TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG BÀI GIẢNG THỦY LỰC MÔI TRƯỜNG Biên soạn: Th.S Nguyễn Đình Long Nha Trang 2014 Chƣơng 1 MỞ ĐẦU 1.1- NỘI DUNG MÔN HỌC Thủy lực môi trường chính là thủy lực áp dụng trong ngành môi trường - là một môn học khoa học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của của chất lỏng, đặc biệt là nước và những phương pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn. Đây là môn khoa học ứng dụng. Nội dung môn học có hai phần chính: thủy tĩnh và thủy động. Phần thủy tĩnh nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái tĩnh (trạng thái cân bằng) như áp suất và áp lực của chất lỏng tác dụng vào mặt tiếp xúc, sự ổn định của vật rắn trong chất lỏng... Phần thủy động nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái chuyển động và vận dụng các quy luật đó để nghiên cứu về dòng chất lỏng chảy trong ống, kênh, dòng chảy qua các công trình... Trong nghiên cứu thủy lực người ta kết hợp chặt chẽ lý thuyết và thực nghiệm. + Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán thủy lực. - Bảo toàn khối lượng (bảo toàn liên tục). - Bảo toàn động lượng và mômen động lượng (nguyên lý cơ bản cơ học). - Bảo toàn năng lượng (nguyên lý cơ bản vật lý). + Phương pháp tiến hành như sau: - Tách riêng bằng tưởng tượng thể tích chứa chất lỏng đang xét. Gọi là thể tích kiểm tra. Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra - Nghiên cứu tác dụng các lực lên các phần tử đó. - Áp dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học đối với toàn bộ khối chất lỏng trong thể tích kiểm tra, coi như toàn bộ khối chất lỏng đó là một hệ thống vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên. Nhờ phương pháp này giúp ta lập được phương trình vi phân của phần tử chất lỏng. Nhưng thường trong thủy lực không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái chuyển động của mỗi hạt chất lỏng mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt. Sự phân tích thứ nguyên nhiều khi cũng giúp ta tìm được dạng gần đúng của các định luật. Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng. Thí nghiệm được làm trên những vật nhỏ gọi là mô hình. + Có hai cách khảo sát chuyển động: 1 - Theo Euler: có vô số quan sát viên ở tại vô số điểm đặt tại dòng chảy. Như vậy ta có u, p, ... phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t: u = f1(x, y, z, t) ; p = f2(x, y, z, t) - Theo Lagrand: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử chất lỏng. * Ở thời điểm t0: một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c) * Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z) Ta có: x = f1(a, b, c, t) ; y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t) Ðây là dạng chuyển động của dòng chảy. Hệ đo lường dùng trong thủy lực là: hệ đo lường quốc tế SI (m, kg, s) và vẫn còn dùng cả hệ kỹ thuật MkGS (m, kG, s). Quan hệ giữa các đơn vị: + Lực: đo bằng Niutơn (được ký hiệu là N) và cũng được đo bằng kilôgam lực (ký hiệu kG). 1 N = 1 kg. 1 m/s2 = 1 mkgs-2 1 kG = 9,81 N; 1 N = 0,102 kG. + Áp suất: đo bằng Pascal (Pa): kG/cm2; N/m2; atmotphe (atm); chiều cao cột chất lỏng chẳng hạn: mmHg; m cột nước... 1 Pa = 1 N/m2; 1 atm = 1 kG/cm2 = 98.100 N/m2... 1.2- KHÁI NIỆM VỀ CHẤT LỎNG TRONG THỦY LỰC 1.2.1- MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.2.1.1- Thuật ngữ chất lỏng đề cập ở đây được hiểu là chất lỏng “nước”. 1.2.1.2- Chất lỏng có tính chất liên tục, dễ di động, gần như không chịu lực cắt, lực kéo, có tính chống nén cao. Chất lỏng (và chất khí) khác chất rắn ở chỗ mối liên hệ cơ học giữa các phân tử trong chất lỏng, và chất khí rất yếu, nên chất lỏng có tính di động, dễ chảy hoặc nói một cách khác là nó có tính chảy. Tính chảy thể hiện ở chỗ các phân tử trong chất lỏng có chuyển động tương đối với nhau khi các chất lỏng chuyển động; tính chảy còn thể hiện ở chỗ chúng không có hình dạng riêng, mà lấy hình dạng của bình chứa chất lỏng đứng tĩnh; vì thế chất lỏng còn gọi là chất chảy. Chất lỏng chống lại được sức nén, không co lại trong khi chất khí dễ dàng co lại khi bị nén. Vì thế, người ta cũng thường gọi chất lỏng là chất chảy không nén được. Tính chất không nén được của chất lỏng đồng thời cũng là tính không dãn ra của nó; nếu chất 2 lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị phá hoại, trái lại chất khí có thể dãn ra chiếm hết được thể tích của bình chứa nó. Chất lỏng có sức căng mặt ngoài (hình thành do lực hút, đẩy giữa các phân tử sinh ra tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng với chất khác). Nhờ có sức căng mặt ngoài nên một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt ở môi trường trọng lực sẽ có dạng từ hạt. Vì vậy, chất lỏng còn được gọi là chất chảy dạng hạt; tính chất này không có ở chất khí. Trong thủy lực, chất lỏng được coi như môi trường liên tục (những đặc trưng vật lý của chất lỏng là liên tục). Với giả thiết này trong thủy lực học không nghiên cứu những vận động phân tử trong nội bộ chất lỏng mà chỉ nghiên cứu những vận động cơ học của chất lỏng dưới tác dụng của ngoại lực. Do đó, người ta dùng những hàm số liên tục trong toán học để nghiên cứu thủy lực học. Vì vậy trong thủy lực nói chung, các nghiên cứu và tính toán được dựa trên giả thiết cơ bản là có tính liên tục, tính chảy, tính không nén được. 1.2.2- KHỐI LƢỢNG RIÊNG VÀ TRỌNG LƢỢNG RIÊNG 1.2.2.1- Khối lƣợng riêng Khối lượng riêng là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng, ký hiệu là , đơn vị là kg/m3. hay (1-1) Ở đây: m - Khối lượng chất lỏng, kg; V - Thể tích chất lỏng có khối lượng m, m3. Khối lượng riêng thay đổi khi nhiệt độ và áp suất thay đổi. Nếu nhiệt độ tăng thì khối lượng riêng giảm. Đối với chất lỏng sự thay đổi này không đáng kể. Ví dụ khối lượng riêng của nước thay đổi theo nhiệt độ được trình bày ở bảng 1-1. Khi nhiệt độ tăng đến 40C thì khối lượng riêng tăng (do tính chất có thể tích của nước) và khi nhiệt độ tiếp tục tăng thì khối lượng riêng giảm. Tuy nhiên sự thay đổi này không đáng kể. Trong kỹ thuật người ta thường lấy khối lượng riêng của nước là 1.000 kg/m3. Bảng 1-1 t, 0C , kg/m3 0 999,9 4 1000 10 999,7 30 995,7 60 983,3 80 971,8 100 958,4 Khối lượng riêng của một số chất lỏng thường gặp: nước biển: 1.030 kg/m3; thủy ngân: 13.546 kg/m3; grixerin: 1.260 kg/m3; dầu: 800 kg/m3. 1.2.2.2- Trọng lƣợng riêng Tương tự chất rắn, chất lỏng có khối lượng m trong thể tích V thì nó chịu sức hút trái đất với gia tốc trọng trường g và trọng lượng của nó là G = m.g. Trọng lượng riêng là trọng lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng: 3 , N/m3 (1-2) Vì giá trị của g thay đổi theo vĩ độ địa lý và độ cao vị trí tính toán so với mực nước biển nên  có giá trị thay đổi. Tuy nhiên, trong tính toán người ta thường lấy giá trị g = 9,81 m/s2. Trong kỹ thuật còn dùng khái niệm tỷ trọng (ký hiệu ). Đó là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất lỏng và trọng lượng riêng của nước ở 40C. (1-3)  Bảng 1-2. Khối lƣợng riêng và trọng lƣợng riêng của một số chất lỏng TT Tên gọi 1 Nước sạch 2 Nước biển 3 Dầu hoả 4 Dầu madut 5 Dầu nhờn 6 Xăng 7 Thủy ngân 8 Cồn Khối lƣợng riêng , kg/m3 Trọng lƣợng riêng , N/m3 Tỷ trọng 1000 9810 1 890920 Nhiệt độ T, 0 4 1000010100 4 77508040 15 87319025 0,890,92 8730  9030 C 15 15 700750 68607358 0,70,75 16 13550 132926 13,55 15 800 7848 0,8 0 1.3- NHỮNG ĐẶC TÍNH VẬT LÝ CHỦ YẾU CỦA CHẤT LỎNG 1.3.1- TÍNH LIÊN TỤC Chất lỏng là môi trường liên tục trong không gian. 1.3.2- TÍNH DỄ DI ĐỘNG Do lực liên kết giữa các phân tử chất lỏng rất yếu, ứng suất tiếp (nội ma sát) trong chất lỏng chỉ khác 0 khi có chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng. 1.3.3- TÍNH NÉN ĐƢỢC VÀ GIÃN NỞ Chất lỏng có khả năng thay đổi thể tích ở phạm vi rất nhỏ (nên chất lỏng có tính chống nén cao) khi có sự thay đổi áp suất và nhiệt độ (thể tích giảm khi áp suất tăng tính nén được và giãn nở khi khi tăng nhiệt độ - tính giãn nở). 1.3.3.1- Tính nén Tính nén được đặc trưng bởi hệ số nén βp, m2/N. Đó là sự thay đổi thể tích tương đối của chất lỏng khi áp suất thay đổi một đơn vị: hay (1-4) Ở đây: V0 - thể tích ban đầu của chất lỏng, m3; 4 dV, ∆V – Lượng giảm thể tích khi áp suất tăng lên, ∆V = V - V0, m3; dp, ∆p- Lượng áp suất tăng lên, ∆p = p - p0, N/m2. Vì sự thay đổi thể tích và sự thay đổi áp suất ngược nhau nên trước biểu thức (1-4) có dấu “-”. Ví dụ: hệ số p của nước ở nhiệt độ 00C đến 200C có trị số trung bình là m2/N ; ở nhiệt độ 1000C, áp suất 500 at là m2/N Từ (1-4) suy ra: ( ) hay (1-5) Ở đây: , 0 - khối lượng riêng của chất lỏng ứng với áp suất p và p0. Đại lượng nghịch đảo của hệ số nén là mô đun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E, đơn vị là N/m2: (1-6) Môđun đàn hồi là khả năng chống lại sự biến dạng của chất lỏng dưới tác động của ngoại lực hoặc nhiệt độ thay đổi. Nếu áp suất chất lỏng không làm giảm đi quá một nửa so với thể tích ban đầu của chất lỏng thì E không thay đổi và nó có ý nghĩa như mô đun đàn hồi của chất rắn. Tính nén của chất lỏng phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Nhưng sự thay đổi này không đáng kể. Ví dụ như nước: Khi p = 105 Pa và t = 00C thì Enước = 2,01.109 N/m2. Nếu nhiệt độ tăng lên 200C (p = 105 Pa) thì Enước = 2,20.109 N/m2. Điều này cũng giải thích được khả năng hấp thụ chất khí và khả năng hòa tan muối trong nước khi nhiệt độ tăng. Nếu áp suất tăng lên từ 105 đến 400.105 Pa còn nhiệt độ không thay đổi thì khối lượng riêng của nước tăng lên khoảng 2%. Vì vậy nên chất lỏng được coi như không nén được. Tuy nhiên, trong cùng một điều kiện p = 105 Pa, t = 100C thì Enước = 2.109 N/m2 còn Ethép = 2.1011 N/m2, nghĩa là môđun đàn hồi của thép lớn gấp 100 lần so với nước. Vậy tính không nén được của chất lỏng chỉ để so sánh với chất khí. Trong kỹ thuật thường có thể bỏ qua tính nén của chất lỏng. Nhưng nếu có sự thay đổi áp suất lớn, đột ngột và đặc biệt đối với những thể tích chất lỏng lớn chuyển động thì không thể bỏ qua tính nén được, ví dụ như trong va đập thủy lực.... Trong quá trình nén chất lỏng thì khối lượng của nó không thay đổi nên chúng ta có thể viết m = .V = const. Lấy đạo hàm biểu thức này ta có: .dV + V.d = 0 hay: 5 Kết hợp với công thức (1-6) tính môđun đàn hồi của chất lỏng:  Đơn vị của biểu thức là bình phương của đơn vị vận tốc. Nên chúng ta có thể viết: √ √ (1-7) Theo Vật lý thì a gọi là vận tốc truyền âm trong chất lỏng và cũng là vận tốc truyền sóng áp suất; ở trong nước a = 1414,2 m/s; trong chất lỏng không nén được a → ∞. 1.3.3.2- Tính giãn nở Khi nhiệt độ thay đổi thì thể tích các chất đều thay đổi. Sự thay đổi này được biểu diễn một cách tổng quát bằng hàm số mũ theo nhiệt độ: ( ) (1-8) Ở đây: V0- thể tích chất khí ở nhiệt độ ban đầu. Đối với chất lỏng chỉ cần sử dụng mối quan hệ bậc nhất: ( ) (1-9) Ở đây: βt- hệ số giãn nở của chất lỏng. Hệ số giãn nở vì nhiệt của chất lỏng được đặc trưng bởi hệ số giãn nở βt, độ-1. Đó là sự tăng thể tích tương đối khi nhiệt độ của chất lỏng tăng lên 10C. Từ (1-9) suy ra: hay (1-10) Tính giãn nở của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất. Ví dụ đối với nước: khi nhiệt độ t = 40C đến 100C và áp suất p = 105 Pa thì βt = 0,000014 độ-1, khi t = 100C đến 200C (tăng 10 lần, p = 105 Pa) thì βt = 0,000150 độ-1. Nếu áp suất tăng lên đến 107 Pa thì βt = 0,00043 độ-1 (tăng gấp 3 lần). Lưu ý: Hệ số giãn nở vì nhiệt lớn hơn nhiều so với hệ số nén được, song chúng đều là những trị số rất nhỏ nên trong một số tính toán thông thường có thể bỏ qua. Nếu nhiệt độ thay đổi từ từ, độ chênh lệch nhiệt độ không đáng kể thì cũng có thể bỏ qua sự giãn nở thể tích của chất lỏng. Nhưng khi sự thay đổi nhiệt độ lớn thì phải xét đến sự thay đổi thể tích chất lỏng. Ví dụ trong hệ thống sưởi ấm thì sự thay đổi thể tích do nhiệt độ làm cho nước chuyển động. Từ công thức trên có thể suy ra công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng ở nhiệt độ t: (1-11) 1.3.4- TÍNH NHỚT Tính nhớt là tính chất cản trở chuyển động giữa các phần tử chất lỏng (nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động). Trong quá trình 6 chuyển động các lớp chất lỏng trượt lên nhau phát sinh ra lực ma sát trong gây ra tổn thất năng lượng và chất lỏng như thế gọi là chất lỏng có tính nhớt. Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tương đối và nảy sinh ra tác dụng lôi đi, kéo lại, hoặc nói cách khác, giữa chúng nảy sinh ra chất ma sát tạo nên sự chuyển biến một bộ phận cơ năng của chất lỏng thành nhiệt năng và mất đi. Lực ma sát này gọi là ma sát trong (nội ma sát). Tính nảy sinh ra ma sát trong hoặc nói một cách khác tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi là tính nhớt của chất lỏng. Tính nhớt là biểu thị sức dính phân tử của chất lỏng; khi nhiệt độ tăng cao, mỗi phân tử dao động mạnh hơn xung quanh vị trí trung bình của phân tử; do đó sức dính phân tử kéo đi và độ nhớt của chất lỏng giảm xuống. Mỗi chất lỏng đều có tính nhớt. Năm 1886, I. Niutơn đã nêu giả thiết và quy luật ma sát trong của chất lỏng và sau đó được rất nhiều thí nghiệm xác nhận là đúng. Sức ma sát giữa các lớp chất lỏng chuyển động thì tỉ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực mà phụ thuộc vào vận tốc và loại chất lỏng. Những chất lỏng tuân theo định luật ma sát trong của Niutơn gọi là chất lỏng thực hoặc chất lỏng Niutơn. Môn thủy lực nghiên cứu chất lỏng Niutơn. Những chất lỏng như bêtông chảy, vữa xây dựng, vữa sét được sử dụng khi khoan giếng, vữa koloit v.v... cũng chảy nhưng không tuân theo định luật Niutơn gọi là chất lỏng không Niutơn (phi Niutơn). Thí nghiệm của Newton về tính nhớt bằng cách khảo sát chuyển động ổn định lớp chất lỏng trên bề mặt tấm phẳng theo một phương nhất định cho thấy vận tốc chất lỏng dọc theo phương vuông góc với phương chuyển động có giá trị khác nhau. Nghĩa là giữa các lớp chất lỏng có lực tương tác hay nói cách khác giữa các lớp chất lỏng có lực ma sát làm thay đổi vận tốc chuyển động của các lớp chất lỏng. Theo Niutơn, ứng suất tiếp của lực ma sát tỷ lệ thuận với građiên vận tốc, phụ thuộc vào chất lỏng và không phụ thuộc vào áp suất: (1-12) Ở đây: µ- hệ số nhớt động lực học, đặc trưng tính nhớt của chất lỏng, phụ thuộc vào loại chất lỏng, Pa.s hay N.s /m2; - gradien vận tốc theo phương y vuông góc với dòng chảy. Theo đó, lực ma sát giữa các lớp chất lỏng lân cận chuyển động có dạng: ,N (1-13) Ở đây: S - diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất lỏng. Từ (1-13) rút ra công thức xác định hệ số nhớt động lực học : , Ns/m2 (1-14) Hệ số nhớt động lực học còn được đo bằng đơn vị Poazơ (ký hiệu P). 7 Đơn vị nhỏ hơn centipoazơ (cP): P = 100 cP Ngoài hệ số nhớt động lực học , trong kỹ thuật hay dùng hệ số nhớt động học , m /s hoặc Stôc (stoc: 1 st =10-4 m2/s). 2  , m2/s (1-15) Stôc (ký hiệu là St): 1 St = 1 cm2/s. Đơn vị nhỏ hơn là centiStôc (cSt): 1 cSt = 1 mm2/s; 1 St = 100 cSt Các hệ số  và  thay đổi theo nhiệt độ và áp suất. Nhìn chung  và  của chất lỏng giảm khi nhiệt độ tăng và tăng khi áp suất tăng; Ví dụ: hệ số nhớt động lực học của nước ở nhiệt độ 00C,  = 0,0179 còn ở 1000C,  = 0,0028; Dầu nhờn ở nhiệt độ 00C,  = 6,40; ở 600C,  = 0,22 và hệ số nhớt động của dầu nhờn sẽ tăng gấp đôi khi áp suất tăng từ 1 đến 300 at. Để đo độ nhớt của chất lỏng, người ta dùng các loại dụng cụ đo khác nhau. Thường độ nhớt dầu bôi trơn được ghi kèm theo mac dầu ví dụ dầu AK15 là dầu bôi trơn dùng cho ôtô máy kéo có độ nhớt 50 =15 cSt ở nhiệt độ 500C... Ngoài ra một số nước có đơn vị đo độ nhớt riêng, ví dụ như: Nga dùng độ Engle ( E), Anh dùng giây Ređut ("R), Pháp dùng độ Bacbê (0B), Mỹ dùng giây Sêbôn ("S)... 0 Bảng 1-3 Tên đơn vị Độ Engơle Ký hiệu 0 E Giây Rebon "S Giây Redút "R Độ Bache 0 Trị số tính bằng Stôc B Cũng cần lưu ý rằng khi so sánh độ nhớt của hai chất lỏng phải dùng cùng một khái niệm là hệ số nhớt động học hay hệ số nhớt động lực học và cùng ở nhiệt độ. Ví dụ so sánh nước và không khí: Khi ở nhiệt độ 200C: hệ số nhớt động lực học của không khí µkk = 18.10-5 Poazơ hệ số nhớt động lực học của nước µnước = 1.10-2 Poazơ (lớn hơn 57 lần so với không khí). 8 Nhưng hệ số nhớt động học của không khí kk = 15.10-2 Stôc (lớn hơn 15 lần so với nước; hệ số nhớt động học của nước nước = 1.10-2 Stôc). Độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất môi trường làm việc. Khi nhiệt độ tăng độ nhớt của chất lỏng giảm, còn của chất khí thì lại tăng (hình 1-1). Tùy theo phạm vi nhiệt độ làm việc cần chọn dầu bôi trơn cho phù hợp. Trong công nghiêp thường lấy độ nhớt động học ở 500C làm chuẩn. Ảnh hưởng của áp suất đến độ nhớt không đáng kể. Nếu p < 200.105 Pa thì không cần xét tới sự thay đổi của độ nhớt khi áp suất thay đổi. Sự thay đổi này được mô tả bằng phương trình sau:  ( ) (1-16) Ở đây: - độ nhớt khi áp suất bằng áp suất khí trời; k- hệ số phụ thuộc loại dầu: dầu nhẹ k = 0,002, dầu nặng k = 0,003 (thường dùng trong truyền động thủy lực); p- áp suất tính bằng at. Bảng 1-4. Độ nhớt động học () của một số chất lỏng Chất lỏng Nước Độ nhớt động học () 1,01.10-6 m2/s Nhiệt độ 200C Chất lỏng Không khí Độ nhớt động học () 14,9.10-6 m2/s Nhiệt độ 300C Xăng Thủy ngân 0,83.10-6 m2/s 0,116.10-6 m2/s 200C 180C Dầu máy 60.10-6 m2/s 180C Hình 1-1 1.3.5- SỨC CĂNG BỀ MẶT CỦA CHẤT LỎNG Chất lỏng có khả năng chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự do, phân chia chất lỏng với chất khí hoặc mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn. Sự xuất hiện sức căng mặt ngoài được giải thích là để cân bằng với sức hút phân tử của chất lỏng tại vùng lân cận mặt tự do, vì ở vùng này sức hút giữa các phân tử chất lỏng không cân bằng nhau như ở vùng xa mặt tự do. Do đó có khuynh hướng giảm nhỏ diện tích mặt tự do và làm cho mặt tự do có một độ cong nhất định. Do sức căng mặt ngoài mà giọt nước có dạng hình cầu. Dùng một ống có đường kính khá nhỏ cắm vào 9 chậu nước, có hiện tượng mực nước trong ống dâng cao mặt nước tự do ngoài chậu nước; nếu chất lỏng này là thủy ngân thì lại có hiện tượng mặt tự do trong ống hạ thấp hơn mặt thủy ngân ngoài chậu. Đó là hiện tượng mao dẫn, do tác dụng của sức căng mặt ngoài gây nên; mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp đầu là mặt lõm, trong trường hợp sau là mặt lồi. Sức căng mặt ngoài đặc trưng bởi hệ số , biểu thị sức kéo dính trên một đơn vị dài của “đường tiếp xúc”. Hệ số ơ phụ thuộc loại chất lỏng và nhiệt độ. Trong trường hợp nước tiếp xúc với không khí ở 200C ta thấy  = 0,076N/m, khi nhiệt độ tăng lên, ơ giảm đi. Đối với thủy ngân cũng trong điều kiện trên, thì  = 0,540N/m, tức là lớn hơn gần 7,5 lần so với nước. Trong đa số hiện tượng thủy lực ta không cần xét đến ảnh hưởng của sức căng mặt ngoài, vì trị số rất nhỏ so với những lực khác. Thường phải tính sức căng mặt ngoài trong trường hợp có hiện tượng mao dẫn, ví dụ trong trường hợp dòng thấm dưới đất. Sức căng bề mặt của chất lỏng hình thành bởi tổng hợp lực hút của các phân tử bên trong khối chất lỏng lên các phân tử ở lớp bề mặt tạo nên màng bao có độ bền nhất định. Tính chất này của chất lỏng thể hiện rõ ở những bề mặt giữa chất lỏng này với chất lỏng khác (giữa nước với thành rắn,...) mà giữa chúng không thực hiện phản ứng hóa học. Ở các mặt tiếp xúc này chất lỏng tạo ra một màng mỏng bao quanh bề mặt chất lỏng. Các phân tử lỏng ở bên trong khối chất lỏng chịu tác dụng mọi phía như nhau. Còn ở các phân tử trên bề mặt tiếp xúc hoặc ở lớp ngoài có bề dày nhỏ hơn 10-9 m thì các lực tác dụng lên chúng không bằng nhau (năng lượng của các phân tử trên mặt thoáng khác với năng lượng của các phân tử nằm trong nội bộ chất lỏng một lượng nào đó, gọi là năng lượng bề mặt). Theo đó, các phân tử trên lớp bề mặt chịu tác dụng một lực tổng hợp hướng vào trong chất lỏng và tạo nên một màng mỏng trên bề mặt tiếp xúc gọi là sức căng bề mặt (hình 1-2a). Năng lượng bề mặt, nó tỷ lệ với diện tích bề mặt phân cách S: Ebm = σ.S (1-17) Ở đây:  là hệ số sức căng bề mặt (là lực tác dụng lên một đơn vị độ dài bề mặt thẳng góc với độ dài và nằm trong bề mặt của chất lỏng ), phụ thuộc vào bản chất thiên nhiên của hai môi trường tiếp xúc, được xác định:  hay σ = R/l (N/m) (1-18) Ở đây: R – Sức căng bề mặt (lực tác dụng từ bên ngoài); l- chiều dài bề mặt tiếp xúc của chất lỏng. Ví dụ: Với mặt phân cách giữa nước và không khí khi nhiệt độ t = 200C:  = 0,073 N/m; đối mặt phân cách giữa thủy ngân và không khí:  = 0,48 N/m. 10 Bề mặt của hạt chất lỏng chịu sự tác động của lực do ứng suất bề mặt, làm cho thể tích chất lỏng hướng về dạng hình cầu. Hình 1-2 Hệ số sức căng bề mặt chất lỏng (hoặc gọi là hệ số mao dẫn) đo bằng N/m. Trong bảng 1-5 là hệ số sức căng bề mặt của một vài chất lỏng ở 200C. Bảng 1-5 Chất lỏng , dyn/cm Nƣớc 72,5 Dầu 27 Thủy ngân 460 Cồn 22,5 Khi nhiệt độ tăng hệ số sức căng bề mặt chất lỏng giảm theo qui luật tuyến tính. Ví dụ hệ số sức căng bề mặt của nước thay đổi theo nhiệt độ t = 1000C thì  = 55 dyn/cm; t = 2000C thì  = 27,5 dyn/cm. Dựa vào tính chất sức căng bề mặt của chất lỏng để khảo sát các vấn đề sau: - Sức căng bề mặt giữa các lớp chất lỏng với nhau. - Hiện tượng dính ướt. - Hiện tượng mao dẫn: Khi chất lỏng ở trong ống có đường kính nhỏ (gọi là ống mao dẫn) nếu lực dính ướt (Fr) lớn hơn lực kéo các phân tử lỏng (Fc) thì chất lỏng dâng lên trong ống cao hơn mực nước bên ngoài. Độ cao này gọi là độ cao mao dẫn (chất lỏng là nước). Còn nếu như Fc > Fr thì chất lỏng trong ống tụt xuống so với mực chất lỏng bên ngoài. Hiện tượng này gọi là hạ mao dẫn (chất lỏng là thủy ngân). Độ cao mao dẫn được tính từ điều kiện cân bằng giữa trọng lượng cột chất lỏng và lực căng bề mặt:  Suy ra:  (1-19) 11 Công thức này thường dùng để tính hệ số sức căng bề mặt. Để tránh hiện tượng mao dẫn trong các dụng cụ đo bằng chất lỏng (đo áp suất, nhiệt độ) phải chọn đường kính ống đo lớn hơn 10 mm. 1.3.6- SỰ SÔI CỦA CHẤT LỎNG Sự sôi của chất lỏng là quá trình bay hơi chất lỏng được xảy ra không những từ mặt thoáng mà còn xảy ra bên trong chất lỏng, các bọt khí được tạo thành trong toàn bộ chất nước và vỡ ra. Lúc đó áp suất bay hơi bão hòa trong bọt khí pbh > p0. Nhiệt độ ứng với pbh gọi là nhiệt độ sôi. Nhiệt độ sôi của chất nước ở áp suất p0 là không đổi. Nhiệt lượng cung cấp tiếp cho chất nước đang sôi dùng để sinh công tách các phân tử ra khỏi pha lỏng và chuyển chúng sang pha hơi. Đối với chất lỏng nếu nhiệt độ sôi càng lớn thì độ bốc hơi giảm. Đối với hệ thống thủy lực độ bốc hơi được đặc trưng bởi áp suất bão hoà pbh. Trong điều kiện nhiệt độ không đổi, nếu áp suất bão hoà pbh càng lớn thì độ bốc hơi càng lớn. Độ hoà tan được biểu diễn bởi công thức (1-20) Ở đây: Vk – thể tích của khí hoà tan trong điều kiện thường; Vn – thể tích chất lỏng; k - độ hoà tan; p1 và p2 - áp suất khí trước và sau khi hoà tan. Bảng 1-6. Độ hoà tan ở 200C của một số chất Nƣớc Dầu xăng Dầu biến thế 0,016 0,127 0,083 1.3.7- SỰ HẤP THỤ KHÍ CỦA CHẤT LỎNG Sự hấp thụ khí trong chất nước được biểu thị bằng độ hòa tan chất khí trong chất lỏng, ký hiệu là *: (1-21) Ở đây: Vk- thể tích chất khí được hấp thụ trong V thể tích chất lỏng. Thể tích chất khí ở nhiệt độ t (Vk) được tính theo thể tích khí ở nhiệt độ t = 00C (V0k): ( ) Hệ số hấp thụ khí của chất lỏng ở nhiệt độ t = 00C; T = 2730K là: ( ) (1-22) Hệ số hấp thụ khí của nước trong điều kiện 00C và áp suất khí quyển là: Ôxy: 0,0489; 12 Nitơ: 0,0231; Ôxyt Cacbonít: 1,7130; Amôniăc: 1300. Hệ số hấp thụ khí giảm khi nhiệt độ tăng nhưng lúc đầu thì giảm nhanh sau đó chậm hơn. Chẳn hạn như ôxy và nitơ ở 400C thì hệ số hấp thụ trong nước giảm đi một nửa. Khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất nước được tính từ phương trình trạng thái: p.Vk = m.r.T suy ra (1-23) Nghĩa là ở nhiệt độ xác định khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất lỏng tỷ lệ với áp suất trên mặt thoáng chất nước. Trong trường hợp có sự hấp thụ hỗn hợp chất khí vào chất lỏng thì áp suất riêng phần của từng chất khí là: ; Suy ra: Ở đây: m1, m2- khối lượng chất khí trong hỗn hợp. Vhh- thể tích hỗn hợp của chất khí, T1 = T2. Bởi vì mỗi chất khí có khả năng điền đầy thể tích không gian trên mặt thoáng chất nước và nếu tách hỗn hợp khí ra thành những thể tích riêng rẽ thì mỗi chất khí sẽ chiếm thể tích: suy ra: suy ra: Ở đây: p = p1 + p2 (theo định luật Đantôn); T- nhiệt độ hỗn hợp. Từ các phương trình trên suy ra: (1-24) Nghĩa là tỷ số áp suất riêng phần của hỗn hợp chất khí bằng thể tích riêng phần của chúng. Khi hỗn hợp này được hấp thụ vào chất lỏng thì tỷ lệ hỗn hợp sẽ phụ thuộc vào hệ số hấp thụ  của môi chất nghĩa là: (1-25) Ví dụ: Trong không khí có 21% Ôxy và 79% Nitơ. Tỷ lệ hỗn hợp này là: . 13 Khi được hấp thụ trong nước ở 00C thì tỷ lệ này là: . Như vậy lượng ôxy được hấp thụ trong nước gấp hai lần trong không khí. Khi chất lỏng giải phóng chất khí hấp thụ được do sự thay đổi áp suất (giảm) hoặc nhiệt độ (tăng) làm ảnh hưởng đến tính toán thủy lực và gây ra sự gián đoạn chuyển động của chất lỏng. 1.3.8- SỰ TRAO ĐỔI NHIỆT VÀ KHỐI LƢỢNG Hiện tượng trao đổi nhiệt và khối lượng xảy ra ở trong môi trường chất lỏng ở trạng thái tĩnh lẫn chuyển động. Nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với gradien nhiệt độ (theo định luật Furiê), còn khối lượng chất lỏng khuếch tán truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với gradien nồng độ của chất đó trong dòng chất lỏng (theo định luật Fích). Tính chất trên được biểu diễn bởi các định luật sau đây: Định luật Furiê: , W/m2 (1-26) Định luật Fich: , kg/m2s (1-27) Ở đây: q và m – nhiệt lượng và khối lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian; T và C – nhiệt độ và nồng độ vật chất; và D – hệ số dẫn nhiệt và hệ số khuếch tán. Hệ số dẫn nhiệt và hệ số khuếch tán phụ thuộc vào nhiệt độ 1.4- CHẤT LỎNG LÝ TƢỞNG (CÒN GỌI LÀ CHẤT LỎNG KHÔNG NHỚT) Trong thực tế, chất lỏng có đầy đủ tính chất cơ lý như đã trình bày ở trên gọi là chất lỏng thực. Để thuận tiện cho công việc nghiên cứu, người ta đưa ra khái niệm chất lỏng lý tưởng (hay còn gọi là chất lỏng không nhớt). Chất lỏng lý tưởng là chất lỏng tưởng tượng có tính di động tuyệt đối, hoàn toàn không chống được lực cắt và lực kéo, hoàn toàn không nén được, không giãn nở và không có tính nhớt (tức là hoàn toàn không có ma sát trong khi chuyển động). Chất lỏng ở trạng thái tĩnh trong những điều kiện thay đổi áp suất và nhiệt độ bình thường, thì thể tích và khối lượng xem như không đổi vì không có chuyển động nên không có lực ma sát trong (không có tính nhớt). Như vậy chất lỏng thực ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tưởng do đó có thể nghiên cứu các qui luật của chất lỏng thực ở trạng thái tĩnh trên chất lỏng lý tưởng thì kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với thực tế. Tuy nhiên, trong trường hợp chất lỏng thực ở trạng thái chuyển động vì có tính nhớt nên có lực ma sát trong, có tiêu hao năng lượng do đó nếu dùng khái niệm chất lỏng lý tưởng để nghiên cứu sẽ đơn giản hơn nhưng mặt khác, kết quả nhận được sẽ không 14 đúng với thực tế. Do đó, người ta phải tiến hành các thực nghiệm trên chất lỏng thực. So sánh kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm để rút ra các hệ số hiệu chỉnh đưa vào các công thức lý thuyết cho phù hợp với thực tế. 15 Chƣơng 2 TĨNH HỌC CỦA CHẤT LỎNG 2.1- KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Trong tĩnh học chất lỏng chúng ta có thể coi chất lỏng như chất lỏng lý tưởng vì ảnh hưởng tính nhớt không thể hiện. Trong chương này chúng ta nghiên cứu điều kiện cân bằng của chất lỏng ở trạng thái tĩnh, qui luật phân bố áp suất và tính lực chất lỏng tác dụng lên vật tiếp xúc hay ngập trong chất lỏng. 2. Trong tĩnh học chất lỏng có tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối. Nếu chất lỏng không chuyển động so với hệ tọa độ gắn với quả đất thì chất lỏng ở trạng thái tĩnh tuyệt đối (ví dụ như nước trong ao hồ...). Trong trường hợp này lực khối chỉ là trọng lực. Nếu chất lỏng chuyển động so với hệ tọa độ tuyệt đối nhưng giữa chúng không có chuyển động tương đối, nghĩa là chất lỏng chuyển động liền một khối thì gọi đó là tĩnh tương đối (xe chở nước chuyển động có gia tốc...). Lực khối gồm trọng lực và lực quán tính. Hệ tọa độ nghiên cứu các bài toán này được gắn vào bình chứa chất lỏng. 3. Áp suất tĩnh của chất lỏng Ứng suất trong chất lỏng tĩnh khi có ngoài lực tác dụng vào gọi là áp suất thủy tĩnh. 4- Lực tác dụng lên chất lỏng Tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng đều có thể phân ra làm hai loại là lực khối (còn được gọi là lực khối lượng hay lực thể tích) và lực mặt. Lực khối tác dụng lên chất lỏng tỷ lệ với khối lượng, gồm có trọng lực, lực quán tính... Nó được biểu diễn bằng biểu thức: ∫( ) Ở đây: V- thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối; - khối lượng riêng của chất lỏng; R- gia tốc khối (hay lực khối đơn vị). Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực thì gia tốc khối là gia tốc trọng trường. Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc thì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng trường và gia tốc quán tính của chuyển động. Lực mặt (hay lực bề mặt) là lực tác dụng lên bề mặt của khối chất lỏng, tỷ lệ với diện tích bề mặt chất lỏng. Chúng gồm các lực như áp lực khí quyển tác dụng lên bề mặt tự do của chất lỏng, lực ma sát,... Lực mặt được tính theo công thức: ∫( ) 16 Ở đây: p- lực mặt tính trên một đơn vị diện tích. Nếu Fp thẳng góc với mặt chất lỏng thì p là áp suất. Nếu Fp tác dụng theo phương tiếp tuyến với mặt S thì p là ứng suất tiếp. Áp suất chính là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích. Nếu chất lỏng cân bằng gọi là áp suất thủy tĩnh còn chất lỏng chuyển động thì gọi là áp suất thủy động. Áp suất tại một điểm được tính theo: Đơn vị của áp suất là Patxcan, ký hiệu là Pa - tương đương với N/m-2. Các đơn vị đo lường khác với quan hệ tương đương được trình bày trong bảng 2-1. Bảng 2-1 Đơn vị Pa bar at atm torr Pa (N/m2) 1 105 0,98066.105 1,01325.105 1,3332.102 bar 10 1 0,98066 1,01325 1,3332.10-3 at (kG/cm2) 1,01972.10-5 1,01972 1 1.03332 1,3995.10-3 atm 0,98692.10-5 0,98692 0,96784 1 1,31579.10-3 torr (mm Hg) 7,5006.10-3 7,5006.102 7,3556.102 7,60.102 1 Mặt khác, tất cả những lực tác dụng vào chất lỏng còn có thể chia thành lực trong và lực ngoài. - Lực trong (nội lực), là những lực tác dụng lẫn nhau giữa các phân tử của một thể tích chất lỏng nhất định. Ví dụ: lựa ma sát trong, áp lực trong nội bộ thể tích chất lỏng đều là những nội lực. - Lực ngoài (ngoại lực): là những lực tác dụng lẫn nhau giữa khối chất lỏng cho trước và những vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó. Ví dụ, áp lực tác dụng lên mặt ngoài của khối chất lỏng cho trước, trọng lượng, lực quán tính, v.v… là những ngoại lực. 2.2- ÁP SUẤT THỦY TĨNH (HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH) a) Định nghĩa Áp suất thủy tĩnh là những ứng suất gây ra bởi các lực khối và lực bề mặt. Xét một thể tích chất lỏng giới hạn bởi diện tích toàn phần Ω (hình 2-1). Tưởng tượng cắt khối chất lỏng bằng mặt phẳng AB, chất lỏng phần I tác dụng lên phần II qua diện tích mặt cắt . Bỏ I mà vẫn giữ II ở trạng thái cân bằng thì phải thay phần lực tác dụng I lên II bằng lực P gọi là áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt S. Áp suất trung bình . Áp suất tại điểm M: Đơn vị áp suất: 1 N/m2 = 1 Pa (pascal) 1 at = 9,8.104 N/m2 = 104 kG/m2 = 10 mH2O = 1 kG/cm2. 17 Hình 2-1. Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh b) Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh Tính chất 1: áp suất thủy tĩnh luôn luôn tác dụng thẳng góc và hướng vào mặt tiếp xúc (hình 2-2), có thể tự chứng minh bằng phản chứng. b) a) Hình 2-2. Biểu diễn áp suất thủy tĩnh vuông góc và hƣớng vào mặt tiếp xúc Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD có thể chia làm hai thành phần; pn hướng theo pháp tuyến tại điểm O của mặt ABCD và  hướng theo tiếp tuyến (hình 2-2b), thành phần  có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức là làm chất lỏng đang xét lại ở trạng thái tĩnh, vậy phải có  = 0. Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén. Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến hướng vào trong. Tính chất 2: áp suất thủy tĩnh tại mỗi điểm theo mọi phương bằng nhau. Tính chất này được thể hiện bằng biểu thức: px = py = p z = pn (2-1) Để chứng minh biểu thức (2-1), trong khối chất lỏng đứng yên, tiến hành trích một phân tố lỏng hình dạng tứ diện OABC vô cùng bé, có các cạnh dx, dy, dz (hình 2-3) để xem xét. Phân tố lỏng ở trạng thái cân bằng bởi các lực khối và lực mặt. Trên mặt ABC có áp suất p tác dụng. Phương của áp suất này tạo với các trục của tọa độ các góc , , . Vì các mặt vô cùng bé nên có thể coi áp suất tại mọi điểm trên một mặt đều bằng nhau. Trên 18 mặt OBC có áp suất px trên mặt OAC có py trên mặt OAB có pz. Các phân tố diện tích này có liên quan với nhau: dSx = dS.cos; dSy = dS.cos; dSz = dS.cos Hình 2-3. Biểu diễn áp suất thủy tĩnh theo mọi phƣơng đều bằng nhau Lực mặt tác dụng lên phân tố lỏng là: dFp = p.dS; dFx = px.dSx; dFy = py.dSy; dFz = pz.dSz và dFpx = p.dS.cos = p.dSx ; dFpy = p.dS.cos = p.dSy ; dFpz = p.dS.cos = p.dSz Lực khối tác dụng lên phân tố lỏng theo các trục tọa độ: ; Ở đây: ⃗ ( ; )- gia tốc khối. Chất lỏng ở trạng thái cân bằng nghĩa là tổng các lực tác dụng lên phân tố sẽ bằng không. Chiếu lên trục Ox: dFx – dFpx + dFRx = 0 Hay: Khi dx, dy, dz → 0 (tại một điểm) ta thấy dx.dy.dz là tích vô cùng bé bậc ba có thể bỏ qua được so với tích dy.dz là tích vô cùng bé bậc hai, vì thế ta viết được p = px. Chứng minh tương tự cho hình chiếu các lực lên các trục còn lại ta có: p = py; p = pz. Cuối cùng ta có biểu thức (2-1): px = py = pz = p Vậy áp suất tĩnh của chất lỏng có tính chất như một đại lượng vô hướng nó không phụ thuộc vào vị trí của mặt tác dụng. Nó là hàm của tọa độ không gian (áp suất thủy tĩnh tại một điểm chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó): p = f(x,y,z) (2-2) 2.3- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG - PHƢƠNG TRÌNH ƠLE Phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa ngoại lực tác dụng vào một phần tử chất lỏng với nội lực sinh ra trong đó. 19 Xét một phần tử chất lỏng hình hộp cân bằng có các cạnh dx, dy, dz đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (hình 2-4). Ngoại lực tác dụng lên phần tử chất lỏng xét bao gồm lực khối và lực mặt. Lực khối tỷ lệ với khối lượng (F ~ m = ρ.dx.dy.dz), được tính theo công thức: dFx = X..dx.dy.dz; dFy = Y..dx.dy.dz; dFz = Z..dx.dy.dz Ở đây: X, Y, Z - hình chiếu lực khối đơn vị lên các trục x, y, z. Áp suất tại trọng tâm phân tố lỏng là p, áp suất ở điểm M cách tâm một đoạn theo phương x là . Áp suất tại N cách tâm một đoạn là Lực mặt tác dụng lên phần tử chất lỏng là các áp lực thủy tĩnh tác dụng trên các mặt hình hộp chất lỏng. Áp lực tác dụng lên các mặt thẳng góc với phương x là: ( ) ( ) Suy luận tương tự áp lực theo các phương y, z: ; Điều kiện cân bằng của phần tử chất lỏng hình hộp là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực trên bất kỳ trục tọa độ nào cũng bằng không. Hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên phân tố chất lỏng lên trục x: hay (2-3) (Tính cho một đơn vị khối lượng chất lỏng) (2-4a) Ở đây: Fx = X.ρ.dx.dy.dz; ( ) ; ( ) ; . Thay vào (2-3) ta có: Hay: Tương tự đối với trục y và z, ta có: ( ) ( ) (2-4) ( )} 20 Hình 2-4. Thành lập phƣơng trình vi phân của chất lỏng cân bằng Các phương trình (2-4a,b,c) là những phương trình Ơle tĩnh viết dưới dạng hình chiếu (do Ơle lập ra năm 1755). Ta có thể viết phương trình Ơle tĩnh dưới dạng Véctơ: ⃗ Ở đây: (2-5) ⃗ Phương trình (2-4) hoặc (2-5) là phương trình vi phân cân bằng cho chất lỏng ở trạng thái tĩnh; chất lỏng ở trạng thái cân bằng khi lực khối bằng áp lực. Mặt khác, nếu nhân lần lượt (2-4a), (2-4b), (2-4c) với dx, dy, dz rồi cộng những phương trình này và biến đổi tiếp ta có: dp = .(X.dx + Y.dy + Z.dz) (2-6) Vì dp là một vi phân toàn phần của áp suất p,  = const, do đó vế phải của (2-6) cũng phải là vi phân toàn phần. Như vậy ắt phải tồn tại một hàm U, với: Hàm như vậy gọi là hàm lực và lực được biểu thị bằng hàm trên gọi là lực có thế. Do đó chất lỏng có thế ở trạng thái cân bằng chỉ khi lực khối tác dụng lên nó là lực có thế. 2.4- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC Phương trình cơ bản thủy tĩnh học cho phép xác định được sự phân bố áp suất trong chất lỏng chịu tác dụng của ngoại lực. Các nghiên cứu trên đây cho thấy quan hệ giữa ngoại lực tác động vào chất lỏng và ứng suất sinh ra trong nội bộ chất lỏng được thể hiện dưới dạng phương trình vi phân, chưa thể dùng được để giải bài toán cụ thể. Nhiệm vụ ở đây chính là lấy tích phân các phương trình vi phân cân bằng chất lỏng trong các điều kiện cụ thể. 2.4.1- TÍCH PHÂN PHƢƠNG TRÌNH ƠLE TĨNH Để giải quyết một số vấn đề thực tế ta viết phương trình Ơle tĩnh dưới dạng: 21 ( ) Hay: dp = ρ.dU (2-7) (2-8) Nghĩa là áp suất tại mỗi điểm trong chất lỏng có giá trị duy nhất và không phụ thuộc vào hình dáng quãng đường đi đến điểm đó. Tích phân (2-7) ta được: p = ρ.U + C (2-9) Để xác định hằng số tích phân C cần phải có điều kiện biên, giả sử biết áp suất p0 của 1 điểm nào đó trong chất lỏng và có trị số hàm lực U0 tương ứng, thay vào (2-9) ta có: (2-10) Thay (2-10) vào (2-9): ( ) (2-11) Như vậy, dùng phương trình (2-11) có thể xác định được áp suất thủy tĩnh tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng, nếu biết được trị số của hàm U và điều kiện biên U0; p0. 2.4.2- MẶT ĐẲNG ÁP Mặt đẳng áp là một mặt trên đó tại mọi điểm, áp suất đều bằng nhau, từ (2-6) ta có phương trình mặt đẳng áp: X.dx + Y.dy + Z.dz = 0 Ở đây: ; ; . Mặt thoáng tự do là mặt đẳng áp, áp suất tác dụng trên nó có trị số bằng áp suất khí quyển. Cũng từ (2-6) ta có: ⃗ Ở đây:  là góc tạo bởi hai vectơ lực khối (2-12) và vectơ quãng đường dịch chuyển ds. Trên mặt đẳng áp áp suất tại mọi điểm có giá trị như nhau, nghĩa là p = const hay dp = 0. Nếu  = const thì từ (2-12): F.ds.cos = 0 Suy ra  = 900, nghĩa là mặt đẳng áp thẳng góc với vectơ gia tốc lực khối. Kết hợp với (2-8) thì mặt đẳng áp cũng là mặt đẳng thế. Mặt đẳng áp có hai chính chất: Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì tại cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh lại có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh. Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. Do đó, công của lực thể tích làm ra khi di động trên mặt đẳng áp thì bằng không. 22 2.4.3- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC Xét trường hợp chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của lực khối là trọng lực. Giả sử khối chất lỏng đựng trong bình kín, đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (hình 25). Áp suất tác dụng bề mặt chất lỏng là p0. Hình chiếu lực khối lên các trục x, y, z: Phương trình (2-6) trong trường hợp khảo sát ở đây có dạng: dp = - .g.dz = - .dz; p = - .z + C (2-13) Để xác định C với điều kiện biên là trên bề mặt chất lỏng (z0, p0) ta có: C = p0 + γ.z0 Thay C vào (2-13): p = p0 + γ (z0 - z) (2-14) Như vậy với một điểm A bất kỳ trong chất lỏng có tọa độ z và ở độ sâu h = z0 - z; ta có thể viết được phương trình cơ bản của thủy tĩnh học: (2-15) a) b) Hình 2-5. Sơ đồ xác định phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học Cũng có thể xây dựng phương trình cơ bản của thủy tĩnh học thuần túy theo phương pháp lực như sau: Trong khối chất lỏng tĩnh cân bằng, xét một khối hình trụ thẳng đứng, đáy có tiết diện  (hình 2-5b), mặt dưới cách mặt thoáng h1 chịu áp suất p1; trên mặt cách mặt thoáng h2 chịu áp suất p2. 23 Tách riêng khối chất lỏng ra để xét thì cân bằng dưới tác dụng của những lực sau: - Áp lực từ mặt trên p2. thẳng đứng từ trên xuống dưới. - Áp lực từ mặt dưới p1. thẳng đứng lên. - Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu. - Trọng lượng khối chất lỏng hình trụ: G = ..(h1 - h2) Chiếu hệ lực lên phương thẳng đứng ta viết điều kiện cân bằng: p1. - p2. - ..(h1 - h2) = 0 Hoặc: p1 - p2 = .(h1 - h2) (2-16) Hiệu số áp suất giữa hai điểm trong khối chất lỏng tĩnh thì bằng trọng lượng cột chất lỏng hình trụ, có đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng hệ số độ sâu giữa hai điểm ấy. Nếu mặt trên của hình trụ trùng với mặt thoáng, h2 = 0, ta có p2 = p0 (áp suất tại mặt thoáng), phương trình (2-16) được viết lại là: p1 = p0 + .h1 Hoặc tổng quát ta có được phương trình (2-15) trên đây: p = p0 + .h Phương trình (2-15) gọi là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, còn gọi là nguyên lý cơ bản thủy tĩnh học; được phát biểu “áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kì trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng cộng với trọng lượng cột chất lỏng hình trụ, đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng đến điểm ấy”. Từ (2-15) ta thấy khi h = const thì p = const, nghĩa là những điểm có cùng độ sâu thì có áp suất bằng nhau. Với chất lỏng chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì các mặt đẳng áp là những mặt phẳng nằm ngang. Ví dụ: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4 m, trọng lượng riêng của nước  = 9.810 N.m3 ( = 1.000 kG/m3); áp suất tại mặt thoáng của bể bằng áp suất khí quyển p0 = pa = 98.100 N/m2 (p0 = 10.000 kG/m2). Giải: Áp dụng công thức (2-10) ta có: p = p0 + .h = 98.100 + 9.810  4 p = 137.340 N/m2 (p = 14.000 kG/m2 ) 2.4.4- ĐỊNH LUẬT BÌNH THÔNG NHAU “Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, thì độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng”. Tức là: (2-17) Ở đây: h1, h2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lượng đơn vị tương ứng là 1, 2. 24 Thật vậy, áp suất p1, p2 trên cùng mặt phẳng chia A-B ở bình 1, bình 2 (hình 2-6) như trên đã nói thì bằng nhau: p1 = p2. Hình 2-6 Hình 2-7 Theo biểu thức xây dựng trên ta có: p1 = p0 + 1.h1 p2 = p0 + 2.h2 Vậy: 1.h1 = 2.h2 Do đó: Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau là cùng một loại, tức là 1 = 2, thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng ở trên một độ cao, có h1 = h2. 2.5- Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ NĂNG LƢỢNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG THỦY TĨNH HỌC a. Ý nghĩa hình học hay thủy lực z - độ cao hình học; - độ cao đo áp; - cột áp tĩnh. Từ phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học ta dễ dàng nhận thấy rằng cột áp thủy tĩnh tại mọi điểm trong một môi trường chất lỏng cân bằng là một hằng số. b. Ý nghĩa năng lƣợng z - vị năng đơn vị; - áp năng đơn vị; - thế năng đơn vị; Vậy thế năng đơn vị của mọi điểm trong một môi trường chất lỏng cân bằng đều bằng nhau và bằng cột áp thủy tĩnh. 2.6- ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH ƠLE THỦY TĨNH 25 2.6.1- ÁP SUẤT TRONG TĨNH TUYỆT ĐỐI 2.6.1.1- Công thức tính áp suất Trong tĩnh tuyệt đối, áp suất được tính theo (2-15): Từ trên đây ta có: Ở đây: z- độ cao hình học kể từ mặt chuẩn (z = 0); - cột áp tĩnh của chất lỏng. Do vậy, trong chất lỏng cân bằng tổng độ cao hình học và độ cao cột áp là một hằng số. Muốn tăng thế năng người ta có thể đưa chất lỏng lên cao hoặc nén chất lỏng trong thể tích kín với áp suất lớn. 2.6.1.2- Phân biệt các loại áp suất Áp suất thủy tĩnh được tính theo (2-15) là áp suất tuyệt đối, ký hiệu là pt. Áp suất tuyệt đối có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn áp suất khí trời. Trường hợp mặt thoáng chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì p0 = pa (pa là áp suất khí trời). Ngoài giá trị tuyệt đối dùng làm gốc để đo áp suất, người ta thường lấy áp suất khí trời làm gốc để đo các loại áp suất. Người ta qui ước áp suất khí trời pa = 1 at = 98.100 N/m2 (≈ 105 N/m2), pa ≈ 10 m cột nước + Nếu pt > pa thì chúng ta có áp suất dư, ký hiệu là pd: pd = pt – pa = .hd + Nếu p < pa thì chúng ta có áp suất chân không, ký hiệu pck: pck = pa - pt = .hck Giá trị pckmax ≈ 10 m cột nước. 2.6.2- PHÂN BỐ ÁP SUẤT THỦY TĨNH 2.6.2.1- Biểu đồ phân bố áp suất Từ phương trình (2-15) ta thấy áp suất tĩnh là hàm số bậc nhất của độ sâu [phương trình p = p0 + .h có dạng y = a.x + b], với b tương ứng với áp suất trên mặt thoáng của chất lỏng (p0), còn hệ số góc a tương ứng trọng lượng riêng của chất lỏng , và h thay đổi theo độ sâu trong chất lỏng. Biểu đồ phân bố áp suất được biểu diễn theo chiều sâu trong chất lỏng [Hệ trục tọa độ là chiều sâu h hướng xuống theo thực tế, gốc tọa độ sẽ là điểm nằm trên mặt thoáng tự do (tại đó áp suất dư bằng không), trục tọa độ thứ hai là giá trị áp suất dư pd]. Hình 2-8 thể hiện biểu đồ áp suất thủy tĩnh tuyệt đối và áp suất dư tác dụng lên mặt phẳng AB chìm trong chất lỏng có độ sâu h với các đường bao tương ứng ABC và AA’B’B. Nếu trường hợp mặt chịu áp suất thủy tĩnh là một mặt cong thì cách vẽ cũng tương tự, chỉ có điều véctơ biểu thị áp suất tại các điểm không song song với nhau nên phải vẽ 26 từng điểm rồi nối lại. Vẽ càng nhiều điểm thì biểu đồ càng chính xác. Hình 2-9 thể hiện biểu đồ áp suất dư tác dụng lên một thùng hình trụ tròn nằm ngang chứa chất lỏng ở độ sâu h. Hình 2-8. Biểu đồ áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng nghiêng Hình 2-9. Biểu đồ áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt trụ tròn nằm ngang 2.6.2.2- Đo áp suất Trị số áp suất tính theo phương trình thủy tĩnh là áp suất tuyệt đối. Áp suất tuyệt đối chỉ đo được trong buồng kín chân không tuyệt đối. Điều kiện đó chỉ thực hiện được trong phong vũ biểu thủy ngân để đo giá trị tuyệt đối của áp suất không khí. Trên thực tế, áp kế trong kỹ thuật chỉ đo được áp suất tương đối là hiệu của áp suất tuyệt đối và áp suất không khí. Trên cơ sở công thức tính áp suất điểm (2-15) người ta chế tạo ra các dụng cụ đo áp suất điểm bằng chất lỏng trong ống đo áp chữ U (ống bằng thủy tinh có đường kính trong d  1,5 cm, uốn hình chữ U, chất lỏng là thủy ngân hoặc nước, cồn,...). Nối trực tiếp một đầu ống thủy tinh qua ống cao su vào điểm cần đo áp suất, một đầu thông với khí trời. a) b) c) Hình 2-10 - Khi áp suất cần đo trong bình bằng áp suất khi trời (hình 2-10a) thì mực nước hai 27 cột ống chữ U bằng nhau. Ta gọi áp suất tuyệt đối trong bình p = pa. - Khi áp suất bình lớn hơn áp suất khí trời (hình 2-10b), mực nước cột thông với bình giảm xuống cột nước tự do dâng cao hơn cột kia một lượng là h. Áp suất tính theo (2-15): p - pa = p = . h, Hiệu p - pa = p = . h chính là áp suất dư: pd = p - pa - Khi áp suất bình nhỏ hơn áp suất khí trời (hình 2-10c) mực nước cột thông với bình dâng lên, cột tự do hạ xuống, hơn nhau một lượng là - h. Áp suất tính theo (2-15): p - pa = p = - . h. Tương tự, hiệu pa - p = - p = - . h chính là áp suất chân không: pck = pa – p. Độ chân không được ký hiệu: Độ chân không tuyệt đối đạt được khi p = 0: ( ) Như vậy, khi trong bình là chân không tuyệt đối thì nước chỉ dâng lên một độ cao là hn= 10 m, còn thủy ngân có độ dâng là hHg = 13,55 m. 2.7- ÁP SUẤT CHẤT LỎNG TRONG TĨNH TƢƠNG ĐỐI Chất lỏng chuyển động so với hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ theo được gắn liền với khối chất lỏng chuyển động. Lực khối trong trường hợp này gồm trọng lực và lực quán tính của chuyển động theo. Ta xét hai dạng tĩnh tương đối đặc trưng sau. 2.7.1- BÌNH CHỨA CHẤT LỎNG CHUYỂN ĐỘNG THẲNG THAY ĐỔI ĐỀU (GIA TỐC a = const) Chọn hệ trục tọa độ như hình 2-11. Hình 2-11. Chuyển động thẳng thay đổi đều (a = const) Xuất phát từ phương trình (2-6): dp = ρ.(X.dx + Y.dy + Z.dz) Lực khối: Trọng lực ⃗ ⃗ 28 Lực quán tính ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Chiếu lực khối đơn vị lên các hệ trục tọa độ: X=0;Y=-a;Z=-g. ( Do đó: ) → Tại y = 0, z = 0: p = C = p0 - áp suất tại mặt thoáng. Vậy, phân bố áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng: p = p0 - .(a.y + g.z) Phương trình mặt đẳng áp: p = const, dp = 0 a.dy + g.dz = 0 → a.y + g.z = C Vậy mặt đẳng áp là mặt phẳng nghiêng một góc : | | → a > 0: chuyển động nhanh dần đều; → a < 0: chuyển động chậm dần đều. * Lưu ý: Ứng dụng trường hợp trên để xác định được mực nước dâng lên cao bao nhiêu khi xe chứa chất lỏng chuyển động nhanh, chậm dần đều. Tìm những biện pháp cần thiết để đảm bảo việc cung cấp nhiên liệu được điều hoà ở bộ chế hoà khí của ôtô, máy bay v.v… 2.7.2. BÌNH CHỨA CHẤT LỎNG QUAY ĐỀU VỚI VẬN TỐC GÓC  = const Chọn hệ trục tọa độ như hình 2-12. Lực khối: G = m.g - Trọng lực; F = m.2.r – Lực quán tính ly tâm. Hình chiếu lực khối đơn vị: X = ω2.x ; Y = ω2.y ; Z = - g Do đó: dp = ρ (ω2.x.dx + ω2.y.dy – g.dz)  ( ) Tại 0: x = y = z = 0: p = C = p0 → Phương trình mặt đẳng áp: Đó là phương trình mặt paraboloit tròn xoay quay quanh trục Oz. Phương trình mặt thoáng (mặt tự do): p = p0 29 Do đó: Hình 2-12. Bình chứa chất lỏng quay đều (ω = const) * Lƣu ý: Dựa trên hiện tượng này người ta chế tạo các máy đo tốc độ quay, các hệ thống bôi trơn ở trục, các hệ thống lắng li tâm, đúc các bánh xe, các ống gang, thép v.v… 2.8- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH 2.8.1- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH PHẲNG CÓ HÌNH DẠNG BẤT KỲ 2.8.1.1- Xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng đặt nghiêng với mặt thoáng một góc  Khi tính áp lực P tác dụng lên diện tích S (hình 2-13), ta phải xác định 3 yếu tố: phương chiều, trị số và điểm đặt của P. Hình 2-13. Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng 30 Cách tính: tính dP tác dụng trên dS, sau đó tích phân trên toàn S sẽ được P. a/- Phƣơng chiều P ⊥ S và hướng vào mặt tác dụng . Hệ tọa độ được chọn có gốc nằm trên mặt thoáng, trục y nằm dọc theo tấm phẳng hướng xuống dưới, trục x nằm trên mặt tấm phẳng. b/- Trị số Lực chất lỏng tác dụng lên phần diện tích dS của tấm phẳng ở độ sâu h là: dP = p.dS = (p0 + .h).dS mà h = z.sin nên dP = p0.dS + .sin.z.dS Tích phân biểu thức trên ta được: ∫( ) ∫( ∫( )( ) ) ∫( Biểu thức tích phân ∫( ) ∫( ) ∫( ) ) chính là mômen tĩnh hình học (SOy) của mặt S đối với trục Oy. Gọi zC là tung độ của trọng tâm hình học C của tấm phẳng, theo cơ học lý thuyết, có thể viết: SOy = zC.S Gọi hC là độ sâu của C thì: hC = zC.sin Vậy: P = p0.S + .sin.zC.S = (p0 + .hC).S = pC.S (2-18) Ở đây: pC - áp suất tại trọng tâm. Từ (2-18) ta thấy rằng tổng (p0 + .hC) là áp suất tuyệt đối của chất lỏng tại trọng tâm C của diện tích phẳng. Nếu áp suất trên mặt thoáng là áp suất khí trời (p0 = pa) và phía sau tấm phẳng là áp suất khí trời. Lực của áp suất khí trời lên tấm phẳng ở hai phía như nhau nên áp lực chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng trong trường hợp này là áp lực thủy tĩnh dư: Pd = γ.hC.S (2-19) Từ công thức (2-19) chúng ta thấy rằng: áp lực (dư) của chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng chính bằng tích áp suất (dư) của chất lỏng tại trọng tâm hình học nhân với diện tích tấm phẳng. Nếu tấm phẳng đặt nằm ngang song song với mặt thoáng ở độ sâu h (như đáy bình) thì hC = h. Theo phương trình (2-19): Pd = γ.h.S = G (2-19’) G là trọng lượng khối lỏng chứa trên đáy S ở độ sâu h. Theo kết luận này thì dù hình dạng bình chứa như thế nào đi nữa nếu diện tích mặt đáy giống nhau và ở độ sâu 31 như nhau thì lực tác dụng của chất lỏng lên đáy như nhau (hình 2-14). Nó không phụ thuộc vào trọng lượng thực của chất lỏng chứa trong bình. Đây chính là nghịch lý tĩnh học chất lỏng. Ứng dụng nghịch lý này người ta chế tạo ra các dụng cụ chứa chất lỏng theo nhu cầu sử dụng ví dụ để tăng độ ổn định các bình chứa hóa chất đặc biệt bao giờ cũng có đáy lớn. b) a) c) Hình 2-14. Bình chứa chất lỏng có hình dạng khác nhau c/- Vị trí tâm áp lực Ðiểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực. Tùy theo áp lực là áp suất tuyệt đối hay là áp suất dư mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư. Phương pháp xác định vị trí tâm áp lực trong hai trường hợp đều giống nhau. Ở đây chỉ nêu lên phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư. Gọi D(z, y) là tâm áp lực dư, cần xác định tọa độ zD và yD của điểm D. * Trường hợp hình phẳng có trục đối xứng: Gọi D là tâm (điểm đặt) của áp lực P. Áp dụng định lý Varinhong: Mômen của hợp lực (P) đối với một trục bằng tổng các mômen của các lực thành phần (dP) đối với trục đó. Lấy mômen đối với trục Oy: ∫( ) Mà: ∫( ∫( ) Vì ∫( ) ∫( ) ∫( ) ) chính là mômen quán tính Jy của S đối với trục Oy ( , với J0 là mômen quán tính của S đối với trục song song với Oy đi qua trọng tâm C, gọi là mômen quán tính trung tâm) nên: ∫( ) ( ) Thay vào biểu thức trên, ta rút ra điểm đặt của P: (2-20) Biểu thức (2-20) chứng tỏ rằng tâm áp lực (điểm D) luôn nằm thấp hơn trọng tâm 32 hình học (điểm C) so với mặt thoáng tự do một lượng là: . Trong trường hợp buộc phải lưu ý đến áp suất p0, điểm đặt tính theo công thức: (2-21) Nếu mặt chịu lực có trục đối xứng đi qua trọng tâm mà trục này nằm trong mặt phẳng thẳng đứng thì yD = yC. Ngoài ra còn có yDo = yD do p0 không thay đổi trên mặt chịu lực. * Trường hợp hình phẳng không có trục đối xứng, ta phải tính thêm tọa độ yD. Tương tự như lúc xác định zD. Ta viết được phương trình cân bằng mômen so với trục Oz: ∫( ∫ ) Thay P theo (2-18) và chú ý rằng hC = zC.sin và p = .z.sin, ta có: ∫ Do đó: ∫ hay (2-22) Ở đây: Jyz là mômen quán tính ly tâm của tấm phẳng S đối với hệ trục yz. Nếu tấm phẳng đối xứng so với trục y (như hình tròn, hình chữ nhật...) thì Jyz = 0. Trong thực tiễn hay gặp trường hợp diện tích S có hình dáng đối xứng đối với trục song song với Oz, khi đó điểm D nằm trên trục đối xứng, ta chỉ cần xác định zD, không cần xác định yD. 2.8.1.2- Tính áp lực thủy tĩnh lên thành phẳng hình chữ nhật đặt thẳng đứng Lúc này áp suất thay đổi trên từng điểm, do đó phải dùng phương pháp tích phân trên mặt S: ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ Có thể coi p0,  là không đổi, được đưa ra ngoài dấu tích phân: ∫ ∫ trọng tâm mặt S đến trục Oy. Ở đây: ∫ (2-19a) là mômen tĩnh của S lên trục Oy với hC là khoảng cách từ Tóm lại: (2-19b) Điểm đặt của áp lực trong trường hợp này xác định theo công thức tổng quát đối với mặt phẳng nằm nghiêng với góc nghiêng bằng 900. ** Một số trường hợp cụ thể xác định áp lực của chất lỏng tác dụng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang 33 a/. Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h1, đáy dưới đặt ở độ sâu h2. Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. - Giá trị áp lực Ta có: ; ( ) - Vị trí điểm đặt Ta có: và ( ) Sau khi thay vào biểu thức tổng quát và rút gọn, ta được: b/. Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở mặt thoáng (h1 = 0). Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. Từ trường hợp a/, tính với h1 = 0 ta được: c/. Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc  = 900, đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h1, đáy dưới đặt ở độ sâu h2. Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. Từ trường hợp a/, tính với  = 900 ta được: ( ) d/. Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc  = 900, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở mặt thoáng h1 = 0. Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa. Từ trường hợp a/, tính với h1 = 0 và  = 900 ta được: 2.8.2- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN ĐÁY PHẲNG NẰM NGANG CÓ DẠNG HÌNH CHỮ NHẬT 34 Đặc điểm của quy luật phân bố áp suất ở trường hợp đáy phẳng nằm ngang là tại mọi điểm của đáy áp suất đều như nhau. Biết rằng áp suất ở đáy là p = p0 + .g.h với h là chiều sâu của bể. Kí hiệu S là mặt chịu áp lực ta có áp lực thủy tĩnh lên mặt S (hình 2-15): P = (p0 + .g.h).S Trong trường hợp này điểm đặt lực trùng với trọng tâm của mặt S. Hình 2-15 2.8.3- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH CONG Ở đây ta xét một số trường hợp thành cong là hình cầu, hình trụ. Các lực phân tố không song song nhau. Cách tính: Xác định những thành phần của áp lực thủy tĩnh có phương khác nhau không cùng nằm trong một mặt phẳng sau đó cộng hình học những lực thành phần, kết quả sẽ cho ta trị số của áp lực thủy tĩnh P(Px,Py,Pz) lên mặt cong về trị số cũng như phương chiều. Điểm đặt của chúng thì được xác định theo phương pháp đồ giải. Xét trường hợp thành cong S của bình chứa có một mặt tiếp xúc với chất lỏng, còn mặt kia tiếp xúc với không khí. Hệ trục tọa độ chọn như hình 2-16 (trục z theo phương thẳng đứng và mặt Oxy trùng với mặt thoáng). Lấy một vi phân diện tích dS (coi như phẳng), vi phân áp lực thủy tĩnh dP tác dụng lên dS ở độ sâu h được xác định: dP = γ.h.dS; dP⊥ dS ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 35 Ở đây: Sx, Sy - Hình chiếu của S lên mặt phẳng vuông góc với Ox, Oy ; hcx , hcy- Độ sâu của trọng tâm Sx , Sy . V - Thể tích hình trụ có đáy dưới là hình cong S, đáy trên là hình chiếu của S lên mặt thoáng Sz (V còn gọi là vật thể áp lực). Hình 2-16. Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh lên hình cong Hay: ∫ ∫ ; (2-23a) Chúng ta thấy rằng các lực Px, Py tác dụng lên mặt phẳng Sx, Sy được tính như trường hợp áp lực lên thành phẳng đã nêu. Ở đây: pCx, pCy là áp suất tại trọng tâm các mặt Sx, Sy. Còn lực Pz: ∫ ∫ (2-23b) Nghĩa là lực Pz chính bằng trọng lượng của khối lỏng thẳng đứng có một đáy là mặt cong và một đáy là hình chiếu mặt cong lên mặt thoáng. Hướng của lực Pz đi lên nếu mặt cong bị chất lỏng đẩy lên, ngược lại thì lực Pz hướng xuống. Điểm đặt lực được xác định theo các cosin định hướng. Nếu mặt cong là mặt trụ, hay mặt cầu thì lực P đi qua trục tâm mặt trụ hay tâm mặt cầu. Cần lưu ý rằng việc chọn hệ tọa độ hợp lý sẽ giúp cho tính toán đơn giản. Vậy: √ (2-24) Phương của áp lực thủy tĩnh P lập với hệ tọa độ Oxyz các góc xác định bởi các cosin định hướng sau: (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ ) (2-25) } 36 Điểm đặt là giao điểm của phương lực P vuông góc với mặt cong. Nếu mặt cong là một phần mặt trụ trong nằm ngang thì áp lực thủy tĩnh P lên mặt đó lập thành một góc α với phương ngang: . Áp lực thủy tĩnh P đi qua trục tâm của mặt trụ tròn. 2.8.4- PHƢƠNG PHÁP ĐỒ GIẢI Ngoài cách xác định áp lực thủy tĩnh theo phương pháp giải tích đã trình bày ở trên, trong một số trường hợp đơn giản ta có thể xác định nhanh bằng phương pháp đồ giải. Ví dụ 1: Tính áp lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm phẳng thẳng đứng hình chữ nhật có chiều cao h, chiều rộng b (hình 2-17). - Phương pháp giải tích: Theo công thức (2-15), ta tính áp lực thủy tĩnh dư: P = .hC.S Độ sâu của trọng tâm thành bể thẳng đứng hC = h/2 và S = b.h. Thay vào phương trình trên ta có: Điểm đặt áp lực P tính theo công thức (2-16): Ở đây: và ; Thay vào ta có: - Phương pháp đồ giải: Vẽ biểu đồ áp suất thủy tĩnh dư tác dụng lên tấm phẳng ta được tam giác vuông ABC (đáy là .h, cao là h). Theo công thức tính áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng (2-15): Ở đây: - diện tích tam giác biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh. Hình 2-17. Biểu đồ phân bố áp suất xác định áp lực thủy tĩnh lên tấm phẳng Hình 2-18. Biểu đồ phân bố áp suất xác định áp lực thủy tĩnh lên trụ tròn 37 Vậy áp lực thủy tĩnh có trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng hình trụ có đáy là biểu đồ áp suất ( ) và chiều cao là bề rộng của cánh cửa (b). Điểm đặt của P đi qua trọng tâm biểu đồ áp suất và vuông góc với mặt tác dụng (P đi qua trọng tâm ∆ ABC, cách A một khoảng 2/3h) Ví dụ 2: Tính áp lực lên trụ tròn có bán kính R, chiều dài b Chọn hệ trục tọa độ như hình 2-18. P ở trường hợp này chỉ bao gồm Px và Pz , Px = P1x - P2x được xác định theo biểu đồ áp suất: Vậy √ Phương của P đi qua trục tâm và nghiêng 1 góc  so mặt phẳng nằm ngang một góc  xác định bởi: hay . Điểm đặt của P là giao điểm của phương P vuông góc với mặt cong. 2.9- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THỦY TĨNH HỌC 2.9.1- DỤNG CỤ ĐO ÁP SUẤT Dụng cụ đo áp suất thường có các dạng: ống đo áp, áp kế thủy ngân, chân không kế thủy ngân, áp kế đo chênh. a/- Ống đo áp: Là một ống thủy tinh đường kính không nhỏ hơn 10 mm. Đầu dưới nối với nơi cần đo áp suất, đầu trên hở thông với khí quyển (để đo áp suất dư) hoặc kín được hút hết không khí trong ống ra (để đo áp suất tuyệt đối) (hình 2-19). Hình 2-19. Ống đo áp Hình 2-20. Áp kế thủy ngân kiểu chậu Khi nối ống đo áp vào nơi cần đo, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống với một độ cao nhất định ta sẽ xác định được áp suất tại điểm đó: và . Dùng ống đo áp để đo các áp suất nhỏ cần có độ chính xác cao, do đó người ta thường dùng ống đo áp trong các phòng thí nghiệm. 38 b/- Áp kế thủy ngân: Là một ống thủy tinh hình chữ U đựng thủy ngân (hình 2-20); ở nhánh trái của ống nơi nối với chỗ cần đo áp suất có một bầu lớn mục đích để khi đo, thủy ngân di chuyển trong ống thì mức thủy ngân ở bầu hầu như không thay đổi. Áp suất dư tại A được xác định: c/- Chân không kế thủy ngân: Cấu tạo (hình 2-21). Tính áp suất chân không tại A ta có: d/- Áp kế đo chênh: Để đo độ chênh lệch về áp suất tại hai điểm. Nó là một áp kế hình chữ U (hình 2-22) ( ) Hình 2-21. Chân không kế thủy ngân Hình 2-22. Áp kế đo chênh Trong thực tế kỹ thuật thường dùng các loại áp kế bằng kim loại như áp kế lò xo (hình 2-23), áp kế màng (hình 2-24). Các áp kế này cho ta ngay trị số đọc được trên đồng hồ đo là áp suất dư đối với áp kế và áp suất chân không đối với chân không kế. Hình 2-23. Áp kế lò xo hình ống Hình 2-24. Áp kế màng Ngoài các dụng cụ đo áp suất bằng kim loại, người ta còn dùng các dụng cụ đo áp suất bằng chất lỏng theo phương trình cơ bản của chất lỏng như ống đo áp (còn gọi là ống 39 Pitô). Ống đo áp là ống trong suốt đường kính từ 10 mm trở lên (để tránh hiện tượng mao dẫn). Muốn đo áp suất dư hay chân không chúng ta dùng ống đo áp hở một đầu một đầu thông với khí trời đầu kia nối với điểm cần đo. Chất lỏng dâng lên hA hay tụt xuống hB trong ống là độ cao cột áp cần đo. Muốn đo áp suất tuyệt đối chúng ta dùng ống đo áp kín một đầu, trước khi đo phải rút hết không khí ra, còn đầu hở thì nối vào nơi cần đo áp suất. Cột chất lỏng dâng lên trong ống hc chỉ cột áp tuyệt đối (ví dụ như phong vũ biểu). Để đo độ chênh áp giữa hai điểm người ta dùng ống đo áp kiểu chữ U, trong đoạn cong có chứa môi chất khác với chất lỏng cần đo. Ngoài ra, người ta còn dùng áp kế thủy ngân kiểu bình để đo áp suất dư, áp suất chân không. Môi chất có thể là thủy ngân, nước, rượu tùy theo độ lớn của áp suất cần đo. Những loại áp kế dùng chất lỏng nói trên thường được dùng để đo trong các phòng thí nghiệm với độ cao chính xác cao. 2.9.2- ĐỊNH LUẬT PASCAL VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ a- Định luật Pascal “Trong một bình kín chứa chất lỏng ở trạng thái tĩnh, áp suất do ngoại lực tác dụng lên mặt thoáng được truyền nguyên vẹn tới mọi điểm của chất lỏng”. Hình 2-25. Sơ đồ minh hoạ định luật Pascal Xét một bình đựng chất lỏng đậy kín bằng một pittông có áp suất trên mặt thoáng là p0 (hình 2-25). Tại hai điểm bất kỳ 1 và 2 ở độ sâu h1 và h2 áp suất bằng: p1 = p0 + γ.h1 p2 = p0 + γ.h2 Nếu ta nén pittông để làm tăng áp suất trên mặt thoáng lên một lượng ∆p thì áp suất trên mặt thoáng trở thành: 40 và áp suất tại các điểm 1 và 2 lúc này bằng: ; Rõ ràng lượng tăng áp suất ∆p đã được truyền nguyên vẹn đến điểm 1 và 2. Vì hai điểm này được chọn bất kỳ nên kết luận trên đây cũng đúng cho mọi điểm khác trong chất lỏng. Cần chú ý là trong định luật này điều kiện chất lỏng đứng cân bằng phải được bảo đảm, không bị phá hoại trong khi có sự biến thiên p. Độ biến thiên p có thể dương hoặc âm. b- Ứng dụng thực tế Trong kỹ thuật, dựa trên nguyên tắc cơ bản là truyền áp suất bên trong chất lỏng của định luật Pascan, người ta đã chế tạo một số loại máy thủy lực: máy ép thủy lực, máy tích năng, máy tăng áp, kích, cơ, cần truyền lực và truyền động bằng thủy lực… Ở đây ta chỉ xét một ứng dụng cụ thể: máy ép thủy lực. Sơ đồ làm việc của máy ép thủy lực (hình 2-26) gồm hai bộ phận chính: một xi lanh B và píttông lớn T2 có tiết diện S2, một xi lanh A và píttông nhỏ T1 có tiết diện S1. Hai xilanh thông nhau và đựng chất lỏng, một cánh tay đòn quay quanh trục O (hình 2-27). Hình 2-26. Sơ đồ nguyên lý máy ép thủy lực đơn giản Hình 2-27. Sơ đồ máy ép thủy lực đơn giản Khi tác dụng vào cánh tay đòn lực Q, gây lên lực P1 ở pittông nhỏ, áp suất ở xylanh nhỏ là: . Theo định luật Pascal, áp suất do pittông nhỏ tác dụng vào chất lỏng p1 được truyền nguyên vẹn đến xylanh lớn cũng là p1. Áp lực tác dụng lên mặt pittông lớn là: Thay p1 từ biểu thức trên ta được: hay Nếu coi P1, S1 không đổi thì muốn tăng P2 ta phải tăng diện tích mặt pittông lớn S2. 2.10- ÁP LỰC THỦY TĨNH TÁC DỤNG LÊN VẬT NGẬP 2.10.1- ĐỊNH LUẬT ACSIMÉT 41 Ta xét áp lực thủy tĩnh tác dụng vào một vật rắn có thể tích V ngập hoàn toàn trong chất lỏng (hình 2-28). Muốn vậy ta xét thành phần thẳng đứng và thành phần nằm ngang của áp lực P. Muốn xác định thành phần áp lực của của P ta vẽ mặt trụ thẳng đứng mà các đường sinh của mặt trụ đều là những tiếp tuyến đối với mặt ngoài của vật rắn; đường cong đi qua các điểm tiếp xúc giữa mặt trụ và mặt ngoài của vật chia vật rắn thành hai phần không kín; phần trên cde và phần dưới cfe. Lực tác dụng lên phần trên bằng trọng lượng của vật áp lực (khối chất lỏng bên trên vật rắn) abcde và hướng thẳng xuống; theo quy ước về dấu của vật áp lực thì mang dấu (+). Hình 2-28 Lực tác dụng lên phần dưới bằng trọng lượng của vật áp lực abcfe và hướng thẳng đứng lên trên; mang dấu (-). Tổng hợp lực thẳng đứng P’z tác dụng lên toàn bộ mặt kín cdef bằng: ( ) Và bao giờ nó cũng hướng lên trên thì bao giờ cũng có: | | | | Muốn xác định thành phần nằm ngang của P ta vẽ mặt trụ nằm ngang mà các đường sinh đều tiếp xúc với mặt ngoài của vật rắn; đường cong đi qua tất cả các điểm tiếp xúc giữa mặt trụ và mặt ngoài của vật chia mặt ngoài của vật rắn thành hai phần không kín: phần trái kcm và phần phải kem. Ta thấy những hình chiếu thẳng đứng k’c’m’ và k’e’m’ của những mặt kcm, kem bằng nhau và trọng tâm của những hình chiếu đó ở độ sâu bằng nhau nên tổng hợp hai 42 phần tổng áp lực nằm ngang ở bên trái và bên phải bằng không: lại P = Pz. ; như vậy chỉ còn Vậy: Một vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của một áp lực hướng lên trên, có trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng bị vật rắn choán chỗ. Đó là định luật Ácsimét, áp lực đó gọi là lực Ácsimét hoặc lực đẩy (còn gọi là lực nâng). Phương của lực Ácsimét đi qua trọng tâm D của khối chất lỏng bị vật rắn choán chỗ, điểm D được gọi là tâm đẩy. Chú ý rằng tâm đẩy D không phải là điểm đặt của lực Ácsimét. Định luật Ácsimét cũng dùng cho vật nổi, tức là cho vật không bị chìm hoàn toàn trong chất lỏng vả nổi trên mặt tự do của chất lỏng. Lúc đó, áp lực thủy tĩnh tác dụng lên phần bị ngập trong nước bằng trọng lượng khối chất lỏng bị phần ngập của vật rắn choán chỗ. 2.10.2- ĐIỀU KIỆN NỔI CỦA MỘT VẬT Căn cứ vào tương quan giữa lực đẩy Acsimet Pđ và trọng lượng của vật G, ta có 3 trường hợp sau (hình 2-29): Nếu G > Pđ - Vật chìm xuống đáy; Nếu G = Pđ - Vật lơ lửng trong chất lỏng; Nếu G < Pđ - Vật bị đẩy nổi lên khỏi mặt chất lỏng đến khi nào trọng lượng phần thể tích vật ngập trong chất lỏng (lực đẩy Pđ) bằng trọng lượng vật G thì thôi. Tóm lại, vật rắn không ở trạng thái nổi lơ lửng trong chất lỏng nếu Pđ  G, nếu Pđ < G thì vật chìm và Pđ > G thì vật nổi lên. Hình 2-29. Điều kiện nổi của vật 2.10.3- ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH CỦA VẬT LƠ LỬNG TRONG CHẤT LỎNG Trên cơ sở định luật Ácsimét, ta nghiên cứu sự cân bằng của một vật rắn nói chung không đồng chất ngập hoàn toàn trong chất lỏng, vật rắn chịu tác dụng của hai lực thẳng đứng: trọng lượng G đặt tại trọng tâm C của vật rắn, hướng xuống dưới và lực đẩy 43 Ácsimét Pz đặt tại tâm đẩy D, tức là tại trọng tâm vật đó khi coi vật là đồng chất, hướng lên trên. Muốn vật đó đứng cân bằng tức là vật không chìm xuống, không nổi lên, không tự quay thì hai lực Pz và G phải bằng nhau và đặt trên cùng một đường thẳng đứng. Vị trí của hai điểm C và D ảnh hướng đến tính chất cân bằng của vật rắn. Hình 2-30. Ba trƣờng hợp ổn định của vật 1. Trường hợp C ở thấp hơn D (hình 2-30a) thì sự cân bằng là ổn định, vì nếu đẩy vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì dưới tác dụng của ngẫu lực lập bởi Pđ và G vật lại trở về vị trí như cũ. 2. Trường hợp C ở cao hơn D (hình 2-30b) thì sự cân bằng không ổn định, vì nếu đẩy vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì ngẫu lực lập bởi Pđ và G cho vật lộn ngược đi xa vị trí cũ và chiếm vị trí cân bằng ổn định (không thể khôi phục lại trạng thái cân bằng cũ được mà càng nghiêng đi). 3. Trường hợp C và D trùng nhau (hình 2-30c), nghĩa là trong trường hợp vật đồng chất thì ở trạng thái cân bằng phiếm định, nghĩa là vật đứng cân bằng ở bất cứ vị trí nào. Vật rắn không ở trạng thái cân bằng nếu Pđ  G, nếu Pđ < G thì vật chìm, Pđ > G thì vật nổi lên. 2.10.4- ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH CỦA VẬT NGẬP KHÔNG HOÀN TOÀN Tính ổn định của vật nổi trong chất lỏng là khả năng khôi phục lại vị trí cân bằng của vật sau khi thôi tác dụng của ngoại lực làm thay đổi vị trí của vật. Điều kiện cân bằng của vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng không giống hẳn với điều kiện cân bằng của vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng. Ta xét một vật nổi trên mặt nước, ví dụ như một tấm gỗ, một con tàu,… khi vật đã ở trạng thái nổi thì tất nhiên điều kiện Pđ = G đã được thoả mãn. Rõ ràng là nếu trọng tâm C của vật nổi (có thể đồng chất hay không đồng chất) ở thấp hơn tâm đẩy D thì sự cân bằng của vật nổi là ổn định. Tuy nhiên, nếu trọng tâm C ở cao hơn tâm đẩy, vật chưa phải hoàn toàn không còn có thể ở trạng thái cân bằng ổn định. Xét điều kiện cân bằng ổn định của vật nổi khi C ở cao hơn D. Trước hết cần định nghĩa một số yếu tố (hình 2-31). 44 - Mớn nƣớc là giao tuyến của vật nổi với mặt nước. - Mặt nổi là mặt phẳng có chu vi là đường mớn nước. - Trục nổi là đường thẳng góc với mặt nổi qua tâm vật nổi. Các định nghĩa trên đây ứng với lúc vật nổi ở trạng thái cân bằng. Khi vật bị nghiêng đi thì tâm đẩy D cũng thay đổi vị trí đến D’ (hình 2-32). Giao điểm của trục nổi với phương của lực đẩy mới gọi là tâm định khuynh M. Khi góc nghiêng  của trục nổi và đường thẳng đứng nhỏ hơn 150 ( < 150) thì có thể coi như tâm đẩy D di chuyển trên một cung tròn tâm M bán kính là khoảng cách từ M đến D. Đoạn MD gọi là bán kính định khuynh và kí hiệu là R. Khoảng cách từ M đến D gọi là độ cao định khuynh, kí hiệu hM = MC. Khoảng cách từ C đến D kí hiệu là e. Hình 2-31 Hình 2-32 Ta có: hM = R - e. Trị số này có thể dương, âm hoặc bằng không. Ta xét các trường hợp có thể xảy ra sau khi vật nổi bị nghiêng (hình 2-33). - Khi M cao hơn C (hM > 0) (hình 2-33a): ngẫu lực do G và Pđ tạo nên có xu hướng làm vật nổi trở lại trạng thái cân bằng ban đầu, ta có vật nổi ổn định. - Khi M thấp hơn C (hM < 0) (hình 2-33b): ngẫu lực có xu hướng làm vật càng nghiêng đi, ta có vật nổi không ổn định. Hình 2-33 45 - Khi M trùng với C (hM = 0), trường hợp này không tạo nên ngẫu lực hợp lực luôn triệt tiêu, ở mọi vị trí vật đều cân bằng, do đó sau khi bị nghiêng, vật nổi vẫn ở trạng thái nghiêng mà không trở lại vị trí cân bằng ban đầu, ta có vật nổi ở trạng thái cân bằng phiếm định. Như vậy sự cân bằng ổn định của vật nổi được xác định không phải bởi vị trí tương ứng giữa C và D mà giữa C và M; điều kiện để vật nổi được ổn định là hM > 0. Muốn xác định hM trước hết ta cần tính bán kính định khuynh R. Sau đây là diễn giải cách thiết lập công tính R. Giả sử ta quay vật nổi đi một góc nhỏ  (hình 2-32), lúc đó một thể tích W1 thoát khỏi mặt chất lỏng và một thể tích W2 chìm vào chất lỏng. Vì thể tích V chìm trong chất lỏng của vật nổi vẫn giữ không đổi nên W1 = W2. Giả sử lực đẩy Ácsimét P2 = .V bị buộc chặt vào điểm D trong khi vật bị quay đi một góc ; khi đó phải bổ sung vào hai lực P1, P2 bằng nhau: lực P1 = .W1 là trọng lượng khối W1 và lực P2 = .W2 là lực đẩy của chất lỏng vào khối W2 (hình 2-32a). Trên thực tế ba lực trên không có, mà chỉ tồn tại lực đẩy đặt tại tâm đẩy mới D’. Rõ ràng là lực tương đương với ba lực Pđ, P1 và P2. Nếu ta đặt lực nhưng ngược chiều với thì hai lực và cân bằng nhau. Như vậy hệ thống bốn lực , Pđ, P1 và P2 là một hệ thống cân bằng vì tổng số những hình chiếu của bốn lực đó trên trục bất kì bằng không và tổng số mômen những lực đó đối với một trục bất kì cũng bằng không. Mômen của lực Pz và ( bằng: ) Mômen của P1 đối với trục quay (hình 2-32b) bằng: ( ) ∫ Ta tính dP1 (hình 2-32b): dP1 = .dS.x.tg Do đó: ( ) ∫ ∫ Vì  khá nhỏ, nên ta coi tg  , do đó: ( ) ∫ Cũng như vậy mômen của P2 đối với trục quay bằng: ( ) ∫ Vậy tổng hợp những mômen của P1 và P2 bằng: ( ) ∫ Trong đó, tích phân phải lấy đối với toàn bộ diện tích S của mặt nổi. Từ sự cân bằng của những mômen của bốn lực nói trên: ( ) ( ) 46 ∫ Ta viết được: Do đó (coi sin  ): Ở đây: ∫ ∫ (2-26) - mômen quán tính của vật nổi với trục quay; V - như trên đã nói là thể tích chất lỏng bị choán chỗ. Biết vị trí C, D của vật nổi cho trước, tức là đã biết trị số CD = R, ta tính được hM = R - e, ở đây R tính theo (2-26). Trong kĩ thuật đóng tàu, thuyền thường lấy hM = (0,31,5) m tùy theo hình dạng, kích thước và công cụ của tàu. Ví dụ: Một khúc gỗ đặc, dài L = 60 cm, rộng b = 20 cm, cao h = 30 cm. Trọng lương riêng của gỗ 0,008 N/cm3. Hỏi khi thả vào nước theo mặt 60  20 cm thì nó ngập bao nhiêu và có cân bằng bền không (hình 2-34), lấy nước  0,01 N/cm3. Giải: Hình 2-34 Trọng lượng khúc gỗ: G = .V = 0,008  60  20  30 = 288N. Giả sử khi cân bằng khúc gỗ ngập sâu h1, thì lực đẩy Ácsimét bằng: Pz = nước  V = 0,01  20h1 = 12h1 Mà Pz = G. Do đó: 288 = 12h1 47 DC > DM nghĩa là tâm định khuynh M ở thấp hơn C. Khúc gỗ đặt như vậy không ổn định. Nếu hơi nghiêng đi là nó lật ngang ra và nằm ổn định trên mặt 60  30cm (hình 2-34). 48 Chƣơng 3 CƠ SỞ ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG Động học chất lỏng nghiên cứu chuyển động của chất lỏng mà không xét đến những lực tác dụng, nghĩa là nghiên cứu các đại lượng đặc trưng của chuyển động như dạng chuyển động, vận tốc, khối lượng riêng v.v… Vì vậy, phương trình động học là chung cho chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực. Động lực học chất lỏng nghiên cứu những quy luật chung về chuyển động của chất lỏng liên quan đến lực tác động. Như đã biết, khi chất lỏng thực (nhớt) chuyển động, xuất hiện sức ma sát trong nên những kết luận về động lực học của chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực (nhớt) là khác nhau. Coi môi trường chất lỏng chuyển động là môi trường liên tục, bao gồm vô số phần tử chất lỏng vô cùng nhỏ chuyển động, mỗi phần tử nhỏ đó được đặc trưng bởi những đại lượng cơ bản của sự chuyển động gọi là những yếu tố của chuyển động, đó là: a) Áp suất thủy động (p) Trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng, áp suất thủy động hướng về mặt chịu lực tác dụng và hướng theo pháp tuyến của mặt đó, vì thành phần tiếp tuyến không có, do đó áp suất thủy động của chất lỏng lý tưởng có những tính chất như áp suất thủy tĩnh. Trong chuyển động của chất lỏng thực, áp suất thủy động hướng vào mặt chịu tác dụng nhưng không hướng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến pn và thành phần ứng suất tiếp tuyến , do tính nhớt gây ra. b) Vận tốc (u) Vận tốc của phần tử chất lỏng gọi là vận tốc điểm (coi phần chất lỏng chiếm vị trí vô cùng nhỏ như một điểm). c) Gia tốc (a) của phần tử chất lỏng Những yếu tố của chuyển động có thể biến đổi liên tục theo vị trí của phần tử và theo thời gian, nên chúng là hàm số liên tục của tọa độ không gian x, y, z và thời gian t. p = p(x, y, z, t); u = u (x, y, z, t); a = a(x, y, z, t) 3.1- KHÁI NIỆM CHUNG VÀ PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG 3.1.1- PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG Người ta thường sử dụng phương pháp Ơle trong nghiên cứu chuyển động của chất lỏng. Khác với phương pháp Lagrange (khảo sát chuyển động của từng phần tử chất lỏng riêng biệt mà vị trí của nó tại mọi thời điểm phụ thuộc vào vị trí ban đầu), phương pháp Ơle không gắn các đặc trưng chuyển động vào phần tử chất lỏng mà khảo sát không gian cố định chứa đầy chất lỏng, xem đặc trưng của chúng phân bố ra sao. Ở đây người ta khảo sát đồng thời sự biến đổi trạng thái tại mọi điểm của không gian chất lỏng. Nói cách khác, ta khảo sát một cách tổng quát chuyển động của chất lỏng đi qua những điểm cố định trong không gian ở những thời điểm t khác nhau, nghĩa là xem tại một điểm bất kì, 49 không chịu một ràng buộc nào, các đặc trưng như mật độ, vận tốc, gia tốc,... biến động ra sao. Như vậy việc khảo sát dẫn đến sự tìm hiểu một không gian trạng thái như trường mật độ, nhiệt độ,... là các đặc trưng vô hướng; trường vận tốc, gia tốc,... là các đặc trưng gồm cả trị số lẫn hướng véctơ. Trong không gian này tại điểm bất kỳ nào, vào bất cứ thời điểm nào, các đặc trưng nói trên đều có thể xác định được như một trường. Phương pháp này không quan tâm đến “số phận” của từng phần tử chất lỏng. Chọn điểm M cố định trong không gian được xác định bởi véctơ bán kính ( ). Có thể biểu diễn theo hàm véctơ biến véctơ: ⃗ ⃗ ( ). Tại thời điểm t ta xác định được véctơ vận tốc của phần tử chất lỏng đi qua điểm đó: ⃗ ⃗( ) (3-1) Khảo sát chuyển động của nhiều phần tử chất lỏng tại các điểm cố định trong dòng chảy, ứng với thời điểm t xác định, ta có các véctơ vận tốc phân bố tại các điểm trong không gian, nghĩa là ta có trường vận tốc. Hình chiếu của ⃗ lên các trục toạ độ ta có các thành phần sau: ( ) ( )} ( ) (3-2) là các hàm vô hướng biến vô hướng. Tương tự, đối với mật độ ta cũng có thể viết:  = (x,y,z,t). Tóm lại có thể suy ra gia tốc: (3-3) } vì 3.1.2- CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC. CÁC KIẾN TẠO HÌNH HỌC TRONG DÒNG CHẢY 3.1.2.1- Các đặc trƣng động học Các đặc trưng của chất lỏng chuyển động - phụ thuộc vào vị trí, thời gian… - có thể thay đổi hoặc cố định/không thay đổi. Khái niệm ổn định/dừng, không ổn định/không dừng là phạm trù gắn với thời gian. Ví dụ, tháo cạn một bể chứa nước qua một lỗ/vòi/cửa xả (hình 3-1) thì: + Nếu không bổ sung nước cho bể chứa giữ cho mực nước không đổi, chuyển động của dòng chảy là không ổn định vì mực nước giảm dần khiến cho áp lực cửa xả cũng giảm, dẫn đến vận tốc giảm dần theo thời gian (Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian, tức là u = u(x, y, z, t); p = p(x, y, z, t); v.v... 50 hoặc ; , V.V…); các đặc trưng khác cũng vì thế mà thay đổi theo. + Song, nếu duy trì mực nước cố định, dòng chảy là ổn định (dừng), chuyển động là ổn định (Chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động không biến đổi theo thời gian, tức là: u = u(x, y, z); p = p(x, y, z); v.v… hoặc ; , v.v …) + Nếu mực nước bể chứa không thay đổi nhưng kênh hay ống xả có tiết diện thay đổi, dòng chảy (trong kênh, trong ống xả) ổn định không đều, ngược lại, nếu tiết diện không đổi, dòng chảy ổn định đều. a) b) Hình 3-1 3.1.2.2- Phân loại chuyển động Chất lỏng có các dạng chuyển động sau: 1/- Theo ma sát + Chuyển động chất lỏng lý tưởng: không có ma sát. + Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát. - Chuyển động tầng. - Chuyển động rối. 2/- Theo thời gian + Chuyển động dừng (có thể hiểu là chuyển động ổn định) khi thông số dòng chảy biến đổi theo không gian và không biến đổi theo thời gian: u = u(x,y,z) , ; a = a(x,y,z) , + Chuyển động không dừng (có thể hiểu là chuyển động không ổn định) khi thông số dòng chảy biến đổi theo không gian và thời gian: u = u(x,y,z,t) ... Trong thực tế, dòng chất lỏng chảy qua lỗ hoặc vòi khi có cột áp tác dụng không thay đổi theo thời gian cho ta hình ảnh chuyển động dừng. Ngược lại khi cột áp tác dụng thay đổi ta có dòng chuyển động không dừng. 3/- Theo sự phân bố vận tốc 51 Dòng chảy đều (trong chuyển động dừng): sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt ngang theo dòng chảy giống nhau (không đổi). Ngược lại với nó là dòng chảy không đều. 4/- Theo giá trị áp suất Dòng chảy có áp là dòng chảy không có mặt thoáng tự do, còn dòng chảy không áp là dòng chảy có mặt thoáng tự do. Tóm lại, các khái niệm về dạng chuyển động của chất lỏng trên đây thể hiện trong các biểu thức toán học như sau: u = u(x,y,z,t) đặc trưng cho dòng không ổn định xét theo tốc độ và gia tốc. u = u(x,y,z) và đặc trưng cho dòng ổn định. u = u(x,y,z); a = a(x,y,z)  0, với a là gia tốc, dòng ổn định không đều. u = const; a = 0, dòng ổn định đều. 3.1.2.3- Các kiến tạo hình học Trong dòng chảy tồn tại một số kiến tạo hình học như quỹ đạo, đường dòng, đường vết, đôi khi thông qua chúng, ta có thể biết được tính chất của dòng chảy. 3.2- CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CHO CHUYỂN ĐỘNG 3.2.1- CÁC YẾU TỐ THỦY LỰC 1/- Mặt cắt ƣớt là mặt cắt vuông góc với tất cả các đường dòng (véctơ vận tốc) của dòng chảy, trong hình 3-2 là 1-1, b-b... đơn vị là m2. Chúng có thể là mặt phẳng (ví dụ mm; n-n) khi các đường cong là những đường thẳng song song, và có thể là cong (ví dụ cc; d-d) khi các đường dòng không song song. Diện tích mặt cắt ướt của dòng chảy ký hiệu là ; khi diện tích mặt cắt ướt vô cùng nhỏ d, ta có dòng nguyên tố. b) a) Hình 3-2 2/- Chu vi ƣớt là giao tuyến giữa mặt ướt và thành dẫn hướng dòng chảy (đoạn tiếp xúc giữa chất lỏng và thành giới hạn dòng chảy), ký hiệu  (đọc là “khi”), đơn vị là m. Hay chu vi ướt chính là chiều dài của phần tiếp xúc giữa chất lỏng và thành rắn trên mặt cắt ướt. 52 a) b) Hình 3-3 Theo hình 3-3a:  = AB + BC + CD Theo hình 3-3b:  = .d 3/- Bán kính thủy lực là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt  và chu vi ướt , ký hiệu R: (3-4)  Ví dụ: dòng chảy đầy trong ống tròn bán kính r thì: 4/- Lƣu lƣợng là thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt nào đó trong một đơn vị thời gian. Ký hiệu Q. Đơn vị là m3/s, l/s. Giả thiết ta có một diện tích phẳng d, tốc độ ⃗ của chất lỏng đi qua diện tích lập với pháp tuyến của diện tích một góc . Thể tích chất lỏng dW đi qua trong thời gian dt, rõ ràng bằng thể tích hình trụ đáy d, dài u.dt tức là tích số giữa đáy d với chiều cao u.dt.cos (hình 3-4). dW = dQ.dt = u.dt.cos.d Hình 3-4 Hình 3-5 Gọi un là hình chiếu của u lên pháp tuyến, ta có un = u.cos. Vậy: dQ = un.d Nếu diện tích phẳng d lại là mặt cắt ướt của một dòng nguyên tố thì rõ ràng vận tốc điểm trên mặt cắt ướt thẳng góc với mặt đó (theo định nghĩa của mặt cắt ướt). Vậy lưu lượng nguyên tố dQ của dòng nguyên tố bằng: dQ = u.d (3-5) 53 Lưu lượng (thể tích) của toàn dòng chảy là tổng số các lưu lượng nguyên tố của mặt cắt ướt trên toàn dòng: ∫ ∫ (3-6) Lưu lượng trọng lượng được ký hiệu là G: ⁄ ( ∫ ⁄ ) (3-7) 5/- Vận tốc trung bình của dòng chảy tại một mặt cắt là giá trị trung bình của vận tốc phân bố trên tiết diện đó (là tỉ số lưu lượng Q đối với diện tích  của mặt cắt đó): (3-8) Ký hiệu vận tốc trung bình bằng v; đơn vị m/s; cm/s. Suy ra: Q = v. Theo định nghĩa này ta có thể thay thế dòng chảy thực tế có sự phân bố các véctơ vận tốc điểm u không đều trên mặt cắt ướt bằng dòng chảy tưởng tượng có các véctơ vận tốc song song và bằng nhau trên mặt cắt ướt và bằng v, sao cho lưu lượng đi qua hai dòng chảy đó đều bằng nhau. Căn cứ vào điều giải thích này ta thấy rõ việc thay thế đó chỉ làm được khi mặt cắt ướt là mặt phẳng. Đó chính là điều kiện liên quan tới khái niệm vận tốc trung bình trên mặt cắt ướt v, hoặc nói cách khác, điều kiện các đường dòng phải là song song. Trong trường hợp dòng chảy phẳng, sự thay thế nói trên có nghĩa là có thể thay thế đường cong phân bố vận tốc điểm u bằng đường thẳng phân bố vận tốc trung bình v sao ∫ cho diện tích giản đồ phân bố vận tốc thực bằng diện tích hình chữ nhật Q’ = v. (hình 3-5). Từ (3-6) và (3-8), ta viết được: ∫ (3-9) Như vậy, lưu lượng bằng thể tích hình trụ có đáy là mặt cắt ướt, chiều cao bằng vận tốc trung bình mặt cắt ướt (hình 3-5). Vận tốc trung bình của mặt cắt ướt v rất hay dùng trong khi nghiên cứu nhiều vấn đề thủy lực, vì vậy khái niệm này rất quan trọng. Các yếu tố thủy lực trình bày ở trên đều nói cho một mặt cắt, chúng thay đổi từ mặt cắt này sang mặt cắt khác, tức là thay đổi theo chiều dài dòng chảy. Như vậy chúng là hàm số của chiều chuyển động s. Do đó, bài toán nghiên cứu theo mẫu dòng nguyên tố trở thành bài toán một chiều. 3.2.2- ĐƢỜNG DÒNG, DÒNG NGUYÊN TỐ 1/- Đường dòng là đường cong trên đó véctơ vận tốc của mỗi điểm trùng với tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Đường dòng là đường bao các véctơ vận tốc dòng chảy và tiếp tuyến của nó trùng với véctơ vận tốc tại tiếp điểm. Từ ý nghĩa hình học của nó (tiếp tuyến ) tại một điểm trên đoạn đường dòng ds: 54 Hình 3-6 √  và trong trường hợp này (chuyển động dừng), vận tốc u = [ux,uy,uz] trùng phương với ⃗ dịch chuyển ds nên có thể viết được: ⃗ ⃗ | | Từ đó ta có: Tổng quát ta viết được phương trình vi phân đường dòng: ( ) ( ) ( ) (3-10) Nói cách khác, nếu qua quan sát biết được đường dòng và quỹ đạo là như nhau, có thể kết luận, đó là dòng ổn định, là dòng dừng. Từ định nghĩa suy ra: - Cách vẽ đường dòng là vẽ đường cong tiếp tuyến với các véc tơ vận tốc tại một thời điểm trong không gian như sau: Tại thời điểm t, phần tử chất lỏng M có tốc độ u biểu thị bằng véctơ ⃗ , cũng ở thời điểm đó, phần tử chất lỏng Mi ở sát cạnh phần tử M và nằm trên véctơ ⃗ có tốc độ ui và phần tử chất lỏng M1 ở sát cạnh phần tử M1 nằm trên véctơ ⃗ có tốc độ u2, cứ tiếp tục cách làm như trên ta có được những điểm M3, M4,... với những véctơ vận tốc ⃗ , ⃗ ... Đường cong C đi qua các điểm M, M1, M2, M3, M4,... Lấy những tốc độ ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ ,... làm tiếp tuyến, đó chính là một đường dòng ở thời điểm t (hình 3-7). Hình 3-7 55 Chú ý: Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một đường dòng, nghĩa là các đường dòng không cắt nhau. 2/- Quỹ đạo là kiến tạo hình học phát sinh bởi một phần tử chất lỏng cụ thể vạch ra khi chuyển động, chính là đường đi của một phần tử chất lỏng không gian Cần phân biệt quĩ đạo với đường dòng. Quỹ đạo đặc trưng cho sự biến thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo thời gian, còn đường dòng biểu diễn phương vận tốc của các phần tử chất lỏng tại một thời điểm. Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau. Do vận tốc có thể thay đổi đối với thời gian, nên khái niệm đường dòng có liên quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với những thời điểm khác nhau, có những đường dòng khác nhau. Do định nghĩa về đường dòng ta thấy hai đường dòng không thể giao nhau hoặc tiếp xúc nhau. Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian, nên đường dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử chất lỏng ấy. 3/- Đường vết là tuyến tập hợp các phần tử chất lỏng đi qua (đã và đang đi qua) cùng một điểm cố định trong không gian chất lỏng. Có thể nói, trong dòng chảy ổn định quỹ đạo, đường dòng và đường vết trùng nhau. Hình 3-8 mô tả gần đúng 3 kiến tạo nói trên qua một ví dụ cụ thể của dòng được đặc trưng bởi trường vận tốc đồng nhất với trị số vận tốc u = const nhưng hướng của nó thay đổi đều theo thời gian (tại mọi điểm véctơ vận tốc lớn như nhau nhưng quay tròn ngược chiều, kim đồng hồ). Hình 3-8 Các đường dòng tựa lên một vòng cong kín vô cùng nhỏ có tiết diện d ta được một ống dòng (nguyên tố). Ống dòng được tạo bởi tập hợp đường dòng đi qua một đường 56 khép kín. Do sự hình thành như thế của ống dòng nên không thể có phần tử chất lỏng nào xuyên qua ống dòng, cũng có nghĩa là không có sự trao đổi vật chất giữa chất lỏng chảy trong và ngoài ống dòng. Vì nếu không, vô hình chung có véctơ vận tốc không tiếp xúc với đường dòng, là điều trái với định nghĩa. Hình 3-9 4/- Dòng nguyên tố là dòng chảy trong ống dòng nguyên tố Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín, giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ d, tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên đường cong kín đó tạo thành mặt có dạng mặt ống (hình 3-9, 3-10a, 3-10b) gọi là ống dòng. Khối lượng chất lỏng chuyển động trong không gian, giới hạn bởi ống dòng gọi là dòng nguyên tố. Có thể hình dung dòng nguyên tố là tập hợp những đường dòng đi qua tất cả những điểm của diện tích d nói trên. Hình 3-10 Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn  bao gồm vô số diện tích d vô cùng nhỏ, và bằng cách nói trên để tạo nên vô số dòng nguyên tố; tập hợp những dòng nguyên tố đó là dòng chảy (hình 3-10c). Môi trường chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trường đó có coi là một dòng chảy. Đồng thời có thể nói, trong dòng không ổn định các khái niệm về các kiến tạo nói trên (đường dòng, quỹ đạo, đường vết, dòng nguyên tố) không còn mấy ý nghĩa và không có tính thực tiễn. 3.3- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC Phương trình liên tục của dòng chảy ổn định là phương trình cơ bản của động học chất lỏng. Điều kiện cơ bản đảm bảo sự tồn tại của một dòng chảy là tính liên tục của các đặc trưng dòng chảy theo tọa độ (vị trí) và theo thời gian. Nghĩa là khi chuyển động, chất 57 lỏng phải tuân thủ điều kiện liên tục, không gián đoạn (không hình thành những vùng không gian trống không mà không chứa chất lỏng); chất lỏng phải chuyển động trong các lòng dẫn, kênh tương ứng như là một môi trường liên tục, không có sự gián đoạn. Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thực toán học là phương trình liên tục. Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lượng: Khối lượng m của hệ cô lập không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động: dm = 0. 3.3.1- DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC (HAY LÀ DẠNG ƠLE) Căn cứ vào hình 3-11 dòng chảy được quan sát từ một hệ tọa độ cố định là Oxyz. Trong môi trường chất lỏng chuyển động ta tưởng tượng tách ra một phân tố hình hộp có thể tích V = dx.dy.dz, có các cạnh dx, dy, dz song song với các trục tọa độ tương ứng của hệ tọa độ. O’ là đỉnh tọa độ (x,y,z) của hình hộp này. Vận tốc thành phần của dòng chảy tại O’ lần luợt là ux, uy và uz. Hình 3-11 Theo định luật bảo toàn khối lượng: ( ) Ở đây:  = (x,y,z,t) khối lượng riêng của chất lỏng Lấy đạo hàm: (3-11) Ở đây: là vận tốc biến dạng tương đối của thể tích phân tố chất lỏng, được xác định như là tổng hợp của các biến dạng dài thành phần theo ba phương x, y, z. Xét theo động học ta thấy: Qua mặt bên 0’A’B’C’ diện tích dy.dz của hình hộp, theo phương x với thời gian dt, một khối lượng chất lỏng .ux.dydz.dt có vận tốc ux đi vào hình hộp. Qua mặt bên đối diện 0”A”B”C” có tọa độ (x + dx,y,z) một khối lượng chất lỏng với vận tốc ( ) ra khỏi hình hộp là: 58 ( ) * ( ( ) ) + Như vậy, trong khoảng thời gian dt lượng chất lỏng vào và ra chênh lệch nhau một lượng: * ( ) + ( ) Ở đây dấu ( - ) chỉ sự ngược hướng. Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hướng trục x một lượng tuyệt đối sau thời gian dt bằng: ( ) Tương tự như vậy đối với các hướng y và z (tức là đối với các cặp mặt A’A”0”0’B’B”C’’C và O’O’’C’’C’ - A’A”B”B’) có độ chênh lệch về thể tích chất lỏng tương ứng để tổng hợp cho toàn bộ hình hộp: Cho phương x: ( ) Cho phương y: ( ) Cho phương z: ( ) Từ đây chênh lệch giữa thể tích chất lỏng chảy vào và chảy ra đối với toàn hình hộp là: ( ) và Theo khối lượng ta có: * ( ) ( ) ( )+ (3-12a) Cách tiếp cận trên nặng về suy diễn toán học với giả thiết là trong không gian vô cùng bé nói chung “mọi thứ” đều tuyến tính. Song, nếu suy xét từ khía cạnh vật lý, có thể thấy: Sau khi chọn hệ trục tọa độ (tọa độ điểm gốc O’) thể tích hình hộp “cứng” (dx.dy.dz) là xác định, trị số của nó (không phụ thuộc vào thời gian) cũng xác định. Vì vậy, sự thay đổi của khối chất lỏng chỉ có thể xảy ra do mật độ thay đổi theo thời gian. Còn nếu không, chỉ có thể vì có sự gián đoạn nào đấy ở nội bộ khối chất lỏng trong hình hộp như: sôi, gây bọng hơi, hoặc lượng khí hòa tan giải phóng gây thiên tích..., điều đó trái với tính liên tục, không tồn tại trong điều kiện đang xét. Trong trường hợp coi nhiệt độ là không đổi, nói chung mật độ của chất lỏng phụ thuộc vào tọa độ và thời gian,  = (x,y,z,t). Vì đã chọn cách tiếp cận Ơle nên khi x, y, z đã xác định thì sự thay đổi của  chỉ có thể là do yếu tố thời gian. Bởi vậy, sự thay đổi của mật độ trong khoảng thời gian dt phải là ( ) kéo theo sự thay đổi khối lượng của khối chất lỏng (dx.dy.dz) là ( 59  ). Như ta đã biết, vật chất không sinh ra cũng không mất đi, vì thế, để bảo đảm tính liên tục kết quả của hai cách tiếp cận phải như nhau với lưu ý rằng nếu khối lượng ra lớn hơn khối lượng vào, trong thể tích (dx.dy.dz), khối chất lỏng phải “nhẹ” đi, tức là mật độ phải giảm. Hoặc ngược lại, nếu lượng ra nhỏ hơn lượng vào, khối chất lỏng “nặng” lên, trong thể tích (dx.dy.dz) mật độ phải tăng. Kết quả là: * ( ) ( ( ) )+ (3-12b) Chuyển vế và ước lược dx.dy.dz.dt: ( ) ( ( ) ) (3-12c) Trong cơ học chất lỏng và thủy lực người ta gọi phương trình này là phương trình liên tục, nó có giá trị đối với dòng chảy không ổn định hay ổn định của tất cả các loại chất lỏng, bất kể nén được hay không nén được. Đương nhiên với điều kiện nhiệt độ không đổi. - Nếu dòng chảy là ổn định, (3-12c) độc lập với thời gian, ( ( ⃗) với ) * ( ) ⃗ + [ ( ) , ta có: ( ⃗) hay ⃗ (3-12d) ] Ở đây: , , ⃗ là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục hệ tọa độ vuông góc Đềcác. - Nếu ở dòng chảy ổn định của chất lỏng không chịu nén, ta có:  ⃗ (3-12e) Ví dụ đối với dòng nguyên tố chảy ổn định của chất lỏng chịu nén: .u. Ở đây: = const  1.u1. 1 = 2.u2. 2 (3-12f) là tiết diện bất kỳ của dòng nguyên tố; u1; u2,1; 2 là tiết diện, vận tốc và mật độ tại mặt 1 và 2 (xem hình 3-12 cùng với vận tốc và mật độ tại các mặt cắt tương ứng). 1, 2, Đối với chất lỏng không chịu nén u. = const  u1. 1 = u 2. 2 Vậy Đó chính là phương trình liên tục dạng tổng quát. Có thể viết dưới dạng gọn hơn: ⃗ Hay là: ( ⃗) (3-13) Có thể chứng minh phương trình liên tục gọn hơn bằng các công thức và biến đổi tích phân. 60 Hình 3-12 3.3.2- ĐỐI VỚI DÕNG NGUYÊN TỐ VÀ TOÀN DÕNG CHẢY 1/- Đối với dòng nguyên tố Trước tiên ta xác lập phương trình liên tục của dòng nguyên tố chảy ổn định. Khảo sát đối với chất lỏng trong dòng nguyên tố giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 3-13). Giả thiết chuyển động dừng. Sau thời gian dt lượng chất lỏng ở trên dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt 11 và 2-2 có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi các mặt 1’-1’ và 2’-2’: - đi vào 1-1 (hay A-A): dm1 = 1.u1.d1.dt - đi ra 2-2 (hay B-B): dm2 = 2.u2.d2.dt Theo định luật bảo toàn khối lượng, lượng mất đi phải bằng lượng thêm vào: 1.u1.d1 = 2.u2.d2 Đối với chất lỏng không nén được: u1.d1 = u2.d2 = dQ = const (3-14) a) b) Hình 3-13 Chú ý trong phương trình (3-14) không có yếu tố lực nên nó dùng cho cả chất lỏng lý tưởng lẫn chất lỏng thực. 2/- Đối với toàn dòng Từ phương trình liên tục (3-14) của dòng nguyên tố ổn định, suy ra phương trình liên tục từ dòng chảy ổn định. 61 Tích phân phương trình (3-14) cho toàn mặt cắt  ta có: ∫ ∫ (3-15) Theo trình bày trên, có thể dựa vào vận tốc trung bình mặt cắt ướt v1 và v2 tương ứng với mặt cắt ướt 1 và 2. ∫ ∫ Như vậy phương trình (3-15) viết thành v1.1 = v2.2 Hay là: Q1 = Q2 = const (3-16) Đó là phương trình liên tục của dòng chảy ổn định của chất lỏng không nén được, nó dùng cho cả chất lỏng lý tưởng lẫn chất lỏng thực. Như vậy, trong dòng chảy ổn định của chất lỏng không nén được, lưu lượng qua các mặt cắt đều bằng nhau và viết được biểu thức. (3-17) Tức là dòng chảy ổn định, vận tốc trung bình tỉ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt. Ví dụ 1: Với lưu lượng 30 1/s nước chảy đầy qua một ống tròn có đường kính d1 = 20 cm, rồi sang một ống tròn khác d2 = 10 cm. Tìm tốc độ trung bình v của dòng chảy trong mỗi ống. Lưu lượng Q = 30 l/s = 0,03 m3/s. Vận tốc trong ống thứ nhất: Vận tốc trong ống thứ 2: 3.4- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƢỞNG - PHƯƠNG TRÌNH ƠLE THỦY ĐỘNG 3.4.1- PHƯƠNG TRÌNH ƠLE Tách trong dòng chảy một phần tử chất lỏng vô cùng bé dạng hình hộp vuông góc có các cạnh dx, dy, dz lần lượt song song với các trục x, y, z. Trong dòng chảy phần tử chất lỏng này chịu tác động của 3 lực: áp lực thủy động, lực khối và lực quán tính (vì muốn nhấn mạnh, ta không xếp lực quán tính chung với lực khối); trước mắt bỏ qua lực ma sát. Theo định luật thứ 2 của Newton ⃗ ⃗ , với khối lượng dm = .dV = .dx.dy.dz ta có phương trình cân bằng theo phương x: 62 (3-18a) Triển khai tương tự đối với các phương khác rồi tổng hợp lại ta được hệ: ( )  ( )  ( )  Ở đây: X, Y, Z là các hình chiếu lực khối (3-18) } lên trục tương ứng. Chi tiết hoá các thành phần gia tốc gồm gia tốc cục bộ và gia tốc trao đổi, được phương trình Ơle như sau: (3-19) } Do cách đặt vấn đề ban đầu đã bỏ qua ma sát nên đây là phương trình vi phân mô tả dòng chảy của chất lỏng chịu nén, không nhớt, chuyển động không ổn định với ràng buộc là nhiệt độ không thay đổi. Trong thực tiễn ràng buộc này chỉ có ý nghĩa đối với các chất khí vì trong quá trình chuyển động các chất khí thường thay đổi nhiệt độ. Theo đó, với chất lỏng lý tưởng ( = 0), biểu thức (3-19) được viết lại dưới dạng: ⃗ ⃗ (3-20) Đó chính là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng, hay còn gọi là phương trình Ơle động (Ơle tìm ra năm 1775). Nhận xét: Từ các phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng (3-20), ta rút ra những nhận xét sau: - Trong trường hợp chuyển động thẳng đều, vế trái của (3-20) sẽ triệt tiêu. Lúc này phương trình vi phân chuyển động giống như phương trình vi phân thủy tĩnh (Phương trình Ơle I). Ta có kết luận quan trọng liên quan đến việc lấy tích phân phương trình Ơle trong các bài toán kỹ thuật sau này: Sự phân bố áp suất trên tiết diện ướt của dòng chảy thẳng đều tuân theo quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh. 3.4.2- PHƯƠNG TRÌNH LAMB - GROMECO Từ phương trình Ơle động (3-20) biểu diễn chuyển động tổng quát của chất lỏng, để thấy rõ hơn những dạng chuyển động riêng biệt như chuyển động tịnh tiến, quay, biến dạng, Lamb - Gromeco đã biến đổi đưa về dạng: 63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3-21) } Hay viết gọn dưới dạng véctơ: ⃗ ( ⃗⃗⃗ ) ⃗ (3-21’) Ở đây: U là thể hiện lực khối; P là hàm áp suất; là hàm chuyển động xoáy. Đó là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng, kiểu phương trình Lamb - Gromeco. Các kết quả trên chưa thể dùng trực tiếp vì thực chất chúng còn dưới dạng phương trình vi phân. Vì vậy cần lấy tích phân chúng trong một số điều kiện cụ thể nhất định. 3.4.3- PHƢƠNG TRÌNH BECNULI Từ phương trình Lamb – Gromeco có thể thiết lập phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, chảy ổn định như sau. Trong thủy lực người ta thường xét chuyển động ổn định dọc theo đường dòng. Từ quan hệ trên đường dòng , ta có: uz.dx - ux.dz = 0; ux.dy - uy.dx = 0; uy.dz - uz.dy = 0 (a) Nhân các vế tương ứng của phương trình Lamb – Gromeko (3-21) với dx, dy, dz là các thành phần của nguyên tố đường dòng rồi cộng lại, được: ( ) ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) (b) Sắp xếp lại các số hạng ở dòng 2 của phương trình (b) bằng cách đặt các thành phần vận tốc quay làm thừa số chung, ta được đại lượng tương đương: ( ) ( ) ( ) vì các đại lượng trong ngoặc đơn đều triệt tiêu bởi điều kiện của đường dòng (a). Đồng thời còn thấy 3 số hạng cuối cùng của dòng thứ nhất của (b) là một vi phân toàn phần. Do đó, men theo đường dòng thì (b) có dạng: ( ) (3-22a) Nếu dòng là ổn định, các thành phần gia tốc cục bộ triệt tiêu nên: ( ) (3-22b) 64 Tích phân cả 2 vế, được kết quả dọc theo đường dòng là tích phân Becnuli (3-22c) Trong trọng trường nếu chất lỏng không chịu nén với lực khối chỉ là trọng lực thì: ∫ và U = g.z. Khi đó dọc theo đường dòng tổng số là không đổi: (3-23a) Đây là phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng. Đáng lưu ý, men theo dòng nguyên tố thì: ∫ (3-23b) Để nắm được bản chất vấn đề, bây giờ hãy phân tích ý nghĩa năng lượng của phương trình Becnuli: Dọc theo đường dòng, hay dòng nguyên tố, từ mặt 1 đến mặt 2 như hình 3-14, sự thay đổi động năng của một đơn vị khối lượng là ( là ( ) ; của một đơn vị trọng lượng: ) (do nhân tử số với g để được  nên mẫu số cũng phải thế); còn nếu tính cho ) [do m = 1 đơn vị khối lượng = .V  V = 1/  một đơn vị thể tích thì là ( (1u2/2)/V = (u2/2)/(1/) = .u2/2 ]. Tương tự, giữa điểm A của mặt 1 và điểm B của mặt 2, biến đổi thế năng vị trí của một đơn vị khối lượng bằng: (g.z1 – g.z2); của một đơn vị trọng lượng: (z1 - z2 ); của một đơn vị thể tích: (.g.z1 – .g.z2 ). Xét một phân tố chất lỏng, thấy áp lực thành bên do đối xứng và trực giao với đường dòng nên không sinh công cơ học. Hình 3-14 Trên hình 3-14, áp lực tại hai mặt 1 và 2 là P1 và P2 gây ra một lực  ( )   Ở đây: s là đoạn đường từ A đến B,  là tiết diện mặt 1 và 2; 65 V là thể tích của phân tố (lấy xấp xỉ) và lực này sản ra một công nguyên tố bằng: Ở đây: dp là biến thiên áp suất dọc theo đường dòng. Tính trên một đoạn đường dòng hữu hạn s: ∫ ( ∫ ) Công này nếu tính cho một đơn vị khối lượng thì: Nếu tính cho một đơn vị trọng lượng thì: thì: ; còn cho một đơn vị thể tích . Tóm lại, công sản ra khi có sự di chuyển của một đơn vị khối lượng hay một đơn vị trọng lượng hoặc một đơn vị thể tích là do có chênh áp, là công áp lực. Chất lỏng chuyển động dọc theo đường dòng, chuyển động không ma sát, vẫn tuân thủ nguyên lý bảo toàn năng lượng, nghĩa là: Sự biến đổi động năng và thế năng vị trí bằng công tương ứng do áp lực tạo nên trên đoạn đường xảy ra sự biến đổi đó. Do vậy, nếu tính năng lượng dự trữ cho một đơn vị khối lượng, ta có: ( ) (3-24a) Hoặc dọc theo đường dòng ta viết được phương trình  (3-24b) Ở đây: u - vận tốc dòng chảy; p - áp suất dòng chảy; z - khoảng cách đến mặt chuẩn tùy chọn tới điểm z bất kỳ nào của đường dòng. Tổng hợp lại, thể hiện qua phương trình Becnuli năng lượng dự trữ: - cho một đơn vị khối lượng: (3-24c) - cho một đơn vị trọng lượng: (3-24d) - cho một đơn vị thể tích: (3-24e) Cả 3 số hạng trong 3 dạng phương trình đều biểu thị cơ năng của dòng chảy nên có thể phát biểu như sau: Dọc theo đường dòng của chất lỏng không nhớt, không chịu nén, dự trữ cơ năng tính cho một đơn vị khối lượng hay một đơn vị trọng lượng hoặc một đơn vị thể tích có trị số không đổi. 66 Trong thủy lực người ta định nghĩa cột nước toàn phần của một đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động trong dòng chảy gồm 3 yếu tố: - Động năng - cột nước vận tốc; - Thế năng áp suất; - Thế năng vị trí (vị năng), hợp thành toàn bộ năng của dòng chảy thể hiện trên cột nước thủy tĩnh. Như vậy, có thể nói, dọc theo đường dòng đã chọn trong dòng chảy của chất lỏng không nhớt, không chịu nén, cột nước toàn phần (tổng của cột nước vận tốc và cột nước tĩnh) giữ nguyên trị số. Hình 3-15. Ý nghĩa hình học của phƣơng trình Becnuli Đường O' - O': đường cột nước toàn phần; Đường a-b-c-d-e-f: đường đo áp; Đường O - O: đường mặt chuẩn nằm ngang; z: chiều cao vị trí; đoạn b-c: biến thiên do ống thu hẹp dần; đoạn d-e: biến thiên do ống mở rộng dần 3.5- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG THỰC 3.5.1- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG VIẾT DƢỚI DẠNG ỨNG SUẤT Trong chuyển động của chất lỏng thực (có độ nhớt) trong chất lỏng, nội bộ cũng như ở biên tồn tại ứng suất, ứng suất đó được phân tích thành ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt mà nó tác động. Như đã chứng minh, trong dòng chảy như thế có thể xem xét 2 hệ ứng suất; + Ứng suất pháp là ứng suất đơn trị, có thể xác định tại bất kỳ điểm nào trong dòng chảy. 67 + Ứng suất bổ sung gồm 3 thành phần pháp và 3 thành phần tiếp tuyến. Hệ ứng suất này phụ thuộc vào vị trí của điểm đang khảo sát trong không gian dòng chảy, vào hướng đặt của mặt chịu lực mà trên đó ứng suất xuất hiện. Để thành lập được phương trình vi phân chuyển động, ta tiến hành giống như khi thành lập phương trình Ơle tĩnh. Trong môi trường chất lỏng thực ta tưởng tượng tách ra một phân tố chất lỏng dạng hình hộp có các cạnh là dx, dy và dz (hình 3-16). Hệ lực tác dụng lên phân tố chất lỏng cũng phân thành hai loại: - Lực khối bao gồm trọng lực và lực quán tính. ⃗ Lực quán tính d’Alembert: ⃗ và lực khối còn lại là: ⃗ - Lực mặt bao gồm áp lực và lực ma sát (lực nhớt). Trong chất lỏng thực chuyển động, áp suất thủy động vẫn hướng vào mặt tác dụng (giống như áp suất thủy tĩnh, chương 2), ký hiệu là p và thành phần ứng suất tiếp do lực nhớt gây ra, ký hiệu là . Chúng sinh ra các lực pháp tuyến ⃗ và lực tiếp tuyến ⃗ . Theo nguyên lý d’Alembert, ta có điều kiện cân bằng: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Xét hình chiếu các lực lên trục Ox gồm: Tổng lực pháp tuyến trên hai mặt trái và phải của phần tử do áp suất thủy động (thành phần ứng suất pháp) được tính bằng ứng suất pháp nhân với diện tích dy.dz: ( ) Ở đây: pxx - ứng suất pháp của mặt dydz (do áp suất sinh ra). Ta có tổng lực do ứng suất tiếp yx theo phương x trên hai mặt dxdz là: ( ) Ở đây: ứng suất tiếp yx trên mặt dzdx với ký hiệu: chỉ số y - chỉ trục vuông góc với mặt tác dụng; chỉ số x - chỉ trục song song với ứng suất . Tương ứng với ứng suất tiếp zx, ta có tổng lực do ứng suất tiếp theo phương x trên hai mặt dxdy: ( ) Lực quán tính của phần tử chất lỏng theo phương Ox là: Lực khối theo phương x: (m.F)x = .dx.dy.dz.X Tổng lực theo Ox: x = (m.F)x + Tx1 + Tx2 + Px + Fqt,x = 0 68 Hay là: ( ) Sau khi đơn giản cho .dx.dy.dz  0, ta được: ( ) Tương tự cho trục y và z, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } Hệ đầy đủ: (3-25) } (3-25) là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực dạng ứng suất. Hình 3-16 Từ phương trình (3-25), ta nhận thấy rằng số ẩn trong đó nhiều hơn số phương trình được lập nên. Vì vậy, ta cần phải tìm thêm các liên hệ phụ biểu diễn tương quan giữa các thành phần ứng suất tiếp. Hình 3-16’ 69 Xuất phát từ điều kiện cân bằng của phân tố chất lỏng, suy ra sự cân bằng mômen của hệ lực đối với các trục đi qua trọng tâm phân tố (hình 3-16’). Khi tiến hành các bước trên, ta được liên hệ phụ biểu diễn sự cân bằng đối xứng của các thành phần ứng suất tiếp, cụ thể là: xy = yx ; xz = zx ; zy = yz (3-26) Như vậy, chín thành phần ứng suất được đưa vào trong hệ phương trình (3-25) chỉ còn lại sáu thành phần độc lập. 3.5.2- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG VIẾT DƢỚI DẠNG PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Hai ông Navier (người Pháp) và Stokes (người Anh) đã viết hệ phương trình (325) dưới dạng khác, tiện sử dụng, dựa trên các giả thuyết cơ bản của Newton về lực nhớt trong dòng không gian và một số vấn đề liên quan đến tính chất của áp suất thủy động trong dòng chất lỏng thực. Phương trình đó được mang tên hai ông. 3.5.2.1- Tính chất của áp suất thủy động trong dòng chất lỏng thực Trong dòng chất lỏng thực, do ảnh hưởng của lực nhớt làm thay đổi tính chất của áp suất thủy động so với trường hợp tĩnh và trường hợp chất lỏng lý tưởng. Cụ thể là, áp suất thủy động tại một điểm trong dòng chất lỏng thực phụ thuộc vào hướng mặt tác dụng tại điểm đó, nghĩa là px  py  pz  pn (n - hướng pháp tuyến bất kỳ của một mặt tác dụng bất kỳ tại điểm cần tính áp suất thủy động). Tuy nhiên bằng phương pháp giải tích toán học họ đã chứng minh được tính chất quan trọng của các thành phần ứng suất tại một điểm là: Tổng ba giá trị thành phần của áp suất thủy động theo ba phương bất kỳ nhưng vuông góc với nhau là một đại lượng không đổi: px + py + pz = const Cũng có nghĩa là, áp suất thủy động p tại một điểm là trung bình cộng của các ứng suất pháp tuyến lên ba mặt vuông góc với nhau qua điểm đó: ( ) (3-27) Công thức trên có dấu trừ vì áp suất nén vào trong lòng chất lỏng còn ứng suất pháp có chiều dương là kéo giãn phần tử chất lỏng. Khi xét quan hệ giữa áp suất thủy động với tính nhớt vấn đề trở nên phức tạp hơn. Tính nhớt của chất lỏng đồng chất đã làm xuất hiện các ứng suất pháp bổ sung  theo ba phương: ⃗ ⃗ (3-28) ⃗ } 3.5.2.2- Mở rộng giả thuyết Newton về lực nhớt trong không gian 70 Theo Newton, ứng suất tiếp gây ra bởi lực nhớt tỷ lệ với các vận tốc biến dạng tương ứng. Đối với chuyển động một chiều: Trong không gian 3 chiều, giả thuyết Newton viết dưới dạng mở rộng: ( ) ( ) ( ) } (3-29) Thay các biểu thức (3-27) - (3-29) vào (3-25) và sau một số phép biến đổi phức tạp, với giả thiết độ nhớt không đổi ( = const) và sử dụng các ký hiệu để viết gọn, ta được phương trình Navier - Stokes:   ⃗   ⃗   ⃗ } (3-30) Phương trình này biểu diễn quy luật chuyển động của môi trường chất lỏng thực, viết dưới dạng ba hình chiếu. Hay viết dưới dạng véctơ: ⃗ ⃗  ⃗ Ở đây: - toán tử Laplas (  ( ⃗) (3-31) );  = / độ nhớt động học. Từ (3-31) ta có một số nhận xét sau: - Đối với chất lỏng không nén được:  = const  ⃗ nên phương trình (3-31) mất đi số hạng cuối cùng chỉ còn lại: ⃗ ⃗  ⃗ (3-32) Như vậy, hệ 3 phương trình theo 3 hình chiếu triển khai từ (3-32) và phương trình liên tục ⃗ đủ để xác định 4 ẩn: ux, uy, uz và p. 3.6- CÁC PHƢƠNG TRÌNH BECNULI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ 3.6.1- PHƢƠNG TRÌNH BECNULI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÝ TƢỞNG, CHẢY ỔN ĐỊNH 71 Để suy ra phương trình Becnuli, ta áp dụng định luật động năng; “Sự biến thiên động năng của một khối lượng nhất định khi nó di động trên một quảng đường, thì bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó, cũng trên quãng đường đó”. Hình 3-17 Trong dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng, ta lấy một dòng nguyên tố và xét một đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi những mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 3-17) có diện tích tương ứng d1 và d2. Ta lấy một mặt phẳng nằm ngang chứa trục Ox làm mặt phẳng chuẩn; mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở độ cao z1 đối với mặt chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p1, vận tốc là u1, mặt cắt 2-2 có những trị số tương ứng là z2, u2, và p2. Vì những mặt cắt 1-1 và 2-2 vô cùng nhỏ nên có thể giả thiết là những trị số u1, p1, và u2, p2 không đổi đối với bất kỳ điểm nào trên những mặt cắt tương ứng. Sau một thời gian vô cùng nhỏ t các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 1-1 đã di động sau một quãng đến vị trí 1’-1’, độ dài s1 của quãng đường đó bằng: s1 = u1. t. Cũng trong thời gian t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt 2-2 di động một quãng đến vị trí mới 2’-2’, độ dài s2 của quãng đường đó bằng: s2 = u2. t. Lưu lượng đi qua mặt ướt 1-1 và 2-2 bằng: dQ1 = u1.d1 = u2.d2 Không gian giữa 1-1 và 2’-2’ có thể chia làm 3 khu vực: a, b, c (hình 3-17). Trong thời gian t sự biến thiên động năng (đn) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng hiệu suất động năng của khu vực c và khu vực a, vì động năng của khu vực b không đổi: ( ) ( ) Ta tính đến công của các lực ngoài tác dụng lên khối lượng của đoạn dòng nguyên tố đang xét. Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động. 72 Công sinh ra bởi trọng lực C(trl) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng công của trọng lực khối chất lỏng khu vực a di chuyển một độ cao bằng z1 - z2 để đi tới khu vực c, tức là: C(trl) = .d1. s1.(z1 - z2) = .dQ. t.(z1 - z2) Áp lực thủy động tác dụng lên đoạn nguyên tố đang xét gồm lực: P1 = p1.d1 hướng thẳng góc vào mặt cắt 1-1; P2 = p2.d2 hướng thẳng góc vào mặt cắt 2-2; Các động lực bên hướng thẳng góc với phương chuyển động nên không sinh ra công. Công tính ra bởi áp lực P1 và P2 bằng: C(áp) = P1. s1 - P2. s2 = p1d.1. s1 - p2d.2. s2 C(áp) = p1d.1.u1. t - p2d.2.u2. t = dQ.(p1 - p2). t Theo định luật động năng, ta viết được: (đn) = C(trl) + C(áp) Tức là: ( ) ( ) ( ) Chia hai vế cho .dQ. t, tức là viết phương trình động năng cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng, ta có: Từ đó: (3-33) Vì các mặt 1-1 và 2-2 của dòng nguyên tố là tùy ý chọn, nên phương trình (3-33) có thể viết dưới dạng: (3-34) Phương trình (3-33) và (3-34) gọi là phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, chuyển động ổn định (có thể thiết lập phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng từ phương trình Lamb – Gromeco như nhận được ở biểu thức 3-23a). Phương trình này là một phương trình cơ bản của thủy lực, rất quan trọng. 3.6.2- PHƢƠNG TRÌNH BECNULI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG THỰC, CHẢY ỔN ĐỊNH Ở phần trước chúng ta đã có phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng (không nhớt) như là kết quả của tích phân đường, thực hiện trên một đoạn của một đường dòng nhất định. Điều đó cũng có nghĩa là nếu trên mặt cắt ngang của một ống dòng, tức là mặt cắt ướt, các đặc trưng của dòng chảy (áp suất, vận tốc,...) đều như nhau tại mọi điểm trong mặt cắt, thì phương trình đó có giá trị cho cả dòng. Đối với chất lỏng nhớt, trong chuyển động các lực sinh ra do tính nhớt đã gây ra công ma sát mà toàn bộ biến thành nhiệt năng không hoàn lại (quá trình không thuận nghịch). Đối với năng lượng của dòng chảy, đó là tổn thất. Điều này cũng được thể hiện một cách nhất quán trong 73 phương trình Naver-Stokes (số hạng cuối). Việc tích phân phương trình này dù là dọc theo đường dòng cũng gặp không ít khó khăn. Chỉ với những ràng buộc nhất định mới có thể đưa về trường hợp khả dĩ để có được phương trình Becnuli cho chất lỏng thực, chất lỏng nhớt. Các ràng buộc đó là: - Chuyển động là ổn định; - Phân bố áp suất trên các mặt cắt tuân theo quy luật thủy tĩnh và vận tốc tại mọi điểm trên cùng một mặt cắt là như nhau; - Không có sự trao đổi nhiệt năng và cơ năng với môi trường bên ngoài. Theo cơ học, năng lượng tính cho một đơn vị khối lượng, một đơn vị trọng lượng hay một đơn vị thể tích của chất lỏng bằng tổng các năng lượng cơ học của khối chất lỏng đó. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì ở trường hợp đang xét tổng năng lượng này không đổi, nó giữ nguyên trị số. Dọc theo dòng chảy từ mặt cắt này sang mặt cắt kia xảy ra quá trình biến đổi không đảo ngược từ cơ năng sang nhiệt năng. Do vậy, nếu không được bổ sung từ bên ngoài, cơ năng của dòng chảy sẽ giảm dần từ mặt cắt này sang mặt cắt kia, theo chiều dòng chảy. Công do lực nhớt gây ra của một đơn vị khối lượng, trọng lượng hay thể tích giữa 2 mặt cắt được gọi là tổn thất thủy lực. Nếu tính cho một đơn vị trọng lượng thì gọi là tổn thất cột nước (nếu chất lỏng là nước). Theo đó, chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong làm cản trở chuyển động. Muốn khắc phục sức cản đó, chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng biến thành nhiệt năng mất đi không lấy được. Vì vậy, đối với chất lỏng thực thì , năng lượng giảm dọc theo chiều chảy. Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì: Ký hiệu là phần năng lượng bị tiêu hao trọng lượng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1-1 và 2-2 sẽ là: (3-35) Số hạng gọi là tổn thất năng lượng đơn vị của dòng nguyên tố, hay còn gọi là tổn thất cột nước của dòng nguyên tố. Nếu ta gọi , thì bất kỳ một mặt cắt 2-2 nào sau mặt cắt 1-1, ta đều có: (3-35’) Phương trình (3-35’) cũng là một dạng của phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. 74 3.7- Ý NGHĨA NĂNG LƢỢNG VÀ THỦY LỰC CỦA PHƢƠNG TRÌNH BECNULI VIẾT CHO DÒNG NGUYÊN TỐ CHẢY ỔN ĐỊNH l. Ý nghĩa năng lƣợng của ba số hạng trong phƣơng trình Becnuli Trong phương trình Becnuli các số hạng đều là viết đối với đơn vị trọng lượng chất lỏng; ý nghĩa năng lượng của 2 số hạng đầu z và đã giải thích ở phần thủy tĩnh học; z là năng đơn vị; là áp năng đơn vị. Tổng số ( ) đại lượng thế năng đơn vị. Còn số hạng thứ ba ( ) từ quá trình suy diễn phương trình Becnuli bằng định luật động năng, ta thấy rằng chính là động năng của môt đơn vị trọng lượng chất lỏng, gọi tắt là động năng đơn vị. trong phương trình Becnuli biểu thị tổng cơ Tổng số của ba số hạng năng của một đơn vị trọng lượng, tức là tổng số của thế năng đơn vị và động năng đơn vị. Tổng cơ năng đối với một chuẩn chọn trước của một đơn vị trọng lượng chất lỏng của dòng nguyên tố, gọi là cơ năng đơn vị của dòng nguyên tố. Do đó, phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng nói rằng trên tất cả các mặt cắt ướt của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, cơ năng đơn vị của chất lỏng là một hằng số. Còn đối với dòng nguyên tố chất lỏng thực thì phương trình Becnuli (3-35) nói rằng cơ năng đơn vị của dòng nguyên tố giảm đi dọc theo phương chảy. Như vậy ý nghĩa của phương trình Becnuli về phương diện vật lý là một cách biểu đạt định luật bảo toàn năng lượng trong thiên nhiên do Lômôxốp đề ra. 2. Ý nghĩa thủy lực của ba số hạng trong phƣơng trình Becnuli Trong phương bình Becnuli, số hạng thứ nhất là z là độ cao của trọng tâm mặt cắt ướt nguyên tố đối với một mặt chuẩn có thứ nguyên là độ dài; số hạng này còn gọi là độ cao hình học hoặc cột nước vị trí. Số hạng thứ hai , như ta đã biết ở thủy tĩnh học, cũng có thứ nguyên là độ dài, nếu ta có thể cùng bớt đi trọng lượng ở hai vế của phương trình Becnuli thì phương trình vẫn đúng; như vậy trong phương trình Becnuli đã có thể dùng độ cao áp suất tuyệt đối hoặc độ cao áp suất dư. Vậy số hạng thứ hai đại biểu cho độ cao áp suất của mặt cắt ướt nguyên tố, thường gọi là cột nước áp suất. Số hạng thứ ba của phương trình cũng có thứ nguyên là độ dài; nó đại biểu cho độ cao mà ta đã thấy trong vật lý: đó là độ cao đạt được khi ta ném một vật theo đường thẳng đứng từ dưới lên trên với tốc độ ban đầu là u, không có trở lực gì của bên ngoài đối với sự chuyển động của vật ( ) , số hạng ( ) gọi là cột nước vận tốc. 75 Vậy phương trình Becnuli viết cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng (3-34) có thể diễn đạt như sau: Đối với mỗi đơn vị trọng lượng chất lỏng, trên một dòng nguyên tố đã biết, tổng số ba cột nước: cột nước vị trí, cột nước áp lực và cột nước vận tốc là một hằng số. Vì các số hạng của phương trình Becnuli đều có đơn vị là độ cao, nên có thể dùng hình vẽ để phản ảnh sự biến thiên của các cột nước dọc theo dòng chảy, vẽ theo tỉ lệ xích định trước. Giả sử có một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng (hình 3-18) trên đó lấy hai mặt cắt ướt 1-1 và 2-2, trọng tâm của hai mặt cắt là A và B ở độ cao z1 và z2 đối với mặt chuẩn 0-0. tại điểm A của mặt cắt ướt 1-1 ta vẽ đoạn AA1 thẳng đứng, đại biểu cho cột áp suất ; tại điểm A1, ta thêm vào một đoạn thẳng đứng A1A2 đại biểu cho cột nước vận tốc . Ta cũng làm tương tự như vậy cho điểm B ở mặt cắt 2-2. Vì tổng số ( ) tại bất kỳ mặt cắt ướt nguyên tố nào trên cùng một dòng nguyên tố là một hằng số, nên những đỉnh A2, B2,... của tổng số những đoạn thẳng đều cùng ở trên một đường thẳng nằm ngang cách mặt chuẩn một đoạn không đổi H. Đường thẳng đó gọi là đường tổng cột nước, biểu diễn sự biến thiên của tỉ năng dòng chảy nên còn gọi là đường năng. Độ cao H kể từ mặt chuẩn gọi là cột nước động lực của dòng chảy, hoặc là tổng cột nước. Hình 3-18 Đường đi qua các đỉnh đoạn của các mặt cắt trên một dòng nguyên tố gọi là các đường cột nước đo áp hoặc là đường thế năng. Chú ý rằng cột nước áp suất, như đã định nghĩa, biểu thị bởi thực chất là áp năng; còn cột nước đo áp biểu thị bởi ( ) thực chất là thế năng. Hình dạng của đường cột nước đo áp quyết định bởi hình dạng của dòng nguyên tố. Tại nơi mà dòng mở rộng ra, vận tốc giảm, nên đường cột nước đo áp 76 hướng lên trên. Tại nơi mà dòng thu hẹp lại, vận tốc tăng lên thì đường cột nước đo áp lại thấp xuống, do đó đường cột nước do áp có thể nằm ngang, lên cao hoặc xuống thấp, tức là có thể đường thẳng, đường cong tùy theo hình dạng của dòng nguyên tố. Ở những bài toán về dòng chảy, trong đó cột nước vị trí z không đổi dọc theo dòng nguyên tố, căn cứ vào phương trình Becnuli (3-33) và (3-34), ta thấy: Từ đó suy ra được rằng: ở nơi nào vận tốc nhỏ thì áp suất thủy động lớn, ở nơi nào vận tốc lớn thì áp suất thủy động nhỏ. Đối với phương trình Becnuli viết cho dòng nguyên tố chất lỏng thực (3-35), vì tính năng của dòng nguyên tố giảm đi theo chiều chảy nên đường tổng cột nước không thể nằm ngang được, mà chỉ có thể thấp dần mà thôi; nó có thể là một đường thẳng hoặc cong vì trị số có thể tăng đều hoặc không đều dọc theo chiều chảy. 3.8- ĐỘ DỐC THỦY LỰC VÀ ĐỘ DỐC ĐO ÁP CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ 3.8.1- ĐỘ DỐC THỦY LỰC Độ dốc thủy lực là tỷ số hạ thấp của đường tổng cột nước (tức là đường năng) đối với độ dài của đoạn dòng nguyên tố, trên đó thực hiện độ hạ thấp, thường dùng ký hiệu J, đại biểu độ dốc thủy lực của dạng nguyên tố. Trong trường hợp tổng quát, khi đường cột nước là đường cong (hình 3-19) thì các độ dốc ở các mặt cắt ướt không bằng nhau. Khi đó thường dùng đạo hàm để biểu thị độ dốc thủy lực ở từng mặt cắt: Hình 3-19 Hình 3-20 ( ) (3-36) Ở đây: H - tổng cộng cột nước; l- độ dài của đoạn dòng nguyên tố. Độ dốc thủy lực phải là trị số dương, nên đằng trước đạo hàm phải đặt dấu âm, vì dọc theo chiều chảy số gia (dH) bao giờ cũng âm. Khi đường tổng cột nước là một đường thẳng (hình 3-20) thì độ dốc thủy lực là: 77 (3-37) 3.8.2- ĐỘ DỐC ĐO ÁP Độ dốc đường đo áp (tức độ dốc đường thế năng) là tỷ số độ thấp xuống hoặc lên cao của đường đo áp đối với độ dài của dòng nguyên tố trên đó thực hiện sự hạ thấp hoặc nâng cao đó. Độ dốc đường đo áp của dòng nguyên tố ký hiệu bằng ( : ) (3-38) Dấu  biểu thị số gia của cột nước đo áp dọc theo dòng chảy, có thể là dương hoặc âm. Trong trường hợp đặc biệt, khi diện tích của mặt cắt ướt d = const, tức là vận tốc u và cột nước vận tốc không đổi dọc theo dòng chảy tức là dòng chảy thẳng, thì độ dốc thủy lực và độ dốc đường cột nước đo áp bằng nhau . 3.9- PHƢƠNG TRÌNH BECNULI CỦA TOÀN DÒNG (Có kích thƣớc hữu hạn) CHẤT LỎNG THỰC, CHẢY ỔN ĐỊNH Như đã nói ở trên, trong môi trường chất lỏng liên tục, chất lỏng chuyển động có kích thước hữu hạn có thể coi là tổng hợp vô số dòng nguyên tố. Để giải quyết các vấn đề thực tế, cần phải mở rộng phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định ra cho toàn dòng có kích thước hữu hạn. Trên cùng một mặt cắt  của dòng chảy, vận tốc và áp suất thủy động p thường phân bố khác nhau ở các dòng nguyên tố khác nhau, quy luật phân bố thường cũng không biết; vì vậy phương trình Becnuli cho toàn dòng chảy cũng chỉ tiến hành được trong những điều kiện nhất định của dòng chảy. Điều kiện đó là dòng chảy phải đổi dần, chứ không đổi đột ngột. Hình 3-21 Hình 3-22 Dòng chảy đổi dần là dòng chảy ổn định, có các đường dòng gần là đường thẳng song song, nghĩa là: 1. Góc giữa các đường dòng rất nhỏ. 2. Bán kính cong r của đường dòng khá lớn (hình 3-21). 78 Dòng chảy như vậy có đầy đủ điều kiện cho phép ta không tính đến lực quán tính (sinh ra bởi độ cong của đường dòng) tương đối nhỏ. Mặt cắt ướt của dòng chảy đổi dần được coi là mặt phẳng. Cùng một dòng chảy có thể có những mặt cắt ướt ở đó sự chuyển động là đổi dần; đồng thời có những mặt cắt ướt ở đó sự chuyển động là đổi đột ngột (hình 3-22). Tại những mặt cắt ướt mà dòng chảy là đổi dần, tức là ở đó, lực quán tính không đáng kể mà chỉ có tác dụng của trọng lực là lực khối lượng độc nhất, thì áp lực thủy động không có thành phần tiếp tuyến (vì mặt cắt ướt được coi là phẳng và thẳng góc với đường dòng), tức là sự phân bố áp lực thủy động hoàn toàn giống như sự phân bố áp lực thủy tĩnh. Như vậy, theo công thức cơ bản của thủy tĩnh, ta có: với z và p ứng với từng vị trí trên mặt cắt ướt (hình 3-23). Trên hình 3-23, những mặt ướt 1-1 và 2-2 là những mặt, tại đó dòng chảy đổi dần; đối với những điểm trên cùng mặt cắt ướt 1-1, cột nước đo áp đều bằng nhau. Đối với những điểm trên mặt cắt ướt 2-2, cột nước đo áp đều bằng nhau: Cột nước đo áp ở những mặt cắt khác nhau có trị số khác nhau: Hình 3-23 Hình 3-24 Dựa vào khái niệm về dòng chảy đổi dần và khái niệm về vận tốc trung bình mặt cắt ướt v, ta có thể đi từ phương trình Becnuli của dòng nguyên tố suy diễn phương trình Becnuli của toàn dòng. Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn định, nó gồm vô số dòng nguyên tố (hình 3-24). Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích d, ta lấy l dòng 79 nguyên tố tùy ý; theo (3-35), có thể viết phương trình Becnuli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. Gọi lưu lượng dòng nguyên tố là dQ, trọng lượng tương ứng là .dQ. Muốn viết biểu thức năng lượng của toàn dòng thì phải nhân các số hạng của phương trình Becnuli (3-35) với .dQ, sau đó tích phân đối với toàn mặt cắt 1 và 2: ∫ ( ) ∫ ( ∫ ) ∫ ∫ Như vậy ta phải giải quyết 3 dạng tích phân sau đây: ∫ ( ) ;∫ Tích phân thứ nhất ∫ | và ∫ | biểu thị tổng thể năng của chất lỏng tại mặt cắt ướt. Để tích phân được, ta phải giả sử là có dòng chảy đổi dần tại mặt cắt ướt mà ta muốn tích phân; vì như trên đã nói, khi dòng chảy là đổi dần tại mặt cắt đang xét, thì trị số ( ) trên mặt cắt ướt đó là một hằng số, do đó ta có: ∫ ( ) ( ) Tích phân thứ hai ∫ ∫ ( ) (3-39) biểu thị tổng động năng của chất lỏng tại mặt cắt ướt. Ở đây dùng đến khái niệm vận tốc trung bình v để tính tích phân này. Vận tốc điểm u của mỗi phần tử chất lỏng trên mặt cắt ướt so với vận tốc trung bình khác nhau một trị số  u. Vậy: v = u  u ; do dQ = u.d ∫ Nên: ( Vì ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ [ ) ] là một đại lượng vô cùng nhỏ bậc cao bên cạnh những đại lượng vô cùng nhỏ bậc thấp hơn nên có thể bỏ đi không tính, còn số hạng ∫ thì ta sẽ chứng minh nó bằng không. Thực vậy căn cứ vào: ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) Rõ ràng ta thấy: ∫ ( ) Như thế ta có: 80 ∫ [ ∫ ∫ ( * ( ) ∫ ( Đặt ) ] ∫ ( ∫ + * ∫ ( ) ) + ) (3-40) (3-41) Ta có: ∫ (3-42) Hoặc từ (3-21): ∫ ∫ (3-43) Biểu thức (3-42) là tích phân động năng, trong đó ta dùng vận tốc trung bình v và đưa vào hệ số  là tỷ số của động năng thực của dòng chảy đối với động năng tính bằng vận tốc trung bình. Như vậy, nguyên do có hệ số  là sự phân bố vận tốc không đều trên mặt cắt ướt. Sự không đều đó càng lớn thì trị số  càng lớn. Từ (3-42), ta thấy được rằng hệ số  bao giờ cũng lớn hơn 1. Khi nước chảy trong ống hoặc kênh, máng,  thường bằng (1,051,10). Hệ số  thường gọi là hệ số hiệu chỉnh động năng, hoặc là hệ số cột nước vận tốc (còn gọi là hệ số Côriôlit) Tích phân thứ ba ∫ biểu thị tổng số tổn thất năng lượng của các dòng nguyên tố trong toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2. Gọi hw là tổn thất năng lượng trung bình của một đơn vị trọng lượng hoặc nói gọi là tổn thất cột nước trong đoạn dòng đó, ta có: ∫ (3-44) Căn cứ vào kết quả của ba tích phân trên, ta viết được biểu thức (3-17) dưới dạng ( ) ( ) (3-45) Viết phương trình (3-45) cho một đơn vị trọng lượng, tức là chia các số hạng cho .Q, ta được: (3-46) Đó là phương trình Becnuli của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng thực, nó là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng nhất của thủy lực học. Muốn vận dụng đúng đắn phương trình này cần phải nắm vững những điểm sau đây: 1/. Phương trình Becnuli của toàn dòng chỉ dùng cho dòng chảy nào thỏa mãn 5 điều kiện sau đây: Dòng chảy ổn định; lực khối lượng chỉ là trọng lực; chất lỏng không nén được; lưu lượng không có sự thêm bớt dọc theo dòng chảy tức là có trị số không đổi, đồng thời tại mặt cắt mà ta chọn, dòng chảy phải là đổi dần, còn dòng chảy giữa 2 mặt cắt đó không nhất thiết phải là chảy đổi dần. 81 2/. Vị trí số ( ) là giống nhau cho mọi điểm trên cùng một mặt cắt nên khi viết phương trình Becnuli có thể tùy ý chọn điểm nào trên mặt cắt cũng được. Như vậy không yêu cầu hai điểm dùng để viết phương trình Becnuli ở hai mặt cắt phải cùng ở tâm mặt cắt. 3/. Áp suất p1 và p2 là động áp suất tại điểm chọn ở hai mặt cắt. Trị số đó thường có ý nghĩa là áp suất tuyệt đối, nhưng nếu ta bớt đi trị số pa (áp suất không khí) ở hai vế của phương trình Becnuli, thì ta còn động áp suất và có thể mang cột nước áp suất dư và thay cho cột nước áp suất tuyệt đối và . 4/. Một cách chặt chẽ thì 1  2 nhưng trong thực tế tính toán thường chúng bằng nhau 1  2 . Chú ý rằng trong phương trình Becnuli, sáu số hạng đầu thuộc về hai mặt cắt ướt đang xét, còn số hạng thứ bảy hw thì về đoạn dòng giới hạn bởi mặt cắt ướt nói trên. Độ dốc thủy lực của toàn dòng chảy, tức là độ dốc đường thế năng, biểu thị bằng Jp, có ý nghĩa hoàn toàn giống như ý nghĩa của độ dốc thủy lực và dốc đo áp của dòng nguyên tố chất lỏng thực (hình 3-24). Độ dốc thủy lực J viết như sau: ( ) (3-47) Khi đường tổng cột nước là đường thẳng thì: ( ) ( ) (3-48) Độ dốc do áp Jp viết như sau: ( ) (3-49) Khi đường cột nước đo áp là đường thẳng thì: ( ) ( ) (3-50) 3.10- ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH BECNULI TRONG VIỆC ĐO VẬN TỐC VÀ LƢU LƢỢNG Ứng dụng phương trình Becnuli ta có thể giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế. Ở đây chỉ trình bày nguyên tắc vận dụng phương trình Becnuli để làm các dụng cụ đo vận tốc và lưu lượng. 1. Ống Pitô là một dụng cụ đo vận tốc điểm, gồm ống nhỏ đường kính chừng vài milimét: một ống thẳng A (ống đo áp) một ống B đầu uốn cong 900; hai miệng ống đặt sát nhau (hình 3-25a). Khi muốn đo vận tốc ở điểm nào, ta đặt các miệng ống vào điểm đó, sao cho hướng dòng chảy song song với miệng ống A và thẳng góc với miệng ống B. Chất lỏng sẽ dâng lên trong hai ống, sau khi mực nước tương đối ổn định, ta đọc trị số độ chênh h giữa hai mực nước, tính vận tốc điểm theo công thức √ . 82 Hình 3-25 Ta chứng minh công thức này: Nếu ta viết phương trình Becnuli cho mặt cắt 1-1 (qua ống A) và mặt cắt 2-2 (qua miệng ống B) với mặt chuẩn đi qua điểm đó, ta có: z1 = z2 = 0; u2 = 0 bỏ qua hw vì mặt cắt 1-1 và 2-2 rất gần nhau. Do đó: √ √ Để tính đến độ nhớt chất lỏng và sự phá hoại cấu tạo dòng chảy khi đặt ống Pitô, cần thêm vào công thức trên hệ số hiệu chỉnh - xác định bằng thí nghiệm. Khi đo vận tốc u được xác định: √ (3-51) 2. Ống Venturi là một dụng cụ đo lưu lượng gồm 2 đoạn ống ngắn có đường kính khác nhau, ở mỗi đoạn có lắp ống đo áp (hình 3-25b). Muốn đo lưu lượng dòng chảy trong ống, ta lắp ống Venturi vào giữa đường ống (hình 3-25b); sau khi dòng chảy ổn định, ta đo độ chênh mực nước h giữa hai ống đo áp của ống Venturi, ta có lưu lượng Q tính theo công thức: √ Với √( ) (3-52) (3-53) D, d là đường kính tại hai mặt cắt lớn và nhỏ của ống Venturi. Muốn chứng minh công thức trên, ta viết phương trình Becnuli cho mặt cắt 1-1 và 2-2. Mặt chuẩn trùng với trục ống. Nếu bỏ qua hw, ta có: Với 1 = 2 = 1; sau khi biến đổi ta có: (3-54) 83 Theo phương trình liên tục: v1.1 = v2.2, ta viết được: ( ) ( ) Theo phương trình (3-54), ta có: [( ) hay là: √( ] ) Ta tính dnợc Q theo: √( ) √ √ Ở đây: K rõ ràng có trị số như ở (3-53) Thực ra giữa đoạn 1-1 và 2-2 có tổn thất hw, nên tính Q theo (3-52) ta có trị số lớn hơn lưu lượng thực. Để điều chỉnh sự sai lệch đó, sau khi sản xuất, người ta đo lưu lượng thực chảy qua ống (bằng các phương pháp chính xác khác) rồi so với lưu lượng tính theo công thức (3-52), do đó xác định được hệ số hiệu chỉnh . Ở đây: Qđ - lưu lượng thực đo; Q1 - lưu lượng tính theo công thức (3-32). Công thức tính Q sẽ là √ Chú ý  luôn nhỏ hơn 1. 3.11- PHÂN LOẠI DÒNG CHẢY Dòng chảy có thể phân loại theo nhiều cách. Căn cứ vào các yếu tố chuyển động có biến đổi theo thời gian hay không, như đã biết, ta chia làm chuyển động ổn định và không ổn định. Sau đây ta chỉ phân loại dòng chảy ổn định. 1. Dòng chảy không đều và dòng chảy đều Dòng chảy không đều là dòng chảy có các đường dòng không phải những đường thẳng song song. Như vậy những dòng nguyên tố của dòng chảy không đều cũng không phải là đường thẳng song song. Chú ý rằng dọc theo dòng chảy không đều; mặt cắt ướt, vận tốc điểm tương ứng (tức là vận tốc điểm của các phần tử chất lỏng ở trên một đường dòng) đều thay đổi. Ví dụ: Dòng chảy trong ống hình nón cụt, trong ống tròn tại nơi uốn cong, trong máng có bề rộng đáy thay đổi, v.v... Dòng chảy đều là dòng chảy có các đường dòng là những đường thẳng song song. Như vậy, những dòng nguyên tố của dòng chảy đều là những đường thẳng song song. Chú ý rằng dọc theo dòng chảy đều: hình dạng, diện tích mặt cắt, sự phân bố vận tốc 84 điểm tương ứng như nhau, không đổi dọc theo dòng chảy. Ví dụ: Dòng chảy đầy ống trong những ống thẳng v.v... 2. Dòng chảy có áp, không áp, dòng tia Dòng chảy có áp là dòng chảy mà chu vi của các mặt cắt ướt hoàn toàn là những thành rắn cố định. Đặc điểm của dòng chảy có áp là lại tất cả các điểm của mặt cắt ướt, áp suất thủy động nói chung không bằng áp suất không khí. Ví dụ dòng chảy đầy trong ống dẫn nước là dòng chảy có áp. Dòng chảy không áp là chảy mà chu vi của các mặt cắt ướt có bộ phận là thành rắn cố định, có bộ phận là mặt tự do tiếp xúc với không khí, chú ý rằng mặt tự do là một mặt đẳng áp, vì áp suất trên mặt tự do đều bằng nhau. Dòng chảy trong sông, trong kênh là dòng chảy không áp. Nếu toàn bộ chu vi của mặt cắt ướt không tiếp xúc với thành rắn mà đều tiếp xúc với không khí hoặc với chất lỏng thì dòng chảy gọi là dòng tia. 3. Dòng chảy đổi dần và dòng chảy đổi đột ngột Dòng chảy đổi dần: như đã định nghĩa trong khi suy diễn phương trình Becnuli cho toàn dòng (3-46) là dòng chảy có các đường dòng gần là những đường thẳng song song. Ta biết rằng đặc điểm của mặt cắt có dòng chảy đổi dần là trên mặt cắt lực quán tính coi như không có, do đó sự phân bố áp suất coi như theo quy luật thủy tĩnh. Dòng chảy đột ngột, là dòng chảy mà các đường dòng không thể được coi như những đường thẳng song song. Đặc điểm của những mặt cắt có dòng chảy đổi đột ngột là trên các mặt cắt đó có tác dụng của lực quán tính đáng kể, do đó sự phân bố áp suất không tuân theo quy luật thủy tĩnh. Một dòng chảy có thể đồng thời mang nhiều tính chất nói trong sự phân loại trên. Ví dụ dòng chảy có thể là ổn định, không áp, đổi dần. Việc nghiên cứu vừa trình bày ở trên dựa vào mẫu dòng chảy bao gồm vô số dòng nguyên tố giúp ta đạt được những công thức đặt mối quan hệ giữa các yếu tố thủy lực của những mặt cắt ướt, rất tiện cho việc tính toán thực tế. 85 Chƣơng 4 TỔN THẤT THỦY LỰC 4.1- CÁC DẠNG TỔN THẤT CỘT NƢỚC Trong phương bình Becnuli viết cho toàn dòng chảy thực (3-46), số hạng hw là năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng bị tổn thất để khắc phục sức cản của dòng chảy trong đoạn dòng đang xét. hw còn được gọi là tổn thất cột nước. Để tiện việc nghiên cứu, ta chia tổn thất cột nước làm 2 dạng: Tổn thất dọc đường (hd) sinh ra trên toàn bộ bề dài dòng chảy, ví dụ: tổn thất trong ống thẳng dẫn nước. Tổn thất cục bộ (hc) sinh ra tại những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị biến dạng đột ngột; ví dụ: tổn thất tại nơi ống uốn cong, ống mở rộng, nơi có đặt khóa nước v.v... Nguyên nhân của tổn thất cột nước dù là dưới dạng nào, cũng do ma sát giữa các phần tử chất lỏng (ma sát trong sinh ra). Công tạo nên bởi lực ma sát này biến thành nhiệt năng mất đi không thể lấy lại cho dòng chảy, với giả thiết là các dạng tổn thất trên xảy ra độc lập với nhau, thì tổn thất năng lượng hw của dòng chảy có thể viết như sau: hw = hd + hc (4-1) Ở đây: hd - tổng cộng các tổn thất dọc đường của dòng chảy; hc - tổng cộng các tổn thất cục bộ của dòng chảy. 4.2- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA DÕNG CHẤT LỎNG CHẢY ĐỀU Trong dòng chảy đều có áp hoặc không áp (dòng chảy đầy ống hoặc ở kênh hở), ta lấy một đoạn dòng dài l giới hạn bởi những mặt cắt ướt 1-1 và 2-2 (hình 4-1a,b), có hướng chảy lập với phương thẳng đứng một góc bằng . Hình 4-1 Gọi  là diện tích mặt cắt, trong dòng chảy đều  = const dọc theo dòng chảy. Độ cao của những trọng tâm của các mặt cắt 1-1 và 2-2 đối với mặt chuẩn nằm ngang 0-0 là 86 z1 và z2, áp suất thủy động tại những tâm ấy là p1 và p2. Trong dòng chảy đều áp suất thủy động trên mặt cắt ướt phân bố theo quy luật thủy tĩnh. Trong ống (tức là dòng chảy có áp) thì áp suất tại trọng tâm có thể biểu thị bằng cột nước áp suất: và kể từ trọng tâm mặt cắt, còn trong kênh hở (tức là dòng chảy không áp) thì áp suất tại trọng tâm đo bởi độ ngập sâu của trọng tâm. Ta gọi 0 là ứng suất tiếp tuyến biểu thị sự ma sát trên đơn vị diện tích của mặt thành ống hoặc kênh. Các ngoại lực tác dụng lên đoạn dòng chảy đều, chiếu theo phương của trục dòng là: 1. Lực khối lƣợng Ở đây lực khối lượng duy nhất là trọng lực G = ..l, có điểm đặt tại trọng tâm đoạn dòng; hình chiếu của nó lên trục chảy là: G.cos = ..l.cos. Trong dòng chảy đều không có gia tốc a; do đó, lực quán tính bằng không. 2. Lực mặt a) Có áp lực động P1 = p1.1 và P2 = p2.2 tác dụng thẳng góc với mặt cắt ướt. Những lực này song song với phương của trục dòng và hướng vào nội bộ đoạn dòng, còn các áp lực thủy động tác dụng lên mặt bên của đoạn dòng đều thẳng góc với trục dòng: do đó hình chiếu lên trục dòng bằng không. b) Ngoài ra, ở mặt bên của đoạn dòng đang xét còn sức ma sát đặt ngược chiều chảy, bằng tích số của ứng suất tiếp tuyến 0 với diện tích mặt bên; 0..l (trong đó  là chu vi ướt). Vì là chảy đều, tức chuyển động không gia tốc nên tổng số hình chiếu các lực trên phương trục đứng, bằng không: p1. - p2. - 0..l + ..l.cos = 0 (4-2) Trên hình 4-1 ta thấy: (4-3) Sau khi thay cos bằng các giá trị số ở (4-3), ta chia các số hạng của phương trình (4-2) cho trọng lượng G = ..l thì được: ( ) ( )   (4-4) Mặt khác, ta viết phương trình Becnuli cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2: Trong trường hợp dòng chảy đều là có áp, ta có v1 = v2 và 1 = 2 ta còn có p1 = p2 vì độ sâu của hai trọng tâm của hai mặt cắt đều bằng nhau, do đó: ( ) ( ) (4-5) 87 Trong dòng chảy đều, tổn thất cột nước chỉ là tổn thất dọc đường hd vì số là độ dốc thủy lực J nên (4-6) Đó là phương trình cơ bản của dòng chảy đều, dùng cho dòng chảy có áp lẫn dòng chảy không áp. Phương trình này đặt mối liên hệ giữa tổn thất cột nước dọc đường (qua J) với lực ma sát, cụ thể là với ứng suất tiếp (qua 0). Sự tổn thất cột nước đó phụ thuộc vào trạng thái chảy của chất lỏng. 4.3- HAI TRẠNG THÁI CHẢY CỦA CHẤT LỎNG 4.3.1- THÍ NGHIỆM RÂYNÔN Trong thực tế tồn tại hai trạng thái chảy khác nhau của chất lỏng nhớt. Tùy theo trạng thái chảy mà cấu tạo của dòng chảy, sự phân bố vận tốc, sự phân bố ứng suất tiếp, tổn thất năng lượng v.v… có những quy luật khác nhau. Năm 1883, nhà vật lý học Anh O.Râynôn chứng minh bằng thí nghiệm rằng trong thực tế tồn tại hai trạng thái chảy khác biệt nhau một cách sâu sắc. Đó là một sự khám phá vô cùng quan trọng về quy luật chuyển động của chất lỏng thực, làm cho môn thủy lực có cơ sở để phát triển mạnh mẽ. Thí nghiệm Râynôn trình bày một cách sơ lược như sau (hình 4-2). Hình 4-2 Một thùng A khá lớn chứa nước, gắn vào nó một ống thủy tinh dài T, có đường kính không đổi; một đầu ống cắm sâu vào trong thùng A có miệng vào hình loa L để cho nước đi vào ống được thuận, đầu kia của ống có khóa B để điều chỉnh lưu lượng đi qua ống; phía dưới chỗ ra của ống T, ta đặt một thùng đo lưu lượng. Phía trên thùng A, ta đặt bình D đựng nước màu có tỷ trọng bằng tỷ trọng của nước; gắn vào bình D một ống nhỏ, ở đầu bên kia của ống nhỏ này lắp một cái kim để dẫn nước màu ở bình vào ống; trên ống nhỏ cũng có khóa K để điều chỉnh lưu lượng nước màu. Trình tự thí nghiệm như sau: 88 Trước hết ta cần giữ mực nước trong thùng A cố định, không dao động. Bắt đầu mở khóa 6 sao cho nước chảy rất ít từ thùng A vào thùng T. Sau vài phút để dòng chảy trong ống ổn định, tiến hành mở khóa K cho nước máy chảy vào ống; lúc này quan sát ống thủy tinh T, ta thấy hiện lên một vệt màu nhỏ căng như sợi chỉ, điều này chứng tỏ rằng dòng màu và dòng nước trong ống chảy riêng rẽ không xáo trộn lẫn vào nhau. Nếu mở khóa từ từ thì hiện tượng trên có thể tiếp tục trong một thời gian. Khi đã mở đến một mức nhất định (vận tốc trong ống đạt tới một trị số nào đó) thì vệt màu bị dao động thành hình sóng. Tiếp tục mở khóa nữa, vệt màu bị đứt đoạn, sau cùng hoàn toàn hòa lẫn trong dòng nước; lúc này dòng màu xáo trộn vào dòng nước trong ống (hình 4-2a,b,c). Trạng thái chảy trong đó các phần tử lỏng chuyển động theo những tầng lớp không xáo trộn vào nhau gọi là trạng thái chảy tầng. Trạng thái chảy trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động hỗn loạn gọi là trạng thái chảy rối. Ở trên là thí nghiệm mô tả về sự chuyển biến của dòng chảy từ trạng thái chảy tầng sang trạng thái chảy rối. Nếu làm thí nghiệm ngược lại, tức là vặn khóa nhỏ lại cho vận tốc trong ống từ lớn đến nhỏ thì thấy đến một lúc nào đó, vệt màu đang không rõ lại dần dần xuất hiện và cuối cùng hiện rõ thành sợi chỉ màu, tức là dòng chảy đang từ trạng thái chảy rối chuyển sang trạng thái chảy tầng. Trạng thái chảy quá độ từ tầng sang rối hoặc từ rối sang tầng gọi là trạng thái chảy phân giới. Vận tốc ứng với dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy tầng sang trạng thái chảy rối gọi là vận tốc phân giới trên, ký hiệu vKkt. Vận tốc ứng với lúc dòng chuyển từ trạng thái chảy rối sang trạng thái tầng gọi là vận tốc phân giới dưới, ký hiệu vKd. Qua thực nghiệm vKt > vKd, chứng tỏ vận tốc phân giới không những phụ thuộc vào loại chất lỏng mà còn phụ thuộc vào đường kính ống làm thí nghiệm. Vì vậy, không thể dùng một vận tốc giới hạn nào làm tiêu chuẩn chung để phân biệt trạng thái chảy cho mọi loại chất lỏng hoặc với mọi đường ống được. Sau đây là cách xác định tiêu chuẩn phân biệt đó. 4.3.2- TIÊU CHUẨN PHÂN BIỆT HAI TRẠNG THÁI CHẢY Dựa vào kết quả nhiều thí nghiệm, Râynôn đã dùng một đại lượng không thứ nguyên để đặc trưng cho trạng thái chảy, đó là số Râynôn. Ký hiệu Re.  (4-7) Ở đây: v- Vận tốc trung bình mặt cắt; d- đường kính ống; - hệ số nhớt động học. 89 Trong biểu thức (4-7), đại lượng chiều dài có thể khác nhau: có thể là đường kính d, có thể là bán kính thủy lực R, v.v... Nếu cần phân biệt để tránh nhầm lẫn, thì khi dùng đường kính d trong (4-7), ta ký hiệu Red , khi dùng bán kính thủy lực R ta ký hiệu ReR. Trị số Râynôn tương ứng với trạng thái phân giới từ chảy tầng sang chảy rối, hoặc ngược lại gọi là trị số Râynôn phân giới ký hiệu ReK. Ứng với vKtrên ta có Râynôn phân giới trên: Ứng với VKdưới ta có số Râynôn phân giới dưới:   Trạng thái chảy ứng với Râynôn Re < ReKd bao giờ cũng là chảy tầng. Trạng thái chảy có Re > ReKt bao giờ cũng là chảy rối. Trạng thái chảy có ReKd < Re < ReKt có thể là chảy tầng hoặc chảy rối, nhưng thường là chảy rối, vì lúc này trạng thái chảy tầng không bền, chỉ cần một xáo động nhỏ cũng đủ làm cho nó biến thành chảy rối. Theo thực nghiệm khi Re < 2.320 ta có trạng thái chảy tầng; khi Re > 2.320 ta có trạng thái chảy rối. Đối với kênh dẫn, ta dùng bán kính thủy lực R thay cho đường kính d trong công thức (4-7):  . Thí nghiệm cho biết: khi ReR < 580, trạng thái chảy là chảy tầng; khi Ren > 580, trạng thái chảy là chảy rối. Trong thực tế, tuyệt đại đa số dòng chảy trong ống, trong kênh, trong sông thiên nhiên là chảy rối. Chỉ trong phòng thí nghiệm, khi làm các thí nghiệm mô hình, có thể gặp dòng chảy tầng. 4.3.3- ẢNH HƯỞNG CỦA TRẠNG THÁI CHẢY ĐỐI VỚI QUY LUẬT TỔN THẤT CỘT NƯỚC Trạng thái chảy rất quan trọng đối với quy luật tổn thất cột nước. Khi vận tốc chảy càng tăng thì sự xáo trộn của các phần tử chất lỏng càng mạnh, do đó chuyển động của chất lỏng càng gặp nhiều trở lực hơn. Vì vậy, trong dòng chảy rối, tổn thất năng lượng lớn hơn trong dòng chảy tầng, và càng tăng khi vận tốc càng lớn. Tiến hành nghiên cứu quan hệ giữa cột nước hd và vận tốc trung bình v ứng với một loại chất lỏng nhất định, với một ống tròn nhất định. Trên ống tròn dùng để thí nghiệm (hình 4-3), ta lấy một đoạn dài l đặt giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2, ở đó ta gắn ống đo áp; ứng với mỗi vận tốc v, ta đo được một độ chênh mực nước hd trong hai ống đo áp. Áp dụng phương trình Becnuli cho những mặt cắt 1-1 và 2-2 ta viết được: Vì đường kính ống d = const, nên dòng chảy là dòng chảy đều: v1 = v2; 1 = 2. Vì ống đặt ngang nên z1 = z2. Vậy phương trình viết lại thành: , tức là tổn thất cột nước bằng độ chênh mực nước ở hai ống đo áp (hình 4-3). 90 Trên đồ thị, tung độ biểu thị hd và hoành độ biểu thị v, ta vẽ đường quan hệ hd và trên cơ sở những điểm thí nghiệm. Hình 4-3 Qua hình 4-3a, ta thấy: Ứng với trạng thái chảy tầng (v < vKd) đường biểu diễn OB là đường thẳng đi qua gốc tọa độ: hd = k1.v (4-8) Ở đây: k1- một hằng số tỷ lệ. Như vậy: Trong dòng chảy tầng, tổn thất cột nước dọc đường hd tỷ lệ bậc nhất với vận tốc trung bình mặt cắt v. Ứng với trạng thái chảy rối (v > vKd) đường biểu diễn AD là một đường cong có dạng: hd = k2.vm (4-9) Ở đây: k2 – một hằng số tỷ lệ; m = (1,72,0) trong đoạn AC; m = 2 trong đoạn CD. Như vậy: Trong dòng chảy rối tổn thất cột nước dọc đường tỷ lệ với bậc m của vận tốc trung bình mặt cắt v. Trị số m biến đổi từ (1,72). Trong khu vực vKd < v < vKt, tồn tại hai đoạn AB và AC; đoạn AB ứng với trường hợp quá độ từ chảy tầng qua chảy rối; đoạn AC ứng với trường hợp quá độ từ chảy rối sang chảy tầng. Nếu lấy logarit hai vế của (4-8), ta được: lghd = lgk1 + lgv (4-10) 91 Trên hình 4-3b, phương trình (4-10) biểu thị bằng đường thẳng EL, lập với trục hoành một góc bằng 450. Nếu lấy logarit hai vế (4-9), ta được: lghd = lgk2 + m.lgv (4-11) Trên hình 4-3b, phương trình (4-10) biểu thị bởi đoạn FS gồm 2 phần FM có 1,7  m  2 và phần MN có m = 2. Phần tiếp sau là các công thức tổng quát tính tổn thất dọc đường trong dòng chảy đều chung cho trạng thái chảy tầng, chảy rối, có áp và không có áp. Ví dụ 1: Tìm trạng thái chảy của nước trong ống có đường kính d = 200 mm, vận tốc trung bình v = 1 m/s, hệ số nhớt động học  = 0,01 cm2/s. Giải: Tính Re bằng cách thế v = 100 cm/s, d = 20 cm,  = 0,01 cm2/s vào biểu thức (47), kết quả nhận được:  Vậy trạng thái chảy là chảy rối. Ví dụ 2: Tìm trạng thái chảy của dầu trong ống có d = 150mm, v = 0,3 m/s,  = 0,28 cm /s. 2 Giải: Thế v = 30 cm/s; d = 15cm;  = 0,28 cm2/s vài biểu thức (4-7), ta nhận được:  Vậy trạng thái chảy là chảy tầng. 4.4- CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ĐÁCXI TÍNH TỔN THẤT CỘT NƢỚC hd TRONG DÕNG CHẢY ĐỀU - CÔNG THỨC SÊDI Tổn thất cột nước hd có thể biểu thị theo những quy luật (4-8) và (4-9) đồng thời cũng có thể hiểu thị qua ứng suất ma sát 0, tức là cường độ ma sát có thể coi là tỷ lệ với động năng của các phần tử chất lỏng. (4-12) Ở đây:  - khối lượng đơn vị của chất lỏng; - hệ số tỷ lệ không thứ nguyên. Từ phương trình cơ bản của dòng chảy đều (4-6) thay 0 bằng trị số (4-12), ta có: hoặc Hay: Đối với ống tròn , ta viết được: 92 Gọi = 4 , ta nhận được: (4-13) Ở đây: - hệ số ma sát không thức nguyên, xác định bằng thí nghiệm. Công thức (4-13) gọi là công thức Đácxi, tìm ra năm 1856 ( gọi là hệ số Đácxi). Để tiện dùng công thức Đácxi cho những dòng chảy đều trong những tiết diện không tròn, ta lấy đường kính d trong công thức ấy bằng bán kính thủy lực R theo d = 4R, ta có: (4-13’) Công thức Đácxi dưới dạng (4-13) và (4-13’) là công thức tổng quát tính tổn thất cột nước dọc đường cho dòng chảy đều, dùng cho dòng chảy tầng lẫn dòng chảy rối. Khi vận dụng công thức Đácxi, vấn đề phải giải quyết là chọn hệ số . Trong những mục tiếp theo sẽ nghiên cứu vấn đề này. Trong dòng chảy đều, việc xác định vận tốc trung bình mặt cắt v rất quan trọng. Có thể từ công thức Đácxi (4-13’) suy ra: √ Hoặc: √ √ √ (4-14) √ Ở đây: C- hệ số Sêdi (m0,5/s), J- độ dốc thủy lực, √ (4-15) (4-15’) Công thức (4-14) gọi là công thức Sêdi, là công thức rất quan trọng trong thủy lực học, hệ số Sêdi C có thứ nguyên là căn bậc hai của gia tốc; C được xác định bằng thí nghiệm. Từ lưu lượng Q = .v, ta có thể viết: √ (4-16) Công thức (4-14) và (4-16) được sử dụng rộng rãi trong thủy lực học. Kỹ sư Pháp Sêdi tìm được công thức đó bằng phương pháp thí nghiệm năm 1775, khi nghiên cứu định luật dòng chảy trong sông. Lúc đầu ông nghĩ rằng hệ số C là đại lượng không đổi và cho . Sau đó, ông nhận xét rằng đại lượng C phụ thuộc nhiều yếu tố; độ √ nhám, dạng hình học và kích thước tiết diện ngang của lòng sông và vận tốc của dòng chảy. Chúng ta nhận thấy rằng công thức Đácxi và Sêdi có quan hệ với nhau. Cả hai đều kết hợp vận tốc trung bình của dòng với tổn thất cột nước dọc đường do sự ma sát gây ra. 93 Muốn sử dụng các công thức đó, cần biết được các trị số của hệ số vấn đề này ở dưới. và C - sẽ trình bày 4.5- TRẠNG THÁI CHẢY TẦNG TRONG ỐNG Trạng thái chảy tầng đặc trưng bởi số Râynôn: Re < 2.320, nói chung trong thực tế ít gặp. Nó chỉ xuất hiện trong ống dẫn dầu của máy móc, trong nước ngầm dưới đất v.v... Nhiều vấn đề chảy tầng có thể hoàn toàn giải quyết bằng lý luận. Việc nghiên cứu dòng chảy tầng không những giúp ta tính toán các dòng chảy tầng khi cần thiết mà qua đó còn giúp ta so sánh và phân biệt sâu hơn dòng chảy tầng với dòng chảy rối, do đó, có thể hiểu dòng chảy rối được rõ hơn. 4.5.1- SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TIẾP VÀ VẬN TỐC TRONG DÒNG CHẢY TẦNG Trong ống chảy tầng, chất lỏng chuyển động thành từng lớp hình trụ đồng trục. Tại thành ống có một lớp rất mỏng dính chặt vào đó và vận tốc u = 0. Muốn xét sự phân bố ứng suất trong dòng chảy tầng, ta dùng phương trình cơ bản của dòng chảy đều (4-6). 0 = .R.J Nếu gọi r0 là bán kính của ống thì: và (4-17) Nếu ký hiệu  là ứng suất tiếp tại lớp chất lỏng đó cách tâm một đoạn r thì ta cũng có: (4-18) So sánh (4-17) và (4-18) rút ra: hoặc (4-19) Vậy ứng suất tiếp biến thiên theo quy luật bậc nhất trên mặt cắt ống; tại tâm (r = 0) ứng suất tiếp bằng 0; tại thành ống ứng suất tiếp có trị số cực đại 0 (hình 4-4). Chú ý rằng công thức (4-19) đúng cho cả trạng thái chảy rối vì trong khi chứng minh ta không giới hạn trong điều kiện của dòng dưới dạng: (4-20) Ở đây: - hệ số nhớt động lực học; u- vận tốc của lớp chất lỏng; r- khoảng cách từ tâm ống đến lớp chất lỏng đang xét. Chú ý rằng càng ra giữa ống vận tốc u càng tăng, tức là khi r càng giảm, do đó bao giờ cũng có trước ; cho nên muốn cho  luôn luôn dương, cần phải đặt dấu trừ phía . Muốn xác định quy luật phân bố vận tốc u, o sánh (4-18) và (4-20) ta có: 94 Do đó: Sau khi tích phân ta có: (4-21) Hình 4-4 Để xác định hằng số C, ta xét điều kiện biên giới tại thành ống (r = r0), có u = 0. Vậy: Do đó: Thay vào (4-21) ta có: ( ) (4-22) Theo (4-22) ta thấy rằng sự phân bố vận tốc trên mặt cắt của dòng chảy tầng tuân theo quy luật Parabôn; tại thành ống u = 0, tại tâm có vận tốc lớn nhất umax bằng: (4-23) Vậy công thức (4-22) có thể viết dưới dạng: [ ( ) ] (4-24) Nhân đây, ta xác định giữa vận tốc trung bình v và vận tốc cực đại umax trên mặt cắt ướt của dòng chảy tầng trong ống tròn, ta lấy một diện tích vô cùng nhỏ hình vành khăn d, có khoảng cách tới tâm ống r, tại đó dòng chảy có vận tốc là u (hình 4-5) lưu lượng dQ đi qua d là: dQ = u.d , với d = 2.r.dr Do đó: dQ = 2.u.r.dr Lưu lượng đi qua toàn mặt cắt  bằng: 95 ∫  ∫ ∫ b) a) Hình 4-5 Thay u bằng biểu thức (4-24) vào biểu thức trên ta có:  ∫ ( )  Hoặc Vận tốc trung bình tính bằng:    (4-25) Như vậy trong dòng chảy tầng, vận tốc trung bình bằng nửa vận tốc cực đại, ta có thể viết: (4-26) 4.5.2- TỔN THẤT DỌC ĐƯỜNG TRONG DÒNG CHẢY TẦNG Từ (4-26) ta có: Thay thế vào phương trình trên ta có: (4-27) Ở đây: không phụ thuộc v. Công thức (4-27) nói trên rằng trong dòng chảy tầng, tổn thất cột nước dọc đường tỷ lệ bậc nhất với vận tốc trung bình dòng chảy. Điều này phù hợp với thí nghiệm nêu trong công thức (4-8). Trong thủy lực, tổn thất cột nước thường được biểu thị theo cột nước vận tốc . Có thể nhân và chia biểu thức (4-27) cho , đồng thời thay  = .g:  Hoặc: (4-28) 96 Từ công thức Đácxi (4-13): , so sánh với (4-28), ta suy ra hệ số trong trường hợp chảy tầng trong ống là: (4-29) Tức là chỉ phụ thuộc vào số Râynol mà không phụ thuộc vào độ nhám của thành rắn. Như vậy, trong trường hợp chảy tầng, có thể tìm được hệ số bằng lý thuyết. Chú ý rằng trong dòng chảy tầng, dù ta biểu thị tổn thất cột nước dọc đường bằng công thức Đácxi (4-13), nghĩa là về hình thức thì hd tỷ lệ với v2 nhưng về thực chất thì hd tỷ lệ với v vì trong hệ số có v ở mẫu số. Điều này làm cho ta thấy rõ công thức Đácxi (4-13) không mâu thuẫn gì với biểu thức nhận được từ thí nghiệm (4-8). Tóm lại trong dòng chảy tầng, nguyên nhân gây ra tổn thất cột nước là tính nhớt của chất lỏng, tính nhớt có tác dụng làm sự phân bố vận tốc bên mặt cắt ngang khá không đều, tổn thất cột nước tỷ lệ bậc nhất với vận tốc trung bình của mặt cắt 4.6- TRẠNG THÁI CHẢY RỐI TRONG ỐNG Chúng ta nghiên cứu dòng chảy rối về những mặt sau đây: 4.6.1- VẬN TỐC THỰC, VẬN TỐC TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN, VẬN TỐC MẠCH ĐỘNG Khi dòng chảy chuyển sang trạng thái chảy rối, môi trường chất lỏng coi như đầy những phần tử chất lỏng chuyển động hỗn loạn, nhưng nói chung có xu thế đi xuôi dòng. Vận tốc điểm phụ thuộc vào thời gian và thay đổi cả về trị số lẫn phương hướng. Nếu gọi ⃗ , ⃗ , ⃗ là vận tốc tại 1 điểm cố định M ở thời điểm t1, t2, t3 (hình 4-6). Những vận tốc này gọi là vận tốc tức thời hoặc vận tốc thực. Hình 4-6 Như vậy, thực chất của chuyển động rối là một chuyển động không ổn định. Hiện tượng thay đổi vận tốc không ngừng xung quanh một giá trị trung bình theo thời gian của vận tốc là hiện tượng mạch động vận tốc. Hiện tượng mạch động được giải thích bằng sự xáo trộn hỗn loạn của những phần tử chất lỏng. Hiệu số giữa vận tốc tức thời (vận tốc thực) và vận tốc trung bình thời gian gọi là vận tốc mạch động. 97 Dòng chảy rối thực chất là dòng chảy không ổn định rất phức tạp, để tiến hành được việc nghiên cứu những quy luật chuyển động của dòng chảy rối, người ta thay thế dòng chảy rối thực bằng dòng chảy rối trung bình thời gian, trong đó người ta không nghiên cứu vận tốc thực u mà nghiên cứu vận tốc trung bình thời gian ̅ . Nếu vận tốc trung bình thời gian ̅ không phụ thuộc thời gian thì có dòng chảy rối trung bình thời gian ổn định. Nếu ̅ phụ thuộc thời gian thì ta có dòng chảy rối trung bình thời gian không ổn định. Chúng ta cần phân biệt ba khái niệm vận tốc: Vận tốc thực u: là vận tốc chuyển động thực tế của phần tử chất lỏng khi đi qua điểm đang xét. Vận tốc thực ở các điểm khác nhau có thể khác nhau. Vận tốc trung bình thời gian ̅ là một vận tốc tưởng tượng, ứng với điểm đang xét của mặt cắt; ở những điểm khác nhau, vận tốc trung bình thời gian có thể khác nhau, vì khái niệm trung bình ở đây là đối với thời gian, chứ không phải là đối với diện tích mặt cắt ướt; biểu thức cho vận tốc trung bình thời gian là: ̅ ∫ Vận tốc trung bình mặt cắt v cũng là vận tốc tưởng tượng ứng với toàn bộ mặt cắt ướt, nó có trị số như nhau tại tất cả các điểm trên mặt cắt, vì khái niệm trung bình ở đây là nói đối với mặt cắt. Biểu thức cho vận tốc trung bình mặt cắt là: ∫ ̅ 4.6.2- ỨNG SUẤT TIẾP TRONG DÒNG CHẢY RỐI Trong dòng chảy rối, do sự xáo động các phần tử chất lỏng đi nhanh rơi vào khu vực các phần tử đang chuyển động chậm hơn và ngược lại, khi đó các phần tử đi nhanh sẽ thúc đẩy các phần tử đi chậm, các phần tử đi chậm sẽ kìm hãm các phần tử đi nhanh. Theo thí nghiệm của Businétscơ về dòng chảy trung bình thời gian thì sự xáo trộn nói trên của các phần tử chất lỏng có thể coi như sự xáo trộn từ lớp chất lỏng này sang lớp chất lỏng khác (khái niệm lớp ở đây là nói các lớp của dòng trung bình thời gian). Như vậy kết quả của sự xáo trộn các phần tử trong dòng chảy rối là tạo nên tác dụng lôi đi, hãm lại giữa các lớp chất lỏng, giống như tác dụng của ứng suất tiếp những lớp đó. Sức cản ma sát trong này do sự rối của dòng chảy gây ra, gọi là ma sát rối và ứng suất tiếp tương ứng suất tiếp rối. Như vậy sức cản thủy lực do ma sát rối tạo nên trong trường hợp dòng chảy rối, khác với sức cản thủy lực trong trường hợp dòng chảy tầng, không trực tiếp phụ thuộc vào tính nhớt giữa các lớp mà được coi như một lực quán tính. 4.6.3- LỚP MỎNG CHẢY TẦNG, CÁC THÀNH NHÁM VÀ TRƠN THỦY LỰC Như chúng ta đã biết, trạng thái chảy rối được đặc trưng bằng sự xáo trộn xảy ra càng mạnh, nhưng sự xáo trộn đó phân bố không đều trên mặt cắt ngang của ống, sông hoặc kênh. Ở càng gần sát thành, những chuyển động ngang của các phần tử vấp phải 98 những ranh giới rắn nên gặp nhiều khó khăn, vì thế dòng chảy càng có xu thế chảy thành dòng chảy tầng trong một lớp rất mỏng (hình 4-7b) gọi là lớp mỏng chảy tầng. Hình 4-7 Ranh giới của lớp mỏng chảy tầng chưa được xác định rõ ràng. Như vậy trong dòng chảy rối không phải toàn bộ chất lỏng là chuyển động rối, mà sát thành bao giờ cũng có lớp mỏng chảy tầng. Khu vực chảy rối được gọi là lõi rối (hình 4-7b). Độ dày t của lớp mỏng chảy tầng có thể tính như sau: (4-30) √ Để có khái niệm về độ lớn của t ta xác định trong trường hợp dòng nước chảy đều trong ống với vận tốc trung bình v = 1 m/s, hệ số nhớt động học  = 0,0101 cm2/s, = 0,02; áp dụng công thức (4-30) ta có: √ √ √  t = 0,023 cm Như vậy độ dày của lớp chảy tầng rất nhỏ. Việc xác định bề dày của lớp mỏng chảy tầng rất cần thiết cho sự phân loại các thành rắn ra thành nhám thủy lực và thành trơn thủy lực. Việc phân loại đó tiến hành như sau: Một vật liệu bất kỳ không được tinh chế cẩn thận thì luôn luôn có bề mặt nhám, các mấu gồ ghề phân bố không đều hoặc ít hoặc nhiều, chiều cao trung bình các mấu gọi là độ nhám tuyệt đối. Có thể lấy làm đặc trưng định lượng của độ nhám. Tuy nhiên, đại lượng này không thể đánh giá hoàn toàn tác dụng cản trở của độ nhám bởi vì rõ ràng còn có ảnh hưởng của hình dạng số lượng và sự sắp xếp tương hỗ các mấu gồ ghề, nhưng độ cao mấu gồ ghề là một thông số chính dùng để đánh giá vai trò của độ nhám, là yếu tố gây ra tổn thất cột nước dọc đường. Theo (4-30) chiều dày lớp mỏng chảy tầng t càng bé. Nếu mức độ chảy rối càng lớn nghĩa là chiều dày lớp mỏng chảy tầng giảm đồng thời với sự tăng số Râynôn. Vì thế, có thể có những sự tương quan dưới đây giữa lớp mỏng chảy tầng và độ nhám tuyệt đối. 1- Lớp mỏng chảy tầng che kín hoàn toàn những chỗ lồi của các mấu gồ ghề (t > ): Dòng chảy không có tác dụng qua lại trực tiếp với mặt nhám của thành rắn, dòng chất 99 lỏng chảy dọc theo lớp mỏng chảy tầng. Sự tổn thất dọc đường không phụ thuộc độ nhám của thành. Trong trường hợp này thành rắn gọi là thành trơn thủy lực (hình 4-8a) 2. Nếu chiều dày lớp mỏng chảy tầng bé hơn độ nhám tuyệt đối (t < ) và do đó những mấu gồ ghề nhô ra từ dưới lớp mỏng chảy tầng thì thành rắn gọi là thành nhám thủy lực (hình 4-8b). Hình 4-8 Trong trường hợp này ở sát thành, các lớp chất lỏng phải uốn khúc để vượt qua những đỉnh gồ ghề, do đó tạo ra khả năng hình thành những xoáy nước bứt khỏi các lớp chất lỏng, di chuyển vào lõi rối. Càng nhiều xoáy nước sinh ra và đi vào lại rối thì sức cản càng lớn, tổn thất cột nước càng lớn, vì vậy ở dòng chảy có thành nhám thủy lực, sức cản lớn hơn ở dòng chảy có thành trơn thủy lực. Chú ý rằng độ nhám của thành rắn làm tăng ma sát dòng chảy theo cách nói trên chứ không giống sự ma sát ngoài, giữa hai mặt nhám của vật rắn. Rõ ràng là quy luật tổn thất cột nước trong dòng chảy rối phụ thuộc tính chất thành rắn là trơn hay nhám, cần nhấn mạnh rằng khái niệm thành trơn thành nhám là khái niệm thủy lực chứ không phải khái niệm hình học. 4.7- CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH NHỮNG HỆ SỐ hd VÀ C ĐỂ TÍNH TỔN THẤT CỘT NƢỚC DỌC ĐƢỜNG CỦA DÕNG CHẢY ĐỀU TRONG CÁC ỐNG VÀ KÊNH HỞ 4.7.1- CHỈ DẪN CHUNG Để xác định tổn thất cột nước dọc đường ta áp dụng công thức Đácxi: Hoặc từ công thức Sêdi: √ √ Ta có: Một lần nữa chúng ta nhấn mạnh rằng, bởi vì hệ số là hệ số không thứ nguyên, nên có thể sử dụng công thức Đácxi trong bất kỳ hệ thống đơn vị nào; còn đại lượng C có thứ nguyên là căn bậc hai của gia tốc, nên chỉ có thể sử dụng công thức Sêdi trong hệ thống đơn vị dùng để biểu thị C. Các trị số C đều tính thành √ , nên khi áp dụng công thức Sêdi, cần phải biểu thị vận tốc v thành m/s, gia tốc trọng lực thành m/s2, bán kính thủy lực R và độ dài l thành mét; lúc đó tổn thất cột nước cũng đo bằng mét. 100 4.7.2- NHỮNG CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH HỆ SỐ ĐACXI a/- Trạng thái chảy tầng Đối với trạng thái chảy tầng trong ống tròn, chúng ta đã có công thức: (4-31) Khi các mặt cắt ngang ống không tròn, thì ở tử số sẽ hơi khác với 64. Theo Idơbátsơ đối với mặt cắt hình vuông A = 57, đối với tam giác đều A = 53, đối với hình vành khăn và khe hở phẳng A = 96. Đối với mặt cắt không tròn cần phải tính số Re theo biểu thức:  Ở đây: dtđ gọi là đường kính tương đương, tức là một đại lượng đường thẳng nào đó được chọn tương đương với đường kính. Đối với hình vuông có cạnh a, ta có: dtđ = a; hình tam giác đều dtđ = 0,58a; hình vành khăn và khe hở phẳng có chiều rộng là a thì có dtđ = 2a. Những trị số đã cho này là chính xác đối với dòng chảy có áp. Đối với kênh hở: (4-32) b/- Trạng thái chảy rối trong các thành trơn thủy lực Khi Re  100.000, công thức Bơlađiut (1912) thích hợp: (4-33) ⁄ Khi Re > 100.000 (nhưng với điều kiện thành trơn) dùng công thức Cônacốp (1947): ( (4-34) ) Đối với Re < 100.000, công thức này cũng cho kết quả tốt. Các trị số tính , theo (4-34) có thể tra ở phụ lục trong các tài liệu thủy lực. Đối với ống tròn người ta còn áp dụng công thức Nicuratsơ (1933) ( √ ) Thích hợp cho thành nhám hoàn toàn, vừa dùng được cho độ nhám nhân tạo, vừa dùng cho độ nhám tự nhiên; Trị số ở phụ lục (coi = td), hoặc tra bảng 4-1 dưới đây: Bảng 4-1 Tên vật liệu ống Ống thép mới (mm) 0,0650,1 Tên vật liệu ống Ống gang mới (mm) 0,231,0 Ống thép dùng chưa cũ 0,100,15 Ống gang đã dùng 1,01,5 101 Sau đây là một số công thức có cấu tạo khác với những công thức trên. Theo một số quy phạm về ngành xây dựng ở Liên Xô đối với ống gang có phủ nhựa bitum, đối với ống thép có hoặc không phủ nhựa, và đối với ống bêtông cốt thép: Khi vận tốc nước v  1,2 m/s: (  ) (4-35) ) (4-36) Khi v  1,2 m/s: Đối với những ống xi măng amiăng: (  Trong những công thức đó, d là đường kính trong của ống, tính ra mét, thí nghiệm cho biết trong những ống “thường” (là những ống gang, thép sau một vài năm sử dụng) ứng với d = (51.000) mm, vận tốc giới hạn là (0,81,3) m/s; đối với những ống gang thép mới thì vận tốc giới hạn đó lớn hơn nhiều: (2,54) m/s. c/- Khu quá độ từ ống tràn sang ống hoàn toàn nhám (sang khu bình phƣơng) Có thể dùng công thức Antơsun (1952) ( Hoặc: ( ) ) (4-37) (4-37') Công thức Antơsun (4-37’) này, ở khu bình phương sức cản, dẫn đến công thức Sifrixơn: √ (4-38) tra theo bảng 4-1. Những công thức xác định hệ số Sêdi (C) Đối với dòng chảy rối người ta hay dùng công thức Sêdi, từ đó suy ra tổn thất cột nước; hệ số Sêdi có thứ nguyên, tính ra √ ; bán kính thủy lực R tính ra mét. Công thức có dạng số mũ: a) Công thức Manink (1980) ⁄ (4-39) Ở đây: n - hệ số nhám, n < 0,020; R - bán kính thủy lực, R < 0,5 m. Công thức này cho những kết quả tốt đối với ống và kênh hở. b) Công thức Phoóccơrâyme (1923) 102 ⁄ (4-40) Công thức này thích hợp đối với các kênh đất trong trạng thái tốt, với n > 0,020 (không cỏ, không sập lở, không có đá lớn). Công thức Pavơlốpski (1925) (4-41) Ở đây: y = f(n,R) là số mũ, phụ thuộc độ nhám và bán kính thủy lực. Công thức này đề ra trên cơ sở nghiên cứu tổng hợp các công thức. Công thức này dùng cả cho ống và kênh hở, với R < (3,05) m. Các trị số của hệ số nhám n có thể tìm ở phụ lục trong các tài liệu thủy lực. Số mũ y được xác định theo công thức chính xác: √ (√ √ ) (4-42) Trong thực tế Pavơlốpski thấy rằng có thể áp dụng công thức giản đơn: √ √ - Các trị số tìm được của y thường nằm trong giới hạn ( (4-43) ) nhưng cũng có thể cho y ngoài giới hạn đó, có thể lấy các trị số và . Các kết quả cũng khá chính xác, nếu lấy các trị số y bằng các phân số đơn giản có mẫu số nguyên, nghĩa là . Công thức Maninh (4-39), công thức Poóccơrâyme (4-40) là những trường hợp riêng của công thức Pavơlốpski (4-41). Thường thường trong khi tính toán, người ta không tính đại lượng y rồi tính C mà dùng các bảng, biểu đồ sẵn có C, những bảng, biểu đồ đó được lập ra theo công thức Pavơlốpski với số mũ y tính theo công thức đầy đủ (4-43). Xem phụ lục ở các tài liệu thủy lực. Công thức không có dạng số mũ Công thức Găngghilêcútte rút gọn (1869) (4-44) √ Ở đây: n - hệ số nhám xác định theo bảng ở các phụ lục. Công thức này dùng cho sông và kênh đào. Một số chuyên gia cho rằng việc áp dụng công thức này đối với R > 3 m, có cơ sở hơn là công thức Pavơlốpski. Công thức I.I. Agơrốtski (1949) C = 17,72.(k + lgR) (4-45) Ở đây: k- thông số về độ nhám của kênh, k có quan hệ với n như sau: (4-46) 103 Trị số k xem phụ lục ở các tài liệu thủy lực. Để tiện việc tính toán hệ số C, trong các sổ tay thủy lực có nhiều bản tính sẵn hoặc đồ thị. 4.8- TỔN THẤT CỘT NƢỚC CỤC BỘ - NHỮNG ĐẶC ĐIỂM CHUNG Cho đến nay chúng ta đã nghiên cứu sự tổn thất cột nước trong dòng chảy đều mà ta gọi là tổn thất cột nước dọc đường. Nguyên nhân vật lý của sự tổn thất đó là ma sát giữa các phần tử chất lỏng do tính nhớt và sự xáo trộn rối tạo nên; tính chất trơn, nhám thủy lực của thành rắn và mức độ rối của dòng chảy là hai yếu tố có ảnh hưởng lớn nhất đến sức cản đối với dòng chảy. Loại sức cản này còn được gọi là sức cản bề mặt. Sự tổn thất cột nước đặc biệt lớn ở những nơi mà dòng chảy thay đổi đột ngột về phương hướng, về dạng mặt cắt ướt, tức là tại những nơi mà những đường dòng và những mặt cắt ướt đều cong (ví dụ tại những chỗ uốn cong mở rộng, co hẹp mặt cắt một cách đột ngột ở những nơi có những vật chướng ngại cho dòng chảy (ví dụ ở chỗ có của van, có đập v.v...). Tổn thất cột nước tại những nơi này gọi là tổn thất cục bộ, sức cản loại này gọi là sức cản hình dạng. Sau đây ta nghiên cứu hiện tượng vật lý của tổn thất cục bộ, và chỉ xét tổn thất trong trạng thái chảy rối. Tại những nơi có tổn thất cột nước cục bộ thường xảy ra những hiện tượng sau: Sự hình thành khu nước xoáy, sự tách khỏi thành rắn, sự tăng cường mạch động vận tốc và áp lực, sự phân bố lại vận tốc trên mặt cắt v.v... Những hiện tượng đó liên quan chặt chẽ với nhau và thường xảy ra cùng một lúc. Ta xét hai trường hợp cụ thể: trường hợp dòng chảy mở rộng đột ngột và trường hợp dòng chảy co hẹp đột ngột. 1/- Trƣờng hợp dòng chảy mở rộng đột ngột (hình 4-9) Tại khu vực dòng mở rộng đột ngột ABCD có thể thấy rõ hai khu: khu dòng chủ abCD và khu nước xoáy, gồm hai nơi aAC và bBD, hai khu ấy có ranh giới là mặt phẳng chia amC và bnD. Khu dòng chủ là khu dòng chảy đi xuôi, có lưu lượng Qchủ bằng lưu lượng Q trước và sau khi mở rộng đột ngột Qchủ = Q; khu nước xoáy là khu có nước vừa chảy ngược vừa xuôi, lưu lượng chảy xuôi Qxuôi bằng lưu lượng chảy ngược Qngược (Qxuôi = Qngược). Hình 4-9 104 Trong khu vực mở rộng đột ngột, có thể chia thành hai đoạn dài: một đoạn từ nơi bắt đầu đến nơi kết thúc mặt phân chia, đoạn đó gọi là đoạn khu xoáy (AB - CD), một đoạn tiếp theo thì từ nơi kết thúc mặt phân chia đến nơi mà độ phân bố vận tốc trung bình thời gian và độ lớn của mạch động vận tốc và áp lực đã có lại những đặc tính của mạch động bình thường trong dòng chảy đều, đoạn này gọi là đoạn sau khi xoáy hoặc đoạn quá độ (CD - EF) Đi kèm theo sự hình thành những khu nước xoáy và sự tăng cường mạch động thường có hiện tượng dòng chảy tách rời thành rắn. Hiện tượng này thường xảy ra trong hai trường hợp: a) Trƣờng hợp biến dạng đột ngột của thành rắn, làm dòng chảy không thể chuyển động bám theo hình dạng thành rắn, mà do quán tính phải tách khỏi thành rắn; khi đó điểm tách rời thường thường ở chỗ có biến dạng đột ngột, ví dụ trường hợp mấu gồ ghề ở thành rắn, trường hợp lòng dẫn mở rộng đột ngột (hình 4-10a,b). Hình 4-10 b) Trƣờng hợp dòng chảy bao quanh vật rắn Hình 4-11 Nếu vật rắn có dạng biến đổi đột ngột thì trở về trường hợp trên; nếu vật rắn có dạng biến đổi từ từ thì sát thành rắn bao giờ cũng hình thành lớp biên giới chảy tầng sát thành mà độ dày ngày càng tăng dọc theo chiều dài của vật rắn (hình 4-11); khi bao quanh vật rắn thì do lớp chảy tầng sát thành ngày một dày nên áp lực ở vùng đó ngày một tăng, dòng chảy càng ở gần thành rắn chảy càng chậm, đến một chỗ nhất định thì vận tốc gần thành rắn bằng không; điểm ở vật rắn ứng với chỗ u = 0 gọi là điểm tách rời, ngay 105 sau đường dòng chảy đột ngột uốn cong tách khỏi thành rắn tạo nên dòng chủ, giữa dòng chủ và mặt rắn là khu nước xoáy (hình 4-11). Tại khu đó, theo quan điểm hiện đại, mặt phân chia là nơi sinh ra xáo trộn mạnh mẽ, do đó là nơi tập trung tổn thất năng lượng. Trường hợp dòng chảy co hẹp đột ngột. Đặc điểm của dòng chảy co hẹp đột ngột là có một đoạn CD hẹp từ 1-1 đến C-C, trong đó vận tốc tăng dần, áp lực giảm dần, và một đoạn mở rộng từ C-C đến 2-2 trong đó vận tốc giảm dần, áp lực tăng dần (hình 4-12). Ở đoạn đầu hiện tượng tách rời khỏi thành chủ yếu là do sự biến đổi đột ngột của hình dạng thành rắn và do đó sinh ra khu xoáy nhỏ. Sự nảy sinh ra những xoáy nhỏ trên mặt phân chia đều không mạnh bằng so với đoạn dòng mở rộng, như vậy ở đoạn co hẹp tổn thất năng lượng ít hơn rất nhiều. Trái lại, ở đoạn mở rộng từ C-C đến 2-2 tổn thất năng lượng rất lớn so với đoạn trên. Vậy đối với sự co hẹp đột ngột, tổn thất cột nước cục bộ, tập trung vào đoạn mở rộng. Hình 4-12 Để tiện tính toán, người ta giả thiết tổn thất cột nước cục bộ xảy ra tập trung vào một mặt cắt ướt điển hình nhất, chọn trong đoạn dài có những đặc trưng của sự tổn thất cục bộ. Để xác định tổn thất cục bộ người ta thường dùng công thức Vétbátsơ: (4-47) Ở đây: c - hệ số tổn thất cục bộ, thường xác định bằng thí nghiệm; v- vận tốc trung bình, lấy ở mặt cắt trước hoặc sau nơi tổn thất cục bộ tùy theo cách xác định c. Trong nhiều trường hợp thực tế, dòng chảy ở những chỗ cần tính tổn thất cục bộ là dòng chảy rối, do đó hệ số c là chỉ số không phụ thuộc Re (tức là không phụ thuộc vào v) mà chỉ phụ thuộc vào dạng hình học của chỗ tổn thất cục bộ. Cần chú ý v trước và sau nơi tổn thất cục bộ khác nhau, do đó c, tương ứng sẽ khác nhau. Sau đây ta xét trường hợp xác định hệ số c, bằng lý luận, đó là trường hợp mở rộng đột ngột. 4.9- TỔN THẤT CỤC BỘ KHI DÕNG DẪN ĐỘT NGỘT MỞ RỘNG. CÔNG THỨC BOÓCĐA 106 Giả sử ta có dòng chất lỏng chảy trong đoạn ống cả mặt cắt mở rộng đột ngột từ diện tích  thành (hình 4-13). Thí nghiệm cho thấy những đường dòng không lượn theo thành mở rộng của ống, mà cho thấy giữa thành mở rộng của ống và mặt cắt ngoài của dùng chủ giới hạn bởi những đường dòng ac - bd, có hình thành một khu vực đầy chất lỏng chuyển động như là chảy vòng quanh tại chỗ gọi là khu xoáy. Vẽ hai mặt cắt 1-1 và 2-2 giới hạn khu ta xét (hình 4-13); với vận tốc tương ứng là v1 và v2; gọi hđm là tổn thất cột nước vì đột ngột mở rộng. Hình 4-13 ( Thí nghiệm cho thấy: ) (4-48) Nếu ta gọi hiệu số v1 – v2 là “độ hụt vận tốc” khi dòng chảy đột ngột mở rộng, thì ta có thể phát biểu kết quả trên như sau: “Tổn thất cột nước cục bộ vì dòng chảy đột ngột mở rộng bằng cột nước của “độ hụt vận tốc”. Định luật này gọi là định luật Boócđa. Công thức Boócđa có thể tính theo cột nước vận tốc trước chỗ mở rộng v1 hoặc sau chỗ mở rộng v2: ( hoặc: ( ) ) Ứng dụng phương trình liên tục v1. = v2. (  ) hoặc (   , ta có: ) Viết theo dạng tổng quát của tổn thất cột nước cục bộ (4-47), ta có: 107 hoặc: Trong đó có hệ số tổn thất cục bộ vì mở rộng đột ngột là:  ( (  ) (4-49) ) (4-50) Công thức Bóocđa cũng dùng cho trường hợp lòng dẫn là kênh hở. 4.10- MỘT SỐ DẠNG TỔN THẤT CỤC BỘ TRONG ỐNG Sau đây là một số trường hợp thường gặp về tổn thất cục bộ trong ống; những hệ số tổn thất cục bộ đều tìm bằng thí nghiệm. Những hệ số dưới đây đều dùng với vận tốc tại mặt cắt đặt sau nơi có tổn thất cục bộ (theo chiều chảy).  ( 1. Co hẹp đột ngột (hình 4-14) ) 2. Miệng vào ống: - Sắc mép (hình 4-15): vào = 0,50 - Mép tròn, thuận: vào = 0,20 - Mép vào rất thuận: vào = 0,05 3. Miệng ra của ống (hình 4-16): ( - Dùng với vận tốc trước chỗ mở rộng: ( - Dùng với vận tốc sau nơi mở rộng: Nếu khá lớn so với , thì ra   ) ) = 1. Hình 4-14 Hình 4-15 Hình 4-16 4. Nơi ống tròn uốn cong. a) Uốn đột ngột thành góc  (hình 4-17); quan hệ giữa và  khi d1 = d2:  300 400 500 600 700 800 900 0,20 0,30 0,44 0,55 0,74 0,90 1,10 b) Uốn dần dần thành góc  = 900 (hình 4-19); ( ) 108 ( ) Ở đây: r0 - bán kính ống; R - bán kính cong của trục ống. Trị số cho trong bảng sau đây: 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,13 0,14 0,16 0,21 0,29 0,44 0,66 0,98 1,41 1,98 £ với Nếu góc   90° thì bảng trên vẫn có thể dùng được bằng cách nhân % ở bảng đó . Hình 4-17 Hình 4-18 Hình 4-19 ( 5. Cửa van phẳng trong ống tròn (hình 4-20) ) 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 0 0,07 0,26 0,81 2,06 5,52 17 97,8 6. Van một chiều ở ống hút của máy bơm, có kèm theo lưới ngăn rác (hình 4-21). Có thể dùng trị số tùy theo đường kính d của ống hút như sau: 0 50 75 100 125 150 200 250 300 400 10 8 7 6,5 6 5 4,5 4 3 Nếu không có van một chiều mà chỉ có lưới: = (56). 7. Khóa nước (hình 4-22). Hệ số phụ thuộc góc mở , cho bởi bảng sau đây: 0 5 10 0,05 0,29 20 1,56 30 5,47 40 17,3 50 52,6 60 206 70 486 80  109 Hình 4-20 Hình 4-21 Hình 4-22 Tổn thất thủy lực được sử dụng trong tính toán thủy lực đường ống. 110 Chƣơng 5 DÕNG CHẢY QUA LỖ VÀ VÒI - DÒNG TIA A – DÒNG CHẢY RA KHỎI LỖ VÀ VÒI 5.1 – KHÁI NIỆM CHUNG Trên thành bình chứa chất lỏng có khoét một lỗ, dòng chất lỏng chảy qua lỗ gọi là dòng chảy ra khỏi lỗ, vòi là một đoạn ống ngắn gắn liền với thành bình chứa; dòng chất lỏng chảy qua vòi là dòng chảy ra khỏi vòi. Lý thuyết về dòng chảy qua lỗ, qua vòi là cơ sở cho sự tính toán thủy lực của cống lấy nước, cống tháo nước, âu thuyền, máy phun, đào đất, vòi chữa cháy v.v… Tổn thất năng lượng của dòng chất lỏng chảy qua lỗ, qua vòi chủ yếu là do khắc phục sức cản cục bộ tại ngay nơi có lỗ, có vòi; do đó tổn thất cột nước hầu như hoàn toàn là tổn thất cục bộ. Theo tính chất của dòng chảy khỏi lỗ, có thể phân loại lỗ như sau: 1- Theo độ cao e của lỗ so với cột nước H tính từ trọng tâm của lỗ, mà phân: lỗ nhỏ, lỗ to (hình 5-1). a) Nếu thì có lỗ nhỏ. Ta coi rằng cột nước tại các điểm của lỗ nhỏ đều bằng nhau và bằng cột nước H tại trọng tâm của lỗ. Hình 5-1 b) Nếu thì có lỗ to. Cột nước tại phần trên và phần dưới của lỗ to có trị số khác nhau rõ rệt. 2- Theo độ dày của thành lỗ, có thể phân ra lỗ thành mỏng và lỗ thành dày: a) Nếu lỗ có cạnh sắc và độ dày  của thành lỗ không ảnh hưởng đến hình dạng của dòng chảy ra thì gọi là lỗ thành mỏng (hình 5-1a). 111 b) Nếu độ dày của thành lỗ  > (34)e, ảnh hưởng đến hình dạng dòng chảy ra thì gọi là lỗ thành dày (hình 5-1b). 3- Theo hình nối tiếp của dòng chảy ra, có thể chia thành: a) Chảy tự do: Khi dòng chảy ra khỏi lỗ tiếp xúc với không khí. b) Chảy ngập: Khi dòng chảy ra khỏi lỗ bị ngập dưới mặt chất lỏng. c) Chảy nửa ngập: Khi mặt chất lỏng tại phía ngoài lỗ nằm trong phạm vi độ cao lỗ. 5.2 – DÒNG CHẢY TỰ DO, ỔN ĐỊNH QUA LỖ NHỎ THÀNH MỎNG Dòng chảy khỏi lỗ, khi cột nước tác dụng H không đổi, là một dòng chảy ổn định, tức là vận tốc, áp suất đều không thay đổi với thời gian. Khi chất lỏng chảy ra khỏi lỗ, ở ngay trên mặt mặt lỗ, các đường dòng không song song, nhưng cách xa lỗ một đoạn nhỏ, độ cong của các đường dòng giảm dần, các đường dòng trở thành song song với nhau, đồng thời mặt cắt ướt của luồng chảy co hẹp lại; mặt cắt đó gọi là mặt cắt co hẹp. Vị trí mặt cắt này phụ thuộc hình dạng của lỗ; đối với lỗ hình tròn, mặt cắt co hẹp ở cách lỗ chừng một nửa đường kính lỗ. Tại mặt cắt co hẹp dòng chảy có thể coi là dòng đổi dần; ra khỏi mặt cắt co hẹp, dòng chảy hơi mở rộng ra và rơi xuống dưới tác dụng của trọng lực. Đối với dòng chảy qua lỗ, ta cần tìm công thức tính lưu lượng của lỗ. Hình 5-2 Trước tiên tìm vận tốc vc tại mặt cắt co hẹp C-C rồi suy ra lưu lượng Q. Lấy hai mặt cắt 1-1 ở mặt tự do trong thùng chứa và C-C tại mặt cắt co hẹp của dòng chảy ra, ta chọn mặt chuẩn nằm ngang 0-0 đi qua trọng tâm của lỗ (hình 5-2) rồi viết phương trình Becnuli cho một điểm đặt tại mặt cắt 1-1 và cho điểm đặt tại trọng tâm C-C: (5-1) Ở đây: H- cột nước kể từ trọng tâm của diện tích lỗ; v0 - vận tốc trung bình tại mặt cắt 1-1; vc - vận tốc trung bình tại mặt cắt C-C; 112 hw - tổn thất của dòng chảy đi từ 1-1 đến C-C. Ở đây chủ yếu là tổn thất qua lỗ. Đặt thì phương trình (5-1) viết thành: ( ) Do vận tốc trung bình tại mặt cắt co hẹp C-C là: √ Đặt: Ở đây: √  √ √ (5-2) - hệ số vận tốc của lỗ. Vì c  1 nên: √ (5-3) √ Lưu lượng Q chảy qua lỗ là: . Ở đây: c - diện tích của mặt cắt co hẹp. Đặt  là hệ co hẹp, tức là tỷ số diện tích mặt cắt co hẹp và diện tích lỗ, ta có:  Vậy lưu lượng là: (5-4) √ √ (5-5) Ở đây:  = . là hệ số lưu lượng của lỗ. Nên chú ý rằng, ở lỗ nhỏ thì hệ số lưu lượng  chủ yếu biến đổi theo hình dạng của lỗ, còn ít có quan hệ với cột nước H. Những công thức (5-2) và (5-5) nói trên là những công thức cơ bản của dòng chảy ổn định, tự do, qua lỗ nhỏ thành mỏng. Sau đây là các loại co hẹp của dòng chảy qua lỗ nhỏ và các hình dạng của dòng chảy ra. a) Các loại co hẹp của dòng chảy ra khỏi lỗ Ta thấy rõ sự co hẹp của mặt cắt dòng chảy ra khỏi lỗ có ảnh hưởng rất lớn đến lưu lượng. Các phần tử chất lỏng chảy dọc thành bình chứa, rồi chảy về lỗ theo một đường cong có độ cong nào đó. Nếu đặt lỗ sát ngay một cạnh của thành bình thì đường cong tương ứng là một đường thẳng và bộ phận đường dòng chảy ở biên giới đó của lỗ không có co hẹp. Như vậy ta có thể chia làm 2 trường hợp (hình 5-3a): - Lỗ co hẹp toàn bộ khi trên chu vi lỗ đều có co hẹp nhiều hoặc ít (lỗ 1, lỗ 2). - Lỗ co hẹp không toàn bộ khi có một phần nào trên chu vi không co hẹp (lỗ 3, lỗ 4). 113 Hình 5-3 So với co hẹp toàn bộ thì khi co hẹp không toàn bộ, hệ số lưu lượng tất nhiên tăng lên. Theo Pavôlốpski, hệ số lưu lượng c khi có co hẹp không toàn bộ tính theo công thức: (  ) (5-6) Ở đây:  - hệ số lưu lượng khi có co hẹp toàn bộ và đồng thời hoàn thiện; p - độ dài biên giới lỗ trên đó không có co hẹp;  - toàn bộ chu vi lỗ. Nếu lỗ khoét ở các chỗ khá xa các cạnh của thành bình chứa và xa mặt tự do thì độ cong của các đường dòng là lớn nhất và dòng chảy sẽ co hẹp về mọi hướng, khi đó ta gọi là co hẹp hoàn thiện. Sự co hẹp gọi là không hoàn thiện nếu vị trí của lỗ đặt gần các thành bình chứa hoặc mặt tự do, sao cho cạnh hình chứa hoặc mặt tự do ảnh hưởng đến độ cong các đường dòng (cụ thể là giảm mức độ co hẹp) Thí nghiệm chứng tỏ: - Co hẹp hoàn thiện xảy ra khi khoảng cách của cạnh lỗ đến bất kỳ một cạnh nào của thành bình đều không nhỏ hơn ba lần kích thước theo phương so sánh của lỗ, ví dụ lỗ 1 ở hình 5-3a; l1 > 3a và l2 > 2b. - Co hẹp không hoàn thiện xảy ra khi khoảng cách từ bất kỳ một cạnh lỗ nào đến một cạnh thành bình chứa nhỏ hơn ba lần kích thước theo phương tương ứng của lỗ tức là lỗ càng gần mặt thành bình thì sự co hẹp càng yếu đi, ví dụ lỗ 2, 3, 4 trên hình 5-3, có l1 < 3b hoặc l2 < 3b. Khi sự co hẹp là co hẹp toàn bộ, nhưng không hoàn thiện thì hệ số lưu lượng kht sẽ lớn hơn hệ số lưu lượng ứng với lúc co hẹp toàn bộ và hoàn thiện. 114 [ ( ) ] (5-7) Ở đây:  - diện tích lỗ; - diện tích có tiếp xúc với chất lỏng của thành bình trên đó có khoét lỗ. Đối với dòng chảy tự do ra khỏi lỗ tròn, khi co hẹp toàn bộ và hoàn thiện, các trị số hệ số tổn thất của lỗ , hệ số vận tốc , hệ số co hẹp  và hệ số lưu lượng  về căn bản là hằng số. Đối với lỗ tròn thành mỏng d  1 cm, với  ; H  2m (đối với nước) chúng ta có những trị số sau đây: = (0,050,06);  = (0,630,64); = (0,970,98);  = (0,600,62), lấy trung bình  = 0,61. Những trị số này cần phải nhớ. Người ta thường dùng lỗ nhỏ, thành mỏng để đo lưu lượng. b) Hình dạng của dòng chảy tự do ra khỏi lỗ Quỹ đạo của dòng chảy ra khỏi lỗ khoét trên thành đứng có thể tính theo cách sau đây: Ta lấy trọng tâm của mặt cắt co hẹp C-C làm gốc tọa độ (hình 5-4) vận tốc trung bình ở đó là vc, ta coi rằng phần tử chất lỏng chuyển động theo quỹ đạo của một vật rắn rơi có tốc độ ban đầu vc, phương của quỹ đạo chuyển động này đã nghiên cứu trong cơ học chất rắn, nó có dạng: Ở đây: (5-8) √ t - thời gian cần để cho phần tử chất lỏng đi tới điểm (x, y); loại đại lượng t ở hệ (5-8), ta có: x2 = 4 2.H0.y Đó là phương trình Parabôn và quỹ tích dòng chảy ra khỏi lỗ là một parabôn. Đối với lỗ tròn nhỏ, khi = 0,97 thì: x2 = 3,76H0.y Hình 5-4 Cần chú ý rằng mặt cắt của dòng chảy ra khỏi lỗ thành mỏng biến đổi hình dạng một cách liên tục, vì chủ yếu do mức độ co hẹp về các phương không như nhau, đồng 115 thời do tác dụng của sức căng mặt ngoài. Ví dụ dòng chảy ra khỏi lỗ hình tròn có mặt biến dạng thành hình elíp, ra khỏi lỗ hình vuông dòng chảy có mặt cắt biến thành hình tám cạnh, rồi hình chữ thập; từ lỗ tam giác, mặt cắt dòng chảy biến thành hình chữ Y (hình 5-4b). 5.3 – DÒNG CHẢY NGẬP, ỔN ĐỊNH QUA LỖ THÀNH MỎNG Khi ở sau lỗ có mặt tự do của chất lỏng nằm cao hơn lỗ, dòng chảy ra khỏi lỗ bị ngập. Cột nước tác dụng bằng hiệu số cột nước ở thượng lưu và hạ lưu. Do đó, với dòng chảy ngập không cần phân biệt lỗ to, lỗ nhỏ. Đối với dòng chảy ngập ổn định cũng dùng phương trình Becnuli để tìm công thức tính lưu lượng. Ta lấy hai mặt cắt 1-1 và 2-2 khá cách xa lỗ, tại 2 mặt đó dòng chảy phù hợp với điều kiện chảy đổi dần (hình 5-5), lấy mặt chuẩn là mặt phẳng nằm ngang đi qua trọng tâm O của lỗ và giả định vận tốc trung bình tại mặt cắt 2-2 có thể bỏ đi được. Phương trình Becnuli viết cho mặt cắt 1-1 và 2-2 là: (5-9) Ở đây: - cột nước vận tốc tiến gần; hw- tổn thất cột nước khi chất lỏng qua lỗ, tính theo vận tốc vc tại mặt co hẹp C-C và hệ số sức cản  : ∑ Hình 5-5 Sau khi thu gọn, ta có: ∑ Hoặc: ∑ Ở đây: H là hiệu số cột nước của thượng và hạ lưu, H = h1 - h2, do đó: √∑ √ 116 Đặt: √∑ ta được: √ Cũng như trên, hệ số co hẹp là: Vậy lưu lượng qua lỗ ngập là: √ hoặc: √ (5-10) Ở đây:  - hệ số lưu lượng của lỗ bị ngập:  = . . Ta nghiên cứu tổn thất cột nước hw. Nó do hai loại tổn thất tạo nên: tổn thất khi và tổn thất vì đột nhiên mở rộng do chỗ dòng chất lỏng từ mặt cắt co hẹp qua lỗ chảy vào bể nước ở hạ lưu ( ) , vì v2  0, nên tổn thất đột nhiên mở rộng còn bằng , vậy: ∑ ( ) (5-11) Do đó hệ số vận tốc bằng: (5-12) √ Như vậy hệ số vận tốc ở lỗ bị ngập (5-12) và hệ số vận tốc khi chảy tự do qua lỗ (5-3) bằng nhau; ở cả hai trường hợp, hệ số co hẹp  không khác gì nhau, do đó công thức dòng chảy ra khỏi lỗ khi chảy tự do và khi bị ngập giống nhau về hình thức và hệ số lưu và hạ lưu (nếu không kể đến vận tốc trung bình ở mặt cắt thượng và hạ lưu) còn khi chảy tự do thì H là cột nước kể từ trọng tâm lỗ. 5.4 – DÒNG CHẢY TỰ DO, ỔN ĐỊNH QUA LỖ TO THÀNH MỎNG Ở lỗ to, cột nước tại bộ phận trên và bộ phận dưới của lỗ có trị số khác nhau lớn. Ta phân chia mặt cắt ướt của lỗ to thành nhiều dải nằm ngang, cao dh, ở đó dòng chảy qua những dải vi phân ấy được coi là dòng chảy qua lỗ nhỏ, vậy lỗ to là do nhiều lỗ nhỏ hợp lại. Xét ví dụ trường hợp lỗ to hình chữ nhật. Lỗ to hình chữ nhật rộng b, cột nước tác dụng lên trọng tâm của một vi phân diện tích lỗ to là h (hình 5-6) và giả thiết hệ số lưu lượng đi qua vi phân diện tích đó là ’. Dùng công thức lưu lượng chảy qua lỗ nhỏ thành mỏng ta có: √ (5-13) Lưu lượng chảy qua lỗ to là: ∫ √ 117 Hình 5-6 √ Hoặc: ( ⁄ ⁄ ) (5-14) Ở đây:  - hệ số lưu lượng của lỗ to và giả định nó bằng trị số trung bình của vô số hệ số lưu lượng ’ của lỗ nhỏ. Gọi H0 là cột nước của trọng tâm lỗ to, vậy: ( ( và ) ) Ở đây: e - độ cao của lỗ, thay vào hệ thức (5-14), có: ⁄ √ [( ) ⁄ ( ) ⁄ ] (5-15) Mang lượng trong ngoặc khai triển theo nhị thức Niutơn: √ ⁄ *( ) ⁄ √ [ √ √ [ [ ( )+ ( ) ] ( ) ] ( ) ] (5-16) Ở đây:  - diện tích lỗ to. Vì lượng ( ) rất nhỏ so với 1 nên có thể bỏ đi. Vậy công thức lưu lượng chảy tự do qua lỗ to thành mỏng hình chữ nhật là: √ (5-17) Suy luận theo cách trên, thì đối với lỗ to hình tròn ta cũng đi tới công thức có dạng giống như công thức (5-17), nhưng trị số  khác. Thí nghiệm của Pavơlốpski cho những trị số  ứng dụng vào lỗ to như sau (bảng 5-1). 118 Ví dụ 1: Tìm lưu lượng qua một cống hình chữ nhật có bề rộng b = 2,5 m, độ mở của cánh cửa cống a = 0,8 m, chiều sâu ở thượng lưu h = 2 m (hình 5-7) Giải: Trọng tâm của lỗ chịu tác dụng của cột nước H bằng: Như vậy với tỷ số: , ta phải coi lỗ cống đang xét là lỗ to. Theo bảng 5-1 ta có thể chọn  = 0,85. Với H  H0, tính lưu lượng theo công thức (5-17): √ Bảng 5-1: Hệ số lƣu lƣợng  cho lỗ to  Loại lỗ Lỗ loại trung, dòng chảy co hẹp đều đặn về mọi phương, không có tấm dẫn nước 0,65 Loại lỗ to dòng chảy co hẹp, đều đặn về mọi phương, nhưng co hẹp không hoàn thiện. 0,70 Lỗ khoét ở đáy, không co hẹp ở cạnh đáy, sự co hẹp về các phương khác có ảnh hưởng rõ rệt. 0,650,70 - Lỗ khoét ở đáy, không co hẹp ở cạnh đáy, sự co hẹp về các phương khác có ảnh hưởng vừa phải. 0,700,75 - Lỗ khoét ở đáy, không co hẹp ở cạnh đáy, sự co hẹp ở 2 bên phù hợp với nhau. 0,800,85 - Lỗ khoét ở đáy, không co hẹp ở cạnh đáy, sự co hẹp ở các phương khác rất bé. 0,90 Hình 5-7 Hình 5-8 5.5 – DÒNG CHẢY NỬA NGẬP, ỔN ĐỊNH QUA LỖ TO THÀNH MỎNG Vấn đề này chưa được nghiên cứu đầy đủ. Trong các cách tham khảo có hai loại phương pháp tính lưu lượng chảy qua lỗ nửa ngập. + Một phương pháp là chia lỗ thành hai bộ phận (hình 5-8) - Bộ phận trên tính theo chảy tự do, lưu lượng Q1. - Bộ phận dưới tính theo chảy ngập, lưu lượng là Q2. Sau đó tính Q theo: 119 Q = Q1 + Q2 + Một phương pháp khác do Pavơlốpski đề nghị dùng công thức:  √ (5-18) Ở đây:  - hệ số chảy ngập;  - hệ số lưu lượng khi chảy không ngập. H - độ chệnh mức ở thượng lưu và hạ lưu. Hệ số  tìm bằng phương pháp thí nghiệm xem ở bảng 5-2,  ( ) (hình 5-8) Trong nhiều trường hợp, nếu , có thể tính như dòng chảy không ngập. Bảng 5-2: Bảng cho trị số của hệ số ngập  ở trong lỗ thành mỏng nửa ngập H1/H2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,1 0,99 0,99 0,99 0,99 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,97 - 0,2 0,98 0,97 0,97 0,97 0,96 0,96 0,95 0,95 0,94 - - 0,3 0,97 0,96 0,96 0,95 0,93 0,92 0,91 0.91 - - - 0,4 0,96 0,95 0,93 0,92 0,90 0,88 0,87 - - - - 0,5 0,94 0,92 0,90 0,87 0,84 0,82 - - - - - 0,6 0,91 0,89 0,85 0,80 0,76 - - - - - - 0,7 0,86 0,82 0,76 0,68 - - - - - - - 0,8 0,78 0,71 0,58 - - - - - - - - 0,9 0,62 0,43 - - - - - - - - - 1,0 0,00 - - - - - - - - - - Hn/H2 5.6- DÒNG CHẢY KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA LỖ NHỎ THÀNH MỎNG Khi dòng chảy qua lỗ mà mặt chất lỏng thay đổi trong bình chứa thì sinh ra dòng chảy không ổn định. Dòng chảy không ổn định là một trong những vấn đề phức tạp của thủy lực. Ở đây chỉ nghiên cứu dòng chảy không ổn định khi độ cao của mặt chất lỏng trong bình chứa thay đổi từ từ, tức là trong một thời gian rất ngắn, có thể coi mặt nước căn bản không thay đổi; như vậy trong thời gian đó có thể ứng dụng công thức chảy ổn định qua lỗ nhỏ thành mỏng. Sau đây ta nghiên cứu mấy trường hợp đơn giản. Gọi: Q = f1(t) là lưu lượng chảy qua lỗ ra khỏi bình chứa, 120 q = f2(t) là lưu lượng chảy vào bình chứa; h = f3(t) là cột nước đối với tâm lỗ = f4(H) là diện tích mặt tự do trong bình chứa. Lưu lượng chảy qua lỗ tính được theo √ . Ta chia khoảng thời gian lớn t ra nhiều khoảng thời gian (thời đoạn) vô cùng nhỏ dt, ứng với mỗi đoạn, cột nước tác dụng h0 coi như không đổi, do đó trong thời đoạn dt, thể tích chất lỏng chảy ra khỏi thành chứa Q.dt, thể tích chảy vào bình chứa là q.dt và thể tích tăng lên hay giảm đi trong bình chứa .dh. Ta quy ước rằng lưu lượng chảy vào bình chứa là số dương (q > 0) và chảy ra khỏi bình chứa là số âm (Q < 0). Tổng số đại số thể tích chất lỏng chảy vào và chảy ra bằng sự biến thiên thể tích của bình chứa trong thời đoạn đang xét: q.dt – Q.dt = .dh Do đó: (5-19) Phương trình vi phân này cho phép ta giải quyết các bài toán dòng chảy không ổn định qua lỗ, kết hợp với những phương trình cho biết quy luật cụ thể của q, Q và . Ta xét 3 trường hợp riêng sau đây: a) Mặt nƣớc thƣợng lƣu biến đổi, dòng chảy tự do qua lỗ nhỏ Giả thiết chất lỏng chảy qua lỗ nhỏ vào không khí, ta phải tính thời gian t1-2 cần thiết để mức nước trong bình từ vị trí 1-1 đến 2-2 (hình 5-9). Bài toán này có thể giải được trong trường hợp q  0. Tuy nhiên để giản đơn việc trình bày, giả thiết rằng q = 0. Ta có thể viết lại phương trình (5-19) như sau: (5-20) √ Hình 5-9 Tích phân phương trình (5-20) từ h0 = H01 đến h0 = H02, ta tính được thời gian t1-2. ∫ √ 121 Bài toán có thể giải hoàn toàn nếu biết rõ biểu thức toán học của hàm số và nếu tính ra được tích phân ∫ = f4(h) . √ Để đơn giản việc tính toán, giả thiết rằng = const và không cần thiết tính vận tốc tiến gần v0 (v0  0) tức là coi h0  h, ta có được kết quả sau: ∫ √ √ √ (√ √ ) (5-21) Nếu H2 = 0 thì công thức (5-21) thành: (5-22) √ √ Hoặc: (5-22’) √ √ Trong công thức (5-22’), là thể tích chất lỏng chảy ra khỏi bình chứa, còn là lưu lượng qua lỗ dưới cột nước H1 giữ không đổi. Vậy công thức (5-22’) √ biểu thị thời gian cần để cho chất lượng dưới tác dụng của cột nước H1 không đổi, sẽ √ chảy ra khỏi lỗ một thể tích . Do đó, ta có thể kết luận rằng: Khi cột nước thay đổi, thời gian cần để tháo cạn bình chứa có tiết diện hình trụ bằng hai lần thời gian cần thiết để tháo ra một thể tích tương đương nhưng dưới tác dụng của cột nước không đổi. Nếu bình chứa không phải là hình trụ mà có hình dạng bất kỳ (Ví dụ hồ chứa) trên cơ sở xác định được = f(h) (chẳng hạn xác định bằng cách trắc đạc địa hình) ta tính ra được những khoảng thời gian t theo (5-20) với những h tương ứng (chọn h đủ nhỏ để được coi là hằng số): √ và ta có được: t =  t b) Mặt nƣớc thƣợng lƣu không đổi, mặt nƣớc hạ lƣu thay đổi Ta phải tính thời gian t1-2 cần thiết để mực nước ở hạ lưu dâng từ vị trí 1-1 đến vị trí 2-2 (hình 5-10) ta viết lại phương trình (5-19) trong đó, đối với bình chứa hạ lưu mà ( √ nói, ta có: Q = 0, √ ) , ta được: ( (5-23) ) đến h = H2 ta có được thời gian t1-2 phải tìm: Tích phân (5-23) từ ∫ √ ( ) Để đơn giản việc trình bày, ta giả thiết √ ∫ √ √ ∫ ( √ = const ta có: ) √ (√ √ ) 122 Hình 5-10 Giả thiết lức đầu tháo nước vào hạ lưu , ta để cho mực nước hạ lưu lên ngang mực nước thượng lưu tức là H2 = H1 thì thời gian cần thiết cho đầy bình chứa hạ lưu bằng: √ √ √ So sánh (5-24) và (5-22’) ta thấy rằng: cùng ở điều kiện H1 và gian cần để tháo cạn và chảy đầy bình chứa hoàn toàn giống nhau. (5-24) như nhau, thời c) Mặt nƣớc thƣợng và hạ lƣu đều thay đổi Ta có hai bình chứa A và B thông nhau bằng lỗ có diện tích , cột nước trên lỗ ở bình A là z1 ở bình B là z2 khi nước chảy qua lỗ thì mặt tự do ở A hạ xuống, mặt tự do ở B tăng lên, do đó độ chênh cột nước z1 - z2 = h tác dụng vào lỗ cũng giảm dần cho đến khi mực nước ở hai bình chứa cao bằng nhau thì chất lỏng không chảy qua lỗ nữa. Ta cần tìm thời gian t1-2 cần thiết để cho mực nước ở A và B ngang bằng nhau. Từ đó rút ra: Xét một bình (ví dụ bình B). Bình B chỉ có lưu lượng vào tức là q  0, không có lưu lượng ra Q = 0. Hình 5-11 Công thức (5-19) viết thành: √ ( ) (5-25) 123 Vì h = z1 - z2, công thức (5-25) viết thành: (5-26) √ Thể tích chất lỏng bớt đi ở bình A bằng thể tích chất lỏng tăng lên ở bình B trong cùng một thời gian. - 1.dz1 = 2.dz2 (5-27) Vì z1 giảm đi khi t tăng lên, do đó dz1 là số âm, nên phải đặt dấu (-) trước dz1 để vế trái đẳng thức (5-27) thành số dương. Như vậy: (5-28) ( Ta lại có: ) Từ đó rút ra: Thay trị số dz2 trên vào (5-26) ta được: √ Để đơn giản việc tính toán giả thiết phân (khi t = t1, h = H1; khi t = t2, h = H2): ∫ 1 = const; √ (√ 2 = const; như vậy có thể tích √ ) (5-29) Giả thiết lúc t = t2, H2 = 0 tức là mực nước hai bình ngang nhau, công thức (5-29) viết thành: √ √ (5-30) Nếu tiết diện của một bình rất lớn so với bình kia, thì công thức (5-30) trở thành (5-24): √ √ 5.7- DÒNG CHẢY QUA VÒI Vòi là một đoạn ống gắn vào lỗ thành mỏng, có độ dài khoảng vài lần đường kính lỗ, chất lỏng chảy qua vòi thường sinh ra co hẹp ở chỗ vào vòi, sau đó mở rộng ra và chảy đầy vòi. Khoảng không gian giữa mặt ngoài dòng chảy tại chỗ co hẹp và mặt thành vòi là một khu nước xoáy, áp suất nhỏ hơn áp suất không khí nên ở đó hình thành chân không. Trị số chân không lớn nhỏ tùy theo cột nước tác dụng vào vòi. Vì trong vòi có sinh ra chân không nên lưu lượng của vòi thông thường lớn hơn lưu lượng của lỗ; đó là đặc tính cơ bản của vòi, chú ý rằng vòi chỉ có đặc tính trên, khi chất lỏng chảy đầy vòi. Người ta thường phân vòi làm ba loại: 1- Vòi hình trụ tròn: Tùy theo vị trí gần vòi mà chia vòi làm trụ tròn gắn ngoài (hình 5-12a), vòi trụ tròn gắn trong (hình 5-12b). 124 2- Vòi hình nón: Hình nón có thể mở rộng hoặc thu hẹp theo phương chảy mà có thể chia làm vòi hình nón mở rộng (hình 5-12c) và vòi hình nón thu hẹp (hình 5-12d). 3- Vòi hình đường dòng (hình 5-12e). Hình 5-12 Vòi hình trụ tròn gắn ngoài (hình 5-13) gọi là vòi Venturi. Nó là một ống thẳng hình trụ tròn, dài l = (34)d, d là đường kính của vòi. Gọi cột nước tại trọng tâm mặt cắt ngang của vòi là H. Ta lấy mặt cắt 1-1 đi qua mặt tự do trong bình chứa và mặt cắt 2-2 tại chỗ ra của vòi, mặt chuẩn là mặt nằm ngang đi qua trọng tâm của 2-2. Viết phương trình Becnuli cho một điểm ở 1-1 và cho điểm trọng tâm ở 2-2. (5-31) Ở đây: v- vận tốc trung bình tại mặt cắt 2-2. Đặt: Ta có: Hình 5-13 Tổn thất năng lượng hw do: tổn thất ở thành lỗ tính tại mặt cắt co hẹp 1-1: tổn thất vì dòng nước từ mặt cắt co hẹp đột nhiên chuyển hướng tại vòi: dọc đường ; và tổn thất . 125 (5-32) Ta biết rằng hệ số sức cản vì mở rộng đột ngột là: ( ) ( ) Ở đây:  - hệ số co hẹp;  - diện tích mặt cắt co hẹp; vì vc.c = v. do đó Thay các giá trị trên vào (5-32), ta có: [ [ Do đó: Tức là: ( ( ) ] ) ] √ √ ( ) Lấy 2 = 1 và đặt: √ thì (5-33) ( ) √ (5-34) Cuối cùng công thức lưu lượng chảy ra khỏi vòi viết dưới dạng: √ √ (5-35) Dòng chảy ra khỏi vòi tại nơi ra không có hiện tượng co hẹp, hệ số co hẹp tại lỗ ra của vòi bằng 1; như vậy hệ số vận tốc và hệ số lưu lượng  của vòi bằng nhau. Từ hệ thức (5-33) và (5-35) có thể thấy: khi độ dài l của vòi tăng lên thì cũng tăng theo, kết quả làm  giảm đi, và ngược lại l của vòi ngắn thì  tăng; nhưng l phải ngắn có giới hạn vì điều kiện làm việc của vòi là khu vực chân không không bị phá hoại; nếu vòi quá ngắn dòng chảy trở thành qua lỗ,  cũng giảm. Người ta nghiên cứu  lớn nhất khi độ dài l của vòi là l = (34)d. Ống ngắn như vậy mới gọi là vòi. Theo tài liệu về chảy qua lỗ: (5-33) có thể tìm ra  = 1 = 0,06;  = 0,64, lấy và = 0,02 thì theo = 0,82. Nếu so sánh công thức tính lưu lượng chảy qua vòi (5-35) và công thức lưu lượng chảy qua lỗ (5-4) thì ta thấy hai công thức hoàn toàn giống nhau: hai công thức ấy khác nhau chủ yếu ở trị số lưu lượng: lỗ  0,61, vòi = 0,82. Như vậy vòi = 1,34lỗ. Nếu trong công thức về hệ số vận tốc của vòi (5-33) ta thấy  = 0,64; = 1, muốn cho =  = 0,61 ta phải có = 0,02, 2 . Vậy lưu lượng qua một ống dài bằng 55 lần đường kính ống vẫn bằng lưu lượng qua lỗ. Nếu ống ngắn hơn thì lưu lượng lớn hơn. 126 Tiếp đây là trị số chân không trong vòi. Ta lấy mặt cắt 1-1 và C-C (hình 5-13) rồi viết phương trình Becnuli: (5-36) Ở đây: pc - áp suất tại mặt cắt co hẹp C-C; - tổn thất cột nước từ 1-1 đến C-C tức là tổn thất qua lỗ Gọi . , đồng thời lấy c = 1 thay vào (5-36), sau khi thu và gọn có: ( ) Gọi hck là độ cao chân không; từ (5-34) rút ra: , thay vào biểu thức trên: [( Với 1 = 0,06,  = 0,64, )( ) ] (5-37) =  = 0,82, ta có: hck = 0,75H0 Hệ thức (5-37) cho thấy độ cao chân không trong vòi phụ thuộc vào H và trị số khá lớn. Để thấy rõ thêm tác dụng của chân không trong vòi đối với lưu lượng của vòi, từ (5-36) ta viết: Vì ; trong đó ( 1 là hệ số tổn thất chảy qua lỗ, ta viết: ) hoặc: c = 1 và từ (5-3) ta viết được: √ ( √ ) √ ( ) Do đó: √ ( ) √ ( ) (5-38) Rõ ràng là so với công thức lưu lượng qua lỗ (5-5), công thức (5-38) cho thấy Qvòi > Qlỗ, do tác dụng của chân không. Ta thấy rằng nếu tăng H0 thì độ cao chân không hck tăng lên, do đó lưu lượng cũng tăng lên; nhưng không thể tùy tiện tăng H0 được vì trị số chân không có giới hạn, xác định bởi trị số áp suất bốc hơi; nếu chân không trong vòi quá lớn, tức là áp suất tuyệt đối ở khu chân không qua nhỏ, thì có khả năng không khí bên ngoài chui qua lỗ ra của vòi mà đi vào khu chân không và phá hoại chân không. Muốn vòi làm việc được thì trị số 127 chân không trong vòi không được lớn hơn trị số chân không giới hạn, tính ra bằng 7 m; theo (5-37) cột nước có tác dụng của vòi H0 không được lớn hơn giới hạn sau: Do đó hai điều kiện đầy đủ cho vòi hình trụ tròn gắn ngoài có thể làm việc được bình thường và ổn định là: l = (34)d hck  7 m hoặc H0  9 m Dùng vòi hình trụ gắn ngoài, ta có thể tăng lưu lượng được 32% so với dùng lỗ nhỏ thành mỏng. Ví dụ: Để thoát nước qua một cái đập, người ta đặt ống ngắn hình trụ tròn (hình 514), có đường kính d = 1 m, dài l = 4 m, tâm ống ở cách mặt nước thượng lưu H = 3 m. Tìm lưu lượng qua ống? Giải: Vì l = 4d nên ta có thể coi ống ngắn đó như vòi hình trụ tròn gắn ngoài. Hệ số lưu lượng của vòi  = 0,82. Theo (5-35), ta có: √ √ Vì H = 3 m < H0gh = 9 m nên chân không trong vòi được bảo đảm không bị phá hoại. Hình 5-14 Các loại vòi khác: Mỗi loại vòi có đặc tính riêng. Vòi hình trụ tròn gắn trong, còn gọi là vòi Boócđa (hình 5-12b) có khu vực chân không với l > 3d, có tổn thất nhiều hơn vòi Venturi. So với lỗ nhỏ thành mỏng, vòi này tăng lưu lượng được 15%. Vòi hình nón rộng (hình 5-12c) giống như vòi hình trụ tròn, cũng có sinh ra chân không ở mặt cắt co hẹp và trị số chân không tăng lên khi góc của hình nón tăng lên; nó có khả năng cho một lượng nước tương đối lớn chảy qua, nhưng vận tốc tại lỗ ra tương đối nhỏ. Do đó, vòi hình nón mở rộng dùng cho chỗ nào cần chân không lớn, ví dụ như bơm phun, thang máy 128 thủy lực v.v… và dùng cho chỗ nào cần vận tốc ở lỗ ra tương đối nhỏ ví dụ khí cụ làm mưa nhân tạo. Vòi hình nón thu hẹp (hình 6.12d) dùng để tăng vận tốc ở lỗ ra, do đó tạo nên dòng tia có động năng lớn, ví dụ: vòi phun trong máy đào đất thủy lực, trong máy tuabin thủy lực kiểu xung kích, vòi phun chữa cháy. Vòi hình đường dòng (hình 5-12e) có sức cản nhỏ nhất, cho nên có hệ số lưu lượng lớn nhất, và dòng tia ở lỗ ra có động năng lớn nhất. Ta có thể so sánh động năng của dòng chảy ra khói lỗ và ra khỏi các loại vòi. Lưu lượng qua lỗ, vòi, như đã biết, biểu thị bởi: √ Vận tốc qua lỗ, vòi biểu thị bởi: √ Động năng của dòng chảy ra khỏi lỗ, vòi tính bởi: √ √ Vậy với những vị trí số , , H0 bằng nhau thì khả năng thoát nước và động năng của dòng chảy qua lỗ, vòi phụ thuộc vào  và . 2. Từ những trị số ghi trong bảng 5.3 ta thấy muốn có dòng chảy mang động năng lớn, ta dùng vòi hình nón thu hẹp và vòi hình đường dòng, hoặc có thể dừng lỗ nhỏ thành mỏng; muốn có dòng mang động năng nhỏ, ta dùng vòi hình nón mở rộng. Bảng 5-3: Bảng so sánh năng lực công tác của lỗ thành mỏng và các loại vòi . Hệ số tổn thất Hệ số co hẹp  Hệ số vận tốc Hệ số lƣu lƣợng  1. Lỗ tròn thành mỏng 0,06 0,64 0,97 0,62 0,583 2. Vòi trụ gắn ngoài 0,5 1,0 0,82 0,82 0,551 3. Vòi trụ tròn gắn trong 1,0 1,0 0,707 0,707 0,358 4,03,0 1,0 0,450,5 0,450,5 0,091 5. Vòi hình nón thu hẹp ( = 13024) 0,09 0,98 0,96 0,94 0,894 6. Vòi hình đường dòng 0,06 1,0 0,98 0,98 0,913 Loại vòi và lỗ 4. Vòi hình nón mở rộng [ = (57)0] 2 B – DÒNG TIA 5.8- ĐỊNH NGHĨA Dòng chất lỏng có kích thước hữu hạn, không bị giới hạn bởi những thành rắn, chuyển động trong môi trường chất lỏng cùng loại hoặc khác loại được gọi là dòng tia. Dòng tia có hai loại: dòng tia ngập và dòng tia không ngập. Dòng tia ngập là dòng tia chuyển động trong môi trường chất lỏng cùng loại hoặc trong không gian đầy nước. Ví dụ: Dòng nước từ những vòi đặt ngầm dưới mặt nước trong sông phun ra để khuấy những phù sa lắng đọng. 129 Dòng tia không ngập là dòng tia chuyển động trong môi trường khí. Ví dụ: những dòng tia của vòi chữa cháy, máy phun mưa và các ống phun. Về dòng tia ngập, đã được nghiên cứu tương đối nhiều so với dòng tia không ngập. Trạng thái chảy trong dòng tia có thể là chảy tầng hoặc chảy rối, nhưng thường gặp trong thực tế là trạng thái chảy rối. Dưới đây ta chỉ đề cập đến trạng thái chảy rối của dòng tia. 5.9- PHÂN LOẠI, TÍNH CHẤT DÒNG TIA 5.9.1- Dòng tia ngập Dòng tia chảy vào môi trường chất lỏng cùng loại hoặc trong nước, do ma sát với chất lỏng xung quanh mà mở rộng dần ra rồi tiêu tan vào môi trường chất lỏng. Trong quá trình dòng tia mở rộng, những phần tử chất lỏng ở môi trường không chuyển động, tiếp xúc với dòng tia, bị lôi đi theo, do đó một khối lượng chất lỏng nhất định bị thu hút vào chuyển động. Cấu tạo của dòng tia, đưa vào sự phân tích giản đồ phân bố vận tốc trên những mặt cắt ngang của dòng tia bao gồm (hình 5-15). a) Khu lõi hoặc khu tốc độ không đổi, bắt đầu từ mặt cắt đầu ở miệng vòi, nhỏ dần và kết thúc ở mặt cắt tại đó chỉ có tốc độ ở trục dòng tia bằng tốc độ u0 tại mặt cắt đầu; trong phạm vi khu lõi, tốc độ mọi điểm đều bằng u0. Đường giới hạn khu lõi là đường nối các điểm giới hạn của miền có tốc độ không đổi bằng u0. Hình 5-15 Thí nghiệm chứng minh rằng đường giới hạn này là một đường thẳng. b) Khu tầng biên giới là khu có tốc độ liên tục biến đổi cho tới nơi có tốc độ bằng không. Đường nối các điểm tốc độ bằng không là đường phân chia. Thí nghiệm chứng tỏ đường phân chia là một đường thẳng, trên thực tế có sự trao đổi những phần tử chất lỏng bằng mạch động giữa khu tầng biên giới và môi trường chất lỏng xung quanh đường phân chia. Theo chiều dài của dòng tia có thể chia làm hai đoạn: 130 - Đoạn đầu: từ mặt cắt đầu đến mặt cắt quá độ tức là mặt cắt kết thúc khu lõi; trong phạm vi đường phân chia ở đoạn đầu, có hai khu: khu lõi và khu tầng biên giới. - Đoạn cơ bản: từ mặt cắt quá độ trở đi, trong phạm vi hai đường phân chia, đoạn cơ bản chỉ bao gồm tầng biên giới: tốc độ tại trục dòng tia giảm dần. Giao điểm của hai đường phân chia gọi là điểm cực của dòng tia về tính chất định lượng của dòng tia, có thể nêu lên một số kết quả nghiên cứu chủ yếu như sau: + Về sự biến thiên của tốc độ trên trục dòng tia. Trong đoạn đầu, tốc độ giữ không đổi và bằng tốc độ u0 tại mặt cắt đầu; trong đoạn cơ bản, thí nghiệm chứng tỏ rằng tốc độ u1 trên trục dòng tia ở mặt cắt đầu một khoảng l và biến thiên theo quy luật hypecbôn: Ở đây: d0- đường kính của dòng tia ở mặt cắt đầu; - hệ số thí nghiệm. Trong những dòng tia không khí phun vào không gian đầy không khí: * Theo những thí nghiệm của Milovit: =6 * Theo thí nghiệm của Abơramôvit: (5-39) Trong những dòng tia phun vào không gian đầy nước: * Theo những thí nghiệm của Cônôvalốp: (5-40) + Trong trường hợp phân bố đều tốc độ mặt cắt đầu, áp lực tong dòng tia bằng áp lực của môi trường xung quanh. Đó là một kết luận quan trọng làm cơ sở nghiên cứu cho nhiều vấn đề về dòng tia chảy ngập. 5.9.2- Dòng tia không ngập Xét một dòng tia không ngập, từ ống hình tròn ra, phun vào không khí, ta có thể chia dòng làm ba phần (hình 5-16). Hình 5-16 - Phần liên kết chặt: trong phần này, dòng tia còn giữ nguyên hình trụ; các hạt chất lỏng vẫn liên kết chặt nên chất lỏng vẫn liên tục, không có những khu bị không khí lẫn vào. - Phần rời rạc: trong phần này sự liên tục chất lỏng bị phá hoại, dòng tia mở rộng, bắt đầu có những hạt nước lớn. 131 - Phần mưa bụi: trong phần này dòng tia gồm những hạt nước rất nhỏ, riêng biệt. Trong thực tế, dòng tia không ngập có thể dùng vào những yêu cầu khác nhau như: Dùng dòng tia để phá vỡ đất (súng thủy lực), khi đó sử dụng phần liên kết chặt; dùng dòng tia để chữa cháy (cần dòng tia có bán kính hoạt động lớn và sức xung kích mạnh); làm mưa nhân tạo để tưới (sử dụng phần mưa bụi của dòng tia). Muốn phát triển phần liên kết chặt của dòng tia, cần phải dùng những loại vòi đặc biệt nhằm làm giảm sự rối của dòng chảy và loại trừ tính chất chuyển động xoắn của dòng chảy ở miệng vòi. Muốn phát triển mưa bụi và rút ngắn phần liên kết chặt của dòng tia, cần đặt những bộ phận chia dòng ở vòi. Sau đây là một vài công thức tính toán về dòng tia không ngập, chủ yếu dựa vào kết quả thí nghiệm. Hình 5-17 Đối với dòng tia phun ra thẳng đứng (hình 5-17a) độ cao của đoạn liên kết chặt Hk tính từ miệng vòi phun, tính theo: (5-41) Ở đây: H - cột nước tại miệng vòi, có thể lấy ; v- tốc độ ở miệng vòi; - hệ số thí nghiệm phụ thuộc đường kính của vòi: d - tính ra mét; Hc - độ cao của dòng tia, tức khoảng cách từ miệng vòi đến nơi mà dòng tia không phun cao hơn nữa được: ; - hệ số thí nghiệm, phụ thuộc Hc tính theo bảng 5-4: Bảng 5-4 Hc (m) 7 9,5 12 14,5 17,2 20 22,9 24,5 26,8 0,84 0,84 0,835 0,825 0,815 0,805 0,79 0,785 0,76 132 Đối với dòng tia phun nghiêng (hình 5-17b) còn ít nghiên cứu, trên cơ sở thí nghiệm người ta kết luận rằng: Khi góc nghiêng  của tia phun đối với mặt nằm ngang biến đổi từ 00 đến 900: • Bề dài của đoạn liên kết chặt Rk không đổi và bằng độ cao của dòng tia khi phun thẳng đứng Hc: Rk = Hc. • Khoảng cách từ miệng vòi đến hết đoạn mưa bụi Rb càng ngắn lại, và có thể tính theo công thức kinh nghiệm Rb = k.Hc (trong đó k là hệ số thí nghiệm phụ thuộc góc nghiêng , trị số k cho bởi bảng sau đây (bảng 5-5). Bảng 5-5  k 00 1,40 150 1,30 300 1,20 450 1,12 600 1,07 750 1,03 900 1,00 Trong những giáo trình chuyên môn sâu có những công thức cho phép chúng ta tính toán sâu hơn về dòng tia. 5.10 – NHỮNG ĐẶC TÍNH ĐỘNG LỰC CỦA DÒNG TIA Ta nghiên cứu tác dụng tương hỗ giữa dòng tia và vật rắn đặt chắn dòng tia. Dòng tia phun ra từ miệng vòi hoặc miệng lỗ, xô vào một vật rắn đặt trong đoạn liên kết chặt của dòng tia. Trước hết, ta nghiên cứu trường hợp vật rắn đứng cố định: dòng tia hình trụ thoát ra từ lỗ hoặc vòi có trục nằm ngang x-x gặp trên đường đi của nó vật cản dạng mặt rắn cố định liền chia thành hai nhánh đi theo mặt vật rắn có phương hợp với trục x-x một góc 1 và 2 (hình 5-18). Áp lực ⃗ của dòng tia tác dụng lên thành vật rắn hợp với dòng tia một góc , ngược lại dòng tia chịu một phản lực ⃗ của vật chắn (⃗ ⃗ ). Ta viết phương trình động lượng cho đoạn dòng tia giới hạn bởi mặt cắt vào 0-0 và mặt cắt ra 1-1 và 2-2, động lượng trong một giây tại những mặt cắt đó là m0.v0 , m1.v1 và m2.v2. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Hình chiếu của những vectơ động lượng đó lên trục N-N là m0.v0, m1.v1.cos1 , m2.v2.cos2, trong đó 1 và 2 là những góc lập bởi những vectơ động lượng tại 1-1 và 22 với trục N-N, và ta có m0 = m1 + m2 xung lực tác dụng vào đoạn dòng tia đó là R, hình chiếu của nó lên trục N-N là R.cos, trong đó  là góc lập bởi vectơ phản lực ⃗ và trục N-N. Vậy theo định luật động lượng, ta có: m1.v1.cos1+ m2.v2.cos2- m0.v0 = R.cos (5-42) Ở đây: m0 = Q0.v0 ; m1 = Q1.v1 ; m2 = Q2.v2 là khối lượng chất lỏng đi qua mặt cắt 0-0, 1-1, 2-2 trong một đơn vị thời gian. Ta dùng phương trình này để nghiên cứu một số trường hợp riêng. 133 1. Trường hợp vật rắn là một tấm phẳng đặt thẳng góc với trục N-N. Khi đó 1= 2 = /2,  = ; từ phương trình trên, ta viết lại: m0.v0 = R (5-43) 2. Trường hợp vật rắn là một mặt cong, những vectơ động lượng lập với trục N-N những góc  và những phản lực R của vật rắn lập với N-N góc  = . Áp dụng (5-42), ta có: m1.v1.cos1 + m2.v2.cos2 - m0.v0 = - R (5-44) Nếu mặt cong của vật rắn có hình đối xứng, tức 1 = 2 = ,  =  thì công thức viết thành: R = m0.v0 - 2m1.v1.cos Hoặc: R = m0.v0.(1 - cos) (5-45) (5-46) Nếu vật rắn có hình hai bán cầu hoặc hai hình trụ tròn đối xứng thì  =  và ta có: Hình 5-18 R = 2m0.v0 (5-47) Ðể lợi dụng động năng của dòng tia, ta có thể cho dòng tia tác dụng vào vật rắn di động. Giả thử dòng tia có vận tốc v0 vật rắn dưới tác dụng của dòng tia có tốc độ u cùng chiều với v0, thì vận tốc tương đối của dòng tia đối với vật rắn bằng: W = v0 - u Nếu vật rắn di động là một tấm phẳng, khối lượng chất lỏng xô vào vật rắn bằng ..v0 di chuyển với tốc độ tương đối w, nên động lượng bằng ..v0.w tức ..v0.(v0 u). Xung lực P tác dụng vào tấm phẳng đó bằng: P = ..v0.(v0-u). 134 Và sinh ra một công suất là: M = P.u = ..v0.(v0 - u).u Ta có công suất cực đại khi: Tức là khi: Lúc đó trị số công suất cực đại là: ( ) Biết rằng động năng trong một giây của dòng tia bằng: Ta thấy: Như vậy đối với tấm chắn phẳng, ta chỉ có thể nhiều nhất là lợi dụng một nửa động năng của dòng xô vào tấm chắn di động. Nếu tấm chắn di động có hình cong mà tốc độ ra của các nhánh dòng tia lập với phương của trục dòng tia những góc  và nếu 1 = 2 = , thì với tốc độ của tấm chắn bằng u, áp dụng công thức (5-46) trong đó ta thay v0 bằng vận tốc tương đối W, ta tính được lực P tác dụng vào tấm chắn: P = ..v0.(v0-u).(1-cos) (5-48) Và tính ra công suất M: M = Pu = ..v0.(v0-u).(1-cos).u (5-49) Như đã thấy ở trên, ta có thể đạt công suất cực đại Mmax với ( ) (5-50) nếu  = 1800 thì: Mmax= Ed.n (5-51) Vậy nếu tấm chắn hình cong có  = 1800 thì công suất đạt được sẽ gấp 2 lần công suất ở tấm chắn phẳng. Chính vì vậy những tua-bin xung kích hiện đại thường có những tấm chắn hình cong loại này. 135 Chƣơng 6 DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP 6.1- KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG ỐNG Đường ống là một tổ hợp các ống, phụ tùng, mối nối, các phần định hình có trong mỗi hệ thống bất kỳ và được dùng để vận chuyển chất lỏng (hơi nước hoặc chất khí). 1/- Phân loại đƣờng ống Đường ống của các hệ thống nói chung có thể được phân loại theo công dụng, loại môi chất vận chuyển và đặc điểm chức năng thực hiện. 2/- Tiêu chuẩn hoá các phần tử đƣờng ống Nhằm tạo điều kiện thay thế lẫn nhau, đơn giản hoá việc bố trí và thi lắp ráp các phần tử của đường ống, cũng như giảm chi phí thiết kế, thi công, người ta áp dụng tiêu chuẩn hóa cả về hình dạng, vật liệu và lĩnh vực sử dụng của các đường ống theo tiêu chuẩn nhà nước (TCNN), tiêu chuẩn ngành (TCN) và các tiêu chuẩn khác. TCNN thiết lập các giá trị tiêu chuẩn của lối thông qui ước và áp suất qui ước (đối với đường ống có áp) nhằm mục đích tiêu chuẩn hoá các mối nối, các phần định hình và phụ tùng đường ống. Lối thông qui ước là đặc tính của tất cả đường ống, nó có quan hệ đơn trị với kích thước của các mối nối (bích nối ống), các phần định hình, phụ tùng, cũng như với đường kính ngoài của ống. Đối với các mối nối, các phần định hình và phụ tùng, lối thông qui ước bằng đường kính trong của chúng. Đường kính ngoài của ống được xác định hoàn toàn tương ứng với mỗi một lối thông qui ước đã cho của đường ống. Tuy nhiên, tùy thuộc vào áp suất của môi chất dẫn qua, các ống với đường kính ngoài đã cho, nghĩa là với lối thông qui ước đã cho, có chiều dày thành ống khác nhau từ (35) mm, do đó, đường kính trong của chúng khác nhau một ít. Như vậy, đối với các ống, lối thông qui ước không trùng với đường kính thực tế của chúng. Trong TCNN, đường kính ngoài của ống, tương ứng với lối thông qui ước, và chiều dày thành ống được đảm bảo ở các cỡ ống. Căn cứ vào lối thông qui ước của ống có thể chọn các mối nối, phụ tùng và các phần định hình cho đường ống thiết kế với lối thông qui ước đó hoặc theo trị số lối thông qui ước đã cho của ống, tiến hành chọn ống tương ứng. Lối thông qui ước được ký hiệu là Dqư, có kèm theo trị số đường kính, tính theo mm: Dqư100, Dqư 50, … Người ta gọi áp suất làm việc cho phép lớn nhất của môi chất, mà ở các nhiệt độ tương ứng của nó, độ bền của vật liệu chế tạo ống và phụ tùng không giảm trong các điều kiện vận hành lâu dài là áp suất qui ước. 136 Ký hiệu của áp suất qui ước là pqư, có kèm theo trị số áp suất, tính theo kG/cm2: pqư 10, pqư 5, … Áp suất qui ước được dùng làm căn cứ để chọn phụ tùng đường ống. Áp suất qui ước còn là tiêu chuẩn để chọn áp suất làm việc và áp suất thử hay áp suất kiểm tra. Ống dẫn thường là loại ống có tiết diện tròn. Vật liệu chế tạo ống có thể bằng kim loại và phi kim loại, đa phần ở dạng ống cứng. Mối nối ống được dùng để nối giữa các đoạn ống, giữa các đoạn ống với phụ tùng, máy móc, … (mối nối không tháo được và mối nối tháo được). Các phần tử định hình của đường ống được dùng khi cần thay đổi tiết diện, đổi hướng, phân nhánh, … Phụ tùng đường ống được dùng để đưa hệ thống vào hoạt động, đóng hay mở từng đoạn của hệ thống đường ống, thay đổi chế độ làm việc của hệ thống, … bằng cách mở hoàn toàn hay một phần lối thông của phụ tùng. Trong tính toán về đường ống, người ta phân làm đường ống ngắn và đường ống dài, đường ống đơn giản và đường ống phức tạp. Việc phân loại đường ống ngắn và đường ống dài căn cứ vào sự so sánh giữa tổn thất cột nước dọc đường và tổn thất cột nước dọc cục bộ trong toàn bộ tổn thất cột nước: a/. Dựa vào tổn thất năng lượng hw gồm có - Đƣờng ống ngắn là đường ống trong đó tổn thất cột nước cục bộ của dòng chảy lớn hơn đáng kể so với tổn thất cột nước dọc đường. - Đƣờng ống dài là đường ống trong đó tổn thất cột nước dọc đường là chủ yếu, tổn thất cột nước cục bộ và cột nước vận tốc so với tổn thất dọc đường khá nhỏ, có thể bỏ qua không tính. Như vậy khái niệm về đường ống dài và đường ống ngắn không phải căn cứ vào kích thước hình học mà phân loại, đó là một khái niệm thủy lực vì nó căn cứ vào tình hình tổn thất cột nước. Khi tổn thất cục bộ nhỏ hơn 5% tổn thất dọc đường thì ta coi là đường ống dài, nếu lớn hơn 5% thì coi là đường ống ngắn. Khi thiết kế đường ống dài, người ta thường kể đến tổn thất cục bộ bằng cách coi nó bằng (510)% tổn thất dọc đường; rồi cộng nó vào tổn thất dọc đường để tìm ra tổn thất toàn bộ. Nhìn chung có thể thấy những đường ống dẫn nước trong thành phố, những ống dẫn nước vào nhà máy thủy điện là những đường ống dài, còn những đường ống tháo nước đặt dưới chân đập, ống hút và ống đẩy của máy bơm, ống ngầm qua lòng sông… là những ống ngắn. b/. Dựa kết cấu đường ống người ta chia thành - Đƣờng ống đơn giản là đường ống chỉ có một tuyến, có đường kính d và Q không đổi dọc theo chiều dài. - Đƣờng ống phức tạp bao gồm một hệ (một mạng lưới) ống có d hay Q thay đổi, 137 nghĩa là gồm nhiều đường ống đơn giản ghép nối lại, có nhiệm vụ cùng một lúc dẫn chất lỏng đến nhiều điểm; mạng lưới có thể là hở (kết thúc trong khí quyển) hoặc là khép kín (vòng) và có nhiệm vụ chuyển tải chất lỏng đi cung cấp đến các điểm (các hộ tiêu thụ). Việc tính toán đường ống đơn giản sẽ là cơ sở cho việc tính toán đường ống phức tạp. 6.2- CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỂ TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG 6.2.1- MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ TÍNH TOÁN THUỶ LỰC ĐƢỜNG ỐNG 6.2.1.1- Mục đích tính toán thủy lực đƣờng ống Xác định một số các thông số: Lưu lượng Q; Cột áp H tại đầu hoặc cuối đường ống, đường kính d hoặc cả d và H tùy theo trường hợp cụ thể khi thiết kế hệ thống đường ống hoặc kiểm tra để sửa chữa, điều chỉnh hệ thống sẵn có phù hợp với yêu cầu. 6.2.1.2- Nhiệm vụ tính toán thủy lực đƣờng ống Tính toán thủy lực đường ống là một trong những vấn đề cơ bản khi thiết kế hệ thống đường ống. Nó là cơ sở để chọn đường kính trong của ống, vận tốc chuyển động của chất lỏng, lưu lượng và cột áp của các máy móc thủy lực cũng như các trường hợp vận chuyển chất lỏng. Trong thực tế thiết kế hệ thống đường ống, ta gặp các trường hợp khác nhau của tính toán thủy lực. Tuy nhiên, tất cả chúng có thể đưa về giải quyết hai loại bài toán: thuận và nghịch. Theo sơ đồ bài toán thuận, cột áp chi phí để khắc phục sức cản thủy lực trong đường ống là ẩn số. Theo kết quả bài toán thuận, chọn được lưu lượng và cột áp của bơm dùng để phục vụ cho hệ thống đã được thiết kế. Bài toán nghịch là trường hợp tính toán thủy lực đường ống mà trong đó giá trị cột áp được cho trước. Mục đích tính toán thủy lực khi giải quyết bài toán ngược - xác định đường kính ống và các thông số chuyển động của chất lỏng, trong đó xuất phát từ cột áp giả thiết của hệ thống. 6.2.2- CÁC PHƢƠNG TRÌNH CHỦ YẾU SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG Ta nghiên cứu dòng chảy trong ống thỏa mãn những điều kiện sau đây: dòng chảy ổn định, có áp, chảy rối, chảy đều. Dòng chảy trong những ống dẫn nước của thành phố, nhà máy, những ống hút ống đẩy của máy bơm... thường là những dòng chảy có những điều kiện trên. Khi nghiên cứu dòng chảy ổn định trong ống có áp, những phương trình chủ yếu nhất được sử dụng là: l. Phƣơng trình Becnuli: Ở đây: – cột áp đầu ống; – cột áp cuối ống; 138 ∑ ∑ (∑ ) - Tổng tổn thất thủy lực trên đường ống; - Tổn thất cục bộ trên đường ống; hay - Tổn thất dọc đường ống. 2. Phƣơng trình liên tục: Q = v. = const 6.2.3- CÔNG THỨC TÍNH TOÁN CƠ BẢN a/. Công thức tính cột áp (∑ ) (6-1) b/. Công thức tính lƣu lƣợng √( ) (∑ ) (6-2) c/. Tính công suất tiêu hao khi vận chuyển trong đƣờng ống N = .Q. H, W (6-3) Ở đây:  - trọng lượng riêng của chất lỏng vận chuyển, N/m3; Q- lưu lượng chất lỏng vận chuyển, m3/s H - độ chênh cột áp (hay độ chênh năng lượng đơn vị) trước và sau ống, H = e = e1 - e2, m. d/. Công thức tính tổn thất hw ( Ở đây: ∑ ) (6-4) ; ∑ hay ; = f(Re,n), Với - độ nhám tương đối; l - chiều dài ống. Dựa vào các phương trình trên suy ra công thức chung: f(e,d,Q,l,n) = 0 Tùy theo đường ống ngắn hay đường ống dài mà người ta áp dụng các phương pháp và công thức tính toán khác nhau. 6.2.4- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TOÁN THỦY LỰC ĐƢỜNG ỐNG Khi tính toán thủy lực đường ống của các hệ thống, tùy theo trường hợp dạng bài toán, đặc điểm yêu cầu của bài toán, người ta sử dụng các phương pháp tích hợp khác nhau như phương pháp giải tích, phương pháp dùng môđun lưu lượng hoặc đặc trưng lưu lượng K, phương pháp tổn thất cột áp trên một đơn vị chiều dài ống và phương pháp đồ 139 thị (hay phương pháp đặc tính). Thường dùng nhất là các phương pháp giải tích, phương pháp dùng môđun lưu lượng hoặc đặc trưng lưu lượng K và phương pháp đặc tính đồ thị. Kết quả nhận được có thể là chính xác hoặc gần đúng (Phương pháp dùng hệ số đặc trưng lưu lượng K, phương pháp đồ thị cũng như phương pháp tính toán gần đúng dần). 6.2.4.1- Phƣơng pháp giải tích Phương pháp giải tích dựa trực tiếp trên cơ sở sử dụng 2 phương trình Becnuli và phương trình lưu lượng. Dùng phương pháp này để tính các hệ thống ống đơn giản cũng như phức tạp (nhiều nhánh). Phương trình Becnuli viết cho mặt cắt I và II của hệ thống ống: Trường hợp dòng chảy ở chế độ chảy rối thì 1 = 2 = 1 đường ống có đường kính không đổi (đường ống đơn giản) thì phương trình Becnuli có dạng gọn hơn: ( ) Ở đây: ( Vì ) nên ta viết được: ( Hay ) √( ) ( ) Biết lưu lượng Q, có thể xác định đường kính ống theo công thức: √ (6-5) Trường hợp không thuận lợi, có thể tìm d bằng cách giải theo phương pháp gần đúng dần hoặc phương pháp đồ thị. 6.2.4.2- Phƣơng pháp dùng hệ số đặc trƣng lƣu lƣợng K Đối với ống dài, tổn thất cột nước toàn bộ coi như tổn thất dọc đường: hw = hd = J.l (6-6) Ở đây: J - độ dốc thủy lực; l- chiều dài của dòng chảy đều trong ống có áp. 140 Ta biết vận tốc trung bình của dòng chảy đều có thể xác định bằng công thức Sêdi (4-14) √ Do đó lưu lượng trong dòng chảy đều trong ống có áp tính được theo công thức: √ (6-7) √ Nếu đặt: (6-8) Công thức (6-7) viết thành: √ (6-9) Đại lượng K gọi là đặc tính thể hiện đặc trưng lưu lượng, biểu thị lưu lượng của ống cho trước khi độ dốc thủy lực bằng 1. Từ biểu thức (6-8) ta thấy K là một đặc trưng của ống, phụ thuộc đường kính d và hệ số nhám n của ống. ( ) ( ) √ ( ) Do đó người ta đã lập sẵn những bảng tính K, khi biết d và n (xem phụ lục ở các tài liệu thủy lực). Từ (6-9) rút ra: Thay trị số đó của J vào (6-6) ta có: (6-10) Công thức (6-10) là công thức cơ bản dùng tính tổn thất cột nước trong ống dài. Trị số K được cho trong phụ lục ở các tài liệu thủy lực. 6.2.4.3- Phƣơng pháp tổn thất cột áp trên đơn vị chiều dài ống, hay phƣơng pháp chiều dài tƣơng đƣơng Phương pháp tổn thất cột áp trên đơn vị chiều dài ống, hay phương pháp chiều dài tương đương, dựa trên cơ sở thay tổn thất cột áp cục bộ bằng tổn thất cột áp do ma sát (dọc đường) trên đoạn ống thẳng có chiều dài tương tương. Từ đó, chiều dài tương đương của đoạn ống lT sẽ là chiều dài của đoạn ống thẳng đường kính d, mà trong đó, tổn thất cột áp do ma sát bằng với tổn thất cột áp ở các chỗ cản cục bộ đã được xem xét, tức là: hc = hd hay là (6-11) Từ đó, ta có: (6-12) hay: ( 6-13) Như vậy, tổn thất cột áp toàn bộ trong đường ống đường kính d có sức cản cục bộ được biểu diễn bằng công thức: ( ) ( ) (6-14) 141 Tổng: l + lT = lTT - gọi là chiều dài thay thế của hệ thống ống. Đương nhiên, ta có thể viết: (6-15) Coi tỷ số tổn thất cột áp hw trên chiều dài đường ống là độ dốc thủy lực: , công thức cuối cùng sẽ có dạng: (6-16) Với mục đích, để thuận tiện cho việc tính các giá trị lT và i, người ta xây dựng các toán đồ, nó làm đơn giản và giảm một cách đáng kể việc tính toán thủy lực bằng phương pháp này. Các bài toán thuận và nghịch cũng được giải quyết như phương pháp tính bằng giải tích. 6.2.4.4- Phƣơng pháp đồ thị để tính toán đƣờng ống Tổn thất cột áp của đường ống được viết lại: (∑ ) Ta nhận thấy với một đường ống xác định có l và d thì tổn thất hw là hàm số của lưu lượng Q. Đường đồ thị biểu diễn hàm số gọi là đường đặc tính ống dẫn. Nếu tính cột áp của đường ống theo biểu thức: (6-17) Ở đây: H0 = z2 + - Cột áp ở cuối đường ống (có trị số xác định). hw Q Hình 6-1. Đƣờng đặc tính của đƣờng ống gồm 2 đƣờng ống đặt nối tiếp Đường biểu diễn phương trình (6-17) gọi là đường đặc tính ống dẫn trong hệ thống (cách gốc toạ độ một đoạn H0). 142 Trường hợp H0 = 0, đường đặc tính sẽ đi qua gốc toạ độ. Để có đường đặc tính chung cho đường ống gồm nhiều đoạn ống mắc nối tiếp thì với mỗi lưu lượng chảy qua, tổn thất sẽ bằng tổng tổn thất các đoạn ống. Vẽ đường đặc tính ống dẫn cho từng đoạn đường ống. Sau đó vẽ đường đặc tính ống dẫn tổng hợp chung cho toàn bộ hệ thống đường ống. Với mỗi giá trị Q nhất định ta xác định được ngay giá trị ∑hw của hệ thống đường ống trên đồ thị (hình 6-1). Nếu đường ống gồm nhiều đoạn mắc song song thì ứng với mỗi trị số của từng độ (tổn thất năng lượng hw) ta cộng các trị số của hoành độ (lưu lượng Q) sẽ được lưu lượng chung cho cả đường ống. Lấy nhiều điểm như vậy sẽ vẽ được đường đặc tính chung cho đường ống (hình 6-2). Trong trường hợp đường ống phức tạp gồm nhiều đoạn ống mắc song song và nối tiếp thì ta vẽ đường đặc tính cho những đoạn mắc song song và sau cùng thì vẽ đường đặc tính tổng cộng gồm nhiều đoạn ống mắc nối tiếp. hw Q Hình 6-2. Đƣờng đặc tính của đƣờng ống gồm 2 đƣờng ống mắc song song Dùng phương pháp đồ thị ta có thể xác định được tổn thất năng lượng của đường ống và do đó xác định được cột áp ở đầu đường ống khi biết lưu lượng hoặc ngược lại xác định được lưu lượng chảy qua đường ống khi cho trước cột áp. 6.3- TÍNH TOÁN THỦY LỰC ĐƢỜNG ỐNG ĐƠN GIẢN 6.3.1- CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG ỐNG ĐƠN GIẢN VÀ CÁCH GIẢI Đối với đường ống đơn giản (v1 = v2), từ phương trình Becnuli ta viết được: ( ) ( ) (∑ ) Biểu thức này thể hiện đầy đủ các đại lượng chính liên quan đến dòng chảy có áp là cột áp, lưu lượng, đường kính ống dẫn. Một cách tổng quát ta có bài toán thuận (cột áp H và lưu lượng Q của bơm chưa biết) và bài toán nghịch (lưu lượng Q và cột áp H của bơm được cho trước, cần xác định các thông số chuyển động của chất lỏng ở nơi tiêu thụ), đồng thời, tùy theo trường hợp đại lượng cần tìm cụ thể mà ta có 4 bài toán cơ bản 143 trong tính toán thủy lực đường ống đơn giản và được giải theo cách tính toán trực tiếp, gần đúng dần hoặc bằng đồ thị. /- Trong trƣờng hợp bài toán thuận, cột áp H1 ở điểm đầu (mặt cắt 1-1) có dạng: (∑ ) Việc tính toán hệ thống ống tiến hành theo trình tự sau: - Từ lưu lượng Q đã biết, sau khi xác định vận tốc chuyển động của chất lỏng trong hệ thống ống, người ta đi tính đường kính d theo công thức: √ . - Tiến hành lựa chọn đường kính ống theo tiêu chuẩn của Qui phạm, hơn nữa nếu đường kính đã được tính không tương ứng với tiêu chuẩn, thì người ta lấy đường kính lớn gần nhất và tính chính xác vận tốc chuyển động của chất lỏng trong ống theo công thức: - Tính số Reynolds:  . - Theo trị số tìm được của Re và giá trị độ nhám tương đương kT có được, người ta xác định hệ số cản ma sát theo các công thức thực nghiệm hoặc đồ thị. - Xác định được tổng các hệ số cản cục bộ (∑ - Xác định tổn thất cột áp . ) . - Cùng với cột áp H2 ở điểm đầu (mặt cắt 2-2), ta tính được (∑ ) Từ sự tính toán này ta thấy rõ rằng, bài toán thuận đã được giải quyết hoàn toàn và cho kết quả như yêu cầu. /- Trƣờng hợp bài toán nghịch, cột áp H1 ở điểm cuối (mặt cắt 2-2) có dạng: (∑ ) Nhiệm vụ tính toán là xác định cột áp H2 ở nơi tiêu thụ khi biết cột áp H1, lưu lượng Q và đường kính ống d. Tương tự như bài toán thuận, bài toán này được giải theo trình tự sau: - Tính vận tốc theo công thức: - Tính số Reynolds:  . - Theo trị số tìm được của Re và giá trị độ nhám tương đương có được, người ta xác định hệ số cản ma sát theo các công thức thực nghiệm hoặc đồ thị. - Xác định được tổng các hệ số cản cục bộ . 144 (∑ - Xác định tổn thất cột áp ) . - Cùng với cột áp H1 ở điểm đầu (mặt cắt 1-12), ta tính được (∑ ) Bốn bài toán cơ bản trong tính toán thủy lực đường ống đơn giản như sau: a/. Tính H khi biết Q, l, d, n - Trường hợp cần tìm H1 khi biết Q, l, d, n và H2 thì bài toán chính là bài toán thiết kế nguồn (chọn bơm). (∑ ) - Trường hợp cần tìm H2 khi biết Q, l, d, n và H1 thì bài toán trở thành bài toán tính kiểm tra lại hệ thống (bài toán nghịch). (∑ ) Để tính được hệ số cần tính được vận tốc, số Re, so sánh với chỉ số tới hạn Regh , xác định công thức = f(Re, n). Thay các giá trị vào công thức tính, ta được cột áp tương ứng H1 hoặc H2. b/. Tính Q, biết H1, H2, l, d, n (∑ √( ) ) (∑ ) Vì phụ thuộc vào Q nên ta phải áp dụng phương pháp thế gần đúng dần hoặc bằng thị (đồ giải). /- Giải bằng phƣơng pháp gần đúng dần Chọn Q1 , tính - Nếu giá trị - Nếu ,  . Xác định 1 rồi tính . tính được bằng H1 cho trước thì nhận Q = Q1.  H1 thì chọn lại Qi và tính cho đến khi Trường hợp đặc biệt chất lỏng chảy tầng thì   = H1 và nhận giá trị Qi này. , ta có:   Từ đó ta có phương trình ∑  ( ) Giải phương trình này ta tìm được Q. Trong trường hợp trên đường ống không có tổn thất cục bộ thì 145 (  ) /- Giải bằng phƣơng pháp đồ thị Cho các trị số Qi, tính rồi vẽ đường H(Q) theo các điểm (Qi, đó, với H1 đã cho ta xác định được Q tương ứng (hình 6-3). ). Từ biểu đồ Hình 6-3 c/. Tính d, biết l, H1, H2, Q, n (∑ Vì ) phụ thuộc vào d nên ta phải áp dụng phương pháp thế dần hoặc đồ giải /- Giải bằng phƣơng pháp gần đúng dần Chọn d1 , tính - Nếu giá trị - Nếu ,  . Xác định 1 rồi tính . tính được bằng H1 cho trước thì nhận d = d1.  H1 thì chọn lại di và tính cho đến khi = H1 và nhận giá trị di này. /- Giải bằng phƣơng pháp đồ thị Cho các trị số di, tính rồi vẽ đường d(Q) theo các điểm (di, với H1 đã cho ta xác định được d tương ứng. ). Từ biểu đồ đó, Hình 6-4 Hoặc từ công thức (6-1), ta suy ra: 146 ( ) ( ) Tách ra thành hai phương trình và tìm d theo đồ thị { ( ) Hình 6-5 Giao điểm 2 đường cong đó chiếu xuống hoành độ là d cần tìm. d/. Tính d, H, khi biết Q, l, n Trường hợp này trước hết xác định d theo vận tốc cho phép (Vận tốc kinh tế vKT) để đảm bảo lưu lượng Q. Sau đó tính H1 như bài toán 1. Vận tốc kinh tế vKT được xác định dựa vào mối quan hệ giữa d và v qua giá thành xây dựng Gxd và chi phí quản lý Gql bằng đồ thị sau: Hình 6-6 6.3.2- TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG ĐƠN GIẢN Dòng chảy trong đường ống đơn giản có thể chia làm hai trường hợp cơ bản: dòng chảy ra ngoài khí trời và dòng chảy từ ống vào một bể chứa khác. 147 a) Dòng chảy ra ngoài khí trời (hình 6-7) Hình 6-7 Ta viết phương trình Becnuli cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2: Đặt H = z1 - z2, ta có: Coi và vì , ta viết được: H  hd (6-18) Tức là toàn bộ cột nước H có tác dụng dùng để khắc phục tổn thất cột nước dọc ống. Vậy kết hợp với (6-10) công thức tính đường ống đơn giản trong trường hợp này (như đường ống dài) viết thành: (6-19) Vì ở đây ta coi nên đường tổng cột nước và đường cột nước đo áp trùng nhau (hình 6-7a). Nếu ở một số trường hợp nào đó, cột nước vận tốc khá lớn, thì ta có: (6-20) Ở đây: gọi là cột nước tự do chưa bị tiêu hao. Trong trường hợp này, cột nước tác dụng H chia làm hai phần: một phần để khắc phục ma sát, một phần để tạo nên cột nước tự do (hình 6-7b). 148 Nếu phương trình (6-20) viết lại thành: thì ta lại có dạng (6-19). b) Dòng chảy từ ống vào một bể chứa khác (hình 6-8) Viết phương trình Becnuli cho những mặt cắt 1-1 và 2-2, ta có: Tổn thất cục bộ ở đây chủ yếu là tổn thất do mở rộng đột ngột: trong tính toán về đường ống dài đơn giản, thường tổn thất này khá nhỏ so với tổn thất dọc đường. Nếu bỏ qua phần tổn thất cục bộ thì ta còn (với giả thiết ). H = z1 - z2 = hw Hình 6-8 Như vậy, ta lại có công thức giống công thức (6-18), sự khác nhau là ở chỗ trong trường hợp này, cột nước tác dụng H là độ chênh lệch mức nước của 2 bể chứa. Công thức tính toán vẫn là công thức (6-19). Trường hợp chiều dài ống không lớn thì phải tính cả phần tổn thất cục bộ nên ta có H = z1 - z2 = hw . Trong tính toán về đường ống dài, thường sử dụng hệ số đặc trưng lưu lượng K, tương ứng hai công thức (6-9) và (6-19) và bảng cho những trị số K = f(d,n) đã tính sẵn, Những bài toán cơ bản về ống dài đơn giản có thể chia làm ba loại sau đây: 1. Biết đường kính d, độ dài l, cột nước H; tìm Q. Khi đó tra bảng riêng tìm K; rồi tính J theo ; cuối cùng tìm Q theo (6-9). 2. Biết đường kính d, độ dài l, lưu lượng Q; tìm H. Khi đó tra bảng riêng tìm K rồi tính H theo (6-19). 3. Biết lưu lượng Q, cột nước H, chiều dài l, tính d. Từ đã biết tính K theo (6-9), dùng bảng có sẵn để tìm đường kính d thích hợp với K vừa thấy. Ta chọn giá trị d là số nguyên. Nếu chọn ống tiêu chuẩn, thì nên chọn loại ống có đường kính gần bảng và 149 lớn hơn đường kính d tính ra. Sau khi quyết định đường kính rồi, ta làm thử lại để biết khi H cố định thì Q chính xác là bao nhiêu (Q tăng) hoặc khi Q cố định thì H chính xác là bao nhiêu (H giảm). Trong các sổ tay thủy lực, có nhiều bảng tính theo công thức K = f(d,n). Ở đây chỉ giới thiệu một bảng cho K, ứng với ba loại ống: ống sạch n = 0,011, ống thường n = 0,0125, ống bẩn n = 0,0143, và ứng với hệ số C tính theo công thức: ⁄ (tra phụ lục ở các tài liệu thủy lực). Ngoài những bài toán cơ bản nói trên, trong một số trường hợp, phải chọn đường kính d và phải tính H. Trong khi chỉ biết Q và l. Khi đó, bài toán trở thành giải một phương trình hai ẩn số; ta phải bổ sung một phương trình nữa, xuất phát từ yêu cầu kinh tế mà lập nên. Để lập phương trình này ta có thể dùng công thức kinh nghiệm của V.G.Lôbasép cho phép tính đường kính kinh tế tức là đường kính ống mà ở đó tổng kinh phí xây dựng hệ thống và khai thác là nhỏ nhất. d = x.Q0,42 (6-21) Ở đây: d - đường kính ống (tính bằng mét); Q - lưu lượng tính bằng m3/s; x - hệ số lấy (0,81,2). Ví dụ 1: Tìm lưu lượng của một ống gang thường có đường kính d = 250 mm, dài l = 800 m, chịu tác dụng của cột nước H = 2 m. Giải: Tra bảng ứng với ống gang thường có đường kính d = 250 mm ta tìm được K = 418,50 l/s. Tính Áp dụng công thức (6-9) để tính lưu lượng ta có: √ √ . 6.3.3- TÍNH TOÁN THỦY LỰC ĐƢỜNG ỐNG NGẮN - ĐƢỜNG ỐNG CỦA MÁY BƠM LY TÂM Tính tọán thủy lực về ống ngắn yêu cầu phải kể đến tất cả các loại tổn thất: tổn thất dọc đường, tổn thất cục bộ. Tính toán thủy lực về đường ống của máy bơm ly tâm là một ví dụ về tính toán thủy lực về đường ống ngắn; qua ví dụ này, ta sẽ rõ thêm về nguyên tắc tính toán. Trong vấn đề tính toán thủy lực đường ống của máy bơm ly tâm thường có hai phần: tính toán đường ống từ bể chứa nước đến máy bơm tức là về “đường hút” và tính đường ống từ máy bơm lên đến tháp nước, tức là “đường đẩy” (hình 6-9). 150 Hình 6-9 6.3.3.1- Tính toán thủy lực “đƣờng ống hút” Đường ống hút có các đặc điểm sau: a) Trong đường ống hút, trừ một đoạn của ống hút đặt dưới mặt nước ở độ sâu nhất định, áp suất nước trong ống khi chạy máy bơm nhỏ hơn áp suất không khí; tại nơi nối ống hút vào máy bơm (mặt cắt 2-2) áp suất đạt tới trị số chân không lớn nhất, vì lý do đó nên trước khi cho máy bơm ly tâm chạy, cần phải “mồi” nó, nghĩa là phải cho đầy nước vào đường hút thì mới hút được nước lên (đặt van một chiều nhằm giúp việc “mồi” được dễ dàng); cũng có nghĩa là khi máy bơm chạy tại nơi ống hút vào máy bơm, trị số áp suất tuyệt đối nhỏ nhất. Trị số áp suất tuyệt đối nhỏ nhất ấy phải lớn hơn áp suất bốc hơi của nước mới tránh khỏi hiện tượng sủi bọt và gây ra sự xâm thực nước làm máy bơm không hút được nước. Vì thế, vận tốc trung bình trong ống hút và trị số chân không cho phép là những số liệu làm căn cứ cho tính toán. Vận tốc trung bình trong ống hút nên ở trong khoảng (0,81,25) m/s, trị số chân không cho phép được ấn định cho từng loại máy bơm, thường lấy [hck]  (4,06,5) m. Trị số chân không cho phép không những phụ thuộc vào loại máy bơm mà còn phụ thuộc nhiệt độ và loại chất lỏng. Khi nhiệt độ càng tăng, trị số chân không cho phép càng giảm (vì khi đó sự xâm thực càng mạnh), ví dụ với t = 600C, trị số chân không cho phép đã có trị số âm (tức là máy bơm làm việc với áp suất nước lớn hơn áp suất không khí). b) Ống hút không dài lắm, tổn thất cục bộ có tác dụng quan trọng cho nên khi tính toán phải coi là loại ống ngắn. Trên hình 6-9, tại những mặt cắt 1-1 và 2-2 viết phương trình Becnuli: (6-22) 151 Ở đây: ( ∑ ) (coi tổn thất dọc đường tương như một lượng tổn thất cục bộ). thì phương trình (6-22) viết thành (coi 2 = Gọi độ cao chân không là: 1): ( ∑ ) (6-23) Phương trình (6-23) là công thức cơ bản dùng để tính đường ống hút. Từ phương trình đó ta thấy rõ độ cao đặt máy bơm z2 bị độ chân không hạn chế. Nếu gọi [hck] là trị số chân không cho phép đối với một loại máy bơm nhất định và loại chất lỏng nhất định, ta có thể từ công thức (6-23) xác định chiều cao lớn nhất để đặt máy bơm, so với mặt nước trong bể bằng: [ ] [ ] ∑ ) ( (6-23’) 6.3.3.2- Tính toán thủy lực “đƣờng ống đẩy” (có thể đƣợc coi là ống dài hoặc ống ngắn) Nước được hút lên và đi qua máy bơm, năng lượng được tăng thêm; gọi là Hb là năng lượng tăng thêm cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng, năng lượng đó do máy bơm cấp cho, ta có thể viết phương trình cân bằng năng lượng ở hai mặt cắt 2-2 và 3-3 ngay trước và sau máy bơm như sau: (6-24) Thông thường z2 = z3; v2 = v3 (đường kính của ống hút và ống đẩy bằng nhau), lấy 2 = 3, khi đó: (6-25) Ta lại chọn hai mặt cắt 3-3 và 4-4 rồi viết phương trình Becnuli: (6-26) Ở đây: - tổn thất cột nước từ máy bơm lên tháp nước. Khi tính toán cho đường ống đẩy ta có thể tính theo ống dài hay ống ngắn, tùy theo trường hợp cụ thể, ta gọi: ∑ (6-27) Kết hợp ba phương trình (6-22), (6-24) và (6-26) ta thấy: hoặc: ∑ ∑ (6-28) Từ công thức trên ta thấy năng lượng Hb của máy bơm cấp cho một đơn vị trọng lượng nước dùng để: 152 1. Đưa nước lên độ cao hình học z4 tức là độ chênh lệch của hai mặt nước tự do ở tháp và bể chứa; 2. Khắc phục trở lực ở đường ống hút và đường ống đẩy. Trị số z4 là cố định. Còn trị số ( ) tức tổng số tổn thất cột nước là một trị số biến đổi tùy theo độ nhám, đường kính của ống. Nếu các ống có cùng độ nhám, thì với ống có đường kính càng lớn, tổn thất sẽ càng nhỏ, công suất máy bơm sẽ càng nhỏ; ngược lại đường kính ống càng nhỏ, tổn thất sẽ càng lớn và công suất máy bơm sẽ càng lớn. Ở đây có mâu thuẫn trong việc chọn đường kính ống và công suất máy bơm: ống nhỏ thì phí tổn xây dựng đường ống sẽ ít, nhưng lại cần công suất lớn, do đó chi phí khai thác sẽ lớn. Phải so sánh nhiều phương án mới có thể quyết định được đường kính thích hợp. Đường kính ống được chọn sao cho chi phí tổn tổng cộng về thi công hệ thống đường ống và chi phí khai thác là nhỏ nhất được gọi là đường kính ống có lợi nhất về kinh tế. Nếu biểu thị lưu lượng của máy bơm bằng mét khối trong 1 giây (m3/s), năng lượng Hb mà thiết bị bơm (kể cả máy bơm và động cơ quay nó) cung cấp cho một đơn vị trọng lượng nước bằng mét, hiệu suất của máy bơm bằng b, hiệu suất của động cơ bằng đc thì công suất cần phải cung cấp cho thiết bị bơm tính theo:   hoặc   ,W , kW (6-29) (6-29’) Ở đây: Q - lưu lượng của máy bơm tính ra m3/s;  - trọng lượng riêng của chất lỏng tính ra N/m3. Công suất N đó gồm: - Công suất (N1):   , kW (6-30) dùng để nâng chất lỏng lên độ cao hình học z4, xác định bởi độ chênh mực nước trong tháp nước và bể chứa. Phần công suất này không phụ thuộc đường kính ống. - Công suất (N2): ( )   , kW (6-31) dùng để khắc phục sức cản trong ống hút và ống đẩy. Phần công suất này phụ thuộc vào đường kính ống. Ví dụ 4: Nước từ một bình chứa A chảy vảo bể chứa B, theo một đường ống gồm hai đoạn ống có đường kính khác nhau (hình 6-10). Đã biết zA = 13 m, zB = 5 m; l1 = 20 m; l2 = 30 m; d1 = 150 mm, d2 = 200 mm. Ống dẫn là loại ống gang đã dùng. Tính lưu lượng Q và vẽ đường cột nước, đường đo áp của đường ống. Giải: Viết phương trình Becnuli cho hai mặt cắt 1-1 và 2-2 đi qua mặt tự do trong những bình chứa A và B. 153 Do đó: hw = zA – zB = H = 13 – 5 = 8 m Những tổn thất cột nước bao gồm: Hình 6-10 - Tổng tổn thất cục bộ: - Tổng số tổn thất dọc đường: Từ phương trình liên tục: v1.1 = v2.2 ( ) Ta rút ra được: [ Vậy: Ở đây: ht ( ) ( ) ] - hệ số tổn thất của cả hệ thống, tính với cột nước vận tốc của v1. Ta xác định các hệ số tổn thất cục bộ: vào = 0,5 ; ( ) ; ( ) ( ) Ta xác định các hệ số tổn thất dọc đường: Với ống dẫn là loại ống gang đã dùng, ta có thể lấy mm, độ nhám tương đối là: Tra biểu đồ hoặc dùng công thức tìm 1 = 1 mm. Đối với ống d1 = 150 = 0,033. Đối với ống d2 = 200 mm thì: ; 2 = 0,031. Vậy: ( ) ( ) 154 Trị số của ht bằng: ht = [0,5 + 0,19 + 0,32 + 4,4 + 1,48] = 6,9 Từ: Ta tính được: √ √ √ √ ⁄ ⁄ Để vẽ đường tổng cột nước E-E, ta tính các trị số tổn thất. ( ) ( ) Ví dụ 5: Để đưa nước lên một tháp nước với lưu lượng Q = 40 l/s, ta đặt một máy bơm ly tâm, cao hơn mực nước trong giếng hút là hb = 5 m; mực nước trong tháp cao hơn máy bơm ha = 28 m; độ dài ống hút lhút = 12 m, độ dài ống đẩy lđẩy = 3.600 m (hình 6-11), đường ống và đẩy có hệ số ma sát = 0,028. Tính đường kính ống hút và đẩy; tính công suất máy bơm, biết hiệu suất bơm là b = 0,85; hiệu suất động cơ là đc = 0,85, chân không cho phép của máy bơm: 6 m. Hình 6-11 Giải: Đường kính của ống hút có thể xác định từ vận tốc cho phép trong ống hút (từ 0,8 đến 1,25 m/s); ta giả thiết vận tốc trong ống hút là v = 0,85 m/s. Khi đó: 155 √ √ Ta lấy d = 0,250 m. Khi đó vận tốc là: ⁄ Tổn thất cột nước trong ống hút bằng: ( ( ) ) Chân không trong máy bơm tính theo công thức: Trị số chân không này nhỏ hơn trị số chân không cực đại cho phép 6 m. Đối với ống đẩy coi là ống thường, tra phụ lục ở các tài liệu thủy lực, ứng với đường kính d = 0,25 m mà ta giả thiết cũng là đường kính ống đẩy, ta thấy K = 418,5 l/s. Ống đẩy coi là ống dài, tổn thất cột nước tính theo: Độ cao hình học để đưa nước lên bằng: Hh = hb + ha = 5 + 28 = 33 m Tổng cột nước của máy bơm H, dùng để đưa nước lên độ cao hình học Hh, để khắc phục tổng ma sát dọc đường và cục bộ hd + hwl bằng: H = Hh + hwl + hd = 33 + 0,54 + 8,47 = 42 m Công suất của thiết bị máy bơm (cả bơm và động cơ) tính theo (6-30):   6.4- TÍNH TOÁN THỦY LỰC ĐƢỜNG ỐNG PHỨC TẠP (ĐƢỜNG ỐNG DÀI) Một hệ thống đường ống phức tạp bất kỳ, bao gồm các hệ thống ống đơn giản riêng biệt liên kết với nhau theo một sơ đồ nhất định như: nối tiếp, song song, phân nhánh hở, đóng kín, phân phối liên tục Việc tính toán thủy lực hệ thống đường ống phức tạp được thực hiện trên cơ sở phân ra thành từng đoạn đường ống đơn giản và đưa về giải bài toán thuận và nghịch như đường ống đơn giản đã được xét ở trên. Ở đây ta coi các đoạn đường ống đơn giản là đường ống dài. 6.4.1- TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG NỐI TIẾP (TÌM QUAN HỆ GIỮA H VÀ Q) Nhiều ống đơn giản có đường kính khác nhau nối tiếp nhau lập thành đường ống nối tiếp. Giả thiết mỗi ống đơn giản có kích thuớc là đường kính di, độ dài li và độ nhám 156 khác nhau; như vậy mỗi ống có một đặc tính lưu lượng Ki. Nhưng vì nối tiếp nên lưu lượng Q chảy qua các ống đều bằng nhau (hình 6-12). Hình 6-12 Ở từng ống một, ta có dòng chảy trong một ống đơn giản, tổn thất dọc đường của mỗi ống đơn giản có thể tính theo công thức cơ bản: (6-32) Toàn bộ cột nước H chủ yếu dùng để khắc phục các tổn thất dọc đường (tổn thất cục bộ không đáng kể), vậy: ∑ hoặc: ∑ (6-33) 6.4.2- TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG NỐI SONG SONG Nhiều ống đơn giản có đường kính khác nhau và nối với nhau, có chung một nút vào một nút ra gọi là đường ống nối song song. Như ở hình 6-13 tại hai điểm A và B của một đường ống chung ta bắt vào ba ống nhánh 1, 2, 3. Lưu lượng ở mỗi ống có thể khác nhau nhưng độ chênh cột nước H từ A đến B đều giống nhau cho các ống HAB = HA - HB. Hình 6-13 Trong hệ thống đường nối song song thì tổn thất cột nước của cả hệ thống cũng bằng tổn thất cột nước của bất kỳ một ống đơn giản nào của hệ thống ấy. Vì mỗi ống là một ống đơn giản nên có thể dùng công thức cơ bản về ống đơn giản, ta viết được n phương trình sau đây: 157 (6-34) } Tổng số lưu lượng qua các ống bằng lưu lượng ở ống chính. Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn (6-35) Như vậy ta có (n + 1) phương trình, có thể giải (n + 1) ẩn số. Thường thường (n + 1) ẩn số ấy là lưu lượng Qi của mỗi ống rẽ và cột nước H. 6.4.3- TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG PHÂN NHÁNH HỞ Việc tính toán thủy lực cho mạng đường ống phân nhánh hở được tiến hành theo nguyên tắc xác định đường ống chính và đường ống nhánh, sau đó là tiến hành tính theo các đoạn đường ống đơn giản. Mạng đường ống phân nhánh gồm đường ống chính và những đường ống nhánh, ví dụ như trên hình 6-14, đường ABCDE là đường ống chính, những đường BK, CL, DN là những đường ống nhánh. Trong tính toán thuỷ lực đường ống phân nhánh hở thường gặp 2 loại bài toán: bài toán thiết kế và bài toán kiểm tra. - Bài toán thiết kế là tính được cột áp của nguồn, cần thiết đủ để thắng mọi sức cản trên đường ống, thỏa mãn yêu cầu cột áp và lưu lượng ở nơi tiêu thụ (cuối đường ống). - Bài toán kiểm tra là cho trước cột áp ở đầu đường ống, kiểm tra lại xem sau khi bị tổn thất năng lượng trong quá trình vận chuyển, cột áp còn lại cuối đường ống (nơi tiêu thụ) có đủ yêu cầu không? 1. Các bước giải bài toán đường ống phân nhánh Thông thường trong một bài toán thiết kế người ta cho những số liệu sau: - Lưu lượng cột áp yêu cầu tại các nơi tiêu thụ: Qi; Hi. - Độ cao hình học của các điểm trong hệ thống đường ống: zi (Tính từ một mặt chuẩn chung). - Chiều dài các đoạn ống: li. - Hệ số nhám n hoặc độ nhám của ống. Yêu cầu xác định đường kính của các đoạn ống và cột áp của nguồn H0. * Bước 1: Tính đường ống cơ bản Chọn đường ống cơ bản (đường ống chính) là nhánh đường ống có yêu cầu về năng lượng vận chuyển chất lỏng cao nhất (thường chọn nhánh có Q lớn và l dài nhất). - Xác định đường kính đường ống cơ bản theo vận tốc kinh tế 158 √ Số liệu tham khảo, có thể coi là vận tốc kinh tế, và lưu lượng kinh tế tương ứng, xem bảng 6-1. Bảng 6-1 d, mm 50 75 100 150 200 250 300 350 400 450 500 v, m/s 0,75 0,75 0,76 0,85 0,95 1,02 1,05 1,10 1,25 1,20 1,25 Q, m 1,5 3,3 6,0 15 30 50 102 106 145 190 245 Ta cũng có thể trực tiếp chọn đường kính ống kinh tế theo công thức V.G. Lôbasép đã được đề cập ở trên. - Xác định cột áp nguồn H0 * Bước 2: Tính đường ống nhánh Nhiệm vụ của việc tính đường ống nhánh là xác định được đường kính của nó. Tương tự như bài toán 3 (đường ống đơn giản) với điều kiện xác định được cột áp đầu nhánh. 2. Ví dụ: Tính toán thuỷ lực hệ thống đường ống phân nhánh (hình 6-14). Các số liệu cho - Độ cao hình học: zA, zB, zC, zD, zE, zK, zL, zN; - Lưu lượng yêu cầu: QK, QN, QL, QE; - Chiều dài từng đoạn ống : l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7; - Cột áp yêu cầu: hK, hE , hL, hN. Xác định đường kính ống và cột áp cần thiết HA ở đầu hệ thống đường ống. Cách giải: Theo sơ đồ trên chọn đường ống cơ bản là ABCDE. Xác định lưu lượng trên từng đoạn đường ống: Q7 = Q N ; Q 6 = Q E; Q5 = Q E + Q N ; Q 4 = Q L; Q3 = QL + QE + QN; Q2 = Q K ; Q1 = QK +QL + QE + QN; Xác định đường kính các đoạn ống: √ ; 159 √ Hình 6-14 - Xác định tổn thất cột áp trên các đoạn ống: (∑ ) (∑ ) ……………………………… (∑ ) Trị số cột áp cần thiết HA ở đầu hệ thống đường ống được xác định: HA = H1 + H3 + H5 + H6 + (zE + hE) Để tính đường ống nhánh ta xác định cột áp ở các điểm B, C, D rồi tính tổn thất năng lượng trong các đường ống nhánh BK, CL và DN và cuối cùng chọn đường kính của các đường ống nhánh d2, d4 và d7. Sau đó tiến hành kiểm tra: Đoạn BK: Đoạn CL: Đoạn DN: (∑ (∑ (∑ ) ) ) Nếu thỏa mãn thì tốt, không thỏa mãn thì phải chọn lại đường ống cơ bản và tính lại. Trong trường hợp cho trước cột áp đầu hệ thống đường ống HA, ta xem đường ống cơ bản ABCDE như đường ống đơn giản mắc nối tiếp có lưu lượng và đường kính ống khác nhau. Tính xong đường ống cơ bản ta biết được tổn thất cột áp của từng đoạn ống và tính được cột áp ở các điểm đầu đường ống nhánh B, C, D; rồi chọn đường kính các ống nhánh như ở trường hợp biết chiều dài l, lưu lượng Q và tổn thất năng lượng hw ở ống đơn giản. 160 6.4.4- TÍNH TOÁN ĐƢỜNG ỐNG ĐÓNG KÍN Việc tính toán thủy lực cho mạng đường ống đóng kín được tiến hành theo nguyên tắc sau: Một mạng đường ống kín thường gồm nhiều vòng kín. Ta nghiên cứu trường hợp đơn giản nhất là chỉ có một vòng kín, trên đó ta đã biết lưu lượng qi (trên hình 6-15a, đó là qD, qE) tại những điểm tiêu thụ lưu lượng (điểm D, E), biết độ dài li và đường kính di của từng đoạn ống. Sự phân phối lưu lượng trên tất cả các đoạn ống của vòng kín chưa biết, do đó cũng chưa biết cột nước cần thiết để khắc phục ma sát trong mạng lưới. Hình 6-15 Dòng chảy trong vòng kín phải thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Tại bất kỳ một điểm nào trên vòng kín, tổng số lưu lượng đi tới điểm đó bằng tổng số lưu lượng rời khỏi điểm đó. 2. Tổng số tổn thất cột nước trên cả vòng kín phải bằng không, quy ước rằng tổn thất cột nước là dương nếu chiều đi vòng để tính tổn thất trùng với chiều chảy và là âm nếu ngược chiều dòng chảy. Ta có hai phương pháp giải: Phƣơng pháp thứ nhất: + Ta tự phân phối lưu lượng trên vòng kín, sao cho điều kiện thứ nhất được thỏa mãn. Khi đó điều kiện thứ hai thường sẽ không được thỏa mãn. + Không vi phạm điều kiện thứ nhất, ta phân phối lại lưu lượng trên mạng một vài lần sao cho điều kiện thứ hai dần dần được thỏa mãn đầy đủ. Phương pháp này gọi là phương pháp cân bằng cột nước. Phƣơng pháp thứ hai: - Ta tự phân phối lưu lượng trên vòng kín sao cho điều kiện thứ hai được thỏa mãn, khi đó điều kiện thứ nhất thường sẽ không được thỏa mãn. - Không vi phạm điều kiện thứ hai, ta phân phối lại lưu lượng một vài lần, sao cho điều kiện cân bằng lưu lượng dần dần được thực hiện. Phương pháp này gọi là phương pháp cân bằng lưu lượng. 161 Phương pháp thứ nhất được áp dụng rộng rãi hơn trong thực tế. Trong ví dụ nêu trên (hình 6-15) áp dụng phương pháp thứ nhất ta tưởng tượng là chặn đứt vòng kín ở điểm E (hình 6-15b); lượng nước cung cấp từ B tới E sẽ theo hai chiều ngược nhau, theo hai nhánh BCDE và BFE; ta tự phân phối lưu lượng xung quanh E: ví dụ đặt .qE là lưu lượng trên DE, thì lưu lượng trên FE sẽ là (1 - ).qE;  - hệ số dự định chọn đường kính, ta tính tổn thất cột nước trên từng nhánh một và so sánh chúng, nếu chúng bằng nhau, thì hệ số  đã chọn đúng; nếu chúng không bằng nhau, thì ta phải lựa một hệ số  khác và làm cho tới khi hai trị số tổn thất cột nước trên hai nhánh xấp xỉ bằng nhau. Nếu trong bài toán trên các đường kính d chưa biết, ta phải giả thiết những trị số d, rồi làm bài toán như trên, nếu tổn thất cột nước tính ra trên hai nhánh bằng nhau, thì  và d đã được chọn đúng, nếu không thì phải chọn lại  và d. Nếu mạng lưới gồm nhiều vòng kín thì bài toán nói chung khá phức tạp: theo phương pháp thứ nhất thì ứng với mỗi vòng kín ta phải giả thiết một lưu lượng chưa biết, do đó có bao nhiêu vòng kín ta có bấy nhiêu lưu lượng chưa biết; những lưu lượng đó và những lưu lượng đã biết phải thỏa mãn điều kiện cân bằng cột nước; do đó có bao nhiêu vòng kín, ta có bấy nhiêu phương trình ứng với những lưu lượng chưa biết, những phương trình đó không phải là tuyến tính. Ngày nay, người ta có thể giải những hệ phương trình trên bằng máy tính riêng. 6.4.5- ĐƢỜNG ỐNG PHÂN PHỐI (THÁO) LIÊN TỤC Ở trên ta đã nghiên cứu về những đường ống dẫn nước mà nước tới đầu cuối của ống mới tháo ra. Nhưng cũng có thể gặp trường hợp lưu lượng dọc theo đường ống tháo dần ra một cách liên tục. Loại đường ống ấy gọi là đường ống tháo nước liên tục. Giả thiết ta có một ống dài AB có khoét nhiều lỗ nhỏ, ống đó bắt vào một bể chứa nước (hình 6-16). Hình 6-16 Gọi: Qv - lưu lượng tại điểm A là điểm vào của ống; Qth - tổng số lưu lượng tháo Q ra dọc đường AB, gọi là “lưu lượng tháo ra”; Qm - lưu lượng tại điểm B là điểm cuối cùng của đường AB, gọi là “lưu lượng mang đi”; l - độ dài của ống AB. 162 Lưu lượng QM tại điểm M cách điểm A một đoạn x bằng lưu lượng tại điểm A trừ đi lưu lượng tháo đi trên đoạn x: Vì Qv = Qth + Qm Nên: Tại bất kỳ một mặt cắt nào trên ống, độ dốc thủy lực bằng: Tại mặt cắt ướt ở M trên một đoạn dx là: ( ) Vậy tổn thất dọc đường trên cả đoạn ống AB là: ( ∫ ) Vì trị số K chỉ phụ thuộc đường kính và vật liệu làm ống nên là một hằng số trên cả đoạn AB. Ta thay KM bằng K: ∫ *( *( Do đó: hoặc: ) ( ( ) ( ) + ) + ) (6-36) Trong trường hợp đặc biệt Qm = 0 thì phương trình (6-36) viết thành: (6-37) Từ công thức (6-37) ta thấy rằng nếu so sánh với (6-19), thì khi muốn có cùng lưu lượng mang đi ở ống tháo nước liên tục ta đòi hỏi một cột nước gấp ba lần ở ống đơn giản. Trở lại phương trình tổng quát (6-36), ta có: ( ) Cho nên trong thực tế, công thức tính toán về ống tháo nước liên tục là: ( ) (6-38) Nếu gọi Qtính = Qm + 0,55Qth thì: (6-39) 6.5- VA ĐẬP THỦY LỰC TRONG ĐƢỜNG ỐNG 163 Va đập thuỷ lực là hiện tượng biến đổi áp suất đột ngột khi vận tốc của dòng chảy tăng hay giảm đột ngột. Va đập thuỷ lực có thể chia ra va đập dương (thuận) trong đó vì vận tốc giảm mà gây ra tăng áp suất và va đập âm (nghịch) do vận tốc tăng làm áp suất giảm. Chẳng hạn, nước chảy trong ống có áp. Nếu ngăn cản đột ngột dòng chảy, ví dụ đóng khóa lại thì áp suất trong ống sẽ tăng lên đột ngột. Áp suất ngay sát khóa sẽ tăng lên trước, nước sẽ bị nén lại. Sau đó, theo mức độ dừng lại của các lớp nước mà sự tăng áp suất sẽ nhanh chóng truyền đi theo đường ống tạo thành sóng tăng áp suất. Sự tăng áp suất truyền đi với tốc độ lớn sẽ làm ép chất lỏng lại và thành ống giãn ra. Sự biến dạng đàn tính của chất lỏng và của ống sẽ sinh ra cùng với tốc độ truyền tăng áp suất theo chiều dài ống. Tốc độ truyền biến dạng đàn tính gọi là tốc độ truyền sóng va đập. Sau khi lớp nước cuối cùng dừng lại thì tất cả nước trong ống đều bị ép. Lúc đó áp suất trong ống lớn hơn áp suất trong bình nên nước chảy ngược về bình, áp suất trong ống sẽ đột ngột hạ xuống. Sự giảm áp suất đó cũng sẽ từng lớp mà truyền tới khóa nước và gọi là sóng va đập nghịch. Thời gian chảy của sóng va đập thuận và va đập nghịch làm thành một pha của sóng va đập. Quá trình sóng va đập xảy ra rất nhanh (bởi vì tốc độ truyền sóng va đập rất lớn). Sự phát sinh ra pha va đập được lặp đi lặp lại theo chu kỳ và giảm dần do có sự tiêu hao năng lượng. Sự tăng cao áp suất khi có va đập thuỷ lực phụ thuộc vào áp suất ban đầu của dòng chảy và lớn hơn rất nhiều so với cột áp tĩnh gây ra dòng chảy. Hiện tượng va đập thuỷ lực khá phức tạp, mãi đến năm 1898 mới được nhà bác học Nga Jucôpxki phân tích có lý luận chặt chẽ. Khi có va đập thuỷ lực, áp suất sinh ra rất lớn có thể gây ra vỡ ống, nên phải tìm biện pháp để làm giảm hoặc ngăn ngừa, như đóng mở khoá van từ từ, dùng ống có đường kính lớn để làm giảm vận tốc, dùng vật liệu có môđun đàn hồi bé, dùng những thiết bị tự động tháo chất lỏng khi áp suất vượt quá qui định ... Hiện tượng va đập thủy lực được ứng dụng để chế tạo bơm nước va. 164 Chƣơng 7 DÕNG CHẢY ĐỀU TRONG KÊNH HỞ 7.1- NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cũng như dòng chảy đều có áp trong ống, dòng chảy đều không áp trong kênh là dòng chảy ổn định, có lưu lượng, diện tích mặt cắt ướt, giản đồ phân bố vận tốc trên mặt cắt ướt không đổi dọc theo dòng chảy. Khác với dòng chảy đều có áp trong ống, dòng chảy không áp trong kênh có mặt thoáng trên đó áp suất như nhau và thường bằng áp suất khí trời. Vì có mặt thoáng nên mặt cắt ướt của dòng chảy đều không áp trong kênh chỉ biến đổi khi một yếu tố thủy lực nào đó của mặt cắt biến đổi; ví dụ khi lưu lượng thay đổi, thì diện tích mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực v.v... đều thay đổi, do đó việc tính toán thủy lực cho dòng chảy đều không áp trong kênh phức tạp hơn so với việc tính toán cho dòng chảy đều có áp trong ống. Muốn có dòng chảy đều không áp trong kênh, cần thiết phải đồng thời thỏa mãn những điều kiện sau đây: 1. Lưu lượng không đổi dọc theo dòng chảy và thời gian. 2. Mặt cắt ngang của kênh không đổi về hình dạng. 3. Độ sâu là khoảng cách thẳng đứng từ một điểm trên mặt tự do đến đáy, giữ không đổi (Sự phân bố vận tốc trên các mặt cắt là không đổi dọc theo dòng chảy). Các điều kiện 2 và 3 dẫn đến điều kiện tích mặt cắt ướt không đổi. 4. Độ dốc đáy không đổi, tức là i = const. 5. Độ nhám không đổi, n = const. Nếu trong những điều kiện trên không thực hiện được thì trên một đoạn dài nào đó, dòng chảy sẽ trở thành dòng không đều. Trong những sông thiên nhiên, thông thường có một số điều kiện kể trên không tồn tại, nên chuyển động đều chỉ có thể có trong kênh nhân tạo; có thể có dòng chảy đều trong những đoạn nhất định của sông thiên nhiên, khi những điều kiện trên có thể coi là đầy đủ ở những đoạn đó. Dòng chảy đều trong kênh hở tuyệt đại đa số là dòng chảy rối. Vì vậy, công thức cơ bản để tính dòng chảy đều trong kênh hở là công thức Sêdi. √ Vận dụng công thức Sêdi vào dòng chảy đều không áp trong kênh ta cần chú ý đặc điểm là độ dốc thủy lực J, độ dốc đo áp Jp và độ dốc đáy kênh bằng nhau. J = Jp = i Điều này có thể thấy dễ dàng: vì vận tốc trung bình v và sự phân bố vận tốc trên mặt cắt đều không đổi dọc theo dòng chảy, nên cột nước vận tốc cũng không đổi 165 dọc theo dòng chảy, đường năng và đường đo áp song song với nhau, do đó độ dốc của hai đường bằng nhau: J = Jp; đường đo áp của dòng chảy đều trong kênh hở có thể coi là đường mặt nước tự do (khi dùng áp suất dư) vì khi ta đặt những ống đo áp hở vào dòng chảy thì mực nước dâng lên trong ống đo áp ngang với mặt nước tự do, do đó độ dốc của đường mặt nước chính là độ dốc đo áp Jp; vì độ sâu h của dòng chảy đều trong kênh hở là một trị số không đổi dọc theo dòng chảy, nên độ dốc đáy i = sin ( là góc lập bởi đáy và đường nằm ngang) bằng độ dốc mặt tự do i = Jp (hình 7-1). Từ J = Jp = i, công thức Sêdi dùng cho dòng chảy đều trong kênh hở viết dưới dạng: √ (7-1) Gọi W là môđun vận tốc hoặc đặc tính vận tốc: tức vận tốc trung bình của dòng chảy ứng với i = l, công thức Sêdi (7-1) viết thành: √ (7-2) Hình 7-1 Gọi K là môđun lưu lượng hoặc đặc tính lưu lượng: √ (7-3) tức lưu lượng của dòng chảy đều khi độ dốc i = 1, ta viết được: √ √ (7-4) Phương trình (7-1), (7-4) là những phương trình cơ bản của dòng chảy đều trong kênh hở. Cần chú ý vì trị số độ dốc đáy i thường thường không lớn nên độ sâu h trong kênh được coi là khoảng cách thẳng đứng từ một điểm trên mặt nước tự do đến đáy kênh; khi đó mặt cắt ướt cũng được coi là thẳng đứng, chứ không phải là vuông góc với đáy kênh (hình 7-1). Khi nói đến dòng chảy đều trong kênh hở, cần phải chú ý đến yêu cầu về sự phân bố vận tốc trên mặt cắt phải không đổi dọc theo dòng chảy. Để phân bố vận tốc trên mặt cắt ngang của kênh bao giờ cũng có những trị số nhỏ ở gần đáy, ở gần bờ và tăng dần ở gần mặt tự do; thí nghiệm chứng tỏ rằng tỷ số (b là bề rộng, h là bề sâu của dòng chảy đều trong kênh hình chữ nhật) ảnh hưởng đến sự phân bố vận tốc; tỷ số càng tăng thì điểm có umax càng gần mặt tự do, đồng thời đồ phân bố vận tốc trên các đường thẳng đứng lân cận với vùng giữa của mặt cắt ngang mới càng giống nhau. 166 Vì vậy, chỉ có ở dòng chảy đều trong kênh hình chữ nhật mà tỷ số khá lớn, dòng chảy mới được gọi là dòng chảy phẳng. 7.2- CÁC YẾU TỐ THỦY LỰC CỦA MẶT CẮT ƢỚT CỦA DÕNG CHẢY TRONG KÊNH 7.2.1- CÁC MẶT CẮT THƢỜNG DÙNG Tùy theo tính chất của vật liệu ở bề kênh, mặt cắt kênh có thể có nhiều hình dạng khác nhau. Hình 7-2 Với vật liệu rắn chắc như gỗ, bêtông, gạch, đá xây v.v... thì mặt cắt kênh thường là hình chữ nhật hoặc hình thang có mái dốc khá thẳng đứng (hình 7-2) nhằm tiết kiệm vật liệu. Còn kênh đào trong đất, thì để bảo đảm sự ổn định của bờ kênh, mặt cắt thường là hình thang có mái dốc thoải, hoặc hình parabôn (hình 7-3). Hình 7-3 Với kênh đi ngầm trong lòng đất (kênh đi xuyên qua núi) thì mặt cắt phải là kiểu khép kín. Tùy theo tính chất vật liệu và điều kiện thi công, mặt cắt có thể là hình chữ nhật, hình tròn, hình trứng, hình lòng máng v.v... (hình 7-4). a) b) c) d) Hình 7-4 167 7.2.2- CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHỮNG YẾU TỐ THỦY LỰC CỦA MẶT CẮT ƢỚT TRONG NHỮNG KÊNH THƢỜNG DÙNG a) Mặt cắt hình thang đối xứng (hình 7-5a) b) a) Hình 7-5 Ta gọi: b - bề ngang đáy; h - độ sâu; m - độ dốc bờ kênh; m = cotg. Ở đây góc  được tính toán về ổn định của bờ kênh. Bề ngang B ở mặt trên: B = b + 2m.h (7-5) Diện tích mặt cắt ướt  bằng:  = (b + m.h).h (7-6) Chu vi ướt:  √ (7-7) Biết  và , có thể tính bán kính thủy lực R theo:  (7-8) b) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 7-5b) Ta có: B = b; m = cotg900 = 0  = b.h;  = b + 2h (7-9) 7.3- MẶT CẮT CÓ LỢI NHẤT VỀ THỦY LỰC Trong tất cả các loại mặt cắt nói trên, thuần túy theo quan điểm thủy lực mà xét, mặt cắt nào dẫn được lưu lượng lớn nhất trong cùng một điều kiện (độ dốc đáy kênh, độ nhám bờ kênh và diện tích mặt cắt như nhau) thì được gọi là mặt cắt có lợi nhất về thủy 168 lực. Nói cách khác, đó là mặt cắt có diện tích nhỏ nhất để chảy qua một lưu lượng định sẵn khi độ dốc đáy kênh, độ nhám thành kênh đều đã cho trước. Ta xác định điều kiện của mặt cắt có lợi nhất về thủy lực. Xuất phát từ công thức (7-4), sau khi thay C trong đó bằng công thức Pavơlốpski, ta có: √ Ta nhận thấy rằng ứng với cùng một diện tích co của mặt cắt ướt, lưu lượng sẽ càng lớn khi bán kính thủy lực R càng lớn và ứng với cùng một lưu lượng Q, nếu R lớn nhất thì có diện tích  nhỏ nhất. Vậy với  = const, ta sẽ có mặt cắt lợi nhất về thủy lực khi bán kính thủy lực R lớn nhất, cũng có nghĩa là khu chu vi ướt  nhỏ nhất. Trong những hình có diện tích bằng nhau, hình tròn là hình có chu vi bé nhất, do đó mặt cắt lợi nhất về thủy lực của kênh hở là hình nửa vòng tròn. Trong thực tế rất ít khi xây dựng kênh như vậy, vì khi thi công khó khăn và không đảm bảo sử dụng (vì bị sụt lở v.v…); chỉ đặc biệt khi chế tạo kênh bằng gỗ, bêtông, gạch đá... thì mới dùng mặt cắt đó. Đối với kênh đất, thì mặt cắt thường dùng là mặt cắt hình thang (hình 7-5), nên ta đi sâu vào xét mặt cắt đó. Cho một kênh có mặt cắt hình thang, mái dốc m, m = cotg. Xét xem, lúc mặt cắt đó là lợi nhất về thủy lực thì giữa các tham số b, h, m của nó quan hệ với nhau như thế nào? Các yếu tố của hình thang được liên kết với nhau bằng những công thức từ (7-6) đến (7-8). Từ (7-6), ta rút ra: Thay vào (7-7), ta được: √  ( √ ) ( ) Để mặt cắt có lợi nhất về thủy lực, cần có min hay:  Ta có:  √ (7-10) Thay  tính theo biểu thức (7-6) vào (7-10), ta được: √ Gọi , ta viết lại biểu thức trên thành: √ hoặc (√ ) (7-11) Biểu thức (7-11) là điều kiện để mặt cắt kênh hình thang là mặt cắt lợi nhất về thủy lực. 169 Từ (7-11) ta thấy ln là một hàm số của m. Quan hệ ln = f(m) cho ở bảng 7-1 sau đây: Bảng 7-1. Bảng trị số ln = f(m) m 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,5 1,75 2,00 2,25 2,5 3,0 ln 2,0 1,562 1,236 1,00 0,828 0,702 0,606 0,532 0,472 0,424 0,385 0,324 Đặt ln vào công thức tính toán kính thủy lực  sẽ tìm được bán kính thủy lực của mặt cắt hình thang có lợi nhất về thủy lực. (  ) ( √ √ (√ (√ ) ) ) √ (7-12) Với mặt cắt hình chữ nhật (m = 0) thì ln = 2, tức là bề rộng hai lần độ sâu: ln = 2hln Cần nhắc lại rằng khái niệm mặt cắt có lợi nhất về thủy lực là một khái niệm hoàn toàn đứng về mặt thủy lực mà xét, còn về mặt kinh tế và kỹ thuật thì chưa hẳn đã có lợi nhất. Từ bảng 7-1 ta thấy rằng, với kênh có m  0,75 thì mặt cắt có lợi nhất sẽ cho h  b; điều này dẫn tới việc phải đào kênh quá sâu; nhất là đối với những kênh lớn, ví dụ: với kênh có b = 20 m, m = 1,5, nếu làm theo mặt cắt có lợi nhất về thủy lực, thì từ bảng 7-1, ta có ln = 0,606, do đó h = 33 m, nghĩa là có độ sâu quá lớn, thực tế không thể đào như vậy. Tuy nhiên, nếu thiết kế mặt cắt kênh có bán kính thủy lực nhỏ hơn bán kính thủy lực lợi nhất chỉ vài phần trăm thì độ sâu h có thể giảm khá nhiều và mặt cắt như vậy có thể dùng được trong thực tế. Riêng đối với kênh loại bé thì mặt cắt có lợi nhất về thủy lực cũng có thể là mặt cắt có lợi nhất về kinh tế và kỹ thuật, vì không phải đào sâu lắm. Tóm lại lúc xác định kích thước của mặt cắt kênh, ngoài phần tính toán thủy lực, còn phải chú ý đến nhiều mặt khác như kinh tế, kỹ thuật và mục đích sử dụng. 7.4- VẬN TỐC CHO PHÉP KHÔNG XÓI VÀ KHÔNG LẮNG CỦA KÊNH HỞ Trong nhiều trường hợp có thể thiết kế kênh xuất phát từ vận tốc tính toán. Khi chọn vận tốc tính toán cần so sánh các phương án thiết kế kỹ thuật, tức là xét đến các điều kiện địa hình, địa chất, công dụng của kênh, chế độ phù sa và dòng chảy... về mặt thủy lực tất cả các kênh vận tải thủy, phục vụ nhà máy thủy điện, trạm bơm, tưới tiêu hoặc phục vụ tổng hợp đều phải thỏa mãn một yêu cầu chung nhất là: trong điều kiện sử dụng bình thường (và nếu có thể cả trong tình hình phát triển và mở rộng sản xuất) lưu lượng và mực nước trong kênh phải giữ vững ở mức đã thiết kế. Muốn vậy điều kiện làm 170 việc lý tưởng nhất của kênh là đảm bảo sự ổn định của mặt cắt ngang và dọc về phương diện xói và bồi. Để tránh bồi lắng và xói lở lòng kênh, trong tất cả các chế độ làm việc từ Qmin đến Qmax, vận tốc trung bình trong kênh phải thoả mãn điều kiện: vmin > vkl và vmax < vkx. Theo đó, để không gây ra xói lở lòng dẫn nước, vận tốc tính toán hoặc vận tốc thực tế trong kênh cần nhỏ hơn vận tốc cho phép không xói: v < [vkx] (7-13) Ở đây: [vkx] - vận tốc cho phép không xói của dòng chảy. Vận tốc cho phép không xói là vận tốc lớn nhất mà khi dòng chảy đạt tới trị số ấy không gây ra sự xói lở (phá hỏng) lòng kênh, trở ngại cho việc sử dụng bình thường. Vận tốc cho phép không xói của dòng chảy phụ thuộc vào nhiều yếu tố như vật liệu tạo thành lòng kênh, chiều sâu nước, độ nhám lòng dẫn, cả số lượng và tính chất của chất lơ lửng mà dòng chảy mang theo… Khi không biết bán kính thuỷ lực, vận tốc không xói cho phép được xác định theo công thức: [vkx] = Kx.Q0,1 , m/s (7-14) Ở đây: Kx- hệ số phụ thuộc vào đất lòng kênh (tra bảng); Q- lưu lượng của kênh, m3/s. Vận tốc cho phép không xói của một số loại vật liệu thường gặp có thể chọn sơ bộ theo bảng 7-2. Bảng 7-2 TT Loại vật liệu [vk], m/s TT Loại vật liệu [vk], m/s 1 Bùn than 0,250,50 6 Đất có có phủ mọc 0,801,00 2 Đất cát 0,700,80 7 Đất có phủ đá sỏi 1,503,50 3 Than bùn không phân giải 0,701,00 8 Bêtông 5,0010,0 4 Đất vàng chắc, đất thịt chắc 1,001,20 9 Gỗ 5 Đất sét 1,201,80 6,50 Đối với các dòng chảy có mang theo một số lượng nhất định về chất lơ lửng thì ngoài việc bảo đảm lòng dẫn không bị xói còn cần chọn vận tốc tính toán sao cho không để bồi lấp kênh. Ta gọi vận tốc mà ứng với nó dòng chảy đủ sức tải số lượng bùn cát đã cho với thành phần tổ hợp bùn cát đã định là vận tốc giới hạn không lắng và ký hiệu là [vkl]. Như vậy, muốn cho lòng kênh không bị bồi lấp, cần thỏa mãn điều kiện: v > [vkl] (7-15) Có thể xác định vận tốc giới hạn không lắng theo công thức sau: 171 [ ] √ √ √ (7-16) Ở đây: W- độ thô thuỷ lực của hạt có đường kính trung bình dtb , mm/s; dtb - đường kính trung bình của đại bộ phận các hạt phù sa lơ lửng, mm; R- bán kính thuỷ lực, m; n- hệ số độ nhám của kênh; ρ- tỷ lệ phần trăm tính theo trọng lượng của các hạt phù sa lơ lửng có đường kính xấp xỉ 0,25mm. Mặt khác các hạt rắn có thể bị bồi lắng xuống không phải do kích thước quá lớn mà do số lượng của chúng trong nước quá nhiều. Vì vậy cần kiểm tra điều kiện: ρ0 < ρk (7-17) Ở đây: ρ0- số lượng chất lơ lửng trong một đơn vị thể tích của dòng chảy gọi là độ đục dòng chảy; ρk - độ đục phân giới dòng chảy. Thông thường để đơn giản tính toán, lấy [vkl] = (0,50,6) m/s. Vận tốc cho phép không xói của dòng chảy còn có thể lấy theo cách phân loại đất không dính và đất dính (xem phụ lục ở các tài liệu thủy lực) 7.5- NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DÕNG CHẢY ĐỀU TRONG KÊNH HỞ HÌNH THANG Việc tính toán dòng chảy đều trong kênh hở là dựa vào phương trình cơ bản (7-4) √ Đối với trường hợp thường gặp là kênh hình thang, phương trình (7-4) nêu lên mối quan hệ giữa lưu lượng Q và các yếu tố sau đây: bể rộng đáy b, chiều sâu h, độ dốc mái kênh i, độ nhám lòng kênh n v.v... Q = f(b, h, m, n, i) (7-18) Ta thường phải giải quyết hai loại vấn đề sau đây về tính toán kênh hở: + Tính toán đối với kênh đã biết; thường là phải giải quyết phương trình (7-18), gồm 6 biến số khi đã biết 5, còn lại một biến số lấy làm ẩn số. + Thiết kế kênh mới: thường là đã biết những tài liệu về trắc đạc địa hình, về vật liệu làm kênh, về lưu lượng cần dẫn đi trong kênh; ta cần phải xác (tính kích thước mặt cắt ngang kênh). Sau đây ta xét từng vấn đề: a) Tính toán đối với kênh đã biết, ta có thể gặp 3 bài toán cơ bản sau đây: - Tìm Q, đã biết b, h, m, n, i. Tính ra những trị số , R, C rồi thay vào (7-4) ta tìm ra Q. - Tìm i, đã biết Q, h, b, m, n. 172 Tính ra những trị số , R, C rồi thay vào (7-4), sau khi rút ra ta được: - Tìm h, đã biết Q, b, m, n, i Trực tiếp rút h ra từ (7-4) là một việc rất phức tạp, nên ta giải bài toán này bằng phương pháp tính thử dần. Phương pháp tính là tự định một số trị số h, tính ra những trị số , R, C tương ứng rồi thay chúng vào (7-3) để tìm ra những trị số K tương ứng. Mặt khác tính ra √ . Trị số h làm cho trị số K tương ứng bằng trị số K0 là trị số phải tìm. Để việc tính toán thử dần được nhanh chóng hơn, ta có thể giải bài toán bằng phương pháp đồ thị. Ta tự cho vài trị số h1, h2, h3... và tính ra những trị số K1, K2, K3 v.v... tương ứng (hình 7-6a). Trên đồ thị K-h; dựa vào những điểm có tọa độ nói trên ta vẽ đường cong K = f(h). Từ trị số Kq đã biết, ta tìm ra trên đường cong điểm có trị số h0 tương ứng. Bài toán này luôn luôn có nghiệm với bất kỳ trị số K0 nào. Hình 7-6 Cũng thuộc loại bài toán này là trường hợp tìm b, khi đã biết Q, h, m, n, i. Biểu thức (7-3) là một hàm số của b vì các đại lượng , R, C đều có biểu thị qua b. √ ( ) Ta giải bài toán cũng bằng phương pháp thử dần hoàn toàn giống như trường hợp tìm h nói ở trên. Ta cũng có thể giải bằng đồ thị như trên, nhưng chú ý rằng đường cong K = f(b) không qua gốc tọa độ mà cắt trục OK tại điểm A, đoạn OA ứng với trị số K’ của kênh có mặt cắt hình tam giác (b = 0) (hình 7-6b); vậy bài toán chỉ có lời giải với các trị số K0 > K’. Vấn đề thiết kế mới, thường thường ta phải xác định tuyến kênh và độ dốc đáy i trên bản đồ trắc đạc địa hình (mặt bằng và trắc dọc) sao cho phù hợp nhất với những yêu cầu về thủy lực và về kinh tế, ta căn cứ vào chất đất hoặc vật liệu làm kênh mà xác định hệ số mái dốc m, đồng thời xác định hệ số nhám n của lòng dẫn. Với Q cho trước, ta cần phải xác định b, h của mặt cắt ngang; trong bài toán này, theo (7-18) ta có một phương trình hai ẩn số (b, h), vậy ta cần phải có một phương trình thứ hai nêu thêm một mối quan hệ b, h nữa. 173 Có thể có hai trường hợp về phương trình thứ hai đó: 1. Cho biết tỷ số . Khi đó ta có thể thay mọi trị số b trong phương trình (7-3) bằng b = .h, thì ta có một phương trình có một ẩn số h, ta trở về bài toán tìm h, khi đã biết Q, b, m, n, i mà ta đã nói ở trên, có thể tỷ số  lấy bằng ln; lúc đó phương trình thứ hai là phương trình (7-11). 2. Cho biết R hoặc v. Giả sử cho biết R. Từ (7-4), ta tính được: √ Và theo định nghĩa, ta có  Vậy ta có hệ phương trình hai ẩn số (b, h) sau đây: ( ) , √ (7-19) Giải ra ta tìm được b, h. Giả sử cho biết v từ công thức Sêdi (7-1): √ ta viết được: Biết Ví dụ với √ √ √ và n đồng thời xác định được y thì ta giải ra được R. như ở công thức Maninh ta có: ( ) ⁄ (7-20) √ Nếu y lấy trị số như trong công thức Pavơlôpski thì ta có thể trực tiếp dùng bảng quan hệ √ để tính R. Biết R rồi, ta trở về trường hợp trên và giải hệ phương trình (7-20). Ta biết rằng ở mặt cắt có lợi nhất về thủy lực, trị số R và v là lớn nhất và  là nhỏ nhất. Như vậy bài toán chỉ có lời giải nếu những trị số cho trước R và v phải nhỏ hơn R, v của mặt cắt có lợi nhất về thủy lực. Ví dụ 1: Cho một kênh hình thang có b = 12 m, độ sâu h = 3 m, mái dốc m = 1,5, độ nhám n = 0,025 và độ dốc i = 0,0002. Tìm lưu lượng qua kênh? Giải:  = (b + m.h).h = (12 + 1,5  3)  3 = 49,5 m2  √ √  Tính C theo công thức Pavơlốpski, ta được C = 46,68 m0,5/s. 174 √ Vậy: ⁄ √ ⁄ √ Ví dụ 2: Cũng với kênh như ở ví dụ 1, nhưng để dẫn được lưu lượng là 60 m3/s thì độ dốc đáy kênh phải là bao nhiêu? √ Và: Giải: Vì các số liệu của kênh vẫn như ở ví dụ 1 nên K = 3404 m3/s. Dùng công thức (74), ta có: ( ) Ví dụ 3: Xác định độ sâu h chảy đều trong kênh hình thang cho biết b = 1,2 m; m = 1,5 m; n = 0,0275; i = 0,0006 và Q = 1,1 m3/s. Giải: Ta có: √ ⁄ √ Cho một số giá trị h tính ra √ tương ứng, tới lúc nào bằng 44,9 là được. Số liệu tính toán được ghi lại ở bảng 7-3. Bảng 7-3 H(m)  (m2)  (m ) R(m) 0,5 √ (m ) C (m0,5/s) K (m3/s) 0,70 1,58 3,73 0,425 0,652 29,5 30,5 0,85 2.11 4,26 0,495 0,704 30,8 45,6 0,83 2,03 4,20 0,480 0,695 30,5 43,1 0,84 2.07 4,03 0,490 0,700 30,7 44,6 Qua bảng 7-3 ta thấy với h = 0,84 thì: √ √ ⁄ Vậy độ sâu chảy đều h = 0,84 m. Ví dụ 4. Xác định kích thước của kênh hình thang (n, h) sao cho mặt cắt đó lợi nhất về thủy lực. Các số liệu khác như ở ví dụ 3. Giải Ta có: √ ⁄ √ Với mặt cắt có lợi nhất về thủy lực thì  phải thỏa mãn (7-11) hay bảng 7-1 để tìm ln. Với m = 1,5 tìm được ( ) ln, m, n đã biết nên K chỉ phụ thuộc vào h. Cho một số giá trị h và tính ra K. Kết quả tính toán được ghi lại trong bảng 7-4. 175 Bảng 7-4 H (m)  (m2) R (m) C (m0,5/s) K (m3/s) 1,00 2,106 0,500 30,9 46,1 096 1,940 0,480 30,6 41,3 0,98 2,030 0,490 30,7 43,7 0,99 2,060 0,495 30,8 44,8 Trong bảng 7-4:  = (m + ln).h2 Hình 7-7 Hình 7-8 Còn: Từ bảng 7-4, ta nhận được: h = 0,99 m là độ sâu chảy trong kênh. Và b = ln.h = 0,606  0,99 = 0,60 m Kết quả: b = 0,60 m; h = 0,99 m Ví dụ 5: Xác định kích thước của kênh hình thang (b, h) cho biết Q = 75 m3/s; v = 1,25 m/s; i = 0,00038; n = 0,0225. Giải: Ta có Nếu tính C theo công thức Maninh, ta có thể tính R theo (7-20) ⁄ ( ) √ ( √ ) ⁄ Hệ phương trình (7-19) sẽ là: , ( ) ( ) √ ( ) Khử b, sẽ rút về một phương trình bậc hai đối với h: 2,472h2 - 34,5h + 60 = 0 Giải ra được hai trị số h: √ 176 √ Thay h vào phương trình (a) ta có: Với h1 = 2,03 m, ta được: Với h2 = 11,95 m, ta được: , nghiệm này không có ý nghĩa thực tíễn. Vậy đáp số của bài toán là: h = 2,03 m B = 25,54 m 7.6- TÍNH TOÁN KÊNH CÓ ĐIỀU KIỆN THỦY LỰC PHỨC TẠP 7.6.1- MẶT CẮT ĐƠN GIẢN NHƯNG CÓ ĐỘ NHÁM KHÁC NHAU Trong thực tế, nhiều khi ta gặp những mặt cắt kênh có những phần có độ nhám khác nhau: ví dụ hai bờ kênh xây gạch đá mà đáy kênh là nham thạch tự nhiên (hình 7-7), hoặc một bên là tường xây bằng bêtông, một bên là vách đá (hình 7-8), tính toán thủy lực trong trường hợp này tương đối phức tạp, chỉ có thể tính gần đúng (hình 7-7). Gọi i là phần chu vi ướt của mặt cắt ứng với độ nhám ni và i là phần mặt cắt tương ứng với chu vi ướt i (hình 7-7). Có thể tính hệ số nhám trung bình theo:      (7-21)  Mặt khác Pavlốpski dựa vào giả thiết là mỗi phần của chu vi ướt có ảnh hưởng đến một phần diện tích tỷ lệ với nó, tức là:     Và đã chứng minh được rằng có thể xác định “hệ số nhám trung bình” bằng công thức:  √      √  ∑ ∑  (7-22) Khi đó trị số n trong hệ số Sêdi lấy bằng ntb. Ví dụ: Ta thiết kế một kênh mà mái dốc được phủ bêtông, còn đáy thì không gia cố (hình 7-7). Chiều dài mái dốc được phủ bêtông là 1 = 6 m, với hệ số nhám n1 = 0,012 và độ dài đáy không gia cố là 2 = 5 m với hệ số nhám n2 = 0,025. Xác định hệ số nhám trung bình. Giải: Áp dụng công thức (7-21), ta có:     177 Áp dụng công thức (7-22), ta có: √    √  7.6.2- KÊNH CÓ MẶT CẮT PHỨC TẠP Nếu kênh có mặt cắt phức tạp mà ảnh hưởng các phần của chu vi ướt lên các phần diện tích tương ứng không thể coi là tỷ lệ với nhau được (hình 7-9) thì dù chu vi ướt có nhiều độ nhám hay chỉ có một độ nhám ta vẫn phải chia mặt cắt ướt  thành nhiều phần bằng những đường thẳng đứng như a-a, b-b và tính vận tốc trung bình cho từng phần. Do đó cần tính riêng diện tích i chu vi ướt i bán kính thủy lực Ri, hệ số nhám ni và lưu lượng Qi cho từng phần, với giả thiết là độ dốc thủy lực J giống nhau (trong dòng đều thì J bằng độ dốc chung của đáy 1). Vậy: √ √ √ √ ……………………………… √ ∑ √ √ (∑ )√ Hình 7-9 Nên nhớ rằng khi tính chu vi ướt  thì chỉ tính độ dài tiếp xúc giữa nước và mặt kênh, không tính độ dài tiếp xúc giữa nước với nước của hai phần. Ví dụ 6: Tính lưu lượng đi qua kênh có nước chảy tràn bãi như hình 7-10, hệ số nhám chung cho các phần là n = 0,025; độ dốc i = 0,0001. Hình 7-10 178 Giải: Ta chia ba phần như hình 7-10. Phần 1: ( )  √ √ ⁄ √ √ ( Phần 2: ⁄ √ ) (  ) √ √ ⁄ √ √ ( Phần 3: ⁄ √ )  √ √ ⁄ √ ⁄ √ Vậy: Q = Q1 + Q2 + Q3 = 1,22 + 32,5 + 0,655 = 34,375 m3/s √ Đó là cách tính tương đối đúng. Với mặt cắt này nếu tính như một mặt cắt hoàn chỉnh nghĩa là dùng chung một bán kính thủy lực cho toàn mặt cắt thì ta sẽ có:  = 1 + 2 + 3 = 5,25 + 42,5 + 3,125 = 50,75 m2  = i + 2 + 3 = 10,7 + 16,3 + 6,7 = 33,7 m2  √ K = 50,75  53,03 = 2710 m3/s √ ⁄ 179 So với cách tính trên, lưu lượng đã giảm 21,15%. Tính như thế này là không đúng vì đã xem sức cản ở phần chu vi trên hai bài cũng ảnh hưởng nhiều đến dòng chính ở lòng kênh. 7.7- TÍNH TOÁN THỦY LỰC CHO DÕNG CHẢY ĐỀU KHÔNG ÁP TRONG ỐNG Ngoài dòng chảy đều trong kênh hở vừa xét ở trên, trong thực tế nhiều lúc còn gặp loại dòng chảy đều không áp trong các ống kín, chẳng hạn dòng chảy trong cống ngầm thoát nước ở thành phố, trong các đường hầm xuyên qua núi v.v... Tùy theo yêu cầu sử dụng mà có nhiều kiểu mặt cắt khác nhau. Việc tính toán thủy lực cho các loại mặt cắt này cũng dựa trên các công thức cơ bản (7-3) và (7-4). Tuy nhiên việc tính môđun lưu lượng K theo (7-3) và môđun vận tốc W theo (7-2) tương đối phiền phức, vì diện tích  và chu vi ướt  là những hàm số phức tạp của độ sâu h. Do đó người ta làm sẵn những bảng, đồ thị cho K và W. Gọi: H là chiều cao trong của ống; h là chiều sâu; K, W là môđun lưu lượng và môđun vận tốc, khi độ sâu h < H; K0, W0 là môđun lưu lượng và môđun vận tốc khi h = H. và cho rằng y không đổi khi h thay đổi thì Nếu tính C theo công thức rõ ràng tỷ số và sẽ chỉ phụ thuộc độ sâu tương đối tức tỷ số mà không phụ thuộc độ nhám và kích thước tuyệt đối của mặt cắt: ( ) ( ) Do đó, người ta có thể tính sẵn và lập bảng hay vẽ thành biểu đồ các quan hệ trên: biểu đồ của các quan hệ đó đối với hình tròn, hình trống, hình lòng máng được vẽ ở hình 7-11, 7-12 và 7-13. Khi có các biểu đồ ấy, ta chỉ cần tính K0, W0 (phụ thuộc kích thước tuyệt đối và độ nhám n) là có ngay quan hệ giữa K, W với độ sâu h và giải được các bài tính về dòng chảy đều không áp trong ống một cách rất đơn giản. Hình 7-11 Hình 7-12 Hình 7-13 180 Để tính toán được nhanh chóng người ta thường tính sẵn K0, W0 ứng với các độ nhám n thường dùng. Dưới đây ta có các bảng 7-5, 7-6, 7-7 tính ứng với n = 0,013. Bảng 7-5. Trị số K0 và W0 của ống tròn n = 0,013 H = d (m) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,0 2,25 2,50 2,75 3,0 K0 (m3/s) 0,595 3,76 11,2 24 43,7 71,0 106,5 152,5 208 276 354 447 W0 (m/s) 12,4 19,2 25,3 30,5 35,6 35,6 44,3 48,5 52,4 56,2 59,7 633 Bảng 7-6. Trị số K0 và W0 của ống hình trứng n = 0,013 0,30 0,90 1,05 K0 (m /s) 0,497 1,523 3,314 6,119 10,0l 15,2 H (m) 0,45 0,60 0,75 3 1,2 1,35 1,40 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 21,55 29,93 42,69 51,43 64,39 78,58 92,19 115,8 W0 (m/s) 10,82 14,43 18,03 21,31 24,19 27,03 29,34 32,17 34,43 37,0 38,92 40,42 42,68 44,81 Bảng 7-7. Trị số K0 và W0 của ống hình lòng máng n = 0,013 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 K0 (m3/s) 12,28 20,12 30,4 43,6 59,6 78,8 128,0 193,0 276,0 375,0 495,0 W0 (m/s) 25,4 28,9 32,1 35,1 38,0 40,7 46,2 50,9 55,7 59,8 63,9 H (m) Ví dụ 7: Xác định đường kính của ống tròn bằng bêtông cốt thép sao cho Biết Q = 3 m3/s; i = 0,004; n = 0,013. Giải: Với a = 0,8, tra biểu đồ hình 7-11, ta được A = 1,0 Vậy: √ ⁄ √ Mặt khác ta có: ( ) √ ⁄ ( ) ⁄ ⁄ ⁄ √ Giải phương trình, này ta được d = 1,30 m. Vì ống thường đúc sẵn với các đường kính nhất định như ở bảng 7-5 nên cần tìm trong bảng để giá trị K0 lớn hơn gần nhất giá trị vừa tính ở trên. Ta có K0 = 71,0 m3/s, ứng với ống có đường kính d = l,50 m và W0 = 40,1 m/s. Nếu lấy d lớn như vậy thì độ sâu tương đối a sẽ thay đổi, ta có: √ √ Tra biểu đồ hình 7-11 tìm có a = 0,60 và B = 1,07. Vậy độ sâu của dòng chảy là: h = a.H = 0,6  1,50 = 0,90 m. và vận tốc trung bình là: √ √ √ ⁄ 181 [...]... ) Lực khối gồm trọng lực và lực quán tính Hệ tọa độ nghiên cứu các bài toán này được gắn vào bình chứa chất lỏng 3 Áp suất tĩnh của chất lỏng Ứng suất trong chất lỏng tĩnh khi có ngoài lực tác dụng vào gọi là áp suất thủy tĩnh 4- Lực tác dụng lên chất lỏng Tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng đều có thể phân ra làm hai loại là lực khối (còn được gọi là lực khối lượng hay lực thể tích) và lực mặt Lực. .. nhau c/- Vị trí tâm áp lực Ðiểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực Tùy theo áp lực là áp suất tuyệt đối hay là áp suất dư mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư Phương pháp xác định vị trí tâm áp lực trong hai trường hợp đều giống nhau Ở đây chỉ nêu lên phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư Gọi D(z, y) là tâm áp lực dư, cần xác định tọa độ zD và yD của điểm D * Trường hợp hình phẳng... 7,5006.102 7,3556.102 7,60.102 1 Mặt khác, tất cả những lực tác dụng vào chất lỏng còn có thể chia thành lực trong và lực ngoài - Lực trong (nội lực) , là những lực tác dụng lẫn nhau giữa các phân tử của một thể tích chất lỏng nhất định Ví dụ: lựa ma sát trong, áp lực trong nội bộ thể tích chất lỏng đều là những nội lực - Lực ngoài (ngoại lực) : là những lực tác dụng lẫn nhau giữa khối chất lỏng cho trước... xe, các ống gang, thép v.v… 2.8- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH 2.8.1- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH PHẲNG CÓ HÌNH DẠNG BẤT KỲ 2.8.1.1- Xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng đặt nghiêng với mặt thoáng một góc  Khi tính áp lực P tác dụng lên diện tích S (hình 2-13), ta phải xác định 3 yếu tố: phương chiều, trị số và điểm đặt của P Hình 2-13 Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng 30 Cách tính: tính... bố áp suất ở trường hợp đáy phẳng nằm ngang là tại mọi điểm của đáy áp suất đều như nhau Biết rằng áp suất ở đáy là p = p0 + .g.h với h là chiều sâu của bể Kí hiệu S là mặt chịu áp lực ta có áp lực thủy tĩnh lên mặt S (hình 2-15): P = (p0 + .g.h).S Trong trường hợp này điểm đặt lực trùng với trọng tâm của mặt S Hình 2-15 2.8.3- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH CONG Ở đây ta xét một số trường hợp thành... giao điểm, áp suất thủy tĩnh lại có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp Do đó, công của lực thể tích làm ra khi di động trên mặt đẳng áp thì bằng không 22 2.4.3- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC Xét trường hợp chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của lực khối là trọng lực Giả sử khối chất... CƠ BẢN TRONG THỦY TĨNH HỌC a Ý nghĩa hình học hay thủy lực z - độ cao hình học; - độ cao đo áp; - cột áp tĩnh Từ phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học ta dễ dàng nhận thấy rằng cột áp thủy tĩnh tại mọi điểm trong một môi trường chất lỏng cân bằng là một hằng số b Ý nghĩa năng lƣợng z - vị năng đơn vị; - áp năng đơn vị; - thế năng đơn vị; Vậy thế năng đơn vị của mọi điểm trong một môi trường chất lỏng... tốc lực khối gồm gia tốc trọng trường và gia tốc quán tính của chuyển động Lực mặt (hay lực bề mặt) là lực tác dụng lên bề mặt của khối chất lỏng, tỷ lệ với diện tích bề mặt chất lỏng Chúng gồm các lực như áp lực khí quyển tác dụng lên bề mặt tự do của chất lỏng, lực ma sát, Lực mặt được tính theo công thức: ∫( ) 16 Ở đây: p- lực mặt tính trên một đơn vị diện tích Nếu Fp thẳng góc với mặt chất lỏng... lượng, gồm có trọng lực, lực quán tính Nó được biểu diễn bằng biểu thức: ∫( ) Ở đây: V- thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối; - khối lượng riêng của chất lỏng; R- gia tốc khối (hay lực khối đơn vị) Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực thì gia tốc khối là gia tốc trọng trường Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc thì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng trường và gia tốc... những vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó Ví dụ, áp lực tác dụng lên mặt ngoài của khối chất lỏng cho trước, trọng lượng, lực quán tính, v.v… là những ngoại lực 2.2- ÁP SUẤT THỦY TĨNH (HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH) a) Định nghĩa Áp suất thủy tĩnh là những ứng suất gây ra bởi các lực khối và lực bề mặt Xét một thể tích chất lỏng giới hạn bởi diện tích toàn phần Ω (hình ... số loại máy thủy lực: máy ép thủy lực, máy tích năng, máy tăng áp, kích, cơ, cần truyền lực truyền động thủy lực Ở ta xét ứng dụng cụ thể: máy ép thủy lực Sơ đồ làm việc máy ép thủy lực (hình... tất lực tác dụng vào chất lỏng chia thành lực lực - Lực (nội lực) , lực tác dụng lẫn phân tử thể tích chất lỏng định Ví dụ: lựa ma sát trong, áp lực nội thể tích chất lỏng nội lực - Lực (ngoại lực) :... tâm áp lực Ðiểm đặt áp lực gọi tâm áp lực Tùy theo áp lực áp suất tuyệt đối áp suất dư mà tâm áp lực gọi tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư Phương pháp xác định vị trí tâm áp lực hai trường