Thông tin tài liệu
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
1
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I. (2 đi m)
Cho hàm s y = x3 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham s th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho, v i m = 0.
2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s đã cho ngh ch bi n trên kho ng (0 ; + ).
Câu II. (2 đi m)
1. Gi i ph
2. Gi i ph
ng trình: 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
ng trình: log 2 (x 2) log 4 (x 5) 2 log 1 8 0
2
Câu III. (1 đi m)
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y =
e x 1 , tr c hoành và hai đ
ng th ng x = ln3, x = ln8.
Câu VI. (1 đi m)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA = SB = a, m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t
ph ng (ABCD). Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD.
Câu V. (1 đi m)
Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 1.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
x 2 (y z) y 2 (z x) z 2 (x y)
yz
zx
xy
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A.Theo ch ng trình Chu n:
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa. (2 đi m)
1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm đi m M thu c
tr c tung sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n v i (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600.
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ
ng th ng d có ph
Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng đi qua đi m M, c t và vuông góc v i đ
Câu VIIa. (1 đi m)
Tìm h s c a x2 trong khai tri n thành đa th c c a bi u th c P = (x2 + x – 1) 6
B.Theo ch ng trình Nâng cao
x 1 2t
ng trình: y 1 t
z t
ng th ng d.
Câu VIb. (2 đi m)
1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm đi m M thu c
tr c tung sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n v i (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600.
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ
ng th ng d có ph
Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng th ng đi qua đi m M, c t và vuông góc v i đ
Câu VIIb. (1 đi m)
Tìm h s c a x3 trong khai tri n thành đa th c c a bi u th c P = (x2 + x – 1)5
ng trình:
x 1 y 1 z
.
2
1
1
ng th ng d.
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------
--11-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
2
.
I. PH N B T BU C CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I. (2,0 đi m) Cho hàm s
y
x2
, có đ th là (C)
x2
1. Kh o sát và v (C)
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n đi qua đi m A(– 6 ; 5)
Câu II. (2,0 đi m)
1. Gi i ph ng trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x .
4
3
3
x y 1
2. Gi i h ph ng trình: 2
2
3
x y 2xy y 2
Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân I
ln 3
e 2 x dx
ln 2
ex 1 ex 2
Câu VI. (1,0 đi m)
Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng SBC b ng 2. V i giá tr nào c a góc gi a
m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t?
Câu V. (1,0 đi m) Cho a, b,c 0 : abc 1. Ch ng minh r ng:
II . PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A. Theo ch ng trình Chu n:
1
1
1
1
a b 1 b c 1 c a 1
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa. (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng Oxy cho các đi m A(1;0) ; B(–2;4) ;C(–1; 4) ; D(3 ; 5) và đ
đi m M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhau.
2. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng sau:
x y 1 z 2
d1 :
;
1
2
1
ng th ng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm
x 1 2t
d2 : y 1 t
z 3
Câu VIIa. (1,0 đi m) Tìm s th c x, y th a mãn đ ng th c : x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = 7 + 32i
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 đi m)
1.Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đ ng th ng d: x - 2y -2 = 0 và đi m A(0;1) ; B(3; 4). Tìm to đ đi m
M trên đ ng th ng d sao cho 2MA2 + MB2 là nh nh t.
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho hai đi m A(1;7;-1), B(4;2;0) và m t ph ng (P): x + 2y - 2z + 1 = 0. Viêt
ph ng trình hình chi u c a đ ng th ng AB trên m t ph ng (P)
Câu VIIb. (1,0 đi m) Cho s ph c z = 1 + 3 i. Hãy vi t d ng l
ng giác c a s ph c z5.
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------
--22-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
3
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x 3 - 3x 2 + 4
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. G i d là đ ng th ng đi qua đi m A(3; 4) và có h s góc là m. Tìm m đ d c t (C) t i 3 đi m phân bi t A, M, N sao
cho hai ti p tuy n c a (C) t i M và N vuông góc v i nhau.
Câu II (2đi m)
2
x +1 + y(x + y) = 4y
(x, y R )
1. Gi i h ph ng trình: 2
(x +1)(x + y - 2) = y
2. Gi i ph
ng trình: 2 2 sin(x
).cos x 1
12
1
Câu III (1 đi m) Tính tích phân I = xln(x 2 + x +1)dx
0
Câu IV (1 đi m) Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A’ lên m t
ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. M t m t ph ng (P) ch a BC và vuông góc v i AA’, c t l ng tr theo
a2 3
. Tính th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’.
8
CâuV (1 đi m) Cho a, b, c là ba s th c d ng th a mãn abc = 1. Tìm GTLN c a bi u th c
1
1
1
P= 2
+ 2
+ 2
.
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
x2
1. Trong mp v i h tr c t a đ Oxy cho parabol (P): y = x 2 - 2x và elip (E):
+ y 2 = 1 .Ch ng minh r ng (P) giao
9
(E) t i 4 đi m phân bi t cùng n m trên m t đ ng tròn. Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua 4 đi m đó.
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho m t c u (S) có ph ng trình x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 và
m t ph ng () có ph ng trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Vi t ph ng trình m t ph ng () song song v i () và c t (S)
theo giao tuy n là đ ng tròn có chu vi b ng 6.
n
1
2
Câu VIIa (1 đi m): Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niut n c a x + 4 , bi t r ng n là
2 x
m t thi t di n có di n tích b ng
s nguyên d
ng th a mãn: 2C0n +
2 2 1 23 2
2n+1 n 6560
C n + Cn + .......... +
Cn =
2
3
n +1
n +1
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb (2 đi m):
1. Trong m t ph ng Oxy cho hai đ ng th ng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y – 7 = 0 và tam giác ABC có A(2 ; 3), tr ng
tâm là đi m G(2; 0), đi m B thu c d1 và đi m C thu c d2 . Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho tam giác ABC v i A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và m t ph ng (P):
x – y – z – 3 = 0. G i M là m t đi m thay đ i trên m t ph ng (P). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
MA 2 + MB2 + MC2 .
Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 có
nghi m th c
--33-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
4
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y = 2 x 3 có đ th là (C)
x 2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s trên.
2. Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A, B sao cho AB ng n nh t.
Câu II (2 đi m):
sin 3 x.sin3x + cos3 xcos3x
1
1. Gi i ph ng trình:
=8
tan x - tan x +
3
6
3 3
3
8x y 27 18y (1)
2. Gi i h ph ng trình: 2
2
4x y 6x y (2)
2
1
2
Câu III (1 đi m): Tính tích phân I = sin x sin x dx
6
2
Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đ u c nh a.
Tính theo a kho ng cách t B đ n m t ph ng (SAC).
Câu V (1 đi m): Cho x, y, z là các s th c d ng .Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
x
y
z
A=
x (x y)(x z) y (y x)(y z) z (z x)(z y)
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Cho ABC có B(1; 2), phân giác trong góc A có ph ng trình (): 2x + y – 1 = 0; kho ng cách t C đ n () b ng
2 l n kho ng cách t B đ n (). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung.
2. Trong không gian Oxyz cho mp (P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đ ng th ng :
x 1 2t
x 1 3 y z 2
(d1)
; (d2) y 2 t (t ) . Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng n m trong mp (P)
1
1
2
z 1 t
và c t c 2 đ ng th ng (d1), (d2).
Câu VIIa (1đi m):
T các s 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5, 6. L p đ c bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau mà nh t thi t ph i có ch s 5
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu Vb (2đi m):
1. Cho ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G (d) 3x – y –8 =0. Tìm bán kính đ ng tròn n i
ti p ABC.
2. Trong không gian Oxyz cho đ ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng: (P): 2x – 2y – z +1 = 0,
(Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và m t c u (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y +m = 0. Tìm t t c các giá tr c a m đ (S) c t (d)
t i 2 đi m MN sao cho MN = 8.
e x -y + e x + y = 2(x +1)
(x, y R )
Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph ng trình x + y
e = x - y +1
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--44-
http://www.VNMATH.com
63
B
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
(
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
5
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
2x 1
(C)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. Tìm m đ đ
ng th ng d: y = x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho OAB vuông t i O.
Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph
cos 2 x.cos x 1
21 sin x
sin x cos x
x 2 y 2 xy 3
ng trình:
x 2 1 y 2 1 4
ng trình:
2. Gi i h ph
Câu III (1 đi m): Tính tích phân:
e
2
cos x
sin x . sin 2 xdx
0
Câu IV (1đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. SA (ABCD) và SA = a. G i M, N
l n l t là trung đi m AD, SC.
1. Tính th tích t di n BDMN và kho ng cách t D đ n mp (BMN).
2. Tính góc gi a hai đ
ng th ng MN và BD
Câu V (1 đi m): Ch ng minh r ng: e x cos x 2 x
x2
, x R
2
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. L p ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A(1; 2) và c t đ ng tròn (C) có ph
x 22 y 12 25
ng trình
theo m t dây cung có đ dài b ng 8.
2. Ch ng t r ng ph ng trình x 2 y 2 z 2 2cos .x 2sin . y 4 z 4 4sin 2 0 luôn là ph ng trình c a
m t m t c u. Tìm đ bán kính m t c u là l n nh t.
Câu VIIa (1 đi m):
L p s t nhiên có 5 ch s khác nhau t các ch s {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hãy tính xác su t đ l p đ c s t
nhiên chia h t cho 5.
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb (2 đi m):
1. Cho ABC bi t: B(2; -1), đ
ph
ng cao qua A có ph
ng trình d1: 3x - 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có
ng trình d2: x + 2y - 5 = 0. Tìm to đ đi m A.
2. Trong không gian Oxyz , cho đi m A( 3 ; 4 ; 2) ; (d) x =
y z -1
và m.ph ng (P): 4x +2y + z – 1 = 0
=
2
3
a) Tìm t a đ đi m H là hình chi u vuông góc c a đi m A lên m t ph ng (P) .
b) Vi t ph
ng trình m t ph ng () ch a (d) và vuông góc v i m t ph ng (P) .
0
1
2
1004
Câu VIIb (1 đi m): Tính t ng: S C 2009
C 2009
C 2009
... C 2009
.
-----------------------------------------H t ----------------------------------------------55-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
6
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I. (2,0 đi m) Cho hàm s y x 3 3(m 1) x 2 9 x m , v i m là tham s th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho ng v i m 1 .
2. Xác đ nh m đ hàm s đã cho đ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 x 2 2 .
Câu II. (2,0 đi m)
1. Gi i ph
2. Gi i ph
sin 2 x
2 sin( x ) .
sin x cos x
2
2
ng trình: 2 log 5 (3 x 1) 1 log 3 5 (2 x 1) .
ng trình:
1
cot x
5
Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân I
1
x2 1
x 3x 1
dx .
Câu IV. (1,0 đi m) Cho hình l ng tr tam giác đ u ABC. A' B ' C ' có AB 1, CC ' m (m 0). Tìm m bi t r ng góc
gi a hai đ ng th ng AB' và BC ' b ng 60 0 .
Câu V. (1,0 đi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 y 2 z 2 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
5
A xy yz zx
.
x yz
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A. Theo ch ng trình Chu n:
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa. (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , ph ng trình các đ
th ng ch a đ ng cao và trung tuy n k t đ nh C l n l t là 2 x y 13 0 và 6 x 13 y 29 0 . Vi t ph
trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC .
ng
ng
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; 1), P (2; 3; 4) . Tìm to đ đ nh Q
bi t r ng đ nh N n m trong m t ph ng ( ) : x y z 6 0.
Câu VIIa. (1,0 đi m) Cho t p E 0,1, 2, 3, 4, 5, 6. T các ch s c a t p E l p đ
g m 4 ch s đôi m t khác nhau?
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
c bao nhiêu s t nhiên ch n
Câu VIb. (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, xét elíp ( E ) đi qua đi m M (2; 3) và có ph
trình m t đ ng chu n là x 8 0. Vi t ph ng trình chính t c c a ( E ).
ng
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho các đi m A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t ph ng
( ) : x 2 y 2 0. Tìm to đ c a đi m M bi t r ng M cách đ u các đi m A, B, C và m t ph ng ( ).
Câu VIIb. (1,0 đi m)
Khai tri n và rút g n bi u th c 1 x 2(1 x) 2 ... n(1 x) n thu đ
1
7
1
P ( x) a 0 a1 x ... a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên d ng tho mãn 2 3 .
Cn Cn n
c đa th c
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------
--66-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
7
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m).
1. Kh o sát và v đ th hàm s y = x4 – 4x2 + 3
2. Tìm m đ ph ng trình x 4 4 x 2 3 log 2 m có đúng 4 nghi m.
Câu II (2 đi m).
1. Gi i b t ph
ng trình:
x
5 1
x
5 1 2
x
3
2
0
2. Gi i ph ng trình: x 2 ( x 2) x 1 x 2
Câu III (1 đi m)
e x 1 tan( x 2 1) 1
Tính gi i h n sau: lim
3
x 1
x 1
Câu IV (1 đi m).
= . Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , BAD
đáy, hai m t bên còn l i h p v i đáy m t góc . C nh SA = a. Tính di n tích xung quanh và th tích kh i chóp
S.ABCD.
Câu V (1 đi m). Cho tam giác ABC v i các c nh là a, b, c. Ch ng minh r ng:
a 3 b3 c 3 3abc a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 )
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A. Theo ch ng trình Chu n
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa.( 2 đi m)
1.Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ
đ
ng th ng : x 2 y 3 0 và hai đi m A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên
ng th ng m t đi m M sao cho MA 3MB nh nh t.
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ
x 1 t
x t
ng th ng: d1 : y 2t
và d 2 : y 1 3t . L p ph
z 1 t
z 2 t
ng trình
đ
ng th ng đi qua M(1; 0; 1) và c t c hai đ ng th ng d1 và d2.
2
Câu VIIa. (1 đi m) Tìm s ph c z th a mãn: z 2 z 0
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VIb.(2đi m)
1.Trong m t ph ng t a đ cho hai đ ng tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t nhau t i
A(2; 3). Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có đ dài b ng nhau.
x 1 t
x t
và d 2 : y 1 3t . L p ph ng trình
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng: d1 : y 2t
z 1 t
z 2 t
m t c u có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a d1 và d2.
Câu VIIb. (1 đi m) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n z 1 2i 1 , tìm s ph c z có modun nh nh t.
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------
--77-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
8
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m):
x3
11
Cho hàm s y = + x2 + 3x 3
3
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. Tìm trên đ th (C) hai đi m phân bi t M, N đ i x ng nhau qua tr c tung
Câu II (2 đi m):
1. Gi i ph ng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
2. Gi i h ph
2
2
ng trình x 91 y 2 y (1)
y 2 91 x 2 x 2 (2)
Câu III (1 đi m):
ex dx
ln10
và tìm lim J.
bln 2
ex 2
Câu IV (1 đi m): Cho hình l ng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là m t hình thoi c nh a, góc
BAD
= 600. G i M là trung đi m AA’ và N là trung đi m c a CC’. Ch ng minh r ng b n đi m B’, M, N, D đ ng
ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA’ theo a đ t giác B’MDN là hình vuông.
1 1 1
Câu V (1 đi m) Cho x, y, z là các s d ng tho mãn 2010 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
x y z
1
1
1
P=
.
2x y z x 2 y z x y 2z
Cho s th c b ln2. Tính J =
b
3
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Ph ng trình hai c nh c a m t tam giác trong mp t a đ là 5x - 2y + 6 = 0; 4x + 7y – 21 = 0. Vi t ph ng trình
c nh th ba c a tam giác đó, bi t r ng tr c tâm c a nó trùng v i g c t a đ O.
x 1 y z 2
2. Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox đi m cách đ u đ.th ng (d) :
và mp (P): 2x – y – 2z = 0.
1
2
2
Câu VIIa(1 đi m): Cho t p h p X = 0,1,2,3,4,5,6,7 . Có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s khác
nhau đôi m t t X sao cho 1 trong 3 ch s đ u tiên ph i b ng 1.
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb(2 đi m):
1. Trong m t ph ng t a đ cho hai đ ng tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t nhau t i A(2; 3). Vi t
ph ng trình đ ng th ng đi qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có đ dài b ng nhau.
x 3t
x 2 t
2. Trong không gian Oxyz cho hai đ ng th ng: (d1): y t ; (d2) : y t .
z0
z 4
Ch ng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Vi t pt m t c u (S) có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a (d1) và (d2).
Câu VIIb (1 đi m): Gi i pt sau trong C: z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0.
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--88-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
9
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s : y x 4 4x 2 m (C)
1. Kh o sát hàm s v i m = 3.
2. Gi s đ th (C) c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t. Tìm m đ hình ph ng gi i h n b i đ th (C) và tr c hoành có
di n tích ph n phía trên và ph n phía d i tr c hoành b ng nhau.
Câu II (2 đi m):
x 2 3x 2 2x 2 3x 1 x 1
2. Gi i ph ng trình: cos3 x cos3x sin 3 x sin 3x 2
4
Câu III (1 đi m):
1. Gi i b t ph
ng trình:
2
Tính tích phân: I =
7 sin x 5cos x
(sin x cos x)
3
dx
0
Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp đ u S.ABCD có đ dài c nh đáy b ng a, m t bên t o v i m t đáy góc 60o. M t
ph ng (P) ch a AB và đi qua tr ng tâm tam giác SAC c t SC, SD l n l t t i M, N. Tính th tích hình chóp S.ABMN
theo a.
96 2
Câu V (1 đi m) Cho 4 s th c a, b, c, d tho mãn: a2 + b2 = 1;c – d = 3. Cmr: F ac bd cd
.
4
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Tìm ph ng trình chính t c c a elip (E), bi t tiêu c là 8 và (E) qua đi m M(– 15 ; 1).
x 1 2t
x y z
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng d1 : và d 2 : y t
.
1 1 2
z 1 t
Xét v trí t ng đ i c a d1 và d2. Vi t ph ng trình đ ng th ng qua O, c t d2 và vuông góc v i d1.
Câu VIIa (1 đi m):
M t h p đ ng 5 viên bi đ , 6 viên bi tr ng và 7 viên bi vàng. Ng i ta ch n ra 4 viên bi. H i có bao nhiêu cách ch n
đ trong s bi l y ra không có đ c 3 màu?
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb (2 đi m):
1.Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho Hypebol (H) có ph
ng trình:
x2 y2
1 . Vi t ph
16 9
ng trình chính t c
c a elip (E) có tiêu đi m trùng v i tiêu đi m c a (H) và ngo i ti p hình ch nh t c s c a (H).
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho P : x 2 y z 5 0 và (d ) :
x3
y 1 z 3 ,
2
đi m A( -2; 3; 4). G i là đ ng th ng n m trên (P) đi qua giao đi m c a ( d) và (P) đ ng th i vuông góc v i d
Tìm trên đi m M sao cho kho ng cách AM ng n nh t.
n
2
1
223 .
Câu VIIb (1 đi m): Tìm h s c a x trong khai tri n x 2 bi t n tho mãn: C12n C32n ... C 2n
2n
x
3
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--99-
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
10
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
2x 1
Câu I (2 đi m) Cho hàm s y
có đ th (C).
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s .
2. V i đi m M b t k thu c đ th (C) ti p tuy n t i M c t 2 ti m c n t i Avà B . G i I là giao hai ti m c n , tìm
v trí c a M đ chu vi tam giác IAB đ t giá tr nh nh t.
Câu II (2 đi m)
3sin 2x - 2sin x
1. Gi i ph ng trình:
2
sin 2 x. cos x
x 4 4x 2 y 2 6 y 9 0
ng trình : 2
.
2
2. Gi i h ph
x y x 2 y 22 0
2
Câu III (1 đi m) Tính tích phân sau: I= e sin x . sin x. cos 3 x. dx.
2
0
Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh bên b ng a , m t bên h p v i đáy góc .
Tìm đ th tích c a hình chóp đ t giá tr l n nh t.
Câu V (1 đi m) Cho 3 s d
ng x, y, z tho mãn : x +3y+5z 3 .Ch ng minh r ng:
3xy 625 z 4 4 + 15 yz x 4 4 + 5 zx 81y 4 4 45 5 xyz.
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A.Theo ch ng trình Chu n:
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa (2 đi m)
1
; 0) .
ng th ng ch a c nh AB có
2
ph ng trình x – 2y + 2 = 0 , AB = 2AD. Tìm to đ các đ nh A, B, C, D, bi t A có hoành đ âm .
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng (d1 ) và (d 2 ) có ph ng trình .
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I(
(d1 );
L p ph
x 1 y 1 z - 2
;
2
3
1
x - 4 y 1 z 3
6
9
3
ng trình m t ph ng ch a (d 1 ) và (d 2 ) .
Câu VIIa (1 đi m) Tìm m đ ph
B.Theo ch
(d 2 ) :
ng trình 10 x 2 8 x 4 m(2 x 1). x 2 1 .có 2 nghi m phân bi t
ng trình Nâng cao
Câu VIb (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hình vuông ABCD bi t M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2)
l n l t thu c c nh AB, BC, CD, AD. Hãy l p ph ng trình các c nh c a hình vuông.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng ( ) và ( ' ) có ph ng trình .
x -2 2 t'
x 3 t
'
Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a ( ) và ( ' )
: y -1 2t
; : y 2 t'
z 2 4t'
z 4
Câu VIIb (1 đi m) Gi i và bi n lu n ph ng trình : mx 1 ( m 2 x 2 2mx 2) x 3 3x 2 4 x 2.
--1010 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
11
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
2x 3
Câu I: (2 đi m) Cho hàm s y
x 2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. Cho M là đi m b t kì trên (C). Ti p tuy n c a (C) t i M c t các đ ng ti m c n c a (C) t i A và B. G i I là giao
đi m c a các đ ng ti m c n.Tìm đi m M sao cho đ ng tròn ngo i ti p ∆ IAB có di n tích nh nh t.
Câu II (2 đi m)
x
x
x
1. Gi i ph ng trình : 1 sin sin x cos sin 2 x 2 cos 2
2
2
4 2
2. Gi i b t ph
ng trình : log 2 (4 x 2 4 x 1) 2 x 2 ( x 2) log 1 1 x
2
2
ln x
Câu III (1 đi m) Tính tích phân I
3 x 2 ln x dx
1 x 1 ln x
Câu IV (1 đi m)
e
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
ng tho mãn : a + b + c = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
Câu V (1 đi m) Cho a, b, c là ba s d
P
1
3
a 3b
3
1
b 3c
3
a
SAC
300 . Tính th tích kh i chóp S.ABC.
. SA a 3 , SAB
2
4
1
c 3a
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A.Theo ch ng trình Chu n
Câu VIa (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đi m A(-1;1) và B(3;3), đ ng th ng (D): 3x – 4y + 8 = 0.
L p ph ng trình đ ng tròn qua A, B và ti p xúc v i đ ng th ng(D).
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho hai đi m A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp (P) có pt: 3x 8y 7z 1 0 .
Vi t pt chính t c đ ng th ng d n m trên mp (P) và d vuông góc v i AB t i giao đi m c a đ ng th ng AB và (P).
Câu VIIa (1 đi m)
Tìm s nguyên d ng n bi t: 2C22n1 3.2.2C23n1 .... (1)k k(k 1)2k2 C2kn1 .... 2n(2n 1)22n1 C22nn11 40200
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VIb (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho cho hai đ
ng th ng d1 : 2 x y 5 0 . d2: 3x + 6y – 7 = 0. L p
ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m P( 2; -1) sao cho đ ng th ng đó c t hai đ ng th ng d1 và d2 t o ra m t tam
giác cân có đ nh là giao đi m c a hai đ ng th ng d1, d2.
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho 4 đi m A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và m t ph ng
(P) có ph ng trình: x y z 2 0 . G i A’là hình chiêú c a A lên m t ph ng Oxy. G i ( S) là m t c u đi qua 4
đi m A’, B, C, D. Xác đ nh to đ tâm và bán kính c a đ
Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph
2
ng trình
3 x 1
ng tròn (C) là giao c a (P) và (S).
2 y 2 3.2 y 3 x
3 x 2 1 xy x 1
--1111 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
12
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
2x 1
có đ th là (C)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y
x2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s
2. Ch ng minh đ ng th ng d: y = -x + m luôn luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B. Tìm m đ đo n AB có
đ dài nh nh t.
Câu II (2 đi m):
1. Gi i ph ng trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
2. Gi i b t ph ng trình:
Câu III (1 đi m):
Tìm nguyên hàm I
log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 4 x 2 3)
dx
sin x. cos 5 x
3
Câu IV (1 đi m):
Cho l ng tr tam giác ABC.A1B1C1 có t t c các c nh b ng a, góc t o b i c nh bên và m t ph ng đáy b ng 300.
Hình chi u H c a đi m A trên m t ph ng (A1B1C1) thu c đ ng th ng B1C1. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng
AA1 và B1C1 theo a.
Câu V (1 đi m)
Xét ba s th c không âm a, b, c th a mãn a2010 + b2010 + c2010 = 3. Tìm GTLN c a bi u th c P = a4 + b4 + c4.
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn (C) có ph ng trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đ ng th ng
d: x + y + m = 0. Tìm m đ trên đ ng th ng d có duy nh t m t đi m A mà t đó k đ c hai ti p tuy n AB, AC t i
đ ng tròn (C) (B, C là hai ti p đi m) sao cho tam giác ABC vuông.
x 1 2t
2. Trong h t a đ Oxyz cho đi m A(10; 2; -1) và đ ng th ng d có ph ng trình y t
. L p pt m t ph ng (P) đi
z 1 3t
qua A, song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t.
Câu VIIa(1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s khác nhau và khác 0 mà trong m i s luôn luôn có m t hai
ch s ch n và hai ch s l .
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb(2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đ ng th ng d có ph ng trình
x + y + m = 0. Tìm m đ trên đ ng th ng d có duy nh t m t đi m A mà t đó k đ c hai ti p tuy n AB, AC t i
đ ng tròn (C) (B, C là hai ti p đi m) sao cho tam giác ABC vuông.
x 1 y z 1
. L p ph ng
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m A(10; 2; -1) và đ ng th ng d :
2
1
3
trình m t ph ng (P) đi qua A, song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t.
Câu VIIb (1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau mà trong m i s luôn luôn có m t hai ch s
ch n và ba ch s l .
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1212 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
13
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m):
Cho hàm s y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m là tham s th c
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.
2. Xác đ nh các giá tr m đ hàm s (1) ngh ch bi n trên m t kho ng có đ dài b ng 2.
Câu II (2 đi m):
x
ng trình: 3x 2 2 x1 6
2. Gi i ph ng trình: tan x tan x .sin 3 x s inx + sin2x
6
3
Câu III (1 đi m):
2
1. Gi i ph
2
Tính tích phân
0
s inxdx
sinx +
3cosx
3
Câu IV (1 đi m):
600 , BSC
900 , CSA
1200 .
Tính th tích hình chóp S.ABC bi t SA = a,SB = b, SC = c, ASB
Câu V (1 đi m):
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P =
log 22 x 1 log 22 y 1 log 22 z 4 trong đó x, y, z là các s d
ng tho
mãn đi u ki n xyz = 8.
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong mp v i h tr c to đ Oxy cho hai đ ng th ng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0. L p ph ng trình
đ ng th ng (d) đi qua M(1;-1) c t (d1) và (d2) t ng ng t i A và B sao cho 2MA MB 0 .
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho m t ph ng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai đi m A(1;7;-1),
B(4;2;0). L p ph ng trình đ ng th ng (D) là hình chi u vuông góc c a đ ng th ng AB trên (P).
Câu VIIa(1 đi m): Ký hi u x1 và x2 là hai nghi m ph c c a ph ng trình 2x2 – 2x + 1 = 0. Tính giá tr các s ph c:
1
1
và 2 .
2
x1
x2
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb(2 đi m):
x2 y2
1 . Gi s (d) là m t ti p
1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy, cho hypebol (H) có ph ng trình
9
4
tuy n thay đ i và F là m t trong hai tiêu đi m c a (H), k FM (D). Ch ng minh r ng M luôn n m trên m t đ ng
tròn c đ nh, vi t ph ng trình đ ng tròn đó.
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz, cho ba đi m A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm t a đ tr c tâm c a
tam giác ABC.
Câu VIIb (1 đi m):
Ng i ta s d ng 5 cu n sách Toán, 6 cu n V t lý, 7 cu n Hoá h c (các cu n sách cùng lo i gi ng nhau) đ làm gi i
th ng cho 9 h c sinh, m i h c sinh đ c 2 cu n sách khác lo i. Trong 9 h c sinh trên có hai b n Ng c và Th o.
Tìm sác xu t đ hai b n Ng c và Th o có ph n th ng gi ng nhau.
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1313 -
http://www.VNMATH.com
63
B
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
(
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
14
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 3 2mx 2 (m 3) x 4 có đ th là (Cm)
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C1) c a hàm s trên khi m = 1.
2. Cho (d) là đ ng th ng có ph ng trình y = x + 4 và đi m K(1; 3). Tìm các giá tr c a tham s m sao cho (d)
c t (Cm) t i ba đi m phân bi t A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có di n tích b ng 8 2 .
Câu II (2 đi m):
1. Gi i ph ng trình: cos 2 x 5 2(2 - cos x )(sin x - cos x )
log 2 x 1 log 3 x 1
ng trình :
0
x 2 3x 4
2
2. Gi i b t ph
Câu III (1 đi m):
Tính tích phân I =
4
sin 6 x cos 6 x
4
6x 1
3
dx
Câu IV (1 đi m):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , tâm O . Hai m t bên SAB và SAD cùng vuông góc v i
m t ph ng đáy và SA = 2a . G i H , K l n l t là hình chi u c a A lên SB ,SD . Tính th tích kh i chóp OAHK.
Câu V (1 đi m): Cho ba s th c d
ng a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng:
4 a3
4b3
4c 3
3
(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b)
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A.Theo ch ng trình Chu n:
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ba đi m I(2; 4) ; B(1;1) ; C(5;5) . Tìm đi m A sao cho I là tâm đ ng
tròn n i ti p ABC.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho ba đi m A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và m t ph ng
(P): x + y + z - 2 = 0. Vi t ph ng trình m t c u đi qua ba đi m A, B, C và có tâm thu c m t ph ng (P)
Câu VIIa (1 đi m): Gi i ph
B.Theo ch
ng trình: x 4 x 2 2 3x 4 x 2
ng trình Nâng cao
Câu VIb (2 đi m):
1.Trong m t ph ng Oxy , cho hình thang ABCD có AB //CD và A( 10;5) ; B(15;-5 ) ; D (-20;0 ) Tìm to đ C
2. Trong không gian Oxyz cho đ
x t
ng th ng ( ): y 1 2t ( t R ) và m t ph ng (P): 2x – y - 2z – 2 = 0
z 2 t
Vi t ph ng trình m t c u(S) có tâm I và kho ng cách t I đ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P) theo giao
tuy n đ ng tròn (C) có bán kính r = 3
Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình sau có nghi m th c:
2
2
91 1 x (m 2)31 1 x 2 m 1 0
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------1414 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
15
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m)
x3
Cho hàm s y =
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. Cho đi m Mo(xo;yo) thu c đ th (C). Ti p tuy n c a (C) t i Mo c t các ti m c n c a (C) t i các đi m A và B.
Ch ng minh Mo là trung đi m c a đo n th ng AB.
Câu II (2 đi m)
1. Gi i ph ng trình: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0
2. Gi i ph
ng trình: x + 2 7 x = 2 x 1 +
x 2 8x 7 1 ( x R)
2
Câu III (1 đi m) Tính tích phân: I ( x 2) ln xdx
Câu IV (1 đi m)
Cho hình l p ph
1
2
a. M t ph ng ()
3
ng thành hai kh i đa di n. Tính th tích c a hai kh i đa di n đó.
ng ABCD. A'B'C'D' có c nh b ng a và đi m K thu c c nh CC' sao cho CK =
đi qua A, K và song song BD chia kh i l p ph
Câu V (1 đi m)
Cho a, b, c là ba s d ng. Ch ng minh r ng
a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 9
2
2abc
c ab a 2 bc b 2 ac 2
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa. (2 đi m)
1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, l p ph ng trình chính t c c a elip (E) có đ dài tr c l n b ng 4 2 , các
đ nh trên tr c nh và các tiêu đi m c a (E) cùng n m trên m t đ ng tròn.
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3).
a) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua O và vuông góc v i m t ph ng (ABC).
b) Vi t ph ng trình (P) ch a OA, sao cho kho ng cách t B đ n (P) b ng kho ng cách t C đ n (P).
Câu VIIa. (1 đi m)
1
Gi i ph ng trình : 2(log2x + 1)log4x + log2 = 0
4
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb. (2 đi m)
1. Trong m t ph ng t a đ (Oxy), cho đ ng th ng d : 2 x y 4 0 . L p ph ng trình đ ng tròn ti p xúc v i
các tr c t a đ và có tâm trên đ ng th ng (d).
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho : x y 2 z 5 0 và m t c u (S) ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 2) 2 25
a) L p ph
ng trình ti p di n c a m t c u song song v i Ox và vuông góc v i
ng trình m t ph ng đi qua hai A(1;– 4;4) đi m B(3; – 5; – 1) và h p v i m t góc 600
Câu VIIb. (1 đi m)
T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà m i s l p đ
đ u nh h n 25000?
-----------------------------------------H t -------------------------------------------b) L p ph
--1515 -
http://www.VNMATH.com
c
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
16
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I: (2 đi m):
x
Cho hàm s y
(C)
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) , bi t r ng kho ng cách t tâm đ i x ng c a (C) đ n ti p tuy n
là l n nh t.
Câu II: (2 đi m):
1
1. Gi i ph ng trình: cos3x cos2x cosx
2
x4 x4
2. Gi i b t ph ng trình :
x x 2 16 3
2
e
2
Câu III: (1 đi m): Tính tích phân: I x ln xdx .
x
1
Câu IV: (1 đi m): Cho hình chóp l c giác đ u S.ABCDEF v i SA = a, AB = b. Tính th tích c a hình chóp đó và
kho ng cách gi a các đ ng th ng SA, BE.
Câu V: (1 đi m): Cho x, y là các s th c thõa mãn đi u ki n: x 2 xy y 2 3.
Ch ng minh r ng : (4 3 3) x 2 xy 3y 2 4 3 3.
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ
A.Theo ch ng trình Chu n:
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
Câu VIa: (2 đi m):
1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC v i B(2; -7), ph ng trình đ ng cao AA’: 3x + y + 11 = 0 ;
ph ng trình trung tuy n CM : x + 2y + 7 = 0 . Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng AB và AC
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và đi m A(4;0;0), B(0; 4; 0). G i I là trung
đi m c a đo n th ng AB.
a) Tìm t a đ giao đi m E c a đ ng th ng AB v i m t ph ng (P).
b) Xác đ nh t a đ đi m K sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (P) đ ng th i K cách đ u g c t a đ O và m t
ph ng (P).
3log x 3 2 log x 2
Câu VIIa: (1 đi m): Gi i b t ph ng trình:
3
log x 3 log x 2
B.Theo ch
ng trình Nâng cao
Câu VIb: (2 đi m):
1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(1 ; 4 ) và c t hai tia Ox,Oy t i hai đi m A,B sao cho đ dài
OA + OB đ t giá tr nh nh t.
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho A(-1 ; 0 ; 2) ; B( 3 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 1 ; 1) và đ ng th ng (d) là giao
tuy n c a hai m t ph ng (P) : 3x –z + 5 = 0 ; (Q) : 4x + y – 2z + 1 = 0
a) Vi t ph ng trình tham s c a (d) và ph ng trình m t ph ng ( ) qua A ; B; C .
b) Tìm giao đi m H c a (d) và ( ) . Ch ng minh H là tr c tâm c a tam giác ABC .
Câu VIIb: (1 đi m):
Cho t p A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau ch n trong A sao cho s đó chia
h t cho 15.
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1616 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
17
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m): G i (Cm) là đ th c a hàm s y x3 (2m 1) x 2 m 1 (1) m là tham s
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.
2.Tìm đ đ th (Cm) ti p xúc v i đ ng th ng y 2mx m 1
Câu II (2 đi m):
1. Tìm nghi m x 0; c a ph ng trình: (1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) (1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) sin x 2
2
x 2 2 x y 2 3 y 5
.
2. Gi i h ph ng trình:
x 2 2 x y 2 3 y 2
Câu III (1 đi m):
4
sin 4x
Tính tích phân I
dx .
cos x. tan 4 x 1
Câu IV (1 đi m): Cho kh i l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và đ nh A’ cách đ u
các đ nh A, B, C. C nh bên AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích c a kh i l ng tr theo a.
Câu V (1 đi m) Cho 4 s th c x, y, z, t 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2
0
1
1
1
1
P (xyzt 1) 4
4
4
4
x 1 y 1 z 1 t 1
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho D ABC có c nh AC đi qua đi m M(0;– 1). Bi t AB = 2AM, pt đ
phân giác trong (AD): x – y = 0, đ ng cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a D ABC .
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho 4 đi m A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(-1;-3;1).
Ch ng t A,B,C,D là 4 đ nh c a m t t di n và tìm tr c tâm c a tam giác ABC.
Câu VIIa (1 đi m):
Cho t p h p X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. T các ch s c a t p X có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s
khác nhau và ph i có m t ch s 1 và 2.
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb(2 đi m):
1. Vi t ph
ng trình đ
ng th ng (d) qua A(1 ; 2) và t o v i đ
ng th ng (D):
x +3
1
=
y-5
2
ng
m t góc 450 .
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đ ng th ng d là giao tuy n c a 2 mp: (P) : x - my + z - m = 0 và
Q) : mx + y - mz -1 = 0, m là tham s .
a) L p ph ng trình hình chi u c a (d) lên m t ph ng Oxy.
b) Ch ng minh r ng khi m thay đ i, đ ng th ng luôn ti p xúc v i m t đ ng tròn c đ nh trong m t ph ng
Oxy.
Câu VIIb (1 đi m):
Gi i ph ng trình sau trên t p C : (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1717 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
18
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m):
2x 4
.
1. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s y =
x 1
2. Tìm trên (C) hai đi m đ i x ng nhau qua đ ng th ng MN bi t M(- 3;0) và N(- 1; - 1).
Câu II (2 đi m):
1
3x
7
=
1. Gi i ph ng trình: 4cos4x – cos2x cos4x + cos
2
4
2
x
x
2. Gi i ph ng trình: 3 .2x = 3 + 2x + 1
Câu III (1 đi m):
2
1 s inx x
Tính tích phân: K =
e dx
1+cosx
0
Câu IV (1 đi m)
Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC đ dài c nh bên b ng 1. Các m t bên h p v i m t ph ng đáy m t góc .
Tính th tích hình c u n i ti p hình chóp S.ABC.
52
Câu V (1 đi m) G i a, b, c là ba c nh c a m t tam giác có chu vi b ng 2. CMR:
a 2 b 2 c 2 2abc 2
27
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho elip (E) : x2 + 4y2 = 16
a)
ng th ng d qua tiêu đi m trái , vuông góc v i tr c l n , c t (E) t i M và N . Tính đ dài MN
b) Cmr : OM2 + MF1.MF2 luôn là h ng s v i M tùy ý trên (E)
x2 y z4
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đ ng th ng (d):
và hai đi m A(1;2; - 1), B(7;3
2
2
2;3). Tìm trên (d) nh ng đi m M sao cho kho ng cách t đó đ n A và B là nh nh t.
Câu VIIa(1 đi m)
Tính giá tr bi u th c sau : M = 1 + i + i2 + i3 + …………….. + i2010
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb(2 đi m):
1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua A(- 4 ; 6 ) và t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích là 6
x2 y 2 z 3
2. Trong không gian Oxyz , cho đi m A(1 ; 2 ; 3) và hai đ ng th ng :(d1) :
2
1
1
x 1 y 1 z 1
và (d2) :
2
1
1
a) Tìm to đ đi m A’ đ i x ng đi m A qua đ ng th ng (d1) .
b) Ch ng t (d1) và (d2) chéo nhau . Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a (d1) và (d2) .
x x 8 y x y y
Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph ng trình:
x y 5
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1818 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
19
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 4 mx 3 2x 2 3mx 1 (1) .
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1) khi m = 0.
2. nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u.
Câu II (2 đi m):
23 2
8
1. Gi i ph
ng trình: cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =
2. Gi i ph
ng trình: 2x +1 + x x 2 2 x 1 x 2 2x 3 0
Câu III (2 đi m):
2
Tính tích phân: I x 1 sin 2xdx .
0
Câu IV (1 đi m)
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 2 . áy là tam giác ABC cân BAC
1200 , c nh BC = 2a. G i
M là trung đi m c a SA, tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC).
Câu V (1 đi m)
Cho x, y, z là các s th c d
ng tho mãn: x + y + z = xyz.Tìm GTNN c a A
xy
yz
zx
.
z (1 xy ) x(1 yz ) y (1 zx)
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M (–2 ; 5) và hai đ ng th ng (d1) : 4x – 2y –1 = 0 ;
x = -2 + 3t
(d2) :
y = t
a) Tính góc gi a (d1) và (d2) .
b) Tìm đi m N trên (d2) cách đi m M m t kho ng là 5
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho 3 đi m A(3;1;1), B(0;1;4), C(-1;-3;1). L p ph ng trình c a
m t c u (S) đi qua A, B, C và có tâm n m trên m t ph ng (P): x +y – 2z + 4 = 0.
2010
2008
2006
Câu VIIa(1 đi m): Ch ng minh 3 1 i 4i 1 i 4 1 i
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VIb (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC v i C(2; 3) , ph ng trình đ ng th ng (AB): 3x – 4 y + 1 = 0
ph ng trình trung tuy n (AM) : 2x – 3y + 2 = 0 . Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng AC và BC.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho các đi m A(-1; -1; 0), B(1; -1; 2), C(2; -2; 1), D(-1; 1; 1).
a) Vi t ph ng trình c a m t ph ng ch a AB và song song v i CD. Tính góc gi a AB, CD.
b) Gi s m t ph ng ( ) đi qua D và c t ba tr c t a đ t i các đi m M, N, P khác g c O sao cho D là tr c tâm c a
tam giác MNP. Hãy vi t ph ng trình c a ( ).
Câu VIIb(1 đi m): Gi i ph ng trình: 4 x 2 x 1 2 2 x 1 sin 2 x y 1 2 0 .
-----------------------------------------H t --------------------------------------------
--1919 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
20
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m)
Cho hàm s y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham s ) (1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 2
2. Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) có đi m c c đ i, đi m c c ti u, đ ng th i hoành đ c a đi m c c
ti u nh h n 1.
Câu II (2 đi m)
1. Gi i ph ng trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0
( x y)( x 2 y 2 ) 13
2. Gi i h ph ng trình:
(x, y )
( x y)( x 2 y 2 ) 25
Câu III (1 đi m) Tính tích phân: I
e
x
1
3 2 ln x
1 2 ln x
dx
Câu IV (1 đi m)
Cho l ng tr ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đ u c nh đáy AB = a, c nh bên AA' = b. G i là góc gi a
hai mp (ABC) và (A'BC). Tính tan và th tích c a kh i chóp A'.BB'C'C
Câu V (1 đi m)
Cho hai s d ng x, y thay đ i th a mãn đi u ki n x + y 4. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
3x 2 4 2 y 3
A=
4x
y2
II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A.Theo ch ng trình Chu n
Câu VIa. (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(2;1), đ ng cao qua đ nh B có ph ng trình
là x – 3y – 7 = 0 và đ ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng trình là x + y + 1 = 0. Xác đ nh t a đ các đ nh B
và C c a tam giác.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m G(1 ; 1 ; 1) .
a) Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) qua G và vuông góc v i đ ng th ng OG .
b) ( ) c t Ox, Oy ,Oz t i A, B,C . Ch ng minh tam giác ABC đ u và G là tr c tâm tam giác ABC.
Câu VIIa. (1 đi m)
Cho hai đ ng th ng song song d1 và d2. Trên đ ng th ng d1 có 10 đi m phân bi t, trên đ ng th ng d2 có n đi m
phân bi t (n 2). Bi t r ng có 2800 tam giác có đ nh là các đi m đã cho. Tìm n.
B.Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VIb. (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho (E): 9x2 + 16y2 = 144
Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M(2 ; 1) và c t elip (E) t i A và B sao cho M là trung đi m c a AB
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và các đi m A(0; 0; 4), B(2; 0; 0)
a)Vi t ph ng trình hình chi u vuông góc c a đ ng th ng AB trên m t ph ng (P)
b)Vi t ph ng trình m t c u đi qua O, A, B và ti p xúc v i m t ph ng (P).
Câu VIIb. (1 đi m)
Tìm các giá tr x trong khai tri n nh th c Newton
2lg(103 ) 5 2(x 2)lg3
x
n
bi t r ng s h ng th 6 c a khai tri n
b ng 21 và C1n C3n 2C2n .
-----------------------------------------H t ---------------------------------------------2020 -
http://www.VNMATH.com
63
B
(
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
THAM KH O)
ÔN THI
I H C MÔN TOÁN –
Th i gian làm bài: 180 phút
21
.
I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m):
1
Cho hàm s y = x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đ th (Cm) )
3
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s khi m = 2.
2. Tìm m, đ hàm s (Cm) có c c đ i, c c ti u và yC + yCT > 2 .
Câu II (2 đi m):
ng trình: 15.2 x 1 1 2 x 1 2 x 1
1. Gi i b t ph
2. Tìm m đ ph
ng trình: 4(log 2 x )2 log 0,5 x m 0 có nghi m thu c (0, 1).
Câu III (2 đi m):Tính tích phân: I =
3
dx
x 1 x .
6
2
1
Câu IV (1 đi m):
Tính th tích c a hình chóp S.ABC, bi t đáy ABC là m t tam giác đ u c nh a, m t bên (SAB) vuông góc v i đáy, hai
m t bên còn l i cùng t o v i đáy góc .
cos x
v i0 0 và a b c 1 nên a, b, c 0;1
2
2
2
2
a 5 2a 3 a a a 1
a3 a
Ta có:
2
2
2
b c
1 a
2
0,25
B T thành: a 3 a b3 b c 3 c
Xét hàm s
f x x 3 x, x 0;1
Ta có: Max f x =
0;1
2 3
3
2 3
9
0,25
0,25
2 3
đpcm
3
1
ng th c x y ra a b c
3
f a f b f c
VI.a
0,25
1
1,0
9 3
I ; , M 3; 0
2 3
0,25
Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2
S ABCD AB. AD 12 AD 2 2
AD qua M và vuông góc v i d1 AD: x + y – 3 = 0
L i có MA = MB = 2
x y 3 0
x 2
x 4
ho c
T a đ A, D là nghi m c a h :
2
2
y 1
y 1
x 3 y 2
Ch n A(2 ; 1) D 4; 1 C 7; 2 và B 5; 4
2
0,25
0,25
0,25
G i H là trung đi m đo n AB HA 8
IH2 = 17
IA2 = 81 R 9
1,0
0,25
0,25
0,25
C : x 1 y 1 z 1
0,25
2
2
2
81
VII.a
1,0
-42-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2 2 1 23 2
2n 1 n
n
Cn 1 x dx
2C Cn Cn ...
n 1
2
3
0
2
0
n
0,25
3n 1 1 6560
3n 1 6561 n 7
n 1
n 1
0,25
7
1
1 k 14 43k
x
C7 x
k
24 x
0 2
14 3k
S h ng ch a x2 ng v i k th a:
2k 7
4
21
V y h s c n tìm là:
4
7
VI.b
1
0,25
0,25
1,0
0,25
G i A(-4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0
G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D h p v i AC m t góc 450 a = 3, b = -4 ho c a = 4, b = 3
AB: 3x 4 y 32 0; AD : 4 x 3 y 1 0
0,25
1 9
2 2
BC : 4 x 3 y 24 0; CD : 3 x 4 y 7 0
G i I là tâm hình vuông I( ; ) C 3; 4
0,25
KL:
2
Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P)
B’(-1; -3; 4)
MA MB MA MB ' AB '
ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng M là giao đi m c a (P) và AB’
x 1 t
AB’: y 3
z 2t
0,25
0,25
0,25
M(-2; -3; 6)
VII.b
0,25
1,0
k: x 0, y > 0
1
2
2 log 3 x log 3 y 0
log 3 x log 3 y
3
2
x 3 y 2 my 0
x y ay 0
0,25
1,0
0,25
y x
y x , 1
3
2
2
y y a, 2
y y ay 0
H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0
Ta có : f(y) = y 2 y >0 , y > 0
Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0
V y h có nghi m khi a > 0
-43-
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
B
thi th
i h c 2011
GIÁO D C VÀ ÀO T O
K THI TUY N SINH
NG N M 2011
Môn: Toán. Kh i A, B.
thi th l n 1
Câu I. (2 đi m).
I H C, CAO
Th i gian làm bài: 180 phút (Không k th i gian giao đ )
y
Cho hàm s
2x 1
x 1
(1).
1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s (1).
2) Tìm đi m M thu c đ th (C) đ ti p tuy n c a (C) t i M v i đ
M và giao đi m hai đ ng ti m c n có tích h s góc b ng - 9.
ng th ng đi qua
Câu II. (2 đi m)
1) Gi i ph
2) Gi i ph
1
x
ng trình sau:
ng trình l
1
2 x2
sin 4 2 x c os 4 2 x
ng giác:
tan(
Câu III. (1 đi m) Tính gi i h n sau:
L lim
2.
4
x ). tan(
4
x)
c os 4 4 x .
3
ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2
x2
x 0
Câu IV. (2 đi m)
Cho hình nón đ nh S có đ dài đ ng sinh là l, bán kính đ ng tròn đáy là r. G i I
là tâm m t c u n i ti p hình nón (m t c u bên trong hình nón, ti p xúc v i t t c các
đ ng sinh và đ ng tròn đáy c a nón g i là m t c u n i ti p hình nón).
1. Tính theo r, l di n tích m t c u tâm I;
2. Gi s đ dài đ ng sinh c a nón không đ i. V i đi u ki n nào c a bán kính
đáy thì di n tích m t c u tâm I đ t giá tr l n nh t?
Câu V (1 đi m) Cho các s th c x, y, z th a mãn: x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
1
2
Câu VI. (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I ( ; 0)
ng th ng AB có ph ng trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành đ đi m A âm.
Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t đó.
Câu VII. (1 đi m) Gi i h ph
ng trình :
2
2
x 2 2010
2009 y x
y 2 2010
3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1
--------------- H T --------------- Thí sinh không đ c s d ng b t c tài li u gì!
- Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
H và tên thí sinh: ……….………………………………….……. S báo danh: ………………...
Ghi chú:
-44-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
H
CÂU
I.1
NG D N
N I DUNG
I M
2x 1
3
2
x 1
x 1
+) Gi i h n, ti m c n: lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y
Hàm s : y
x
x ( 1)
x
x ( 1)
- TC đ ng: x = -1; TCN: y = 2.
3
0, x D
+) y '
2
x 1
+) BBT:
-
x
y'
y
+
-1
||
+
+
2
||
2
1 đi m
+) T:
8
6
4
2
-10
-5
10
5
-2
-4
-6
I.2
+) Ta có I(- 1; 2). G i M (C ) M ( x0 ; 2
y yI
3
3
) k IM M
x0 1
xM xI ( x0 1) 2
+) H s góc c a ti p tuy n t i M: k M y '( x0 )
II.1
x0 1
1 đi m
2
+) ycbt kM .kIM 9
+) Gi i đ c x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 đi m M th a mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
+) K: x ( 2; 2) \ {0}
+)
t y
x y 2 xy
2 x 2 , y 0 Ta có h : 2
2
x y 2
+) Gi i h đx ta đ
1 3
1 3
x
x
2
2
;
c x = y = 1 và
1 3
1 3
y
y
2
2
+) K t h p đi u ki n ta đ
II.2
3
+) K: x
4
k
2
c: x = 1 và x
1 đi m
1 3
2
,k Z
) tan( x) tan( x) tan( x) cot( x) 1
4
4
4
4
1
1 1
sin 4 2 x cos 4 2 x 1 sin 2 4 x cos 2 4 x
2
2 2
4
2
pt 2 cos 4 x cos 4 x 1 0
-45-
1 đi m
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
+) Gi i pt đ
c cos24x = 1 cos8x = 1 x k
+) K t h p K ta đ
III
L lim
c nghi m c a ph
3
ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2
x2
x 0
lim
4
và cos24x = -1/2 (VN)
ng trình là x k
2
,k Z
3
ln(1 1 c os2 x ) 1 1 x 2
x2
x 0
3
2
2
2
ln(1 2 sin 2 x ) 1 1 x
ln(1 2 sin 2 x )
1
lim
lim
x 0
2
2
2
3
2
2
2
3
x0
x
(1 x ) 1 x 1
x
x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
1 5
2
3 3
IV.1
+) G i rC là bán kính m t c u n i ti p nón, và c ng là bán
kính đ ng tròn n i ti p tam giác SAB.
S SAB prC (l r ).rC
Ta có:
rC
IV.2
+)
S
1
SM . AB
2
l
1 đi m
l 2 r 2 .2r
lr
r
lr
2(l r )
2
2
+) S c u = 4 r C 4 r
1 đi m
I
l r
lr
A
M
r
B
t:
y (r )
lr 2 r 3
,0 r l
lr
5 1
r
l
2r (r rl l )
2
0
) y '(r )
(l r ) 2
5 1
l
r
2
2
2
+) BBT:
r
0
y'(r)
y(r)
5 1
l
2
y max
+) Ta có max S c u đ t y(r) đ t max r
V
l
1 đi m
5 1
l
2
+) Ta có
P ( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx)
x2 y 2 z 2 ( x y z)2
P ( x y z) x2 y 2 z 2
2
( x y z )2
2 ( x y z )2
P ( x y z) 2
( x y z ) 3
2
2
+)
t x +y + z = t, t 6( Bunhia cov xki) , ta đ
1 đi m
1
2
3
c: P (t ) 3t t
+) P '(t ) 0 t 2 , P( 6 ) = 0; P( 2) 2 2 ; P( 2) 2 2
+) KL: MaxP 2 2; MinP 2 2
-46-
http://www.VNMATH.com
63
VI
thi th
i h c 2011
+) d ( I , AB)
+) PT đ
5
AD =
2
5
AB = 2
5
BD = 5.
ng tròn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) T a đ A, B là nghi m c a h
x 2
1 2
25
2
y2
A(2; 0), B(2; 2)
: ( x 2 ) y 4
x 2
x 2 y 2 0
y 0
C (3;0), D(1; 2)
VII
2
y 2 x 2 x 2010 (1)
2009
y 2 2010
3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1(2)
+) K: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) L y loga c s 2009 và đ a v pt:
x 2 log 2009 ( x 2 2010) y 2 log 2009 ( y 2 2010)
+) Xét và CM HS f (t ) t log 2009 (t 2010), t 0 đ ng bi n,
t đó suy ra x2 = y2 x= y, x = - y
+) V i x = y th vào (2) và đ a v pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t
t
t
1 8
a pt v d ng 9 9 1 , cm pt này có nghi m duy nh t t = 1
x = y =7
+) V i x = - y th vào (2) đ
c pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3
Ghi chú:
- Các cách gi i khác v i cách gi i trong đáp án mà v n đúng, đ thì c ng cho
đi m t i đa.
- Ng i ch m có th chia nh thang đi m theo g i ý các b c gi i.
-47-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Ð THI thö
I H C lÇn ii
N M häc: 2010-2011
Môn thi : TOÁN
lμm bμi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I:(2 đi m) Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đ th là (C m ); ( m là tham s )
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 3.
2. Xác đ nh m đ (C m ) c t đ ng th ng: y = 1 t i ba đi m phân bi t C(0;1), D, E
sao cho các ti p tuy n c a (C m ) t i D và E vuông góc v i nhau.
Câu II:(2 đi m)
1. Gi i h
ph
x 2 y xy 0
x 1 2 y 1 1
ng trình:
2. T×m x (0; ) tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: cotx – 1 =
cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x .
1 tan x
2
Câu III: (2 đi m)
1. Trên c nh AD c a hình vuông ABCD có đ dài là a, l y đi m M sao cho AM = x (0 < x a).
Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) t i A, l y đi m S sao cho SA = 2a.
a) Tính kho ng cách t đi m M đ n m t ph ng (SAC).
b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt
2. Tính tích phân: I =
4
0
( x sin 2 2 x) cos 2 xdx .
Câu IV: (1 đi m) : Cho c¸c sè thùc d−¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
a b2 b c2 c a2
Ch ng minh r ng :
2.
bc
ca
ab
PH N RIÊNG (3 đi m) (
A. Theo ch ng trình chu n
Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®−îc chän bμi lμm ë mét phÇn)
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng
träng t©m thuéc ®−êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4)
vμ ®−êng th¼ng :
x 1 y 2 z
.T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn
1
2
1
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( 2
3) x
2
2 x 1
(2
3) x
2
2 x 1
3
vμ
2
sao cho: MA2 MB2 28
4
2 3
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đ
ng tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thu c tr c tung sao cho
qua M k đ c hai ti p tuy n c a (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600.
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ ng th ng d víi
d:
x 1 y 1 z
.Vi t ph
2
1
1
c t và vuông góc v i đ
ng trình chính t c c a đ
ng th ng đi qua đi m M,
ng th ng d vμ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
4 log 3 xy 2 ( xy ) log 3 2
Câu VIb: Gi i h ph ng trình
2
2
log 4 ( x y ) 1 log 4 2 x log 4 ( x 3 y )
………………… …..………………..H t…………………………………….
(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
-48-
http://www.VNMATH.com
63
C©u
thi th
i h c 2011
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n
Néi Dung
ý
§iÓm
2
1
I
1
Kh¶o s¸t hμm sè (1 ®iÓm)
y = x3 + 3x2 + mx + 1
(C m )
3
2
1. m = 3 : y = x + 3x + 3x + 1 (C 3 )
+ TXÑ: D = R
+ Gi i h n: lim y , lim y
x
0,25
x
2
+ y’ = 3x + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x
hμm sè ®ång biÕn trªn R
Baûng bieán thieân:
0,25
0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
y” = 0 x = –1 tâm đ i x ng U(-1;0)
* Ñoà thò (C 3 ):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
1
2
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C m ) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø:
x 0
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 2
(2)
x 3x m 0
* (C m ) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät:
Phöông trình (2) coù 2 nghieäm x D , x E 0.
m 0
9 4m 0
2
4 (*)
0 3 0 m 0
m 9
0,25
0,25
Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
k D =y’(x D )= 3x 2D 6x D m (3x D 2m);
-49-
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
k E =y’(x E )= 3x 2E 6x E m (3x E 2m).
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: k D k E = –1
(3x D + 2m)(3x E + 2m) =-1
0,25
9x D x E +6m(x D + x E ) + 4m2 = –1
9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì x D + x E = –3; x D x E = m theo ñònh lý Vi
9 65
m
8
ét). 4m2 – 9m + 1 = 0
9 65
m
8
1
So s¸nhÑk (*): m = 9 65
8
2
1
II
1
x 1
1. §k:
1
y 2
(1)
0,5
x y ( y xy) 0 ( x y)( x 2 y ) 0
x 2 y 0
x 2 y
x y 0(voly)
x = 4y Thay vμo (2) cã
4 y 1 2 y 1 1 4 y 1 2 y 1 1
0,25
4 y 1 2 y 1 2 2 y 1 1 2 y 1 2 2 y 1
2 y 1 0
y
y
2 y 1 2
1
(tm)
x 2
2
5
x 10
(tm)
2
V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vμ (x;y) = (10;5/2)
0,25
1
2
sin 2 x 0
sin 2 x 0
sin x cos x 0 tan x 1
cos x sin x cos 2 x. cos x
PT
sin 2 x sin x cos x
sin x
cos x sin x
cos x sin x
cos 2 x sin x cos x sin 2 x sin x cos x
sin x
®K:
-50-
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
cos x sin x sin x(1 sin 2 x)
0,25
(cos x sin x)(sin x cos x sin 2 x 1) 0
0,25
(cosx sin x)(sin2x cos2x 3) 0
cos x sinx 0
(cos x sinx)( 2sin(2x ) 3) 0
2 sin(2 x ) 3( voly )
4
4
cos x sin x 0 tanx = 1 x
Do x 0; k 0 x
4
k (k Z ) (tm®k)
0,25
4
III
2
1
1
SA ( ABCD)
( SAC ) ( ABCD)
SA ( SAC )
Do
0,25
Lai cã
MH AC ( SAC ) ( ABCD )
MH ( SAC ) d ( M , SAC ) MH AM .sin 45o
x
2
Ta cã
x
x
HC AC AH a 2
2
2
x
1
1 x
(a 2
)
MH .MC
2
2 2
2
x
x
1
1
(a 2
)
SA.S MCH 2a
3
6
2
2
AH AM .cos 450
S MHC
VSMCH
O,5
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
x
x
a 2
1
2
VSMCH a 2
3
2
x
x
a 2
2
2
xa
0,25
2
a3
6
M trïng víi D
-51-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2
1
4
4
4
0,25
2
2
I = ( x sin 2x)cos2xdx xcos2xdx sin 2xcos2xdx I1 I 2
0
0
0
TÝnh I1
du dx
u x
14
x
1
I1 sin 2x 4 sin 2xdx
®Æt
2
20
v cos2xdx v 2 sin 2x
0
0,25
1
1
cos 2 x 4
8 4
8 4
0
TÝnh I2
1
1
1
I 2 sin 2 2xd(sin2x) sin3 2x 4
20
6
6
0
4
VËy I=
IV
0,25
1 1 1
8 4 6 8 12
0,25
1
1
2
.Ta cã :VT = (
A3
2
2
a
b
c
b
c
a
)(
) A B
bc ca ab
bc ca ab
1
1
1
1
(a b) (b c) (c a)
2
a b b c c a
1
1
1
1
9
3 3 (a b)(b c)(c a)3 3
2
ab bc ca 2
3
A
2
a2
b2
c2
12 (a b c) 2 (
)(a b b c c a )
ab bc ca
1
1 B.2 B
2
-52-
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
3
2
1
2
Tõ ®ã tacã VT 2 VP
0,25
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3
V.a
2
1
0,25
1
Ta cã: AB =
2 , trung ®iÓm M (
5 5
; ),
2 2
pt (AB): x – y – 5 = 0
3
1
3
S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)=
2
2
2
0,25
Gäi G(t;3t-8) lμ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
d(G, AB)=
t (3t 8) 5
=
2
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
1
2
Mμ CM 3GM C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1)
0,25
2
1
x 1 t
ptts : y 2 t M (1 t ; 2 t ; 2t )
z 2t
0,5
Ta cã: MA2 MB 2 28 12t 2 48t 48 0 t 2
0,25
Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4)
VI.a
0,25
1
t = 1 hoÆc t = 2
2
1
Bpt
2 3
t 2 3
x2 2x
x 2x
2
0,25
2 3
(t 0)
x 2x
2
1
0,25
4
BPTTT :
1
t 4
t
0,25
t 2 4t 1 0 2 3 t 2 3 (tm)
Khi ®ã : 2 3 2 3
0,25
x 2 2 x
2 3 1 x 2 2 x 1
x2 2x 1 0 1 2 x 1 2
V.b
0,25
2
1
1
-53-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
. (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Oy M(0;m)
Qua M k hai ti p tuy n MA và MB ( A và B là hai ti p đi m)
AMB 600 (1)
AMB
V y
Vì MI là phân giác c a
0
AMB 120 (2)
0,5
AMI = 300 MI
(1)
IA
MI = 2R m 2 9 4 m 7
0
sin 30
AMI = 600 MI
(2)
IA
2 3
4 3
MI =
R m2 9
Vô
0
3
sin 60
3
0,5
nghi m
V y có hai đi m M 1 (0; 7 ) và M 2 (0;- 7 )
2
1
G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d, ta có MH là đ
c t và vuông góc v i d.
d có ph
x 1 2t
ng trình tham s là: y 1 t
z t
ng th ng đi qua M,
0,25
Vì H d nên t a đ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra : MH = (2t 1 ; 2 + t ; t)
Vì MH d và d có m t vect ch ph ng là u = (2 ; 1 ; 1), nên :
2
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = . Vì th , MH = 1 ; 4 ; 2
3
3
3
3
0,25
uMH 3MH (1; 4; 2)
Suy ra, ph
ng trình chính t c c a đ
7
3
1
3
ng th ng MH là:
x 2 y 1 z
4 2
1
2
3
Theo trªn cã H ( ; ; ) mμ H lμ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é
0,25
0,25
8
5
4
; )
3
3
3
K: x>0 , y>0
M’ ( ;
VIb
(1)
22log3 xy 2log3 xy 2 0
0,5
0,25
3
x
(2) log 4 (4x2+4y2) = log 4 (2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
log 3 xy = 1 xy = 3y=
K t h p (1), (2) ta đ
c nghi m c a h : (
-54-
3 ; 3 ) ho c ( 6 ;
6
)
2
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S
M
A
D
H
C
B
-55-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GIÁO D C – ÀO T O H I PHÒNG
TR
NG THPT CHUYÊN TR N PHÚ
THI TH
I H C L N 2 – THÁNG 12/2010
Môn thi: TOÁN H C – Kh i A, B
Th i gian: 180 phút
CHÍNH TH C
Câu I:
x2
C.
x2
1. Kh o sát và v C .
Cho hàm s y
ng trình ti p tuy n c a C , bi t ti p tuy n đi qua đi m A 6;5 .
2. Vi t ph
Câu II:
ng trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x .
4
x 3 y3 1
2. Gi i h ph ng trình: 2
2
3
x y 2xy y 2
Câu III:
1. Gi i ph
Tính I
4
dx
cos x 1 e
4
2
3x
Câu IV:
Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng SBC b ng 2. V i
giá tr nào c a góc gi a m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t?
Câu V:
Cho a, b,c 0 : abc 1. Ch ng minh r ng:
1
1
1
1
a b 1 b c 1 c a 1
Câu VI:
1. Trong m t ph ng Oxy cho các đi m A 1;0 , B 2; 4 ,C 1; 4 , D 3;5 và đ ng
th ng d : 3x y 5 0 . Tìm đi m M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích
b ng nhau.
2. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng sau:
x 1 2 t
x y 1 z 2
d1 :
;
d2 : y 1 t
2
1
1
z 3
Câu VII:
20 C02010 21 C12010 22 C 22010 23 C32010
22010 C 2010
2010
A
...
Tính:
1.2
2.3
3.4
4.5
2011.2012
-56-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN
THI TH
HL N2
Câu I:
1. a) TX : \ 2
b) S bi n thiên c a hàm s :
-) Gi i h n, ti m c n:
+) lim y , lim y x 2 là ti m c n đ ng.
x 2
x 2
+) lim y lim y 1 y 1 là ti m c n ngang.
x
x
-) B ng bi n thiên :
4
y'
0 x 2
2
x 2
c)
th :
-)
th c t Ox t i 2;0 , c t Oy t i 0; 1 , nh n I 2;1 là tâm đ i x ng.
2. Ph ng trình đ ng th ng đi qua A 6;5 là d : y k x 6 5 .
(d) ti p xúc (C) khi và ch khi h sau có nghi m :
4
x2
x2
x
6
5
k
x
6
5
2
x2
x2
x 2
4
4
k
k
2
2
x 2
x 2
Suy ra có
4 x 6 5 x 2 2 x 2 x 2
4x 2 24x 0
x 0;k 1
4
4
k
x 6;k 1
k
2
2
x 2
4
x 2
x 7
2 ti p tuy n là : d1 : y x 1; d 2 : y
4 2
Câu II:
-57-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1. cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
2cos 2 x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0
cos x cos x sinx cos2x 0
cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0
x k
2
cos x 0
cos x sinx 0 x k
4
1 sinx cosx 0
1
sin x 4
2
x
k
2
x k
2
x k
4
x k
4
x k2
x k2
4
4
5
x
k2
4 4
1 3
1 1 3 3
2 x y
2x y x
y x x y
2.
2y 1 3
2x 1 3
x y
y x
x y
4 x y
2 x y
xy
xy 2
2x 1 3
2x 1 3
y x
y x
x y
x y 1
2x 1 3
x y 1
x x
2
x 2, y 2
y
x
x 2, y 2
x 3
2x
2 x
Câu III:
-58-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
d x2
xdx
11
1 1 dt
I 4
2
2
2 0 x 2 x 2 1 2 0 t 2 t 1
0 x x 1
1
1
3
2
1
dt
1
du
2
2
2 0 1 2 3
21 2 3
2 u
t
2 2
2
3
3 dy
tan y, y ; du
t u
2
2 cos 2 y
2 2
1
3
u y ;u y
2
6
2
3
3
dy
3
1
1 3
2
dy
I
2 cos 2 y 3 1 tan 2 y
3
6 3
6
6
4
Câu IV:
G i M, N là trung đi m BC, AD, g i H là hình chi u vuông góc t N xu ng SM. Ta có:
SMN
,d A; SBC d N; SBC NH 2
NH
2
4
SABCD MN 2
sin sin
sin 2
tan
1
SI MI.tan
sin cos
1
4
1
4
VSABCD 2
2
3 sin cos 3.sin .cos
sin 2 sin 2 2cos 2 2
2
2
2
sin .sin .2cos
3
3
1
sin 2 .cos
3
2
VSABCD min sin .cos max
S
MN
sin 2 2cos 2 cos
H
C
D
N
M
I
A
B
1
3
Câu V:
Ta có:
-59-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
ab
3
i h c 2011
ab
a3b
a b 1
3
1
a b 1 3 ab
3
a 2 3 ab 3 b 2 3 ab
3
a 3 b 1 3 ab
1
3
a b c
3
3
3
3
a3b
a 3 b 3 abc 3 ab
3
a3b3c T
ng t
3
3
c
a b3c
3
suy ra OK!
Câu VI:
1. Gi s M x; y d 3x y 5 0.
AB 5,CD 17
AB 3; 4 n AB 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0
CD 4;1 n CD 1; 4 PT CD : x 4y 17 0
SMAB SMCD AB.d M; AB CD.d M;CD
5
4x 3y 4
x 4y 17
17
4x 3y 4 x 4y 17
5
17
3x y 5 0
4x 3y 4 x 4y 17
3x y 5 0
3x 7y 21 0
7
M1 ;2 , M 2 9; 32
3x y 5 0
3
5x y 13 0
2. G i M d1 M 2t;1 t; 2 t , N d 2 N 1 2t ';1 t ';3
MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5
MN.u1 0
2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0
2 2t 2t ' 1 t t ' 0
MN.u1 0
6t 3t ' 3 0
t t' 1
3t
5t
'
2
0
M 2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN 1; 2;4
PT MN :
x 2 y z 1
2
4
1
Câu VII:
2010
20 C02010 21 C12010 22 C22010 23 C32010
22010 C 2010
A
...
1
2
3
4
2011
-60-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Ta có:
2 2010! 2 2010!
2k C k2010
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1! 2010 k !
k
k
k
2 2011!
1
1
k 1
1
2 C k2011
2011 k 1! 2011 k 1!
4022
k
1
1
2
2011
2 C12011 2 C 22011 ... 2 C 2011
2011
4022
1
1
2011
0
2 1 2 C02011
2011
4022
A
-61-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
KÌ THI TH
I H C N M H C 2010-2011
MÔN TOÁN
(Th i gian làm bài: 180 phút)
A. PH N DÀNH CHO T T C THÍ SINH
Câu I (2 đi m) Cho hàm s y 2 x3 3(2m 1) x2 6m(m 1) x 1 có đ th (C m ).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 0.
2. Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên kho ng 2;
Câu II (2 đi m)
Câu III (1 đi m)
a) Gi i ph
ng trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x 1) 1
b) Gi i ph
ng trình : (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2
3 ln 2
Tính tích phân
I
0
3
x3
2
dx
( e 2) 2
3
x
Câu IV (1 đi m) Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A’ lên m t
ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. Tính th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’ bi t kho ng cách gi a AA’
a 3
4
Câu V (1 đi m)
và BC là
Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá tr l n nh t ,nh nh t c a bi u th c
x4 y4 1
x2 y2 1
B. PH N DÀNH CHO T NG LO I THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình chu n
Câu VIa (2 đi m)
a) Cho hình tam giác ABC có di n tích b ng 2. Bi t A(1;0), B(0;2) và trung đi m I c a AC n m trên đ ng
th ng y = x. Tìm to đ đ nh C.
b) Trong không gian Oxyz, cho các đi m A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm t a đ đi m O’ đ i x ng v i
O qua (ABC).
Câu VIIa(1 đi m) Gi i ph ng trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C.
Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình nâng cao
Câu VIb (2 đi m)
a. Trong mp(Oxy) cho 4 đi m A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm to đ đi m M thu c đ ng th ng
() : 3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhau
P
b.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ
d1 :
ng th ng:
x 4 y 1 z 5
x2 y3 z
d2 :
1
2
3
1
3
1
Vi t ph ng trình m t c u có bán kính nh nh t ti p xúc v i c hai đ
Câu VIIb (1 đi m) Gi i b t ph ng trình: x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2
ng th ng d 1 và d 2
……...H T...........
-62-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN
Câu I
a)
H c sinh t làm
0,25
y 2 x3 3(2m 1) x2 6m(m 1) x 1 y ' 6 x 2 6(2m 1) x 6m(m 1)
b)
0,5
y’ có (2m 1) 2 4(m 2 m) 1 0
x m
y' 0
x m 1
Hàm s đ ng bi n trên 2; y ' 0 x 2 m 1 2 m 1
Câu II a) Gi i ph
0,25
0,25
1 đi m
ng trình: 2 cos 3 x(2 cos 2 x 1) 1
PT 2 cos 3 x(4 cos 2 x 1) 1 2 cos 3x(3 4 sin 2 x) 1
0,25
Nh n xét x k , k Z không là nghi m c a ph
0,25
ng trình đã cho nên ta có:
2 cos 3x(3 4 sin x) 1 2 cos 3x(3 sin x 4 sin x) sin x
2
3
2 cos 3 x sin 3 x sin x sin 6 x sin x
2m
x
6 x x m2
5
6 x x m2
x 2m
7
7
0,25
;mZ
2m
k 2m=5k m 5t , t Z
5
2m
Xét khi
= k 1+2m=7k k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3,
7
7
lZ
2m
2m
( m 5t ); x
( m 7l 3 )
V y ph ng trình có nghi m: x
5
7
7
trong đó m, t , l Z
Xét khi
b)
Gi i ph
ng trình : (3 x 1) 2 x 2 1 5 x 2
1 đi m
3
x3
2
0,25
PT 2(3 x 1) 2 x 2 1 10 x 2 3 x 6
2(3 x 1) 2 x 2 1 4(2 x 2 1) 2 x 2 3x 2 .
0,25
t t 2 x 2 1(t 0)
Pt tr thành 4t 2 2(3x 1)t 2 x 2 3 x 2 0
Ta có: ' (3 x 1) 2 4(2 x 2 3 x 2) ( x 3) 2
Pt tr thành 4t 2 2(3x 1)t 2 x 2 3 x 2 0
0,25
Ta có: ' (3 x 1) 2 4(2 x 2 3 x 2) ( x 3) 2
-63-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
T đó ta có ph
Thay
vào
x2
2x 1
;t
2
2
ta đ c ph ng
ng trình có nghi m : t
đ t
cách
gi i
ra
trình
có
các
0,5
1 6 2 60
;
nghi m: x
7
2
Câu III
3 ln 2
Tính tích phân I
0
(3 e x 2) 2
x
3
3 ln 2
Ta c ó I
0,25
e dx
x
3
=
x
3
e ( e 2)
0
1 đi m
dx
x
3
2
x
3
t u= e 3du e dx ; x 0 u 1; x 3 ln 2 u 2
2
1
3du
1
1
=3
2
4u 4(u 2) 2(u 2) 2
1
1 u (u 2)
2
Ta đ
c:
I
du
0,25
0,25
2
1
1
1
=3 ln u ln u 2
2(u 2) 1
4
4
3 3 1
ln( )
4 2 8
3 3 1
V y I ln( )
4 2 8
0,25
Câu IV
C’
A’
B’
H
A
C
O
M
B AM BC
G i M là trung đi m BC ta th y:
BC ( A' AM )
A' O BC
K MH AA' , (do A nh n nên H thu c trong đo n AA’.)
BC ( A' AM )
Do
HM BC .V y HM là đ an vông góc chung c a
HM ( A' AM )
-64-
0,5
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
AA’và BC, do đó d ( AA' , BC) HM a
3
.
4
Xét 2 tam giác đ ng d ng AA’O và AMH, ta có:
A' O HM
AH
AO
AO.HM a 3 a 3 4 a
AH
3 4 3a 3
1
1aa 3
a3 3
a
Th tích kh i l ng tr : V A' O.S ABC A' O.AM.BC
2
23 2
12
1.Cho a, b, c là các s th c d ng tho mãn a b c 3 .Ch ng minh
r ng:
3(a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13
0,5
suy ra A' O
Câu V
bc
2
c h t ta ch ng minh: f (a, b, c) f (a, t , t ) :Th t v y
0,5
t f (a, b, c) 3(a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13; t
*Tr
1 đi m
Do vai trò c a a,b,c nh nhau nên ta có th gi thi t a b c
3a a b c 3 hay a 1
f ( a , b, c ) f ( a , t , t )
3( a 2 b 2 c 2 ) 4 abc 13 3( a 2 t 2 t 2 ) 4 at 2 13
= 3(b 2 c 2 2t 2 ) 4a (bc t 2 )
2
2
2
(b c) 3(b c) 2
2(b c)
2
= 3b c
a (b c) 2
=
4a bc
4
2
4
=
(3 2a )(b c) 2
0 do a 1
2
*Bây gi ta ch c n ch ng minh: f (a, t , t ) 0 v i a+2t=3
0,5
Ta có f (a, t , t ) 3(a t t ) 4at 13
2
2
2
2
= 3((3 2t ) 2 t 2 t 2 ) 4(3 2t )t 2 13
= 2(t 1) 2 (7 4t ) 0 do 2t=b+c < 3
D u “=” x y ra t 1 & b c 0 a b c 1 ( PCM)
2. Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá tr l n nh t
,nh nh t c a bi u th c
x4 y4 1
P 2
x y2 1
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
1 x 2 xy y 2 2 xy xy xy
1 ( x y ) 2 3 xy 3 xy
-65-
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1
Tõ ®ã ta cã xy 1 .
3
M¨t kh¸c x 2 xy y 2 1 x 2 y 2 1 xy
nªn x 4 y 4 x 2 y 2 2 xy 1 .®¨t t=xy
Vëy bμi to¸n trë thμnh t×m GTLN,GTNN cña
t 2 2t 2 1
; t 1
P f (t )
3
t2
TÝnh f ' (t ) 0 1
t 6 2
6
0
(t 2) 2
t 6 2(l )
Do hμm sè liªn tôc trªn
f(
0.25
0.25
1
;1 nªn so s¸nh gi¸ trÞ cña
3
1
) , f ( 6 2) , f (1) cho ra kÕt qu¶:
3
0.25
1 11
MaxP f ( 6 2) 6 2 6 , min P f ( )
3 15
Câu VIa
(H c sinh t
v hình)
a)
Ta có: AB 1; 2 AB 5 . Ph
1 đi m
ng trình c a AB là: 2 x y 2 0 .
I d : y x I t ; t . I là trung đi m c a AC: C (2t 1;2t )
Theo bài ra: S ABC
0,5
t 0
1
AB.d (C , AB) 2 . 6t 4 4 4
t
2
3
0,5
5 8
T đó ta có 2 đi m C(-1;0) ho c C( ; ) tho mãn .
3 3
b)
*T ph
ng trình đo n ch n suy ra pt t ng quát c a mp(ABC) là:2x+y-z-2=0
*G i H là hình chi u vuông góc c a O l ên (ABC), OH vuông góc v i
(ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H ABC
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào ph
ng trình( ABC) có t=
Gi i ph ng trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C.
PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z 2 2 z )( z 2 2 z 3) 0
t t z 2 2 z . Khi đó ph
0,25
1
2 1 1
suy ra H ( ; ; )
3
3 3 3
4 2 2
*O’ đ i x ng v i O qua (ABC) H là trung đi m c a OO’ O' ( ; ; )
3 3 3
CâuVIIa
1 đi m
0.25
0,5
1 đi m
0,25
ng trình (8) tr thành:
-66-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
t t z 2 2 z . Khi đó ph
t 2 3t 10 0
0,25
ng trình (8) tr thành
t 2 z 1 i
5
t
z 1 6
V y ph
0,5
ng trình có các nghi m: z 1 6 ; z 1 i
1 đi m
Câu VIb
a)
Vi t ph
ng trình đ
ng AB: 4 x 3 y 4 0 và AB 5
Vi t ph
ng trình đ
ng CD: x 4 y 17 0 và CD 17
i m M thu c có to đ d ng: M (t;3t 5) Ta tính đ
13t 19
11t 37
d ( M , AB )
; d ( M , CD)
5
17
0,25
c:
T đó: S MAB S MCD d ( M , AB). AB d ( M , CD).CD
7
7
t 9 t
Có 2 đi m c n tìm là: M (9; 32), M ( ; 2)
3
3
0,25
0,5
1 đi m
b)
Gi s m t m t c u S(I, R) ti p xúc v i hai đ
ng th ng d 1 , d 2 t i hai đi m A
và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ d d1 , d 2 d u b ng x y ra khi I là
trung đi m AB và AB là đo n vuông góc chung c a hai đ
ng th ng d 1 , d 2
Ta tìm A, B :
AB u
Ad 1 , Bd 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
AB u '
AB (….)…
A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1)
0, 25
0,25
0,25
M t c u (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6
Nên có ph
CâuVIIb Gi i b t ph
ng trình là: x 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 6
ng trình
2
x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2
i u ki n: x 0
B t ph ng trình 3( x 3) log 2 x 2( x 1)
Nh n th y x=3 không là nghi m c a b t ph
x 1
3
TH1 N u x 3 BPT log 2 x
x 3
2
-67-
0,25
1 đi m
0.25
ng trình.
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
3
log 2 x đ ng bi n trên kho ng 0;
2
x 1
ngh ch bi n trên kho ng 3;
g ( x)
x3
f ( x) f (4) 3
*V i x 4 :Ta có
Bpt có nghi m x 4
g ( x) g (4) 3
Xét hàm s : f ( x)
* V i x 4 :Ta có
f ( x) f (4) 3
Bpt vô nghi m
g ( x) g (4) 3
TH 2 :N u 0 x 3 BPT
x 1
3
log 2 x
x3
2
0,25
3
log 2 x đ ng bi n trên kho ng 0;
2
x 1
ngh ch bi n trên kho ng 0;3
g ( x)
x3
f ( x) f (1) 0
*V i x 1 :Ta có
Bpt vô nghi m
g ( x) g (1) 0
f ( x)
* V i x 1 :Ta có
f ( x) f (1) 0
Bpt có nghi m 0 x 1
g ( x) g (1) 0
x 4
V y Bpt có nghi m
0 x 1
Chú ý:Các cách gi i khác cho k t qu đúng v n đ
0,25
c đi m t i đa.
-68-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Tr−êng L−¬ng thÕ Vinh –Hμ néi. §Ò thi thö §H lÇn I . M«n To¸n (180’)
PhÇn b¾t buéc.
2x 1
x 1
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ (C) cña hμm sè .
2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I (1; 2) tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lμ lín
nhÊt .
C¢U 2. (2 ®iÓm).
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 0 .
2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt :
log 0,5 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 ) 0
C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hμm sè y
4 x2
C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: I
dx .
x2
1
C¢U 4. (1 ®iÓm). Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vμ
AB BC CD a . Gäi C’ vμ D’ lÇn l−ît lμ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vμ AD. TÝnh thÓ tÝch
tÝch tø diÖn ABC D’.
C¢U 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc:
S cos 3 A 2 cos A cos 2 B cos 2C .
2
PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lμm mét trong hai phÇn : A hoÆc B )
PhÇn A
C¢U 6A. (2 ®iÓm).
1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®−êng
th¼ng x 4 0 , vμ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 . TÝnh diÖn
tÝch tam gi¸c ABC.
2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng d vμ d’ lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : d :
y2
x2
z5
x
z vμ d’ :
y 3
.
1
2
1
Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i
qua d vμ vu«ng gãc víi d’
C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S Cn0 2Cn1 3Cn2 4Cn3 (1) n (n 1)Cnn
PhÇn B.
C¢U 6B. (2 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cña tam
gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng x y 2 0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng
13,5 .
2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng d vμ d’ lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : d :
y2
x2
z5
x
z vμ d’ :
y 3
.
2
1
1
ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua d vμ t¹o víi d’ mét gãc 300
C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S Cn0 2Cn1 3Cn2 (n 1)Cnn
1
-69-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
§¸p ¸n m«n To¸n.
C©u 1. 1. TËp x¸c ®Þnh : x 1 .
y
3
3
2x 1
2
,
, y'
( x 1) 2
x 1
x 1
B¶ng biÕn thiªn:
TiÖm cËn ®øng : x 1 , tiÖm cËn ngang y 2
2. NÕu M x0 ; 2
3
3
3
(C ) th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph−¬ng tr×nh y 2
( x x0 )
x0 1
x0 1 ( x0 1) 2
hay 3( x x0 ) ( x0 1) 2 ( y 2) 3( x0 1) 0
. Kho¶ng c¸ch tõ I (1;2) tíi tiÕp tuyÕn lμ
3(1 x0 ) 3( x0 1)
6 x0 1
d
4
9 ( x0 1) 4
9 x0 1
6
9
( x0 1) 2
2
( x0 1)
. Theo bÊt ®¼ng thøc C«si
9
( x0 1) 2 2 9 6 , v©y d 6 . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng
( x0 1) 2
9
2
( x0 1) 2 x0 1 3 x0 1 3 .
2
( x0 1)
6 khi
VËy cã hai ®iÓm M : M 1 3 ;2 3 hoÆc M 1 3 ;2 3
C¢U 2.
1) 2 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 0 2 sin 2 x (2 cos x 1) sin x cos x 1 0 .
(2 cos x 1) 2 8(cos x 1) (2 cos x 3) 2 . VËy sin x 0,5 hoÆc sin x cos x 1 .
5
2k
Víi sin x 0,5 ta cã x 2k hoÆc x
6
6
2
Víi sin x cos x 1 ta cã sin x cos x 1 sin x
sin , suy ra
4
2
4
3
x 2k hoÆc x
2k
2
2) log 0,5 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 ) 0 log 2 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 )
3 2 x x 2 0
3 x 1
2
2
m 6 x 3 2 x x
m x 8 x 3
XÐt hμm sè f ( x) x 2 8 x 3 , 3 x 1 ta cã f ' ( x) 2 x 8 , f ' ( x) 0 khi x 4 , do ®ã f (x)
nghÞch biÕn trong kho¶ng (3; 1) , f ( 3) 18 , f (1) 6 . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt
khi 6 m 18
C¢U 3. §Æt x 2 sin t th× dx 2 cos tdt , khi x 1 th× t
2
I
1
6
, khi x 2 th× t
2
6
2
2
, vËy:
2
4x
cos t
1
dt
dt
1
dx
sin 2 t
sin 2 t
d (cot t ) t 62
x2
2
2
3
3
6
6
C¢U 4. V× CD BC , CD AB nªn CD mp( ABC ) vμ do ®ã
mp( ABC ) mp( ACD) .V× BC ' AC nªn BC mp( ACD) .
Suy ra nÕu V lμ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× V
1
dt ( AC ' D' ).BC ' .
3
2
-70-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
a 2
.
2
Ta cã AD 2 AB 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 3a 2 nªn AD a 3 . V× BD’ lμ ®−êng cao cña tam gi¸c
a
vu«ng ABD nªn AD'.AD AB 2 , VËy AD'
.
Ta cã
3
V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn AC ' CC ' BC '
dt ( AC ' D' )
CD 1 a 2 a 3 1
a2 2
1
1
. VËy
AC '.AD' sin CAˆ D AC '.AD'.
AD 2 2
3
12
2
2
3
1 a 2 2 a 2 a3
.
36
2
3 12
C¢U 5. S cos 3 A 2 cos A cos 2 B cos 2C = cos 3 A 2 cos A 2 cos( B C ) cos( B C ) .
cos 3 A 2 cos A1 cos( B C ) .
V× cos A 0 , 1 cos( B C ) 0 nªn S cos 3 A , dÊu b»ng xÈy ra khi cos( B C ) 1 hay
V
BC
1800 A
. Nh−ng cos 3 A 1 , dÊu b»ng xÈy ra khi 3 A 1800 hay A = 600
2
Tãm l¹i : S cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt b»ng -1 khi ABC lμ tam gi¸c ®Òu.
PhÇn A (tù chän)
C¢U 6A.
y
1 5 yC
1 2 4
1, yG
2 C . §iÓm G n»m trªn
3
3
3
®−êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 nªn 2 6 yC 6 0 , vËy yC 2 , tøc lμ
1. Ta cã C (4; yC ) . Khi ®ã täa ®é G lμ xG
C (4; 2) . Ta cã AB (3; 4) , AC (3;1) , vËy AB 5 , AC 10 , AB. AC 5 .
2
15
1
1
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lμ S
AB 2 . AC 2 AB. AC
25.10 25 =
2
2
2
2.§−êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u (1;1;1)
§−êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u '(2;1;1)
Ta cã MM (2;1;5) , u ; u ' (0; 3; 3) , do ®ã u; u ' .MM ' 12 0 vËy d vμ d’ chÐo nhau.
MÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lμ u '(2;1;1) nªn cã ph−¬ng
tr×nh: 2 x ( y 2) z 0 hay 2 x y z 2 0
C¢U 7A. Ta cã
(1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cnn x n , suy ra
x(1 x) n Cn0 x Cn1 x 2 Cn2 x 3 Cnn x n 1 .
LÊy ®¹o hμm c¶ hai vÕ ta cã :
(1 x) n nx(1 x) n 1 Cn0 2Cn1 x 3Cn2 x 2 (n 1)Cnn x n
Thay x 1 vμo ®¼ng thøc trªn ta ®−îc S.
PhÇn B (tù chän)
C¢U 6B.
1. V× G n»m trªn ®−êng th¼ng x y 2 0 nªn G cã täa ®é G (t ; 2 t ) . Khi ®ã AG (t 2;3 t ) ,
AB (1;1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lμ
S
2
2t 3
1
1
AG 2 . AB 2 AG. AB
2 (t 2) 2 (3 t ) 2 1 =
2
2
2
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 3 4,5 . VËy
2t 3
4,5 , suy
2
ra t 6 hoÆc t 3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1 (6;4) , G 2 ( 3;1) . V× G lμ träng t©m tam gi¸c ABC nªn
xC 3xG ( xa xB ) vμ yC 3 yG ( ya yB ) .
3
-71-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Víi G1 (6;4) ta cã C1 (15;9) , víi G 2 ( 3;1) ta cã C2 (12;18)
2.§−êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u (1;1;1)
§−êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u '(2; 1;1) .
Mp ( ) ph¶i ®i qua ®iÓm M vμ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vμ cos(n; u ' ) cos 600
1
. Bëi vËy
2
nÕu ®Æt n ( A; B; C ) th× ta ph¶i cã :
A B C 0
B A C
B A C
1
2
2A B C
2
2
2
2
2
3
6
(
)
A
A
A
C
C
2 A AC C 0
2
2
2
2
6 A B C
Ta cã 2 A2 AC C 2 0 ( A C )(2 A C ) 0 . VËy A C hoÆc 2 A C .
NÕu A C ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã B 2 , tøc lμ n (1;2;1) vμ mp( ) cã ph−¬ng tr×nh
x 2( y 2) z 0 hay x 2 y z 4 0
NÕu 2 A C ta cã thÓ chän A 1, C 2 , khi ®ã B 1 , tøc lμ n (1;1;2) vμ mp( ) cã ph−¬ng tr×nh
x ( y 2) 2 z 0 hay x y 2 z 2 0
C¢U 7B. Ta cã (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cnn x n , suy ra
x(1 x) n Cn0 x Cn1 x 2 Cn2 x 3 Cnn x n 1 .
LÊy ®¹o hμm c¶ hai vÕ ta cã :
(1 x) n nx(1 x) n 1 Cn0 2Cn1 x 3Cn2 x 2 (n 1)Cnn x n
Thay x 1 vμo ®¼ng thøc trªn ta ®−îc S.
4
-72-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011
A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 đi m )
Câu I : ( 2 đi m ).
Cho hàm s y = x3 + ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 . (C m )
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 2.
2. Tìm m đ đ th hàm s (C m ) có c c tr đ ng th i hoành đ c c ti u nh h n 1.
Câu II : ( 2 đi m ).
1. Gi i ph
ng trình:
2. Tìm m đ ph
Câu III : ( 2 đi m ).
sin 2 x 2 2(s inx+cosx)=5 .
ng trình sau có nghi m duy nh t :
2 x 2 mx 3 x.
1 x2
dx.
1. Tính tích phân sau : I
3
x
x
1
2
2. Cho h ph
ng trình :
x 3 y 3 m( x y )
x y 1
Tìm m đ h có 3 nghi m phân bi t (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 l p thành c p s c ng
d 0 . ng th i có hai s x i th a mãn xi > 1
Câu IV : ( 2 đi m ).
x 1 2t
x y z
Trong không gian oxyz cho hai đ ng th ng d 1 : ; d 2 y t
1 1 2
z 1 t
và đi m M(1;2;3).
1.Vi t ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 ; Tìm M’ đ i x ng v i M qua d 2 .
2.Tìm A d1 ; B d 2 sao cho AB ng n nh t .
B. PH N T CH N: ( 2 đi m ).
( Thí sinh ch đ c làm 1 trong 2 câu V a ho c V b sau đây.)
Câu V a .
1. Trong m t ph ng oxy cho ABC có A(2;1) .
ng cao qua đ nh B có ph ng trình x- 3y - 7 = 0
.
ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng trình
x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C . Tính di n tích ABC .
2.Tìm h s x6 trong khai tri n
1
3
x
x
n
bi t t ng các h s khai tri n
b ng 1024.
Câu V b .
1 x 2
1 x 2
5
1. Gi i b t ph ng trình : 5
> 24.
2.Cho l ng tr ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đ u c nh a. .A’ cách đ u các đi m A,B,C. C nh bên
AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích kh i l ng tr .
______________ H t ____________
-73-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011
ÁP ÁN
Câ Ý
N i dung
u
.
I
1 .Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 2.
V i m = 2 ta đ c y = x3 – 3x2 + 4
a ;T p xác đ nh : D = R.
i
m
200
1,00
0,25
b ; S bi n thiên.
Tính đ n đi u ……
Nhánh vô c c……
x
-
y'
+
+
2
0
0
0
-
0,25
+
j
+
4
y
-
o
c;
th :
+ L y thêm đi m .
+ V đúng h ng lõm và v b ng m c cùng màu m c v i ph n trình b y
0,25
8
6
4
2
-15
-10
-5
5
10
15
0,25
-2
-4
-6
-8
-74-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2 . Tìm m đ đ th hàm s (C m ) có c c tr đ ng th i hoành đ c c ti u nh
h n 1.
Hàm s có c c tr theo yêu c u đ u bài khi và ch khi th a mãn 2
K sau :
+ y’ =0 có 2 nghi m pbi t x 1 < x 2 ' 4m 2 m 5 0
m < - 1 ho c m >
5
4
' 4 2m ….. m
K t h p 2 K trên ta đ
c… áp s
ng )
21
15
0,25
5 7
m ; 1 ;
4 5
II
1
1.Gi i ph
ng trình:
2
sin2x = t - 1 ( I )
0,25
t 2 2 2t 6 0 t 2 )
c ph
0,25
ng trình sinx + cosx = 2 … cos( x ) 1
4
+ L y nghi m
K t lu n : x
2
Tìm m đ ph
0,25
2,00
1,00
sin 2 x 2 2(s inx+cosx)=5 . ( I )
t sinx + cosx = t ( t 2 ).
+Gi i đ
0,25
0,25
+ x 1 < x 2 < 1 ( Vì h s c a x2 c a y’ mang d u d
….
1,00
5
k 2 ( k Z ) ho c d
4
i d ng đúng khác .
ng trình sau có nghi m duy nh t :
2 x 2 mx 3 x.
2x 2 mx 9 x 2 6x
h
có nghi m duy nh t
x 3
2
x + 6x – 9 = -mx (1)
0,25
0,25
1,00
0,25
+; Ta th y x = 0 không ph i là nghi m.
0,25
x 2 6x 9
m . Xét hàm s :
x
x 2 6x 9
x2 9
trên ;3 \ 0 có f’(x) = 2 > 0 x 0
f(x) =
x
x
+ , x = 3 f(3) = 6 , có nghi m duy nh t khi – m > 6 m < - 6
+ ; V i x 0 (1)
III
-75-
0,25
0,25
2,00
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1 x2
dx.
3
x
x
1
1
2
1. Tính tích phân sau : I
1,00
1 x2
I
dx. =
x x3
1
2
1
1
x2
1 1 dx =
x
x
1
2 d (x )
x = - ln( x 1 ) 2 =
1
x 1
1
x
x
4
…. = ln
5
2
0,25
0,50
0,25
2
1 x2
2x
1
dx
.
( Ho c I
=
2 dx =……)
3
xx
x x 1
1
1
2
2
x 3 y 3 m( x y )
2.Cho h ph ng trình :
1,00
x y 1
----------------------------------------------------------------------------------------------Tìm m đ h có 3 nghi m phân bi t (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho
x 1 ;x 2 ;x 3 l p thành c p s c ng d 0 . ng th i có hai s x i th a mãn xi
>1
x 3 y 3 m( x y )
x y 1
( x y )( x 2 y 2 xy m) 0
x y 1
0,25
1
x
y
2
y x 1
2
( x) x x 1 m 0
Tr
c h t ( x) ph i có 2 nghi m pbi t x 1 ; x 2 4m 3 0 m
Có th x y ra ba tr
+Tr
ng h p 1 :
+Tr
ng h p 2 :
+Tr
ng h p 3 :
Xét th y Tr
3
4
0,25
ng h p sau đây theo th t l p thành c p s c ng.
1
; x1 ; x2
2
1
x1 ; x2 ;
2
x1 ;
0,25
1
; x2
2
ng h p 1 ;2 không th a mãn. Tr
-76-
ng h p 3 ta có
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
x1 x2 1
x1 x2 1 m
đúng v i m i m >
3
4
0,25
ng th i có hai s x i th a mãn xi > 1 ta c n có thêm đi u ki n sau
x2
IV
1 4 m 3
1 4m 3 3 m 3
2
Trong không gian oxyz cho hai đ
áp s : m > 3
x
1
ng th ng d 1 :
y z
; d2
1 2
2,00
x 1 2t
y t
z 1 t
và đi m M(1;2;3).
1.Vi t ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 ; Tìm M’ đ i x ng v i M
qua d 2 .
.
+ Ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 …. Là (P) x + y – z = 0
+ Mp(Q) qua M và vuông góc v i d 2 có pt 2x – y - z + 3 = 0
+ Tìm đ
c giao c a d 2 v i mp(Q) là H(-1 ;0 ;1)
2.Tìm A d1 ; B d 2 sao cho AB ng n nh t .
G i A(t;t;2t) và B(-1-2t 1 ;-t 1 ;1+t 1 ) AB ng n nh t khi nó là đo n vuông góc
chung c a hai đ ng th ng d 1 và d 2 .
3 3 6
1 17 18
AB.v1 0
;
……. t a đ c a A ; ; và B ;
35 35 35
35 35 35
AB.v2 0
1
0,25
0,25
… i m đ i x ng M’ c a M qua d 2 là M’(-3 ;-2 ;-1)
Va
0,25
1. Trong m t ph ng oxy cho ABC có A(2;1) .
ng cao qua đ nh B
có ph ng trình x- 3y - 7 = 0 .
ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng
trình
x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C .
0,25
0,50
0,50
2,00
B
M
A
C
H
+AC qua A và vuông góc v i BH do đó có VTPT là n (3;1) AC có
ph ng trình 3x + y - 7 = 0
-77-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
AC
…… C(4;- 5)
CM
2 xB 1 y B
; M thu c CM ta đ c
1 0
2
2
+ T a đ C là nghi m c a h
2 xB
1 yB
xM ;
yM
2
2
2 xB 1 y B
1 0
ta đ
+ Gi i h 2
2
xB 3 yB 7 0
+
0,25
c B(-2 ;-3)
0,25
Tính di n tích ABC .
14
x 5
x 3y 7 0
3x y 7 0
y 7
5
+ T a đ H là nghi m c a h
…. Tính đ
c
- Di n tích S =
2
8 10
; AC = 2 10
5
8 10
1
1
AC.BH .2 10.
16 ( đvdt)
2
2
5
0,25
BH =
0,25
n
1
3
2.Tìm h s x6 trong khai tri n x bi t t ng các h s khai tri n
x
b ng 1024.
+ ; Cn0 Cn1 ... Cnn 1024
0,25
1 1 1024 2 = 1024 n = 10
n
n
10 k
10
10
1
1
+ ; x3 C10k
x
x
k o
. x3
k
0,25
0,25
; …….
H ng t ch a x6 ng v i k = 4 và h s c n tìm b ng 210 .
Vb
1
1 x 2
1 x 2
5
> 24.
(2)
1. Gi i b t ph ng trình : 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------
(2) 5 5x
2
2
24 5x 5 0
2
2
x 1
2
5x 5 x > 1
x 1
-78-
0,25
2,00
1,00
-----0,5
0,5
http://www.VNMATH.com
63
thi th
2
i h c 2011
2.Cho l ng tr ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đ u c nh a. .A’ cách
đ u các đi m A,B,C. C nh bên AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích kh i 1,00
-----l ng tr .
-----------------------------------------------------------------------------------------
A'
C'
0,25
B'
A
C
G
N
M
B
T gi thi t ta đ c chop A’.ABC là chop tam giác đ u .
A' AG là góc gi a
c nh bên và đáy .
a 3
0
A' AG = 60 , ….. AG =
;
3
ng cao A’G c a chop A’.ABC c ng là đ
ng cao c a l ng tr . V y
a 3
a 3
.tan600 =
. 3 = a.
AG=
3
3
0,25
’
1 a 3
a3 3
…….. V y Th tích kh i l ng tr đã cho là V = .a.
.a
2
2
4
0,25
0,25
Ghi chú : + M i ph ng pháp gi i đúng khác đ u đ c công nh n và cho đi m nh
nhau .
+ i m c a bài thi là t ng các đi m thành ph n và làm tròn ( lên ) đ n 0,5 đi m.
-79-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
-80-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
K THI KH O SÁT CH T L
NG ÔN THI
I H C KH I A - B – D. N m 2010.
Môn thi: Toán. Th i gian làm bài: 180 phút.
Ngày 20 tháng 12 n m 2010.
A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m)
Câu I. (2 đi m)
Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đ th là (C m ); ( m là tham s )
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 3.
2. Xác đ nh m đ (C m ) c t đ ng th ng y = 1 t i ba đi m phân bi t C(0;1), D, E sao cho các ti p tuy n c a
(C m ) t i D và E vuông góc v i nhau.
Câu II (2 đi m)
cos 2 x cos 3 x 1
1.Gi i ph ng trình: cos 2 x tan 2 x
.
cos 2 x
x 2 y 2 xy 1 4 y
, ( x, y R ) .
2. Gi i h ph ng trình:
2
2
y( x y) 2 x 7 y 2
Câu III (1 đi m)
e
Tính tích phân: I
1
log 32 x
x 1 3ln 2 x
dx .
Câu IV. (1 đi m)
a 3
vμ gãc BAD = 600. Gäi M vμ N
2
lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh A'D' vμ A'B'. Chøng minh AC' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BDMN). TÝnh
thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN.
Câu V. (1 đi m)
7
.
Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn a b c 1 . Ch ng minh r ng: ab bc ca 2abc
27
Cho h×nh hép ®øng ABCD.A'B'C'D' cã c¸c c¹nh AB = AD = a, AA' =
B. PH N RIÊNG (3 đi m). Thí sinh ch đ
1.Theo ch ng trình Chu n
Câu VIa. ( 2 đi m)
c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c 2)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC bi t A(5; 2). Ph ng trình đ ng trung tr c
c nh BC, đ ng trung tuy n CC’ l n l t là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a tam
giác ABC.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, hãy xác đ nh to đ tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam
giác ABC, bi t A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VIIa. (1 đi m)
2
Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a ph
2. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VIb. ( 2 đi m)
2
z z2
ng trình 2 z 4 z 11 0 . Tính giá tr c a bi u th c 1
.
( z1 z2 ) 2
2
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho hai đ ng th ng : x 3 y 8 0 , ' :3x 4 y 10 0 và đi m
A(-2 ; 1). Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm thu c đ ng th ng , đi qua đi m A và ti p xúc v i đ ng
th ng ’.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, Cho ba đi m A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vi t ph ng trình
m t ph ng (ABC) và tìm đi m M thu c m t ph ng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Câu VIIb. (1 đi m)
2 log1 x ( xy 2 x y 2) log 2 y ( x 2 2 x 1) 6
Gi i h ph ng trình :
, ( x, y R ) .
=1
log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
-----------------------------------------------------------81- tavi -----------------------------------------------------http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN K THI KH O SÁT CH T L
NG ÔN THI
I H C KH I A - B – D. N m 2010
Câu Ý
N i dung
i m
I
1
1
3
2
2
2 PT hoành đ giao đi m x + 3x + mx + 1 = 1 x(x + 3x + m) = 0 m = 0, f(x) = 0 0.25
ê th a mãn yc ta ph i có pt f(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t x 1 , x 2 khác 0 và
0.25
y’(x 1 ).y’(x 2 ) = -1.
9 4m 0, f (0) m 0
Hay
2
2
(3x1 6 x1 m)(3x2 6 x2 m) 1.
9
9
m , m 0
m , m 0
4
4
9( x x ) 2 18 x x ( x x ) 3m( x 2 x 2 ) 36 x x 6m( x x ) m2 1 4m 2 9m 1 0
1 2
1 2
1
2
1
2
1 2
1
2
9 65
8
K cosx ≠ 0, pt đ c đ a v cos 2 x tan 2 x 1 cos x (1 tan 2 x) 2cos 2 x cos x -1 0
Gi i ti p đ c cosx = 1 và cosx = 0,5 r i đ i chi u đk đ đ a ra S:
2
2
x k 2 , x
k 2 ; hay x k
.
Gi i ra ta có S: m =
II
1
3
2
0.25
0.25
0.5
0.5
3
x2 1
x y 4
y
x 2 y 2 xy 1 4 y
y 0 , ta có:
.
2
2
2
1
x
y( x y) 2 x 7 y 2
2
( x y ) 2
7
y
uv 4
u 4v
v 3, u 1
x2 1
, v x y ta có h : 2
t u
2
y
v 2u 7
v 2v 15 0
v 5, u 9
0.25
0.25
+) V i v 3, u 1 ta có
III
x2 1 y
x2 1 y
x2 x 2 0
x 1, y 2
.
h :
x 2, y 5
x y 3
y 3 x
y 3 x
0.25
x2 1 9 y
x2 1 9 y
x 2 9 x 46 0
+) V i v 5, u 9 ta có h :
, h này
x y 5
y 5 x
y 5 x
vô nghi m.
KL: V y h đã cho có hai nghi m: ( x; y ) {(1; 2), (2; 5)}.
0.25
3
ln x
e
e
e
3
log 2 x
1
ln 2 x.
ln xdx
ln 2
.
I
dx
dx 3
2
2
ln 2 1 1 3ln 2 x
x
1 x 1 3ln x
1 x 1 3ln x
1
dx 1
t 1 3ln 2 x t ln 2 x (t 2 1) ln x. tdt .
ic n…
x 3
3
1 2
2
2
e
t 1 1
log 32 x
1
1
Suy ra I
dx 3 3
. tdt
t 2 1 dt
3
2
t
ln
2
3
9
ln
2
1
1 x 1 3ln x
1
0.25
0.25
0.25
2
1 1 3
4
t t
3
3
9 ln 2 3
1 27 ln 2
IV
0.25
Ch ng t AC’ BD
0.25
C/m AC’ PQ, v i P,Q là trung đi m c a BD, MN. Suy ra AC’ (BDMN)
0.25
Tính đúng chi u cao AH , v i H là giao c a PQ và AC’. N u dùng cách hi u các th
0.25
tích thì ph i ch ra cách tính.
-82http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
0.25
3a 3
Tính đúng di n tích hình thang BDMN . Suy ra th tích c n tìm là:
.
16
Ta có ab bc ca 2abc a (b c) (1 2a )bc a(1 a ) (1 2a)bc .
V
có 0 t bc
Có f(0) = a(1 – a)
VIa.
1.
2.
t t= bc thì ta
(1 a) 2
(b c)
(1 a)
.Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đo n 0;
4
4
4
2
2
(a 1 a)2 1 7
và
4
4 27
2
(1 a)2 7 1
1
1
7
f
v i m i a 0;1
(2a ) a
4 27 4
27
3
3
7
V y ab bc ca 2abc
. ng th c x y ra khi a = b = c = 1/3
27
Gäi C = (c; 2c+3) vμ I = (m; 6-m) lμ trung ®iÓm cña BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). V× C’ lμ trung ®iÓm cña AB nªn:
2m c 5 11 2m 2c
2m c 5 11 2m 2c
5
C'
;
)
3 0 m
CC ' nªn 2(
2
2
2
2
6
5 41
I ( ; ) . Ph−¬ng tr×nh BC: 3x – 3y + 23=0
6 6
2 x y 3 0
14 37
Täa ®é cña C lμ nghiÖm cña hÖ:
C ;
3 3
3 x 3 y 23 0
19 4
Täa ®é cña B = ;
3 3
Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2). Suy ra ph ng trình m t ph ng trung tr c c a
AB, AC là: x y z 1 0, y z 3 0.
Vect pháp tuy n c a mp(ABC) là n AB, AC (8; 4; 4). Suy ra (ABC):
2x y z 1 0 .
x y z 1 0
x 0
Gi i h : y z 3 0 y 2 . Suy ra tâm đ
2 x y z 1 0 z 1
ng tròn là I (0; 2;1).
Bán kính là R IA (1 0) 2 (0 2) 2 (1 1) 2 5.
VII
a
Gi i pt đã cho ta đ
0.5
c các nghi m: z1 1
0,25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
3 2
3 2
i, z2 1
i
2
2
0.5
2
3 2
22
; z1 z2 2
Suy ra | z1 || z2 | 1
2
2
2
2
o đó
VIb
1.
2.
z1 z2
2
2
...
11
4
0.25
( z1 z2 )
Tâm I c a đ ng tròn thu c nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c t I đ n ’ b ng k/c IA nên ta có
3(3t 8) 4t 10
(3t 8 2) 2 (t 1) 2
2
2
3 4
Gi i ti p đ c t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt c n tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Ta có AB (2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n (2; 4; 8) là 1 vtpt c a (ABC)
-83-
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
http://www.VNMATH.com
63
VII
b
thi th
i h c 2011
Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0
M(x; y; z) MA = MB = MC ….
M thu c mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có h , gi i h đ c x = 2, y = 3, z = -7
xy 2 x y 2 0, x 2 2 x 1 0, y 5 0, x 4 0
+ i u ki n:
(I ) .
0 1 x 1, 0 2 y 1
0.25
0.25
0.25
0.25
log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) 2 0 (1)
2log1 x [(1 x)( y 2)] 2log 2 y (1 x) 6
(I )
= 1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
= 1 (2).
log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
1
t log 2 y (1 x) t thì (1) tr thành: t 2 0 (t 1) 2 0 t 1.
t
V i t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3). Th vào (2) ta có:
x 4
x 4
log1 x ( x 4) log1 x ( x 4)
= 1 log1 x
1
1 x x2 2x 0
x4
x4
x0
y 1
. Suy ra:
.
x 2
y 1
+ Ki m tra th y ch có x 2, y 1 tho mãn đi u ki n trên.
V y h có nghi m duy nh t x 2, y 1 .
B
0.25
0.25
0.25
A
P
D
N
Q
M
-84-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C N M 2010-2011
Môn: Toán A. Th i gian: 180 phút ( Không k giao đ ).
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m).
2x 4
Câu I (2 đi m): Cho hàm s y
.
1 x
1) Kh o sát và v đ th C c a hàm s trên.
2) G i (d) là đ ng th ng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) c t ( C ) t i hai đi m M, N
và MN 3 10 .
Câu II (2 đi m):
1) Gi i ph ng trình: sin 3 x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0 .
x 2 y 2 xy 1 4 y
.
2) Gi i h ph ng trình:
2
2
y( x y) 2 x 7 y 2
3sin x 2 cos x
dx
(sin x cos x)3
0
2
Câu III (1 đi m): Tính tích phân: I
Câu IV (1 đi m):
Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i SA vuông góc v i đáy, G là tr ng tâm tam giác
SAC, m t ph ng (ABG) c t SC t i M, c t SD t i N. Tính th tích c a kh i đa di n MNABCD bi t SA=AB=a
và góc h p b i đ ng th ng AN và mp(ABCD) b ng 300 .
Câu V (1 đi m): Cho các s d ng a, b, c : ab bc ca 3.
1
1
1
1
Ch ng minh r ng:
.
2
2
2
1 a (b c) 1 b (c a ) 1 c ( a b) abc
II. PH N RIÊNG (3 đi m) (Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c ph n 2)).
1. Theo ch ng trình Chu n :
Câu VI.a (2 đi m):
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn hai đ ng tròn
(C ) : x 2 y 2 – 2 x – 2 y 1 0, (C ') : x 2 y 2 4 x – 5 0 cùng đi qua M(1; 0). Vi t ph ng
trình đ ng th ng qua M c t hai đ ng tròn (C ), (C ') l n l t t i A, B sao cho MA= 2MB.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, hãy xác đ nh to đ tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam
giác ABC, bi t A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1 đi m):
Khai tri n đa th c: (1 3x) 20 a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 . Tính t ng: S a0 2 a1 3 a2 ... 21 a20 .
2. Theo ch
ng trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 đi m)
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, hãy vi t ph
H (1;0) , chân đ
ng trình các c nh c a tam giác ABC bi t tr c tâm
ng cao h t đ nh B là K (0; 2) , trung đi m c nh AB là M (3;1) .
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ
ng th ng: (d1 ) :
Tìm t a đ các đi m M thu c (d1 ) và N thu c (d 2 ) sao cho đ
P :
x – y z 2010 0 đ dài đo n MN b ng
Câu VII.b (1 đi m): Gi i h ph
x y z
x 1 y z 1
.
và (d 2 ) :
2
1
1
1 1 2
ng th ng MN song song v i m t ph ng
2.
2 log1 x ( xy 2 x y 2) log 2 y ( x 2 2 x 1) 6
ng trình
=1
log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
………………………………….....................H T……………………………………………………
-85-
http://www.VNMATH.com
63 Ph
thinth
i h c 2011
Câu
N i dung
I
Làm đúng, đ các b c theo S đ kh o sát hàm s cho đi m t i đa.
(2,0) 1(1,0)
2(1,0) T gi thi t ta có: (d ) : y k ( x 1) 1. Bài toán tr thành: Tìm k đ h ph
i m
1,0
ng trình sau
có hai nghi m ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân bi t sao cho x2 x1 y2 y1 90(*)
2
0,25
2
2x 4
kx 2 (2k 3) x k 3 0
k ( x 1) 1
I
(
)
I
(
)
.
Ta
có:
x 1
y k ( x 1) 1
y k ( x 1) 1
D có (I) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi ph ng trình
3
c k 0, k .
8
2
2
90 (1 k )[ x2 x1 4 x2 x1 ] 90(***)
kx 2 (2k 3) x k 3 0(**) có hai nghi m phân bi t. Khi đó d có đ
Ta bi n đ i (*) tr thành: (1 k 2 ) x2 x1
2
Theo đ nh lí Viet cho (**) ta có: x1 x2
ph
2k 3
k 3
, x1 x2
, th vào (***) ta có
k
k
0,5
ng trình:
8k 3 27k 2 8k 3 0 (k 3)(8k 2 3k 1) 0 k 3, k
3 41
3 41
.
, k
16
16
0,25
KL: V y có 3 giá tr c a k tho mãn nh trên.
Câu Ph n
II
(2,0) 1(1,0)
N i dung
sin 3 x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0
(sin 3x sin x) 2sin x 3sin 2 x (cos 2 x 2 3cos x) 0
2sin 2 x.cos x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0
2sin x.cos 2 x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0
1
sin x 2
(2sin x 1)(2 cos 2 x 3cos x 1) 0 cos x 1
1
cos x
2
x k 2
1
6
, (k Z ).
+) sin x
2
x 5 k 2
6
x k 2
1
3
, (k Z ).
+) cos x
2
x k 2
3
+) cos x 1 x k 2 , (k Z ).
KL:V y ph ng trình có 5 h nghi m nh trên.
2(1,0)
x2 1
x y 4
x 2 y 2 xy 1 4 y
y
D th y y 0 , ta có:
.
2
2
2
y( x y) 2 x 7 y 2
( x y ) 2 2 x 1 7
y
uv 4
u 4v
v 3, u 1
x2 1
, v x y ta có h : 2
t u
2
y
v 2u 7
v 2v 15 0
v 5, u 9
-86-
i m
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
+) V i v 3, u 1 ta có h :
x2 1 y
x2 1 y
x2 x 2 0
x 1, y 2
.
x 2, y 5
x y 3
y 3 x
y 3 x
x2 1 9 y
x2 1 9 y
x 2 9 x 46 0
+) V i v 5, u 9 ta có h :
,h
x
y
y
x
y
x
5
5
5
này vô nghi m.
KL: V y h đã cho có hai nghi m: ( x; y ) {(1; 2), (2; 5)}.
Câu Ph n
III
(1,0)
t x
2
t dx dt , x 0 t
2
0,25
0,25
N i dung
,x
2
i m
0,25
t 0.
2
3sin x 2 cos x
3cos t 2sin t
3cos x 2sin x
dx
dt
dx (Do tích phân
3
3
(sin x cos x)
(cos t sin t )
(cos x sin x)3
0
0
0
không ph thu c vào kí hi u c u bi n s ).
2
2
Suy ra: I
0,25
2
3sin x 2 cos x
3cos x 2sin x
1
dx
dx
dx =
3
3
(sin x cos x)
(cos x sin x)
(sin x cos x) 2
0
0
0
2
2
Suy ra: 2 I I I
1
12
1
1
1
=
dx
d x tan x 2 1 . KL: V y I .
4 0
20
4 2
2
0 2 cos 2 x
cos 2 x
4
4
2
Câu Ph n
IV
(1,0)
N i dung
+ Trong mp(SAC) k AG c t SC t i M, trong mp(SBD) k BG c t SD t i N.
S
+ Vì G là tr ng tâm tam giác ABC nên d có
SG 2
suy ra G c ng là tr ng tâm tam giác SBD.
SO 3
T đó suy ra M, N l n l t là trung đi m c a
SC, SD.
N
1
1
+ D có: VS . ABD VS .BCD VS . ABCD V .
2
2
Theo công th c t s th tích ta có:
M
G
VS . ABN SA SB SN
1 1
1
A
. .
1.1. VS . ABN V
2 2
4
VS . ABD SA SB SD
VS . BMN SB SM SN
1 1 1
1
1. . VS . ABN V
.
.
O
2 2 4
8
VS .BCD SB SC SD
T đó suy ra:
C
3
B
VS . ABMN VS . ABN VS . BMN V .
8
1
+ Ta có: V SA.dt ( ABCD) ; mà theo gi thi t SA ( ABCD) nên góc h p b i AN v i
3
mp(ABCD) chính là góc NAD
, l i có N là trung đi m c a SC nên tam giác NAD cân t i
SA
NDA
a 3.
300. Suy ra: AD
N, suy ra NAD
tan 300
3 3
1
1
a .
Suy ra: V SA.dt ( ABCD) a.a.a 3
3
3
3
-87-
http://www.VNMATH.com
0,5
i m
0,25
D
0,25
63
thi th
i h c 2011
3
5
5 3a 3
.
Suy ra: th tích c n tìm là: VMNABCD VS . ABCD VS . ABMN V V V
24
8
8
0,5
Câu Ph n
N i dung
V
Áp d ng B T Cauchy cho 3 s d ng ta có: 3 ab bc ca 3 3 (abc) 2 abc 1 .
(1,0)
1
1
Suy ra: 1 a 2 (b c) abc a 2 (b c) a (ab bc ca) 3a
(1).
2
1 a (b c) 3a
1
1
1
1
(2),
(3).
T ng t ta có:
2
2
1 b (c a) 3b
1 c (a b) 3c
C ng (1), (2) và (3) theo v v i v ta có:
1
1
1
1
1 1 1 1 ab bc ca
( )
.
2
2
2
1 a (b c) 1 b (c a) 1 c (a b) 3 c b c
3abc
abc
D u “=” x y ra khi và ch khi abc 1, ab bc ca 3 a b c 1, (a, b, c 0).
Câu
i m
0,25
0,25
0,5
Ph n
N i dung
i m
+ G i tâm và bán kính c a (C), (C’) l n l t là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R 1, R ' 3 , đ ng
VIa 1(1,0) th ng (d) qua M có ph ng trình a( x 1) b( y 0) 0 ax by a 0, (a 2 b 2 0)(*) . 0,25
(2,0)
+ G i H, H’ l n l t là trung đi m c a AM, BM.
Khi đó ta có:
MA 2 MB IA2 IH 2 2 I ' A2 I ' H '2 1 d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] ,
IA IH .
9a 2
b2
2
2
4 d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 4. 2
35
a b2 a 2 b2
36a 2 b 2
2
35 a 2 36b 2
2
a b
a 6
D th y b 0 nên ch n b 1
.
a6
Ki m tra đi u ki n IA IH r i thay vào (*) ta có hai đ ng th ng tho mãn.
2(1,0) + Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2). Suy ra ph ng trình m t ph ng trung tr c c a AB,
AC là: x y z 1 0, y z 3 0.
+ Vecto pháp tuy n c a mp(ABC) là n AB, AC (8; 4; 4). Suy ra (ABC):
2x y z 1 0 .
x y z 1 0
x 0
+ Gi i h : y z 3 0 y 2 . Suy ra tâm đ ng tròn là I (0; 2;1).
2 x y z 1 0 z 1
2
2
Bán kính là R IA (1 0) 2 (0 2) 2 (1 1) 2 5.
Câu
VII.a
(1,0)
Ph n
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
N i dung
i m
0,25
+ Ta có: x(1 3x) 20 a0 2a1 x 3a2 x 2 ... 21a20 x 20 .
(1 3x) 20 60 x(1 3 x)19 a0 2a1 x 3a2 x 2 ... 21a20 x 20 (*).
Nh n th y: ak x k ak ( x) k do đó thay x 1 vào c hai v c a (*) ta có:
S a0 2 a1 3 a2 ... 21 a20 422 .
-88-
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
Câu
thi th
i h c 2011
Ph n
N i dung
+
ng th ng AC vuông góc v i HK nên nh n
VIb 1(1,0) HK (1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên
(2,0)
( AC ) : x 2 y 4 0. Ta c ng d có:
( BK ) : 2 x y 2 0 .
+ Do A AC , B BK nên gi s
A(2a 4; a ), B(b; 2 2b). M t khác M (3;1) là
K
trung đi m c a AB nên ta có h :
2a 4 b 6
2a b 10
a 4
.
b 2
a 2 2b 2
a 2b 0
Suy ra: A(4; 4), B(2; 2).
C
+ Suy ra: AB (2; 6) , suy ra: ( AB) : 3 x y 8 0 .
i m
A
0,25
M
H
B
+
ng th ng BC qua B và vuông góc v i AH nên nh n HA (3; 4) , suy ra:
( BC ) : 3x 4 y 2 0.
KL: V y : ( AC ) : x 2 y 4 0, ( AB) : 3x y 8 0 , ( BC ) : 3x 4 y 2 0.
0,5
0,25
2(1,0) + M , N (d1 ), (d 2 ) nên ta gi s
M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N (1 2t2 ; t2 ;1 t2 ) NM (t1 2t2 1; t1 t2 ; 2t1 t2 1) .
+ MN song song mp(P) nên: nP .NM 0 1.(t1 2t2 1) 1.(t1 t2 ) 1(2t1 t2 1) 0
t2 t1 NM (t1 1; 2t1 ;3t1 1) .
t1 0
+ Ta có: MN 2 (t1 1) (2t1 ) (3t1 1) 2 7t 4t1 0
.
t1 4
7
4 4 8
1 4 3
+ Suy ra: M (0; 0; 0), N (1; 0;1) ho c M ( ; ; ), N ( ; ; ) .
7 7 7
7 7 7
+ Ki m tra l i th y c hai tr ng h p trên không có tr ng h p nào M ( P).
KL: V y có hai c p M, N nh trên tho mãn.
2
Câu
Ph n
2
-89-
0,25
2
1
N i dung
xy 2 x y 2 0, x 2 x 1 0, y 5 0, x 4 0
+ i u ki n:
(I ) .
0 1 x 1, 0 2 y 1
2 log1 x [(1 x)( y 2)] 2 log 2 y (1 x) 6
+ Ta có: ( I )
=1
log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) 2 0 (1)
= 1 (2).
log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4)
1
+ t log 2 y (1 x) t thì (1) tr thành: t 2 0 (t 1) 2 0 t 1.
t
V i t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3). Th vào (2) ta có:
x 4
x 4
log1 x ( x 4) log1 x ( x 4)
= 1 log1 x
1
1 x x2 2x 0
x4
x4
y 1
x0
.
. Suy ra:
y 1
x 2
+ Ki m tra th y ch có x 2, y 1 tho mãn đi u ki n trên.
V y h có nghi m duy nh t x 2, y 1 .
2
VII.b
(1,0)
2
0,25
0,25
0,25
i m
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com 0,25
63
thi th
i h c 2011
-90-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C 2011
MÔN TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút
A. PH N DÀNH CHO T T C THÍ SINH
Câu I (2 đi m)
x 1
Cho hàm s y
.
x 1
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th
b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph
C c
a hàm s .
ng trình
x 1
m.
x 1
Câu II (2 đi m)
b) Gi i ph
ng trình 2 sin 4 x cos 4 x cos 4 x 2sin 2 x m 0 có nghi m trên 0; .
2
1
1
8
ng trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x .
2
4
a) Tìm m đ ph
Câu III (2 đi m)
3
3x2 1 2 x 2 1
.
1 cos x
x 0
a) Tìm gi i h n L lim
0
2
4
6
98
100
b) Ch ng minh r ng C100
C100
C100
C100
... C100
C100
250.
Câu IV (1 đi m)
Cho a, b, c là các s th c tho mãn a b c 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
B. PH N DÀNH CHO T NG LO I THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình chu n
Câu Va (2 đi m)
a) Trong h t a đ Oxy, cho hai đ
C2 : x 2 y 2 6 x 8 y 16 0. L
ng tròn có ph
p ph
ng trình C1 : x 2 y 2 4 y 5 0 và
ng trình ti p tuy n chung c a C1 và C2 .
b) Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có t t c các c nh đ u b ng a. G i M là trung đi m c a AA’.
Tính th tích c a kh i t di n BMB’C’ theo a và ch ng minh r ng BM vuông góc v i B’C.
Câu VIa (1 đi m)
x 1 y z 2
. Vi t ph ng trình m t ph ng ch a
Cho đi m A 2;5;3 và đ ng th ng d :
2
1
2
d sao cho kho ng cách t
A đ n l n nh t.
Dành cho thí sinh thi theo ch
ng trình nâng cao
-91-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu Vb (2 đi m)
a) Trong h t a đ Oxy, hãy vi t ph ng trình hyperbol (H) d ng chính t c bi t r ng (H) ti p
xúc v i đ ng th ng d : x y 2 0 t i đi m A có hoành đ b ng 4.
600. Tính th tích
b) Cho t di n OABC có OA 4, OB 5, OC 6 và
AOB BOC
COA
t di n OABC.
Câu VIb (1 đi m)
Cho
m t
ph ng
P : x 2 y 2z 1 0
và
các
đ
ng
th ng
d1 :
x 1 y 3 z
,
2
2
3
x5 y z 5
. Tìm đi m M thu c d 1 , N thu c d 2 sao cho MN song song v i (P) và đ
6
4
5
th ng MN cách (P) m t kho ng b ng 2.
d2 :
ng
ÁP ÁN
Câu I
a)
2 đi m
x 1
có t p xác đ nh D R \ 1 .
x 1
x 1
x 1
x 1
1; lim
; lim
.
Gi i h n: lim
x x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
T p xác đ nh: Hàm s y
o hàm: y '
2
0, x 1 Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng
x 12
;1 và 1; . Hàm s
0,25
0,25
không có c c tr .
B ng bi n thiên:
th hàm s có ti m c n đ ng x 1; ti m c n ngang y 1. Giao c a hai ti m
0,25
c n I 1;1 là tâm đ i x ng.
th : H c sinh t v hình
b)
H c sinh l p lu n đ suy t đ th (C) sang đ th y
x 1
x 1
C '
0,25
0,5
H c sinh t v hình
-92-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S nghi m c a
x 1
x 1
m b ng s giao đi m c a đ th y
và y m.
x 1
x 1
Suy ra đáp s
m 1; m 1: ph
Câu II
a)
0,25
0,25
ng trình có 2 nghi m
m 1: ph ng trình có 1 nghi m
1 m 1: ph ng trình vô nghi m
2 đi m
1
Ta có sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x và cos4 x 1 2sin 2 2 x.
2
Do đó 1 3sin 2 2 x 2sin 2 x 3 m .
0,25
0,25
t t sin 2x . Ta có x 0; 2 x 0; t 0;1 .
2
Suy ra f t 3t 2 2t 3 m, t 0;1
Ta có b ng bi n thiên
0,25
10
ng trình đã cho có nghi m trên 0; 2 m
3
2
1
1
8
Gi i ph ng trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x 2
2
4
i u ki n: 0 x 1
0,25
T đó ph
b)
2 x 3 x 1 4 x
0,25
0,25
ng h p 1: x 1
0,25
Tr
2 x2 2 x 0 x 2
Tr
ng h p 1: 0 x 1
0,25
2 x2 6 x 3 0 x 2
3 3
V y t p nghi m c a (2) là T 2; 2 3 3
Câu III
a)
3
3x 2 1 2 x 2 1
.
1 cos x
x 0
Tìm L lim
-93-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
3 3x 2 1 1
2 x 2 1 1
Ta có L lim
1 cos x
x 0 1 cos x
0,25
2x2 1 1
2 x2
lim
2
Xét L1 lim
2 x
2
x 0 1 cos x
x 0
2sin 2 x 1 1
2
0,25
3
3x 2 1 1
lim
x 0 1 cos x
x 0
Xét L2 lim
b)
0,25
3x2
2 3
x
2sin 2 3 3x 2 1 3 x 2 1 1
2
2
V y L L1 L2 2 2 4
0,25
0
2
4
100
Ch ng minh r ng C100
C100
C100
... C100
250.
Ta có
0,5
0
1
2 2
100 100
C100
i C100
i ... C100
i
1 i 100 C100
0
2
4
100
1
3
99
i
C100
C100
C100
... C100
C100
C100
... C100
M t khác
0,5
1 i 2 1 2i i 2 2i 1 i 100 2i 50 250
Câu IV
0
2
4
100
V y C100
C100
C100
... C100
250.
Cho a, b, c tho a b c 3. Tìm GTNN c a
M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
t u 2a ;3b ; 4c , v 2c ;3a ; 4b , w 2b ;3c ; 4a M u v w
M uvw
2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c
2
2
3
Theo cô – si có 22 2b 2c 3 2a b c 6 . T
0,25
2
0,5
ng t …
V y M 3 29. D u b ng x y ra khi a b c 1.
Câu Va
a)
0,25
H c sinh t v hình
C1 : I1 0; 2 , R1 3; C2 : I 2 3; 4 , R2 3.
0,25
G i ti p tuy n chung c a C1 , C2 là : Ax By C 0 A2 B 2 0
0,25
là ti p tuy n chung c a C1 , C2
2 B C 3 A2 B 2
1
d I1; R1
d I 2 ; R2
3 A 4 B C 3 A2 B 2 2
-94-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
T (1) và (2) suy ra A 2 B ho c C
Tr
3 A 2 B
2
ng h p 1: A 2 B .
0,5
Ch n B 1 A 2 C 2 3 5 : 2 x y 2 3 5 0
3 A 2 B
. Thay vào (1) đ c
2
4
A 2 B 2 A2 B 2 A 0; A B : y 2 0; : 4 x 3 y 9 0
3
Tr
b)
ng h p 2: C
G i H là trung đi m c a BC d M ; BB ' C AH
a 3
2
0,25
a2
a3 3
1
1
BB '.BC
VMBB ' C AH .SBB ' C
12
2
2
3
G i I là tâm hình vuông BCC’B’ (H c sinh t v hình)
Ta có B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB.
0,25
(H c sinh t v hình)
G i K là hình chi u c a A trên d K c đ nh;
0,25
S BB ' C
0,5
Câu VIa
G i là m t ph ng b t k ch a d và H là hình chi u c a A trên .
Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK .
0,25
V y AH max AK là m t ph ng qua K và vuông góc v i AK.
G i là m t ph ng qua A và vuông góc v i d : 2 x y 2 z 15 0
0,25
K 3;1; 4
Câu Vb
a)
là m t ph ng qua K và vuông góc v i AK : x 4 y z 3 0
G i H :
x2
a2
y2
b2
0,25
1
(H) ti p xúc v i d : x y 2 0 a 2 b 2 4
x 4 y 2 A 4; 2 H
0,25
16
a2
4
b2
1
1 2
0,25
x2 y2
1
T (1) và (2) suy ra a 2 8; b 2 4 H :
8
4
0,5
(H c sinh t v hình)
L y B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB ' OC ' 4
0,25
b)
-95-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
L y M là trung đi m c a B’C’ OAM OB ' C ' .
0,25
K AH OM AH OB ' C '
Ta có AM OM 2 3 MH
0,25
2 3
4 6
AH
3
3
1
15 3
SOBC OB.OC.sin BOC
2
2
1
V y VOABC AH .SOBC 10 2
3
0,25
G i M 1 2t ;3 3t ; 2t , N 5 6t '; 4t '; 5 5t '
0,25
d M ; P 2 2t 1 1 t 0; t 1.
Tr ng h p 1: t 0 M 1;3;0 , MN 6t ' 4; 4t ' 3; 5t ' 5
MN nP MN .nP 0 t ' 0 N 5;0; 5
0,25
Câu VIb
Tr
ng h p 2: t 1 M 3;0; 2 , N 1; 4;0
K t lu n
0,25
0,25
-96-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI KH O SÁT CH T L
Ngày thi 21/12/2010
NG L N 2
MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao đ )
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
m
Câu I (2,0 đi m) Cho hàm s y x m
x2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s đã cho v i m = 1.
2. Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u sao cho hai đi m c c tr c a đ th hàm s cách đ
d: x – y + 2 = 0 nh ng kho ng b ng nhau.
Câu II (2,0 đi m)
cos 2 x. cos x 1
1. Gi i ph ng trình
2 1 sin x .
sin x cos x
2. Gi i ph
ng trình
7 x2 x x 5 3 2 x x2
Câu III (1,0 đi m). Tính tích phân
3
3.
0
ng th ng
(x )
x3
dx .
x 1 x 3
Câu IV (1,0 đi m). Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng 1. G i M, N là các đi m l n l t di đ ng trên các
c nh AB, AC sao cho DMN ABC . t AM = x, AN = y. Tính th tích t di n DAMN theo x và y.
Ch ng minh r ng: x y 3xy.
Câu V (1,0 đi m). Cho x, y, z 0 tho mãn x+y+z > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P
x 3 y 3 16 z 3
x y z
3
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m): Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B).
A. Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có ph ng trình đ ng th ng AB: x – 2y + 1 = 0,
ph ng trình đ ng th ng BD: x – 7y + 14 = 0, đ ng th ng AC đi qua M(2; 1). Tìm to đ các đ nh c a
hình ch nh t.
2. Trong không gian to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đ ng th ng
x 1 y 1 z 2
x2 y2 z
, d2:
d1:
2
3
1
1
5
2
Vi t ph ng trình đ ng th ng d vuông góc v i (P) đ ng th i c t hai đ ng th ng d 1 và d 2 .
Câu VII.a (1,0 đi m). Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)n , bi t r ng n N th a mãn ph ng trình
log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3
B. Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho tam giác ABC, có đi m A(2; 3), tr ng tâm G(2; 0). Hai đ nh B và C l n
l t n m trên hai đ ng th ng d 1 : x + y + 5 = 0 và d 2 : x + 2y – 7 = 0. Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm
C và ti p xúc v i đ ng th ng BG.
x 3 y 2 z 1
và m t ph ng (P): x + y + z + 2 = 0.
2. Trong không gian to đ cho đ ng th ng d:
2
1
1
G i M là giao đi m c a d và (P). Vi t ph ng trình đ ng th ng n m trong m t ph ng (P), vuông góc v i
d đ ng th i tho mãn kho ng cách t M t i b ng 42 .
1
log
log
y
x
1
1
4
y
Câu VII.b (1,0 đi m). Gi i h ph ng trình 4
( x, y )
2
2
x y 25
-------------------H t -------------------
& đáp án thi
i h c - Tr
ng THPT Thu n Thành s I
-97-
http://www.VNMATH.com
1
63
thi th
S
L
i h c 2011
C ÁP ÁN VÀ BI U I M
THI KH O SÁT L N 2 - 2010
áp án g m 06 trang
Câu
N i dung
i m
I
2,0
1
1,0
1
x2
a) T p xác đ nh: D \ 2
V i m =1 thì y x 1
0.25
b) S bi n thiên:
y ' 1
1
x 2
2
x2 4 x 3
x 2
2
x 1
, y' 0
.
x 3
lim y , lim y , lim y ; lim y ,
x
x
x2
x 2
0.25
lim y ( x 1) 0 ; lim y ( x 1) 0
x
x
Suy ra đ th hàm s có ti m c n đ ng x = 2, ti m c n xiên y = x – 1.
B ng bi n thiên
-
x
y’
+
1
0
2
–
–
3
0
+
+
+
+
1
y
0.25
-
-
3
Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng ;1 , 3; ; hàm s ngh ch bi n trên
m i kho ng 1; 2 , 2;3
C c tr : Hàm s đ t giá tr c c tr : y C = 1 t i x = 1; y CT = 3 t i x = 3.
c)
th :
0.25
-
& đáp án thi
i h c - Tr
ng THPT Thu n Thành s I
-98-
http://www.VNMATH.com
2
63
thi th
i h c 2011
2
1.0
m
;
( x 2) 2
Hàm s có c c đ i và c c ti u ph
phân bi t khác 2 m 0
V i x 2 ta có y’ = 1-
V i m > 0 ph
ng trình (x – 2)2 – m = 0
ng trình (1) có hai nghi m là:
(1) có hai nghi m
x1 2 m y1 2 m 2 m
x2 2 m y2 2 m 2 m
Hai đi m c c tr c a đ th hàm s là A( 2 m ; 2 m 2 m ) ; B( 2 m ; 2 m 2 m )
Kho ng cách t A và B t i d b ng nhau nên ta có ph ng trình:
2m m 2m m
m 0
m 2
i chi u đi u ki n thì m = 2 tho mãn bài toán
V y ycbt m = 2.
0.25
0.25
0.25
II
1
0.25
2.0
Gi i ph
ng trình
cos 2 x. cos x 1
2 1 sin x .
sin x cos x
1.0
K: sin x cos x 0
0.25
Khi đó PT 1 sin x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x
2
1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 0
0.25
1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
sin x 1
cos x 1
(tho mãn đi u ki n)
x k 2
2
x m2
V y ph
2
Gi i ph
k, m Z
0.25
ng trình đã cho có nghi m là: x
ng trình:
0.25
2
k 2 và x m2
7 x2 x x 5 3 2 x x2
(x )
3 2 x x 2 0
PT
2
2
7 x x x 5 3 2 x x
0.25
2 x 0
2
x 1 x 16 0
x 1
V y ph
-
& đáp án thi
ng trình đã cho có m t nghi m x = - 1.
i h c - Tr
1.0
0.25
3 2 x x 2 0
x x 5 2( x 2)
3 x 1
x 0
x2
x 5 2.
x
k, m Z
0.25
0.25
ng THPT Thu n Thành s I
-99-
http://www.VNMATH.com
3
63
thi th
i h c 2011
3
III
Tính tích phân
3.
0
x3
dx .
x 1 x 3
x 0 u 1
x 1 u 2 1 x 2udu dx ; đ i c n:
x 3 u 2
0.25
1
2u 3 8u
x 3
dx
0 3 x 1 x 3 1 u 2 3u 2du 1 (2u 6)du 61 u 1du
0.25
t u=
3
Ta có:
1.0
2
2
2
u 2 6u
1 6 ln u 1 1
0.25
3 6 ln
3
2
0.25
2
2
IV
1.0
D
D ng DH MN H
Do DMN ABC DH ABC mà D. ABC là
t di n đ u nên H là tâm tam giác đ u ABC .
B
C
0.25
N
H
M
A
2
3
6
Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH 1
3
3
2
Di n tích tam giác AMN là S AMN
2
2
0.25
1
3
xy
AM . AN .sin 600
2
4
1
2
Th tích t di n D. AMN là V S AMN .DH
xy
3
12
Ta có: S AMN S AMH S AMH
0.25
1
1
1
xy.sin 600 x. AH .sin 300 y. AH .sin 300
2
2
2
x y 3xy.
V
0.25
1.0
c h t ta có: x y
3
Tr
3
x y
t x + y + z = a. Khi đó
4
3
(bi n đ i t
x y
4P
3
a
ng đ
64 z 3
3
ng) ... x y x y 0
2
a z
3
a
64 z 3
3
0.25
1 t 64t 3
3
0.25
z
(v i t = , 0 t 1 )
a
Xét hàm s f(t) = (1 – t)3 + 64t3 v i t 0;1 . Có
1
2
f '(t ) 3 64t 2 1 t , f '(t ) 0 t 0;1
9
0.25
L p b ng bi n thiên
Minf t
t 0;1
-
& đáp án thi
i h c - Tr
16
64
đ tđ
GTNN c a P là
81
81
c khi x = y = 4z > 0
0.25
ng THPT Thu n Thành s I
-100-
http://www.VNMATH.com
4
63
thi th
i h c 2011
VI.a
2.0
1
1.0
Do B là giao c a AB và BD nên to đ c a B là nghi m c a h :
21
x
x 2 y 1 0
21 13
5
B ;
5 5
x 7 y 14 0
y 13
5
L i có: T giác ABCD là hình ch nh t nên góc gi a AC và AB b ng góc gi a AB và
BD, kí hi u nAB (1; 2); nBD (1; 7); nAC (a; b) (v i a2+ b2 > 0) l n l t là VTPT c a các
đ ng th ng AB, BD, AC. Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB
a b
3
2
2
2
2
a 2b
a b 7 a 8ab b 0
a b
2
7
- V i a = - b. Ch n a = 1 b = - 1. Khi đó Ph ng trình AC: x – y – 1 = 0,
x y 1 0
x 3
A = AB AC nên to đ đi m A là nghi m c a h :
A(3; 2)
x 2 y 1 0 y 2
G i I là tâm hình ch nh t thì I = AC BD nên to đ I là nghi m c a h :
7
x 2
x y 1 0
7 5
I ;
2 2
x 7 y 14 0
y 5
2
14 12
Do I là trung đi m c a AC và BD nên to đ C 4;3 ; D ;
5 5
- V i b = - 7a (lo i vì AC không c t BD)
0.25
0.25
0.25
2
1.0
Ph
x 1 2t
x 2 m
ng trình tham s c a d 1 và d 2 là: d1 : y 1 3t ; d 2 : y 2 5m
z 2 t
z 2 m
Gi s d c t d 1 t i M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và c t d 2 t i N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
3 m 2t 2k
Do d (P) có VTPT nP (2; 1; 5) nên k : MN k n p 3 5m 3t k có nghi m
2 2m t 5k
Gi i h tìm đ
& đáp án thi
i h c - Tr
0.25
0.25
0.25
m 1
c
t 1
Khi đó đi m M(1; 4; 3) Ph
-
0.25
x 1 2t
ng trình d: y 4 t tho mãn bài toán
z 3 5t
0.25
ng THPT Thu n Thành s I
-101-
http://www.VNMATH.com
5
63
VII.a
thi th
i h c 2011
Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)n , bi t r ng n N th a mãn ph
log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3
ng trình
n N
i u ki n:
n 3
Ph
1.0
0.25
ng trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 log 4 (n – 3)(n + 9) = 3
n 7
(n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 0
n 13
(tho mãn)
(không tho mãn)
0.25
V y n = 7.
3
2
Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1 i . 1 i 1 i .(2i )3 (1 i ).(8i ) 8 8i
0.25
V y ph n th c c a s ph c z là 8.
0.25
VI.b
2.0
1
1.0
Gi s B ( xB ; yB ) d1 xB yB 5; C ( xC ; yC ) d 2 xC 2 yC 7
xB xC 2 6
yB yC 3 0
Vì G là tr ng tâm nên ta có h :
0.25
T các ph ng trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)
Ta có BG (3; 4) VTPT nBG (4; 3) nên ph ng trình BG: 4x – 3y – 8 = 0
0.25
Bán kính R = d(C; BG) =
9
ph
5
ng trình đ
ng tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 =
0.25
81
25
2
0.25
1.0
Ta có ph
ng trình tham s c a d là:
x 3 2t
y 2 t to đ đi m M là nghi m c a h
z 1 t
x 3 2t
y 2 t
(tham s t)
z 1 t
x y z 2 0
0.25
M (1; 3;0)
L i có VTPT c a(P) là nP (1;1;1) , VTCP c a d là ud (2;1; 1) .
Vì n m trong (P) và vuông góc v i d nên VTCP u ud , nP (2; 3;1)
G i N(x; y; z) là hình chi u vuông góc c a M trên , khi đó MN ( x 1; y 3; z ) .
Ta có MN vuông góc v i u nên ta có ph ng trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
x y z 2 0
L i có N(P) và MN = 42 ta có h : 2 x 3 y z 11 0
2
2
2
( x 1) ( y 3) z 42
Gi i h ta tìm đ c hai đi m N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
x 5
2
x3
N u N(-3; -4; 5) ta có pt :
2
N u N(5; -2; -5) ta có pt :
-
& đáp án thi
i h c - Tr
y2
3
y4
3
0.25
0.25
z5
1
z 5
1
0.25
-102-
http://www.VNMATH.com
ng THPT Thu n Thành s I
6
63
thi th
i h c 2011
1
log 1 y x log 4 y 1
ng trình 4
2
2
x y 25
VII.b
Gi i h ph
1.0
( x, y )
y x 0
y 0
i u ki n:
0.25
1
yx
yx 1
log 4 y x log 4 y 1 log 4 y 1 y 4
H ph ng trình
x 2 y 2 25
x 2 y 2 25
x 2 y 2 25
0.25
x 3y
x 3y
x 3y
2
2
2 25
2
2
x y 25
9 y y 25
y 10
0.25
5
15
;
x; y
10 10
5
15
;
x; y
10
10
V y h ph
(không th a mãn đk)
0.25
(không th a mãn đk)
ng trình đã cho vô nghi m.
N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà v n đúng thì đ
đáp án quy đ nh.
-
& đáp án thi
i h c - Tr
c đi m t ng ph n nh
ng THPT Thu n Thành s I
-103-
http://www.VNMATH.com
7
63
thi th
i h c 2011
S GIÁO D C & ÀO T O THÁI NGUYÊN
TR NG THPT L NG NG C QUY N
THI TH
I H C L N TH
I – N M 2011
MÔN TOÁN- KH I D
(Th i gian làm bài 180 phút-không k th i gian phát đ )
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
x2
(C)
Câu I: (2 đi m)
Cho hàm s : y
x 1
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (C).
b) Ch ng minh r ng: v i m i giá tr c a m, đ ng th ng d : y x m luôn c t đ th (C) t i hai đi m A,B
phân bi t. Tìm giá tr nh nh t c a đ dài đo n th ng AB.
Câu II: (2 đi m)
a)Gi i b t ph ng trình:
2
2
2
9 2 x x 1 34.152 x x 252 x x 1 0
b)Tìm a đ h ph ng trình sau có nghi m :
x+1 y 1 a
x y 2a 1
Câu III: (2 đi m)
1
1
8
a) Gi i ph ng trình:
2 cos x cos 2 ( x) sin 2 x 3cos( x ) sin 2 x
3
3
2 3
1
b) Tính :
e
3 x 1
dx
0
Câu IV: (1 đi m)
Trong không gian v i h to đ Oxyz ,cho đi m I(1;5;0) và hai đ
x t
x y2 z
; 2 :
1 : y 4 t
1
3
3
z 1 2t
ng th ng
Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d đi qua đi m I và c t c hai đ ng th ng 1 và 2
Vi t ph ng trình m t ph ng( ) qua đi m I , song song v i 1 và 2
PH N RIÊNG: Thí sinh ch đ c làm 1 trong 2 câu V.a ho c V.b
Câu V.a DÀNH CHO H C SINH H C THEO CH NG TRÌNH CHU N (3 đi m)
1)Trong không gian , cho h tr c to đ
Các vuông góc Oxyz
Tìm s các đi m có 3 to đ khác nhau t ng đôi m t,bi t r ng các to đ đó đ u là các s
t nhiên nh h n 10.
Trên m i m t ph ng to đ có bao nhiêu đi m nh v y ?
2) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng đ ng cao, b ng a.
Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SC và AB
3) Gi i ph ng trình: 3log2 x x 2 1
Câu V.b: DÀNH CHO H C SINH H C THEO CH NG TRÌNH NÂNG CAO (3 đi m)
1) Ch ng minh r ng ph ng trình : x5 5 x 5 0 có nghi m duy nh t
x2 y2
1 , bi t ti p tuy n đi qua đi mA(4;3)
2)Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a e líp (E):
16 9
3) Có bao nhiêu s t nhiên có 7 ch s khác nhau t ng đôi m t , trong đó ch s 2 đ ng li n gi a hai ch s
1 và 3.
H T
H và tên thí sinh………S báo danh……………Phòng thi…
-104-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN CH M THI TH
I H C VÀ CAO
NG L N I- KH I D
N m h c 2009-2010
PH N
CHUNG
(7 đi m)
Câu I
i m thành
ph n
N i dung chính và k t qu
D=R/ 1
a) (1đi m)
1
> 0 , x D h/s đ ng bi n trên D và không có c c tr
( x 1) 2
Các đ ng ti m c n: T/c đ ng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đ i x ng I(1;1)
BBT
x
-
1
y’
+
+
+
0,25 đi m
y '
2 đi m
y
+
0,25 đi m
1
-
1
th
y
f(x)=(x-2)/(x-1)
f(x)=1
7
x(t)=1 , y(t)=t
6
0,5 đi m
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
b) (1 đi m)
* Ph ng trình hoành đ giao đi m c a d (C ) là:
x 2 mx m 2 0 (1) ; đ/k x 1
m 2 4m 8 0
Vì
v i m ,nên p/t (1) có 2 nghi m phân bi t khác 1 v i m .Suy
f (1) 1 0
ra d (C ) t i hai đi m phân bi t v i m
*G i các giao đi m c a d (C ) là: A( x A ; x A m ) ; B( xB ; xB m );v i x A ; xB là các
nghi m c a p/t (1)
2
AB 2 2( x A xB ) 2 2 ( x A xB ) 4 xA .xB
2
2
2 m 4(m 2) 2 (m 2) 4 8
V y : AB min 2 2 , đ t đ
0,25 đi m
0,25 đi m
0,25 đi m
0,25 đi m
c khi m = 2
-105-
http://www.VNMATH.com
63
Câu II
2 đi m
thi th
i h c 2011
a) (1 đi m)
2
2
2
2
2
2
2
92 x x 1 34.152 x x 252 x x 1 0 9.32(2 x x ) 34.32 x x . 52 x x 25.52(2 x x ) 0
2
2 x x
3
2
1
2(2 x x 2 )
2 x x
5
3
3
9.
34.
25 0
2
5
5
3 2 x x
25
9
5
2 x x2 0
x (;1 3) (0; 2) (1 3; )
2 x x 2
KL: Bpt có t p nghi m là T= (;1 3) (0; 2) (1 3; )
2
1
T aT (a 2 2a 1) 0 * .Rõ ràng h trên có nghi m khi p/t* có 2 nghi m không âm
2
a 2 2(a 2 2a 1) 0
0
S 0 a 0
1 2 a 2 6
P 0
1
(a 2 2a 1) 0
2
2 đi m
0,25đi m
0,5 đi m
x 1 y 1 a
b)(1 đi m) đ/k x 1; y 1 .B t pt
2
2
( x 1) ( y 1) 2a 1
x 1 y 1 a
1 2
x 1. y 1 a (2a 1) ; V y x 1 và y 1 là nghi m c a p/t:
2
Câu III
0,25đi m
1
1
8
2cosx+ cos 2 ( x) sin 2 x 3cos(x+ )+ sin 2 x
3
3
2 3
1
8
1
2cosx+ cos 2 x sin 2 x 3s inx+ sin 2 x
3
3
3
2
6cosx+cos x 8 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x
0,25 đi m
0,25đi m
0,5đi m
a) (1 đi m)
7
6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x 9s inx+7) 0 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) 0
2
1
s
inx=0
(1)
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
x k 2 ;(k Z )
2
6cosx-2sinx+7=0(2)
(p/t (2) vô nghi m )
1
b) (1 đi m) Tính: I= e
3 x 1
0,25 đi m
0,25 đi m
0,5 đi m
dx
0
x 0 t 1
2
t 3x 1 t ; t 0 3 x 1 t 2 dx t.dt ;
3
x 1 t 2
2
u t du dt
2
V y I= tet dt
t
.
31
dv et dt v et
2
2
2
Ta có I (tet et dt ) e2
3
3
1
-106-
0,5 đi m
0,5 đi m
http://www.VNMATH.com
63
Câu
Câu IV
1 đi m
thi th
i h c 2011
I(1;5;0) ,
x t
1 : y 4 t
z 1 2t
N i dung chính và k t qu
2 :
i m
thành ph n
x y2 z
3
3
1
1 có vtcp u1 (1; 1; 2) ;và 1 đi qua đi m M 1 (0; 4; 1)
2 có vtcp u2 (1; 3; 3) ; 2 đi qua đi m M 2 (0; 2; 0)
mp(P)ch a 1 và đi m I có vtpt n M 1 I , u1 (3; 1; 2)
p/t mp(P) : 3x –y - 2z + 2 = 0
T ng t mp(Q) ch a 2 và đi m I có vtpt n ' (3;-1;2)
p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + 2 = 0
*Vì đ ng th ng d qua I , c t 1 và 2 , nên d = (P) (Q)
đ ng th ng d có vtcp ud n, n' = (1;3;0); d đi qua đi m I(1;5;0)
x 1 t
Nên p/t tham s c a d là y 5 3t
z 0
*mp( ) qua đi m I và song song v i 1 và 2 nên ( ) có vtpt n = u1 , u2 =(9;5;-2)
0,25 đi m
0,25 đi m
0,5 đi m
p/t ( ) : 9x + 5y -2z – 34 = 0
-107-
http://www.VNMATH.com
63
CâuVa
3 đi m
thi th
i h c 2011
1)(1 đi m) T p h p các s t nhiên nh h n 10 : 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
*S đi m có 3 to đ khác nhau đôi m t là: A103 720 (đi m)
* Trên m i m t ph ng to đ ,m i đi m đ u có m t to đ b ng 0, hai to đ còn l i khác
nhau và khác 0.S các đi m nh v y là: A92 72 (đi m)
2) * Xác đ nh k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC))
L y M,N l n l t là trung đi m c a AB,DC;G i O = AC BD mp(SMN) mp(SDC)
H MH SN , (H SN) MH mp(SDC) MH = d(M;(SDC))
= d(AB;(SDC))= d(AB;SC)
* Tính MH: H OI SN MH = 2.OI
1
1
1
ON 2 .OS2
2
OI
SNO vuông có: OI 2 ON 2 OS2
ON 2 OS2
0,5 đi m
0,5 đi m
0,25 đi m
0,25 đi m
S
0,25 đi m
H
I
B
M
C
O
N
A
a
; OS = a
2
a 5
2a 5
ta tính đ c OI =
MH=
5
5
log 2 x
2
3
x 1 * ;
/k x>0 .
3) (1 đi m)
V i ON =
t
D
0,5 đi m
0,5 đi m
t log 2 x t x 2
t
t
3 1
p/t * 3t 4t 1 1. Nh n th y p/t này có nghi m t = 1, và c/m đ
4 4
nghi m đó là duy nh t. V y , ta đ c : log 2 x 1 x 2
KL: p/t có duy nh t nghi m x = 2
-108-
c
http://www.VNMATH.com
63
Câu Vb
3 đi m
thi th
1)(1 đi m)
i h c 2011 5
t f ( x) x 5 x 5 f ' ( x) 5( x 4 1) 5( x 1)( x 1)( x 2 1)
x 1
.Ta có b ng bi n thiên c a h/s f(x):
f '( x) 0
x 1
x
-
-1
1
+
f’(x)
+
0
0
+
-1
+
f(x)
-
-9
Nhìn vào b ng bi n thiên,ta th y : đ ng th ng y=0 ch c t đ th c a h/s f(x) t i m t
đi m duy nh t. V y p/t đã cho có 1 nghi m duy nh t
xx y y
2) (1 đi m) G i to đ ti p đi m là ( x0 ; y0 ), PTTT (d) có d ng: 0 0 1 *
16
9
4 x0 3 y0
1 (1)
Vì A(4;3) (d)
16
9
x0 2 y0 2
Vì ti p đi m ( E ) ,nên
1 (2) .T (1),(2) ta có
16
9
12 3 x0
x0 4; y0 0
y0
. T p/t * , ta th y có 2 ti p tuy n c a (E) đi qua
4
9 x 2 16 y 2 144 x0 0; y0 3
0
0
đi m A(4;3) là : (d 1 ) :
x – 4 = 0 ; (d 2 ) :
3)(1 đi m) TH1 : S ph i tìm ch a b 123:
0,25 đi m
0,25 đi m
0,5 đi m
0,25 đi m
0,25 đi m
0,5 đi m
y–3=0
L y 4 ch s 0; 4;5;6;7;8;9 : có A74 cách
Cài b 123 vào v trí đ u,ho c cu i,ho c gi a hai ch s li n nhau trong 4 ch s
v a l y: có 5 cách
có 5 A74 = 5.840 = 4200 s g m 7 ch s khác nhau trong đó ch a b 123
0,5 đi m
Trong các s trên, có 4 A63 = 4.120 = 480 s có ch s 0 đ ng đ u
Có
5 A74 - 4 A63 = 3720 s ph i tìm trong đó có m t b 123
TH 2 : S ph i tìm có m t b 321 (l p lu n t ng t )
Có 3720 s g m 7 ch s khác nhau , có b t 321
K t lu n: có 3720.2 = 7440 s g m 7 ch s khác nhau đôi m t,trong đó ch s 2 đ ng
li n gi a hai ch s 1 và 3
0,5 đi m
Chú ý :- N u h c sinh làm theo cách khác đúng thì ph i cho đi m t i đa
-109-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C L N 2 - N M H C 2011
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
2x 3
có đ th (C).
Câu I (2 đi m)
Cho hàm s y
x2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (C)
2. Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a (C) t i A, B
sao cho AB ng n nh t .
Câu II (2 đi m)
1. Gi i ph ng trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2. Gi i ph ng trình: x2 – 4x - 3 = x 5
Câu III (1 đi m)
1
dx
Tính tích phân:
2
1 1 x 1 x
Câu IV (1 đi m)
Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t .
Câu V ( 1 đi m )
Cho x, y, z là các s d
PH N T
A. Theo ch
ng th a mãn
1 1 1
4 . CMR:
x y z
1
1
1
1
2x y z x 2y z x y 2z
CH N: Thí sinh ch n m t trong hai ph n A ho c B
ng trình Chu n
Câu VI.a.( 2 đi m )
1. Tam giác cân ABC có đáy BC n m trên đ ng th ng : 2x – 5y + 1 = 0, c nh bên AB n m trên
đ ng th ng : 12x – y – 23 = 0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng AC bi t r ng nó đi qua đi m (3;1)
2. Trong không gian v i h t a đ êcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
x – 2y + z – 2 = 0 và hai đ ng th ng :
x 1 2t
x 1 3 y z 2
và (d’) y 2 t
(d)
1
1
2
z 1 t
Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng ( ) n m trong m t ph ng (P) và c t c hai đ
th ng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho ng cách gi a chúng .
Câu VIIa . ( 1 đi m )
Tính t ng : S C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54 C17 C55C07
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b.( 2 đi m )
1. Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn :
(C 1 ) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C 2 ) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
2. Trong không gian v i h t a đ êcác vuông góc Oxyz cho hai đ ng th ng :
x t
x t
và (d’) y 1 2 t
(d) y 1 2t
z 3t
z 4 5t
a. CMR hai đ ng th ng (d) và (d’) c t nhau .
b. Vi t ph ng trình chính t c c a c p đ ng th ng phân giác c a góc t o b i (d) và (d’) .
Câu VIIb.( 1 đi m )
log x 3
Gi i ph ng trình : 2 5 x
----------------------------- H t ----------------------------Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
-110-
http://www.VNMATH.com
ng
63
thi th
i h c 2011
®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 n¨m häc 2009 - 2010
M«n thi: to¸n
Thêi gian lμm bμi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
C©u
Néi dung
§iÓm
2x 3
cã :
x2
- TX§: D = R \ {2}
- Sù biÕn thiªn:
+ ) Giíi h¹n : Lim y 2 . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng y = 2 lμm TCN
Hμm sè y =
0,25
x
, lim y ; lim y . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng x = 2 lμm TC§
x 2
x 2
+) B¶ng biÕn thiªn:
1
Ta cã : y’ =
< 0 x D
2
x 2
x
1
1.25®
y
2
y’
0,25
-
-
0,25
2
2
Hμm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng ;2 vμ hμm sè kh«ng cã cùc trÞ
- §å thÞ
3
+ Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; )
2
+ Giao ®iÓm víi trôc hoμnh :
A(3/2; 0)
8
I
2.0®
0,5
6
4
2
- §THS nhËn ®iÓm (2; 2)
lμm t©m ®èi xøng
-5
5
10
-2
-4
1
1
L y đi m M m; 2
.
C . Ta có : y ' m
2
m2
m 2
2
0,75đ
Ti p tuy n (d) t i M có ph ng trình :
1
1
y
x m 2
2
m2
m 2
0,25đ
2
Giao đi m c a (d) v i ti m c n đ ng là : A 2; 2
m2
Giao đi m c a (d) v i ti m c n ngang là : B(2m – 2 ; 2)
0,25đ
-111-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
1
1,0®
i h c 2011
1
2
8 . D u “=” x y ra khi m = 2
Ta có : AB2 4 m 2
2
m 2
V y đi m M c n tìm có t a đ là : (2; 2)
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i :
2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
sin x
cosx
2
1 sin x
1 cosx 0
cosx
sin x
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x
0
cosx
sin x
3
2
cosx sin x cosx.sin x 0
cosx sin x
2
3
3
0 tan x
tan x k
Xét
cosx sin x
2
Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . t t = sinx + cosx
v i t 2; 2 . Khi đó ph ng trình tr thành:
t2 1
0 t 2 2t 1 0 t 1 2
2
1 2
Suy ra : 2cos x 1 2 cos x
cos
4
4
2
x k 2
4
2
x - 4x + 3 = x 5 (1)
TX§ : D = 5; )
0,25đ
0,25
0,25
0,5
t
II
2,0®
1 x 2
2
0,25
7 x 5
®Æt y - 2 = x 5 , y 2 y 2 x 5
Ta cã hÖ :
x 2 2 y 5 x 2 2 y 5
2
y 2 x 5 x y x y 3 0
y 2
y 2
x 2 2 y 5
x y 0
5 29
x
2
x 2 y 5
2
x 1
x y 3 0
y 2
2
2
1,0®
1
Ta có :
1 x
1
1®
1 x2
=
1
1 x 1 x2
1 x
2
1 x 2
0,5
1 x 1 x2
dx
2x
1
1
dx
0,5
1 1
1 x2
dx
1 dx
2 1 x
2x
1
1
III
1.0®
1
dx
0,25
1
1 1
1
I1 1 dx ln x x |11 1
2 1 x
2
I2
0,5
1
1
1
1 x2
dx .
2x
t t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2xdx
-112-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
t 2
x 1
ic n:
x 1 t 2
2
t 2 dt
V y I2=
0
2
2 2 t 1
Nên I = 1
G i là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) .
; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Ta có : SCA
0,25
V y
IV
2®
1.0®
1
1
1
1
VSABC .SABC .SA .AC.BC.SA a 3 sin .cos 2 a 3 sin 1 sin 2
3
6
6
6
3
Xét hàm s : f(x) = x – x trên kho ng ( 0; 1)
1
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . f ' x 0 x
3
T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s
f(x) liên t c và có m t đi m c c tr là đi m
S
c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN
2
1
hay Max f x f
x 0;1
3 3 3
a3
, đ t đ c khi
9 3
1
1
sin =
hay arc sin
3
3
(v i0< )
2
+Ta có :
0,5
V y MaxV SABC =
V
1.0®
1
1®
C
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
.(
);
(
);
(
)
2 x y z 4 2 x y z x 2y z 4 2 y x z x y 2z 4 2 z y x
1
1 1 1
( );
+ L i có :
xy 4 x y
1
1 1 1
( );
yz 4 y z
1
1 1 1
( );
xz 4 x z
c ng các B T này ta đ
VIa
2®
B
A
1®
c đpcm.
ng th ng AC đi qua đi m (3 ; 1) nên có ph ng trình :
a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc c a nó t o v i BC b ng góc c a
AB t o v i BC nên :
2a 5b
2.12 5.1
2 2 52 . a 2 b 2
22 52 . 122 12
2a 5b
29
2
5 2a 5b 29 a 2 b 2
5
a 2 b2
a 12b
2
2
9a + 100ab – 96b = 0
a 8 b
9
Nghi m a = -12b cho ta đ ng th ng song song v i AB ( vì đi m ( 3 ; 1)
không thu c AB) nên không ph i là c nh tam giác .
V y còn l i : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9
-113-
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Ph
2
1®
ng trình c n tìm là : 8x + 9y – 33 = 0
M t ph ng (P) c t (d) t i đi m A(10 ; 14 ; 20) và c t (d’) t i đi m B(9 ; 6 ; 5) 0,25
ng th ng ∆ c n tìm đi qua A, B nên có ph ng trình :
x 9 t
y 6 8t
0,25
z 5 15t
+
ng th ng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2
+
ng th ng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1
Ta có :
MM ' 2; 1;3
MM ' u, u ' 2; 1;3 11 12 ; 12 12 ; 12
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .( pcm)
Khi đó :
MM ' u, u '
8
d d , d '
11
u, u '
Ch n khai tri n :
5
x 1 C50 C15 x C52 x 2 C55 x 5
x 1
VIIa
VIb
2đ
1đ
1
1đ
7
1
1
8 0
0,25
0,25
.0,25
C07 C17 x C72 x 2 C77 x 7 C70 C17 x C72 x 2 C57 x 5
H s c a x5 trong khai tri n c a (x + 1)5.(x + 1)7 là :
C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54C17 C55C70
M t khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và h s c a x5 trong khai tri n c a
5
(x + 1)12 là : C12
0,25
5
T đó ta có : C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54C17 C55C70 = C12
= 792
0,25
ng tròn (C 1 ) có tâm I 1 (5 ; -12) bán kính R 1 = 15 ,
ng tròn (C 2 ) có
tâm I 2 (1 ; 2) bán kính R 1 = 5 . N u đ ng th ng Ax + By + C = 0
(A2 + B2 0) là ti p tuy n chung c a (C 1 ) và (C 2 ) thì kho ng cách t I 1 và
I 2 đ n đ ng th ng đó l n l t b ng R 1 và R 2 , t c là :
5A 12B C
15 1
A 2 B2
A 2B C 5 2
A 2 B2
T (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C |
Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)
TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) :
|2A – 7B | = 5 A 2 B2 21A 2 28AB 24B2 0
14 10 7
A
B
21
N u ta ch n B= 21 thì s đ c A = - 14 10 7 , C = 203 10 7
V y có hai ti p tuy n :
(- 14 10 7 )x + 21y 203 10 7 = 0
4A 3B
TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C
, thay vào (2) ta
2
đ c : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Ph ng trình này vô nghi m .
-114-
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
a) +
+
ng th ng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5
ng th ng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3
1 3
Nh n th y (d) và (d’) có m t đi m chung là I ;0; hay (d) và (d’) c t
2 2
nhau . ( PCM)
u 15
15
15
b) Ta l y v .u '
; 2
; 3
.
7
7
7
u'
2
1®
15
15
15
;2 2
;5 3
Ta đ t : a u v 1
7
7
7
15
15
15
b u v 1
;2 2
;5 3
7
7
7
Khi đó, hai đ ngphân giác c n tìm là hai đ ng th ng đi qua I và l n l
nh n hai véct a, b làm VTCP và chúng có ph ng trình là :
t
1
15
1
15
x 1
x 1
t
t
2
7
2
7
15
15
và
t
t
y 2 2
y 2 2
7
7
z 3 5 3 15 t
z 3 5 3 15 t
2
7
2
7
K:x>0
PT đã cho t ng đ ng v i : log 5 ( x + 3) = log 2 x (1)
t t = log 2 x, suy ra x = 2t
2 log 5 2t 3 t 2t 3 5t
t
VIIb
1®
2
1
Xét hàm s : f(t) = 3
3
5
t
t
0,25
t
2
1
3 1 (2)
3
5
0,25
t
t
2
1
f'(t) = ln 0, 4 3 ln 0, 2 0, t R
3
5
Suy ra f(t) ngh ch bi n trên R
L i có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghi m duy nh t t = 1 hay log 2 x = 1 hay x =2
V y nghi m c a PT đã cho là : x = 2
-115-
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C N M 2011
Môn : Toán, kh i D
(Th i gian 180 không k phát đ )
CHÍNH TH C
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
2. Tìm đi m M thu c đ ng th ng y=3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai đi m c c tr nh
nh t.
Câu II (2 đi m)
1. Gi i ph ng trình cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0
2. Gi i b t ph ng trình 4x 3 x 2 3x 4 8x 6
3
cotx
dx
s inx.sin x
6
4
Câu III ( 1đi m)Tính tích phân I
Câu IV (1 đi m)
Cho hình chóp S.ABC có m t đáy (ABC) là tam giác đ u c nh a. Chân đ ng vuông góc h t S
xu ng m t ph ng (ABC) là m t đi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng BC và
SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng 300.
Câu V (1 đi m) Cho a,b, c d ng và a2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P
a3
b2 3
b3
c2 3
c3
a2 3
PH N RIÊNG (3 đi m)
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a. (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng tròn (C) : x 2 y 2 2x 8y 8 0 . Vi t ph ng
trình đ ng th ng song song v i đ ng th ng d: 3x+y-2=0 và c t đ ng tròn theo m t dây cung
có đ dài b ng 6.
2. Cho ba đi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a đ đi m D thu c đ ng th ng AB sao cho
đ dài đo n th ng CD nh nh t.
Câu VII.a (1 đi m)
Tìm s ph c z tho mãn : z 2 i 2 . Bi t ph n o nh h n ph n th c 3 đ n v .
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b (2 đi m)
2
4
6
100
8C100
12C100
... 200C100
.
1. Tính giá tr bi u th c: A 4C100
2. Cho hai đ ng th ng có ph ng trình:
x 3 t
d 2 : y 7 2t
z 1 t
x2
z 3
d1 :
y 1
3
2
Vi t ph ng trình đ ng th ng c t d 1 và d 2 đ ng th i đi qua đi m M(3;10;1).
Câu VII.b (1 đi m)
Gi i ph ng trình sau trên t p ph c: z2+3(1+i)z-6-13i=0
-------------------H t----------------ÁP ÁN
THI TH
I H C L N II, n¨m 2010
1
-116-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu
N i dung
T p xác đ nh: D=R
lim x3 3x 2 2
x
i m
lim x 3 3x 2 2
x
x 0
x 2
y’=3x2-6x=0
B ng bi n thiên:
x
-
y’
+
0,25 đ
0
0
2
-
+
2
0
+
+
0,25 đ
y
1
I
2
-
Hàm s đ ng bi n trên kho ng:
(-;0) và (2; + )
Hàm s ngh ch bi n trên
kho ng (0;2)
f C =f(0)=2; f CT =f(2)=-2
y’’=6x-6=0x=1
khi x=1=>y=0
x=3=>y=2
x=-1=>y=-2
-2
0,5 đ
th hàm s nh n đi m I(1;0) là tâm đ i x ng.
G i t a đ đi m c c đ i là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2)
Xét bi u th c P=3x-y-2
Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4P=6>0
V y 2 đi m c c đ i và c c ti u n m v hai phía c a đ ng th ng y=3x-2,
đ MA+MB nh nh t => 3 đi m A, M, B th ng hàng
Ph ng trình đ ng th ng AB: y=-2x+2
T a đ đi m M là nghi m c a h :
4
x
y
x
3
2
4 2
5
=> M ;
5 5
y 2 x 2
y 2
5
Gi i ph ng trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 (1)
1 cos2 x 1 2sin x 1 2sin x 0
cos2 x 11 2sin x 0
1
II
Khi cos2x=1 x k , k Z
1
5
Khi s inx x k 2 ho c x
k 2 , k Z
2
2
Gi i b t ph
6
6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
ng trình: 4x 3 x 2 3x 4 8x 6 (1)
2
-117-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
(1) 4 x 3
0,25 đ
Ta có: 4x-3=0x=3/4
x 2 3 x 4 2 =0x=0;x=3
B ng xét d u:
x
-
0
4x-3
+ 0
x 2 3x 4 2
V trái
- 0
+
V y b t ph
0,25 đ
x 2 3x 4 2 0
¾
0
+
2
+
-
0
0
0
0,25 đ
+
+
+
3
ng trình có nghi m: x 0; 3;
4
0,25 đ
Tính
3
3
cot x
cot x
dx 2
dx
s inx s inx cos x
sin x sin x
6
6
4
0,25 đ
I
3
2
III
cot x
dx
s in x 1 cot x
2
6
t 1+cotx=t
Khi x
6
0,25 đ
1
dx dt
sin 2 x
t 1 3; x
3
t
3 1
V y I 2
t 1
t dt 2 t ln t
3 1
3 1
3 1
3
3 1
3
0,25 đ
2
2
ln 3
3
0,25 đ
3
G i chân đ ng vuông góc h t S xu ng BC là H.
Xét SHA(vuông t i H)
AH SA cos 300
0,25 đ
S
a 3
2
Mà ABC đ u c nh a, mà c nh
AH
IV
a 3
2
K
=> H là trung đi m c a c nh BC
=> AH BC, mà SH BC =>
BC(SAH)
T H h đ ng vuông góc xu ng SA t i
K
=> HK là kho ng cách gi a BC và SA
A
C
0,25 đ
H
B
0,25 đ
AH a 3
=> HK AH sin 300
2
4
3
-118-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
V y kho ng cách gi a hai đ
a 3
4
ng th ng BC và SA b ng
0,25 đ
Ta có:
a3
2 b2 3
b3
2 c 3
2
c3
V
2 a2 3
a3
2 b2 3
b3
2 c 3
2
c3
2 a2 3
L y (1)+(2)+(3) ta đ
b2 3
a 6 3a 2
33
(1)
16
64
4
c2 3
c 6 3c 2
(2)
33
16
64
4
0,5 đ
a2 3
c 6 3c 2
33
(3)
16
64
4
c:
a b c2 9 3 2
P
a b 2 c 2 (4)
16
4
2
2
0,25 đ
Vì a2+b2+c2=3
T (4) P
0,25 đ
3
3
v y giá tr nh nh t P khi a=b=c=1.
2
2
PH N RIÊNG (3 đi m)
A. Theo ch ng trình chu n
ng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5
G i ph ng trình đ ng th ng c n tìm là ,
=> : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // v i đ ng th ng 3x+y-2=0)
Vì đ ng th ng c t đ ng tròn theo m t dây cung có đ dài b ng 6=>
kho ng cách t tâm I đ n b ng 52 32 4
1
c 4 10 1
4
(th a mãn c≠2)
32 1
c 4 10 1
ng trình đ ng tròn c n tìm là: 3x y 4 10 1 0 ho c
d I ,
V y ph
Ph
2
ng trình đ
x 1 t
ng th ng AB: y 5 4t
z 4 3t
Vì AB DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a
21
26
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
5 49 41
0,25 đ
T a đ đi m D ; ;
26 26 26
G i s ph c z=a+bi
VII.a
0,25 đ
0,25 đ
đ dài đo n CD ng n nh t=> D là hình chi
u vuông góc c a C trên
c nh AB, g i t a đ đi m D(1-a;5-4a;4-3a) DC (a; 4a 3;3a 3)
0,25 đ
3 4 c
3x y 4 10 1 0 .
Ta có AB 1; 4; 3
VI.a
0,25 đ
a 2 b 1 i 2
Theo bài ra ta có:
b a 3
0,25 đ
a 2 b 1 4
b a 2
2
2
0,25 đ
4
-119-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
a 2
b 1
a 2
b 1
2
2
0,25 đ
2
2
V y s ph c c n tìm là: z= 2 2 +( 1 2 )i; z= z= 2 2 +( 1 2 )i.
A. Theo ch ng trình nâng cao
100
0
1
2
100 100
Ta có: 1 x C100
C100
x C100
x 2 ... C100
x
1 x
100
0
1
2
3
100 100
(2)
C100
C100
x C100
x 2 C100
x3 ... C100
x
L y (1)+(2) ta đ
1 x
100
1
(1)
1 x
c:
100
0
2
4
100 100
2C100
2C100
x 2 2C100
x 4 ... 2C100
x
L y đ o hàm hai v theo n x ta đ
c
4
100 99
x3 ... 200C100
x
100 1 x 100 1 x 4C x 8C100
99
99
2
100
Thay x=1 vào
2
4
100
8C100
... 200C100
=> A 100.299 4C100
G i đ ng th ng c n tìm là d và đ ng th ng d c t hai đ ng th ng d 1
và d 2 l n l t t i đi m A(2+3a;-1+a;-3+2a)
và B(3+b;7-2b;1-b).
MA k MB
Do
đ
ng
th
ng
d
đi
qua
M(3;10;1)=>
VI.b
2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
a 1
3a 1 kb
3a kb 1
a 11 2kb 3k a 3k 2kb 11 k 2
b 1
4 2a kb
2a kb 4
=> MA 2; 10; 2
0,25 đ
ng trình đ
x 3 2t
ng th ng AB là: y 10 10t
z 1 2t
7 5i ho c
z 2 i
z 5 4i
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
=24+70i,
Bài làm v n đ
0,25 đ
MA 3a 1; a 11; 4 2a , MB b; 2b 3; b
Ph
VII.b
0,25 đ
7 5i
c đi m n u thí sinh làm đúng theo cách khác!
5
-120-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C L N 2 - N M H C 2011
Môn: TOÁN (Th i gian : 180 phút)
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đi m):
1).Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s
2đ
: y
3x 4
. Tìm đi m thu c (C) cách đ u
x2
ng ti m c n .
2).Tìm các giá tr c a m đ ph
Câu II (2 đi m):
ng trình sau có 2 nghi m trên đo n
2
0; 3 .
sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x )
1).Tìm các nghi m trên
0; 2 c
a ph
ng trình :
sin 3x sin x
sin 2x cos2x
1 cos2x
3 x 34 3 x 3 1
2).Gi i ph ng trình:
Câu III (1 đi m):
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C, AC = 2, BC = 4. C nh bên
SA = 5 vuông góc v i đáy. G i D là trung đi m c nh AB.
1).Tính góc gi a AC và SD;
2).Tính kho ng cách gi a BC và SD.
Câu IV (2 đi m):
2
1).Tính tích phân:
I=
sin x cosx 1
dx
sin x 2cosx 3
0
2). a.Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c C : | z | - iz = 1 – 2i
b.Hãy xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn :
1 2 : có 7 cách ch n a và A93 cách ch n b, c , d
+N ua=2:
+ b > 0 : có 8 cách ch n b và có A82 cách ch n c , d
+ b = 0 và c > 1: có 7 cách ch n c và và 7 cách ch n d
+ b = 0 và c = 1 : có 7 cách ch n d
V y s các s th a yêu c u bài toán là : 7. A93 8. A82 7.7 7 4032
0,25
0,25
0,25
0,25
1.(1,0 đi m)
x2
y 2 1 ; a 2 4 a 2 ; b2 1 b 1 ; c2 a 2 b2 3 c 3
(E) :
4
+ Áp d ng đ nh lí côsin trong tam giác F 1 NF 2 :
( F1 F2 ) 2 NF12 NF22 2 NF1 NF2 . cos 60 0
( F1 F2 ) 2 ( NF1 NF2 ) 2 2 NF1 .NF2 NF1 .NF2
4
4 2
( a c2 )
3
3
2
32
; y2
x2
18
9
0,25
0,25
NF1 .NF2
0,25
4 2 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
V y có 4 đi m th a yêu c u bài toán : N1
,
, ; N 4
, ; N 3
, ; N 2
3
3
3 3
3
3
3 3
0,25
2.(1,0 đi m)
ng th ng đi qua M 0 (0 , 0 ,1) và có vtcp u (1, 2 , 0) ; M 0 A (1,0 ,2) ; M 0 A , u ( 4 , 2 , 2)
M 0 A , u
2 6
+ Kho ng cách t A đ n là AH = d ( A , )
5
u
+
2
4 2
4 2
.V y E , F thu c m t c u tâm A , BK R =
3
5
5
x t
y 2t
ng th ng , nên t a đ E , F là nghi m c a h : z 1
( x 1) 2 y 2 ( z 1) 2 32
5
+ Tam giác AEF đ u AE AF AH .
và đ
-132-
http://www.VNMATH.com
0,25
0,25
0,25
63
VII.b
(1,0
đi m)
thi th
i h c 2011
1 2 2
x
5
1 2 2
24 2
t =
suy ra t a đ E và F là : y
5
5
z 1
+ G i s ph c z = x + yi
1 2 2
x
5
24 2
y
5
z 1
0,25
( x , yR )
2 x ( y 1)i (2 y 2)i
H
4 xyi 4
x2
x 3 4
y
4
1
y 1 y 1
y 3
4
x
x
1
V y s ph c c n tìm là : z 3 4 3 i
4
0,25
0,50
0,25
f/(
f(t)
-133-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S giáo d c và đào t o Hà n i
Tr ng THPT Liên Hà
THI TH
I H C N M 2011
****************
Môn : TOÁN; kh i: A,B(Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ )
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m)
2x 1
x 1
ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ng
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s y
2. Vi t ph
Câu II (2 đi m)
1) Gi i ph
ng trình
2) Gi i h ph
sin(2x
2.
x
17
) 16 2 3.s inx cos x 20sin 2 ( )
2
2 12
x 4 x 3y x 2y 2 1
ng trình : 3
2
x y x xy 1
Câu III (1 đi m): Tính tích phân: I =
4
0
tan x .ln(cos x )
dx
cos x
Câu IV (1 đi m):
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t i
đ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng đáy góc 600. Tính côsin c a góc gi a hai m t
ph ng (SAB) và (SBC) .
Câu V: (1 đi m) Cho a,b,c là các s d ng th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng:
a b
b c
c a
3
ab c
bc a
ca b
PH N RIÊNG (3 đi m) Thí sinh ch đ
c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a (1 đi m)
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đi m A(1;1) và đ ng th ng : 2x + 3y + 4 = 0.
Tìm t a đ đi m B thu c đ ng th ng sao cho đ ng th ng AB và h p v i nhau góc 450.
Câu VII.a (1 đi m): Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(1;-1;1)
x y 1 z
x y 1 z 4
và hai đ ng th ng (d ) :
và (d ') :
1
2
3
1
2
5
Ch ng minh: đi m M, (d), (d’) cùng n m trên m t m t ph ng. Vi t ph ng trình m t ph ng đó.
Câu VIII.a (1 đi m)
Gi i ph ng trình: Log x (24x 1)2 x logx 2 (24x 1) x 2 log (24x 1) x
Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b (1 đi m)
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ ng tròn (C ) : x 2 y 2 1 , đ ng th ng (d ) : x y m 0 . Tìm m đ
(C ) c t (d ) t i A và B sao cho di n tích tam giác ABO l n nh t.
Câu VII.b (1 đi m)
Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba m t ph ng:
(P): 2x – y + z + 1 = 0,
(Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
x2
y 1
z
=
= . G i 2 là giao tuy n c a (P) và (Q).
và đ ng th ng 1 :
2
1
3
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng 1 , 2 .
Câu VIII.b (1 đi m) Gi i b t ph ng trình: log x ( log 3 ( 9x – 72 )) 1
----------H t----------
-134-
http://www.VNMATH.com
63
Câu -ý
1.1
thi th
i h c 2011
*T p xác đ nh : D \ 1
ÁP ÁN VÀ THANG I M
N i dung
i m
1
*Tính y '
0 x D
(x 1) 2
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (;1) và (1; )
*Hàm s không có c c tr
*Gi i h n
Lim y
Lim y
x 1
0.25
x 1
Lim y 2
x
Lim y 2
x
0.25
th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2
*B ng bi n thiên
1
x
y’
-
0.25
y
*V đ th
0.25
1.2
*Ti p tuy n c a (C) t i đi m M (x 0 ; f (x 0 )) (C ) có ph
y f '(x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )
ng trình
Hay x (x 0 1) 2 y 2x 0 2 2x 0 1 0 (*)
*Kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n (*) b ng
2 2x 0
2
1 (x 0 1)4
gi i đ
0.25
2
0.25
c nghi m x 0 0 và x 0 2
0.25
0.25
*Các ti p tuy n c n tìm : x y 1 0 và x y 5 0
2.1
*Bi n đ i ph
ng trình đã cho t
ng đ
ng v i
0.25
c os2x 3 sin 2x 10c os(x ) 6 0
6
c os(2x ) 5c os(x ) 3 0
3
6
0.25
2c os 2 (x ) 5c os(x ) 2 0
6
6
1
Gi i đ c c os(x ) và c os(x ) 2 (lo i)
6
2
6
1
5
*Gi i c os(x ) đ c nghi m x k 2 và x
k 2
6
2
6
2
-135-
0.25
0.25
http://www.VNMATH.com
63
2.2
3
thi th
i h c 2011
2
2
3
(x x y ) 1 x y
ng v i 3
2
x y (x xy ) 1
0.25
2
u 2 1 v
x xy u
* t n ph 3
, ta đ c h
x y v
v u 1
*Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3)
0.25
*Bi n đ i h t
ng đ
*T đó gi i đ
* t t=cosx
c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0)
Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 , x
1
2
T đó I
1
ln t
dt
t2
1
dt
t2
1
1
Suy ra I ln t 1
t
2
*
4
1
1
2
I 2 1
4
0.25
thì t
1
2
0.25
ln t
dt
t2
1
1
du dt ; v
t
t
t u ln t ;dv
*K t qu
0.25
0.25
1
1
2
1
1 t 2 dt 2 ln 2 t 1
2
2
1
0.25
2
ln 2
2
0.25
*V hình
*G i H là trung đi m BC , ch ng minh SH (A B C )
*Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy là
SEH SFH 600
*K H K SB , l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC)
b ng H K A .
a 3
a 2
, SH H F tan 600
*L p lu n và tính đ c AC=AB=a , H A
2
2
3
1
1
1
*Tam giác SHK vuông t i H có
K H a
2
2
2
HK
HS
HB
10
a 2
AH
20
2
*Tam giác AHK vuông t i H có tan A K H
KH
3
3
a
10
3
cos A K H
23
5
*Bi n đ i
a b
1c
1c
ab c
ab 1 b a
(1 a )(1 b )
-136-
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1c
1b
1a
(1 a )(1 b )
(1 c )(1 a )
(1 c )(1 b )
ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-c
*T đó V T
Do a,b,c d
d ng
*áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d
V T 3. 3
ng ta đ
6.a
8.a
0.25
1
3
x 1 3t
và có vtcp u (3; 2)
ng trình tham s
y 2 2t
*A thu c A (1 3t ; 2 2t )
A
B .u
1
1
*Ta có (AB; )=450 c os(A B ; u )
2
2
AB.u
* có ph
15
3
t
13
13
32 4
22 32
*Các đi m c n tìm là A 1 ( ; ), A 2 ( ; )
13 13
13 13
*(d) đi qua M 1 (0; 1;0) và có vtcp u 1 (1; 2; 3)
(d’) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2 (1; 2;5)
*Ta có u 1 ; u 2 (4; 8; 4) O , M 1M 2 (0; 2; 4)
Xét u 1 ; u 2 .M 1M 2 16 14 0
(d) và (d’) đ ng ph ng .
*G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtpt n (1; 2; 1) và đi
qua M 1 nên có ph ng trình x 2y z 2 0
*D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcm
* i u ki n :x>0
*TH1 : xét x=1 là nghi m
*TH2 : xét x 1 , bi n đ i ph ng trình t ng đ ng v i
1
1
2
1 2 logx (24x 1) 2 logx (24x 1) logx (24x 1)
t logx (x 1) t , ta đ c ph ng trình
1
2
1
gi i đ c t=1 và t=-2/3
1 2t 2 t t
*V i t=1 logx (x 1) 1 ph ng trình này vô nghi m
2
*V i t=-2/3 logx (x 1)
3
2
3
x .(24x 1) 1 (*)
1
Nh n th y x là nghi m c a (*)
8
1
N u x thì VT(*)>1
8
169t 2 156t 45 0 t
7.a
0.25
c
1c
1b
1a
.
.
=3 (đpcm)
(1 a )(1 b ) (1 c )(1 a ) (1 c )(1 b )
ng th c x y ra khi và ch khi a b c
0.25
-137-
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
N ux
i h c 2011
1
1
thì VT(*) d có ph ng trình
3
1
2
x 0
* i u ki n : log 3 (9x 72) 0
x
9 72 0
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
gi i đ
Vì x log 9 73 >1 nên bpt đã cho t
c x log 9 73
ng đ
ng v i
log 3 (9x 72) x
9x 72 3x
x
3 8
x 2
x
3 9
*K t lu n t p nghi m : T (log 9 72; 2]
L u ý : N u thí sinh làm cách khác đúng thì giám kh o ch m theo các b
-138-
0.25
0.25
0.25
c làm c a cách đó .
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
-139-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD & T B C NINH
TR
NNG THPT L
NG TÀI 2
THI TH
I H C N M 2011
Môn: Toán – Ngày thi: 06.12.2010
Th i gian 180 phút ( không k giao đ )
CHÍNH TH C
Ph n chung cho t t c các thí sinh (7 đi m )
Câu I: (2 đi m)
Cho hàm s y
2x 3
x 2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. Cho M là đi m b t kì trên (C). Ti p tuy n c a (C) t i M c t các đ ng ti m c n c a (C)
t i A và B. G i I là giao đi m c a các đ ng ti m c n. Tìm to đ đi m M sao cho đ ng
tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t.
Câu II (2 đi m)
x
x
x
1. Gi i ph ng trình 1 sin sin x cos sin 2 x 2 cos 2
2
2. Gi i b t ph
2
4
2
1
2
2
ng trình log 2 (4 x 2 4 x 1) 2 x 2 ( x 2) log 1 x
Câu III (1 đi m)
3 x 2 ln x dx
1 x 1 ln x
e
Tính tích phân I
ln x
Câu IV (1 đi m)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
a
SAC
30 0 . Tính th tích
. SA a 3 , SAB
2
kh i chóp S.ABC.
Câu V (1 đi m) Cho a, b, c là ba s d
bi u th c P 3
1
a 3b
3
1
b 3c
3
ng tho mãn : a + b + c =
3
. Tìm giá tr nh nh t c a
4
1
c 3a
Ph n riêng (3 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: Ph n 1 ho c ph n 2
Ph n 1:(Theo ch ng trình Chu n)
Câu VIa (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho cho hai đ ng th ng d1 : 2 x y 5 0 .
d 2 : 3x +6y – 7 = 0. L p ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m P( 2; -1) sao cho đ ng
th ng đó c t hai đ ng th ng d 1 và d 2 t o ra m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a hai
đ ng th ng d 1 , d 2 .
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho 4 đi m A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),
D( 4; -1; 2) và m t ph ng (P) có ph ng trình: x y z 2 0 . G i A’là hình chiêú c a A
lên m t ph ng Oxy. G i ( S) là m t c u đi qua 4 đi m A’, B, C, D. Xác đ nh to đ tâm và
bán kính c a đ ng tròn (C) là giao c a (P) và (S).
Câu VIIa (1 đi m)
Tìm s nguyên d ng n bi t:
2C22n 1 3.2.2C23n 1 .... (1)k k (k 1)2 k 2 C2kn 1 .... 2 n(2 n 1)2 2 n 1 C22nn11 40200
-140-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Ph n 2: (Theo ch
Câu VIb (2 đi m)
ng trình Nâng cao)
1.Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho Hypebol (H) có ph
ng trình:
x2 y2
1.
16 9
Vi t ph ng trình chính t c c a elip (E) có tiêu đi m trùng v i tiêu đi m c a (H) và ngo i
ti p hình ch nh t c s c a (H).
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho P : x 2 y z 5 0 và đ ng th ng
(d ) :
x3
y 1 z 3 , đi m A( -2; 3; 4). G i là đ
2
ng th ng n m trên (P) đi qua giao
đi m c a ( d) và (P) đ ng th i vuông góc v i d. Tìm trên đi m M sao cho kho ng cách
AM ng n nh t.
Câu VIIb (1 đi m):
Gi i h ph
2 3 x 1 2 y 2 3.2 y 3 x
ng trình
3 x 2 1 xy x 1
-------------- H t-------------Chú ý: Thí sinh d thi kh i B và D không ph i làm câu V
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
H và tên thí sinh:--------------------------S báo danh
Câu
I. 1
Dáp án
N i dung
Kh o sát hàm s và v đ th hàm s ..................
1) Hàm s có TX : R \ 2
2) S bi n thiên c a hàm s :
a) Gi i h n vô c c và các đ ng ti m c n:
lim y
* lim y ;
x2
i m
1,00
0,25
x 2
Do đó đ ng th ng x = 2 là ti m c n đ ng c a đ th hàm s
* lim y lim y 2 đ ng th ng y = 2 là ti m c n ngang c a đ th hàm s
x
0,25
x
b) B ng bi n thiên:
Ta có: y'
1
0, x 2
x 2 2
B ng bi n thiên:
x
-
+
y’
2
-
0,25
+
2
y
-
2
* Hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng ;2 và 2;
-141-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
3)
th :
+
th c t tr c tung t i 0; và c t tr c hoành t i đi m ;0
+ Nh n xét:
3
2
3
2
th nh n giao đi m I( 2; 2) c a hai ti m c n làm tâm đ i x ng.
y
0,25
2
3/2
x
2
O
I. 2
Tìm M đ đ
3/2
ng tròn có di n tích nh nh t ..........................
2x 3
1
, x 0 2 , y' (x 0 )
Ta có: M x 0 ; 0
x 0 2
x0 2 2
Ph ng trình ti p tuy n v i ( C) t i M có d ng:
:y
1,00
0,25
2x 3
1
(x x 0 ) 0
2
x0 2
x0 2
2x 2
; B2x 0 2;2
To đ giao đi m A, B c a và hai ti m c n là: A 2; 0
x0 2
Ta th y
y y B 2x 0 3
x A x B 2 2x 0 2
y M suy ra M là
x0 x M , A
2
x0 2
2
2
trung đi m c a AB.
M t khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông t i I nên đ
giác IAB có di n tích
ng tròn ngo i ti p tam
2
2x 0 3
1
2
S = IM (x 0 2)
2
2 (x 0 2)2
2
(x 0 2)
x0 2
x 1
1
D u “=” x y ra khi (x 0 2)2
0
2
(x 0 2 )
x 0 3
2
II. 1
Do đó có hai đi m M c n tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Gi i ph ng trình l ng giác ......
x
x 2
2
x
1 sin sin x cos sin x 2 cos
2
2
4 2
1 1 sin x sin x cos x sin 2 x 1 cos x 1 sin x
2
2
2
0,25
0,25
1 đi m
(1)
0,25
x
x
x
x
x
x
sin x sin cos sin x 1 0 sin x sin cos .2 sin cos 1 0
2
2
2
2
2
2
x
x
x
sin x sin 1 2 sin 2 2 sin 1 0
2
2
2
-142-
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
sin x 0
x k
x k
x
sin 1
x
x k, k Z
k2
2
x k4
2 2
x
x
2 sin 2 2 sin 1
2
2
II. 2
Gi i b t ph
1 đi m
ng trình.........................
1
1
1
x
x 0
x
2 x 1
K: 2
2
2
4 x 2 4 x 1 0
(2x 1)2 0
x 1
2
V i đi u ki n (*) b t ph
ng đ
ng trình t
2 log 2 (1 2x) 2x 2 (x 2)log 2 (1 2x) 1
xlog 2 (1 2x) 1 0
*
0,25
ng v i:
0,25
x 0
x 0
x 0
1
x
log 2 (1 2x) 1 0
log 2 2(1 2x) 0
2(1 2x) 1
4
x 0
x 0
x 0
x 0
log 2 (1 2x) 1 0
log 2 2(1 2x) 0
2(1 2x) 1
K t h p v i đi u ki n (*) ta có:
0,25
0,25
1
1
x ho c x < 0.
4
2
0,25
III
1 đi m
Tính tích phân.............................
e
e
ln x
dx 3 x 2 ln xdx
1 x 1 ln x
1
I
e
+) Tính I 1
1
ln x
x 1 ln x
dx .
1
x
t t 1 ln x t 2 1 ln x; 2tdt dx
0,25
i c n: x 1 t 1; x e t 2
t
2
2
t3
22 2
1
I1
.2tdt 2 t 2 1 dt 2 t
t
3
1
3
1
1
dx
du
e
u ln x
x
+) Tính I 2 x 2 ln xdx . t
2
3
dv x dx v x
1
3
2
2
e
I2
x3
1
e3 1 x 3
.ln x 1e x 2 dx .
3
31
3 3 3
I I1 3I 2
IV
e
1
e3 e3 1 2e3 1
9
3 9 9
5 2 2 2e3
3
0,25
0,25
0,25
0,25
Tính th tích hình chóp .........................
-143-
1 đi m
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S
M
A
C
N
B
Theo đ nh lí côsin ta có:
3a 2 a 2 2.a 3.a.cos30 0 a 2
SB 2 SA 2 AB 2 2SA.AB.cos SAB
Suy ra SB a . T ng t ta c ng có SC = a.
0,25
G i M là trung đi m c a SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam
giác cân nên MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC).
1
3
1
3
1
3
Ta có VS .ABC VS .MBC VA.MBC MA.S MBC SA.S MBC SA.S MBC
Hai tam giác SAB và SAC có ba c p c nh t ng ng b ng nhau nên
chúng b ng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân t i M. G i N là
trung đi m c a BC suy ra MN BC. T ng t ta c ng có MN SA.
2
2
2
a 3
a a 3 3a
2
2
2
2
2
2
2
.
MN
MN AN AM AB BN AM a
4
16
4 2
1
6
1
2
1
3
Do đó VS .ABC SA. MN.BC a 3 .
V
a 3 a a3
.
4 2 16
1 đi m
1 1 1
1 1 1
9
3
9
(*)
(x y z ) 33 xyz
3
x y z xyz
xyz
x y z
1
1
1
9
áp d ng (*) ta có P 3
3
3
3
a 3b
b 3c
c 3a
a 3b 3 b 3c 3 c 3a
a 3b 1 1 1
3 a 3b 1.1
a 3b 2
3
3
b 3c 1 1 1
3 b 3c 1.1
b 3c 2
3
3
c 3a 1 1 1
3 c 3a 1.1
c 3a 2
3
3
0,25
3
3 4
Do đó P 3
0,25
ng ta có
Suy ra 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 4 a b c 6 1 4. 3 6 3
3
D u = x y ra a b c 4
0,25
0,25
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ..................
áp d ng B t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta có
áp d ng B t đ ng th c Côsi cho ba s d
0,25
abc
a 3b b 3c c 3a 1
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 3 khi a b c 1 / 4
-144-
1
4
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
VIa.1
thi th
i h c 2011
L p ph ng trình đ ng th ng ......................
Cách 1: d 1 có vect ch ph ng a1 (2;1) ; d 2 có vect ch ph
1 đi m
ng a 2 (3;6)
Ta có: a1.a 2 2.3 1.6 0 nên d1 d 2 và d 1 c t d 2 t i m t đi m I khác P. G i d
là đ ng th ng đi qua P( 2; -1) có ph ng trình:
0,25
d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0
d c t d 1 , d 2 t o ra m t tam giác cân có đ nh I khi và ch khi d t o v i d 1 ( ho c
d 2 ) m t góc 450
A 3B
cos 45 3A 8AB 3B 0
2
2
2 (1)
B 3A
2A B
A2 B2
0
2
2
0,25
* N u A = 3B ta có đ ng th ng d : 3x y 5 0
* N u B = -3A ta có đ ng th ng d : x 3y 5 0
V y qua P có hai đ ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. d : 3x y 5 0
0,25
Cách 2: G i d là đ ng th ng c n tìm, khi đó d song song v i đ
giác ngoài c a đ nh là giao đi m c a d 1 , d 2 c a tam giác đã cho.
Các đ ng phân giác c a góc t o b i d 1 , d 2 có ph ng trình
0,25
0,25
d : x 3y 5 0
2x y 5
2 2 (1)2
3x 6y 7
32 62
ng phân
3x 9y 22 0 (1 )
3 2x y 5 3x 6 y 7
9x 3y 8 0 ( 2 )
+) N u d // 1 thì d có ph ng trình 3x 9y c 0 .
Do P d nên 6 9 c 0 c 15 d : x 3y 5 0
+) N u d // 2 thì d có ph ng trình 9x 3y c 0 .
Do P d nên 18 3 c 0 c 15 d : 3x y 5 0
V y qua P có hai đ ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. d : 3x y 5 0
d : x 3y 5 0
VIa. 2 Xác đ nh tâm và bán kính c a đ ng tròn........
D th y A’ ( 1; -1; 0)
* Gi s ph ng trình m t c u ( S) đi qua A’, B, C, D là:
a
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0,
2
b2 c2 d 0
5
2
0,25
0,25
0,25
ng trình: x 2 y 2 z 2 5 x 2 y 2 z 1 0
(S) có tâm I ;1;1 , bán kính R
0,25
1 đi m
5
2a 2 b d 2 0
a 2
2a 6b 4c d 14 0
b 1
Vì A' , B, C, D S nên ta có h :
c 1
8a 6 b 4c d 29 0
8a 2b 4c d 21 0
d 1
V y m t c u ( S) có ph
0,25
29
2
+) G i H là hình chi u c a I lên (P). H là tâm c a đ ng tròn ( C)
+) G i ( d) là đ ng th ng đi qua I và vuông góc v i (P).
(d) có vect ch ph ng là: n1;1;1
x 5 / 2 t
5
Suy ra ph ng trình c a d: y 1 t H t;1 t;1 t
2
z 1 t
5
2
5
2
Do H d (P ) nên: t 1 t 1 t 2 0 3t t
-145-
0,25
5
6
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
5 1 1
H ; ;
3 6 6
IH
75 5 3
29 75
31
186
, (C) có bán kính r R 2 IH 2
4 36
6
6
36
6
0,25
VII a. Tìm s nguyên d ng n bi t.......
1 đi m
2 n 1
0
1
2
2
k k
k
2 n 1 2 n 1
* Xét (1 x)
C 2 n 1 C 2 n 1x C 2 n 1x .... (1) C 2 n 1x .... C 2 n 1x
(1)
* L y đ o hàm c hai v c a (1) ta có:
0,25
(2 n 1)(1 x)2 n C12 n 1 2C 22 n 1x ... (1)k kC 2k n 1x k 1 .... (2n 1)C 22 nn 11x 2 n (2)
L i l y đ o hàm c hai v c a (2) ta có:
2n(2n 1)(1 x)2n1 2C22n1 3C32n1x ... (1)k k(k 1)C2kn1xk 2 .... 2n(2n 1)C22nn11x2n1
Thay x = 2 vào đ ng th c trên ta có:
2
3
k
k 2 k
2n 1
2n(2n 1) 2C2n
C 2n 1 ... 2n(2n 1)22n 1 C 2n
1 3.2.2C 2n 1 ... ( 1) k(k 1)2
1
VIb.1
Ph ng trình đã cho 2n(2n 1) 40200 2n 2 n 20100 0 n 100
Vi t ph ng trình chính t c c a E líp
(H) có các tiêu đi m F1 5;0; F2 5;0 . Hình ch nh t c s c a (H) có m t đ nh
là M( 4; 3),
x 2 y2
1 ( v i a > b)
a 2 b2
1
(E) c ng có hai tiêu đi m F1 5;0; F2 5;0 a 2 b 2 52
Gi s ph
ng trình chính t c c a (E) có d ng:
M 4;3 E 9a 2 16b 2 a 2 b2
0,25
x 2 y2
1
40 15
0,25
VIb. 2 Tìm đi m M thu c đ AM ng n nh t
ng trình d v d ng tham s ta đ
1 đi m
x 2t 3
c: y t 1
z t 3
G i I là giao đi m c a (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3
Do I P 2t 3 2(t 1) (t 3) 5 0 t 1 I 1;0;4
0,25
0,25
ng trình chính t c c a (E) là:
* (d) có vect ch ph
0,25
1 đi m
a 2 40
2
2
2
2 2
b 15
9a 16b a b
a 2 52 b2
Chuy n ph
0,25
2
T (1) và (2) ta có h :
V y ph
0,25
ng là a(2;1;1) , mp( P) có vect pháp tuy n là n1;2;1
a, n 3;3;3 . G i u là vect ch ph
ng c a u 1;1;1
x 1 u
. Vì M M 1 u; u;4 u , AM1 u; u 3; u
: y u
z 4 u
-146-
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
AM ng n nh t AM AM u AM.u 0 1(1 u) 1(u 3) 1.u 0
u
VIIb
Gi i h ph
4
7 4 16
. V y M ; ;
3
3 3 3
0,25
1 đi m
ng trình:...................
23x 1 2 y 2 3.2 y 3x
(1)
3x 2 1 xy x 1 (2)
x 1 0
x 1
Ph ng trình (2) 2
x(3 x y 1) 0
3x 1 xy x 1
x 0
x 1
x 1
x 0
3x y 1 0
y 1 3 x
0,25
* V i x = 0 thay vào (1)
2 2 y 2 3.2 y 8 2 y 12.2 y 2 y
8
8
y log 2
11
11
x 1
thay y = 1 – 3x vào (1) ta đ
y 1 3x
1
t t 2 3 x 1 Vì x 1 nên t
4
*V i
0,25
c: 2 3 x 1 2 3 x 1 3.2
0,25
1
t 3 8 lo¹ i x log 2 3 8 1
1
2
3
(3) t 6 t 6t 1 0
t
y 2 log (3 8 )
t 3 8
2
1
x 0
x log 2 3 8 1
3
V y h ph ng trình đã cho có nghi m
8 và
y
log
2
y 2 log (3 8 )
11
2
-147-
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
TR
i h c 2011
NG THPT L
NG NG C QUY N- TP. THÁI NGUYÊN
THI TH
I H C N M 2011
Môn: TOÁN – Kh i: A
(Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát đ )
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m)
Câu I ( 2,0 đi m): Cho hàm s y 2 x 4 .
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. Tìm trên đ th (C) hai đi m đ i x ng nhau qua đ ng th ng MN bi t M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 đi m):
2
1. Gi i ph ng trình:
1 3 2 x x2
x 1 3 x
2. Gi i ph
ng trình: sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x
Câu III (1,0 đi m): Tính tích phân: I
ln x
ln 2 x dx
1 x 1 ln x
e
Câu IV (1,0 đi m):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD c nh
a. Hai đ nh S và S’ n m v cùng m t phía đ i v i m t ph ng (ABCD), có hình chi u vuông góc lên đáy
l n l t là trung đi m H c a AD và trung đi m K c a BC. Tính th tích ph n chung c a hai hình chóp,
bi t r ng SH = S’K =h.
Câu V(1,0 đi m): Cho x, y, z là nh ng s d ng tho mãn xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
P
x9 y 9
y9 z9
z 9 x9
x 6 x3 y 3 y 6 y 6 y 3 z 3 z 6 z 6 z 3 x3 x 6
PH N RIÊNG(3,0 đi m)
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n(ph n A ho c ph n B)
A. Theo ch ng trình chu n.
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ
ng tròn (C) có ph
ng trình: x 2 y 2 4 3 x 4 0 .
Tia Oy c t (C) t i A. L p ph ng trình đ ng tròn (C’), bán kính R’ = 2 và ti p xúc ngoài v i (C) t i A.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hai đi m A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đ ng th ng d có
ph
ng trình
x 2 3t
.
y 2t (t R)
z 4 2t
nh nh t.
Câu VII.a (1,0 đi m): Gi i ph
Tìm trên d nh ng đi m M sao cho t ng kho ng cách t M đ n A và B là
ng trình trong t p s ph c: z 2 z 0
B. Theo ch ng trình nâng cao.
Câu VI.b (2,0 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có c nh AB: x -2y -1 =0, đ ng chéo
BD: x- 7y +14 = 0 và đ ng chéo AC đi qua đi m M(2;1). Tìm to đ các đ nh c a hình ch nh t.
2. Trong không gian v i h to đ vuông góc Oxyz, cho hai đ ng th ng:
2 x y 1 0
3 x y z 3 0 .Ch ng minh r ng hai đ
( )
; ( ')
x
y
z
1
0
2 x y 1 0
nhau. Vi t ph
ng trình chính t c c a c p đ
Câu VII.b (1,0 đi m): Gi i h ph
ng th ng ( ) và ( ' ) c t
ng th ng phân giác c a các góc t o b i ( ) và ( ' ).
x log 2 3 log 2 y y log 2 x
.
x log 3 12 log 3 x y log 3 y
ng trình:
-------------------------------- H t -----------------------H và tên thí sinh: ………………………..……………………………………S báo danh: ……………...……
-148-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN, THANG I M THI TH
Câu
I H C N M 2010 – MÔN TOÁN – KH I A
i m
N i dung
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m)
CâuI
1. TX : D = R\{-1}
6
Chi u bi n thiên: y '
0 x D
( x 1) 2
=> hs đ ng bi n trên m i kho ng (; 1) và (1; ) , hs không có c c tr
Gi i h n: lim y 2, lim y , lim y
x
x 1
0.25
x 1
=>
th hs có ti m c n đ ng x= -1, ti m c n ngang y = 2
BBT
-
-1
x
y’
+
+
+
y
0,25
+
2
-
2
+
2.0
0.25
th (C):
th c t tr c hoành t i đi m 2;0 , tr c tung t i đi m (0;-4)
y
f(x)=(2x-4)/(x+1)
f(x)=2
9
x(t)=-1 , y(t)=t
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0.25
-5
th nh n giao đi m 2 đ
ng ti m c n làm tâm đ i x ng
6
6
2. G i 2 đi m c n tìm là A, B có A a; 2
; B b; 2
; a, b 1
a 1
b 1
ab a2 b2
;
Trung đi m I c a AB: I
2 a 1 b 1
Pt đ ng th ng MN: x + 2y +3= 0
AB.MN 0
Có :
I MN
a 0
A(0; 4)
=>
b 2
B(2;0)
CâuII
đc pt: t - 2t - 4 = 0 t=2
0.25
0.25
0,25
2.0
0,25
1. TX : x 1;3
t t= x 1 3 x , t > 0 =>
0.25
t2 4
3 2x x
2
2
0,25
3
-149-
http://www.VNMATH.com
0,25
63
thi th
i h c 2011
x 1
V i t = 2 x 1 3 x =2
(t / m)
x 3
2. sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x
TX : D =R
sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x
sin x cosx 0
(sin x cosx). 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0
2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0
(t 2; 2 )
t 1
c pt : t2 + 4t +3 = 0
t 3(loai )
x m2
t = -1
(m Z )
x m2
2
x 4 k ( k Z )
(m Z )
V y : x m2
x m2
2
0.25
0,25
ln x
ln 2 x dx
I
1 x 1 ln x
e
e
I1 =
1
e
ln x
dx ,
x 1 ln x
0,25
0,25
đ
Câu III
1,0
k ( k Z )
4
+ V i 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 , đ t t = sin x cosx
+ V i sin x cosx 0 x
0,25
1,0
t t = 1 ln x ,… Tính đ
I 2 ln 2 x dx , l y tích phân t ng ph n 2 l n đ
c I1 =
4 2 2
3
3
c I2 = e - 2
1
2 2 2
I = I1 + I2 = e
3
3
0,5
0,25
0,25
Câu IV
1,0
S
S'
N
M
D
C
H
K
A
B
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung đi m SB, S’D : V VS . ABCD VS . AMND
0,25
VS . AMND VS . AMD VS .MND ;
VS . AMD SM 1 VS .MND SM SN 1
;
;
.
VS . ABD
SB 2 VS . BCD
SB SC 4
1
3
5
VS . ABD VS . ACD VS . ABCD ; VS . AMND VS . ABCD V VS . ABCD
2
8
8
-150-
http://www.VNMATH.com
0.25
0.25
63
thi th
i h c 2011
5 2
ah
24
Có x, y, z >0, t : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :
a 3 b3
b3 c 3
c3 a3
P 2
a ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2
a 3 b3
a 2 ab b 2
a 2 ab b 2 1
(
a
b
)
mà
(Bi n đ i t
a 2 ab b 2
a 2 ab b 2
a 2 ab b 2 3
a 2 ab b 2 1
(a b) 2
( a b)
a ab b 2 3
1
1
b3 c 3
c3 a3
T ng t : 2
(
);
b
c
(c a )
2
2
2
3
3
b bc c
c ca a
2
=> P (a b c) 2. 3 abc 2 (B T Côsi)
3
=> P 2, P 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1
V y: minP = 2 khi x = y =z =1
0.25
V
CâuV
0.25
ng đ
ng)
0.25
0.25
0.25
II. PH N RIÊNG(3,0 đi m)
A. Ch ng trình chu n
CâuVI.a
2.0
0,25
1. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, g i (C’) có tâm I’
x 2 3t
ng th ng IA :
, I ' IA => I’( 2 3t ; 2t 2 ),
y 2t 2
1
AI 2 I ' A t I '( 3;3)
2
Pt đ
(C’): x 3
2
y 3 4
0,25
2
0.25
2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d.
G i A’ đ i x ng v i A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B
(MA+ MB) min = A’B, khi A’, M, B th ng hàng => MA = MA’ = MB
0.25
0.25
0,25
MA=MB M(2 ; 0 ; 4)
0,25
CâuVII.a
z = x + iy ( x, y R ), z + z 0 x y x y 2 xyi 0
2
2
2
2
2
2 xy 0
2
2
2
2
x y x y 0
x 0
y 0
x 0
y 1
x 0
y 1
1.0
0,25
0,25
0,25
V y: z = 0, z = i, z = - i
B. Ch
0,25
0,25
ng trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0
-151-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1. BD AB B(7;3) , pt đg th ng BC: 2x + y – 17 = 0
A AB A(2a 1; a ), C BC C (c;17 2c), a 3, c 7 ,
2a c 1 a 2c 17
;
I =
là trung đi m c a AC, BD.
2
2
0,25
0,25
I BD 3c a 18 0 a 3c 18 A(6c 35;3c 18)
c 7(loai )
M, A, C th ng hàng MA, MC cùng ph ng => c2 – 13c +42 =0
c 6
0,25
0.25
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
2.
1 3
Ch ng minh h có nghi m duy nh t, ( ) ( ' ) = A ;0;
2 2
M (0; 1;0) () , L y N ( ') , sao cho: AM = AN => N
AMN cân t i A, l y I là trung đi m MN => đ ng phân giác c a các góc t o b i ( ) và
( ' ) chính là đg th ng AI
áp s :
x
(d1 ) :
1
2
1
1
14
30
z
3
2
x
1
2
z
0.5
0.25
3
2
y
y
;(d 2 ) :
2
3
2
3
2
5
1
1
2
5
14
30
14
30
14
30
14
30
14
30
0,25
Câu
VII.b
x 0
TX :
y 0
0.25
x
y
x log 2 3 log 2 y y log 2 x
3 . y 2 .x
x
y
12 .x 3 . y
x log 3 12 log 3 x y log 3 y
0.25
y 2x
x
y
3 . y 2 . x
x log 4 2
3
(t/m TX )
y
2
log
2
4
3
0.25
0,25
(H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t
nh trong đáp án ).
-152-
ng ng
http://www.VNMATH.com
63
thi
S th
GD&
TR
i h cNGUYÊN
2011
T THÁI
NG THPT L
THI TH
I H C L N TH
NH T N M 2011
MÔN: TOÁN - KH I B
NG NG C QUY N
(Th i gian làm bài 180 phút không k th i gian phát đ )
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m).
Câu I: (2,0 đi m). Cho hàm s y = x3 – 3mx2 + (m-1)x + 2.
1. Ch ng minh r ng hàm s có c c tr v i m i giá tr c a m.
2. Xác đ nh m đ hàm s có c c ti u t i x = 2. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s
trong tr ng h p đó.
Câu II: (2,0 đi m). 1. Gi i ph ng trình sau:
(1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.
2. Gi i b t ph
ng trình:
2
Câu III: (1,0 đi m). Tính: A
2
0
x2
1 x2
51 2x x 2
1.
1 x
dx .
Câu IV: (1,0 đi m). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, tâm O. C nh bên SA
vuông góc v i mp (ABCD) và SA = a; M là trung đi m c nh SD.
a) M t ph ng () đi qua OM và vuông góc v i m t ph ng (ABCD) c t hình chóp SABCD theo thi t
di n là hình gì? Tính di n tích thi t di n theo a.
b) G i H là trung đi m c a CM; I là đi m thay đ i trên SD. Ch ng minh OH (SCD); và hình chi u
c a O trên CI thu c đ ng tròn c đ nh.
Câu V: (1,0 đi m). Trong mp (Oxy) cho đ ng th ng () có ph ng trình: x – 2y – 2 = 0 và hai
đi m A (-1;2); B (3;4). Tìm đi m M () sao cho 2MA2 + MB 2 có giá tr nh nh t.
PH N RIÊNG (3,0 đi m): Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B).
A. Theo ch ng trình chu n.
Câu VIa: (2,0 đi m). Cho đ ng tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và đi m M (2;4)
a) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M c t đ ng tròn t i 2 đi m A và B, sao cho M là trung
đi m c a AB.
b) Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a đ ng tròn, bi t ti p tuy n có h s góc k = -1.
Câu VIIa: (1,0 đi m). Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c sau:
1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
B. Theo ch ng trình nâng cao.
Câu VI b: (2,0 đi m). Trong không gian cho đi m A(-4;-2;4) và đ ng th ng (d) có ph ng trình: x
= -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t R. Vi t ph ng trình đ ng th ng () đi qua A; c t và vuông góc v i (d).
Câu VIIb: (1,0 đi m). Tính th tích kh i tròn xoay t o thành khi quay quanh tr c hoành hình ph ng
đ c gi i h n b i các đ ng: y = lnx; y = 0; x = 2.
Thí sinh không đ
c dùng tài li u, cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
H tên ............................................................S báo danh ..................................
---------- H t ----------
1
-153-
http://www.VNMATH.com
63 ÁPthiÁN,
th THANG
i h c 2011
I M THI TH
I H C N M 2010 – MÔN TOÁN – KH I B
Câu
N i dung
i m
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m)
CâuI
2.0
1. y’= 3x – 6mx + m -1, ' 3(3m m 1) 0 m => hs luôn có c c tr
2
2
0.5
y '(2) 0
2. y’’ = 6x - 6m => hs đ t c c ti u t i x = 2
m 1
y ''(2) 0
0.5
+) V i m =1 => y = x3 -3x + 2 (C)
TX : D = R
x 0
Chi u bi n thiên: y ' 3 x 2 6 x, y' = 0
x 2
=> hs đ ng bi n trên m i kho ng (;0) và (2; ) , ngh ch bi n trên kho ng (0 ;2)
Gi i h n: lim y , lim y
x
x
i m u n: y’’ =6x – 6, y’’ đ i d u khi x đi qua x = 1 => i m u n U(1; 0)
BBT
x
-
0
2
y’
+
0
0
+
2
y
+
0.25
-
0,25
+
+
-2
0.25
th c t tr c hoành t i đi m (1; 0), 1 3;0 , tr c tung t i đi m (0; 2)
th (C):
y
f(x)=x^3-3x^2+2
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
th nh n đi m u n làm tâm đ i x ng
CâuII
1. TX : x
2
0.25
2.0
l
(l Z )
0,25
t 0
2t
2t
, đc pt: (1 t ) 1
1 t
2
2
1 t
1 t
t 1
V i t = 0 => x = k , (k Z ) (tho mãn TX )
t t= tanx => sin 2 x
V i t = -1 => x
4
k (tho mãn TX )
2.
0,25
0,25
0,25
1,0
2
-154-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1 x 0
2
51 2 x x 0
51 2 x x
1 1 x 0
1 x
51 2 x x 2 0
2
2
51 2 x x (1 x)
x 1
x 1 52; 1 52
x 1
x (; 5) (5; )
x 1 52; 1 52
2
0,5
0,25
x 1 52; 5 1; 1 52
0.25
Câu III
1,0
t t = sinx =>
1 x 2 cos t , dx cos tdt
0,25
4
A sin 2 t dt
0,25
0
A
2
0,5
8
Câu IV
1,0
S
M
I
N
QI
A
D
H
O
B
P
C
a. K MQ//SA => MQ ( ABCD) ( ) ( MQO)
Thi t di n là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ)
( MN PQ).MQ 3a 2
Std
(đvdt)
2
8
0,25
b. AMC : OH / / AM , AM SD, AM CD AM ( SCD) OH ( SCD )
G i K là hình chi u c a O trên CI OK CI , OH CI CI (OKH ) CI HK
Trong mp(SCD) : H, K c đ nh, góc HKC vuông => K thu c đ ng tròn đg kính HC
0.25
0.25
0.25
3
-155-
http://www.VNMATH.com
63
CâuV
thi
th Mi (2
h t c 2011
M
2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)
0.25
2 AM 2 BM 2 15t 2 4t 43 f (t )
2
26
2
Min f(t) = f => M ;
15 15
15
0.25
0,5
II. PH N RIÊNG(3,0 đi m)
A. Ch ng trình chu n
CâuVI.a
a. (C) : I(1; 3), R= 2, A, B (C ) , M là trung đi m AB => IM AB
tìm là đg th ng AB
d đi qua M có vect pháp tuy n là IM => d: x + y - 6 =0
2. g th ng ti p tuy n có d ng : y = - x + m x + y – m =0 (d’)
d’ ti p xúc v i (C) d ( I ; d ') R 2
2.0
ng th ng d c n
m 4 2 2
m 4 2 2
x y (4 2 2) 0
Pt ti p tuy n :
x y (4 2 2) 0
0.25
0.25
0,25
0,25
1.0
0,25
CâuVII.a
P 1 (1 i ) ... (1 i ) 20
0,5
0,5
(1 i ) 21 1
i
10
(1 i ) 21 (1 i ) 2 .(1 i ) (2i )10 (1 i ) 210 (1 i )
0,25
2 (1 i ) 1
210 210 1 i
i
V y: ph n th c 210 , ph n o: 210 1
P
10
B. Ch
0,25
0,25
ng trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0
1. d B B(3 2t;1 t ; 1 4t ) , Vt ch ph
AB.ud 0 t 1
=> B(-1;0;3)
x 1 3t
Pt đg th ng AB : y 2t
z 3 t
ng ud (2; 1; 4)
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu VII.b
2
V ln 2 xdx
0.25
1
t u ln 2 x du 2 ln x. dx; dv dx v x
x
2
V 2 ln 2 2 ln 2 1
0.25
0.5
1
(H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t
nh trong đáp án ).
ng ng
4
-156-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
5
-157-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C N M H C 2010-2011
Môn thi : TOÁN ; Kh i : A
Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m):
Câu I: (2 đi m)
Cho hàm s y
2x 2
(C)
x 1
1. Kh o sát hàm s .
2. Tìm m đ đ ng th ng d: y = 2x + m c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB = 5 .
Câu II: (2 đi m)
2 cos 5 x. cos 3x sin x cos 8 x , (x R)
1. Gi i ph ng trình:
2. Gi i h ph
x y x y 2 y
ng trình:
x 5 y 3
(x, y R)
Câu III: (1 đi m) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y e x 1 ,tr c hoành, x = ln3
và x = ln8.
Câu IV: (1 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đ ng chéo AC = 2 3a ,
BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD).
a 3
, tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.
4
x3 y3 x2 y 2
Câu V: (1 đi m) Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá tr nh nh t c a P
( x 1)( y 1)
Bi t kho ng cách t đi m O đ n m t ph ng (SAB) b ng
PH N RIÊNG (3 đi m) : Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c B)
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đ ng th ng : mx + 4y = 0. Tìm m bi t đ ng th ng c t đ ng tròn (C) t i hai đi m phân
bi t A,B th a mãn di n tích tam giác IAB b ng 12.
2. Trong không gian v i h
d2:
đ
t a đ
Oxyz, cho hai đ
ng th ng d 1 :
x 1 y 2 z 1
và m t ph ng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Vi t ph
2
1
1
ng th ng , bi t n m trên m t ph ng (P) và c t hai đ
x 1 y 1 z 1
;
1
1
2
ng trình chính t c c a
ng th ng d 1 , d 2 .
log2 x
Câu VII.a (1 đi m) Gi i b t ph ng trình 2 2 x 2log2 x 20 0
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình c nh AB: x - y - 2 = 0,
ph ng trình c nh AC: x + 2y - 5 = 0. Bi t tr ng tâm c a tam giác G(3; 2). Vi t ph ng trình c nh
BC.
3. Trong không gian v i h tr c t a đ
Oxyz, cho đ
ng th ng :
x 1 y 3 z
và đi m
4
1
1
M(0 ; - 2 ; 0). Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M song song v i đ
th i kho ng cách gi a đ ng th ng và m t ph ng (P) b ng 4.
Câu VII.b (1 đi m)
Gi i ph
ng trình nghi m ph c : z
ng th ng đ ng
25
8 6i
z
….. H t ….
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: ………..
-158-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN
CÂU
THI TH
I H C - N M: 2010-2011
N I DUNG
I M
T p xác đ nh D = R\- 1
S bi n thiên:
-Chi u bi n thiên: y '
4
0, x D .
( x 1) 2
0,25
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (- ; - 1) và (- 1 ; + ).
I-1
(1 đi m)
- C c tr : Hàm s không có c c tr .
- Gi i h n t i vô c c, gi i h n vô c c và ti m c n:
2x 2
2x 2
2 ; lim
2.
ng th ng y = 2 là ti m c n ngang.
lim
x x 1
x x 1
2x 2
2x 2
; lim
.
ng th ng x = - 1 là ti m c n đ ng.
lim
x 1 x 1
x 1
x 1
-B ng bi n thiên:
x
-
-1
+
y’
+
+
+
2
0,25
0,25
y
-
2
th :
- th hàm s c t tr c Ox t i đi m (1;0)
- th hàm s c t tr c Oy t i đi m (0;- 2)
th hàm s có tâm đ i x ng là giao đi m
hai ti m c n I(- 1; 2).
y
2
-1
y=2
0,25
O
1
x
-2
x= -1
I-2
(1 đi m)
Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t PT(1) có 2 nghi m phân bi t khác -1 m2 - 8m - 16 > 0 (2)
G i A(x 1 ; 2x 1 + m) , B(x 2 ; 2x 2 + m. Ta có x 1 , x 2 là 2 nghi m c a PT(1).
m
x
x
1
2
2
Theo L Viét ta có
.
2
m
x1 x2
2
AB2 = 5 ( x1 x2 ) 2 4( x1 x2 ) 2 5 ( x1 x2 ) 2 4x1 x2 1 m2 - 8m - 20 = 0
m = 10 , m = - 2 ( Th a mãn (2))
KL: m = 10, m = - 2.
-159-
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
II-1
(1 đi m)
thi th
i h c 2011
PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x
1- 2sin2x + sinx = 0
1
sinx = 1 v sin x
2
x
k 2 ; x
k 2 ; x
2
6
K: x + y 0 , x - y 0, y 0
II-2
(1 đi m)
0,25
0,25
0,25
7
k 2 , ( k Z )
6
0,25
0,25
2 y x 0 (3)
PT(1) 2 x 2 x 2 y 2 4 y x 2 y 2 2 y x 2
5 y 4 xy ( 4)
T PT(4) y = 0 v 5y = 4x
V i y = 0 th vào PT(2) ta có x = 9 (Không th a mãn đk (3))
V i 5y = 4x th vào PT(2) ta có x 2 x 3 x 1
4
KL: HPT có 1 nghi m ( x; y ) 1;
5
0,25
0,25
0,25
ln 8
Di n tích S
e x 1dx ;
t t ex 1 t2 ex 1 ex t2 1
0,25
ln 3
Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx dx
III
(1 đi m)
3
Do đó S
2
2t
dt
t 1
2
3
2t 2
2
dt 2 2
dt
2
t 1
t
1
2
0,25
t 1 3
3
2 ln (đvdt)
= 2t ln
t 1 2
2
0,25
T gi thi t AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m i
BD 600
đ ng chéo.Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3 ; BO = a , do đó A
IV
(1 đi m)
0,25
Hay tam giác ABD đ u.
T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) nên giao
tuy n c a chúng là SO (ABCD).
Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB ta có
1
a 3
DH AB và DH = a 3 ; OK // DH và OK DH
OK AB AB (SOK)
2
2
G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là kho ng
cách t O đ n m t ph ng (SAB).
1
1
1
a
SO
Tam giác SOK vuông t i O, OI là đ ng cao
2
2
2
OI
OK
2
SO
2
S
Di n tích đáy S ABCD 4S ABO 2.OA.OB 2 3a ;
a
đ ng cao c a hình chóp SO .
2
Th tích kh i chóp S.ABCD:
1
3a 3
I
VS . ABC D S ABCD .SO
D
3
3
A
3a
O
H
a
K
C
B
-160-
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
t t = x + y ; t > 2. Áp d ng B T 4xy (x + y)2 ta có xy
P
t2
4
0,25
t2
t 3 t 2 xy (3t 2)
. Do 3t - 2 > 0 và xy nên ta có
xy t 1
4
t 2 (3t 2)
t2
4
P
t2
t2
t 1
4
t2
t 2 4t
; f '(t )
; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
Xét hàm s f (t )
t2
(t 2) 2
t3 t2
V
(1 đi m)
t
f’(t)
2
4
0
-
0,25
+
+
+
0,25
+
f(t)
8
Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đ t đ
(2; )
x y 4
x 2
xy 4
y 2
c khi
ng tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
G i H là trung đi m c a dây cung AB.
Ta có IH là đ ng cao c a tam giác IAB.
| m 4m |
| 5m |
IH = d ( I , )
m 2 16
m 2 16
VI.a -1
(1 đi m)
AH IA2 IH 2 25
(5m ) 2
m 2 16
Di n tích tam giác IAB là SIAB
0,25
I
5
A
20
H
0,25
B
0,25
m 2 16
12 2S IAH 12
m 3
d ( I , ). AH 12 25 | m | 3( m 16)
16
m
3
G i A = d 1 (P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d 2 (P) suy ra B(2; 3; 1)
0,25
2
VI.a -2
(1 đi m)
0,25
0,25
0,25
ng th ng th a mãn bài toán đi qua A và B.
M t vect ch ph ng c a đ ng th ng là u (1; 3; 1)
x 1 y z 2
Ph ng trình chính t c c a đ ng th ng là:
1
1
3
0,25
0,25
2
i u ki n: x> 0 ; BPT 24log2 x x 2log2 x 20 0
0,25
t t log 2 x . Khi đó x 2 .
t
BPT tr thành 42t 22t 20 0 . t y = 22t ; y 1.
BPT tr thành y2 + y - 20 0 - 5 y 4.
i chi u đi u ki n ta có : 22t 4 2t 2 2 t 2 1 - 1 t 1.
2
VII.a
(1 đi m)
2
2
0,25
0,25
2
Do đó - 1 log 2 x 1
0,25
1
x2
2
-161-
http://www.VNMATH.com
63
VI.b- 1
(1 đi m)
VI.b-2
(1 đi m)
thi th
i h c 2011
x - y - 2 0
T a đ đi m A là nghi m c a HPT:
A(3; 1)
x 2 y - 5 0
0,25
G i B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC
0,25
b 5
3 b 5 2c 9
. Hay B(5; 3), C(1; 2)
Do G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên
c 2
1 b 2 c 6
M t vect ch ph ng c a c nh BC là u BC ( 4; 1) .
Ph ng trình c nh BC là: x - 4y + 7 = 0
Gi s n( a; b; c ) là m t vect pháp tuy n c a m t ph ng (P).
Ph ng trình m t ph ng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
ng th ng đi qua đi m A(1; 3; 0) và có m t vect ch ph ng u (1;1; 4)
n.u a b 4c 0
(1)
/ /( P )
T gi thi t ta có
| a 5b |
4
(2)
d ( A; ( P )) 4
2
2
2
a b c
Th b = - a - 4c vào (2) ta có ( a 5c ) 2 (2a 2 17c 2 8ac) a 2 - 2ac 8c 2 0
a
a
4 v
2
c
c
a
V i 4 ch n a = 4, c = 1 b = - 8. Ph ng trình m t ph ng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.
c
a
V i 2 ch n a = 2, c = - 1 b = 2. Ph ng trình m t ph ng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
c
Gi s z = a +bi v i ; a,b R và a,b không đ ng th i b ng 0.
Khi đó z a bi ;
VII.b
(1 đi m)
1
1
a bi
2
z a bi a b2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
25
25( a bi )
8 6i a bi 2
8 6i
z
a b2
a ( a 2 b2 25) 8( a 2 b2 ) (1)
3
2
. L y (1) chia (2) theo v ta có b a th vào (1)
2
2
2
4
b( a b 25) 6( a b ) (2)
Ta có a = 0 v a = 4
V i a = 0 b = 0 ( Lo i)
V i a = 4 b = 3 . Ta có s ph c z = 4 + 3i.
Khi đó ph
0,25
ng trình z
-162-
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C, CAO
NG N M 2011
Môn thi: TOÁN, kh i A, B
Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ
Câu 1 (2.0 đi m): Cho hàm s y x3 3mx 2 4m3 (m là tham s ) có đ th là (C m )
1. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 1.
2. Xác đ nh m đ (C m ) có các đi m c c đ i và c c ti u đ i x ng nhau qua đ
th ng y = x.
ng
Câu 2 (2.0 đi m ) :
3
4 2sin 2 x
2 3 2(cotg x 1) .
2
sin 2 x
cos x
x3 y 3 3 y 2 3 x 2 0
có nghi m th c.
2. Tìm m đ h ph ng trình:
2
2
2
0
x
1
x
3
2
y
y
m
Câu 3 (2.0 đi m): 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P) và
đ ng th ng (d) l n l t có ph ng trình:
x y 1 z 2
(d):
(P): 2x y 2z 2 = 0;
2
1
1
1. Vi t ph ng trình m t c u có tâm thu c đ ng th ng (d), cách m t ph ng (P) m t
kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là đ ng tròn có bán kính b ng 3.
1. Gi i ph
ng trình:
2. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a đ
m t góc nh nh t.
ng th ng (d) và t o v i m t ph ng (P)
Câu 4 (2.0 đi m):
1. Cho parabol (P): y = x2. G i (d) là ti p tuy n c a (P) t i đi m có hoành đ x = 2.
G i (H) là hình gi i h n b i (P), (d) và tr c hoành. Tính th tích v t th tròn xoay
sinh ra b i hình (H) khi quay quanh tr c Ox.
2. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá tr nh nh t
1
1
1
c a bi u th c: P
1 xy 1 yz 1 zx
Câu 5 (2.0 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, hãy l p ph
x2 y2
1 và parabol (P): y2 = 12x.
(E):
8
6
ng trình ti p tuy n chung c a elip
12
1
2. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n Newton: 1 x 4
x
o0o
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh:....................................................................SBD:......................
8
-163-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu
N i dung
i m
1. Khi m = 1, hàm s có d ng: y = x3 3x2 + 4
+ TX : R
+ S bi n thiên: y’ = 3x2 6x = 0 x = 0 ho c x = 2
Hàm s đ ng bi n trên: (; 0) và (2; +)
Hàm s nghich bi n trên: (0; 2)
Hàm s đ t C t i x C = 0, y C = 4; đ t CT t i x CT = 2, y CT = 0
y” = 6x 6 = 0 x = 1
th hàm s l i trên (; 1), lõm trên (1; +). i m u n (1; 2)
0.25
3 4
Gi i h n và ti m c n: lim y lim x3 1 3
x
x
x x
0.25
LËp BBT:
x
y’
2
0
∞
+
0
0
+∞
+
+∞
4
0.25
y
∞
I
0
§å thÞ:
y
0.25
x
O
x 0
2/. Ta có: y’ = 3x2 6mx = 0
x 2m
hàm s có c c đ i và c c ti u thì m 0.
0.25
Gi s hàm s có hai đi m c c tr là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB (2m; 4m3 )
Trung đi m c a đo n AB là I(m; 2m3)
-164-
0.25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
i u ki n đ AB đ i x ng nhau qua đ ng th ng y = x là AB vuông góc v i
đ ng th ng y = x và I thu c đ ng th ng y = x
0.25
3
2m 4m 0
3
2m m
Gi i ra ta có: m
2
;m=0
2
0.25
K t h p v i đi u ki n ta có: m
2/. k: x k
2
2
2
0.25
ng trình đã cho t ng đ ng v i:
4
2 3 2cotg x
3 1 tg 2 x
sin 2 x
2(sin 2 x cos 2 x)
3tg 2 x
3 2cotg x
sin x cos x
Ph
0.25
3tg 2 x 2tg x 3 0
tg x 3
x k
3
tg x 1
x k
3
6
II
KL: So sánh v i đi u ki n ph
0.25
ng trình có nghi m : x
x3 y 3 3 y 2 3 x 2 0
2/.
2
2
2
x 1 x 3 2 y y m 0
k ; kZ
6
2
0.25
(1)
(2)
0.25
1 x 1
1 x 0
i u ki n:
2
2 y y 0 0 y 2
2
t t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2.
Hàm s f(u) = u3 3u2 ngh ch bi n trên đo n [0; 2] nên:
(1) y = y y = x + 1 (2) x 2 2 1 x 2 m 0
0.25
0.25
t v 1 x 2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm s g(v) = v2 + 2v 1 đ t min g (v) 1; m ax g (v) 2
[ 0;1]
V y h ph
[ 0;1]
0.25
ng trình có nghi m khi và ch khi 1 m 2
-165-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
1/.
i h c 2011
ng th ng () có ph
x t
ng trình tham s là: y 1 2t ; t R
z 2 t
0.25
G i tâm m t c u là I. Gi s I(t; 1 + 2t; 2+ t)().
Vì tâm m t c u cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 3 nên:
2
t 3
| 2t 1 2t 4 2t 2 | | 6t 5 |
d ( I ; )
3
3
3
t 7
3
0.25
2 1 8
7 17 1
Có hai tâm m t c u: I ; ; vμ I ; ;
3 3 3
3 3 7
Vì m t ph ng (P) c t m t c u theo đ ng tròn có bán kính b ng 4 nên m t c u
có bán kính là R = 5.
0.25
V y ph
ng trình m t c u c n tìm là:
2
III
2
2
2
2
2
2
1
8
7
17
1
x y z 25 vμ x y z 25
3
3
3
3
3
3
2 x y 1 0
ng th ng () có VTCP u (1;2;1) ; PTTQ:
x z 2 0
M t ph ng (P) có VTPT n (2; 1; 2)
0.25
2/.
Góc gi a đ
ng th ng () và m t ph ng (P) là: sin
| 2 2 2 |
6
3
3. 6
0.25
0.25
6
3
Góc gi a m t ph ng (Q) và m t ph ng (Q) c n tìm là cos 1
9
3
Gi s (Q) đi qua () có d ng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = 0 (m2+ n2 > 0)
(2m + n)x + my + nz + m 2n = 0
| 3m |
3
V y góc gi a (P) và (Q) là: cos
3
3. 5m 2 2n 2 4mn
m2 + 2mn + n2 = 0 (m + n)2 = 0 m = n.
Ch n m = 1, n = 1, ta có: m t ph ng (Q) là: x + y z + 3 = 0
1/. Ph
0.25
0.25
ng trình ti p tuy n t i đi m có hoành đ x = 2 là: y = 4x 4
IV
0.25
-166-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2
2 4
Th tích v t th tròn xoay c n tìm là: V x dx (4 x 4) 2 dx
1
0
2 16
x5 2 16
=
( x 1)3
1 15
5 0 3
0.5
1
1
1
2/. Ta có: (1 xy ) (1 yz ) (1 zx)
9
1
xy
1
yz
1
zx
0.25
P
9
9
3 xy yz zx 3 x 2 y 2 z 2
0.25
P
9 3
6 2
0.25
V y GTNN là P min =
V
3
khi x = y = z
2
0.25
1/. Gi s đ ng th ng () có d ng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
() là ti p tuy n c a (E) 8A2 + 6B2 = C2 (1)
() là ti p tuy n c a (P) 12B2 = 4AC 3B2 = AC (2)
0.25
Th (2) vào (1) ta có: C = 4A ho c C = 2A.
V i C = 2A A = B = 0 (lo i)
0.25
2A
3
ng th ng đã cho có ph
V i C = 4A B
Ax
ng trình:
0.25
2A
2 3
y 4A 0 x
y40
3
3
V y có hai ti p tuy n c n tìm: x
2 3
y40
3
0.25
12
12
12
1
4 1
4 1
Ta có: x 1 1 x (1)12k C12k x 4
x
x
x
k 0
12
(1)
12 k
k 0
V
0.25
12
C12k
4 k i
x
k
i 0
Cki
k
0.25
i
1 12 k
12 k k i 4 k 4 i i
x
(1) C12Ck x
x
k 0 i 0
k
0.25
(1)12k C12k Cki x 4 k 5i
k 0 i 0
Ta ch n: i, k N, 0 i k 12; 4k 5i = 8
i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12
0.25
12 8
V y h s c n tìm là: C122 .C20 C127 .C74 C12
.C12 27159
0.25
-167-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
TR
NG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ÔN
L n II
THI TH
I H C, CAO
NG N M 2011
Môn thi: TOÁN, kh i A, B
Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ
Câu I: (2,0 đi m)
Cho hàm s y
2x 4
(C ) .
x 1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2. G i M là m t đi m b t kì trên đ th (C), ti p tuy n t i M c t các ti m c n c a (C) t i A, B.
CMR di n tích tam giác ABI (I là giao c a hai ti m c n) không ph thu c vào v trí c a M.
Câu II: (3,0 đi m)
1. Gi i h ph ng trình:
2 xy
2
2
x y x y 1
x y x2 y
2. Gi i ph
ng trình: 2sin 2 x
3. Gi i b t ph
2
2sin x t anx .
4
ng trình: log 1 log 5
3
x 2 1 x log 3 log 1
5
x2 1 x
Câu III: (2,0 đi m)
ln x 3 2 ln 2 x
dx .
1. Tính tích phân: I
x
1
2. Cho t p A 0;1;2;3;4;5 , t A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s khác
e
nhau, trong đó nh t thi t ph i có ch s 0 và 3.
Câu IV: (2,0 đi m)
1. Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua hai đi m A(2; 5), B(4;1) và ti p xúc v i đ ng th ng
có ph ng trình 3x – y + 9 = 0.
2. Cho hình l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ v i A’.ABC là hình chóp tam giác đ u c nh đáy
AB = a; c nh bên AA’ = b. G i là góc gi a hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan và
th tích chóp A’.BCC’B’.
Câu V: (1,0 đi m)
Cho x 0, y 0, x y 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
T
x
y
1 x
1 y
……………………………………………….H t………………………………………………….
-168-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN
THI TH
I H C L N 2 A, B N M 2011
N i dung
Câu Ý
I
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1,00 đi m)
-T p xác đ nh: R\{-1}
-S bi n thiên: y '
6
2 0x 1 . Suy ra hàm s đ ng bi n trên các kho ng xác
x 1
i m
2
0.25
đ nh c a hàm s .
- lim y x 1 là ti m c n đ ng
x 1
0.25
- lim y 2 y 2 là ti m c n ngang
x
-B ng bi n thiên
-1
-∞
x
+∞
+
y'
+
0.25
+∞
y
2
2
-∞
-
th
y
I
2
0.25
-1
12
x
-4
2 Tìm c p đi m đ i x ng….(1,00 đi m)
G i M a;
2a 4
C a 1
a 1
Ti p tuy n t i M có ph
ng trình: y
0.25
6
2a 4
2 x a
a 1
a 1
2a 10
Giao đi m v i ti m c n đ ng x 1 là A 1;
a 1
Giao đi m v i ti m c n ngang y 2 là B 2a 1;2
0.25
Giao hai ti m c n I(-1; 2)
IA
12
1
1
; IB 2 a 1 S IAB IA. AB .24 12 dvdt
a 1
2
2
-169-
0.25
http://www.VNMATH.com
0.25
63
thi th
i h c 2011
Suy ra đpcm
II
3
1 Gi i h …(1,00 đi m)
2 xy
2
2
x y x y 1 1
x y x2 y 2
1 x y
2
2 xy
dk x y 0
2 xy
3
1 0 x y 2 xy x y 2 xy x y 0
x y
x y x y 1 2 xy x y 1 0
2
0.5
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 3
2
2
x y x y 0
4
D th y (4) vô nghi m vì x+y>0
Th (3) vào (2) ta đ c x 2 y 1
0.5
x y 1
x 1; y 0
Gi i h 2
……
x y 1 x 2; y 3
2 Gi i ph ng trình….(1,00 đi m)
k: cos x 0 (*)
sinx
2sin 2 x 2sin 2 x t anx 1 cos 2 x 2sin 2 x
4
2
cos x
cos x sin 2 x.cos x 2sin 2 x.cos x sinx cos x sinx sin 2 x cos x sinx 0
cos x 0
sinx
cos
x
t
anx
1
x
k
4
(tm(*))…
x k
4
2
sin 2 x 1 2 x l 2 x l
2
4
3 Gi i b t ph
log 1 log 5
3
k: x 0
ng trình (1,00 đi m)
x 2 1 x log 3 log 1
5
x2 1 x
0.25
0.25
0.5
(1)
0.25
-170-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1 log
log 1
3
5
log 3 log 1
5
log 52
*) 0 log 5
x 2 1 x log 3 log 5
x 2 1 x .log 5
x2 1 x 0
x2 1 x 0
0.25
x2 1 x 1
0 log 5
*) log 5
0.25
x2 1 x 1
0.2
x2 1 x x 0
x 2 1 x 1 x 2 1 x 5 x 2 1 5 x ... x
12
5
12
5
V y BPT có nghi m x 0;
III
2
1 Tính tích phân (1,00 đi m)
e
1
ln x 3 2 ln 2 x
1e
2
2
3
I
dx ln x 2 ln xd ln x 2 ln x 3 d 2 ln 2 x
x
21
1
1
e
1 3
.
2
3
2 ln x
2
0.5
e
4
3
3 34 3 24
8
4
0.5
1
2 L p s …..(1,00 đi m)
-G i s c n tìm là abcde a 0
-Tìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 không xét đ n v trí a.
X p 0 và 3 vào 5 v trí có: A52 cách
3 v trí còn l i có A43 cách
2
5
0.25
0.25
3
4
Suy ra có A A s
-Tìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 v i a = 0.
X p 3 có 4 cách
3 v trí còn l i có A43 cách
Suy ra có 4. A43 s
0.25
0.25
2
5
3
4
3
4
V y s các s c n tìm tmycbt là: A A - 4. A = 384
IV
2
1 Vi t ph ng trình đ ng tròn….(1,00 đi m)
G i I a; b là tâm đ ng tròn ta có h
-171-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2 a 2 5 b 2 4 a 2 1 b 2 (1)
IA IB
2
3a b 9
2
2
IA
d
I
;
2 a 5 b
2
10
1 a 2b 3 th vào (2) ta có b2 12b 20 0 b 2 b 10
0.25
*) v i b 2 a 1; R 10 C : x 1 y 2 10
0.25
2
0.25
2
*)v i b 10 a 17; R 250 C : x 17 y 10 250
2
2
0.25
2 Hình l ng tr ….(1,00 đi m)
AIA '
G i O là tâm đáy suy ra A ' O ABC và góc
*)Tính tan
A'
C'
0.25
A 'O
1
1a 3 a 3
tan
v i OI AI
OI
3
3 2
6
2
2
2
a
3b a
A ' O 2 A ' A2 AO 2 b 2
3
3
2
2
2 3b a
tan
a
*)Tính VA '. BCC ' B '
1
VA '. BCC ' B ' VABC . A ' B 'C ' VA'. ABC A ' O.S ABC A ' O.S ABC
3
B'
A
C
O
I
B
0.25
0.5
2 3b 2 a 2 1 a 3
a 2 3b 2 a 2
.
.
.a
dvtt
3
2 2
6
3
V
1
khi đó
2
cos 2 a sin 2 a cos3 a sin 3 a sin a cos a 1 sin a.cos a
T
sin a cos a
sina.cos a
sin a.cos a
t2 1
t t sin a cos a 2 sin a sin a.cos a
4
2
t x cos 2 a; y sin 2 a a 0;
V i 0a
1 t 2
2
t 3 3t
Khi đó T 2
f t ;
t 1
t 4 3
2 f t f
f 't 2
2 0 t 1;
1
t
V y min f t f
t1; 2
2
2
2
1
1
2 khi x y . Hay min T 2 khi x y .
2
2
-172-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Tr−êng THPT TrÇn H−ng §¹o
®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø nhÊt khèi A
M«n: To¸n
Thêi gian: 180 phót
I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm)
C©u I (2 ®iÓm). Cho hμm sè y
2x 1
cã ®å thÞ lμ (C)
x2
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ cña hμm sè
2.Chøng minh ®−êng th¼ng d: y = -x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B.
T×m m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dμi nhá nhÊt.
C©u II (2 ®iÓm)
1.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 4 x 2 3)
dx
C©u III (1 ®iÓm). T×m nguyªn hμm I
3
sin x. cos 5 x
2.Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
C©u IV (1 ®iÓm). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A 1 B 1 C 1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vμ
mÆt ph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A 1 B 1 C 1 ) thuéc ®−êng th¼ng B 1 C 1 .
TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA 1 vμ B 1 C 1 theo a.
C©u V (1 ®iÓm). Cho a, b, c 0 và a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
a3
b3
c3
P
1 b2
1 c2
1 a2
II.PhÇn riªng (3 ®iÓm)
1.Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn
C©u VIa (2 ®iÓm).
1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vμ
®−êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mμ tõ ®ã kÎ ®−îc
hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lμ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vμ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh
x 1 2t
y t
. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vμ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lμ
z 1 3t
lín nhÊt.
C©u VIIa (1 ®iÓm). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vμ kh¸c 0 mμ trong mçi sè lu«n
lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vμ hai ch÷ sè lÎ.
2.Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm)
C©u VIb (2 ®iÓm)
1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vμ ®−êng
th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mμ tõ ®ã
kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lμ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vμ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng
x 1 y z 1
. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vμ kho¶ng c¸ch tõ d
tr×nh
2
1
3
tíi (P) lμ lín nhÊt.
C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mμ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt
hai ch÷ sè ch½n vμ ba ch÷ sè lÎ.
-HÕt1
-173-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 khèi a
I.PhÇn dμnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sÝnh
C©u
m«n to¸n
§¸p ¸n
§iÓ
m
1. (1,25 ®iÓm)
I
(2
®iÓm)
a.TX§: D = R\{-2}
b.ChiÒu biÕn thiªn
+Giíi h¹n: lim y lim y 2; lim y ; lim y
x
x 2
x
0,5
x 2
Suy ra ®å thÞ hμm sè cã mét tiÖm cËn ®øng lμ x = -2 vμ mét tiÖm cËn ngang lμ
y=2
+ y'
3
0 x D
( x 2) 2
0,25
Suy ra hμm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (;2) vμ (2;)
+B¶ng biÕn thiªn
x
y’
-2
+
+
0,25
2
y
2
c.§å thÞ:
§å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0;
1
1
) vμ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm( ;0)
2
2
§å thÞ nhËn ®iÓm (-2;2) lμm t©m ®èi xøng
y
0,25
2
-2
O
x
2. (0,75 ®iÓm)
Hoμnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vμ ®−êng th¼ng d lμ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh
x 2
2x 1
x m 2
x2
x (4 m) x 1 2m 0 (1)
0,25
Do (1) cã m 2 1 0 va (2) 2 (4 m).(2) 1 2m 3 0 m nªn ®−êng
th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B
Ta cã y A = m – x A ; y B = m – x B nªn AB2 = (x A – x B )2 + (y A – y B )2 =
0,5
2
2
2(m + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt AB nhá nhÊt m = 0. Khi ®ã
2
-174-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
II
(2
®iÓm)
i h c 2011
AB 24
1. (1 ®iÓm)
Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
0,5
0,25
1 sin x 0
6 cos x 2 sin x 7 0 (VN )
x
2
0,25
k 2
2. (1 ®iÓm)
x 0
§K:
2
2
log 2 x log 2 x 3 0
BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 2 x 3)
0,5
(1)
®Æt t = log 2 x,
BPT (1) t 2 2t 3 5 (t 3) (t 3)(t 1) 5 (t 3)
t 1
log x 1
t 1
2
t 3
3 t 4
3 log 2 x 4
(t 1)(t 3) 5(t 3) 2
1
0 x
1
2 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lμ: (0; ] (8;16)
2
8 x 16
III
1 ®iÓm
I
dx
dx
8 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
0,25
3
0,5
®Æt tanx = t
dx
2t
; sin 2 x
2
cos x
1 t2
dt
(t 2 1) 3
I 8
dt
2t 3
t3
(
)
1 t2
t 6 3t 4 3t 2 1
dt
t3
3
1
3
1
(t 3 3t t 3 )dt tan 4 x tan 2 x 3 ln tan x
C
4
2
t
2 tan 2 x
dt
0,5
3
-175-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
C©u IV
1 ®iÓm Do AH ( A1 B1C1 ) nªn gãc AA1 H lμ gãc gi÷a AA 1 vμ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶
thiÕt th× gãc AA1 H b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc
a 3
. Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lμ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H
2
a 3
nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c
thuéc B 1 C 1 vμ A1 H
2
AH B1C1 nªn B1C1 ( AA1 H )
AA1 H =300 A1 H
A
0,5
B
C
K
A1
C
H
B1
KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lμ kho¶ng c¸ch gi÷a
AA 1 vμ B 1 C 1
Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH HK
C©u V
1 ®iÓm
Ta có: P + 3 =
a3
1 b
2
b3
b2
1 c
2
1 b
P
2
2
4 2
4 2 2 1 b
2 1 b
a
6
3
a
0,25
A1 H . AH a 3
4
AA1
c2
2
2
c3
1 a
2
0,25
a2
1 c2
4 2
2 1 c2 2 1 c2
b3
b2
0,5
a
b
c
1 a
33
33
33
16 2
16 2
16 2
2 1 a2 2 1 a2 4 2
9
3
3
(a 2 b 2 c 2 ) 6
P
2 8
2 2 23 2 2
c
P
3
9
6
2 2
3
c
2
3
2 2
9
2 2
6
2
3
2 2
6
6
3
2
0,5
P Min khi a = b = c = 1
PhÇn riªng.
1.Ban c¬ b¶n
C©u 1.( 1 ®iÓm)
VIa
Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ
2
®−îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vμ AB AC => tø gi¸c ABIC lμ h×nh
®iÓm vu«ng c¹nh b»ng 3 IA 3 2
0,5
4
-176-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
m 1
m 5
3 2 m 1 6
2
m 7
0,5
2. (1 ®iÓm)
Gäi H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vμ (P)//d, khi ®ã
kho¶ng c¸ch gi÷a d vμ (P) lμ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P).
Gi¶ sö ®iÓm I lμ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH HI => HI lín nhÊt khi
0,5
AI
VËy (P) cÇn t×m lμ mÆt ph¼ng ®i qua A vμ nhËn AH lμm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn.
H d H (1 2t ; t ;1 3t ) v× H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn
AH d AH .u 0 (u (2;1;3) lμ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d)
H (3;1;4) AH (7;1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
C©u
VIIa
1
®iÓm
0,5
7x + y -5z -77 = 0
Tõ gi¶ thiÕt bμi to¸n ta thÊy cã C 42 6 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã sè 0,5
0)vμ C52 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C52 . C52 = 60 bé 4 sè tháa m·n bμi
to¸n
0,5
Mçi bé 4 sè nh− thÕ cã 4! sè ®−îc thμnh lËp. VËy cã tÊt c¶ C 42 . C52 .4! = 1440
sè
2.Ban n©ng cao.
C©u 1.( 1 ®iÓm)
VIa
Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2
2
tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vμ AB AC => tø gi¸c ABIC lμ h×nh vu«ng
®iÓm c¹nh b»ng 3 IA 3 2
0,5
m 1
m 5
3 2 m 1 6
2
m 7
0,5
2. (1 ®iÓm)
Gäi H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vμ (P)//d, khi ®ã kho¶ng
c¸ch gi÷a d vμ (P) lμ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P).
Gi¶ sö ®iÓm I lμ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH HI => HI lín nhÊt khi
0,5
AI
VËy (P) cÇn t×m lμ mÆt ph¼ng ®i qua A vμ nhËn AH lμm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn.
H d H (1 2t ; t ;1 3t ) v× H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn
AH d AH .u 0 (u (2;1;3) lμ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d)
H (3;1;4) AH (7;1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
C©u
VIIa
1
®iÓm
7x + y -5z -77 = 0
Tõ gi¶ thiÕt bμi to¸n ta thÊy cã C52 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã ch÷
sè 0 ®øng ®Çu) vμ C53 =10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C52 . C53 = 100 bé 5 sè ®−îc
chän.
Mçi bé 5 sè nh− thÕ cã 5! sè ®−îc thμnh lËp => cã tÊt c¶ C52 . C53 .5! = 12000 sè.
MÆt kh¸c sè c¸c sè ®−îc lËp nh− trªn mμ cã ch÷ sè 0 ®øng ®Çu lμ C 41 .C53 .4! 960 .
VËy cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n bμi to¸n
0,5
0,5
0,5
5
-177-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
6
-178-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD & T Thanh Hoá
Tr ng THPT Lê V n H u
KÌ THI KH O SÁT CH T L
NG L P 12
MÔN TOÁN KH I B và D
Tháng 01/2011
Th i gian:180 phút (Không k th i gian phát đ )
CHÍNH TH C
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7.0 đi m)
Câu I. (2.0 đi m)
x
Cho hàm s y =
(C)
x-1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C)
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C), bi t r ng kho ng cách t tâm đ i x ng c a đ th (C)
đ n ti p tuy n là l n nh t.
Câu II. (2.0 đi m)
1. Gi i ph ng trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3
2. Gi i h ph
1
2
2 x x y 2
ng trình
y y 2 x 2 y 2 2
Câu III. (1.0 đi m)
1
Tính tích phân
(x sin x
2
3
0
x
)dx
1 x
Câu IV. (1.0 đi m)
Cho x, y, z là các s th c d
ng l n h n 1 và tho mãn đi u ki n
1 1 1
2
x y z
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Câu V. (1.0 đi m)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các c nh còn l i đ u b ng 1.
Tính th tích c a hình chóp S.ABCD theo x
PH N RIÊNG ( 3.0 đi m)
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c B (N u thí sinh làm c hai ph n s không d c ch m
đi m).
A. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VIa. (2.0 đi m)
1. 1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho hai đ ng th ng (d 1 ) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d 2 ): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm to đ tâm và bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác có 3 c nh n m trên (d 1 ), (d 2 ), tr c Oy.
2. Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 2. G i M là trung đi m c a đo n AD, N là
tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính m t c u đi qua các đi m B, C’, M, N.
Câu VIIa. (1.0 đi m)
log 3 ( x 1) 2 log 4 ( x 1)3
0
Gi i b t ph ng trình
x2 5x 6
B. Theo ch ng trình chu n
Câu VIb. (2.0 đi m)
1. Cho đi m A(-1 ;0), B(1 ;2) và đ ng th ng (d): x - y - 1 = 0. L p ph ng trình đ ng tròn đi qua 2
đi m A, B và ti p xúc v i đ ng th ng (d).
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đi m A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và m t ph ng (Q):
x + 2y + 3z + 3 = 0. L p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B và vuông góc v i (Q).
Câu VIIb. (1.0 đi m)
Gi i ph ng trình Cxx 2Cxx 1 C xx 2 Cx2x23 ( Cnk là t h p ch p k c a n ph n t )
.................H T..............
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
H và tên thí sinh .......................................................... s báo danh..................................................
-179-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD & T Thanh Hoá
Tr ng THPT Lê V n H u
ÁP ÁN KÌ THI KH O SÁT CH T L
NG L P 12
MÔN TOÁN KH I B - D
Tháng 01/2011
Th i gian:180 phút (Không k th i gian phát đ )
CHÍNH TH C
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7.0 đi m)
CÂU
Câu I
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
N I DUNG
THANG
I M
0.25
TX : D = R\{1}
Chi u bi n thiên
lim f ( x) lim f ( x) 1 nên y = 1 là ti m c n ngang c a đ th hàm s
x
0.25
x
lim f ( x) , lim nên x = 1 là ti m c n đ ng c a đ th hàm s
x 1
x 1
1
0
y’ =
( x 1) 2
B ng bi n thiên
0.25
-
x
+
1
-
y'
-
1
+
y
1
-
Hàm s ngh c bi n trên (;1) và (1; )
Hàm s không có c c tr
th .(t v )
Giao đi m c a đ th v i tr c Ox là (0 ;0)
V đ th
Nh n xét :
th nh n giao đi m c a 2 đ ng ti m c n I(1 ;1) làm tâm đ i x ng
2.(1.0đ) Gi s M(x 0 ; y 0 ) thu c (C) mà ti p tuy n v i đ th t i đó có kho ng cách t tâm đ i
x ng đ n ti p tuy n là l n nh t.
x
1
( x x0 ) 0
Ph ng trình ti p tuy n t i M có d ng : y
2
( x0 1)
x0 1
0.25
0.25
x02
1
x
y
0
( x0 1) 2
( x0 1) 2
Ta có d(I ;tt) =
1
Xét hàm s f(t) =
0.25
2
x0 1
1
( x0 1) 4
2t
1 t4
(t 0) ta có f’(t) =
-180-
(1 t )(1 t )(1 t 2 )
(1 t 4 ) 1 t 4
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
0.25
f’(t) = 0 khi t = 1
B ng bi n thiên
t b ng bi n thiên
d(I ;tt) l n nh t
ch khi t = 1 hay
x
+
1
0
+
f'(t)
0
ta c
khi và
-
2
f(t)
x0 2
x0 1 1
x0 0
+ V i x 0 = 0 ta có ti p tuy n là y = -x
+ V i x 0 = 2 ta có ti p tuy n là y = -x+4
0.25
0.25
Câu
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x
II(2.0đ)
cos x=0
1.
(1.0đ)
2cos5x =sinx+ 3 cos x
0.25
cos x 0
cos5x=cos(x- )
6
0.25
x 2 k
k
x
24 2
x k 2
42
7
2.(1.0đ)
K: y0
1
2
x
x
2 0
2
2
y
2u u v 2 0
đ a h v d ng 2
h
2v v u 2 0
2 1 x20
y 2 y
u v
u v 1
u 1 v
u v 1
2
3 7
2v v u 2 0
u 2
,
1 7
v
2
(-1 ;-1),(1 ;1), (
Câu III.
(1.0đ)
1
0.5
0.5
T đó ta có nghi m c a h
3 7
u
2
v 1 7
2
3 7
2
3 7
2
)
;
;
), (
2
2
7 1
7 1
0.25
1
x
dx
x
1
0
I x 2 sin x 3 dx
0
0.25
-181-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1
Ta tính I 1 =
x
2
sin x 3 dx đ t t = x3 ta tính đ
0.25
c I 1 = -1/3(cos1 - sin1)
0
1
1
Ta tính I 2 =
x
0 1 x dx đ t t =
c I 2 = 2 (1
x ta tính đ
0
T đó ta có I = I 1 + I 2 = -1/3(cos1 - 1)+ 2
1
)dt 2(1 ) 2
2
1 t
4
2
0.25
0.25
2
0.25
1 1 1
2 nên
Ta
có
Câu IV.
x y z
(1.0đ)
0.25
1
1
1 y 1 z 1
( y 1)( z 1)
1 1
2
(1)
x
y
z
y
z
yz
T
ng t ta có
1
1
1 x 1 z 1
( x 1)( z 1)
1 1
2
(2)
y
x
z
x
z
xz
1
1
1 x 1 y 1
( x 1)( y 1)
1 1
2
(3)
y
x
y
x
y
xy
Nhân v v i v c a (1), (2), (3) ta đ
c ( x 1)( y 1)( z 1)
0.25
1
8
0.25
v y A max =
Câu V.
(1.0đ)
1
3
x yz
8
2
0.5
Ta có SBD DCB (c.c.c) SO CO
T ng t ta có SO = OA
v y tam giác SCA vuông t i S.
S
CA 1 x 2
M t khác ta có
AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 AD 2
BD 3 x 2 (do 0 x 3)
1
1 x2 3 x2
S ABCD
4
C
D
H
O
B
A
G i H là hình chi u c a S xu ng (CAB)
Vì SB = SD nên HB = HD
H CO
0.25
1
1
1
x
2 SH
2
2
SH
SC
SA
1 x2
1
V y V = x 3 x 2 (dvtt)
6
0.25
Mà
Câu
VIa.
(2.0đ)
1.
G i A là giao đi m d 1 và d 2 ta có A(3 ;0)
G i B là giao đi m d 1 v i tr c Oy ta có B(0 ; - 4)
G i C là giao đi m d 2 v i Oy ta có C(0 ;4)
-182-
0.5
http://www.VNMATH.com
63
(1.0đ)
2.
(1.0đ)
Câu
VIIa
(1.0đ)
thi th
i h c 2011
0.5
G i BI là đ ng phân giác trong góc B v i I thu c OA khi đó ta có
I(4/3 ; 0), R = 4/3
Ch n h tr c to đ nh hình v
Ta có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1)
B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2)
G i ph ng tình m t c u đi qua 4 đi m
C'
M,N,B,C’ có d ng
2
2
2
x + y + z +2Ax + 2By+2Cz +D = 0
Vì m t c u đi qua 4 đi m nên ta có
5
A
2
1 2 A D 0
5
2 2 B 2C D 0
B
2
8 4 A 4C D 0
1
8 4 B 4C D 0
C
2
C
D 4
Z
V y bán kính R =
k: x > - 1
1.0
Y
D'
A'
B'
N
M
D
A
B
A2 B 2 C 2 D 15
0.25
3log 3 ( x 1)
log 3 4
0
( x 1)( x 6)
0.25
2 log 3 ( x 1)
b t ph
ng trình
log 3 ( x 1)
0
x6
0 x6
Gi s ph ng trình c n tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2
Câu
VIb
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
2.
(1.0đ)
Câu
VIIb
(1.0đ)
X
Vì đ ng tròn đi qua A, B và ti p xúc v i d nên ta có h ph
(1 a ) 2 b 2 R 2
2
2
2
(1 a ) (2 y ) R
(a b 1) 2 2 R 2
0.25
0.25
0.25
ng trình
a 0
b 1
R2 2
V y đ ng tròn c n tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2
Ta có AB(1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ (1; 2;1)
Vì AB; nQ 0 nên m t ph ng (P) nh n AB; nQ làm véc t pháp tuy n
V y (P) có ph ng trình x - 2y + z - 2 = 0
2 x 5
K:
x N
0.25
0.5
1.0
1.0
Ta có Cxx Cxx 1 Cxx 1 Cxx 2 Cx2x23 Cxx1 Cxx11 Cx2x23 Cxx 2 Cx2x23
(5 x)! 2! x 3
-183-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Chó ý: NÕu thÝ sinh lμm bμi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mμ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p
¸n quy ®Þnh.
-184-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
TR NG THPT NGUY N TRUNG THIÊN
-----------------------@---------------------------
A.PH N CHUNG CHO T T C
Câu I (2 đi m):
Cho hàm s
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ
2.Tìm m đ hàm s (1) có c c tr
góc t a đ O b ng 2 l n kho
Câu II (2 đi m):
1. Gi i ph
ng trình :
H&C LÀNI N M H C 2010-2011
MÔN TOÁN-KH I A+B: (180 phút)
--------------------------------------@-----------------------------------
(Không k th i gian phát đ )
CÁC THÍ SINH (7 đi m):
y x 3 3mx 2 3(m 2 1) x m3 m (1)
th c a hàm s (1) ng v i m=1
đ ng th i kho ng cách t đi m c c đ i c a đ th hàm s đ n
ng cách t đi m c c ti u c a đ th hàm s đ n góc t a đ O.
2cos3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3cos 2 (2 x )
4
2. Gi i ph ng trình :
log 21 (5 2 x) log 2 (5 2 x).log 2 x 1 (5 2 x) log 2 (2 x 5) 2 log 2 (2 x 1).log 2 (5 2 x)
2
tan( x )
4 dx
I
Câu III (1 đi m): Tính tích phân :
cos2x
0
Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy
và SA=a .G i M,N l n l t là trung đi m c a SB và SD;I là giao đi m c a SD và m t ph ng
(AMN). Ch ng minh SD vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.
Câu V (1 đi m): Cho x,y,z là ba s th c d ng có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P 3( x 2 y 2 z 2 ) 2 xyz .
B. PH N T CH N (3 đi m): Thí sinh ch đ c ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2)
1.Theo ch ng trình chu n:
Câu VIa (2 đi m):
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đi m C(2;-5 ) và đ ng th ng : 3x 4 y 4 0 .
Tìm trên hai đi m A và B đ i x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABC
b ng15.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 .
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t v(1;6; 2) , vuông góc v i m t
ph ng ( ) : x 4 y z 11 0 và ti p xúc v i (S).
Câu VIIa(1 đi m): Tìm h s c a x 4 trong khai tri n Niut n c a bi u th c : P (1 2 x 3 x 2 )10
2.Theo ch ng trình nâng cao:
Câu VIb (2 đi m):
x2 y 2
1 và hai đi m A(3;-2) , B(-3;2) .
1.Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho elíp ( E ) :
9
4
Tìm trên (E) đi m C có hoành đ và tung đ d ng sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t.
2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 .
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t v(1;6; 2) , vuông góc v i m t
ph ng ( ) : x 4 y z 11 0 và ti p xúc v i (S).
Câu VIIb (1 đi m):
2
22
2n n 121
Cn
Tìm s nguyên d ng n sao cho tho mãn Cn0 Cn1 Cn2 ...
2
3
n 1
n 1
-------------------------------------------------------H T-------------------------------------------------------6
Cán b coi thi không g i thích gì thêm
H tên thí sinh:....................................................
-185-
S báo danh:..............................
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
ÁP ÁN VÀ
THANG I M
Câu
N I DUNG
2. Ta có y 3x 6mx 3(m 2 1)
hàm s có c c tr thì PT y , 0 có 2 nghi m phân bi t
x 2 2mx m 2 1 0 có 2 nhi m phân
bi t
1 0, m
C c đ i c a đ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a đ th hàm s
là
B(m+1;-2-2m)
m 3 2 2
Theo gi thi t ta có OA 2OB m 2 6m 1 0
m 3 2 2
V y có 2 giá tr c a m là m 3 2 2 và m 3 2 2 .
1.
PT cos4x+cos2x+ 3(1 sin 2 x) 3 1 cos(4x+ )
2
,
I
iêm
2
05
025
025
05
cos4x+ 3 sin 4 x cos2x+ 3 sin 2 x 0
II
sin(4 x ) sin(2 x ) 0
6
6
x k
18
3
2sin(3 x ).cosx=0
6
x= k
2
V y PT có hai nghi m
x
k và
2
x
05
k .
18
3
5
1
x
2.
K: 2
2.
x 0
V i K trên PT đã cho t ng đ ng v i
log 22 (5 2 x)
log 22 (5 2 x)
2 log 2 (5 2 x) 2 log 2 (5 2 x) log 2 (2 x 1)
log 2 (2 x 1)
1
x 4
log 2 (2 x 1) 1
1
log 2 (5 2 x) 2 log 2 (2 x 1) x x 2
2
x 2
log 2 (5 2 x) 0
K t h p v i K trên PT đã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2.
-186-
05
025
025
http://www.VNMATH.com
63
III
thi th
i h c 2011
tan( x )
2
6
4 dx tan x 1 dx
I
0 (t anx+1)2
cos2x
0
6
t
t t anx dt=
x0t 0
x
6
t
1
dx (tan 2 x 1)dx
2
cos x
05
1
3
1
3
Suy ra
025
I
0
1
dt
1 3 1 3
.
2
t 10
(t 1)
2
025
IV
05
AM BC , ( BC SA, BC AB)
AM SC (1)
AM SB, ( SA AB)
T ng t ta có AN SC (2)
T (1) và (2) suy ra
AI SC
V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi đó IH vuông góc v i (AMB)
1
Suy ra VABMI S ABM .IH
3
a2
Ta có S ABM
4
IH
SI SI .SC
SA2
a2
1
1
1
IH BC a
2
2
2
2
2
3
3
3
BC SC
SC
SA AC
a 2a
2
3
1a a a
V y VABMI
3 4 3 36
Ta có
V
05
Ta c ó:
P 3 ( x y z ) 2 2( xy yz zx) 2 xyz
3 9 2( xy yz zx) 2 xyz
025
27 6 x( y z ) 2 yz ( x 3)
-187-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
27 6 x(3 x)
( y z )2
( x 3)
2
025
1
( x 3 15 x 2 27 x 27)
2
Xét hàm s
f ( x) x3 15 x 2 27 x 27 ,
x 1
f , ( x) 3x 2 30 x 27 0
x 9
x
y’
VIa
0
+
1
0
v i 00.Khi đó ta có
9
4
là
1
85
85 x y
S ABC AB.d (C AB)
2x 3 y 3
2
13 3 4
2 13
-188-
05
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
85 x 2 y 2
170
3
2 3
13 9
4
13
x2 y2
9 4 1 x 3 2
3 2
; 2) .
. V y C(
D u b ng x y ra khi
2
2
x y
y 2
3 2
Xét khai tri n (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 ... Cnn x n
L y tích phân 2 v cân t 0 đ n 2 , ta đ c:
3n 1 1
22
23
2n 1 n
2Cn0 Cn1 Cn3 ...
Cn
2
3
n 1
n 1
2
22
2n n 3n 1 1
121 3n 1 1
Cn0 Cn1 Cn2 ...
Cn
2
3
2(n 1)
n 1
n 1 2(n 1)
3n 1 243 n 4
V y n=4.
05
05
05
-189-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011
M«n: TO¸N ; Khèi: A,B
(Thêi gian lμm bμi: 180 phót)
Tr−êng THPT NguyÔn HuÖ
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
C©u I (2 ®iÓm) Cho hμm sè y
2x 1
x 1
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ (C) cña hμm sè ®· cho.
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt.
C©u II (2 ®iÓm)
x1 y 1 4
x6 y 4 6
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
1
2(cos x sin x)
tan x cot 2 x
cot x 1
C©u III (1 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®−êng trßn (C) t©m O ®−êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng
gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R 3 . I lμ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI =
2R
. M lμ mét
3
®iÓm thuéc (C). H lμ h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch
lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
C©u IV (1 ®iÓm)
1
TÝnh tÝch ph©n:
I=
dx
1 x
1
1 x2
C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z lμ 3 sè thùc d−¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
1
1
1
1
x y 1 y z 1 z x 1
PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®−îc lμm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B)
A.Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn
C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch
b»ng
3
vμ träng t©m thuéc ®−êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
2
C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè
®«i mét kh¸c nhau ( ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 7.
C©u VIII.a (1 ®iÓm) T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: log 1 x 2 1 log 1 ( ax a )
3
3
B.Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao
C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E):
x2 y2
1 vμ ®−êng th¼ng :3x + 4y =12.
4
3
Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AB lu«n
®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
x2 4 x 3
C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hμm sè y
cã ®å thÞ (C).Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = kx + 1 c¾t (C)
x2
t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña AB khi k thay ®æi.
C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3 1
------------
log2 x
x.
-------------
-190-
3 1
log2 x
1 x2
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Trêng THPT NguyÔn HuÖ
®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011
M«n: TO¸N ; Khèi: A,B
Lu ý:Mäi c¸ch gi¶i ®óng vμ ng¾n gän ®Òu cho ®iÓm tèi ®a
C©u
§¸p ¸n
I
1.(1,0 ®iÓm) Kh¶o s¸t . . .
§iÓm
(2,0 ®iÓm) * TËp x¸c ®Þnh: D = R\{ - 1}
* Sù biÕn thiªn
- Giíi h¹n vμ tiÖm cËn: lim y lim y 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2
x
x
0,25
lim y ; lim y ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1
x ( 1)
x ( 1)
- B¶ng biÕn thiªn
Ta cã y '
x -
y’
1
0 víi mäi x - 1
( x 1) 2
-1
+
+
+
+
y
2
0,5
2
-
Hμm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ; -1) vμ ( -1; + )
* §å thÞ
0,25
2. (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm. . .
Gäi M(x 0 ;y 0 ) lμ mét ®iÓm thuéc (C), (x 0 - 1) th× y0
2 x0 1
x0 1
0,25
Gäi A, B lÇn lît lμ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vμ TCN th×
MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = |
2 x0 1
1
- 2| = |
|
x0 1
x0 1
-191-
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Theo Cauchy th× MA + MB 2 x 0 1 .
0,25
1
=2
x0 1
MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x 0 = 0 hoÆc x 0 = -2.Nh vËy ta cã hai
II
(2,0 ®iÓm)
®iÓm cÇn t×m lμ (0;1) vμ (-2;3)
0,25
1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ . . .
§iÒu kiÖn: x -1, y 1
Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
0,25
x1 x6 y 1 y 4 10
x6 x1 y 4 y 1 2
§Æt u= x 1 x 6 , v = y 1 y 4 . Ta cã hÖ
u v10
u 5
v 5
5 5
2
u v
x 3
y 5 lμ nghiÖm cña hÖ
0,25
0,25
2. (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh . . .
§iÒu kiÖn:sinx.cosx 0 vμ cotx 1
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1
0,25
0,25
2(cos x sin x)
cos x
1
sin x
sin x cos 2 x
cos x sin 2 x
2
cosx =
x = k 2
4
2
0,25
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x =
III
T×m vÞ trÝ . . .
(1,0 ®iÓm)
0,25
4
k 2
0,25
S
H
I
O
B
A
M
-192-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mμ OS = R 3 , SI =
2R
,
3
SO 2 OM 2 2 R SH = R hay H lμ trung ®iÓm cña SM
SM =
Gäi K lμ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK =
0,25
1
3
SO=
R,
2
2
(kh«ng ®æi)
V BAHM lín nhÊt khi dt( MAB) lín nhÊt M lμ ®iÓm gi÷a cña cung AB
3 3
Khi ®ã V BAHM =
R (®vtt)
6
0,25
0,5
IV
TÝnh tÝch ph©n . . .
(1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 1 x 2 th× u - x= 1 x 2 x 2 2ux u 2 1 x 2
x
u2 1
1
1
dx 1 2 du
2u
2 u
§æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1
x = 1 th× u = 2 +1
1
1
1 2 du 1
2
u
I
1 u
2
2 1
2 1
2 1
du 1
1 u 2
2 1
2 1
0,25
du
(1 u )u 2
2 1
2 1
1
1 1
2
du
u u u 1
2 1
0,25
=1
§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vμ abc=1.Ta cã
0,25
0,25
=
C©u V
(1,0 ®iÓm)
2 1
0,25
1
2
du 1
1 u 2
2 1
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 vμ a2+b2-ab ab
a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
1
1
3
a b 1 ab a b c
0,5
3
T¬ng tù ta cã
1
1
,
3
b c 1 bc a b c
3
1
1
3
c a 1 ca a b c
3
Céng theo vÕ ta cã
1
1
1
1
1
1
+ 3 3 + 3 3
= 3
3
x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a 1
1
1
1 1
1
c a b 1
=
a b c ab bc ca a b c
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1
VI. a
0,25
T×m täa ®é . . .
-193-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
(1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = 2 , M = ( 5 ; 5 ), pt AB: x – y – 5 = 0
2 2
3
1
3
S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)=
2
2
2
0,25
Gäi G(t;3t-8) lμ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
d(G, AB)=
t (3t 8) 5
2
=
1
2
1
t = 1 hoÆc t = 2
2
0,5
0,25
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
Mμ CM 3GM C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)
VII. a
Tõ c¸c ch÷ sè . . .
(1,0 ®iÓm) Gäi sè cã 6 ch÷ sè lμ abcdef
NÕu a = 7 th× cã 7 c¸ch chän b, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè
NÕu b = 7 th× cã 6 c¸ch chän a, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè
T¬ng tù víi c, d, e, f
VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè
0,25
0,5
0,25
VIII. a
T×m a ®Ó . . .
(1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > 0
Bpt t¬ng ®¬ng x 2 1 a( x 1)
NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã
x2 1
a
x 1
NÕu a0
§Æt
3 1
log2 x
=u,
3 1
log2 x
2 x2 5x 2
2x 2
v ta cã pt
u +uv2 = 1 + u2 v2 (uv2-1)(u – 1) = 0
u 21 . . . x =1
uv 1
-195-
0,25
0,25
0,5
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
K THI TUY N SINH
I H C, CAO
NG N M 2011
Môn: Toán. Kh i A, B.
Th i gian làm bài: 180 phút (Không k th i gian giao đ )
Câu I. (2 đi m).
y
Cho hàm s
2x 1
x 1
(1).
1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s (1).
2) Tìm đi m M thu c đ th (C) đ ti p tuy n c a (C) t i M v i đ
M và giao đi m hai đ ng ti m c n có tích h s góc b ng - 9.
ng th ng đi qua
Câu II. (2 đi m)
1) Gi i ph
2) Gi i ph
1
x
ng trình sau:
ng trình l
1
2 x2
sin 4 2 x c os 4 2 x
ng giác:
tan(
Câu III. (1 đi m) Tính gi i h n sau:
L lim
2.
4
x ). tan(
4
x)
c os 4 4 x .
3
ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2
x2
x 0
Câu IV. (2 đi m)
Cho hình nón đ nh S có đ dài đ ng sinh là l, bán kính đ ng tròn đáy là r. G i I
là tâm m t c u n i ti p hình nón (m t c u bên trong hình nón, ti p xúc v i t t c các
đ ng sinh và đ ng tròn đáy c a nón g i là m t c u n i ti p hình nón).
1. Tính theo r, l di n tích m t c u tâm I;
2. Gi s đ dài đ ng sinh c a nón không đ i. V i đi u ki n nào c a bán kính
đáy thì di n tích m t c u tâm I đ t giá tr l n nh t?
Câu V (1 đi m) Cho các s th c x, y, z th a mãn: x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
1
2
Câu VI. (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I ( ; 0)
ng th ng AB có ph ng trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành đ đi m A âm.
Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t đó.
Câu VII. (1 đi m) Gi i h ph
ng trình :
2
2
x 2 2010
2009 y x
y 2 2010
3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1
--------------- H T --------------- Thí sinh không đ c s d ng b t c tài li u gì!
- Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
H và tên thí sinh: ……….…………………S báo danh:
Ghi chú:
-196-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
H
CÂU
I.1
NG D N
N I DUNG
I M
2x 1
3
2
x 1
x 1
+) Gi i h n, ti m c n: lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y
Hàm s : y
x
x ( 1)
x
x ( 1)
- TC đ ng: x = -1; TCN: y = 2.
3
0, x D
+) y '
2
x 1
+) BBT:
-
x
y'
y
+
-1
||
+
+
2
||
2
1 đi m
+) T:
8
6
4
2
-10
-5
10
5
-2
-4
-6
I.2
+) Ta có I(- 1; 2). G i M (C ) M ( x0 ; 2
y yI
3
3
) k IM M
x0 1
xM xI ( x0 1) 2
+) H s góc c a ti p tuy n t i M: k M y '( x0 )
II.1
x0 1
1 đi m
2
+) ycbt kM .kIM 9
+) Gi i đ c x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 đi m M th a mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
+) K: x ( 2; 2) \ {0}
+)
t y
x y 2 xy
2 x 2 , y 0 Ta có h : 2
2
x y 2
+) Gi i h đx ta đ
1 3
1 3
x
x
2
2
;
c x = y = 1 và
1 3
1 3
y
y
2
2
+) K t h p đi u ki n ta đ
II.2
3
+) K: x
4
k
2
c: x = 1 và x
1 đi m
1 3
2
,k Z
) tan( x) tan( x) tan( x) cot( x) 1
4
4
4
4
1
1 1
sin 4 2 x cos 4 2 x 1 sin 2 4 x cos 2 4 x
2
2 2
4
2
pt 2 cos 4 x cos 4 x 1 0
-197-
1 đi m
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
+) Gi i pt đ
c cos24x = 1 cos8x = 1 x k
+) K t h p K ta đ
III
L lim
x2
x 0
4
và cos24x = -1/2 (VN)
ng trình là x k
c nghi m c a ph
3
ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2
2
,k Z
3
ln(1 1 c os2 x ) 1 1 x 2
lim
x2
x 0
3
2
2
2
ln(1 2 sin 2 x ) 1 1 x
ln(1 2 sin 2 x )
1
lim
lim
x 0
2
2
2
3
2
2
2
3
x0
x
(1 x ) 1 x 1
x
x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
2 sin 2 x
1 5
2
3 3
IV.1
+) G i rC là bán kính m t c u n i ti p nón, và c ng là bán
kính đ ng tròn n i ti p tam giác SAB.
S SAB prC (l r ).rC
Ta có:
rC
IV.2
+)
S
1
SM . AB
2
l
1 đi m
l 2 r 2 .2r
lr
r
lr
2(l r )
2
2
+) S c u = 4 r C 4 r
1 đi m
I
l r
lr
A
M
r
B
t:
y (r )
lr 2 r 3
,0 r l
lr
5 1
r
l
2r (r rl l )
2
0
) y '(r )
(l r ) 2
5 1
l
r
2
2
2
+) BBT:
r
0
y'(r)
y(r)
5 1
l
2
y max
+) Ta có max S c u đ t y(r) đ t max r
V
l
1 đi m
5 1
l
2
+) Ta có
P ( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx)
x2 y 2 z 2 ( x y z)2
P ( x y z) x2 y 2 z 2
2
( x y z )2
2 ( x y z )2
P ( x y z) 2
( x y z ) 3
2
2
+)
t x +y + z = t, t 6( Bunhia cov xki) , ta đ
1 đi m
1
2
3
c: P (t ) 3t t
+) P '(t ) 0 t 2 , P( 6 ) = 0; P( 2) 2 2 ; P( 2) 2 2
+) KL: MaxP 2 2; MinP 2 2
-198-
http://www.VNMATH.com
63
VI
thi th
i h c 2011
+) d ( I , AB)
+) PT đ
5
AD =
2
5
AB = 2
5
BD = 5.
ng tròn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) T a đ A, B là nghi m c a h
x 2
1 2
25
2
y2
A(2; 0), B(2; 2)
: ( x 2 ) y 4
x 2
x 2 y 2 0
y 0
C (3;0), D(1; 2)
VII
2
y 2 x 2 x 2010 (1)
2009
y 2 2010
3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1(2)
+) K: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) L y loga c s 2009 và đ a v pt:
x 2 log 2009 ( x 2 2010) y 2 log 2009 ( y 2 2010)
+) Xét và CM HS f (t ) t log 2009 (t 2010), t 0 đ ng bi n,
t đó suy ra x2 = y2 x= y, x = - y
+) V i x = y th vào (2) và đ a v pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t
t
t
1 8
a pt v d ng 9 9 1 , cm pt này có nghi m duy nh t t = 1
x = y =7
+) V i x = - y th vào (2) đ
c pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3
Ghi chú:
- Các cách gi i khác v i cách gi i trong đáp án mà v n đúng, đ thì c ng cho
đi m t i đa.
- Ng i ch m có th chia nh thang đi m theo g i ý các b c gi i.
-199-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD & T H NG YÊN
TR
NG THPT MINH CHÂU
THI TH
I H C N M 2011
Môn toán - KH I A
Th i gian 180 phút ( không k giao đ )
PH N A : DÀNH CHO T T C CÁC THI SINH .
Câu I (2,0 đi m) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s : y = x3 – 3x2 + 2
m
2
2) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình : x 2 x 2
x 1
5
Câu II (2,0 đi m ) 1) Gi i ph ng trình : 2 2 cos x sin x 1
12
2) Gi i h ph
log 2 x y 3log 8 ( x y 2)
ng trình:
x2 y 2 1 x2 y 2 3
/4
Câu III(1,0 đi m ) Tính tích phân: I
/4
sin x
1 x2 x
.
dx
Câu IV ( 1,0 đi m ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a ,
AD = 2a . C nh SA vuông góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc
600 .Trên c nh SA l y đi m M sao cho AM =
a 3
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tính
3
th tích kh i chóp S.BCNM
-x
-y
-z
Câu V (1,0 đi m ) Cho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5 + 5 +5 = 1 .Ch ng minh r ng
25x
25y
25z
25x 5yz 5y 5zx 5z 5xy
PH N B ( THÍ SINH CH
5 x 5 y 5z
4
C LÀM M T TRONG HAI PH N ( PH N 1 HO C PH N 2)
PH N 1 ( Dành cho h c sinh h c theo ch
ng trình chu n )
Câu VI.a 1.( 1,0 đi m ) Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC v i A(1; -2), đ ng cao
CH : x y 1 0 , phân giác trong BN : 2 x y 5 0 .Tìm to đ các đ nh B,C và tính di n tích
tam giác ABC
x 2 y z 1
2.( 1,0 đi m ) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho đ ng th ng d
4
6
8
và hai đi m A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm đi m I trên đ ng th ng d sao cho IA +IB đ t giá tr nh
nh t
Câu VII.a (1 đi m): Gi i ph
ng trình sau trên t p s ph c C: z 4 z 3
z2
z 1 0
2
PH N 2 ( Dành cho h c sinh h c ch ng trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 đi m) Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho hình ch nh t ABCD
có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi m c a đ ng th ng d1 : x y 3 0 và
d 2 : x y 6 0 . Trung đi m c a m t c nh là giao đi m c a d 1 v i tr c Ox. Tìm to đ
các đ nh c a hình ch nh t.
2. (1,0đi m) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho hai đ ng th ng :
x 2 y 1 z
,
D1 :
1
1
2
x 2 2t
D 2 : y 3
z t
Vi t ph ng trình m t c u có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a D 1 và D 2
0
4
8
2004
2008
C2009
C2009
... C2009
C2009
CâuVII.b ( 1,0 đi m) Tính t ng: S C2009
-200-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
Cõu I
a)
i h c 2011
…….H t .......
ÁP ÁN
2 đi m
Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y x3 3 x 2 2.
T p xác đ nh: Hàm s có t p xác đ nh D R.
0,25
x 0
x 2
S bi n thi n: y' 3x 2 6 x. Ta có y' 0
yCD y 0 2; yCT y 2 2.
0,25
B ng bi n thiên:
0,25
x
y'
0
0
2
2
0
y
2
th :
y
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
0,25
-5
b)
Bi n lu n s nghi m c a ph
Ta có x 2 2 x 2
ph
ng trình x 2 2 x 2
m
theo tham s m.
x 1
m
x 2 2 x 2 x 1 m,x 1. Do đó s nghi m c a
x 1
ng trình b ng s giao đi m c a y x 2 2 x 2 x 1 , C' và đ
0,25
ng th ng
y m ,x 1.
V
f x khi x 1
y x2 2 x 2 x 1
n n C' bao g m:
f x khi x 1
0,25
+ Gi nguyên đ th (C) bên ph i đ ng th ng x 1.
+ L y đ i x ng đ th (C) bên trái đ ng th ng x 1 qua Ox.
-201-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
y
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
0,25
-5
hình
D a vào đ th ta có:
+ m 2 : Ph ng trình v nghi m;
+ m 2 : Ph ng trình có 2 nghi m k p;
+ 2 m 0 : Ph ng trình có 4 nghi m phõn bi t;
+ m 0 : Ph ng trình có 2 nghi m phõn bi t.
2)
th hàm s y = ( x 2 2 x 2) x 1 , v i x 1 có d ng nh hình v :
1
1- 3
2
0,25
1+ 3
-2
m
-202-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
5
5
5
x sin x 1 2 sin 2 x
sin 1
12
12
12
1) 2 2cos
II
1)
0.25
5
5
1
5
5
sin 2 x
sin sin 2 x
sin
sin sin
12
12
4
12
4
12
2
2 cos
sin sin
3
12
12
0.25
5
x
k
x
k
2
2
5
6
12
12
sin 2 x
k
sin
12
12
x 3 k
2 x 5 13 k 2
12 12
4
log 2 x y 3log8 ( x y 2)
Gi i h ph ng trình:
.
x2 y 2 1 x2 y 2 3
2.)
0.5
i u ki n: x+y>0, x-y>0
log 2 x y 3log8 (2 x y )
x y 2 x y
2
2
2
2
x2 y 2 1 x2 y 2 3
x y 1 x y 3
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
t:
ta có h : u 2 v 2 2
v x y
uv 3
uv 3
2
2
0,25đ
0,25đ
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
. Th (1) vào (2) ta có:
uv 3 (2)
2
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
u 4, v 0 (v u>v). T đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
u v 4
K t h p (1) ta có:
0,25đ
0,25đ
KL: V y nghi m c a h là: (x; y)=(2; 2).
/4
Câu III 1 Tính tích phân : I
sin x
1 x2 x
/4
/4
I
/4
sin x
1 x2 x
/4
dx
/4
dx
0.5đ
/4
1 x sin xdx
2
x sin xdx I1 I 2
/4
Áp d ng hàm l , đ t x=-t thì I1 0 , tích phân t ng ph n I 2 đ
-203-
c k t qu .
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Áp d ng hàm l , đ t x=-t thì I1 0 , tích phân t ng ph n I 2 đ
Câu IV :
0.5đ
c k t qu .
S
N
M
D
A
0,25đ
Tính th tích hình chóp SBCMN B
C
( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD
BC AB
BC BM . T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ
BC SA
Ta có :
ng
cao
a 3
a 3
MN
SM
MN
3 2
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
2a
3
AD SA
a 3
4a
2a
. BM =
Di n tích hình thang BCMN là :
Suy ra MN =
3
3
4a
2a
2
BC MN
3 2 a 10 a
S =
BM
2
2
3 3 3
H AH BM . Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH . V y SH ( BCNM)
SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM
AB AM
1
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
= .
SB MS
2
0
V y BM là phân giác c a góc SBA SBH 30 SH = SB.sin300 = a
10 3a3
1
SH .( dtBCNM ) =
27
3
-x
-y
-z
Câu V Cho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5 + 5 +5 = 1 .Ch ng minh r ng :
G i V là th tích chóp SBCNM ta có V =
25x
25y
25z
25x 5yz 5y 5zx 5z 5xy
5 x 5 y 5z
4
t 5x = a , 5y =b , 5z = c . T gi thi t ta có : ab + bc + ca = abc
-204-
http://www.VNMATH.com
0,25đ
0,25đ
0,25đ
63
thi th
i h c 2011
a2
b2
c2
abc
( *)
B t đ ng th c c n ch ng minh có d ng :
a bc b ca c ab
4
a3
b3
c3
abc
2
2
( *) 2
a abc b abc c abc
4
0,25đ
0,25đ
a3
b3
c3
abc
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
4
3
a
ab ac 3
a ( 1)
Ta có
( B t đ ng th c Cô si)
(a b)(a c)
8
8
4
b3
bc ba 3
b ( 2)
T ng t
(b c)(b a)
8
8
4
3
c
ca cb 3
c ( 3) .
(c a)(c b)
8
8
4
C ng v v i v các b t đ ng th c ( 1) , ( 2) , (3) suy ra đi u ph i ch ng minh
Ph n B. (Thí sinh ch đ c làm ph n I ho c ph n II)
Ph n I. (Danh cho thí sinh h c ch ng trình chu n)
1. Ch ng trình Chu n.
Cõu
Ph
N i dung
A
n
CâuVI 1(1
+ Do AB CH n n AB: x y 1 0 .
H
,0)
a.
2 x y 5 0
ta có (x; y)=(-4; 3).
Gi i h :
(1,0)
x y 1 0
0,25đ
0,25đ
i m
N
Do đó: AB BN B(4;3) .
+ L y A’ đ i x ng A qua BN th A ' BC .
- Ph ng trình đ ng th ng (d) qua A và B
Vu ng gúc v i BN là (d): x 2 y 5 0 . G i I (d ) BN . Gi i h :
0,25đ
C
2 x y 5 0
. Suy ra: I(-1; 3) A '(3; 4)
x 2y 5 0
+ Ph
0,25đ
7 x y 25 0
x y 1 0
ng trình BC: 7 x y 25 0 . Gi i h :
Suy ra: C (
13 9
; ) .
4 4
0,25đ
7.1 1(2) 25
450
, d ( A; BC )
3 2.
4
7 2 12
1
1
450 45
Suy ra: S ABC d ( A; BC ).BC .3 2.
.
4
2
2
4
1) Véc t ch ph ng c a hai đ ng th ng l n l t là: u1 (4; - 6; - 8)
u2 ( - 6; 9; 12)
+) u1 và u2 cùng ph ng
0,25đ
+) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2
V y d 1 // d 2
*) Véc t pháp tuy n c a mp (P) là n = ( 5; - 22; 19)
(P):5x
– 22y + 19z + 9 = 0
2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1
G i A 1 là đi m đ i x ng c a A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B
0,25đ
+ BC (4 13 / 4) 2 (3 9 / 4) 2
Câu
VIIA
-205-
http://www.VNMATH.com
0,25đ
0,25đ
63
thi th
i h c 2011
IA + IB đ t giá tr nh nh t b ng A 1 B
Khi A 1 , I, B th ng hàng I là giao đi m c a A 1 B và d
Do AB // d 1 nên I là trung đi m c a A 1 B.
*) G i H là hình chi u c a A lên d 1 . Tìm đ
36 33 15
cH ; ;
29 29 29
43 95 28
; ;
29 29 29
65 21 43
;
I là trung đi m c a A’B suy ra I ;
29 58 29
A’ đ i x ng v i A qua H nên A’
0,25đ
A
d1
B
H
I
A1
Cõu
Câu VIIa
(1,0)
Cõu VII.a (1 đi m): Gi i ph
z 4 z3
z2
z 1 0
2
N i dung
ng trình sau tr n t p s ph c C:
i m
(1)
Nh n xét z=0 không là nghi m c a ph
ng trình (1) v y z 0
1
1 1
) ( z ) 0 (2)
2
2
z
z
1
1
1
t t=z- Khi đó t 2 z 2 2 2 z 2 2 t 2 2
z
z
z
5
Ph ng trình (2) có d ng : t2-t+ 0 (3)
2
5
1 4. 9 9i 2
2
1 3i
1 3i
PT (3) có 2 nghi m t=
,t=
2
2
Chia hai v PT (1) cho z2 ta đ
c : ( z2
1 3i
1 1 3i
ta có z
2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4)
2
2
z
Có (1 3i ) 2 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i) 2
(1 3i ) (3 i ) i 1
(1 3i ) (3 i )
PT(4) có 2 nghi m : z=
1 i ,z=
4
2
4
1 3i
1 1 3i
V i t=
ta có z
2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4)
2
z
2
2
Có (1 3i) 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i) 2
(1 3i ) (3 i )
(1 3i ) (3 i ) i 1
1 i ,z=
PT(4) có 2 nghi m : z=
4
4
2
i 1
i 1
V y PT đã cho có 4 nghi m : z=1+i; z=1-i ; z=
; z=
2
2
0.25đ
0.25đ
V i t=
Ph n II.
Câu VIb. 1)
-206-
http://www.VNMATH.com
0.25đ
0.25đ
63
thi th
i h c 2011
Ta có: d 1 d 2 I . To đ c a I là nghi m c a h :
x y 3 0
x 9 / 2
9 3
. V y I ;
2 2
x y 6 0
y 3 / 2
Do vai trò A, B, C, D nên gi s M là trung đi m c nh AD M d 1 Ox
Suy ra M( 3; 0)
2
0,25
2
9 3
Ta có: AB 2 IM 2 3 3 2
2 2
S ABCD
12
2 2
AB
3 2
ng th ng d 1 d 1 AD
Theo gi thi t: S ABCD AB.AD 12 AD
Vì I và M cùng thu c đ
0,25
ng th ng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc v i d 1 nh n n(1;1) làm VTPT nên có PT:
1(x 3) 1(y 0) 0 x y 3 0 . L i có: MA MD 2
x y 3 0
To đ A, D là nghi m c a h PT:
2
x 3 y 2 2
y x 3
y x 3
y 3 x
2
2
2
2
x 3 1
x 3 (3 x) 2
x 3 y 2
x 4
x 2
ho c
. V y A( 2; 1), D( 4; -1)
y 1
y 1
0,25
x 2 x I x A 9 2 7
9 3
Do I ; là trung đi m c a AC suy ra: C
2 2
y C 2 y I y A 3 1 2
T ng t I c ng là trung đi m c a BD nên ta có B( 5; 4)
V y to đ các đ nh c a hình ch nh t là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Cõu
CâuVIb.
(1,0)
Ph n
2.a)
Các véc t ch ph
0,25
N i dung
ng c a D 1 và D 2 l n l t là u1 ( 1; - 1; 2)
i
0,25
và u2 ( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0) D 1 ; N( 2; 3; 0) D 2
Xét u1 ; u2 .MN = - 10 0
V y D 1 chéo D 2
G i A(2 + t; 1 – t; 2t) D 1
1
AB.u1 0
t
3
AB.u2 0
t ' 0
5 4 2
A ; ; ; B (2; 3; 0)
3 3 3
0,25
B(2 – 2t’; 3; t’) D 2
0,25
ng th ng qua hai đi m A, B là đ
ng vuông góc chung c a
D 1 và D 2 .
Ta có
x 2 t
: y 3 5t
z 2t
0,25
PT m t c u nh n đo n AB là đ
11
2
13
2
ng kính có
1
2
5
d ng: x y z
6
6
3 6
-207-
http://www.VNMATH.com
0,25
63
thi th
CâuVIIb
(1,0)
i h c 2011
0
1
2009
Ta có: (1 i )2009 C2009
iC2009
.. i 2009C2009
0
2
4
6
2006
2008
C2009
C2009
C2009
C2009
.... C2009
C2009
1
3
5
7
2007
2009
(C2009
)i
C2009
C2009
C2009
... C2009
C2009
0,25
1
0
2
4
6
2006
2008
Th y: S ( A B) , v i A C2009
C2009
C2009
C2009
.... C2009
C2009
2
0
2
4
6
2006
2008
B C2009
C2009
C2009
C2009
...C2009
C2009
+ Ta có: (1 i )2009 (1 i )[(1 i) 2 ]1004 (1 i ).21004 21004 21004 i .
ng nh t th c ta có A ch nh là ph n th c c a (1 i )2009 n n A 21004 .
0
1
2
2009
+ Ta có: (1 x)2009 C2009
xC2009
x 2C2009
... x 2009C2009
0
2
2008
1
3
2009
Cho x=-1 ta có: C2009
C2009
... C2009
C2009
C2009
... C2009
Cho x=1 ta có:
0
2
2008
1
3
2009
(C2009
C2009
... C2009
) (C2009
C2009
... C2009
) 22009 .
Suy ra: B 22008 .
+ T đó ta có: S 21003 22007 .
-208-
http://www.VNMATH.com
0,25
0,25
0,25
63
thi th
i h c 2011
THI VÀ G I Ý BÀI GI I
MÔN TOÁN – H-C n m 2011
***
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
x 2 mx 2m 1
mx 1
(1), có đ th là (C m ), m là tham s .
Câu I (2 đi m). Cho hàm s y =
1.
Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.
2.
Xác đ nh m đ ti m c n xiên c a (C m ) đi qua g c t a đ và hàm s (1) có c c tr .
Câu II (2 đi m)
2 3 sin x
sin 2 x sin 2 x
3
3
2
1.
Gi i ph ng trình :
2.
x 3 y3 m(x y)
Cho h ph ng trình : x y 2
Tìm t t c các giá tr c a m đ h ph ng trình trên có 3 nghi m phân bi t (x 1 ; y 1 ),
(x 2 ; y 2 ) và (x 3 ; y 3 ) sao cho x 1 , x 2 , x 3 l p thành m t c p s c ng.
Câu III (2 đi m). 1. Tam giác ABC có a = b 2
- Ch ng minh r ng : cos2A = cos2B.
- Tìm giá tr l n nh t c a góc B và giá tr t ng ng c a các góc A, C.
3
ln x
1 (x 1)2 dx
2.
Tính tích phân: I =
Câu IV (2 đi m).
Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;1).
1.
Ch ng minh r ng: A, B, C là ba đ nh c a m t tam giác. Tìm đ dài đ ng cao c a
tam giác ABC k t đ nh A.
2.
Tìm m và n đ đi m M (m + 2; 1; 2n + 3) th ng hàng v i A và C.
PH N T CH N: Thí sinh ch đ c ch n làm câu V. a ho c câu V.b
Câu V.a. Theo ch ng trình THPT không phân ban (2 đi m)
x 2 y2
1
3
1.
Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hypebol (H) có ph ng trình: 2
và đi m M(2; 1). Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua M, bi t r ng đ ng th ng
đó c t (H) t i hai đi m A, B mà M là trung đi m c a AB.
2.
Cho hai đ ng th ng song song. Trên đ ng th ng th nh t l y 9 đi m phân bi t.
Trên đ ng th ng th hai l y 16 đi m phân bi t. H i có bao nhiêu tam giác v i
đ nh là các đi m l y trên hai đ ng th ng đã cho.
Câu V.b. Theo ch ng trình THPT phân ban thí đi m (2 đi m)
1.
2.
Gi i ph
ng trình: 2006 x
2007
2007 x
2006
1
= 90o),
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i đ nh A ( A
AB=AC=a. M t bên qua c nh huy n BC vuông góc v i m t đáy, hai m t bên còn
l i đ u h p v i m t đáy các góc 60o. Hãy tính th tích c a kh i chóp S.ABC.
BÀI GI I
-209-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
x 2 2x
x2 x 1
2
y' = (x 1) ; y’ = 0 x =
Câu I. 1. m = 1 y = x 1 . MX : D = R \ {1}.
0, x = 2
TC : x = 1; TCX : y = x
x
0
1
2
+
y'
+
0
0
+
y
-1
+
+
3
2
2
mx 2x 2m 2m
x 2 mx 2m 1
(mx 1) 2
mx 1
; y’ =
2.
y=
x 1 m 2 2m3 2m 2 1
x 1 m2
m2
m 2 (mx 1) TCX : y = m
m 2 v i 2m 3 2m 2 1 0
y= m
và m 0
mx 2 2x 2m 2 2m 0 có 2 nghiem phan biet
1 m2
2m3 2m 2 1 0 m 0
0
2
m
m=1
YCBT
2 3 sin x
sin 2 x sin 2 x
3
3
2
Câu
II.
1.
3 sin x
sin 2 x sin 2 x
3
2
3
2
2
2x
1 cos 2x
1 cos
3
3
3 sin x
2
2
2
2
1
2
1 sin x cos 2x
1 sin x 2 cos 2x 0
2x 0
cos
3
2
3
1 – cos2x – sinx = 0 2sin2x – sinx = 0
x k
x k2
sin
x
0
6
5
sin x 1
x
k 2
6
2
(k Z)
2.
x 3 y3 m(x y) (1)
(2)
(I) x y 2
(2) y = x 2 thay vào (1) ta có :
x 1
2
(2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0 x 2x 4 m 0(*)
Nh n xét : N u pt (*) có 2 nghi m x 1 , x 2 phân bi t thì : x 1 < 1 < x 2 và x 1 + x 2 = 2
YCBT pt (*) có 2 nghi m phân bi t ' = 1 - 4 + m > 0 m > 3.
-210-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu III. 1. a = b 2 sinA = sin B 2
Nên : cos2A = 1 - sin2A = 1 - 2sin2B = cos2B (đpcm)
Vì : cos2B = cos2A và 0 cos2A 1 nên : B l n nh t cos2B nh nh t cos2B
=0
2B = 90o B = 450. Lúc đó : A= 90o, C = 45o.
3
ln x
dx
1
1 (x 1)2 dx
-2
.
t u = lnx du = x ; dv = (x + 1) dx v = x 1
2.
I=
3
3
x 1 x
ln x
1
1
1
dx ln 3
dx
4
x x 1
1
I = x 1 1 1 x(x 1)
3
3
1
x
1
3
ln 3 ln
ln 3 ln
1
4
x
1 = 4
2
=
AB, BC (4; 16; 6) 0
AB
(
4;1;
0)
BC
(2;1;
4)
Câu IV. 1. Ta có :
;
A, B, C không th ng hàng A, B, C là 3 đ nh c a tam giác
AB, BC 2 33
BC
3
AH = d(A, BC) =
AM
(m
4;3;
2n)
AC
2(1; 1; 2)
2.
M (m + 2; 1; 2n + 3)
cùng ph ng
m 4 3 2n
1 2 m = 1 và n = -3
1
Câu V.a. 1. Gi s d qua M c t (H) t i A, B : v i M là trung đi m AB
3x 2A 2y A2 6 (1)
2
2
A, B (H) : 3x B 2y B 6 (2)
M là trung đi m AB nên : x A + x B = 4 (3) và y A + y B = 2 (4)
(1) (2) ta có : 3(x2 A - x2 B ) - 2(y2 A - y2 B ) = 0 (5)
Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(x A -x B )-(y A -y B ) = 0 3(2x A -4)-(2y A - 2) = 0
3x A - y A = 5
T ng t : 3x B - y B = 5. V y ph ng trình d : 3x - y - 5 = 0
2
2.
S tam giác có đ nh trên d 1 và đáy trên d 2 : 9.C16
2
S tam giác có đ nh trên d 2 và đáy trên d 1 : 16.C9
2
2
S tam giác th a YCBT là 9.C16 + 16.C9 .
Câu V.b.
1.
1 x 2006 1
Nh n xét : 1 x 2007 1 2006 x 2007
Ta có : 2006 - x2007 + 2007 - x2006 2006 - x+ 2007 - x = x - 2006 + 2007 -
x=1
V y ph
ng trình 2006 - x2007 = 2006 - x và 2007 - x2006 = 2007 - x
-211-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
x 2006
2006 x 0
x 2005
x 2007
2006 x 1
2007 x 0
x 2007
2007
x 2006 x = 2006 hay x = 2007
S x 1
2.
K SH vuông góc v i BC. Suy ra SH mp
(ABC)
K SI vuông góc v i AB và SJ AC
C
góc SIH=góc SJH = 60o tam giác SHI = tam
giác SHJ
H
HI = HJ AIHJ là hình vuông
J
I là trung đi m AB IH = a/2
B
I
A
a 3
Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 2
V (SABC)
Ng
1
a3 3
SH.dt(ABC)
12 (đvtt)
= 3
i gi i đ : 0977467739
H t.
-212-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
IH CS
PH M HÀ N I
KHOA TOÁN-TIN
-------------
THI TH
I H C - CAO
MÔN:TOÁN- KH I A
NG 2011
(Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao đ )
A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m )
y
2x 1
x 1 (C).
Câu I: (2,0 đi m) Cho hàm s :
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
2. G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên (C), ti p tuy n c a (C) t i
M c t các ti m c n t i A, B. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không đ i khi M
thay đ i trên (C).
Câu II: (2,0 đi m)
sin 3 x.sin 3 x cos 3 x.cos 3 x
1
8
tan x .tan x
6
3
1. Gi i ph ng trình
3
3
1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2
.
2. Gi i ph ng trình
1
Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân
I x ln x 2 x 1dx
0
.
Câu IV. (1,0 đi m) Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a ,
AA '
0
a 3
2 , góc
BAD b ng 60 . G i M, N l n l t là trung đi m c a c nh A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’
vuông góc v i m t ph ng (BDMN) và tính th tích kh i đa di n AA’BDMN theo a .
2
2
2
Câu V. (1,0 đi m) Ch ng minh r ng v i m i s th c d ng a, b, c th a mãn a b c 1 ,
ta có:
a 5 2a 3 a b5 2b3 b c 5 2c 3 c 2 3
2
2
c2 a2
a 2 b2
3 .
b c
B. PH N RIÊNG (3,0 I M):Thí sinh ch đ
c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
I. Theo ch ng trình Chu n
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm
I là giao đi m c a hai đ ng th ng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0. Trung đi m m t
c nh là giao đi m c a d1 và tia Ox. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1;1;1) và đ ng th ng d:
x 14 y z 5
4
1
2 .
Vi t ph ng trình m t c u (S) tâm I và c t d t i hai đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB
b ng 16.
n
1
x 4
2 x , bi t n là s nguyên
Câu VII.a (1,0 đi m) Tìm h s ch a x2 trong khai tri n:
d
ng th a mãn:
1
-213-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2 2 1 23 2
2n 1 n 6560
2C Cn Cn ...
Cn
2
3
n 1
n 1 .
0
n
II. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông có đ nh là (4; 8) và m t đ
ph ng trình 7x – y + 8 = 0. Vi t ph ng trình các c nh c a h?nh vuông.
ng chéo có
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x y z 1 0 và hai đi m
MA MB
A(1;3;0), B(5;1;2). Tìm t a đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho
Câu VII.b (1.0 đi m) Cho h ph
nghi m.
ng trình
1
2
2 log 3 x log 3 y 0
, (m R)
3
2
x y my 0
đ t giá tr l n nh t.
. Tìm m đ h có
.........H t.........
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh:............................................................; S báo danh:...................
.
Câu
I
ÁP ÁN – THANG I M
THI TH
I H C N M 2011
Môn thi: TOÁN
?
1
áp án
1
TX : D = R\
.
S bi n thiên:
1
x 1
y’ =
2
0, x D
Hàm s ngh ch bi n trên:
lim lim 2
Gi i h n: x
0,25
.
x
;1 và 1;
; ti m c n ngang: y = 2
lim , lim
2
i m
1,0
x 1
B ng bi n thiên:
th :
x 1
; ti m c n đ ng: x = 1
0,25
0,25
1,0
2m 1
G i M(m; m 1 )
y
Ti p tuy n c a (C) t i M:
0,25
1
m 1
x m
2
2m 1
m 1
0,25
2
-214-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2m
A(1; m 1 ), B(2m1; 2)
0,25
2m
1
2 2
m 1 , IB = 2m 2 2 m 1
IA = m 1
1
S IAB IA.IB 2
2
.
II
1
2
0,25
0,25
V y di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).
1,0
k
x
6 2
i u ki n:
tan x .tan x tan x .cot x 1
6
3
6
6
Ta có
1
3
3
Ph ng trình t ng đ ng v i: sin x.sin 3 x cos x.cos 3 x = 8
1 cos2 x cos2 x cos4 x 1 cos2 x cos2 x cos4 x 1
.
.
2
2
2
2
8
1
2 cos2 x cos2 x.cos4 x
2
1
1
3
cos x cos2 x
8
2
x 6 k loai
,k Z
x k
x
k
6
6
. V y :
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
k: 1 x 1
t u =
1 x
3
, v =
(1 x)3 ; u,v 0
2
2
u v 2
3
3
1 uv (u v ) 2 uv
H thành:
1
1
1
2
1 uv 2 2uv u 2 v 2 2uv u v
2
2
2
3
3
2
2
u v u v u v vu (u v) 2 uv
Ta có:
0,25
0,25
u v 2
2
2 2
u2 1
2
u v 2
2
x
2
2
2
0,25
0,25
3
-215-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
III
i h c 2011
1,0
2x 1
u ln x 2 x 1 du x 2 x 1 dx
2
dv xdx
v x
2
t
1
1 1 2 x3 x 2
x2
I ln x 2 x 1 2
dx
2
0 2 0 x x 1
0,25
1
1
dx
1
1
1
3
ln 3 x 2 x ln( x 2 x 1)10 2
0
2
2
4
4 0 x x 1
1
J
dx
2
2
1 3
x
2 2
.
3
2 3 3
J
dx
3 6
9
0
IV
0,25
3
3
ln 3 J
4
4
t
x
1
3
tan t , t ;
2
2
2 2
0,25
3
3
ln 3
V y I = 4
12
0,25
G i O là tâm c a ABCD, S là đi m đ i x ng v i A qua A’ M, N l n l t là trung
1,0
đi m c a SD và SB
a 3
, AC a 3
AB = AD = a, góc BAD = 600 ABD đ u OA = 2
a 3
3, CC ' AA '
2
SA = 2AA’ = a
AO SA
SAO ~ ACC '
AC CC '
ACC ' ~ AIO (I là giao đi m c a AC’ và SO)
SO AC ' (1)
M t khác BD ( ACC ' A ') BD AC ' (2)
T (1) và (2) đpcm
VSABD
0,25
0,25
1 2 3
a2
a 3
a
3
2
4
0,25
2
VSA ' MN
1 a 3 a 3 a2
3 2 4 2
32
4
-216-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
7a 2
32
VAA ' BDMN VSABD VSA' MN
V
0,25
1,0
0;1
Do a, b, c > 0 và a b c 1 nên a, b, c
2
2
2
2
a 5 2a 3 a a a 1
a3 a
2
2
2
1 a
Ta có: b c
2
B T thành:
Xét hàm s
Ta có:
a
3
0,25
a b3 b c 3 c
f x x3 x, x 0;1
Max
0;1 f x
2 3
3
0,25
2 3
= 9
0,25
2 3
3 đpcm
1
abc
3
ng th c x y ra
f a f b f c
VI.a
1
0,25
1,0
9 3
;
3;0
I 2 3 , M
0,25
Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2
0,25
S ABCD AB. AD 12 AD 2 2
AD qua M và vuông góc v i d1 AD: x + y – 3 = 0
L i có MA = MB = 2
x y 3 0
x 2
x 4
2
2
y 1
y 1
x 3 y 2
T a đ A, D là nghi m c a h :
ho c
D 4; 1 C 7; 2 và B 5; 4
2
Ch n A(2 ; 1)
G i H là trung đi m đo n AB HA 8
IH2 = 17
C : x 1 y 1 z 1
0,25
2
0,25
1,0
0,25
0,25
0,25
IA2 = 81 R 9
VII.a
0,25
Ta có:
2Cn0
2
2
3
2
81
n 1
1,0
2
2 1 2 2
2
n
Cn Cn ...
Cnn 1 x dx
n 1
2
3
0
0,25
5
-217-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
3n 1 1 6560
3n 1 6561 n 7
n 1
n 1
0,25
7
VI.b
1
7
1
1 k 1443k
x
2k C7 x
24 x
0
14 3k
2k 7
S h ng ch a x2 ng v i k th a: 4
21
V y h s c n t?m là: 4
0,25
0,25
1,0
0,25
G i A(4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0
G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D h p v i AC m t góc 450 a = 3, b = 4 ho c a = 4, b = 3
0,25
AB: 3 x 4 y 32 0; AD : 4 x 3 y 1 0
1 9
; ) C 3; 4
G i I là tâm h?nh vuông I( 2 2
BC : 4 x 3 y 24 0; CD : 3x 4 y 7 0
2
0,25
KL:
0,25
1,0
Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P)
B’(1; 3; 4)
0,25
MA MB MA MB ' AB '
ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng M là giao đi m c a (P) và AB’
x 1 t
y 3
z 2t
VII.b
AB’:
M(2; 3; 6)
0,25
0,25
0,25
1,0
k: x 0, y > 0
1
2
log 3 x log 3 y
2 log 3 x log 3 y 0
3
2
x 3 y 2 my 0
x y ay 0
y x , 1
y x
3
2
2
y y ay 0
y y a, 2
H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0
0,25
0,25
2
Ta có : f(y) = y y >0 , y > 0
Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0
V y h có nghi m khi a > 0
0,25
0,25
6
-218-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD& T NGH AN
Tr ng THPT Anh S n III
THI TH I H C L N TH NH T
Môn Toán – Kh i A
N m h c 20102011Th i gian 180 phút
Ph n dành chung cho t t c các thí sinh (7 đi m)
Câu 1: Cho hàm s : y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m 2 − 1) (1)
a, V i m = 0 , kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) .
b, Tìm m đ đ th hàm s (1) c t tr c Ox t i ba đi m phân bi t có hoành đ d
Câu 2: a, Gi i ph
π
ng.
ng trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx 2sin 2 (2x+ ) = 0
b, Xác đ nh a đ h ph
ng trình sau có nghi m duy nh t :
4
2 x + x = y + x 2 + a
2
2
x + y = 1
sin xdx
Câu 3 : Tìm :
∫ (sin x + 3 cos x) 3
Câu 4 : Cho l ng tr đ ng ABC . A' B 'C ' có th tích V. Các m t ph ng ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) c t nhau .
t i O. Tính th tích kh i t di n O.ABC theo V.
Câu 5 : Cho x,y,z là các s th c d ng . Ch ng minh r ng :
P = 3 4( x3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x 3 ) + 2(
x
y
z
+ 2 + 2 ) ≥ 12
2
y
z
x
Ph n riêng (3 đi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B )
A. Theo ch ng trình chu n
Câu 6a : a, Cho đ ng tròn (C) có ph ng trình : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 và đ ng th ng
(d) có ph ng trình : x + y – 2 = 0
Ch ng minh r ng (d) luôn c t (C) t i hai đi m phân bi t A,B . Tìm to đ đi m C trên đ ng tròn . . .
(C) sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t.
b, Trong không gian v i h to đ Oxyz cho đi m A(1;2;3)và hai đ ng th ng có ph ng trình :
x = 4 t '
(d 2 ) : y = −2
z = 3 t '
x y + 1 z − 2
( d1 ) : =
=
2
− 2
1
Vi t ph ng trình đ ng th ng ( ∆ )đi qua đi m A và c t c hai đ
Câu 7a : Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n :
ng th ng(d 1 ), (d 2 ).
7
1
4
x + 3
x
( v i x > 0 )
B . Theo ch ng trình nâng cao
Câu 6b : a, Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a các c nh c a tam giác ABC bi t B(2;1) , đ ng cao và . .
đ ng phân giác trong qua đ nh A,C l n l t là : 3x 4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 .
b, Trong không gian v i h to đ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đ ng th ng ( ∆ ) có ph ng
trình :
2 x − y + z + 1 = 0
x − y + z + 2 = 0
Tìm to đ đi m M n m trên đ
ng th ng ( ∆ )sao cho : MA + MB nh nh t .
Câu 7b
-219-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S GD T NGH AN
TR
NG THPT ANH S N 3
ÁP ÁN – THANG I M
THI TH I H C N M 2011
M n: TOÁN; Kh i A
( áp án thang đi m g m 07 trang)
ÁP ÁN – THANG I M
Câu
áp án
Câu 1 a. (1.0 đi m) Kh o sát…
(2 đi m) V i m=0, ta có: y=x 3 3x+1
TX D=R
i m
x = 1
y’=3x 2 3; y’=0 ⇔
x = −1
0,25
lim y = ±∞
x →±∞
BBT
x
y’
y
−∞
+
1
0
3
1
0
+∞
+
+∞
1
0,25
−∞
Hs đ ng bi n trên kho ng ( −∞ ;1) và (1; +∞ ), ngh ch bi n trên (1;1)
Hs đ t c c đ i t i x=1 và ycđ=3, Hs đ t c c ti u t i x=1 và yct=1
th : c t Oy t i đi m A(0;1)
và đi qua các đi m B(2;1), C(2;3)
th nh n đi m A(0;1) làm tâm đ i x ng
0,25
y
3
2
1
1 0
1 2
x
0,25
1
b. (1.0 đi m) Tìm m đ …
Ta có y’= 3x 2 6mx+3(m 2 1)
x = m − 1
0,25
y’=0 ⇔
x = m + 1
-220-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
đ th hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ d
ph i có:
ng thì ta
△ ' y ' > 0
∀m ∈ R
2
2
2
fCD . f CT < 0 (m − 1)(m − 3)(m − 2m − 1) < 0
⇔ m − 1 > 0
xCD > 0
x > 0
m + 1 > 0
CT
f (0) < 0
−(m − 1) < 0
1 − 2 < m < 1
− 3 < m < −1
⇔
⇔ 3 < m < 1 + 2
3 < m < 1 + 2
m > 1
Câu 2
(2.0
đi m)
a. (1.0 đi m) Gi i ph
ng trình
0,25
V y gi tr m c n tìm là:
m ∈ ( 3;1 + 2)
0,25
π
Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0
4
⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +
⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x
⇔ sinx = 1
π
⇔ x = + k2 π , k∈ Z
2
π
2
0,25
)
0,25
0,25
0,25
b. (1.0 đi m)
Nh n xét: N u (x;y) là nghi m thì (x;y) c ng là nghi m c a h
Suy ra, h có nghi m duy nh t khi và ch khi x =0
+ V i x = 0 ta có a =0 ho c a = 2
2 x + x = y + x 2
2 x + x − x 2 = y (1)
⇔
(I)
V i a = 0, h tr thành: 2 2
2
2
x + y = 1
x + y = 1 (2)
x 2 ≤ 1 y ≤ 1 2 x + x − x 2 ≥ 1
T (2) ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒
y ≤ 1 x ≤ x y ≤ 1
x 2 + y 2 = 1
x
x = 0
TM
⇒ ( I ) có nghi m ⇔ 2 + x − x 2 = 1 ⇔
1
=
y
y = 1
2 x + x = y + x 2 + 2
V i a=2, ta có h : 2 2
x + y = 1
D th y h có 2 nghi m là: (0;1) và (1;0) không TM
V y a = 0
-221-
0,25
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
Câu 3
(1.0
đi m)
thi th
i h c 2011
π
π
sin [(x ) + ]
s inx
6
6
Ta có
=
π
3
(sinx+ 3c osx) 3
8cos ( x − )
6
3
π 1
π
sin( x − ) + c os(x )
6 2
6
= 2
0,25
0,25
π
8cos(x )
6
π
Câu 4
(1.0
đi m)
sin( x − )
3
1
6 + 1
=
16 cos 3 ( x − π ) 16 cos 2 ( x − π )
6
6
π
s inxdx
3
1
⇒ ∫
=
+ tan( x − ) + c
3
6
(sinx+ 3c osx) 32cos 2 ( x − π ) 16
6
0,25
0,25
G i I = AC ∩ ’A’C, J = A’B ∩ AB’
(BA'C) ∩ (ABC') = BI
(BA'C) ∩ (AB'C) = CJ ⇒ O là đi m c n tìm
Goi O = BI ∩ CJ
Ta có O là tr ng tâm tam gi c BA’C
A'
C'
B'
0,25
I
J
O
A
C
H
M
G i H là hình chi u c a O l n (ABC)
Do △ ABC là hình chi u vuông góc c a △ BA’C trên (ABC) nên H là
tr ng tâm △ ABC
B
G i M là trung đi m BC. Ta có:
OH HM 1
=
=
A ' B AM 3
1
1
1
⇒ VOABC = OH .S△ ABC = A ' B. S△ ABC = V
3
9
9
-222-
0,25
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
Câu 5
(1.0
đi m)
thi th
i h c 2011
Ta có: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 , v i ∀ x,y>0
Th t v y: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 ⇔ 4(x 2 xy+y 2 ) ≥ (x+y) 2 (v x+y>0)
2
2
2
⇔ 3x +3y 6xy ≥ 0 ⇔ (xy) ≥ 0 luôn đúng
T ng t : 4(x 3 +z 3 ) ≥ (x+z) 3
4(y 3 +z 3 ) ≥ (y+z) 3
0,25
⇒ 3 4( x 3 + y 3 ) + 3 4( x3 + z 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) ≥ 2( x + y + z ) ≥ 6 3 xyz
M t khác: 2(
x
y
z
1
+ 2 + 2 ) ≥ 6 3
2
y
z
x
xyz
⇒ P ≥ 6( 3 xyz + 3
0,25
1
) ≥ 12
xyz
0,25
x = y = z
x
y
z
D u ‘=’ x y ra ⇔ 2 = 2 = 2 ⇔ x = y = z = 1
z
x
y
1
xyz =
xyz
V y P ≥ 12, d u ‘=’ x y ra ⇔ x = y = z =1
0,25
Câu 6a Ch ng trình chu n
(2.0
a. (1.0 đi m)
đi m)
(C) có tâm I(2;2), bán kính R=2
T a đ giao đi m c a (C) và (d) là nghi m c a h :
x = 0
x + y − 2 = 0
y = 2
⇔
2
2
x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 x = 2
y = 0
y
Hay A(2;0), B(0;2)
C
4
2
I
B
H
O
Hay (d) luôn c t (C ) t i hai đi m phân bi t A,B
-223-
0,25
M
A
2
x
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
1
2
S△ ABC max ⇔ CH max
Ta có S△ ABC = CH . AB (H là hình chi u c a C trên AB)
0,25
C = (C ) ∩ (△ )
D dàng th y CH max ⇔
xC > 2
△⊥ d
I (2; 2) ∈△
Hay △ : y = x v i △:
0,25
⇒ C (2 + 2; 2 + 2)
V y C (2 + 2; 2 + 2) thì S△ ABC m ax
b. (1.0 đi m)
Nh n xét: M ∉ (d1) và M ∉ (d2)
(△) ∩ (d1) = I
(△ ) ∩ (d 2) = H
Gi s
0,25
V I∈ d1 ⇒ I(2t1; 12t; 2+t)
H∈ d2 ⇒ H(4t’; 2; 3t’)
1 − 2t = k (1 − 4t ')
TM = k HM
23
⇔ 3 + 2t = k (2 + 2) ⇔ t = −
ycbt ⇔
10
k ∈ R, k ≠ 0
1 − t = k (3 − 3t ')
23 18 3
⇒ T (− ; ; − )
5 5 10
V y ph
ng trình đ
x = 1 + 56 t
y = 2 − 16 t
z = 3 + 33 t
0,5
ng th ng đi qua 2 đi m I và H là:
5 x + y − 8 z + 17 − 0
12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0
0,25
ho c là:
1
1
7
−
Câu 7a
1
Ta có: ( 4 x + 3 )7 = ∑ C7 k ( x 4 )7 −k .( x 3 ) k
(1.0
x
k = 0
đi m)
s h ng th k không ch a x thì:
0.25
1
1
(7 − k ) − k = 0
⇔ k = 4
3
4
k ∈ [0;7]
0.5
V y s h ng không ch a x trong khai tri n là: C7 4 =
Câu 6b
(2.0
đi m)
Ch ng trình cao
a. (1.0 đi m)
Ph
ng trình đ
1
35
0,25
ng th ng ch a c nh BC:
( BC ) qua B
⇔ ( BC ) : 4 x + 3 y − 5 = 0
BC ⊥ d 1
0,25
4 x + 3 y − 5 = 0
⇒ C (−1;3)
x + 2 y − 5 = 0
T a đ đi m C là nghi m c a h :
-224-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
G i KAC, KBC, K2 theo th t là h s góc c a các đ
BC, d2
ng th ng AC,
3 1
1
− +
− − K AC
K BC − K d 2
K d 2 − K AC
=
⇔ 4 2 = 2
1 3
1
1 + K BC .K d 2 1 + K d 2 . K AC
1+ .
1 − K AC
2 4
2
K AC = 0
⇔
K AC = − 1 (loai)
3
Ta có:
V y pt đ ng th ng AC đi qua C và có h ssó góc k=0 là: y = 3
+ T a đ đi m A là nghi m c a h :
3 x − 4 y + 27 = 0
⇒ A (−5;3)
y − 3 = 0
x + 5 y − 3
=
⇔ 4 x + 7 y − 1 = 0
⇒ Pt c nh AB là:
2 + 5 −1 − 3
V y AB: 4x+7y1=0
AC: y=3
BC: 4x+3y5=0
b. (1.0 đi m)
+ Xét v trí t ng đ i gi a AB và △ , ta có:
△ c t AB t i K(1;3;0)
Ta có KB = 2 KA
⇒ A, B n m v cùng phía đ i v i △
G i A’ là đi m đ i x ng v i A qua △ và H là hình chi u c a A trên △ .
x = 1
)
⇒ H( 1;t;3+t) (v PTTS c a △ : y = t
z = −3 + t
AH .u = 0 ⇔ −1.0 + (t − 4).1 + ( −4 + t ).1 = 0 ⇔ t = 4
Ta có
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
⇒ H (1; 4;1) ⇒ A '(0; 4;1)
G i M là giao đi m c a A’B và d
⇒ M (1;
13 4
; )
3 3
0,25
L y đi m N b t k trên △
Ta có MA+MB=MB+MA’=A’B ≤ NA+NB
V y M (1;
0,25
13 4
; )
3 3
Câu 7b Ta có:
(1+x+x 2 ) 12 = [(1+x)+x 2 ] 12 =
(1.0
12 24
x
đi m) = C120 (1 + x )12 + C121 (1 + x)11 .x 2 + ... + C12k (1 + x)12− k .( x 2 ) k + ... + C12
0 12
1
0 11
9 2
C120 [C12
x + C121 x11 + ... + C128 x 4 + ...]+C12
x 2 [C11
x + ... + C11
x + ...]
=
2 4
0 10
10
+C12
x [C10
x + ... + C10
]+...
-225-
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
4
⇒ Ch có 3 s h ng đ u ch a x
10
⇒ a4 = C120 .C128 + C121 .C119 + C122 .C10
= 1221
-226-
0,25
0,25
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C, CAO
NG L N II N M 2011
Môn thi : TOÁN - kh i A.
Th i gian làm bài : 180 phút không k th i gian giao đ
I. PH N CHUNG DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2,0 đi m).
x3
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s y
.
x 1
2. Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m I 1;1 và c t đ th (C) t i hai đi m M, N
sao cho I là trung đi m c a đo n MN.
Câu II (2,0 đi m).
1. Gi i ph ng trình sin 2 x cos x 3 2 3 cos3 x 3 3 cos 2 x 8
2. Gi i h ph
3 cos x s inx 3 3 0 .
3 x3 y 3 4 xy
ng trình
.
x 2 y 2 9
Câu III (2,0 đi m).
1. Cho x, y là các s th c tho mãn x 2 xy 4 y 2 3.
Tìm giá tr nh nh t, l n nh t c a bi u th c: M x 3 8 y 3 9 xy .
a2
b2
c2
1
ab bc ca a b c v i m i s d ng a; b; c .
2. Ch ng minh
ab bc ca 2
Câu IV (1,0 đi m). Cho l ng tr tam giác đ u ABC. A ' B ' C ' có c nh đáy là a và kho ng cách t A
a
đ n m t ph ng (A’BC) b ng . Tính theo a th tích kh i l ng tr ABC. A ' B ' C ' .
2
II. PH N RIÊNG(3,0 đi m): T t c thí sinh ch đ
c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo ch ng trình Chu n
Câu Va (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ (Oxy). L p ph
ng trình đ
ng th ng qua M 2;1 và
t o v i các tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng 4 .
Câu VI.a (2,0 đi m).
1. Gi i b t ph ng trình 1 log 2 x log 2 x 2 log 2 6 x .
2. Tìm m đ hàm s y x3 3(m 1) x 2 2(m 2 7m 2) x 2m(m 2) có c c đ i và c c ti u.
Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c đ i và c c ti u khi đó.
B. Theo ch ng trình Nâng cao
1
Câu Vb (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ (Oxy) , cho đi m M 3; . Vi t ph ng trình chính
2
t c c a elip đi qua đi m M và nh n F1 3;0 làm tiêu đi m.
Câu VI.b (2,0 đi m).
y 2 x x 2 y
ng trình
.
x
y 1
2
3
2. Tìm trên m t ph ng t a đ t p h p t t c các đi m mà t đó có th k đ
x2 2x 2
đ n đ th hàm s y
và hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau.
x 1
1. Gi i h ph
c hai ti p tuy n
----------------------------------H t---------------------
-227-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
THI TH
I H C, CAO
NG L N II N M 2011
Môn thi : TOÁN - kh i A.
Th i gian làm bài : 180 phút không k th i gian giao đ
CÂU
Ý
Câu I
(2,0đ)
Ý1
(1,0đ)
N I DUNG
I M
T p xác đ nh: D R \ 1 .
0,25 đ
S bi n thiên:
Gi i h n và ti m c n: lim y 1; lim y 1 y 1 là TCN.
x
x
lim y ; lim y x 1 là TC
x 1
y'
x
0,25 đ
x 1
4
x 12
0, x D .
BBT:
+
-1
-
+
y'
+
y
0,25 đ
1
+
-
1
Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ; 1 , 1;
Và không có c c tr .
th : T c t Ox t i (3;0), c t Oy t i (0;-3) và đ i x ng qua 1;1 .
y
4
2
y=1
-5
5
O
x
x = -1
-2
0,25 đ
Ý2
(1,0đ)
G i d là đ
ng th ng qua I và có h s góc k d : y k x 1 1 .
Ta có: d c t ( C) t i 2 đi m phân bi t M, N PT :
có 2 nghi m PB khác 1 .
x 3
kx k 1
x 1
Hay: f x kx 2 2kx k 4 0 có 2 nghi m PB khác 1
-228-
0,25 đ
0,25 đ
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
M t khác: xM xN 2 2 xI I là trung đi m MN v i k 0 .
KL: PT đ
ng th ng c n tìm là y kx k 1 v i k 0 .
0,25 đ
0,25 đ
Chú ý: Có th ch ng minh đ th ( C) có I là tâm đ i x ng, d a vào
đ th ( C) đ k t lu n k t qu trên.
Câu II
(2,0đ)
Ý1
(1,0đ)
2sin x.cos2 x6sin x.cos x2 3.cos3 x6 3cos2 x3 3 8( 3.cos xsin x) 3 3 0
2cos2 x( 3cos xsin x) 6.cos x( 3cos xsin x) 8( 3cos xsin x) 0
0,50 đ
.
( 3 cos x sin x)(2 cos 2 x 6 cos x 8) 0
tan x 3
.
3 cos x sin x 0
2
cos x 1
cos x 3cos x 4 0
cos x 4(loai )
Ý2
(1,0đ)
0,25 đ
x k
,k
3
x k 2
0,25 đ
Ta có : x 2 y 2 9 xy 3 .
0,25 đ
. Khi: xy 3 , ta có: x3 y 3 4 và x3 . y 3 27
Suy ra: x3 ; y 3 là nghi m PT X 2 4 X 27 0 X 2 31
V y ngi m c a PT là x 3 2 31, y 3 2 31
Hay x 3 2 31, y 3 2 31 .
Khi: xy 3 , ta có: x3 y 3 4 và x3 . y 3 27
Suy ra: x3 ; y 3 là nghi m PT X 2 4 X 27 0( PTVN )
Câu III
(2,0đ)
Ý1
(1,0đ)
t2 3
Ta đ t t x 2 y , t gi thi t suy ra xy
.
3
2 30
i u ki n t
5
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Khi đó M x3 8 y 3 9 xy x 2 y 6 xy x 2 y 9 xy
3
t 3 3t 2 6t 9 f t
2 30 2 30
Xét hàm f(t) v i t
;
, ta đ
5
5
min f t
c:
35 12 30
35 12 30
; max f t
5
5
-229-
0,25 đ
0,5 đ
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Ý2
(1,0đ)
1
a2
ab
ab
a
a
a
ab (1)
ab
ab
2
2 ab
b2
1
c2
1
b
bc (2),
c
ca (3).
2
2
bc
ca
C ng (1), (2), (3), ta có:
a2
b2
c2
1
ab bc ca a b c
ab bc ca 2
G i M là trung đi m BC, h AH vuông góc v i A’M
BC AM
Ta có:
BC ( AA ' M ) BC AH .
BC AA '
a
Mà AH A ' M AH ( A ' BC ) AH .
2
1
1
1
a 6
M t khác:
AA '
.
2
2
2
4
AH
A' A
AM
3a3 2
KL: VABC . A ' B ' C '
.
16
G i d là T c n tìm và A a;0 , B 0; b là giao đi m c a d v i Ox,
T
ng t :
Câu IV
(1,0đ)
Câu Va
(1,0đ)
0,50 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
x y
2 1
Oy, suy ra: d : 1 . Theo gi thi t, ta có: 1, ab 8 .
a b
a b
0,25 đ
Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: b 2; a 4 d1 : x 2 y 4 0 .
0,25 đ
Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có:
b 2 4b 4 0 b 2 2 2 .
: 1
2 x 2 1 2 y 4 0 . KL
2 x 4 x log 6 x .
0,25 đ
V i b 2 2 2 d 2 : 1 2 x 2 1 2 y 4 0
V i b 2 2 2 d3
Câu VIa
(2,0đ)
Ý1
(1,0đ)
K: 0 x 6 . BPT log 2
2
2
2
0,25 đ
Hay: BPT 2 x 2 4 x 6 x x 2 16 x 36 0
0,25 đ
V y: x 18 hay 2 x
0,25 đ
So sánh v i đi u ki n. KL: Nghi m BPT là 2 x 6 .
0,25 đ
Ta có y ' 3x 2 6(m 1) x 2(m 2 7m 2)
0,25 đ
2
Ý2
(1,0đ)
0,25 đ
HS có C , CT khi ph
ng trình 3x 2 6(m 1) x 2(m 2 7m 2) 0 có
hai nghi m phân bi t. Hay m 4 17 ho c m 4 17
Chia y cho y’ ta có y y '( x)q( x) r ( x) ;
2
2
r ( x) (m 2 8m 1) x (m3 5m 2 3m 2)
3
3
y '( x) 0
y r ( x)
To đ đi m c c tr là nghi m c a h
y y '( x).q( x) r ( x)
V y ph ng trình đ ng th ng c n tìn là
-230-
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu Vb
(1,0đ)
2
2
y (m 2 8m 1) x (m3 5m 2 3m 2)
3
3
2
x
y2
PTCT elip có d ng: 2 2 1(a b 0)
a
b
0,25 đ
a 2 b 2 3
Ta có: 3
1
2 2 1
a 4b
0,25 đ
3
Ta có: 4b 4 b 2 3 0 b 2 1(th), b 2 (kth)
4
2
2
x
y
Do đó: a 2 4 . KL:
1
4
1
Câu VIb
(2,0đ)
Ý1
(1,0đ)
0,25 đ
y 2 x x 2 y y x y x 1 0 y x, y 1 x .
0,50 đ
Khi: y 1 x thì 2 x 32 x 6 x 9 x log 6 9
0,25 đ
Khi: y x thì 2 3
x
Ý2
(1,0đ)
0,25 đ
x 1
x
2
3 x log 2 3 .
3
3
G i M(a;b) là m t đi m tho mãn đ
có d ng y k ( x a) b
S d ng đi u ki n ti p xúc cho ta h
1
x 1
x 1 x 1 k ( x a) b
1 1 k
x 1
(*)
( x 1) 2
bài. Khi đó đ
0,25 đ
ng th ng qua M
1
k ( x a) b
x 1
1
k ( x 1)
x 1
(1)
0,25 đ
(2)
1
1
k (1 a) b
x 1 2
K t h p v i (*) cho ta
k 1
k 1
2
k (1 a ) b
2 2
2
k
1
(a 1) k 2 (1 a )b 2 k b 4 0
2
t M k đ c hai ti p tuy n vuông góc đ n đ th hàm s thì h
ph ng trình trên ph i có 2 nghi m phân bi t k1 , k2 sao cho k1.k2 1
L y (1) – (2) ta có
a 1 0
a 1
2
b 4
Hay
1
(a 1) 2 b 2 4
2
(a 1)
a b 1 0
(a 1) 2 2 (1 a )b 2 b 2 4 0
V y t p h p đi m M tho mãn yêu c u bài toán thu c đ ng tròn
2
x 1 y 2 4 tr b đi 4 giao đi m c a đ ng tròn này v i 2 đ ng
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
th ng : x = 1 và –x + y + 1 = 0.
------------------------------H T------------------------------
-231-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
S C TR
TH
THTT S
C KÌ THI
400-10/2010
S
01
Th i gian làm bài 180 phút
PH N CHUNG
Câu I:
Cho hàm s : y x 3 3mx 3m 1 (1)
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1.
2) Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i chúng cách đ u đ
x y 0.
Câu II:
5 cos 2x
1) Gi i ph ng trình:
2cos x
3 2 tan x
x 3 y3 9
2) Gi i h ph ng trình: 2
2
x 2y x 4y
Câu III:
2
Tính tích phân: I
0
1 sin x
ln
ng th ng
1 cos x
1 cos x
dx .
Câu IV:
Cho t di n ABCD có ABC là tam giác vuông t i A. AB a, AC a 3, DA DB DC . Bi t
r ng DBC là tam giác vuông. Tính th tích t di n ABCD.
Câu V:
Ch ng minh r ng v i m i s d ng x, y, z th a mãn xy yz zx 3, ta có b t đ ng th c:
1
4
3
.
xyz x y y z z x 2
PH N RIÊNG
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình các c nh AB, BC l n l t
là 5x 2y 7 0, x 2y 1 0 . Bi t ph ng trình phân giác trong góc A là x y 1 0 . Tìm
t a đ đ nh C c a tam giác ABC.
2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho đi m M 1;2;3 . Vi t ph ng trình
đ ng th ng đi qua M, t o v i Ox m t góc 600 và t o v i m t ph ng (Oxz) m t góc 300.
Câu VII.a:
-232-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Gi i ph ng trình: e x 1 ln 1 x .
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b:
1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ
3
và parabol (P): y 2 x . Tìm
2
ng tròn (C) và hai ti p tuy n này t o
ng tròn (C): x 2 y 2
trên (P) các đi m M t đó k đ c hai ti p tuy n đ n đ
v i nhau m t góc 600.
2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho hình vuông ABCD có A 5;3; 1 ,
C 2;3; 4 , B là m t đi m trên m t ph ng có ph
đi m D.
Câu VII.b:
Gi i ph
ng trình:
ng trình x y z 6 0 . Hãy tìm t a đ
3
1 x 1 x3 2 .
H
NG D N GI I VÀ ÁP S
PH N CHUNG
Câu I:
1) T gi i
2) y ' 3x 2 3m y’ có C và CT khi m 0 .
x1 m
y 2m m 3m 1
Khi đó:
1
y 2 2m m 3m 1
x 2 m
x y2
m 2m m 3m 1
Vì C và CT đ i x ng qua y = x nên: 1
x 2 y1 m 2m m 3m 1
1
Gi i ra đ c m
3
Câu II:
3
1) K: tan x ,cos x 0
2
2
PT 5 cos x sin 2 x 2 3cox 2sin x
cos 2 x 6 cos x 5 sin 2 x 4sin x
cos x 3 sin x 2
2
2
cos x sin x 1 cos x sin x 5 0
cos x sin x 1
sin x 0
x k
cos
x
0
loai
kZ
-233-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2)
x 3 y3 9
(1)
H PT 2
2
x x 2y 4y (2)
Nhân 2 v PT(2) v i -3 r i c ng v i PT(1) ta đ c:
3
3
x 3 3x 2 3x y 3 6y 2 12y 9 x 1 y 2 x y 3
y 1 x 2
2
Thay x y 3 vào PT(2): y 3 y 3 2y 2 4y y 2 3y 2 0
y 2 x 1
Nghi m h : 2; 1 , 1; 2
Câu III:
2
1 sin x
I ln
1 cos x
0
t x
1 cos x
2
2
2
0
0
0
dx cos x.ln 1 sin x dx ln 1 sin x dx ln 1 cos x dx
(1)
t dx dt
2
2
2
2
Suy ra: I sin t.ln 1 cos t dt ln 1 cos t dt ln 1 sin t dt
0
0
2
0
2
2
Hay I sin x.ln 1 cos x dx ln 1 cos x dx ln 1 sin x dx
0
0
(2)
0
2
2
C ng (1) v i (2): 2I cos x.ln 1 sin x dx sin x.ln 1 cos x dx
0
0
J
K
2
V i J cos x.ln 1 sin x dx
0
2
2
t t 1 sin x dt cos xdx J ln tdt t ln t 1 dt 2ln 2 1
2
1
1
2
V i K sin x.ln 1 cos x dx
0
1
2
2
1
t t 1 cos x dt sin xdx K ln tdt ln tdt 2ln 2 1
Suy ra: 2I 2ln 2 1 2ln 2 1 I 2ln 2 1
-234-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu IV:
ABC vuông t i A BC 2a
DBC vuông cân t i D DB DC DA a 2
BC
a
G i I là trung đi m BC IA ID
2
Vì DA a 2 , nên IAD vuông t i I ID IA
Mà ID BC
ID (ABC)
VABCD
1
1
1
a3 3
ID.SABC .ID.AB.AC .a.a.a 3
3
6
6
6
Câu V:
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d
1
1
4
2xyz 2xyz x y y z z x
ng
4
1
1
;
và
2xyz 2xyz
x y y z z x
3
3
x 2 y 2 z 2 x y y z z x
Ta có: x 2 y 2 z 2 x y y z z x xyz xz yz xy zx yz xy
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng xy, yz và zx:
3
xy yz zx
2 2 2
xy.yz.zx
1 x y z 1 xyz 1 (1)
3
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng xy + yz, yz + zx và zx + xy:
xz yz xy zx yz xy 2 xy yz zx
xz yz xy zx yz xy
8
3
3
3
3
T (1) và (2) suy ra: x 2 y 2 z 2 x y y z z x 8
1
4
3
3
3
xyz x y y z z x
8 2
PH N RIÊNG
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1) T a đ đi m A:
5x 2y 7 0 x 3
A 3;4
x y 1 0
y4
T a đ đi m B:
5x 2y 7 0 x 1
B 1; 1
x
2y
1
0
y
1
V y:
-235-
http://www.VNMATH.com
(2)
63
thi th
i h c 2011
G i D là giao đi m phân giác và BC.
T a đ đi m D:
x y 1 0
x 1
D 1;0
x 2y 1 0 y 0
Giã s đ ng th ng AC có vect pháp tuy n n n1 ;n 2 5;2
Suy ra:
n1.1 n 2 .1
5.1 2.1
n n2
7
1
20n12 58n1n 2 20n 22 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
29
n1 n 2 . 1 1
5 2 . 1 1
n1 n 2
5
n
n2
1
2
n 2;5 (AC) : 2x 5y 14 0
n 2 n
1 5 2
T a đ đi m C:
11
x
2x 5y 14 0
11 4
3
C ;
3 3
x 2y 1 0
y 4
3
2) G i vect ch ph ng c a d là a a1 ;a 2 ;a 3
Ox có vect ch ph
ng là 1;0;0
ng th ng d t o Ox 1 góc 600
a1
a12 a 22 a 32
cos 600
1
3a12 a 22 a 32 0
2
(Oxz) có vect pháp tuy n 0;1;0
ng th ng d t o (Oxz) 1 góc 300 ngh a là d t o v i vect pháp tuy n này 1 góc 600.
a2
1
cos 600 a12 3a 22 a 32 0
2
a12 a 22 a 32
1
1
c: a12 a 22 a 32 a1 a 2
a3
2
2
Ch n a 3 2 , ta đ c: a 1;1; 2 , a 1;1; 2 , a 1; 1; 2 , a 1; 1; 2
Gi i ra đ
Suy ra 4 ph ng trình đ ng th ng (d):
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
,
1
1
1
1
2
2
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
,
1
1
1
1
2
2
-236-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu VII.a:
K: x 1
t y ln 1 x e y 1 x .
ey 1 x
ng trình đã cho ta có h : x
e 1 y
L y (2) tr (1): e x e y y x e x x e y y
Xét hàm s f t e t t
t 1
K t h p v i ph
(1)
(2)
Ta có: f ' t e t 1 0 t 1
Hàm s luôn t ng trên mi n xác đ nh.
f x f y x y x ln 1 x e x 1 x e x x 1
D th y x = 0 là 1 nghi m c a ph ng trình.
Xét hàm s f t e t t
Ta có: f ' t e t 1
- V i t 0 thì f ' t 0 Hàm s luôn t ng f t f 0 1 e t t 1 t 0
PT vô nghi m.
- V i 1 t 0 thì f ' t 0 Hàm s luôn gi m f t f 0 1 e t t 1 1 t 0
PT vô nghi m.
V y ph ng trình có nghi m x = 0.
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b:
1) i m M(x0;y0) này cách tâm c a (C) m t đo n b ng 6 x 02 y 02 6
M (P) y 02 x 0
Suy ra: y 40 y 20 6 0 y 02 2 y 0 2
V y M 2; 2 ho c M 2; 2
2) AC 3 2 BA BC 3
T a đ đi m B là nghi m h ph ng trình:
x 5 2 y 32 z 12 9
x 5 2 y 32 z 12 9
2
2
2
x 2 y 3 z 4 9 x z 1 0
x yz 6 0
x yz 6 0
x 5 2 4 2x 2 2 x 2 9
x2
x3
z 1 x
y 3 ho c y 1
z 1
z 2
y 7 2x
-237-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
B 2;3; 1 ho c B 3;1; 2
AB DC D 5;3; 4 ho c D 4;5; 3
Câu VII.b:
3
1 x 1 x3 2
K: x 1
x 2 2 x 1 3 x3 2
x 2 3 x3 2
x 3 6x 2 12x 8 x 3 2
6 x 1 0
Suy ra: x 1 là nghi m c a PT.
2
TH
S C TR
THTT S
C KÌ THI
401-11/2010
S
02
Th i gian làm bài 180 phút
PH N CHUNG
Câu I:
Cho hàm s : y 2x 3 3x 2 1 (1)
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1).
2) Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n c a (C) t i M c t tr c tung t i đi m có tung
đ b ng 8.
Câu II:
xy 18 12 x 2
1) Gi i h ph ng trình:
1 2
xy 9 y
3
x
2) Gi i ph ng trình: 4 x 12 2x 11 x 0
Câu III:
Tính th tích kh i chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a và kho ng cách gi a c nh bên
và c nh đáy đ i di n b ng m.
Câu IV:
Tính tích phân: I x cos x sin 5 x dx
0
Câu V:
-238-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
a a c b 2
Cho tam giác ABC, v i BC = a, AC = b, AB = c th a mãn đi u ki n
2
b b a c
1 1 1
Ch ng minh r ng:
a b c
.
PH N RIÊNG
c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
Thí sinh ch đ
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1) Trong m t ph ng t a đ (Oxy) cho đ ng th ng (d) : 3x 4y 5 0 và đ ng tròn (C):
x 2 y 2 2x 6y 9 0 . Tìm nh ng đi m M thu c (C) và N thu c (d) sao cho MN có đ dài
nh nh t.
2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho hai m t ph ng (P1): x 2y 2z 3 0 ,
x2 y z4
(P2): 2x y 2z 4 0 và đ ng th ng (d):
. L p ph ng trình m t c u
3
1
2
(S) có tâm I thu c (d) và ti p xúc v i hai m t ph ng (P 1) và (P2).
Câu VII.a:
t 1 x x 2 x3
B. Theo ch
Câu VI.b:
4
a 0 a1x a 2 x 2 ... a12 x12 . Tính h s a7.
ng trình nâng cao
2
2
1 7
ng tròn (C): x 1 y 3 1 và đi m M ; .
5 5
Tìm trên (C) nh ng đi m N sao cho MN có đ dài l n nh t.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u (S): x 2 y 2 z 2 2x 4y 2z 5 0
và m t ph ng (P): x 2y 2z 3 0 . Tìm nh ng đi m M thu c (S), N thu c (P) sao cho MN
có đ dài nh nh t.
Câu VII.b:
Dùng đ nh ngh a, tính đ o hàm c a hàm s :
,
x 0
0
3
f x 1 3x 1 2x
t i đi m x0 = 0.
,
x0
x
1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ
H
NG D N GI I VÀ ÁP S
PH N CHUNG
Câu I:
1) T gi i
-239-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
2) y 2x 3 3x 2 1 y ' 6x 2 6x
G i M x 0 ; y 0 Ph
ng trình ti p tuy n: y 6x 02 6x 0 x x 0 y 0
Hay y 6x 02 6x 0 x 6x 30 6x 02 2x 03 3x 02 1
Ti p tuy n này có tung đ b ng 8 6x 30 6x 20 2x 30 3x 02 1 8
Gi i ra đ c: x 0 1 y 0 4
V y M 1; 4
Câu II:
1) K: x 2 3, xy 0
xy 18 12 x 2
xy 30 x 2
- N u xy 18 thì ta có h :
1 2
2
3xy 27 y
xy 9 y
3
(1)
(2)
L y (2) tr (1): 2xy 3 x 2 y 2 x y 3 x y 3
2
V i x y 3 y x 3 , thay vào (1):
x x 3 30 x 2 2x 2 3x 30 0 x
Nghi m 2 3; 3 3
5 3
(lo i) ho c x 2 3 (nh n)
2
V i x y 3 y x 3 , thay vào (1):
x x 3 30 x 2 2x 2 3x 30 0 x
Nghi m 2 3;3 3
5 3
(lo i) ho c x 2 3 (nh n)
2
- N u xy 18 thì t (1) suy ra: x 2 3 , t (2) suy ra: y 3 3 xy 18 xy 18
Vô nghi m.
H có 2 nghi m 2 3;3 3 , 2 3; 3 3 .
2) 4x x 12 2x 11 x 0 4 x 12.2x 11 x 2 x 1 0
2 x 11 2 x 1 x 2x 1 0
2 x 11 x 2 x 1 0
Ph
2x 1 x 0
x
2 11 x 0 x 3
ng trình có 2 nghi m x = 0, x = 3.
-240-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu III:
G i M là trung đi m BC AM BC,SM BC
BC (SAM)
Trong (SAM) d ng MN SA
MN là kho ng cách SA và BC.
MN = m
3a 2
m2
4
D ng đ ng cao SO c a hình chóp.
MN SO
m
SO
2 3ma
SO
AN AO
a 3
3a 2
3 3a 2 4m 2
2
m
3
4
AN AM 2 MN 2
1
1
2 3ma
a2 3
ma 3
V SO.SABC .
.
3
3 3 3a 2 4m 2
4
6 3a 2 4m 2
Câu IV:
I x cos x sin x dx x cos xdx x sin xdx x cos xdx x 1 2cos 2 x cos 4 x sin xdx
0
0
0
0
0
5
5
J
K
J x cos xdx
0
t u x du dx
dv cos xdx v sin x
J x sin x 0 sin xdx cos x 0 2
0
K x 1 cos 2 x sin xdx
2
0
t u x du dx
2
1
dv 1 2cos 2 x cos 4 x sin xdx v cos x cos3 x cos5 x
3
5
2
1
2
1
K x cos x cos 3 x cos5 x cos x cos 3 x cos 5 x dx
3
5
3
5
0 0
8
2
1
cos xdx cos3 xdx cos5 xdx
15 0
30
50
-241-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
cos xdx sin x
0
0
0
sin 3 x
cos
xdx
1
sin
x
cos
xdx
sin
x
0
0
0
3 0
3
2
2 3
1 5
0 cos xdx 0 1 2sin x sin x cos xdx sin x 3 sin x 5 sin x 0 0
5
2
8
15
8
I
2.
15
Câu V:
a a c b 2
2
b b a c
4
K
(1)
(2)
Vì a, b, c là đ dài 3 c nh tam giác nên: a c b
T (1) suy ra: ab b 2 a b b a 0
Ta có: (1) ac b a b a
ac
c 2 ab bc ac bc a b c
ba
1 bc
1 1 1
(đpcm).
T đó:
a
bc
a b c
T (2) suy ra: b
PH N RIÊNG
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1)
M thu c (C) có vect pháp tuy n c a ti p tuy n t i M cùng ph
g n (d) nh t.
2
2
(C) : x 1 y 3 1
ph
ng vect pháp tuy n (d) và
ng trình ti p tuy n t i M x 0 ; y0 : x 0 1 x 1 y 0 3 y 3 1
4 x 0 1 3 y 0 3 0 4x 0 3y 0 5 0 (1)
M x 0 ; y 0 C x 0 1 y 0 3 1 (2)
2
Gi i (1), (2) ta đ
2
2 11
8 19
c: M1 ; , M 2 ;
5 5
5 5
-242-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
11
2
3. 4. 5
5
5
d M1 ,(d)
1
32 42
19
8
3. 4. 5
5
5
d M 2 ,(d)
3
32 42
2 11
T a đ đi m M c n tìm là M ; .
5 5
N là hình chi u c a tâm I c a (C) lên (d).
1
x
4 x 1 3 y 3 0
IN (d)
5
N (d)
3x 4y 5 0
y 7
5
1 7
T a đ đi m N c n tìm là N ; .
5 5
2)
I (d) I 2 t; 2t; 4 3t
(S) ti p xúc (P1) và (P2) d I, P1 d I, P2 R
t 1
9t 3 10t 16
12 22 2 2
22 12 2 2
t 13
2
2
2
V i t 1 I 1; 2;1 ,R 2 (S1 ) : x 1 y 2 z 1 2 2
2 t 4t 8 6t 3
4 2t 2t 8 6t 4
V i t 13 I 11;26; 35 , R 38 (S2 ) : x 11 y 26 z 35 382
Câu VII.a:
2
t 1 x x 2 x3
4
Ta có: 1 x x 2 x 3
1 x
2 4
1 x
4
2
2
a 0 a1x a 2 x 2 ... a12 x12 . Tính h s a7.
1 x .1 x
4
4
2 4
C04 x 2C14 x 4C 24 x 6C34 x 8C44
C04 xC14 x 2C24 x 3C34 x 4C 44
Suy ra: a 7 C 42C34 C14 C34 6.4 4.4 40
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b:
1)
N là giao đi m c a MI và (C) v i MN l n nh t.
-243-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
6 8
MI ; vect ch ph
5 5
Ph
ng trình đ
ng đ
ng th ng MI a 3;4
x 1 3t
ng th ng MI:
y 3 4t
N MI (C) 1 3t 1 3 4t 3 1 25t 2 1 t
2
2
1
5
8 19
2 11
N1 ; , N 2 ;
5 5
5 5
MN1 3, MN 2 1
So sánh: MN1 MN 2
8 19
T a đ đi m N c n tìm là N ;
5 5
2)
2
2
2
(S): x 1 y 2 z 1 1
(P): x 2y 2z 3 0
M (P ') : x 2y 2z d 0
Kho ng cách t tâm (S) đ n (P’) b ng R d I,(P ') R
d 0
1
2
d 6
12 2 22
1 4 2 d
(P1 ') : x 2y 2z 0
(P2 ') : x 2y 2z 6 0
Ph ng trình đ ng th ng đi qua I vuông góc v i (P1’), (P2’):
x 1 t
: y 2 2t
z 1 2t
1
2 4 5
M1 ; ;
3
3 3 3
1
4 8 1
M2 là giao đi m và (P2) 1 t 4 4t 2 4t 6 0 t M 2 ; ;
3
3 3 3
2 8 10
3
3 3 3
d M1 , (P)
1
2
12 2 22
M1 là giao đi m và (P1) 1 t 4 4t 2 4t 0 t
-244-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
d M 2 , (P)
i h c 2011
4 16 2
3
3 3 3
1 2 2
2
2
3
2
2 4 5
T a đ đi m M là M ; ;
3 3 3
N là giao đi m và (P) 1 t 4 4t 2 4t 3 0 t
2
1 2 7
N ; ;
3
3 3 3
Câu VII.b:
3
3
f x f 0
1 3x 1 x
1 2x 1 x
1 3x 1 2x
lim
lim
lim
2
2
x 0
x 0
x0
x0
x 0
x
x
x2
3
1 3x 1 x
3x 2 x 3
lim
lim
x 0
x 0 2
2
2
x2
x 3 1 3x 3 1 3x.1 x 1 x
3 x
lim
1
2
2
x 0 3
3
1 3x 1 3x.1 x 1 x
f ' 0 lim
1 2x 1 x
x 2
1
1
lim
lim 2
lim
2
x 0
x 0
x
x 1 2x 1 x x 0 1 2x 1 x 2
1
1
f ' 0 1
2
2
TH
S C TR
THTT S
C KÌ THI
402-12/2010
S
03
Th i gian làm bài 180 phút
PH N CHUNG
Câu I:
Cho hàm s : y x 4 2 m 1 x 2 2m 1 .
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 1.
2) Xác đ nh m đ đ th hàm s c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p
s c ng.
Câu II:
1) Gi i ph ng trình: 2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2 2x 3
6x 2 3xy x y 1
2) Gi i h ph ng trình: 2
2
x y 1.
-245-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
Câu III:
2
Cho hàm s f x A.3 B . Tìm các s A, B sao cho f ' 0 2 và f x dx 12
x
1
Câu IV:
Trong m t ph ng P cho hình vuông ABCD có c nh b ng a. S là m t đi m b t kì n m trên
đ ng th ng At vuông góc v i m t ph ng P t i A. Tính th tích kh i c u ngo i ti p hình
chóp S.ABCD khi SA = 2a.
Câu V:
x
sin x 2cos
2 trên đo n 0; .
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s f x
2
x
cos x 2sin
2
PH N RIÊNG
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1) Trong m t ph ng t a đ (Oxy) cho đi m A 1;1 và đ ng th ng (d) có ph ng trình
4x 3y 12 0 . G i B, C là giao đi m c a (d) v i các tr c Ox, Oy. Xác đ nh t a đ tr c tâm
c a tam giác ABC.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, t đi m P 2;3; 5 h các đ ng th ng vuông góc
v i các m t ph ng t a đ . Vi t ph ng trình m t ph ng đi qua chân các đ ng vuông góc đó.
Câu VII.a:
24
5
5
Ch ng minh r ng s ph c z 1 cos isin có ph n o b ng 0.
6
6
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b:
1) Cho đ ng tròn C : x 2 y 2 6x 2y 1 0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song
v i đ ng th ng x 2y 4 0 và c t C theo m t dây cung có đ dài b ng 4.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng
x 1 y 1 z
x 1 y 2 z
d1 :
và d 2 :
.
2
1
1
1
2
1
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i m t ph ng Q : x y 2z 3 0 sao cho (P)
c t d1, d2 theo m t đo n th ng có đ dài nh nh t.
Câu VII.b:
4 x y1 3.4 2y 1 2
Gi i h ph ng trình
x 3y 2 log 4 3
H
NG D N GI I VÀ ÁP S
-246-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
PH N CHUNG
Câu I:
1) T gi i
2) Giao đi m v i tr c hoành x 4 2 m 1 x 2 2m 1 0 (*)
t t = x2, ta có ph ng trình: t 2 2 m 1 t 2m 1 0 (**)
(*) có 4 nghi m (**) có 2 nghi m d ng phân bi t
m2 0
'0
1
S 0 2 m 1 0 m , m 0
2
P0
2m 1 0
V i đi u ki n này (**) có nghi m t1 x12 ; t 2 x 22 (t2 > t1) 4 nghi m (*): x 2 , x1 , x1 , x 2
Dãy này l p thành c p s c ng khi: x 2 x1 x1 x1 x 2 3x1
t x1 x 2 3
m4
2
2 m 1 10 2
m 1
2
2m 1 9
4
9m 32m 16 0
4
5
m
2m
1
9
9
4
V y m = 4 ho c m
9
x12 x 22 10
2 2
4
x1 x 2 9
2
Câu II:
1)
2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2 2x 3
2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3cos 2 2x
cos 2x sin 3x cos 2x 0
cos 2x 0
sin 3x cos 2x 0
k
k Z
2
4 2
3x
V i sin 3x cos 2x 0 sin 3x sin 2x
2
3x
k
x 4 2
k2
V y ph ng trình có nghi m x
k Z
10
5
x k2
2
V i cos2x = 0 2x
k x
-247-
k2
x
2x k2
2
10
5
k Z
x k2
2x k2
2
2
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
6x 2 3xy x y 1 1
2) 2
2
2
x y 1.
1 6x 2 3xy 3x 2x y 1
3x 1 2x y 1 0
1
x
3
y 2x 1
1
3
V i x , t (2) suy ra: y
2 2
3
x 0 y 1
V i y 2x 1 , t (2) suy ra: x 2x 1 1 5x 4x 0
x 4 y 3
5
5
V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m:
2
2
2
1 2 2 1 2 2 4 3
;
, ;
, ;
3 5 5
3 3 3
0;1 ,
Câu III:
f ' x A.3x.ln 3
f x A.3x B
A.3x
f
x
dx
Bx C
ln
3
2
f ' 0 2
A
A.ln 3 2
ln 3
6A
Ta có: 2
f x dx 12 ln 3 B 12 B 12 12
1
ln 2 3
2
A
ln 3
V y
B 12 12
ln 2 3
Câu IV:
Tâm O c a hình c u ngo i ti p hình chóp
S.ABCD là trung đi m c a SC.
SC SA 2 AC 2 4a 2 2a 2 a 6
SC a 6
2
2
3
4 R
V
a3 6
3
R
Câu V:
-248-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
x
2 x 0; .
f x
2
x
cos x 2sin
2
x
x
x
Ta có: cos x 2sin 2sin 2 2sin 1
2
2
2
sin x 2cos
Xét hàm s g t 2t 2 2t 1 t 0;
g ' t 4t 2 g ' t 0 t
2
2
1
2
1 3 2
g 0 1; g ; g
2
2 2 2
2
g t 0 t 0;
2
x
0 x 0; .
2
2
f x liên t c trên đo n 0; .
2
x
x
x
x
cos x sin cos x 2sin sin x cos sin x 2cos
2
2
2
2
f ' x
2
x
cos x 2sin
2
x
1 sin
2
f ' x
0 x 0; .
2
x
2
cos x 2sin
2
GTLN f x = f 0 2
cos x 2sin
2
GTNN f x = f 1
2
2
PH N RIÊNG
A. Theo ch ng trình chu n
Câu VI.a:
1) A 1;1 B 3; 0 C 0; 4
G i H x; y là tr c tâm tam giác ABC
BH x 3; y , CH x; y 4 , AB 2; 1 , AC 1;3
-249-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
BH AC
x 3
BH.AC 0
x 3 3y 0
CH AB
y 2
2x y 4 0
CH.AB 0
V y H 3; 2
2) G i I, J ,K l n l t là chân các đ ng vuông góc t
Oyz, Oxz.
Ta có: I 2;3; 0 , J 0;3; 5 , K 2;0; 5
ng ng c a P lên các m t ph ng Oxy,
M t ph ng IJK có d ng Ax By Cz D 0
I, J, K thu c m t ph ng này nên:
1
A 4 D
2A 3B D 0
1
3B 5C D 0 B D Ch n D = -60, suy ra A = 15, B = 10, C = -6.
6
2A 5C D 0
1
C 10 D
V y IJK :15x 10y 6z 60 0
Câu VII.a:
24
k
24
24
5
5
5
5
5k
5k
k
k
1
cos
i
sin
C
cos
isin
isin
24
C24 cos
6
6
6
6
6
6
k 0
k 0
24
24
5k
5k
k
C k24 cos
i C 24
sin
6
6
k 0
k 0
24
5k
Ph n o C k24 sin
6
k 0
5 24 k
5k
5k
5k
k
k
C 24
sin
C 24
sin
C k24 sin
0
Ta có: Ck24 sin
24
6
6
6
6
24
5k
Suy ra: Ck24 sin
0
6
k 0
B. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VI.b:
2
2
1) C : x 3 y 1 32
d song song v i đ ng th ng x 2y 4 0 d : x 2y c 0
d c t C theo m t dây cung có đ dài b ng 4 d I, d 32 22 5
32c
c4
5 c 1 5
5
c 6
V y d1 : x 2y 4 0 ho c d 2 : x 2y 6 0
2) (P) song song v i m t ph ng Q P : x y 2z m 0
-250-
http://www.VNMATH.com
63
thi th
i h c 2011
x 1 2t
x 1 t
d1 : y 1 t
d 2 : y 2 2t
zt
zt
(Q) giao v i (d1): 1 2t 1 t 2t m 0 t m M 1 2m; 1 m; m
(Q) giao v i (d2): 1 t 2 2t 2t m 0 t m 3 N 2 m; 4 2m; m 3
MN 2 m 3 m 3 32 2m 2 27 27
2
2
MinMN = 3 3 khi m = 0
Khi đó P : x y 2z 0
V y P : x y 2z 0
Câu VII.b:
4 x y 1 3.4 2 y1 2 1
x 3y 2 log 4 3 2
T (2) x y 1 1 log 4 3 2y log 4
Thay vào (1): 1 4
4
log 4 2 y
3
4
2y
3
3.4 2 y1 2
4
3
.42y .42 y 2
3
4
4 3t
4
t t 42 y t 0 ta có:
2 9t 2 24t 16 0 t
3t 4
3
4
1
4 1 1
4 2 y y log 4 log 4 3
3
2
3 2 2
3 3
1 1
(2) x 2 log 4 3 3y 2 log 4 3 log 4 3 log 4 3
2 2
2 2
1 1
1 1
V y h có nghi m duy nh t x log 4 3 ; y log 4 3
2 2
2 2
-251-
http://www.VNMATH.com
[...]... http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 12 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 1 có đ th là (C) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x2 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s 2 Ch ng minh đ ng th ng d: y = -x + m luôn luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B Tìm m đ đo n AB có đ dài nh nh t... song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t Câu VIIb (1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau mà trong m i s luôn luôn có m t hai ch s ch n và ba ch s l -H t 1212 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 13 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH... sinh trên có hai b n Ng c và Th o Tìm sác xu t đ hai b n Ng c và Th o có ph n th ng gi ng nhau -H t 1313 - http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O ( THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 14 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 3 2mx 2 (m 3) x 4 có đ th là... -2020 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 21 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): 1 Cho hàm s y = x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đ th (Cm) ) 3 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s khi m = 2 2 Tìm m, đ hàm s (Cm) có c c đ i, c c ti u và yC + yCT > 2 Câu... ng trình đã cho có ít nh t m t nghi m thu c đo n 1;5 3 2222 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 23 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s : y = (x – m)3 – 3x (1) 1 Xác đ nh m đ hàm s (1) đ t c c ti u t i đi m có hoành đ x = 0 2 Kh o sát s bi n thi n và v đ th... là tr c tâm c a tam giác ABC Câu VIIb: (1 đi m): Cho t p A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau ch n trong A sao cho s đó chia h t cho 15 -H t 1616 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 17 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0... 1818 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 19 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 4 mx 3 2x 2 3mx 1 (1) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s (1) khi m = 0 2 nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u Câu II (2 đi m): 23 2 8 1 Gi i... 1919 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 20 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham s ) (1) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s (1) khi m = 2 2 Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) có đi m c c đ i, đi m c c ti... u(S) có tâm I và kho ng cách t I đ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P) theo giao tuy n đ ng tròn (C) có bán kính r = 3 Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình sau có nghi m th c: 2 2 91 1 x (m 2)31 1 x 2 m 1 0 -H t -1414 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I... nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà m i s l p đ đ u nh h n 25000? -H t -b) L p ph 1515 - http://www.VNMATH.com c 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 16 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I: (2 đi m): x Cho hàm s y (C) x 1 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) ... y y ay H có nghi m (2) có nghi m y > Ta có : f(y) = y y >0 , y > Do pt f(y) = a có nghi m d ng a>0 V y h có nghi m a > -43- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011... Câu VIIb (1 m): Có s t nhiên có ch s khác mà m i s ln ln có m t hai ch s ch n ba ch s l -H t 1212 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011... Tìm m đ h có nghi m x y my H t Thí sinh khơng đ c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: ; S báo danh: -39- http://www.VNMATH.com 63 thi th I
Ngày đăng: 03/10/2015, 20:32
Xem thêm: 63 đề thi thử toán đại học có đáp án , 63 đề thi thử toán đại học có đáp án
