Thông tin tài liệu
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❑■▼ ❈❍■
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ✣➎ ❈❍Ù◆● ▼■◆❍
❈➷◆● ❚❍Ù❈ ❊❯▲❊❘
❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ●✐↔✐ t➼❝❤
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍⑨❖
❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✺
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❊♠ ①✐♥ ✤÷ñ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ ●✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣
✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐
tr÷í♥❣ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳
✣➦❝ ❜✐➺t ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐
❍➔♦
❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥
✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥
t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ s♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❜↔♥
t❤➙♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣
t❤✐➳✉ sât r➜t ♠♦♥❣ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦✱ ❝→❝
❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✺
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❈❤✐
✷
▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍➔♦
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ✏❚➼❝❤ ✈æ ❤↕♥✑ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤æ♥❣
trò♥❣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ✤➲ t➔✐ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐✱ ❡♠ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ tü✉ ❝õ❛
❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✺
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❈❤✐
✸
▼ö❝ ❧ö❝
✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✶
✶✳✷
✾
❈❤✉é✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✾
✶✳✶✳✶
▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✾
✶✳✶✳✷
❉➜✉ ❤✐➺✉ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣✳
✶✳✶✳✸
❈❤✉é✐ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ ❝â ❞➜✉ tò② þ
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✸
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✽
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✶
✶✳✷✳✶
▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✶
✶✳✷✳✷
❈→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè
✷✷
✶✳✷✳✸
❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠
❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè
✳ ✳
❤ë✐ tö ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸
❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✽
✶✳✸✳✶
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✽
✶✳✸✳✷
❇→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✷✾
✶✳✸✳✸
❑❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠
sì ❝➜♣
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
✷✳✶
✸✷
✸✸
❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✸
✷✳✶✳✶
❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣
✸✸
✷✳✶✳✷
❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣
❣✐→❝ ❦❤→❝
✷✳✷
✷✻
✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✼
⑩♣ ❞ö♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❣✐→ trà
❝õ❛
ζ(2)
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹
✸✽
▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ö❈ ▲Ö❈
✷✳✷✳✶
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✽
✷✳✷✳✷
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❤ù ❤❛✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✵
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✺
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✹✻
❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
✺
▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ð ✣❺❯
✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦ÿ t❤✉➟t t➼♥❤ t♦→♥ ❝õ❛
❣✐↔✐ t➼❝❤✳ ▼✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ q✉❛ ❤❛✐ ✈➜♥
✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✿
❱➲ ♠➦t ❧➼ t❤✉②➳t✱ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t tr✐➺t
✤➸ q✉❛ ✈✐➺❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠ët ❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♠ët
❤➔♠ ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ❝â ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ tr➯♥ ♥❤ä ❤ì♥
❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❞÷î✐ ♠➝✉✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✈➜♥ ✤➲ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ①û ❦þ ♥❣✉②➯♥
❤➔♠ s❛✉ ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ ❞÷î✐ ♠➝✉ t❤➔♥❤ t➼❝❤ ♥❣÷í✐ t❛
t❤✉ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ♣❤➙♥ t❤ù❝ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥✳ ◆❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➙♥ t❤ù❝
r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t♦→♥ ♠ët ❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ q✉❛ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠ ❝ì
❜↔♥✳
❚❛ ✤➣ ❜✐➳t ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥
udv = uv −
vdu.
◆❤í ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❝â t❤➸ ♥â✐ ❧➔
❦❤→ ♣❤ù❝ t↕♣ ✤÷ñ❝ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ tø ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥✳
◆❣♦➔✐ ♥❤ú♥❣ ✤➲ ❝➟♣ tr➯♥ ✤➙②✱ tr♦♥❣ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❝→❝ ♥❤➔ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤➣
✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ✤➦❝ ❜✐➺t q✉❛ ❝→❝
❝❤✉é✐ ✤➲ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ r➜t ♥ê✐ t✐➳♥❣ ✈➔ ✤❡♠ ❧↕✐
♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✤➭♣ ✤➩✳ ✣÷ñ❝ sü ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ tæ✐
✧❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✧
❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤
❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❝➜✉ tró❝ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣
✰ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝❤✉é✐ sè✱ ❝❤✉é✐
❤➔♠ ✈➔ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✳
✰ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥
✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✳
✻
▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ö❈ ▲Ö❈
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✰ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠
❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✳
✰ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❝❤✉é✐ sè✱ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳
✰ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ③❡t❛ ❘✐❡♠❛♥ ✈î✐ sè ♠ô ♥❣✉②➯♥ ❝❤➤♥ ♥❤í ❦❤❛✐
tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✳
✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✰ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ♥❤÷
❤➔♠
cot πz, tan
πz
1
1
,
,
2 sin πz cos πz
2
q✉❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐✳
✰ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❝❤✉é✐ sè✱ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ♥❤÷ t➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠
③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥ ✈î✐ sè ♠ô ❝❤➤♥✳
✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❑❤â❛ ❧✉➟♥ sû ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ❝æ♥❣ ❝ö ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❜❛♦
❣ç♠
✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ tê♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❧þ t❤✉②➳t ❝❤✉é✐
sè✱ ❧þ t❤✉②➳t ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✈➔ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ✤➦❝
❜✐➺t✳
✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ✈➲ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët
sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ tø ✤â ❦➳t ❤ñ♣ ①✐♥ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✳
✼
▼Ö❈ ▲Ö❈
▼Ö❈ ▲Ö❈
✽
❈❤÷ì♥❣ ✶
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆
❇➚
✶✳✶ ❈❤✉é✐ sè
✶✳✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳
❈❤♦ ❞➣② sè
{an }✳
❚ê♥❣ ✈æ ❤↕♥
+∞
an
a1 + a2 + ... + an + ... =
✭✶✳✶✮
n=1
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ sè✳
✰
an
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t t❤ù
n
❝õ❛ ❝❤✉é✐ sè✳
✰ ❚ê♥❣
n
ak ,
sn = a1 + a2 + ... + an =
✭✶✳✷✮
k=1
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
n
❝õ❛ ❝❤✉é✐ sè✳ ❉➣②
{sn }
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②
tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✭✶✳✶✮✳
◆➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣
lim sn = s
n→∞
❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ r✐➯♥❣ ❧➔
s✳
tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻
❑❤✐ ✤â t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t
+∞
an = s
n=1
◆➳✉
lim sn = ±∞
n→∞
❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥➔②✱ t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♣❤➙♥ ❦➻✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳
❳➨t ❝❤✉é✐ sè
✾
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
+∞
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ...
n=0
❚ê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1
❚❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
(i)
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣
q = 1✱
❚❛ ❝â tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
n
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔
1 − qn
sn =
1−q
✰ ◆➳✉
|q| < 1
t❤➻
lim q n = 0✳
n→∞
❉♦ ✤â
1
1−q
lim sn =
n→∞
❱➟② ❝❤✉é✐ sè ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔
+∞
qn =
n=0
✰ ◆➳✉
(ii)
|q| > 1
t❤➻
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣
lim sn = ∞
n→∞
q=1
1
1−q
♥➯♥ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳
❦❤✐ ✤â t❛ ❝â
lim sn = lim n = +∞✳
n→∞
n→∞
❱➟② ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳
(iii)
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣
q = −1✳
❉➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉
sn =
◆❤÷ ✈➟② ❞➣②
{sn }
0
1
khi n = 2k
khi n = 2k + 1
❦❤æ♥❣ ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â ✈î✐
❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳
❈❤♦ ❝❤✉é✐ sè
+∞
1
n=1 n(n + 1)
❚❛ ❝â
✶✵
|q| = 1
t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
1
1
+
+
1.2 2.3
1
+
= 1−
2
1
=1−
.
n+1
sn =
❚ø ✤â✱ s✉② r❛
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
1
1
+ ... +
3.4
n(n + 1)
1 1
1 1
−
+
−
+ ... +
2 3
3 4
lim sn = 1✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ ✤➣
✶✳✶✳✶✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✳
n→∞
❝❤♦ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈î✐ tê♥❣ ❜➡♥❣
✭t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤✉é✐
✈î✐ ♠å✐
ε>0
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
p
1
1
−
n n+1
N
(1.1)
❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
❈❤✉é✐
(1.1)
(1.3)
❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣
❤ë✐ tö✳ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② sè✱ ✈î✐ ♠å✐
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
❞÷ì♥❣
p
✈➔
t❛ ❝â
|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
1.
N
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
{sn }
ε>0
✈➔ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥
t❛ ❝â
|sn+p − sn | < ε✳
✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶
✭✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤➸ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐
(1.1)
❤ë✐ tö
t❤➻
lim an = 0
n→∞
❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦
(1.3)
t❤➻ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
❝❤å♥
|an+1 | < ε
❉♦ ✤â t❛ ❝â
lim an = 0
n→∞
✶✶
p=1
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❤ó þ✳
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ❝❤➾ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤ù ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✤õ✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸
+∞
n
1
n
♣❤➙♥ ❦➻ ✈➻ lim
= ✳
n→∞ 2n + 1
2
n=1 2n + 1
+∞ 1
1
b) ❳➨t ❝❤✉é✐
✳ ▼➦❝ ❞ò lim
= 0 ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐ ♥➔② ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❚❤➟t
n→∞ n
n=1 n
a)
❈❤✉é✐
✈➟②✱ t❛ ❝â
1
1
1
+
+ ... +
s2n − sn =
n+1 n+2
2n
1
1
1
n
1
>
+
+ ... +
=
= .
2n 2n
2n 2n 2
◆➳✉ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❤ë✐ tö t❤➻ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn } ✈➔ {s2n } ♣❤↔✐ ❞➛♥
tî✐ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → +∞✱ tù❝ ❧➔ lim (s2n − sn ) = 0✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱
n→∞
✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ✤→♥❤ ❣✐→ tr➯♥✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✳
❈❤✉é✐
(1.1)
✈➔ ❝❤✉é✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø ❝❤✉é✐ ♥➔② ❜➡♥❣
❝→❝❤ t❤➯♠ ✈➔♦ ❤♦➦❝ ❜ît ✤✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝ò♥❣ ❤ë✐ tö
❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥ ❦➻✳
✶✳✶✳✶✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❝→❝ ♣❤➨♣
t♦→♥
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
+∞
+∞
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✷✳
an ,
bn
◆➳✉ ❝→❝ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➛♥ ❧÷ñt
n=1
n=1
+∞
+∞
❧➔
(an ± bn ) ✈➔
s ✈➔ t t❤➻ ❝→❝ ❝❤✉é✐
n=1
(λan ) ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❧➛♥ ❧÷ñt
n=1
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❞÷î✐ ✤➙②
+∞
+∞
(an ± bn ) = s ± t;
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
n=1
λan = λs.
n=1
❑➼ ❤✐➺✉
sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn .
❑❤✐ ✤â
{sn ± tn }
+∞
(an ± bn )
❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
✈➔
{λsn }
❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
(λan )✳
❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➣② sè ❤ë✐ tö t❛ ❝â
n=1
✶✷
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
lim (sn ± tn ) = s ± t; lim λsn = λs.
n→∞
n→∞
❱➟② ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✶✳✶✳✷ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣✳
+∞
an
❈❤✉é✐ sè
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✸✳
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉
an ≥ 0
✈î✐ ♠å✐
n.
n=1
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö ❧➔ ❞➣②
tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❜à ❝❤➦♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❉♦ ✤â ❞➣②
+∞
an
❱➻
❤ë✐ tö ♥➯♥ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣
(sn ) ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö✳
n=1
(sn )
❜à ❝❤➦♥✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❞♦ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ❞➣②
(sn ) t➠♥❣ ♥➯♥ ♥➳✉
+∞
❞➣②
(sn )
an
❜à ❝❤➦♥ t❤➻ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐
✶✳✶✳✷✳✶✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹✳
❤ë✐ tö✳
n=1
+∞
+∞
an
❈❤♦ ❤❛✐ ❝❤✉é✐ sè ❞÷ì♥❣
bn
✈➔
n=1
n=1
✭❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥
❞÷ì♥❣
n0
✈➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè
C>0
an ≤ Cbn ;
s❛♦ ❝❤♦
✈î✐ ♠å✐
n ≥ n0 .
❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉
+∞
(i)
+∞
bn
◆➳✉ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
(ii)
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
+∞
♣❤➙♥ ❦➻✳
n=1
◆❤÷ ✤➣ ♥â✐ tr♦♥❣ ❤➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✱ ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣
n0 = 1✳
+∞
●å✐
n=1
bn ✳
✈➔
✈➔
tn
❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
{tn }
❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
n=1
sn ≤ Ctn ;
◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ ❞➣②
sn
+∞
an
❝õ❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐
{sn }
bn
♣❤➙♥ ❦➻ t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐
n=1
q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t
n
❤ë✐ tö✳
n=1
an
◆➳✉ ❝❤✉é✐
an
❤ë✐ tö t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐
✈î✐ ♠å✐
❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣②
❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣②
{tn }
n ≥ 1.
{sn }
❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ♥➳✉ ❞➣②
❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚ø ✤â t❛ s✉② r❛
✶✸
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❦➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✺
an
= k.
n→∞ bn
lim
✭❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ❤❛✐✮✳ ●✐↔ sû
❑❤✐
✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉
+∞
(i)
◆➳✉
0 ≤ k < +∞
an
t❤➻ tø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❦➨♦ t❤❡♦ sü
n=1
+∞
an .
❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
(ii)
◆➳✉
0 < k ≤ +∞
an
t❤➻ tø sü ♣❤➙♥ ❦➻ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❦➨♦ t❤❡♦
n=1
+∞
an .
sü ♣❤➙♥ ❦➻ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i)
♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
n0
n=1
an
=k
n→∞ bn
♠å✐ n ≥ n0
❇ð✐ ✈➻
✤➸ ✈î✐
lim
✈➔
0 ≤ k < +∞
♥➯♥ tç♥ t↕✐ sè
an
≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn .
bn
+∞
an
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹ t❤➻ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö✳
n=1
+∞
(ii)
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣
0 < k ≤ +∞
bn
✈➔ ❝❤✉é✐
♣❤➙♥ ❦➻✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
n=1
1
bn
lim
= k∗ =
k
n→∞ an
0
tù❝ ❧➔
khi k = +∞
khi k = +∞
+∞
∗
0 ≤ k < +∞✳
an
❚❤❡♦ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥✱ ♥➳✉ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
bn
❤ë✐ tö t❤➻ ❝❤✉é✐
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✳
❱î✐ ♠å✐
n
+∞
an
❝ô♥❣ ♣❤↔✐ ❤ë✐ tö✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐
n=1
♣❤➙♥ ❦➻✳
n=1
+∞
❳➨t ❝❤✉é✐
1
.
2
n=1 n
t❛ ❝â
sn = 1 +
1
1
1
1
1
+
...
+
≤
1
+
+
+
...
+
22
n2
1.2 2.3
(n − 1)n
✶✹
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
1 1 1
1
1
= 1 + 1 − + − + ... +
−
2 2 3
n−1 n
1
= 2 − < 2.
n
❱➻ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳
❚ø ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✤➙② ❝ò♥❣ ❞➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣ s✉② r❛
♥❣❛② ❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥✲③❡t❛
∞
ζ(s) =
1
;
s
n=1 n
✈î✐
s≥2
❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺✳
+∞
n=1
❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ♥➳✉
n≥1
π
n tan
❳➨t ❝❤✉é✐
2n+1
π
x ∈ 0,
4
.
t❤➻
tan x ≤ 2x✳
❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐
t❛ ❝â
n tan
π
≤ n.
2π
n
=
π.
.
2n+1
2n
2n+1
+∞ 1
❤ë✐ tö✳ ▲↕✐ ✈➻
❚❤❡♦ ✈➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✱ ❝❤✉é✐
2
n=1 n
n
n
n2
2
lim
= lim n = 0,
n→∞ 1
n→∞ 2
n2
+∞ n
♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✺✱ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö✳❚ø ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹✱
n
n=1 2
+∞
π
❝❤✉é✐
n tan n+1 ❤ë✐ tö✳
2
n=1
∞ 1
✈➔ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣
❚ø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
2
n=1 n
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❤➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻✳
❍➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
∞
ζ(s) =
❤ë✐ tö ❦❤✐
1
s
n=1 n
s≥2
✶✳✶✳✷✳✷✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤②
✶✺
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✻✳
√
n
lim
n→∞
an = c ✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
+∞
an ✳
✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣
●✐↔ sû
n=1
❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉
(i) ◆➳✉ c < 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö✳
(ii) ◆➳✉ c > 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳
(i) ◆➳✉ c < 1 t❤➻ tç♥ t↕✐
√
lim n an = c ♥➯♥ tç♥ t↕✐ n0 ✤➸
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
p
sè
✤➸
c < p < 1✳
❱➻
n→∞
√
n
+∞
❱➻ ❝❤✉é✐
an < p ⇔ an < pn ;
+∞
pn
◆➳✉
an
❤æ✐ tö✱ ♥➯♥ ❝❤✉é✐
n=1
(ii)
n ≥ n0 ✳
✈î✐ ♠å✐
❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹✳
n=1
c>1
t❤➻ tç♥ t↕✐
√
n
n0
✤➸
an > 1 ⇔ an > 1;
✈î✐ ♠å✐
n ≥ n0 .
◆❤÷ ✈➟② ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶✳✶ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✳
✶✳✶✳✷✳✸✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✼✳
+∞
an .
❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣
an+1
= d✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤
n→∞ an
(i) ◆➳✉ d < 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤æ✐ tö✳
lim
(ii)
◆➳✉
d>1
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐↔ sû tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥
n=1
s❛✉
t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦ý✳
◆➳✉
an+1
=d
n→∞ an
d < 1 t❤➻ tç♥ t↕✐ p ✤➸ d < p < 1✳ ❱➻ lim
♥➯♥ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
n0
✤➸ ♠å✐
n ≥ n0
✈➔
an+1
< p ⇔ an+1 < pan .
an
❚ø ✤â✱ t❛ ❝â
an0 +1 < an0 q
an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
an0 +k < an0 q k
+∞
❱➻ ❝❤✉é✐
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
an 0 q k
+∞
an
❤æ✐ tö✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝❤✉é✐
n=1
n=1
✶✻
❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✶✳✶✳
◆➳✉
d>1
t❤➻ tç♥ t↕✐
n0
an+1
>1
an
❱➟② ❦❤æ♥❣ ❝â
n ≥ n0
✤➸ ♠å✐
lim an = 0
✈➔
an+1 > an ≥ an0 .
❤❛②
♥➯♥ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳
✶✳✶✳✷✳✹✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤②
+∞
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✽✳
an
n→∞
❈❤♦ ❝❤✉é✐ sè ❞÷ì♥❣
✳ ●➾❛ sû
f (x)
❧➔ ♠ët ❤➔♠
n=1
✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
f (n) = an ;
[1; +∞)
✈î✐ ♠å✐
n = 1, 2, ...
∞
+∞
an
❑❤✐ ✤â✱ ❝❤✉é✐
s❛♦ ❝❤♦
f (t)dt ❝ò♥❣ ❤ë✐ tö ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥
✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥
n=1
1
❦ý✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✱ ✈î✐ ♠å✐
♥❤✐➯♥
k ≥ 1✱
x ∈ [k, k + 1]
✈➔ sè tü
t❛ ✤➲✉ ❝â
ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak .
(1.4)
❚ø ✤â✱ t❛ ❝â
k+1
ak+1 ≤
f (x)dx ≤ ak .
k
▲➜② tê♥❣ ❝→❝ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❤❡♦
k+1
n
ak+1 ≤
k=1
k
tø
1
✤➳♥
n
t❛ ✤÷ñ❝
n
f (x)dx ≤
ak
k=1
1
❤❛②
n+1
sn+1 − a1 ≤
f (x)dx ≤ sn ;
(1.5)
1
+∞
tr♦♥❣ ✤â
❦➨♣
(1.5)
sn
❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❞➣②
n
{sn }
❝õ❛ ❝❤✉é✐
ak ✳ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
k=1
n+1
f (x)dx
✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥
1
✶✼
❝ò♥❣ ❜à ❝❤➦♥
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✳
❈❤óaþ✳
lim
❑❤✐ →♣ ❞ö♥❣ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ❤❛② ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤② ♥➳✉
n+1
n→∞
an
=1
❤♦➦❝
lim
√
n
n→∞
an = 1
t❤➻ ❝❤÷❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❣➻ ✈➲ sü ❤ë✐
tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ tø ♠ët sè
♠➔
an+1
≥1
an
n0
♥➔♦ ✤â trð ✤✐
t❤➻ ❝â t❤➸ s✉② r❛
am ≥ an0 ; ∀m ≥ n0 .
✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❞➣②
an
❦❤æ♥❣ t✐➳♥ ✤➳♥
n → +∞
✈➔
tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ sè
an
0
❦❤✐
+∞
an
♥❤÷ ✈➟② ❝❤✉é✐
♣❤➙♥ ❦ý✳
n=1
✶✳✶✳✸ ❈❤✉é✐ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ ❝â ❞➜✉ tò② þ
✶✳✶✳✸✳✶✳ ❈❤✉é✐ ✤❛♥ ❞➜✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
+∞
▼ët ❝❤✉é✐ sè ❝â ❞↕♥❣
(−1)n−1 an
n=1
❝ò♥❣ ❞➜✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ✤❛♥ ❞➜✉✳
✶✳✶✳✸✳✷✳ ❙ü ❤ë✐ tö
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✾
✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③✮✳ ●✐↔ sû ❞➣②
✈➔
lim an = 0.
n→∞
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
+∞
❑❤✐ ✤â✱ ❝❤✉é✐
(−1)n−1 an
{an }
❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠
❤ë✐ tö✳
n=1
●å✐
{sn }
❧➔ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳ ❇ð✐ ✈➻
s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m )
❝→❝ sè ❤↕♥❣ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ♥➯♥ ❞➣②
{s2m }
✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣✳
▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ✈✐➳t
s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ].
❉♦ ✤â✱
s2m ≤ a1
✤✐➺✉✳ ❚ø ✤â✱
❞÷ì♥❣
N1
✤➸
m✳ ❱➟② {s2m } ❤ë✐ tö t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤ì♥
♥➳✉ lim s2m = s t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥
m→∞
N1
t❛ ✤➲✉ ❝â
✈î✐ ♠å✐ m ≥
2
ε
|s2m − s| < .
2
✈î✐ ♠å✐
✶✽
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
▲↕✐ ✈➻
❈❍×❒◆● ✶✳
lim an = 0
n→∞
✈î✐ ♠å✐
n ≥ N2
♥➯♥ ✈î✐ ♠å✐
ε>0
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
N2
✤➸
❝ô♥❣ ❝â
ε
|an | < .
2
✣➦t N = max{N1 , N2 } t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ N t❛ ❝â
ε
|sn − s| < ; ✈î✐ n ❝❤➤♥✳
2
❱î✐ n ❧➫ t❤➻ n + 1 ❝❤➤♥ ♥➯♥ t❛ ❝ô♥❣ ❝â
|sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | <
◆❤÷ t❤➳✱ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
ε ε
+ = ε.
2 2
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
1
|sn − s| < ε .
2
❱➟②
lim sn = s✱
n→∞
tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣
✤❛♥ ❞➜✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧➼
1.1.9
s✳
❈❤✉é✐
❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③✳
❱➟② ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③ ❤ë✐ tö✳
✶✳✶✳✸✳✸✳ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tö +∞
t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ❝❤✉é✐ ❜→♥ ❤ë✐ tö
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
an
❈❤✉é✐ sè
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➳✉ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
+∞
|an |
n=1
+∞
an
❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ❝❤✉é✐
|an |
❤ë✐ tö ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐
n=1
♣❤➙♥ ❦ý
n=1
+∞
an
t❤➻ ❝❤✉é✐
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❤ë✐ tö✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✵✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
n=1
▼ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❧➔ ❤ë✐ tö✳
+∞
|an | ❤ë✐ tö t❤➻ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ 1.1.1✱ ✈î✐ ♠å✐
◆➳✉ ❝❤✉é✐
ε>0
n=1
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
N
✤➸ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
✈➔ ♠å✐
p ∈ N∗
t❛
❝â ✤→♥❤ ❣✐→
|an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε.
+∞
an
◆❤÷ ✈➟②✱ ❝❤✉é✐
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼✳
❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ
1.1.1✳
n=1
+∞
❈❤✉é✐
n=1
(−1)n+1
1
n
❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③ ✭✤à♥❤
✶✾
✶✳✶✳
❈❍❯➱■ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
+∞
+∞
❧þ
1
n=1 n
1.1.9✮ ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐
♣❤➙♥ ❦ý✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐
(−1)n+1
n=1
1
n
❧➔ ❜→♥
❤ë✐ tö✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✽✳
+∞
❈❤✉é✐
sin nx
.
2
n=1 n
+∞ 1
+∞ |sin nx|
|sin nx|
1
≤
,
t❛ ✤➣ ❜✐➳t ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤✉é✐
2
n2
n2
n2
n=1 n
n=1
+∞ sin nx
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐✳
tö✳ ❱➟② ❝❤✉é✐
2
n=1 n
❚❛ ❝â
❤ë✐
✶✳✶✳✸✳✹✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳
+∞
an
✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐
❧➔
s
❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣
n=1
t❤➻ ❝❤✉é✐
(a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ...
+(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...;
❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
r✐➯♥❣ t❤ù
n
●å✐
tk
(∗)
s.
❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
k
❝õ❛ ❝❤✉é✐
(∗)
✈➔
sn
❧➔ tê♥❣
+∞
an ✳
❝õ❛ ❝❤✉é✐
❚❛ ❝â
n=1
tk = snk .
❉♦ ✤â✱ tø
lim sn = s s✉② r❛ lim tk = lim snk = s. ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥
n→∞
n→∞
n→∞
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳
+∞
an
✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ sè
❤ë✐ tö t✉②➺t
n=1
+∞
✤è✐ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔
s
bn
t❤➻ ❝❤✉é✐
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐ ❝❤é tò②
n=1
+∞
an
þ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
s✳
+∞
an
❱➻ ❝❤✉é✐
tö✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ
n1
❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣
n=1
+∞
n=1
1.1.1✱
|an |
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➯♥ ❝❤✉é✐
❤ë✐
n=1
✈î✐ ♠å✐
✤➸
✷✵
ε>0
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
|ai | <
i∈F
✈î✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥
●å✐
sn
✈➔
tn
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
ε
2
F ⊂ {n ∈ N : n > n1 }.
❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù
n
+∞
an
❝õ❛ ❝❤✉é✐
✈➔ ❝❤✉é✐
n=1
+∞
bn ✳
n=1
●✐↔ sû
lim sn = s✳
n→∞
❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐
n2 ≥ n1
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
n ≥ n2
ε
|sn − s| < .
2
n3 ≥ n2 s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ a1 , a2 , ..., an2 ❝â
❤↕♥❣ b1 , b2 , ..., bn3 . ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ n ≥ n3 ✱ t❛ ❝â
❈❤å♥
sè
✤õ ♠➦t tr♦♥❣ ❝→❝
|tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| <
lim tn = s✳
❱➟② t❛ ❝ô♥❣ ❝â
n→∞
ε ε
+ = ε.
2 2
✣à♥❤ ❧þ tr➯♥ ❝❤➾ ✤ó♥❣ ✈î✐ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
+∞
an
t✉②➺t ✤è✐✳ ❈á♥ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ sè
❜→♥ ❤ë✐ tö t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ t❤❛② ✤ê✐
n=1
t❤ù tü ❝õ❛ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♥â ✤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣
❜➡♥❣ ♠ët sè ❜➜t ❦➻ ❝❤♦ tr÷î❝ ❤♦➦❝ trð ♥➯♥ ♣❤➙♥ ❦ý✳
✶✳✷ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè
✶✳✷✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
❈❤♦ ❞➣② ❤➔♠
{un (x)}
❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣
X ⊂ R✳
●å✐ tê♥❣ ✈æ ❤↕♥
+∞
u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =
un (x),
(1.7)
n=1
X
❍➔♠ un (x) ❣å✐ ❧➔ sè ❤↕♥❣ t❤ù n ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳
❍➔♠ sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) ❣å✐ ❧➔ tê♥❣
❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥
✰
✰
❝❤✉é✐ ❤➔♠✳
✷✶
r✐➯♥❣ t❤ù
n
❝õ❛
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
x ∈ X ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý ❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7) ♥➳✉
❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn (x)} ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔②✳ ◆➳✉
X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② {sn (x)} t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❣å✐ X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö
❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7)✳ ◆➳✉ sn (x) → u(x) tr➯♥ X0 t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t
✰ ✣✐➸♠
+∞
un (x) = u(x); x ∈ X0
n=1
✈➔ ❣å✐
u(x)
❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳
❙ü ❤ë✐ tö ✈➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
(1.7)
❈❤✉é✐ ❤➔♠
♠é✐
x∈X
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö tr➯♥ ♠✐➲♥
X
♥➳✉ ✈î✐
ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε, x)
x s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n > n0
✈➔ ✈î✐ ♠å✐
ε
♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
✈➔
+∞
uk (x) < ε.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
k=n+1
❈❤✉é✐ ❤➔♠
(1.7)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ♠✐➲♥
X
X ✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ❝❤✉é✐
❤➔♠ sè (1.7) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè
tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ x s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ n > n0
♥➳✉ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
+∞
uk (x) < ε,
✈î✐ ♠å✐
x ∈ X.
k=n+1
✶✳✷✳✷ ❈→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶
✤➲✉ tr➯♥ t➟♣
♥❤✐➯♥
+∞
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ sè
n0 = n0 (ε)
p
x✮
❝❤♦ tr÷î❝ tç♥ t↕✐ sè tü
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
n > n0
✈➔
un (x)
❤ë✐
t❛ ❝â
|sn+p (x) − sn (x)| < ε;
X
ε > 0
✭❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
tö ✤➲✉ tr➯♥
❤ë✐ tö
n=1
X
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
un (x)
✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè
✈î✐ ♠å✐
x ∈ X.
+∞
❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠
n=1
✤➳♥ tê♥❣
S(x)
❝õ❛ ♥â ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣
✷✷
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
n
r✐➯♥❣
Sn (x) =
uk (x)
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X
✤➳♥
S(x)✳
❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥
k=1
n
❈❛✉❝❤② ✈➲ ❞➣② ❤➔♠ sè t❛ ❝â ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣ r✐➯♥❣
Sn (x) =
uk (x)
k=1
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐
ε>0
n0 = n0 (ε)
✈➔ ✈î✐ ♠å✐
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
n > n0
|sn+p (x) − sn (x)| < ε;
❝❤♦ tr÷î❝ tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥
p ∈ N∗
✈î✐ ♠å✐
t❛ ❝â
x ∈ X✳
❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷
+∞
un (x)✳
✭t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❲❡✐❡rstr❛ss✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè
n=1
◆➳✉ ✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
n
t❛ ❝â
|un (x)| ≤ Cn ;
✈î✐ ♠å✐
x∈X
+∞
Cn
✈➔ ❝❤✉é✐ sè
❤ë✐ tö t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉
n=1
tr➯♥
X.
❈❤ù♥❣
♠✐♥❤✳ +∞
+∞
❱î✐ ♠å✐
un (x)
sè
|un (x)|
✈➔
n=1
x∈X
t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❛ ❝â ❝→❝ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö✳ ✣➦t
n=1
+∞
u(x) =
+∞
un (x)
✈➔
n=1
+∞
Cn
❱➻ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö ♥➯♥
|un (x)|✳
σn =
n=1
∀ε > 0, ∃N : ∀n ≥ N, ∀p ∈ N∗ ✱
t❛ ❝â
n=1
Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+p < ε.
❈❤♦
p→∞
t❛ ✤÷ñ❝
+∞
Cn+1 = Cn+1 + Cn+2 + ... < ε.
n=1
❚ø ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐
n≥N
n
u(x) −
+∞
un+i (x) ≤
uk (x) =
k=1
+∞
i=1
✷✸
|un+i (x)|
i=1
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
+∞
n
|un+i (x)| ≤
= σ(x) −
❉♦ ✤â
Cn+i < ε.
i=1
i=1
n
uk (x)
❈❤✉é✐
u(x)
❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥
tr➯♥
X
k=1
n
|uk (x)|
❈❤✉é✐
σ(x)
❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥
tr➯♥
X✳
k=1
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳
R✳
+∞
❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè
cos nx
2
2
n=1 n + x
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥
❱➻ t❛ ❝â
1
|cos nx|
≤
; ∀n, ∀x ∈ R
n2 + x2
n2
+∞
✈➔ ❝❤✉é✐
1
2
n=1 n
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳
[ − 1; 1]✱
❤ë✐ tö✳
xn
√
n=1 n n
+∞
❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥
✈➻ t❛ ❝â
|x|n
1
√ ≤ √ ; ∀n, ∀x ∈ [ − 1; 1]
n n
n n
+∞
✈➔ ❝❤✉é✐
1
❤ë✐ tö✳
3
n2
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✸
n=1
{bn (x)}
✭❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❞➣② ❤➔♠
❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣
X✳
{an (x)}
✈➔
●✐↔ t❤✐➳t
+∞
(i)
sn (x)
❉➣② tê♥❣ r✐➯♥❣
an (x)
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠
❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥
n=1
X
❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ tç♥ t↕✐ sè
M >0
s❛♦ ❝❤♦
n
|sn (x)| =
ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ X.
k=1
(ii)
❉➣② ❤➔♠
{bn }
✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠é✐
❞➣② sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠
{bn }
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
x ∈ X ❞➣② bn (x)
X ✤➳♥ 0✳
❧➔
+∞
an (x)bn (x)
❑❤✐ ✤â ❝❤✉é✐ ❤➔♠
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
{bn }
❚❛ ❝â t❤➸ ①❡♠
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
❑❤✐ ✤â ✈î✐
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X✳
n=1
ε>0
X
✤➳♥
{bn }
❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠
0✳
tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥
✷✹
n0 = n0 (ε)
s❛♦ ❝❤♦
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
0 < bn (x) <
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
ε
; ∀n > n0 , ∀x ∈ X.
2M
❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✤ç♥❣ t❤í✐ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ t❛
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
n+m
n+m
bk (x)[sk (x) − sk−1 (x)]
bk (x)ak (x) =
k=n
k=n
= |−bn (x)sn−1 (x) + [bn (x) − bn−1 (x)]sn (x)| +
...+[bn+m−1 (x)−bn+m (x)]sn+m−1 (x)+bn+ (x)sn+m (x)
≤ M [bn (x)+(bn (x)−bn+1 (x))+...+(bn+m−1 (x)−bn+m (x))+bn+m (x)] =
+∞
∗
2M bn (x) < ε; ∀x ∈ X, ∀n > n0 , ∀m ∈ N . ❱➟② ❝❤✉é✐ ❤➔♠
an (x)bn (x)
n=1
X✳
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✹
✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ❆❜❡❧✮✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ❞➣② ❤➔♠
❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣
X✳
{an (x)} ✈➔ {bn (x)}
●✐↔ t❤✐➳t
+∞
(i)
an (x)
❈❤✉é✐ ❤➔♠
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X✳
n=1
(ii)
❉➣② ❤➔♠
♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠å✐
M >0
{bn (x)}
✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈î✐ ♠å✐
x ∈ X✱
❞➣② sè
bn (x)
x∈X
✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉✳ ❈â
❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ tç♥ t↕✐ sè
s❛♦ ❝❤♦
|bn (x)| ≤ M ; ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ X.
+∞
an (x)bn (x)
❑❤✐ ✤â ❝❤✉é✐
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X✳
n=1
s❛♦ ❝❤♦
(i) ✈î✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε)
✈î✐ ♠å✐ n > n0 ✈➔ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ m t❛ ✤➲✉ ❝â
n+m
ε
|sn+m (x) − sn (x)| =
ak (x) <
; ∀x ∈ X.
3M
k=n+1
❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t
tr♦♥❣ ✤â
n
sn =
ak (x)✳
k=1
✣➦t
σ1 (x) = an+1 (x) = sn+1 (x) − sn (x)
σ2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = sn+2 (x) − sn (x)
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
✷✺
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
σm (x) = an+1 (x) + ... + an+1 (x) = sn+m (x) − sn (x)
❑❤✐ ✤â
|σj (x)| <
ε
; ∀j = 1, 2, ..., m
3M
✈➔
+∞
ak (x)bk (x) = bn+1 α1 + bn+2 (α2 − α1 ) + ... + bn+m (αm − αm−1 )
n=1
= (bn+1 −bn+2 )α1 +(bn+2 −bn+3 )α2 +...+(bn+m−1 −bn+m )αm−1 +bn+m αm
❇➙② ❣✐í t❛ ❣✐↔ sû
{bn }
❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ❞✐➺✉ t➠♥❣ ✭tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❧➔ ❞➣② ✤ì♥
✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✮✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐
♠å✐
n ∈ N∗
n > n0
✈➔ ✈î✐
t❛ ❝â
n+m
ak (x)bk (x) ≤
k=n+1
≤
ε
3M
n+m
|bk (x) − bk+1 (x)| + |bn+m (x)|
k=n+1
ε
(|bn+1 (x) − bn+m (x)| + |bn+m (x)|) < ε; ∀x ∈ X.
3M
+∞
an (x)bn (x)
❉♦ ✤â ❝❤✉é✐ ❤➔♠
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X✳
n=1
✶✳✷✳✸ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✺✳
+∞
❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣
I✱
n=1
❤ë✐ tö ✤➲✉ ✈➔ ❝â tê♥❣
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
un (x)
◆➳✉ ❝❤✉é✐
s(x)
t❤➻ ❤➔♠
s(x)
❝ô♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
I✳
n
❳➨t ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣ r✐➯♥❣
sn (x) =
uk (x),
t❤❡♦ ❣✐↔
k=1
sn (x) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
X ✤➳♥ s (x) , ♥➯♥ t❤❡♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❞➣② ❤➔♠ t❤➻ s (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔
X✳
❍➺ q✉↔✳
◆➳✉ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❝â ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ♠➔ ❤ë✐ tö tî✐ ♠ët
❤➔♠ sè ❣✐→♥ ✤♦↕♥ tr➯♥
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻✳
X
t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤➲✉ tr➯♥
X✳
+∞
un (x)
❈❤♦ ❝❤✉é✐
❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
[a, b]✳
◆➳✉
n=1
❝❤✉é✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔
s(x) t❤➻ s(x) ❝ô♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ [a, b]
✈➔
✷✻
✶✳✷✳
❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮
❈❍×❒◆● ✶✳
b
b
+∞
a
n=1
s(x)dx =
a
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
+∞ b
un (x)dx
❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
=
un (x)dx.
n=1 a
s(x)
❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐
[a, b] ❝â ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤â✱
[a, b]✱ ♥➯♥ s(x) ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ [a, b]✳ ❳➨t ❤✐➺✉
tö ✤➲✉ tr➯♥
tr➯♥
b
b
s(x)dx −
a
n0
a
s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐
s(x)
❧✐➯♥ tö❝
b
[s(x) − sn (x)]dx.
sn (x)dx =
a
[a, b]✱ ♥➯♥ ∀ε > 0✱ t➻♠ ✤÷ñ❝ sè ♥❣✉②➯♥
❱➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
❞÷ì♥❣
❞♦ ✈➟②
n > n0
ε
; ∀x ∈ [a, b].
b−a
|sn (x) − s(x)| <
❉♦ ✤â
b
b
s(x)dx −
a
b
sn (x)dx <
a
a
ε
dx = ε.
b−a
❱➟②
b
b
s(x)dx = lim
n→∞ a
a
n
sn (x)dx = lim
n→∞ k=1
b
=
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✼✳
s(x)✱
b
uk (x)dx
a
b
u1 (x)dx + ... +
a
un (x)dx + ....
a
+∞
un (x)
❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
(a, b)
tî✐
n=1
❝→❝ sè ❤↕♥❣
un (x)
❧✐➯♥ tö❝ ❝ò♥❣ ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr➯♥
+∞
(a, b)✳
u n (x)
❑❤✐ ✤â ♥➳✉ ❝❤✉é✐ ✤↕♦ ❤➔♠
❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥
n=1
tê♥❣
s(x)
❦❤↔ ✈✐ tr➯♥
(a, b)
✈➔ t❛ ❝â
+∞
s (x) =
+∞
un (x)
=
n=1
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✽✳
u n (x).
n=1
✭✣à♥❤ ❧þ ❚❛♥♥❡②✮ ●✐↔ sû r➡♥❣
(i)
❱î✐ ♠é✐ sè tü ♥❤✐➯♥
∞
n✱
ak (n)
❝❤✉é✐
k=1
✷✼
❤ë✐ tö✳
(a, b)
t❤➻
✶✳✸✳
❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆
(ii)
❱î✐ ♠é✐
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
k ✱ lim ak (n) = ak ✳
n→∞
(iii) |ak (n)| ≤ Mk
∞
✈î✐ ♠å✐
n
Mk
tr♦♥❣ ✤â ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ✤â
k=1
∞
∞
lim
ak (n) =
n→∞ k=1
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤♦
❝❤✉é✐ tç♥ t↕✐ ♠ët sè
ak .
k=1
ε > 0✳ ❑❤✐
m1 s❛♦ ❝❤♦
✤â t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ♠é✐
Mm1 +1 + Mm1 +2 + ... < 3ε .
❚ø ✈î✐
n, k
❜➜t ❦➻✱
|ak (n)| ≤ Mk ✱
n → ∞✱
❝❤♦
t❛ ❝ô♥❣ ❝â✱ ✈î✐ ♠é✐
|ak | ≤ Mk ✳ ❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣
|ak (n) − ak | ≤ |ak (n)| + |ak | ≤ Mk + Mk = 2Mk ✱
∞
∞
k=1
m1
|ak (n) − ak | +
k=1
k=1
k ✱ lim ak (n) = ak ✱
n→∞
k = 1, 2, ..., m1
n > N✱
2Mk <
k=m1 +1
❚ø ✈î✐ ♠é✐
✈➔ ✈î✐
(ak (n) − ak )
k=m1 +1
∞
m1
≤
(ak (n) − ak ) +
ak =
k=1
t❛ ❝â
∞
m1
ak (n) −
k=1
n > N✱
|ak (n) − ak | + 2 3ε .
tç♥ t↕✐ ♠ët sè
t❛ ❝â
N
|ak (n) − ak | <
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠é✐
ε
3m1 ✳ ❉♦ ✤â✱ ♥➳✉
t❤➻
∞
∞
ak (n) −
k=1
m1
ak <
k=1
k=1
ε
3m1
+ 2 3ε = ε.
❱➟② t❛ ❝â ❞❞✐❡❡✉❢ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤ó þ✳
❚❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❦➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❚❛♥♥❡r② ♥❤÷ s❛✉
∞
lim
n→∞ k=1
∞
ak (n) =
lim ak (n),
k=1 n→∞
✶✳✸ ❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✶✳✸✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
k✱
❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❝â ❞↕♥❣
✷✽
✶✳✸✳
❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆
❈❍×❒◆● ✶✳
+∞
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
an (x − x0 )n
(1.8)
n=0
tr♦♥❣ ✤â
x0 , a1 , a2 , ... ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ✣✐➸♠ x0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➙♠ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❧ô② t❤ø❛✳
◆❤➟♥ ①➨t
1)
2)
❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❧✉æ♥ ❤ë✐ tö t↕✐ ✤✐➸♠
y = x − x0
◆➳✉ ✤➦t
x = x0 ✳
t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✈➲ ❞↕♥❣
+∞
an y n
(1.9)
n=0
+∞
y = 0✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉é✐
❝❤✉é✐ ❝â t➙♠ t↕✐
an xn
❧➔
n=0
✤õ✳
✶✳✸✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✶
✭✤à♥❤ ❧þ ❆❜❡❧✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
+∞
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ....
(1.10)
n=0
(1.10) ❤ë✐ tö t↕✐
x ♠➔ |x| < |x0 | .
◆➳✉ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✤è✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❞➣② sè
{an x0 n }
+∞
❱➻ ❝❤✉é✐
an x 0 n
x
♠➔
x0 = 0
❤ë✐ tö ♥➯♥
n=0
❜à ❝❤➦♥✱ tù❝ ❧➔ tç♥ t↕✐ sè
|an x0 n | ≤ k;
❱î✐ ♠å✐
✤✐➸♠
|x| < |x0 |✱
✤➦t
✈î✐ ♠å✐
q=
x
x0
k>0
t❤➻ ♥â ❤ë✐ tö t✉②➺t
lim an x0 n = 0,
n→∞
❞♦ ✤â
✤➸
n = 0, 1, 2, ...
t❤➻
|q| < 1.✳
❑❤✐ ✤â
|an xn | = |an (x0 q)n | = |an x0 n | .|q|n ≤ k.|q|n .
+∞
❱➻ ❝❤✉é✐
k|q|n
+∞
❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤✉é✐
n=1
an x n
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉
n=0
t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶
❍➺ q✉↔✳
+∞
❚ø ✤à♥❤ ❧þ ❆❜❡❧ s✉② r❛ ♥➳✉ ❝❤✉é✐
n=0
✷✾
an xn
♣❤➙♥ ❦ý t↕✐
x1
✶✳✸✳
❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆
❈❍×❒◆● ✶✳
t❤➻ ♥â ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ ♠å✐
x
♠➔
❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✈➔ ❞♦
x = 0,
|x| > |x1 |✳
❝❤✉é✐ (1.10) ❝â
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
➼t ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ❧➔
♥➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉ ✈➲ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛
❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
+∞
R = sup |x| :
❙è t❤ü❝
an xn
❤ë✐ tö
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥
n=0
❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
(1.10)
✈➔ ❦❤♦↔♥❣
(−R, R)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❦❤♦↔♥❣ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤â✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳
+∞
❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❧ó② t❤ø❛
an x n .
◆➳✉
n=0
lim
|an | = ρ
n
lim
❤♦➦❝
an+1
= ρ,
an
t❤➻ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝
1
ρ
R=
+∞
0
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
khi0
❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❤ë✐ tö ✈î✐
1
✳
ρ
❱➟②
R =
1
✳
ρ
x
❚r÷ì♥❣ ❤ñ♣
1
✈➔
ρ
an+1
ρ = lim
an
♠➔
|x| <
✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳
◆➳✉
lim
an+1
= ρ; 0 < ρ < +∞
an
lim
n→∞
t❤➻ ✈î✐ ♠å✐
x
♠➔
|x| <
an+1 xn+1
an+1
1
=
lim
|x|
<
ρ.
=1
n→∞ an
an x n
ρ
✸✵
1
ρ t❤➻ t❛ ❝â
✶✳✸✳
❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✳
❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt✳
◆➳✉
|x| >
1
ρ
t❤➻
lim
n→∞
1
an+1 xn+1
>
ρ.
= 1.
an xn
ρ
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ❱➟② ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔
1
✳
ρ
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳
❚➻♠ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
+∞
n=0
(−1)n xn
.
2n + 1
❚❛ ❝â
lim
n
|an | = lim √
n
n→∞
n→∞
1
= 1.
2n + 1
❱➟② ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö
R=1
✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❤ë✐ tö
(−1, 1)✳
+∞
1
❧➔ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳
n=0 2n + 1
+∞ (−1)n
❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③✳
❚↕✐ x = 1 ❝❤✉é✐ trð t❤➔♥❤
n=0 2n + 1
❱➟② ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ −1 < x ≤ 1✳
+∞ xn
❈❤✉é✐
.
n=0 n!
an+1
1
❚❛ ❝â
=
→ 0 ♥➯♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔ R = +∞,
an
n+1
tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x ∈ R✳
❚↕✐
x = −1
❝❤✉é✐ trð t❤➔♥❤
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✷✳
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✸✳
❈❤✉é✐
nn xn .
n=1
|an | = n → +∞
♥❤➜t x = 0.
❚❛ ❝â
❞✉②
+∞
n
♥➯♥
R = 0✱
✸✶
tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠
✶✳✸✳
❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆
❈❍×❒◆● ✶✳
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✸✳✸ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣
❚❛ ❝❤➾ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐ t✐➳t ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❤➔♠
f (x) = ex ✱
❝❤ó♥❣ tæ✐
❝❤➾ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣
❦❤→❝ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❝❤➾ rã sü t÷í♥❣ t➟♥✳
❑❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠ ex✳
❦❤♦↔♥❣
(−∞, +∞)
❍➔♠
f (x) = ex
✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
f (n) (x) = ex ;
❉♦ ✤â✱ tç♥ t↕✐ sè
❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ♠å✐ ❝➜♣ tr♦♥❣
r > 0
✈î✐ ♠å✐
✤➸ ❦❤♦↔♥❣
n = 1, 2, ....
[ − r, r]
❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ❣è❝ ✈➔ t❛ ❝â
✤→♥❤ ❣✐→
f (n) (0) = e0 = 1;
✈î✐ ♠å✐
x ∈ [ − r, r]
✈➔
n = 1, 2, ...✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ
tr➯♥ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ t❛ ❝â ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ▼❛❝❧❛✉r✐♥ ❝õ❛ ❤➔♠
f (x) = ex
♥❤÷ s❛✉
ex =
f (n) (0) n +∞ xn
x =
.
n!
n!
n=0
n=0
+∞
❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ t❤➳ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣ ❞÷î✐
✤➙②
x2n+1
(−1)
;
sin x =
(2n + 1)!
n=1
2n
∞
n x
cos x =
(−1)
; ✈î✐
(2n)!
n=1
n
∞
n−1 x
;
ln(1 + x) =
(−1)
n
n=1
∞
n
✈î✐ ♠å✐
♠å✐
x ∈ (−∞, +∞)
✈î✐ ♠å✐
✸✷
x ∈ (−∞, +∞)
x ∈ (−1, 1).
❈❤÷ì♥❣ ✷
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨
⑩P ❉Ö◆●
✷✳✶ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② tæ✐ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r
✤è✐ ✈î✐ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣
♣❤↔✐ ❦➸ ✤➳♥ ✤â ❧➔
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳
❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
∞
πz
1
2z
;
= +
2
sin πz
z n=1 n − z 2
✈î✐ ♠å✐
z ∈ C\Z
✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐
tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣✳
✷✳✶✳✶ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳
❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ s❛✉
πz cot πz = 1 + 2z
2
∞
1
;
2
2
n=1 z − n
✈î✐ ♠å✐
z ∈ C\Z.
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝➛♥ tî✐ ❜ê ✤➲ s❛✉
❇ê ✤➲ ✷✳✶✳
❱î✐ ❜➜t ❦➻ sè ♣❤ù❝
πz cot πz = n−1
πz
πz 2 −1 πz
cot
+
n
2n
2n
k=1 2
cot
z
✈➔
n ∈ N✱
t❛ ❝â
π(z + k)
π(z − k)
+
cot
2n
2n
✸✸
−
πz
πz
tan
2n
2n
✷✳✶✳
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆
❈❍×❒◆●
❍⑨▼ ✷✳
❙➮ ▲×Ñ◆●
❑❍❆■ ❚❘■➎◆
●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❣â❝ ♥❤➙♥ ✤æ✐ t❛ ❝â
2z
=
2 cot 2z = 2
sin 2z
❝♦s
z − sin2 z
= cot z − tan z ✳
sin z cos z
2
❝♦s
❉♦ ✤â
1
cot 2z = (cot z − tan z).
2
❚❤❛②
z=
πz
2
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
cot πz =
1
πz
πz
cot
− tan
.
2
2
2
◆❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈î✐
tr÷í♥❣ ❤ñ♣
n = 1✳
πz
(2.1)
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣
✣➸ t✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ q✉② ♥↕♣ ✈î✐ ❧÷✉ þ r➡♥❣
π
tan z = − cot(z ± ).
2
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
cot πz =
1
πz
π(z ± 1)
cot
+ cot
.
2
2
2
(2.2)
✣➙② ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣
❜ê ✤➲ tr➯♥✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
n = 2✳
❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ①➨t ❞➜✉
❞÷ì♥❣ tr♦♥❣ ❣â❝ ❝♦t❛♥❣ ❝õ❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✳⑩♣ ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝
(2.2)
❝❤♦ ♠é✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣ tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ sû ❞ö♥❣ ❞➜✉ ❝ë♥❣
❝❤♦ ❤➔♠ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❞➜✉ trø ❝❤♦ ❤➔♠ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
cot
πz=
z
π
+1
1
πz
π (z + 1)
π ( z+1
2 −1)
2
cot
+
cot
+
cot
+
cot
22
2
2
2
2
2
2
2
2
=
1
22
cot
πz
π(z + 2)
π (z + 1)
π(z − 1)
+ cot
+ cot
+ cot
.
2
2
2
2
2
2
22
❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❤÷ s❛✉
cot πz =
1
πz
π(z + 1)
π (z − 1)
πz π
cot
+
cot
+
cot
+
cot
+
22
22
22
22
22
2
✸✹
.
✷✳✶✳
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆
❈❍×❒◆●
❍⑨▼ ✷✳
❙➮ ▲×Ñ◆●
❑❍❆■ ❚❘■➎◆
●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ sè ❤↕♥❣ ❝✉è✐ ❝❤➼♥❤ ❜➡♥❣
− tan
πz
22
✈➔ ❜ê ✤➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ✈î✐ ♥ ❂ ✷✳ ❇➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❜ê ✤➲ ✈î✐ tr÷í♥❣
❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ♥
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❊✉❧❡r ❝❤♦ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣✳ ❱î✐ ♠é✐
z
❝è ✤à♥❤ t❛ ❝â
πz
πz
w
cot
=
lim
w
cot
w
=
lim
. cos w = 1
z→∞ 2n
✇→∞
x→∞ sin w
2n
lim
(2.3)
✈➔
lim
n→∞
❈❤♦
n→∞
πz
πz
tan
2n
2n
= 0.0 = 0✳
tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ tr÷î❝✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
2n−1 −1
πz cot πz = 1 + lim
n→∞
k=1
πz
2n
cot
π(z − k)
π(z + k)
+ cot
n
2
2n
.
(2.4)
❚❛ s➩ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ✈î✐ tê♥❣ ♥➔②✳ ✣è✐ ✈î✐ ♠é✐ sè ❤↕♥❣ tr♦♥❣
tê♥❣✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝
cot(α + β) + cot(α − β) =
sin 2α
.
sin α − sin2 β
2
❈æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔② t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠
cot(α ± β)
❞÷î✐
❞↕♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ s✐♥✱ ❝♦s✐♥ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝ë♥❣ ❣â❝ ❝❤♦
πz
πk
✈➔ β =
t❛ ✤÷ñ❝
2n
2n
π(z + k)
π(z − k)
sin 2α
cot
+
cot
=
.
2n
2n
sin2 α − sin2 β
❝→❝ ❤➔♠ ♥➔②✳ ✣➦t
α=
❚❤❡♦ ❦➼ ❤✐➺✉ ð ✤➙②
α=
πz
2n
✈➔
β=
1
πk
πz
✳ ❈❤♦ n ✤õ ❧î♥ ✤➸ |α| =
<
✱
2n
2n
2
t❛ ❝â
|sin 2α| ≤
6
|2α| ≤ 3 |α|
5
✈➔
✸✺
|sin α| ≤
6
|α| ≤ 2 |α|
5
✷✳✶✳
tø
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆
❈❍×❒◆●
❍⑨▼ ✷✳
❙➮ ▲×Ñ◆●
❑❍❆■ ❚❘■➎◆
●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
β=
π
πk
<
n
2
2
k = 1, ....2n−1 − 1
❝❤♦
✈î✐ ♠å✐ ❝❃✵
cβ ≤ sin β ✳
❉♦ ✤â
c2 β 2 ≤ sin2 β ≤ sin2 α − sin2 β + sin2 α ≤ sin2 α − sin2 β + 4|α|2
⇒ c2 β 2 − 4|α|2 ≤ sin2 α − sin2 β .
❈❤å♥
k
s❛♦ ❝❤♦
2 2
2
c β =c
ck > 2 |z|
πk
2n
n
=
t❤➻
πck
2n
2
= 4|α|2 ⇒ c2 β 2 − 4|α|2 > 0✳
❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
0 < c2 β 2 − 4|α|2 < sin2 α − sin2 β
❉♦ ✤â
3 |α|
|sin 2α|
=
≤
2
sin α − sin β
c2 β 2 − 4|α|2
3π
2
c2
πk
2n
2
|z|
2n
π |z|
−4
2n
2
=
|z|
π
3
2
2
c k − 4|z|2
2n
ck > 2 |z|✱ t❛ ❝â
πz
π(z + k)
π(z − k)
cot
+
cot
2n
2n
2n
◆❤÷ ✈➟②✱ ✈î✐
≤
2
3|z|
2.
c2 k 2 −4|z|
◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ tê♥❣ s❛✉
k
❜➢t ✤➛✉ tø
1
✈➔ tø
k>
(2.3)
2 |z|
c
❧➔ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö✳ ❇➙② ❣✐í sû ❞ö♥❣
lim z cot z =
z→0
t❛ t❤➜②
πz
π (z + k)
lim n cot
x→∞ 2
2n
z
✳
z+k
3|z|2
c2 k 2 − 4|z|2
πz
π(z + k)
π(z + k)
2n
= lim
.
cot
=
x→∞ π (z + k)
2n
2n
2n
✸✻
✷✳✶✳
❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆
❈❍×❒◆●
❍⑨▼ ✷✳
❙➮ ▲×Ñ◆●
❑❍❆■ ❚❘■➎◆
●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❇➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â
πz
π (z − k)
cot
x→∞ 2n
2n
=
z
z−k
π(z − k)
2n
=
lim
✳
◆❤÷ ✈➟②
πz
x→∞ 2n
lim
cot
π(z + k)
2n
+ cot
z
z
+
=
z+k z−k
2z 2
✳
z 2 − k2
(2.4)
∞
1
πz cot πz = 1 + 2z 2
2
2
k=1 z − k
❈✉è✐ ❝ò♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ❝❤♦ tê♥❣
t❛ ✤÷ñ❝
✣➙② ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣
✷✳✶✳✷ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❦❤→❝
❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝(2.1)
cot πz =
πz
πz
1
cot
− tan
2
2
2
✈➔ t❤❛② t❤➳ ✈➔♦ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝♦t❛♥❣✱ t❛ ✤÷ñ❝
π tan
∞
4z
πz
=
2
2
n=0 (4n + 1) − z 2
z ∈ C ❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳ ✣➸ s✉② r❛ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
π
✱❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ s❛✉
sin πz
1
z
= cot z + tan ✳
sin z
2
✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝
❝õ❛ ❤➔♠
✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣
(2.5)
r✐➯♥❣ ♣❤➛♥
z
z
z
cos
z
cos
+
sin
z
sin
z
cos z
2 =
2
2
+
cot z + tan =
z
z
2
sin z cos
sin z cos
2
2
z
z
cos z −
cos
1
2
2
=
=
=
✳
z
z
sin z
sin z cos
sin z cos
2
2
sin
✸✼
✷✳✷✳
ζ(2)
⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆●
❈❍×❒◆●
P❍❺◆ ❚❘❖◆●
✷✳
❑❍❆■
❱■➏❈
❚❘■➎◆
❚➑◆❍
❘■➊◆●
●■⑩ P❍❺◆
❚❘➚ ❈Õ❆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❚ø ❝→❝ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
∞
1
π
2z
= +
;
2
sin πz
z n=1 n − z 2
✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝
z
(2.6)
❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳
❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝ô♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ s♦s✐♥
∞
(2n + 1)
=
(−1)n
πz
(2n + 1) − z 2
n=0
4 cos
2
π
✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝
z
(2.7)
✳
❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳
✷✳✷ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❣✐→ trà
❝õ❛ ζ(2)
✷✳✷✳✶ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❊✉❧❡r
❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ s✐♥❡
∞
sin πx
x2
=
1− 2 ;
πx
n
n=1
❚❛ ❝â
sin πx
= eL(x) ✱
πx
✈î✐ ♠å✐
0 ≤ x < 1✳
tr♦♥❣ ✤â
x2
L(x) =
log 1 − 2 .
n
n=1
∞
sin πx
= eL(x) ✳ ❚❛ ❝â
πx
∞
x2
=
1 − 2 ; ✈î✐ ♠å✐
n
n=1
▲➜② ❧♦❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝
log
❚❤❛②
x2
x=− 2
n
sin πx
πx
①❁✶
(−1)m−1 m
log (1 + x) =
x
m
m=1
∞
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝❤✉é✐ ✈æ ❤↕♥
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
log
sin πx
πx
1 x2m
;0≤x 0 ✈➔ sin x > 0 ✈î✐
2
π
π
0 < x ≤ ✳ ❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ b ∈ 0,
t❛ ❝â
2
2
✳ ❚ø
lim
✹✷
✷✳✷✳
ζ(2)
⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆●
❈❍×❒◆●
P❍❺◆ ❚❘❖◆●
✷✳
❑❍❆■
❱■➏❈
❚❘■➎◆
❚➑◆❍
❘■➊◆●
●■⑩ P❍❺◆
❚❘➚ ❈Õ❆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
f (x) ≥ f (b) > 0
tr➯♥
0,
π
2
✳
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣
cx < sin x
tr♦♥❣ ✤â
c = f (b) > 0.
0,
tr➯♥
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
π
2
✱
|sin z| ≤
|z| ≤ 1 ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ k t❛ ❝â |z|k ≤ |z| ✈➔
(2n + 1)! = (2.3) . (4.5) ... (2n. (2n + 1))
6
|z|✱
5
t❛ ♥❤➟♥ ①➨t ✈î✐
≥ (2.3) . (2.3) ... (2.3) = (2.3)n = 6n .
❉♦ ✤â
z 2n+1
|z|3 |z|5
|sin z| =
≤ |z| +
+
+ ...
3!
5!
n=0 (2n + 1)!
∞
≤ 1+
1
+
3!
1
5!
+ ... |z| ≤ 1 +
1
1
6
+ 2 + ... |z| = |z| .
6 6
5
❱➟② ❜ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❇➙② ❣✐í ❝❤♦
0≤k≤m=
n−1
2
t❛ ❝â
kπ
π
< ✳
n
2
❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐
✈➟② t❛ ❝â
c.
kπ
kπ
≤ sin ✳
n
n
✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
1
.
n2
1
n2
1 1
≤ 2.
=
.
n (cπ)2 k 2
c2 π 2 k 2
1
sin2
kπ
n
✳
❚❤➳ ♥❤÷♥❣✱ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö
n sin
∞
1
k=1
c2 π 2
x
→ x✱ n → ∞
n
.
1
k2
♥➯♥ t❛ s✉② r❛
✹✸
k
♥❤÷
✷✳✷✳
ζ(2)
⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆●
❈❍×❒◆●
P❍❺◆ ❚❘❖◆●
✷✳
❑❍❆■
❱■➏❈
❚❘■➎◆
❚➑◆❍
❘■➊◆●
●■⑩ P❍❺◆
❚❘➚ ❈Õ❆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
1
1
=
.
n→∞ n2 sin2 (kπ/n)
k 2 n2
lim
❈❤♦
m→∞
tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝
(2.14)✱
✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ❝❤♦ t❛
∞
∞ 1
1
1
π2
−
=0⇔
=
2
6 k=1 k 2 π 2
6
k=1 k
✹✹
✳
✷✳✷✳
ζ(2)
⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆●
❈❍×❒◆●
P❍❺◆ ❚❘❖◆●
✷✳
❑❍❆■
❱■➏❈
❚❘■➎◆
❚➑◆❍
❘■➊◆●
●■⑩ P❍❺◆
❚❘➚ ❈Õ❆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●
❑➌❚ ▲❯❾◆
✧❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣
♣❤➛♥ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✧
❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥
✳
✶✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
✈➲ ❝❤✉é✐ sè✱ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✳
✷✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ✤➦❝ ❜✐➺t ✈î✐ ❝→❝
❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥ê✐ t✐➳♥❣ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ❝❤✉é✐ sè ✈➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉
ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥➔② tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❝❤✉é✐
❤➔♠
✧❑❤❛✐ tr✐➸♥
r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✧
❙♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐✿
✱ tæ✐ ❝á♥
t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♣❤➛♥ ♠➲♠ s♦↕♥ t❤↔♦ ▲❛t❡①✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤
❜➡♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ s♦↕♥ t❤↔♦ ▲❛t❡①✳
✹✺
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❬✶❪ ❚r➛♥ ✣ù❝ ▲♦♥❣✲ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❙❛♥❣✲❍♦➔♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➔♥✱ ●✐→♦ tr➻♥❤
❣✐↔✐ t➼❝❤✱t➟♣ ✷✱ ◆❳❇ ✣❍◗● ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✷✳
❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯✲ ✣➟✉ ❚❤➳ ❈➜♣✲ ❇ò✐ ✣➢❝ ❚➢❝✱ ❚♦→♥ ❈❛♦ ❝➜♣✱
◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❑ÿ t❤✉➟t✱ ✶✾✾✽
✹✻
Ngày đăng: 05/10/2015, 16:07
Xem thêm: Khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler (KL07196), Khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler (KL07196)