TRƯỜ NG DẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN V Ũ TH Ị H Ù Y T ÍC H VÔ HẠN KH ÓA L U Ậ N TỐ T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC C huyên ngành: G iải tích N gười hướng dẫn khoa học TS. N G U Y Ễ N VĂN HÀO HÀ N Ộ I - 2015 LỜI C Ả M Ơ N Em xin được gửi lời cảm ơn tới các Giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiộn cho cm hoàn thành bản khóa luận tốt nghiộp. Dặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S. N g u y ễn Văn H ào đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đã đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành như hiện tại. Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm, 2015 Sinh viên V ũ T hị H ù y 2 LỜI C A M Đ O A N Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của T S. N g u y ễn Văn H ào khóa luận của em với đề tài “T ích vô hạn” được hoàn thành không trùng với bất kì đồ tài nào khác. Trong quá trình làm đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn. Xuân Hòa, ngày so tháng 4 năm 2015 Sinh viên V ũ T hị H ù y 3 M ục lục 1 M Ộ T s ố K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 8 1.1 Chuỗi s ố ................................................................................... 8 1.1.1 Một số khái niệm cơ b ả n .......................................... 8 ......................... 12 1.1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý ............................ 17 Chuỗi hàm s ố ......................................................................... 21 1.2.1 Một số khái niệm cơ b ả n .......................................... 21 1.2.2 Các tiêu chuấn hội tụ đều của chuỗi hàm số . . 22 1.1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 1.2 1.2.3 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 1.3 . 26 Chuỗi lũy t h ừ a ..................................................................... 27 1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy t h ừ a ................................... 27 1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy t h ừ a ...................... 28 1.3.3 Khai triển thành chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ c ấ p ......................................................................... 2 31 T ÍC H VÔ H Ạ N 32 2.1 Giới thiệu vồ tích vô h ạ n ..................................................... 32 2 . 1. 1 Một số khái niệm cơ bản và ví d ụ ......................... 32 2 . 1.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và c h u ỗ i .................. 34 4 Tích vô hạn của ln2 và e..................................... 37 2.2 Sự hội tụ tuyệt đối của tích vô h ạ n ............................ 40 2.3 Định lý Tannery và hàm m ũ ............................................... 41 2.3.1 Định lý Tannery cho c h u ỗ i ...................................... 41 2.3.2 Hàm m ũ ....................................................................... 43 2.3.3 Định lý Tannery đối với tích vô h ạ n ....................... 45 Khai triển tích vô hạn Euler cho hàm lượng giácvà số 7T 46 2.1.3 2.4 2.4.1 Khai triển tích Eulcr thứ nhất đốivớihàm sinc 46 2.4.2 Khai triển tích vô hạn Euler thứ hai cho hàm sine 49 2.4.3 ứng dụng của tích E u l e r ........................................ 5 53 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết tích vô hạn được hình thành một cách khá tự nhiên xuất phát từ các công trình tính toán của các nhà toán học từ nhiều lĩnh vực thực tế. Theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến sự quan tâm của các nhà toán học về việc tính toán số 7T. Vào thế kỉ XVI, nhà toán học người Pháp F. Viete đã đưa ra công thức 2 _ ự 2 V 2T V 2 V 2 + \/2 + v ^ 7T ~~ ~ 2 ' 2 ' 2 ■■■ Đến thế kỉ XVII, John Wallis đưa ra công thức 7T -pL 2 = 2n 2n 2 2 4 4 6 6 2n - 1 2n + 1 = 1 3 3 5 5 7 Việc nghiên cứu tích vô hạn thu được kết quả quan trọng khi Euler đưa ra khai triển của một số hàm thành tích vô hạn. Ví dụ như khai triển hàm sine Đồng thời Euler cũng đưa ra biểu diễn hàm Riemann - zeta thành tích vô hạn vào năm 1749 *(*) = n p 1 — p với p là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Biểu diễn này là kết quả quan trọng trong việc phát triển nghiên cứu đối với hàm Riemann zeta. Sự khai triển các hàm thành tích vô hạn tương tự như việc phân tích đa thức thành các nhân tử tuyến tính. Bằng viộc nghicn cứu tích 6 vô hạn, người ta có thể tính được số 7r một cách chính xác hơn hay nghicn cứu các hàm thông qua sự khai triển thành tích vô hạn của nó. Ngày nay, lí thuyết tích vô hạn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện một cách chuẩn mực. Được sự hướng dẫn của T S . N g u y ễ n V ăn H à o và mong muốn tìm hiểu vồ tích vô hạn, cm đã chọn đồ tài “T ích vô hạn” . Khóa luận được cấu trúc hai chương Chương 1 . Trình bày một số kiến thức cơ bản vồ chuỗi số, chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa. Chương 2. Trình bày các khái niệm về tích vô hạn, chứng minh các kết quả quan trọng và đưa ra một số ứng dụng của tích vô hạn. 2. M ục đích và n h iệm vụ n gh iên cứu Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, chứng minh các kết quả quan trọng và một số ứng dụng của tích vô hạn. 3. Đ ối tư ợng n gh iên cứu Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, các kết quả quan trọng và ứng dụng của tích vô hạn. 4. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 7 C hương 1 M Ộ T s ố K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 1.1 1.1.1 C huỗi số M ộ t số k h á i niệm cơ b ả n Đ ịn h nghĩa. Cho dãy số {an}. Tổng vô hạn a,ị + a,-2 + ... + a n + ... = n=1 an ( 1 -1 ) được gọi là một chuỗi số. + an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số. + Tổng sn — aĩ + ơoc là phân kì. V í d ụ 1.1. Xét chuỗi số n=0 qn = 1 + q + q2 + ... -b qn + ... Tổng riêng thứ n của chuỗi được xác định như sau sn = 1 + q + q2 + ... + qn~l . Ta xét các trường hợp (i) Trường hợp q 7^ 1, ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là 1 - qn sn — -------- . 1 - q + Nếu |ợ| < 1 thì lim qn = 0. Do đó 7Í —>OC lim s,>n — 1 —q n^oc Vậy chuỗi số đã cho là hội tụ và có tổng là +oo 1 Ẹ [...]... một tích vô hạn hội tụ luôn tiến đến 1 nên từ nay trở đi chúng ta luôn có thể viết bn là 1 + an với an —ỳ 0 Khi đó tích vô hạn được viết dưới dạng mới như sau 33 п (1 + ап) п = 1 Tích vô hạn này hội tụ khi lim an = 0 2.1.2 M ối liên hệ giữa tích vô h ạ n và chuỗi Qua mối liên hệ được đưa ra trên đây và lý thuyết chuỗi số đã được hộ thống chuẩn mức, ta có thể trình bày một số kết quả vồ tích vô hạn. .. các 00 số khác 0 với mọi n > m Tích vô hạn n bn được gọi là phân kì nếu 11=1 32 nó không hội tụ Điều đó có nghĩa là xảy ra một trong các trường hợp sau (г) hoặc có vô hạn thừa số bn bằng 0 (гг) hoặc giới hạn (2 1 ) phân kỳ (iii) hoặc giới hạn (2 1 ) hội tụ về Ü Trong trường hợp giới hạn (2.1) hội tụ về 0 ta vẫn nói rằng tích vô hạn đã cho phân kỳ về 0 V í d ụ 2 1 Tích Y[ ( 1 -) phân kỳ về Ü bởi... mọi X G ( —1,1) ^ 31 C hương 2 TICH 2.1 2.1.1 v o HẠN G iới th iệu về tích vô hạn M ộ t số k h á i n iệ m cơ b ả n và ví d ụ Đ ịn h nghĩa Cho {bn} là một dãy số thực hoặc phức Một tích vô hạn được kí hiộu và xác định bởi n bn = M>2-&3n=1 Tích vô hạn trên được gọi là hội tụ nếu tồn tại số nguyên dương m sao cho bn là các số khác 0 với mọi n > m và dãy tích riêng được định nghĩa như sau n bk bm Jr\ b... d ụ 2 2 Tích Y[ I, — О \ гь - 2 ^ hội tụ vì J I, _ 9 k' = 9 A _ 1.3 2.4 3.5 4.6 h-r n (n- 1) (n + 1) _ _ 2 ^2 ‘3 ^3 ' 4 4 ‘K 5 " ‘ n ~n n +1 ~ ^ 2n 1 7 >2 ^ M ệnh đề 2.1 Nếu một tích vô hạn hội tụ thì các nhân tử của nó tiến đến 1 Củng vậy, một tích vô hạn có giá trị Ü nếu và chỉ nếu nó cố một nhân tử 0 C hứng m inh Phát biểu thứ hai là hiển nhicn từ định nghĩa sự hội tụ của tích vô hạn Nếu không... an) — 1 + sn34 Điền này nhận được do khi khai triển tích ta nhận được tổng 1 + (dị + a2 + + an) và các số hạng không âm khác Điều này cho thấy rằng nếu dãy {Pn} bị chặn thì dãy { s n } cũng bị chặn V í d ụ 2.3 Như một hệ quả của định lý trên, tích 71=1 hội tụ với p > 1 và phân kỳ với p < 1 Trường hợp tổ n g quát oo П (1 + Đ ịn h lý 2.3 Một tích vô hạn an) hội tụ nếu và chỉ nếu n= 1 an —>Ü và chuỗi... thể trình bày một số kết quả vồ tích vô hạn theo các trường hợp sau dựa trên lý thuyết chuỗi số Trường hợp không âm oo П (1 + Đ ịn h lý 2.2 Tích vô hạn an) với các số hạng không âm an n = l ОС hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi an hội tụ n = 1 C h ứ n g m in h Ta kí hiệu tích riêng và tổng riêng tương ứng bởi Pn = П (1 + ak) và sn = k = 1 akẢT= 1 Từ giả thiết các ak là không âm nên cả hai dãy {j9n} và {sn}... thiết.Vì ta cần làm rõ tổng bắt đầu từ bao nhiêu là đủ để không có số hạng 1 + an nào là 0 (nếu không thì 1 + an không thể định nghĩa) Theo mệnh đề 2.1, đế tích oc Y[ (1 + an) hội tụ ta cần an -ỳ- 0 Do đó, ta có thể giả thiết an —>• 0 71 — 1 và cũng có thể chọn m sao cho n > m để \an\ < 1 Cho bn = 1 + an, oo ta sẽ chứng minh tích vô hạn Yí bn hội tụ nếu và chỉ nến chuỗi n = l oo In bn Ẽ n= m+ l hội tụ... thì các dãy tổng riêng {sn} và {s2n} phải dần tới một giới hạn khi n —)• + 00 , tức là lim (s2n — sn) = Ü Tuy nhiên, 11 —> o c điều này mâu thuẫn với đánh giá trên H ệ q u ả 2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm, vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kì 1.1.1.2 T ín h chất về các phép toán củ a chuỗi hội tụ +OC +00 Đ ịn h lí 1 2 Nếu các chuỗi... nên phân kỳ 20 1.2 C huỗi hàm số 1.2.1 M ộ t số k h á i n iệ m cơ b ả n Đ ịn h nghĩa Cho dãy hàm (ĩ/n(a:)} cùng xác định trên tập X с R Gọi tổng vô hạn щ (х ) + u 2(x) + + u n(x) + = X) un(x) (1.7) n = l là một chuỗi hàm xác định trên X + Hàm un(x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi hàm + Hàm sn(x) = Uị(x) + u2(x) + + u n(x) gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm + Điểm X E X gọi là điểm hội tụ hay phân... với mọi n > n 2 Chọn n 3 > n 2 sao cho các số hạng a b a 2, an2 có đủ mặt trong các số hạng 61 , b2 ĩ ồ„3 Khi đó với mọi n > ra3, ta có \tn ^1 \tn 5 П() snị) s\ ^ Itn s ??0I| ОС + 00 an bán hội tụ thì ta có thể thay đổi tuyệt đối Còn nếu chuỗi số n=i thứ tự của các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng