Thông tin tài liệu
§Ò to¸n hay
1) Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n:
(a + b - c)3 + (b + c- a)3 + (c + a - b)3 = a3 + b3 + c3
Chøng minh r»ng a = b = c.
Lêi gi¶i: §Æt a + b - c = x, b + c - a = y, c + a - c = z
⇔b=
x+ y
y+z
x+z
;c=
;a=
2
2
2
⇔ 8(x3 + y3 + z3) = (x + z)3 + (x + y)3 + (y + z)3
⇔ 2(x3 + y3 + z3) = xz(x + z) + xy(x + y) + yz(y + z)
⇔ (x + y)(x - y)2 + (x + z)(x - z)2 + (y + z)(y - z)2 = 0
2) Cho A lµ sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, B lµ sè viÕt ngîc l¹i c¸c ch÷ sè cña A vµ
S lµ tæng c¸c ch÷ sè cña A.
T×m sè A nÕu A = 2B + S .
1)A = 100a+10b+c, 1≤ a, b, c ≤ 9
B = 100c + 10b + a
⇒ 100a+10b+c = 200c + 20b + 2a + a +b +c
97a - 200c = 11b ⇒ 97a - 200c chia hÕt cho 11⇒ 2(c+a) chia hÕt cho 11
⇒ c+a chi hÕt cho 11 ⇒ c+a =11 (*)
MÆt kh¸c 97a - 200c - 2b = 11b ⇒ 2(a+b+c) chia hÕt cho 9 tõ (*) ⇒ b =7
97a - 200c =11.7 ⇒ -(4c+a) + 96a-196c chia hÕt cho 7
⇒ 4c+a chia hÕt cho 7 ⇒ 4a+c = 7, 14, 21, 28, 35, 42 kÕt hîp (*)
⇒c=8⇒a=3
vËy sè cÇn t×m lµ 378
KiÓm tra l¹i kh«ng tho¶ m·n vËy kh«ng tån t¹i sè nh vËy
3.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c. Chøng minh:
b
a +b
2
2
c
+
b +c
2
2
a
+
c +a
2
2
≤3 2
2
hdÉn:
P=
b
a2 + b2
+
c
b2 + c2
+
c
c2 + a2
Chia c¶ tö vµ mÉu víi mçi sè h¹ng a, b, c
⇒P=
1
1+ x2
+
1
1+ y2
+
1
1+ z2
x, y, z nh nhau chøng minh
Tõ (a+b)2 ≤ 2(a2+b2) ⇒
chøng minh
2(
; ( x = a/b; y = b/c; z = a/z ⇒ xyz = 1)
1
1+ x2
1
1+ x2
+
+
1
1+ y2
1
1+ y2
≤
2
1 + xy
≤ 2(
víi 0 < xy ≤1;
1
1
+
)
2
1+ x
1+ y2
2
1
1
2
1
1
+
≤
+
)≤
⇔
2
2
2
2
1 + xy
1 + xy
1+ x
1+ y
1+ x
1+ y
qui ®ång:
1
(2+x2+y2)(1+xy) ≤ 2(1+x2+y2+x2y2)
⇔ x2+y2 +2x2y2- (x2+y2)xy – 2xy ≥ 0
(xy - 1)(x - y)2 ≥ 0 dÊu b»ng khi x = y hoÆc xy = 1
Tõ 0 < xy ≤1 ⇒ z ≥ 1 ⇒ Q =
⇒Q=
t
1+ t
2
+
2
1+ t
≤
1
1+ z
2
+
2
1
do xyz =1 ; ®Æt t =
1 + xy
z
2t
2
2t 2 1 + t
+
+
=
; ( v× 1+t ≤ 2(1 + t 2 ) )
1+ t
1+ t
1+ t 1+ t
2
2t 2 1 + t 3 2 ⇔ 2t +
2 2(1 + t ) ≤ 3t + 3 b×nh ph¬ng cã (t - 1) ≥ 00,50
+
≤
1+ t
1+ t
2
4.Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n:
1
1
1
a ≥ b ≥ c > 0 ; abc = 1 vµ a + b+ c > + +
a b c
Chøng minh a + b > ab + 1.
HD:
1
1
1
, a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ b ≤ vµ c ≤
a
b
c
1 1 1
a + b + c ≤ + + m©u thuÉn
a b c
a≤1⇒a≤
0,50
a>1
1
1
; b - 1≥ 1 a
b
1
1
(a - 1)(b - 1) ≥ (1 − )(1 − )
a
b
1 1 1
ab - a - b + 1 ≥ 1 - − +
a b ab
1
1 1
-a–b≥- − +c
c
a b
1 1 1
+ + ≥ a + b + c m©u thuÉn
a b c
NÕu b ≥1 ⇒ a - 1 > 1 -
⇒ b < 1 ⇒ (a - 1)(b - 1) < 0 ⇒ ab - a - b + 1 < 0
a + b > ab + 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Bµi 5
Cho biÓu thøc:
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 ) = 2005
TÝnh tæng a + b.
Bµi 6
a) Ph©n tÝch ®a thøc a3 + b3 +c3 - 3abc thµnh nh©n tö ;
b) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè cña biÓu thøc sau:
1
3
4 −3 2 +3
Bµi 7
Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 900), AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A (D
thuéc BC). Chøng minh:
2
AD AD
+
= 2
AB AC
Bµi 8
Chøng minh r»ng:
sin22030' =
1
2− 2
2
Híng dÉn
Bµi 5
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( a 2 + 2005 − a ) = 2005( a 2 + 2005 − a)
2005(b + b 2 + 2005 ) = 2005( a 2 + 2005 − a )
a + b = a 2 + 2005 − b 2 + 2005 (1)
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( b 2 + 2005 − b) = 2005( b 2 + 2005 − b)
2005(a + a 2 + 2005 ) = 2005( b 2 + 2005 − b)
a + b = b 2 + 2005 − a 2 + 2005 (2)
Céng (1) víi (2) a + b = 0
Bµi 6
1) Ph©n tÝch a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc- ca)
2) ¸p dông nh©n tö vµ mÉu sè víi
Tö sè 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2
MÉu sè ( 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2 )( 3 4 − 3 2 + 3)
= 4 - 2 +27 + 3 4 3 2 .3 =35
Bµi 7
Tõ D kÎ DM ⊥AB vµ DN⊥AC
Chøng minh tø gi¸c AMDN lµ h×nh vu«ng ⇒ DM = DN =
AD
2
dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ADC)
AB. AC = (AB + AC)DM = (AB + AC)
Chia ca hai cho AB. AC (®pcm)
AD
2
Bµi 8
Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A= 900), kÎ BD lµ ph©n gi¸c cña gãc B
AD
(*)
BD
AD AB
AB
1
=
=
=
TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
DC BC AB 2
2
AD
1
⇒ DC + AD =
2 +1
0
'
∠ABD = 22030' ⇒ sin 22 30 =
AD
=
AB
1
2 +1
⇒ AD =
AB
2 +1
⇒ AB = AD( 2 + 1)
BD 2 = AB2+AD2 = AD2[( 2 +1)2 + 1] ⇒ BD = AD 4 + 2 2 thay vµo (*)
3
0
'
⇒ sin 22 30 =
AD
=
BD
1
=
4+2 2
Bµi 9
Chøng minh r»ng sin 18 0 =
1
=
2( 2 + 2 )
2− 2
=
2.2
2− 2
2
5 −1
4
B
D
A
C
Dùng tam gi¸c c©n cã gãc ®Ønh 360 (AB = AC), kÎ ph©n gi¸c BD.
TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
CD BC
BC. AC
⇒ CD =
=
AD AB
BC + AB
MÆt kh¸c ∆ABC ∼ ∆BCD ⇒
AB
AB BC
=
⇒ AB.CD = BC2 ⇒
BC CD
BC. AC
2
2
2
= BC 2 ⇒ AB = BC + AB.BC chia hai vÕ cho AB ⇒
BC + AB
2
2
BC
BC
BC
BC
− 1 = 0 ⇒ 4
−1 = 0
+
+ 2.
AB
2 AB
AB
2 AB
⇒ 4 sin 2 18 0 + 2 sin 18 0 − 1 = 0 => sin 18 0 =
5 −1
4
Bài 10
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn các điều kiện:
a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9.
C/ minh : 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
HD:
a +b+c = 6⇒ a +b = 6−c
9 = ab + bc + ac = ab + c ( a + b ) = ab + c ( 6 − c )
⇒ ( c − 3) = ab , tương tự ( b − 3) = ac , ( a − 3) = bc
+ Ta có a, b, c không thể cùng âm vì a + b + c = 6
2
2
2
2
2
2
a+b
+ a, b ≤ 0 vô lí ⇒ a, b, c > 0, ab <
÷ với mọi a, b ⇒ 4 ( c − 3) < ( 6 − c )
2
2
⇒ c − 4c < 0 ⇒ c ( c − 4 ) < 0,c > 0 ⇒ c < 4
+ c ≤ 2 do a < b < c ⇒ a + b + c 2
2
+ c > 2 ⇒ 2 < c < 4 ⇒ −1 < c − 3 < 1 , do ab = ( c − 3) ⇒
ab < 1 ⇒ a 4, c < 4 ⇒ b > 1
b ≥ 3 ⇒ a + b + c > b + c > 2b ≥ 6 ⇒ vô lí ⇒ b < 3
2
( a − 3) ( b − 3) ( c − 3) = abc − 3 ( ab + bc + ac ) + 9 ( a + b + c ) − 27 = abc > 0
c - 3 >0 ⇒ c > 3
⇒0 ... đối chiếu đề bài, ta có: A = x + y = x + y 3 = 1 1 x + y = x + y ( x + y) = x = y = x= y= 2 3 Chú ý: Bài tập có cách giải khác cách xét hai trờng hợp: 1) x 0, y 2) x 0, y Bài ( Ta có: x... x +1 x x +1 với x 6/Rút gọn A= x+ + x + + x Các tập vận dụng BĐT a + b a + b dấu xảy khi: ab (*) Vào rút gọn, tính giá trị biểu thức Bài 1: Cho biểu thức: A= x+ y x+ y 1 xy + + xy x... 0,25 0,25 Bài Cho biểu thức: (a + a + 2005 )(b + b + 2005 ) = 2005 Tính tổng a + b Bài a) Phân tích đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhân tử ; b) Trục thức mẫu số biểu thức sau: +3 Bài Cho tam
Ngày đăng: 04/10/2015, 20:00
Xem thêm: Download tuyển tập các bài toán chọn lọc thì học sinh giỏi lớp 9, thi tuyển sinh vào THPT