TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGÔ THỊ MINH NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngưồi hưóng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hưổng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Minh LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đõ em hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Minh Mục lục • • Mở đầu Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 6 1. 1. Phương trình vi phân cấp hai 6 1.2 . Phương trình autonom trong mặt phẳng pha 7 1.3. Chu trình giới hạn 9 Chương 2. Phương pháp nhiễu 13 2 . 1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức 14 2 .2 . Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt dần 19 2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng 22 2.4. Dao động cưỡng bức gần cộng hưởng với kích thích yếu 24 2.5. Phương trình biên độ cho con lắc không tắt dần 27 2 .6 . Phương trình biên độ cho con lắc tắt dần 32 2.7. Lò xo mềm và lò xo cứng 33 2 .8 . Sự nhiễu biên độ-pha đối với phương trình con lắc 35 2.9. Nghiệm tuần hoàn của phương trình autonom (phương pháp Lindstedt) 38 3 2 . 10. Dao động cưõng bức của phương trình tự kích thích 40 2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 4 MỞ ĐẦU Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng trong toán học hiện đại. Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế số phương trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói riêng giải được không nhiều. Với lòng say mê toán học sẵn có, đặc biệt là mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai em đã mạnh dạn chọn đề tài: ’’Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu”. Đây là một đề tài có phạm vi quy mô nhỏ trong ngành giải tích toán học. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai, khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom trong mặt phẳng pha, chu trình giới hạn. Chương 2: Trình bày về việc nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này của em khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Phương trình vỉ phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F{x,y,y',y") = 0 , (1.1) ở đây X là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y'(x),y"{x) là các đạo hàm của nó. Nếu giải được phương trình (Ịl.lịi đối với y", nó có dạng y" = f { x , y ,ý ) - (1-2) Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (Ị1.2Ị). Nếu f{x,ỵ,ỵ'), - Ậ ( x , y , ỵ f) và -=^-(x,y,ỷ) liên tuc trong môtmỉền D nào đó trong ởy ày' R 3 và nếu (^o5);05);o) ^ điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm X = Xo, tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện = y o , y ’!*=*„ =y'o6 ( 1-3) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Bài toán tìm nghiệm của phương trình ( L2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2). Nghiệm tổng quát của phương trình (_L2) là hàm y = (x,y,Ci,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (|1,2|) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (Ị1.2Ị) là một hàm số y = (p^C pC Í?) nhận được bằng cách cho C\ ,C 2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định CpCÍ?. Hệ thức ộ ( j,} j,CpC5) = 0 được gọi là tích phân riêng. _ *7 1.2. Phương trình autonom trong mặt phăng pha Xét phương trình autonom cấp hai x = f( x,x). (1.4) Để nghiên cứu định tính của phương trình này ta đặt y = x. Khi đó phương trình (Ị1.4Ị) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một 1X = y ự = f{x,y). (1.5) Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (Ị1.4Ị). Từ hệ (Ị1.5Ị) ta có mối liên hệ giữa X và y xác định bởi phương trình vi phân cấp 7 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh một 0 thì X tăng khi t tăng, nếu y= X < 0 thì X giảm khi t giảm. Do đó, hướng của đường cong pha luôn từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên và từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. Mỗi điểm p(x,ỵ) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng thái vật lý (x,x) chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (Ị1.3Ị) mô tả, do đó p được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó. Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theo thời gian, tức là ta có i = 0. Khi đó ta cũng có X = 0. Do đó, trong mặt phẳng pha, trạng thái cân bằng được biểu diễn bởi điểm p(x, 0), với X là nghiệm của phương trình X = X = 0 hay /M )= 0 . (1.7) Vì thế, các điểm p(x,0) với X thỏa mãn (Ị1.7Ị) được gọi là điểm cân bằng của (Ị1.3Ị) và của (Ị1.4Ị). Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng của chúng được gọi là lược đồ pha. Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha để đưa ra các tính chất của nghiệm X = x(t) của phương trình vi phân cấp hai (Ị1.3]), cũng như mô tả tính chất vật lý của hệ xác định bởi phương trình đó. Giả sử A,B là hai điểm trên một đường cong pha. Khi đó thời gian để trạng thái p(x,y) từ A tới B dọc theo đường cong pha đó được gọi là thời 8 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh gian chuyên từ A tới B. Đó là một đại lượng không phụ thuộc vào thời điểm p xuất phát ở A và xác định bởi: f dx Ta b — L - . Jab y ( 1 . 8) Các tính chất có thể quan sát được qua lược đồ pha bao gồm: i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của (Ị1.3Ị). Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (Ị1.3ị) tương ứng với đường cong pha không kín. ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (Ị1.3Ị). iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ra tính chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý. Chẳng hạn: +) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường cong kín bao quanh nó thì được gọi là một tâm và đó là một điểm cân bằng ẩn định (tức là, theo thời gian hệ sẽ tiến tới trạng thái đó nếu xuất phát từ trạng thái gần với điểm cân bằng). +) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng đều có hướng về điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng ổn định. +) Nếu dịch khỏi trạng thái cân bằng một chút đều có thể rới vào một đường cong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng không ổn định,... 1.3. Chu trình giói hạn Xét hệ autonom X = f( x ,x ), trong đó / là một hàm phi tuyến, và / có dạng f ( x ,x ) = - h ( x , x ) - g(x), 9 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh khi đó phương trình vi phân, trở thành x + h(x,x)+ g(x) = 0 (1.9) và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là \ Ã= y (1.10) ự = -h(x,y)-g(x). Với mục đíchgiải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng hệ có một điểm cân bằng duynhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc,nếu cần thiết, bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó A(0,0)+*(0) = 0 và nghiệm duy nhất của /z(x,0) + g(x) = 0 là X = 0. Chúng tôi tiếp tục giả định rằng s(0) = 0, (1.11) h( 0,0) = 0. (1.12) khi đó Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (Ị1.9Ị) dưới dạng x + g(x) = -h ( x ,x ), (1-13) chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển động tự do được điều khiển bởi phương trình jt + g(jt) = 0 (một hệ bảo toàn), nhưng bị tác động bởi một ngoại lực —h(x,x) đóng vai trò là nguồn cung cấp hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(jt) là một lực phục hồi, thì hệ đó mô tả dao động được điều khiển bởi ngoại lực —h(x,x). Trạng thái cân bằng xảy ra khi X = i = 0. Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi V (x) = Ị g(x)dx, 10 (1.14a) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh và động năng của hạt bởi T = ị x 2. (1.14b) Năng lượng toàn phần £ cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là: e = T + V = ị x 2 + Ị g{x)dx, (1.15) do đó có quy tắc biến đổi năng lượng d£ ... — = ix + d l i . dt . . . Khi đó, từ (Ị1.9Ị) ta có d£ — = x ( - g ( x ) - h(x,x) + g(x)) = -xh(x,x) = -yh(x,y) (1.16) trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn cung cấp năng lượng sinh bởi —h(x,x) hay đại diện cho ngoại lực. Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm cân bằng (0,0), d s / d t là âm: de ~ r = -yh(x,y) < 0 dt (1.17) (ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Hãy xét đường cong pha bất kì sau một điểm nằm trong R tại mọi thời điểm. Khi đó, £ liên tục giảm dọc theo đường cong pha đó. Ánh hưởng của h tương tự như giảm tốc hoặc điện trở; năng lượng liên tục bị rút khỏi hệ, và điều này dẫn tới việc giảm biên độ cho đến khi hết năng lượng ban đầu. Chúng ta nên mong đợi các đường cong pha tiếp cận với điểm cân bằng. Nếu ds -J- = -yh(x,y) > 0 (1.18) dt trong R (với ỵ Ỷ 0 ), thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy, và biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn trong miền R. Ớ đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trong R. 11 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Đường tròn trong Hình11.11là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’ được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới hạn trong Hìnhịl.lỊlà một chu trình giới hạn Ổn định, vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong pha mới. Hình 1.1: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định X2 + ý1 = 1 sinh bỏi hệ X+ (x2 + i 2 —1)i + X= 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất k ì . 12 Chương 2 Phương pháp nhiễu Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình autonom. Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguvên của một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian. Có một số quyền tự do trong viêc gán các hệ số phụ thuộc thời gian, điều này được sử dụng để tạo ra các xấp xỉ chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các giá trị của các tham số chính của phương trình. Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự. Các quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ. 13 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh 2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức Cho đến thời điểm hiện tại, cơ bản chúng ta đã xét các hệ autonom. Phương trình vi phân có dạng x = f( x ,x , t ) , (2.1) và các hệ cấp một có dạng tổng quát x = X (x,y ,í),ý = Y(x,y,t), (2.2) ở đó thời gian t xuất hiện một cách rõ ràng, được gọi là không autonom và là đối tượng chính của chương này. Trạng thái của hệ được xác định bởi cặp giá trị (x ,x ) hoặc (x,y), và như trước (với phương trình (Ị2.1Ị), ta thường định nghĩa y = i). Nếu một hệ autonom đi qua một trạng thái (xo,jo) tại t = to thì điều kiện ban đầu này sẽ xác định những trạng thái kế tiếp trong chuyển động duy nhất độc lập với ro và chúng tạo thành một đường cong pha duy nhất qua điểm (xo, jo). Tuy nhiên, các phương trình không autonom có thể sinh ra vô hạn đường cong pha qua một điểm (xo,yo); một điểm khác nữa là nói chung, đối với mọi giá trị của ÍQ. Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách đánh giá độ dốc của một đường cong pha đi qua (xo,yo) tại ÍQ. Từ (2.2) ( cỉ ì \ w - i - y (*o>yoifo) X ~ X{xữ,yữ,tữy ~ Độ dốc phụ thuộc vào giá trị của to, trong khi đối với các phương trình autonom thì nó không phụ thuộc vào ro- Điều này làm giảm đáng kể tính hữu ích của việc biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa. Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt. Hai ví dụ về phương 14 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức sau x + k x + (ờ q X + £x3 = F cos (Ot và X + e(x2 — 1) i + (ờ q X = F cos cờt ở đó £ là một tham số nhỏ. Khi £ = 0, những phương trình đó trở thành tuyến tính. Số hạng bên phải, F coscot được gọi là lực cưỡng bức điều hoà và có thể xem như là một ngoại lực với biên độ F và tần số vòng ũ) tác động lên hạt đơn vị trên lò xo phi tuyến, số hạng lực cưỡng bức cố gắng điều khiển hệ thống ở tần số ũ) chống lại khuynh hướng dao động tự do hoặc các chuyển động khác được mô tả bởi các phương trình thuần nhất x + k x + (Oq X + £ x 3 = 0 hoặc X + £ (x2 — 1)x + C0q X = 0. Để thuận tiện cho việc tham khảo, chúng tôi tóm tắt các tính chất của các nghiệm của phương trình đại diện cho dao động tuyến tính tắt dần với số hạng cưỡng bức điều hoà: x + k x + (ờq X = F c o s c o / , (2.3a) ở đó k > 0, CỞQ > 0, (0 > 0 và F là các hằng số và hệ số tắt dần k không quá lớn: 0 < k < 2(Oq. (2.3b) Đó là phương trình chuyển động của hệ cơ học trong Hình 2.1. Khối có khối lượng đơn vị, độ cứng của lò xo bằng (ỦQ, và lực ma sát tỉ lệ với vận tốc thông qua hằng số k. Toạ độ X là khoảng cách từ vị trí của khối lượng đến vị trí cân bằng, tức là khi lò xo có độ dài tự nhiên. Nghiệm tổng quát của (Ị2.3aỊ) cho trong công thức sau 15 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Hình 2.1: Nghiệm riêng + các hàm bù (Các hàm bù là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng X + kx + x(t) = cởqX = 0) là F cos(ũ)t — y) -hCe 2^cos C0n - -rk t —ộ (2.4) [(ứ)q - (ở2)2 + k2co2] 2 Trong số hạng đầu, 7 bằng góc cực của số phức (củq — (ờ2) + ỉk(ú trên lược đồ Argand. Trong số hạng thứ hai (các hàm bù) c và ộ là các hằng số tuỳ ý được điều chỉnh để phù hợp với điều kiện ban đầu Jt(fo) = *0, x(to) = );0 - số hạng đó luôn tiến đến 0 khi t —» oo do nhân tử nó được mô tả như số hạng nhất thời. Do đó tất cả các nghiệm của (Ị2.3Ị) đều tiến đến trạng thái của dao động ổn định, được mô tả bởi nghiệm riêng xp(t), ở đó x p(t) = F cos((ờt - y)/[{(ùl - (D2)2 + k2O)2] 2 16 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh mà có cùng tần số như ngoại lực F coscot, nhưng có độ chậm pha xác định bởi góc y. Số hạng này trong (Ị2.4Ị) cũng được gọi là dao động cưỡng bức, còn số hạng thứ hai là dao động tự do. Biên độ A của (2.5) được cho bởi A = \F\/[((Ở0 - (ờ2)2 + k2co2] 2 . Giả sử ta tiến hành thí nghiệm trên hệ trong Hình 2.1 bằng cách biến đổi tần số của ngoại lực co và theo dõi cách biến đổi của biên độ A. Với giá trị cố định của k, A đạt được giá trị lớn nhất khi ( cởq — Cở2)2 + k2(ù2 mang giá trị nhỏ nhất đối với co2, xuất hiện khi Củ = Cở,'0 -kẨ và do đó A = Amax = \F\/ k(mị — - k 1)! Bây giờ giả sử k là rất nhỏ. Biểu thức này cho thấy khi 0) có giá trị gần với thì Amax trở nên rất lớn và hệ được gọi là ở trong trạng thái được cộng hưởng. Phân tích kỹ hơn cho thấy, dưới những điều kiện này, sự chậm pha 7 trong (2 A) gây ra bởi ngoại lực F cos cot, với Cở2 = C0q — ^k 2, là thời gian để nó có tác động cực đại vào khuynh hướng dao động tự do của hệ. Do đó biên độ đạt giá trị lớn hơn. Trường hợp khi k = 0 ở (|2.3aỊ) là đặc biệt theo nghĩa số hạng thứ hai ở nghiệm tổng quát (Ị2.4Ị) là không nhất thời, nó không giảm theo thời gian. Các nghiệm là tuần hoàn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt của (0 và 0)0 (khi 0) = (p/q)ù) 0, ở đó p và q là các số nguyên). Có trạng thái thường xuyên hay thất thường của dao động còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu. Nghiệm tổng quát của (|2.3aỊ) khi k = 0 là x(t) (Óị - (ó1 cos (ũt + c cos(cớq t + ộ) 17 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Nếu k = 0 và Cở = (ŨQ thì (Ị2.4Ị) trở nên vô nghĩa, vì vậy chúng ta quay trở lại phương trình vi phân (23) mà trong trường hợp đó, phương trình có dạng X + (OqX = F COS 0310í. Nghiệm tổng quát là F x(t) = —— ísinft)(ự + Ccos(ứ)(ự —ộ) 2 (ởq (2.6) Số hạng đầu có dạng khác trong (Ị2.4Ị). Các nghiệm bao gồm các dao động với tần số ớ)o và biên độ tăng vô hạn khi t —Y ±oo, đây là trường hợp cực đại của hiện tượng cộng hưởng, khi không còn sự điều khiển tắt dần. Phương trình chuyển động của con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức điều hoà là dễ hình dung và dẫn đến việc xem xét một họ quan trọng của các phương trình phi tuyến được gọi là phương trình Duffing tổng quát. Dạng chuẩn của phương trình con lắc là Jc + kx+ (ỞQsinx = Fcos(ờt (2.7) ở đó, X là độ lệch góc so với phương thẳng đứng, k = a / (ma2), ở đó m là khối lượng và a là độ dài, a x là mômen của lực ma sát với giá treo; (ỦQ = g/a\ F = M / (m a 1), ở đó M là biên độ của mômen điều khiển quanh giá treo. Thứ nguyên vật lý của các hệ số trong (Ị2.7Ị) là [ r -2 ]. Để dự tính mức độ tác động của mômen ngoại lực đối với con lắc tại giá của nó, ta xét Hình 2.2. Con lắc được cấu tạo gồm một con quay (giá) và được gắn chặt vào một trụ đỡ. Con quay được điều khiển ma sát bởi một vỏ che sát ngoài, vỏ này được gây quay một cách độc lập quanh con quay với vận tốc góc A cos (ờt. Giả sử mặt tiếp xúc được làm trơn bằng chất lỏng nhớt, mômen điều khiển M tỉ lệ thuận với vận tốc góc tương đối giữa con quay và vỏ che ngoài: M = a(A cos cot —x) 18 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh ở đó A là hằng số. Bằng cách điều chỉnh (trong tưởng tượng) hằng số a và A, phương trình {2.1) có thể được tạo ra cho giá trị bất kì của F và giá trị bất kì của k > 0. vò nsoài dao độns con quay H ình 2 .2 : Con lắc có điều khiển ma sát 2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt dần Xem xét dao động cưỡng bức của con lắc không tắt dần Jc+ CỞQsinx = F COS (Ot (2.8) trong đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng C0O > 0, Cở > 0 và F > 0. Đặt sinx « X----1 X3 6 19 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh để cho phép dao động lớn ôn hoà, với độ chính xác 1% khi \x\ < 1 radian (hay 57°). Khi đó phương trình (Ị2.8Ị) trở thành, xấp xỉ 1 X + (Óầx — (ởỉx3 = F cos cot. (2.9) Chuẩn hoá dạng (Ị2.9Ị) bằng cách đặt T = ũ)t,£ll = C00/ũ)2(ũ. > 0 ) , r = F /co1. (2 .10) x" + £l2x — - £ l 2x3 = r cos T (2.11) Khi đó ta được ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến T. Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình Duffing, được đặc trưng bởi số hạng phi tuyến bậc ba. Nếu phương trình ([2.1 ĩ ị đó thực sự sinh ra khi xem xét con lắc, thì các hệ số và các biến là không thứ nguyên. Các phương pháp đã mô tả đều yêu cầu sự phụ thuộc vào số hạng phi tuyến là không đáng kể nên ở đây ta giả thiết rằng ị ũ ? là nhỏ và viết 1 - £ r = £oõ (2 . 12) xff + C ìx — £ox = r c o s T . (2.13) Khi đó 0 (và F > 0), d(o/da 0 bằng 0 với mọi giá trị của ữo và co < (Oq như Hình 2.4. Yí dụ 2.2. Nghiên cứu các nghiệm tuần hoàn cưởng bức của phương trình x" + (9 + e/3 )x —£x3 = r cos T, ỏ đó £ là nhỏ và p, r không quá lớn. Phương trình đã cho có thể được viết lại như sau x " + 9 x = r COST + e ( x 3 — / 3 x ) . Vi ết x{ e , t ) = x o (t) + £X\ (t) + ở đó x o (t),* i ( t ) , ... có chu kỳ 27Ĩ. Khỉ đó Xq + 9xq = r cos T, x" + 9x\ = *0 - Px0t-Phương trình đầu tiên có nghiệm 2%-tuần hoàn dạng X()(t ) = a()Cos3T + & osin3T+ —r COST. 8 Khi thay thế vào phương trình xấc định X], các số hạng trong c o s3 t, sin3T xuất hiện ở mặt bên phải, ngăn chặn các nghiệm tuần hoàn trừ khi các hệ số của chúng bằng 0. Cách đơn giản nhất đ ể thực hiện phép thế bằng cách viết •^o(^) = A()e^lT “b A()é* 3ỉT + — Ten + — Te l t , lồ lồ ở đó A q = ịã() — ịỉbo. Ta thấy được ’ ( r 36r 2 ( ——+ \ + 3ẤQy4o —PA q J e3iT + liên hợp đầy đủ + Các hàm điều hoà khác. 31 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Do đó, ta cần í — o Ao í 3A0A0 —p + 6 p r 163 2 Điều đó cho thấy rằng A q là số thực, bo = 0, Ao = ịao và phương trình đối với ŨQ là 1 / 3 2 o 6r2 la o ^ - / 3 + ^ 1 r3 + 163 = 0. / / V 2.6. Phương trình biên độ cho con lăc tăt dân Phương trình biên độ (Ị2.37Ị) chuyển qua các tham số của phương trình (2.24) bởi (2.25 ), (2.26) và (2.271, trở thành r ị l k 2(o2 + {m 2 - mị + I = F2 (2-42) Chỉ các nghiệm với ro > 0 là hợp lý (quan sát phương trình (Ị2.36Ị)). Giải phương trình bậc hai đối với (ũ2 cho bởi (Ị2.42Ị) ta có ®2 = 2 { 2ũ}2° ( ’ ' 8 ' ~ k 2 ± ^ ị { ì â - A< k2{ X- \ rỉ ) +AF2l rỉ \ }• Phản hồi điển hình trình bày trong Hình 2.5 với các giá trị cố định của k và 0, k được chọn khá nhỏ để có thể so sánh với trường hợp không tắt dần được trình bày trong Hình 2.4. Hình tương tự với Hình 2.4 với một vài sự khác biệt quan trọng. Không còn hai nhánh cách biệt tương ứng với mỗi giá trị của F: Các nhánh gặp nhau và tạo thành các đường cong liên tục. Trong lân cận gần của (0 = O)o, ro = 0 các đường cong không quay lên trên: tức là F có giá trị nhỏ nhất trước khi nó có thể có ba phản hồi cưỡng bức luân phiên. Các phản hồi với F nhỏ đại diện cho phản hồi xấp xỉ tuyến tính, như có thể quan sát từ (Ị2.35Ị). 32 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh khôngổnđịnh Hình 2.5: Đường cong biên độ (ro) —tần số ((ừ) đối với con lắc tắt dần (phương trình (2.42)) 2.7. Lò xo mềm và lò xo cứng Ta đã quan tâm tới phương trình có dạng x + kx + cx+ £x3 = F COS (Ot Phương trình xuất hiện từ một xấp xỉ của phương trình con lắc. Trong trường hợp tổng quát nó được gọi là phương trình Duffing với số hạng cưỡng bức. Bây giờ ta xét x + kx + cx + Eg(x) = F COS cot ở đó k > 0, c > 0 và |e| (2.43) 1. Nó được xem như phương trình của chuyển động cưỡng bức với giảm dần của một hạt trên lò xo, lò xo cung cấp một lực phục hồi, lực này gần như nhưng không hẳn tuyến tính. Đó là mô hình Vật lý hữu ích vì nó cho ta hy vọng rằng các đặc điểm của chuyển động tuyến 33 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh tính sẽ bảo tồn tới một chừng mực nào đó, chẳng hạn, nếu k = 0 và F = 0, ta dự đoán rằng các nghiệm với biên độ đủ nhỏ sẽ là dao động, và ảnh hưởng của xung nhỏ sẽ khiến dao động ổn định tới 0. Các lớp quan trọng của các trường hợp được biểu diễn bởi ví dụ g(x) = X3 với £ > 0 và £ < 0. Lực đàn hồi (đối xứng) tương ứng được minh hoạ trong Hình 2.6(a) và 2.6(b). Khi £ < 0, lực phục hồi trở nên yếu hơn khi dãn so với lò xo tuyến tính. Lò xo như vậy được gọi là lò xo mềm. Con lắc là mô hình bằng hệ lò xo mềm. Khi £ > 0, lò xo trở nên cứng hơn khi nó dãn và được gọi là lò xo cứng. (b) (c) cr-íl* ĩ>0 Hình 2.6 : Các hàm lực phục hồi của (a) lò xo mềm, (b) lò xo cứng, (c) trường hợp không đối xứng. Bản chất của lược đồ phản hồi cho dao động cưỡng bức chu kỳ 27ĩ/(0 của (Ị2.43Ị) trong trường hợp của lò xo mềm (e < 0), lò xo tuyến tính (e = 0) và lò xo rắn (e > 0) được thể hiện ở Hình 2.7. Có nhiều cách khác nhau trong đó lực phục hồi có thể không đối xứng: Trường hợp quan trọng biểu 34 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh h h 'o \s0 /1 / / Ịí 1 ' 1 1 Ằ (!) Ắ to 1 (0 —ổnđịnh •••• khôngổnđịnh Hình 2.7: Đường cong biên độ - tần số cho phương trinh Duffing x + kx + cx-\- ex3 = F cos 0)t, k>0, c>0. diễn trong Hình 2.6(c) ở đó g(x) = —X2 và £ > 0. Lò xo là mềm khi X > 0 và cứng khi X < 0. Bài toán (Ị2.22Ị) cho thấy với dao động tự do (F = 0 trong (2.43)) có tác dụng là để dịch chuyển tâm của dao động đến giá trị dương nhỏ X, như gợi ý từ lược đồ. 2.8. Sự nhiễu biên độ-pha đối vói phương trình con lắc Trong Mục 2.4 chúng ta đã dừng lại ở xấp xỉ bậc nhất của nghiệm vì tính phức tạp nảy sinh từ đại số. Phương pháp sau cho phép một xấp xỉ bậc cao hơn để đạt được hiệu quả tốt hơn. 35 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Lại xét họ (Ị2.29Ị): x" + x = £o ( ỵcos t — KX — Ị5x + X3). (2.44) Thay vì tìm kiếm như trong Mục 2.4, nghiệm có dạng (ao + £d\ + ...) COST+ (bo + eb 1 + ...) sin T + điều hòa bậc cao hơn. Ta sẽ sắp xếp cho chúng để xuất hiện dạng x(e, t ) = (ro 4- er\ + ....) c o s (t + oío + £011 + ...) + điều hoà bậc cao hơn, (2.45) ở đó a = «0 + £«1 + ... là độ lệch pha giữa phản hồi và số hạng cưỡng bức. Ta muốn «0 là pha của nghiệm sinh và ro là biên độ của nó. Nó tiện lợi hơn vì sử dụng pha chưa biết a , xuất hiện trong phương trình đó. Do đó, ta thảo luận phương trình thay thế X" + X = e(ycos(j - a) - KX' - p x + X 3), (2.46) ở đó ta đặt s = T + a, và X (e, s) = x(e, t) = x(e,s — cc) trong (Ị2.44Ị) và đạo hàm được hiểu là theo biến s. Giả sử rằng với mỗi e đủ nhỏ X { e ìs)= X o(s) + eXl (s) + ... (2.47) a = CÍQ+ £OL\ + ... Ta cần nghiệm x(e, s) có chu kỳ 2 71của lực cưỡng bức, nên với mọi 5, Xi(s + 2 n ) = X i( s ) , i = \ , 2 , - (2.48) Cuối cùng chúng ta sẽ áp đặt điều kiện bổ sung x '(e ,0 ) = 0. Đây không phải là một sự hạn chế thực: ta chỉ đơn giản là điều chỉnh gốcthời gian, pha là được. Do đó x / ( 0 ) = 0 , i = 0, l,... 36 (2.49) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Thế (Ị2.47Ị) vào (Ị2.46Ị), sử dụng chuỗi Tayor co s(s — a ) = cos(s — Oo) + £ «1 sin(s — ao) + . . . . Bằng việc nhóm theo luỹ thừa của £ rồi cân bằng các hệ số của chúng ta được X" + Xo = 0, XỊ' + x" x ,= (2.50a) 03 (2.50b) an) - KX[ - /3X, + 3X02X ,,... (2.50c) ỵ c o s (s - O o ) - k X ^ - / 3 X o + x +x2= ya, sin(j - Nghiệm tuần hoàn của (|2.50a|) thoả mãn (Ị2.49Ị) là (2.51) Xo(5) = r 0 c o s j,r 0 > 0 ở đó ta chọn ro > 0 bằng việc điều chỉnh pha (Xq sau. Từ (|2.50bỊ) 3 , 1 x[' +Xi = (ycosơo - p *r0 + —7*0 ) COSS + (/cro + ysinOÉo) sin 5 + -TQCOS35, (2.52) vì cos3 5 = I cos s -b ^ cos 3s. Để có nghiệm tuần hoàn số hạng thế tục (trong cos s và sin 5) phải triệt tiêu, vì vậy 3 , PrQ- = ycosCCQ (2.53a) Kro = —ysinceo- (2.53b) Bằng cách bình phương và cộng vào ta lại thu được phương trình (Ị2.37Ị): 3 r ị \ Kz + [ p - ^ Ị = f. (2.54) Khi đó CÍQ sẽ thu được từ (Ị2.53Ị). Ta chỉ xét với —^71 < CÍQ < ị7Ĩ 0 () = - s i n 1(K*ro/y). Phương trình (2.52) trở thành (2.55) Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh có nghiệm 1 í X] (5 ) = r 1 COS5 ------ rQCOs3s,ri > 0 (2.56) thoả mãn 0. (2.87) Để nghiệm tuần hoàn ta cần 2(OịCiQ - b o ị Ặ r ị - 2 ( 0 \ b o — ŨQ rị — 1^ = -Ỵ (2.88a) 0. ( 2 . 88 b ) = Bình phương và cộng hai phương trình này ta được rịU rn ị+ Ọ -rl-x Ỵ ^Ỷ (2.89) là phương trình xác định biên độ có thể ro của phản hồi ứng với (ờ\ và 7 đã cho. 2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier Trong các ví dụ ở Mục 2.3 và 2.4, các nghiệm xuất hiện như chuỗi của sin và cosỉn với các tần số là bội nguyên của tần số cưỡng bức. Chúng xuất hiện khi ta tái tổ chức các số hạng giống như X3 , nhưng bằng cách tác động trực tiếp nhờ sử dụng chuỗi Fourier ta có thể chỉ ra dạng này luôn xảy ra, thậm chí cả khi không có các số hạng đa thức hoặc điều hoà cưỡng bức. Xét phương trình cưỡng bức tổng quát hơn x" + Ũ.2X = F ( ĩ ) - e h ( x , x ) (2.90) ở đó £ là tham số nhỏ. Giả sử rằng F là tuần hoàn với biến số thời gian đã lấy tỷ lệ để có chu kỳ 2k; và giá trị trong hình của nó bằng 0 để sao cho có số hạng hằng số bằng 0 trong chuỗi Fourier (có nghĩa là giá trị trung bình theo thời gian của F bằng 0 trên toàn bộ chu kỳ) nên ta có thể khai triển F 43 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh thành chuỗi Fourier oo (An cosnĩ + Bn sin /ít) F ( t) = (2.91) /1 = 1 trong đó các hệ số Fourier được cho bởi 1 [ 271 An = — Ị F( T) cos/?t[...]... giống như phương trình tuyến tính hoá (Ị2.15Ị): Do đó, đặt £fì = 0 trong (Ị2.Ĩ3Ị) tương ứng với đặt £ = 0 trong (Ị2.16Ị) Do đó, số hạng chính trong (Ị2.Ĩ6Ị) là nghiệm tuần hoàn của phương trình tuyến tính hoá (Ị2.Ĩ5Ị) Từ đây, định hướng cho ta tìm nghiệm của phương trình phi tuyến mà gần với nghiệm 21 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh (hoặc một nhánh nghiệm) của phương trình tuyến tính hoá Phương pháp này... Phương pháp nhiễu Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình autonom Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguvên của một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian Có một số quyền tự do trong vi c gán... trình tuyến tính tương ứng với họ (2.14) x" + Ó}x = r cos T (2.15) Nghiệm của (Ị2.14Ị) được xem là hàm số của cả £ và T, ta vi t là jc(e, t) 20 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh Phi n bản sơ cấp nhất của phương pháp nhiễu là cố gắng biểu diễn nghiệm của (2.14) dưới dạng chuỗi luỹ thừa của e: x ( e , t ) = jc0 ( t ) + EX\ ( ĩ ) + e 2 x 2 { t ) + , (2.16) với các hệ số jc,-(t) là các hàm chỉ của T... Các nghiệm bao gồm các dao động với tần số ớ)o và biên độ tăng vô hạn khi t —Y ±oo, đây là trường hợp cực đại của hiện tượng cộng hưởng, khi không còn sự điều khiển tắt dần Phương trình chuyển động của con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức điều hoà là dễ hình dung và dẫn đến vi c xem xét một họ quan trọng của các phương trình phi tuyến được gọi là phương trình Duffing tổng quát Dạng chuẩn của phương trình. .. chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các giá trị của các tham số chính của phương trình Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự Các quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ 13 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh 2.1 Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức... làm giảm đáng kể tính hữu ích của vi c biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt Hai ví dụ về phương 14 Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức... cộng hưởng của phương trình tuyến tính hoá và vi t í l 2 — 1 + £0 //3 (2.27) x" + x = £0 (ycos T —Kx' —/3x + X3) (2.28) Phương trình (Ị2.25Ị) trở thành Bây giờ xét họ phương trình (2.29) x ' + x = e ( ỵ co s t — Kx — /3x + x 3) với tham số £, còn 7, K,Ị3 vẫn là các hằng số xác định bởi (Ị2.26Ị) và (Ị2.27Ị) Khi e = 0, ta được phương trình tuyến tính hoá mới x" + x = 0 Phương trình đó có vô số nghiệm với... họ X" + ẹX+ ex3 = COST: đây là phương trình (2.13 ) với Q = ị và Eq = —0 1 Giả sử rằng x (e , t ) = x q ( t ) + £ jc i( t) + 23 có chu k ỳ 2 71 Các Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh phương trình đối với Xo, X\ là (quan sát 2Ala,b): x0 + 4*0 = cos T, // I _ 3 *1 + 4 * 1 = - x ỏ - Nghiệm 2iz-tuần hoàn của phương trình thứ nhất là X o iv = C O S T , và phương trình thứ hai trở thành „ 1 1 4 1 16 9 16... Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh trong Hình 2.3 và 2.4 Ftặng fl„ 0 và |e| (2.43) 1 Nó được xem như phương trình của chuyển động ... cứu nghiệm phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến phương pháp nhiêu”.Trong khóa luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng vi c sử dụng phương pháp nhiễu để nghiên. .. bị Trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp hai, khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom mặt phẳng pha, chu trình giới hạn Chương 2: Trình bày vi c nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân. .. khẳng định kết đề tài Nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến phương pháp nhiễu trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh vi n Ngô Thị Minh LỜI CẢM