nhƣ vậy tập hợp S là một nhóm Abel bậc 4. Ta có bảng nhân nhóm nhƣ sau: 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Từ ví dụ trên, ta đƣa ra đƣợc các tính chất nhƣ sau: (i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng nhân nhóm. 10 (ii) Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thể x c định bằng cách tìm dọc theo hàng, trong đó a xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần tử b tƣơng ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm trên đƣờng chéo chính. Ta rút ra đƣợc hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đƣờng chéo chính thì các phần tử tƣơng ứng là bậc 2. (iii) Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đƣờng chéo chính. Tổng quát: Xét một tập hợp S gồm bốn phần tử: S  I , A, B, C với phép nhân nhóm (phép đồng dƣ của N). ta luôn lập đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau: I A B C I I A B C A A I C B B B C I A C C B A I Vậy nhóm hữu hạn là một nhóm nếu số các phần tử của nhóm đó là hữu hạn. Số lƣợng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm. 2.2.Nhóm không Abel Ta xét các phần tử của một nhóm biến đổi qua một tam gi c đều thông qua phép quay hai chiều. Có sáu phép quay: toán tử rỗng, hai phép xoay (là 2 / 3 và 4 / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phẳng của tam giác), và ba phép quay phản xạ trong mặt phẳng trung trực vuông góc của ba cạnh. Ta biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau: (i) I là toán tử rỗng. 11 (ii) R và R’ là phép xoay 2 / 3 và 4 / 3 (theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ). (iii) K, L, M là các phép quay phản xạ Một số phép nhân của a.b có thể dễ dàng t nh to n đƣợc: R.R  R ', R'.R'  R, R .R'  I  R'.R K.K  L.L  M.M  I Biểu diễn các tích còn lại thông qua c c phép quay trong tam gi c đều ta đƣợc: K .M  R ', M .K  R, R.L  K Ta thu đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau: I R R’ K L M I I R R’ K L M R R R’ I M K L R’ R’ I R L M K K K L M I R R’ L L M K R’ I R M M K L R R’ I Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy: (i) Các phần tử không đối xứng qua đƣờng chéo chính, một số kết cặp của các phần tử trong nhóm không giao hoán. (ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3  3 tạo thành một bảng nhân nhóm gồm bốn khối là hình vuông. Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đƣa vào các toán tử tƣơng tự với tổ hợp các toán tử kh c khi t c động lên các phần tử của nhóm. Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau: cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu nhƣ nó đƣợc xem nhƣ là một phép quay góc 0 / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ. 12 Nhƣ vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có t nh giao hoán. 2.3. Nhóm hoán vị Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trƣng của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bổ đề sắp xếp. Bổ sắp xếp: Nếu có p, b, c  G và pb  pc thì b  c . Chứng minh: 1 Nhân trái cả hai vế với p thì ta có: p 1 pb  p 1 pc Mà p 1 p  e do đó eb  ec hay b  c (đpcm) Kết quả này có nghĩa là: Nếu b và c là những phần tử khác nhau của G thì pb và pc cũng kh c nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G đƣợc sắp xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì kết quả cũng đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống nhƣ vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải. Xét trƣờng hợp với nhóm hữu hạn hạng n . Ta biểu thị các phần tử của nhóm là g1 , g 2 ,..., g n . Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì   kết quả là {hg1 , hg 2 ,..., hg n }  g h1 , g h2 ,..., g hn ở đây h1 , h2 ,..., hn  là một hoán vị của các số ( ,2,…,n) đƣợc x c định bởi h . Từ đó ta tìm đƣợc bản chất mối quan hệ giữa phần tử h  G và một hoán vị đƣợc đặc trƣng bởi h1 , h2 ,..., hn  . Một hoán vị tùy ý của n đối tƣợng sẽ đƣợc biểu thị bởi 2 1 p    p1 p2 13 3  n   p3  pn  ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên đƣợc thay thế bởi một phần tử tƣơng ứng ở hàng thứ hai. Tập hợp n! hoán vị của n đối tƣợng hình thành một nhóm S n , gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng. Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tƣơng ứng việc không có sự đổi chỗ, tức là: 1 2  n   e   1 2  n  Lấy nghịch đảo từ p ta đƣợc:  p p2  pn p 1   1 1 2  n    Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép ho n vị là cơ sở trong cấu trúc tuần hoàn có thể đƣợc giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán vị của s u đối tƣợng 1 2 3 4 5 6   p   3 5 4 1 2 6   Vì đƣợc thay thế bởi 3, 3 đƣợc thay thế bởi 4, 4 đƣợc thay thế bởi 1 nên ba đối tƣợng này hình thành một chu kì-3 và đƣợc kí hiệu là ( 34). Tƣơng tự, 2 và 5 hình thành một chu kì-2, đƣợc kí hiệu là (25). Số 6 không bị xáo trộn, nó có dạng chu kì- , đƣợc kí hiệu là (6). Các kí hiệu tuần hoàn ( 34)(25)(6) đã x c định rõ phép hoán vị. Với kí hiệu này phần tử bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của  p1 , p2 ,, pm  là những số giống nhƣ vậy trong cấp nghịch đảo, tức là ( pm , pm1 ,, p1 ) . Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn. 14 Phép ẳng cấu: Hai nhóm G và G’ đƣợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một và chỉ một sự tƣơng ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu g i  G  g i ' G' và g1 g 2  g 3 trong G thì g1 ' g 2 '  g 3 ' trong G’ và ngƣợc lại. Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm các số  1,i cùng với phép nhân thông thƣờng đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C4  1, e 2i / 4 , e 4i / 4 , e 6i / 4  kí hiệu A C4 . (ii) Nhóm nhị diện D3 đẳng cấu với nhóm đối xứng S 3 , D3 S3 . Định lí Cayley: Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của Sn . Chứng minh: Bổ đề sắp xếp đã đƣa ra một sự tƣơng ứng từ G tới S n : 1 2  n    S n a  G  pa   a a  a n  1 2 (2.3.1) ở đây chỉ số ai  đƣợc x c định từ việc định nghĩa đơn vị. g ai  ag i , i  1,2,, n (2.3.2) Đặt ab  c trong G. Ta có sự tƣơng ứng: 1 2  n  1 2   p a pb   a a  a n   b1 b2  1 2  b1 b2  bn  1 2      b b a a  a b b b 2 n  1  1 2 1 2  n      a a  a b b b n   1 2  n   bn   n   bn  Nhƣng theo (2.3.2) thì g ab  ag bi  abg i   abg i  cg i  g ci i 15 Ta kết luận rằng vế phải của phƣơng trình trên là đúng 1 2  n   pc   c c  c n  1 2 Vậy ab  c trong G dẫn tới pa pb  pc trong S n , nói cách khác ánh xạ a  G  pa  S n tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị 1 2  n   p a   a a  a n  1 2 với mọi a  G hình thành một nhóm con của S n mà nhóm con này đẳng cấu với G. Ví dụ: Nhóm nhị diện {D2 : e, a, , c} đẳng cấu với nhóm con của S 4 bao gồm các phần tử e, 12   34  , 13  24  , 14   23 . Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp với một phần tử cho trƣớc của nhóm phải có cùng k ch thƣớc. Điều này rõ ràng đúng trong v dụ trên. Kết quả này đƣa ra một hệ quả đó là: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tƣơng ứng của S n chỉ gồm các chu kìn. Định lí: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải đẳng cấu với C n . 2.4. Nhóm thƣơng Lớp k : Nếu gọi H  h1 , h2 , là một nhóm con của G và p là một phần tử của G p  H  thì tập hợp các phần tử pH  ph1 , ph2 , đƣợc gọi là lớp kề trái của H. Tƣơng tự nhƣ vậy, Hp  h1 p, h2 p, đƣợc gọi là lớp kề phải của H. 16 Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần tử đơn vị. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H. Điều này nhƣ một hệ quả của bổ đề sắp xếp. Bổ : Hai lớp kề trái của một nhóm con H hoặc là trùng nhau hoàn toàn, hoặc là không có phần tử nào chung. Chứng minh: Gọi pH và qH là hai lớp kề. Giả sử phi  qh j với một số hi , h j  H thì q 1 p  h j hi 1 là một phần tử của H. Điều này chỉ ra rằng, q 1 pH phải trùng với H, tức là q 1 pH  H . Suy ra pH  qH . Tuy nhiên, nếu không tồn tại hi , h j thỏa mãn phi  qh j thì pH và qH phải đƣợc định nghĩa kh c nhau. Với một nhóm con H cho trƣớc hạng n H , các lớp kề trái riêng biệt của H chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng n H . Định lí Lagrange: Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó. Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S 3 : (i) Nhóm con H1 : e, 123, 321 có một lớp kề M : 12, 23, 31 thu đƣợc bằng cách nhân trái (12) hoặc (23) hoặc (31) với các phần tử của H. (ii) Nhóm con H 2 : e, 12 có hai lớp kề trái M 1 : 23, 321 thu đƣợc bằng cách nhân (23) hoặc (321) với các phần tử của H 2 và M 2 : 31, 123 thu đƣợc bằng cách nhân (31) hoặc (123) với các phần tử của H 2 . Nhƣ vậy ta đã minh họa việc phân chia các phần tử của S 3 theo các lớp kề và lớp trong hình 1.3. 17 H1 (123) M1 (321) (31) e M2 (123) (23) (31) (321) e (23) (12) (12) M H2 a) 3 (123) b) (321) (31) e (23) (12) 2 c) Hình 1.3: a) Các lớp kề trái của H 1 b) Các lớp kề trái của H 2 c) Các lớp của S 3 với  1  e ,  2  12, 23, 31,  3  123, 321 Xét các lớp kề của một nhóm con bất biến H nhƣ c c phần tử của nhóm mới. Phép nhân của hai lớp kề pH và qH đƣợc định nghĩa là một lớp kề có 1 chứa tất cả các tích phi qh j   pq  hk ở đây hk   q hi q  h j  H với hi , h j  H và p, q  G . Từ pH  qH   pq  H , rõ ràng rằng: (i) H  eH đóng vai trò của phần tử đơn vị. (ii) p 1H là phần tử nghịch đảo của pH . (iii) pH   qH  rH    pH  qH   rH   pqr  H 18 Định nghĩa nhóm thƣơng: Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập các lớp kề với luật nhân pH  qH   pq   H tạo thành một nhóm, gọi là nhóm thƣơng của G. Nhóm thƣơng đƣợc kí hiệu bởi G/H, nó có cấp bằng nG / n H . Ví dụ: Xét nhóm con bất biến H  e, a 2  của nhóm tuần hoàn C 4 . H và lớp kề M  a, a 3  hình thành nhóm thƣơng C4 / H đều hạng 2 và đẳng cấu với C2 . Định nghĩa (phép ồng cấu): Một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm G’ là một ánh xạ (không nhất thiết là một-một), mà phép nhân nhóm đƣợc bảo toàn. Nói cách khái, nếu gi  G , gi '  G ' và g1 g2  g3 thì g1 ' g2 '  g3 ' . Đẳng cấu là trƣờng hợp đặc biệt của đồng cấu. Toàn bộ lý thuyết biểu diễn nhóm đƣợc xây dựng theo đồng cấu từ nhóm trừu tƣợng (thƣờng là nhóm đối xứng trong vật lý) tới nhóm toán tử hoặc ma trận tuyến tính trên không gian vector (không gian của các trạng thái vật lý). Ví dụ: Ánh xạ từ S3 tới C2 mô tả trong hình vẽ dƣới đây là một đồng cấu. H (123) (321) e e (31) a (23) (12) M C2 S3 Điều này xuất phát từ thực tế rằng tích của hai phần tử bất kì từ H hoặc từ M đƣợc kết quả là một phần tử trong H, trong khi tích của một phần tử H với một phần tử từ M cho kết quả là một phần tử trong M. 19 Từ đó rút ra nhận xét quan trọng: nếu G có một nhóm con bất biến H, thì có tồn tại một đồng cấu từ G tới nhóm thƣơng G/H. Phép nhân nhóm đƣợc bảo toàn theo định nghĩa. Định lí: Cho f là một đồng cấu từ G đến G’. Kí hiệu K là tập tất cả các phần tử của G mà được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G’, tức là f   K  a  G, a  e '  G ' . Thì K tạo thành một nhóm con bất biến của G. Hơn nữa,   nhóm thương G/K cũng đẳng cấu với G’. Chứng minh: f (i) Nếu a, b  K , thì ab  e ' e '  e ' . Do đó ab  K . Đối với một đồng cấu f f f ta phải có e  G  e '  G ' và g 1  g '1 (nếu g  g ' ). Do đó e  K và nếu f 1 1 a  K thì a   e '  e ' , hàm ý rằng a  K . Do đó K là một nhóm con. 1 (ii) Cho a  K và g là một phần tử bất kì thuộc G. Ta có: f   gag  g ' e ' g 1 '  g ' e '  g '  e ' 1 1 Do đó gag 1  K , g  G . Điều này nghĩa là K là một nhóm con bất biến. (iii) Các phần tử của nhóm thƣơng G / K là các lớp liền kề pK .  Xét ánh xạ pK  p '  G ' (trong đó  p p' vì p  K ). Nếu   pK     qK  thì   q1K  pK     q 1K    pK    1  qK    pK   e ' , ngụ ý rằng q 1 pK  K hay qK  pK . Vì ánh xạ là một-một. Phép nhân nhóm đƣợc bảo toàn bởi  , vì   pK    qK   p ' q '   pq  '    pqK  . Do đó đẳng cấu. 20  là một CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt động này giúp ngƣời đọc hiểu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng một cách linh hoạt. Đồng thời giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của ngƣời học. Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ khoa học tự nhiên để trình bày các nguyên l đối xứng một c ch rõ ràng, ch nh x c và để thấy đƣợc tầm quan trọng của nó trong toán học vật lý. Trong một số bài to n đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm. Trong chƣơng này, em xét một số dạng bài tập thƣờng gặp và áp dụng các định lí, bổ đề, tính chất của c c nhóm để giải cụ thể bài tập đó. Bài tập 1: Cho H  e, 123, 321, chứng tỏ rằng S 3 / H là một nhóm thƣơng. Giải: Ta có H  e, 123, 321 là nhóm con bất biến của nhóm S3 . Gọi M  12, 23, 31. Nhóm thƣơng S3 / H  aH : a  S3  Cụ thể: eH  e e, 123 ,  321  e, 123 ,  321  H 12  H  12  e, 123 ,  321  12  ,  23 ,  31  M  23 H   23 e, 123 ,  321   23 ,  31 , 12   M  31 H   31 e, 123 ,  321   31 , 12  ,  23  M 123 H  123 e, 123 ,  321  123 ,  321 , e  H  321 H   321 e, 123 ,  321   321 , e, 123  H Vậy S3 / H  H , M , nhóm thƣơng này hạng 2, đúng bằng nS3 / nH . 21 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng nếu G là một nhóm tuần hoàn, N là nhóm con của G thì nhóm thƣơng G / N cũng là một nhóm tuần hoàn. Giải: Vì G là nhóm tuần hoàn nên G là nhóm Abel, ta có:   G  a  ak , k   Nhóm thƣơng G / N có dạng: G / N  Nx : x  G Do đó:       G / N  N a k : k    Na k : k    Na Vậy G/N là nhóm tuần hoàn. Bài tập 3: Chứng minh rằng G  H1  H 2 dẫn tới G / H 1 đẳng cấu với H 2 và G / H 2 đẳng cấu với H1  G / H1 H1  . H2 và G / H2 Giải: Vì H1 và H 2 là những nhóm con bất biến, các tập hợp G / H1 và G / H 2 cùng với phép nhân thông thƣờng của các lớp kề là các nhóm. Nếu cũng đúng rằng G  H1  H 2 thì ta có: G / H1   gH1 : g  G   h1h2  H1 : h1  H1 , h2  H 2    h1 H1  h2 H 2  : h1  H1 , h2  H 2    eH1  h2 H1  : h2  H 2   h2 H1 Điều này chỉ ra rằng các lớp kề trái của H1 đƣợc tạo ra bởi các phần tử của H2 chỉ là các phần tử của nhóm thƣơng G/H1. Phƣơng trình trên dẫn tới sự tƣơng ứng: h2  H 2 T h2 H1  G / H1 có thể là sự tƣơng đƣơng một-một hoặc nhiều hơn. Mối quan hệ này có một đồng cấu vì: 22 T  hh '   hh ' H   hH  h ' H   T  h  T  h ' Do đó T là một đẳng cấu và G / H1 Tƣơng tự ta có: G / H 2 h, h '  G H2 H1 . Bài tập 4: Từ các tiền đề của định nghĩa nhóm, chứng minh các tính chất sau: 1 (i) e  e , (iii) ea  a với a  G (ii) a 1a  e , Giải (i) Vì e  G do đó theo t nh chất (iv) của định nghĩa nhóm, tồn tại phần 1 1 tử nghịch đảo e  G sao cho ee  e . Mặt khác theo tính chất (iii) thì ee  e . 1 Do đó: e  e   1 1 1 1 (ii) Ta có a a  a  ea  mà e  a a   a 1a  a 1  aa 1 a 1     a 1e a 1 1 1 1 do đó      a 1 aa 1 a 1      a 1 a 1 1 e 1 Vậy a a  e (iii) Ta có: ea   aa 1  a  a  a 1a   ae  a Vậy ea  a 23 1 Bài tập 5: Xây dựng bảng nhân nhóm của D2 Giải Ta có: B A A a B b B C D A C B e c ABCD  ABCD a ABCD  DCBA 12  D b C ABCD  BACD  24  c ABCD  CDAB   a a a b a c b b c c ABCD  DCBA  ABCD  aa  e ABCD  DCAB  CDAB  ab  c ABCD  DCAB  BADC  ac  b ABCD  BADC  ABCD  bb  e ABCD  CDAB  ABCD  cc  e Ta thu đƣợc bảng nhân nhóm của D2 nhƣ sau e (12)(34) (13)(24) (14)(23) e e (12)(34) (13)(24) (14)(23) (12)(34) (12)(34) e (14)(23) (13)(24) (13)(24) (13)(24) (14)(23) e (12)(34) (14)(23) (14)(23) (13)(24) (12)(34) e 24 Bài tập 6: Xây dựng bảng nhân nhóm S3 Giải Ta có: 123  123  e  1 11' 123 132  23  3’ 22 ' 123  321  31 33' 123  213 12  2 2 /3 4 /3 123  231  321 12  12   23 12   31 12  123 12   321  23 12   23  23  23  31  23 123  23  321 3 1’ 123  312 123  12  2’ 123  213 123  12 12 e 123  213  312 12  23  123 123  213  231  12  31   321 123  213  132  12 123   23 123  213  321  12  321   31 123  132  231   2312    321 123  132  123   23 23  e 123  132  312   23 31  123  123  132  321   23123    31 123  132  213   23 321  12  25  31 12   31  23  31  31  31 123  31  321 123  321  312   3112   123  123  321  231   31 23   321 123  321 123   31 31  e 123  321  213   31123  12  123  321  132   31 321   23  123 12  123  23 123  31 123 123 123  321 123  312  321  12312    31 123  312  213  123 23  12  123  312 132  123 31   23 123  312  231  123123    321 123  312  123  123 321  e  321 12   321  23  321  31  321 123  321  321 123  231 132   32112    23 123  231  321   321 23   31 123  231  213   321 31  12  123  231  123   321123   e 123  231  312   321 321  123 26 Ta có bảng nhân nhóm của S3 nhƣ sau: e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) E (123) Bài tập 7: Xây dựng bảng nhân nhóm G  1, i với phép nhân thông thƣờng. Giải Nhóm G gồm bốn phần tử là 1, 1, i, i , do đó đây là nhóm hạng 4. Ta có: 11  1; 1  1   1 1  1; 1  i  i  1  i; 1  i    i  1  i;  1   1  1;  1  i  i   1  i;  1   i    i    1  i; i  i  i 2  1; i   i    i   i  i 2  1;  i    i   i 2  1; Ta thu đƣợc bảng nhân nhóm của G: 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1 27 Bài tập 8: Chỉ ra rằng mọi phần tử của nhóm chỉ thuộc một lớp và phần tử đơn vị hình thành lớp của chính nó Giải Xét nhóm G. Giả sử ta có a liên hợp với b: a b  a, b  H với H là một lớp của G. Giả sử ta có b liên hợp với c: b c  b, c  H ' với H’ là một lớp của G. Theo tính chất bắc cầu: a b a c b c Do đo a và c phải cùng thuộc một lớp, tức là H  H ' . Vậy mỗi phần tử của nhóm chỉ thuộc duy nhất một lớp. Ta có: e  e  e  e1 . Do đó phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó. Bài tập 9: Tìm các lớp liên hợp của D4 Giải 2 3 2 3 Ta có D4 gồm các phần tử D4  e, g , g , g , h, gh, g h, g h với e  g 4  h 2  gh2 ; hg  g 1h. 1 Vì xex  e nên phần tử đơn vị e liên hợp với chính nó  e . Nếu x là lũy thừa của g thì x giao hoán với g , do đó xgx1  xx1 g  g 1 i i i 1i i 1i 2 2i 1 i Nếu x  g h thì xgx  g hgg h  g hg h  g g h  g 3 Điều này chỉ ra rằng g 3 chỉ liên hợp với g   g , g  . Tƣơng tự ta có: xg 2 x1  g i hg 2 g i h  g i hg 2i h  g i g 2i h2  g 2i 2  g 21i  do đó hợp với chính nó   g 2  28 g 2 chỉ liên Nếu x  g i thì xhx1  g i hg i  g i g i h  g 2h . Nếu x  g ih thì     xhx 1  g i h h g i h 1  g i hhg i h  g i g i h  g 2i h 2 2 Do đó g h chỉ liên hợp với h  h, g h . 1 i i i i i 1 i 2i 1 Nếu x  g i thì x  gh  x  g  gh  g  g ghg  g g h  g h Nếu x  g ih thì     xghx 1  g i h gh g i h 1  g i hghg i h  g i g 1h 2 g i h  g i 1g i h  g 2i 1h . 3 3 Do đó gh liên hợp với g h  gh, g h . Vậy D4 có 5 lớp liên hợp là: e , g , g 3 , g 2  , h, g 2h , gh, g 3h . Bài tập 10: Xét nhóm nhị diện D4 là một nhóm đối xứng của hình vuông bao gồm các phép quay quanh tâm và phép chiếu lên các trục nằm ngang, thẳng đứng, đƣờng chéo. Hãy liệt kê các phần tử nhóm, các nhóm con và các nhóm con bất biến. Giải: Lấy phép quay quanh tâm một góc  / 2 là g , và phép chiếu lên đƣờng chéo (24) là h . 2 1 3 4 Hình 3.1: Dạng đối xứng D4 . Thì nhóm nhị diện D4 gồm các phần tử là:   D4  e, g , g 2 , g 3 , h, gh, g 2 h, g 3 h 2 với e  g 4  h 2  gh ; hg  g 1h. Đây là nhóm hạng 8 và chỉ có các nhóm con không tầm thƣờng hạng 2,4. 29 Các nhóm con hạng 2 là:      N 2  e, h, e, g 2 , e, gh, e, g 2 h , e, g 3 h Các nhóm con hạng 4 là:   e, g  e, g  , h, g h , gh, g h N 41  e, g , g 2 , g 3 N 42 N 43 2 2 2 3 Luật nhân nhóm của D4 đƣợc thể hiện qua bảng sau: e g g2 g3 h gh g 2h g 3h e e g g2 g3 h gh g 2h g 3h g g g2 g3 e gh g 2h g 3h h g2 g2 g3 e g g 2h g 3h h gh g3 g3 e g g2 g 3h h gh g 2h h h g 3h g 2h gh e g3 g2 g gh gh h g 3h g 2h g e g3 g2 g 2h g 2h gh h g 3h g2 g e g3 g 3h g 3h g 2h gh h g3 g2 g e 30 KẾT LUẬN Đề tài này đã giới thiệu đƣợc các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm nhƣ định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm con bất biến, lớp liên hợp, lớp kề, tích trực tiếp, nhóm hữu hạn, nhóm không Abel, nhóm hoán vị, nhóm thƣơng, phép đẳng cấu cùng với những ví dụ đơn giản và đã đƣa ra c c định lí, bổ đề, tính chất của nhóm và chứng minh đƣợc c c định lí, bổ đề đó. Qua đây, những lý thuyết cơ sở về một số nhóm cơ bản đã đƣợc hiện rõ. Dựa trên lý thuyết này, đề tài đã tổng hợp đƣợc một số dạng bài tập thƣờng gặp và đƣa ra đƣợc những cách giải cụ thể. Tuy nhiên, do điều kiện nghiên cứu còn hạn chế và thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vậy rất mong đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn. 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Hoàng Phƣơng, Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lƣợng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội 2002. [2]. Howard Geory, Lie algebras in particle physics, NXB World Scientific, 1999. [3]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering. [4]. Wu-Ki-Tung, Group theory in physics, NXB World Scientific, 1985. 32 [...]... thiệu đƣợc các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm nhƣ định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm con bất biến, lớp liên hợp, lớp kề, tích trực tiếp, nhóm hữu hạn, nhóm không Abel, nhóm hoán vị, nhóm thƣơng, phép đẳng cấu cùng với những ví dụ đơn giản và đã đƣa ra c c định lí, bổ đề, tính chất của nhóm và chứng minh đƣợc c c định lí, bổ đề đó Qua đây, những lý thuyết cơ sở về một số nhóm cơ bản đã đƣợc hiện rõ Dựa... lập đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau: I A B C I I A B C A A I C B B B C I A C C B A I Vậy nhóm hữu hạn là một nhóm nếu số các phần tử của nhóm đó là hữu hạn Số lƣợng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm 2.2 .Nhóm không Abel Ta xét các phần tử của một nhóm biến đổi qua một tam gi c đều thông qua phép quay hai chiều Có sáu phép quay: toán tử rỗng, hai phép xoay (là 2 / 3 và 4 / 3 , quay qua một trục... ch thƣớc Điều này rõ ràng đúng trong v dụ trên Kết quả này đƣa ra một hệ quả đó là: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tƣơng ứng của S n chỉ gồm các chu kìn Định lí: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải đẳng cấu với C n 2.4 Nhóm thƣơng Lớp k : Nếu gọi H  h1 , h2 , là một nhóm con của G và p là một phần tử của G p  H  thì tập hợp các phần tử pH  ph1 , ph2... K  R, R.L  K Ta thu đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau: I R R’ K L M I I R R’ K L M R R R’ I M K L R’ R’ I R L M K K K L M I R R’ L L M K R’ I R M M K L R R’ I Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy: (i) Các phần tử không đối xứng qua đƣờng chéo chính, một số kết cặp của các phần tử trong nhóm không giao hoán (ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3  3 tạo thành một bảng nhân nhóm gồm bốn khối là hình vuông... gh, g 3h Bài tập 10: Xét nhóm nhị diện D4 là một nhóm đối xứng của hình vuông bao gồm các phép quay quanh tâm và phép chiếu lên các trục nằm ngang, thẳng ứng, đƣờng chéo Hãy liệt kê các phần tử nhóm, các nhóm con và các nhóm con bất biến Giải: Lấy phép quay quanh tâm một góc  / 2 là g , và phép chiếu lên đƣờng chéo (24) là h 2 1 3 4 Hình 3.1: Dạng đối xứng D4 Thì nhóm nhị diện D4 gồm các phần... thỏa mãn phi  qh j thì pH và qH phải đƣợc định nghĩa kh c nhau Với một nhóm con H cho trƣớc hạng n H , các lớp kề trái riêng biệt của H chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng n H Định lí Lagrange: Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S 3 : (i) Nhóm con H1 : e, 123, 321 có một lớp kề M : 12, 23,... Định nghĩa nhóm thƣơng: Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập các lớp kề với luật nhân pH  qH   pq   H tạo thành một nhóm, gọi là nhóm thƣơng của G Nhóm thƣơng đƣợc kí hiệu bởi G/H, nó có cấp bằng nG / n H Ví dụ: Xét nhóm con bất biến H  e, a 2  của nhóm tuần hoàn C 4 H và lớp kề M  a, a 3  hình thành nhóm thƣơng C4 / H đều hạng 2 và đẳng cấu với C2 Định nghĩa (phép ồng cấu): Một đồng... , nhóm thƣơng này hạng 2, đúng bằng nS3 / nH 21 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng nếu G là một nhóm tuần hoàn, N là nhóm con của G thì nhóm thƣơng G / N cũng là một nhóm tuần hoàn Giải: Vì G là nhóm tuần hoàn nên G là nhóm Abel, ta có:   G  a  ak , k   Nhóm thƣơng G / N có dạng: G / N  Nx : x  G Do đó:       G / N  N a k : k    Na k : k    Na Vậy G/N là nhóm tuần hoàn Bài tập 3: Chứng... tuyệt đối của một số trong chu kì là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn 14 Phép ẳng cấu: Hai nhóm G và G’ đƣợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một và chỉ một sự tƣơng ứng giữa các phần tử của chúng Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm Nói cách khác, nếu g i  G  g i ' G' và g1 g 2  g 3 trong G thì g1 ' g 2 '  g 3 ' trong G’ và ngƣợc lại Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm các số  1,i cùng... tử a  S có một phần tử b (trong trƣờng hợp này b  a ) thì a  b  1 , tức là mỗi một phần tử đều có một phần tử nghịch đảo Nhƣ vậy tập hợp S là một nhóm Abel bậc 4 Ta có bảng nhân nhóm nhƣ sau: 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Từ ví dụ trên, ta đƣa ra đƣợc các tính chất nhƣ sau: (i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng nhân nhóm 10 (ii) ... thuyết nhóm Mục ch nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết nhóm số nhóm - Giải số tập c c nhóm Đối tƣ ng nghiên cứu - Một số nhóm - Một số tập c c nhóm Nhiệm vụ nghiên cứu - Đƣa sở lý thuyết số nhóm -... tử nhóm lũy thừa a , nhóm đƣợc viết theo lối cộng phần tử nhóm bội số a Hạng nhóm (hay gọi cấp nhóm) : số phần tử nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Bảng nhân nhóm: Là bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm. .. 1.2 Các ví dụ nhóm Chƣơng 2: Một số nhóm 2.1 Nhóm hữu hạn 2.2 Nhóm không Abelian 2.3 Nhóm hoán vị 2.4 Nhóm thƣơng Chƣơng 3: Ứng dụng giải số tập NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM 1.1 Định