TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 63.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Quan Mục lục Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Công thức khai triển Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian Hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 18 Chương 2. BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 i MỞ ĐẦU Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈C : |z| < 1} , ký hiệu H2(D) là không gian Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn kfk = . r Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ : H2(D) → H2(D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ ψ, là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H2(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai điểm cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức. Luận văn trình bày kết quả sau: 1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic trên H 2(D) khi và chỉ khi λ−1/2 < |γ| < λ1/2 2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H2(D) khi và chỉ khi |γ| = 1. 3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ không là chaotic trên H2(D) với mọi γ ∈C. Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D) thông qua việc phân loại điểm dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương: • Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó. • Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D), như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý Denjoy-Wolf về phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên đường tròn đơn vị để nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành. Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông Dương Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. 2 Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015 Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG GIAN HARDY Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy H2(D) và tính chất. 1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω∈C. Xét giới hạn f(z+∆z)− f(z) lim z,z+∆z ∈Ω. ∆z→0 , với ∆z Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu f0(z) df hay (z). Như vậy dz 0 f(z+∆z)− f(z) f (z) = lim . ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z. Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω∈C với giá trị trong C gọi là hàm chỉnh hình tại z0 ∈Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈ D(z0,r) ⊂ Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω. Định lý 1.1.3. Giả sử Ω⊂C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω. Khi đó 1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C. 2. H(Ω) là một vành. 3. Nếu f ∈ H(Ω) và f(z) 6= 0,∀z ∈Ω thì . f 4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Chứng minh. Chứng minh 4. ∂f∂f Do f chỉ nhận giá trị thực , cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt ∂x ∂y ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f khác = i , ta suy ra = = 0. Vậy f = const. ∂x ∂y ∂x ∂y 4 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f(z) = u(x,y)+iv(x,y),z = x+iy xác định trên miền Ω∈C. Hàm f được gọi là R2- khả vi tại z = x+iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực). Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x+iy ∈Ω điều kiện cần và đủ là f R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z. ∂u ∂v (x y) = (x,y) ∂y (1.1.1) ∂u ∂ ∂ y (x,y) = −∂x (x,y). Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f C - khả vi tại z = x+iy ∈Ω. Khi đó tồn tại giới hạn 0 f(z+∆z)− f(z) f (z) = lim với ∆z = ∆x+i∆y. ∆z→0 ∆z Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có : u(x+∆x,y)+iv(x+∆x,y)−u(x,y)−iv(x,y) f (z) = lim = 0 ∆z→0 ∆x u(x+∆x,y)−u(x,y) = lim +i lim ∆z→0 ∆x ∆z→0 v(x+∆x,y)−v(x,y) ∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và ∂u 0 ∂x ∂v f (z) = (x,y)+i (x,y). (1.1.2) ∂x Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có f0(z) = −i∂u(x,y)+ ∂v(x,y).(1.1.3) ∂y ∂y So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được ,y) ∂u ∂v ∂ y (x,y) = −∂x (x,y). Ta còn phải chứng tỏ u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y). Vì f C- khả vi tại z nên ∆f = f(z+∆z)− f(z) = f0(z)∆z+o(∆z) 6 với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là o(∆z) lim 0. = ∆z→0 ∆z Rõ ràng ∆f = ∆u+i∆v,∆z = ∆x+i∆y. theo (1.1.2) ta có ∂u ∂v ∆u+i∆v = ( +i ∂x )(∆x+i∆y)+o(∆z)+io(∆z). ∂x Từ đó ∂u ∂v ∂u ∂u ∆u = ∆x− ∆y+o(∆z) = ∆x+ ∆y+o(|∆z|), ∂x ∂x ∂ ∂x u ∆v = ∆ ∂x ∂x ∂y ∂v ∂v ∆y+o(∆z) = ∆x+ ∆y+o(|∆z|). ∂x ∂y điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y). Điều kiện đủ: Vì u và v khả vi tại (x,y) nên ∂u ∂u ∆u = ∆x+ ∆y+o( ∆x ∂x p 2 +∆y2) ∂y và ∆v = ∂v∆x+ ∂v ∆y+o(p∆x 2 +∆y2). ∂x ∂y Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành ∂u ∂v ∆u = ∆x− ∆y+o(|∆z|), ∂x ∂x ∂v ∂u ∆v = ∆x+ ∆y+o(|∆z|). ∂x (1.1.4) (1.1.5) ∂x Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có ∆f ∆u ∆v = +i ∆z ∆z ∆z = ∂u∆ x− ∂xv∆y+o(∆z) ∂x ∂ ∂∂ux∆x+ ∂∂x v∆y+o(∆z) +i ∆z∆z y x =++ ∂u ∂v ∆z o(∆z) ∆z 8 ∆z o( ∆z) = +i ∂x + . ∂x ∆z Vì vậy ∆f ∂u ∂v = +i ∆x ∂x tức là f C- khả vi tại z = x+iy. Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R2-khả vi tại z ∈Ω⊂C Xét vi phân ∂f ∂f d f = dx+ dy. ∂x ∂y (1.1.6) Vì dz = dx+idy và dz¯ = dx−idy nên 1 1 dx = (dz+dz¯),dy = (dz−dz¯). 2 2i Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có 1∂f ∂f 1∂f ∂f d f = ( −i )dz+ ( +i )dz¯. 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y Nếu đặt ∂f 1∂f ∂f∂f1∂f ∂f = ( −i ), = ( ∂z 2 ∂x ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y (1.1.7) +i ) thì ∂f ∂ f d f = dz+ dz¯. (1.1.8) ∂z ∂z¯ Bởi vì ∂f 1∂f ∂f 1 ∂u ∂v ∂v ∂u = ( +i ) = [( − )+i( + )] ∂z¯ 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu ∂ f (z) = 0. ∂z¯ Nói cách khác hàm R2-khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu ∂ f (z) = 0. ∂z¯ (2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có ∂2 ∂x ∂x ∂y ∂y f 2 ∂x ∂x ∂x ∂ 10 . 1.2. Công thức tích phân Cauchy 1.2.1. Công thức tích phân Cauchy Định lý 1.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z0 ∈Ω. Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂Ωγ ⊂Ω ta có công thức tích phân Cauchy f( f(z0) = . 2πi γ η− 0 Nếu thêm f liên tục trên Ω¯ và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈Ω ta có 1 Z f(η) f(z) = dη. 2πi ∂Ωη−z Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Ωγ ⊂Ω. Chọn ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z0,ρ) ⊂Ωγ. Ký hiệu Cρ là biên của D(z0,ρ) và đặt Ωγ,ρ = Ωγ\D(z0,ρ) Ωγ,ρ là miền 2- liên, ta có Z f(η) Từ đó ta có công thức dη = 0. γ∪Cρ− η−z0 η) . 0 Thực hiện phép biến đổi η = z0 +ρeiϕ,dη = iρeiϕdϕ ta được iρeiϕdϕ Z 2π =i f(z0 +ρeiϕ)dϕ 0 Z 2π =i [f(z0 +ρeiϕ)− f(z0)]dϕ +2πif(z0). 0 Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có vì thế f( ρ→0 γ η− 0 dη = 2πif(z 0). Vậy f( f(z0) = . 2πi γ η− 0 Trong trường hợp f liên tục trên Ω¯ và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈Ω các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có : 12 1 Z f(η) f(z) = dη. 2πi ∂Ωη−z 14 1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈Ω,0 < r < d(a,∂Ω) và M(a,r) = sup|z−a|=r|f(z)|. Khi đó ta có bất đẳng thức sau (n) |≤ n!M(a,r) . (1.2.1) |f (a) rn Chứng minh. Ta có f với γ = ∂D(a,r) ta có n! M(a,r) n!M(a,r) γ ≤ n+1 | | = n ,n = 0,1,··· 2π r r 1.2.3. Định lý về giá trị trung bình Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn D¯(z0,r) ⊂Ω, thì f . Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có 1 Z f(z) f(z0) =dz. 2πi ∂D(z0,r) (z−z0) Viết z = z0 +reiϕ,z ∈∂D(z0,r) ta có . f 1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại Định lý 1.2.4. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền Ω và liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const hoặc |f (z)| chỉ đạt cực đại trên biên ∂Ω của Ω. Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact Ω nên tồn tại z0 ∈Ω sao cho max|f (z)| = |f (z0)|. z∈Ω Giả sử z0 ∈Ω, ta sẽ chứng minh rằng f (z)=const. Lấy r >0 sao cho D(z0,r)⊂ Ω. Theo định lý giá trị trung bình ta có (1.2.2) suy ra 16 . (1.2.3) Trên đường tròn ∂D(z0,r) ta có f zM và do đó , bởi tính liên tục suy ra M, với mọi 0 6ϕ 6 2π. 0 Tương tự có đẳng thức trên với mọi r 6 r, do đó |f (z)| = M với mọi z ∈ D(z0,r). Lấy z∗ tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z0 với z∗. Do L compact tồn tại các điểm z0,z1,...,zn = z∗ trên L và r > 0 sao cho n L ⊂ [ D(zj,r) và zj+1 ∈ D(zj,r) ⊂Ω, j = 0,1,...,n−1. j=0 Do |f (z)|=M trên D(z0,r) nên |f (z1)|=M. Vì vậy theo lập luận trên |f (z)|= M với mọi z∈D(z1,r),...,|f (z)|=M với mọi z∈D(zn−1,r). Đặc biệt |f (z∗)|= M. Như vậy ta chứng minh được |f (z)| = M với mọi z ∈Ω. Viết f (z) = |f (z)|eiarg f(z) = Meiϕ(x,y) = Mcosϕ(x,y)+iMsinϕ(x,y). Theo điều kiện Cauchy - Riemann ∂ϕ y (1.2.4) ∂ϕ ∂ϕ −Mcosϕ = −Msinϕ . ∂x ∂y Nhân đẳng thức thứ nhất của (1.2.4) với sinϕ và nhân đẳng thức thứ 2 với cosϕ rồi so sánh ta có Msin2ϕ∂ϕ = −Mcos2ϕ∂ϕ hay M∂ϕ = 0. ∂x ∂x ∂x Nếu M = 0 thì hiển nhiên f = const. Nếu M . Thay vào một . Từ đó suy ra ϕ = const trong miền Ω, vậy f trong hai vế của (1.2.4) ta có = const 1.3. Công thức khai triển Taylor 1.3.1. Chuỗi Taylor Định nghĩa 1.3.1. Chuỗi hàm có dạng n n=0 gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z−z0. 18 1.3.2. Công thức khai triển Taylor Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z−z0| < R, thì trong hình tròn này f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0. Cụ thể là với |z−z0| < R n f n=0 ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức f(n)(z0) Cn = ! 1Z = 2πi |η−z0|=r (η− f(η) n+1dη n z0) với 0 < r < R. Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z−z0| < R. Chọn r > 0 sao cho |z−z0| < r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có f dη 2πi γr η− ở đây γr là đường tròn |z−z0| = r. Ta viết 1 1 = 1 = η−z vì thế nếu η ∈γr Ta có z−z0 thì | | < 1. η−z0 −z0 1 = η−z (η−z0)k+1 1 η−z0 ∞ (z−z0)k ∞ z−z0 k ∑=0(η−z1) = k∑=0 k và chuỗi này hội tụ đều trên γr. Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1 , ch 4, [1]) ta có 1 (z−z0)k − k +1 ]dη π k=0 (η z0) f( η) k+1 dη. k1 Z 2 k=0 πi γr (η−z0) 2 Chú ý rằng z0) Ck =,k = 0,1,2,··· ! không phụ thuộc vào r,0 < rR. Vậy ta có f d n=0 20 Cn(z−z0)n. Hệ quả 1.3.3. Hàm f(z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi z0 ∈Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z−z0 mà nó hội tụ tới f(z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z0,∂D). Nhận xét: Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực. Chẳng hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi nếu x 6= 0 ϕ 0 nếu x = 0 khả vi vô hạn với ϕ(n)(0) = 0 với n = 0,1,2, ... Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0. 1.4. Không gian Hardy 1.4.1. Không gian Lp Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1(p = 1) là không gian tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô hướng, đặt N . Ký hiệu L1 là không gian thương LN với chuẩn thấy đây là một chuẩn trên L1, ta kiểm tra tính đầy đủ của nó. Thật vậy, lấy là một dãy trong L1 thỏa mãn . Dễ . n=1 N Chọn đại diện fn của mỗi [fn], thì dãy ∑ =1 là một dãy tăng, các hàm đo n=1 được không âm có tính chất sau M theo bổ đề Fatou hàm h là khả tích. Do đó dãy n=1 n=1 hội tụ n=1 hầu khắp nơi tới một hàm khả tích k trong L 1. Cuối cùng ta đánh giá fn n . nn=N+1 . Vậy L1 là không gian Banach. Do đó n=1 Với 1 < p < ∞ ký hiệu và N p = N ∩L p. Lp Khi đó không gian thương Lp N p là một không gian Banach với chuẩn . 22 Trường hợp p = ∞ ta ký hiệu L∞ là không gian con của L 1 là tập hợp các hàm bị chặn cốt yếu f thỏa mãn tập hợp {x ∈T : |f (x)| > M} có độ đo 0 với M đủ lớn và ký hiệu kfk∞ là số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. Tương tư như trên, đặt N ∞ = N ∩L∞, khi đó L . Ta thấy với f ∈L∞ ta có kfk∞ = 0 nếu và chỉ nếu f ∈N ∞. Do đó kfk∞ là một chuẩn trên L∞, ta sẽ kiểm tra L∞ là không gian Banach. Thật vậy, chọn là dãy trong L∞ thỏa mãn , ta n=1 chứng minh hội tụ. n=1 Chọn fn đại diện cho mỗi [fn] thỏa mãn |fn| bị chặn hầu khắp nơi bởi k[fn]k∞. Khi đó n=1 hầu khắp nơi trên T. Khi đó hàm h đo được và bị chặn hầu khắp nơi bởi M. Do đó h∈L∞ và dễ thấy . Vậy L∞ là không N n gian Banach. Ký hiệu C là tập hợp các hàm liên tục trên T, dễ thấy C ⊂ L∞⊂ Lr ⊂ Ls ⊂ L1 với 1 < s 6 r < ∞ 1.4.2. Không gian Hardy Định nghĩa 1.4.1. Với 1 6 p 6∞. Khi đó Hp = {f ∈ Lp : fn = 0,∀n < 0} được gọi là không gian Hardy. Nhận xét: • Hp là không gian con đóng của Lp và H∞⊂ Hr ⊂ Hs ⊂ H1 với 1 6 s 6 r 6∞. • Khi nói f ∈Hp ta hiểu là f xác định trên cả đĩa đơn vị D={z ∈C : |z| < 1}. • H∞ là đại số Banach. • H2 là không gian Hilbert và f ∈ H2 nếu và chỉ nếu ∑ |fn|2 < ∞. Tập n∈Z+ hợp các đơn thức {zn,n ∈Z+} là cơ sở trực giao của H2. 24 1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian Hp Với 1 6 p 6∞ ký hiệu zHp. Hp 1 Nếu 1 < p < ∞ và + H có đối ngẫu là Hp (0) Định lý 1.4.2. q q 1 = 1 thì L pq p q và H có đối ngẫu là L Chứng minh. (1) Gọi Λ là hàm tuyến tính bị chặn trên Lq . Khi đó ta xây dựng được hàm tuyến tính trên Lq như sau Λe(f) := Λ(f +Hp). Do đối ngẫu của Lq là Lp nên tồn tại L ∈ Lp, với sao cho . Theo tính chất nếu f ∈ Hq, ta có Khi đó L có thể khai triển Fourier có dạng ∞ ∑ Aneinθ, n=1 do đó L ∈ Hp (0). Ngược lại, với L∈Hp (0) ta xây dựng được hàm tuyến tính trên LqHq tương tự như trên. Vậy Hp (0) là đối ngẫu của Lq . Hp ta xây dựng hàm tuyến tính trên Hp như sau (2) Với . (1.4.1) Biểu thức (1.4.1) hoàn toàn xác định, vì với mọi f1 ∈ Hp, f2 ∈ Hp thì . là một hàm tuyến tính bị chặn trên Hp. Như vậy Ngược lại, lấy Λ là hàm tuyến tính bất kỳ trên Hp, theo định lý Hahn Banach ta có thể khai triển Λ lên toàn bộ Lp. Khi đó tồn tại L ∈ Lq thỏa mãn Lp và kLkq = kΛk. Thu hẹp trên Hp ta thu được Λ từ lớp . là không gian đối ngẫu của Hp Vậy Bằng lập luận tương tự như trên ta có: Định lý 1.4.3. Đối ngẫu của L là H∞(0) . Đối ngẫu của H1 là L 1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes Xét hàm giải tích f trong đĩa đơn vị, đặt 1 /p Mp (r, f) =,0 < p < ∞ M . 26 Hàm giá trị thực u(z) điều hòa trên |z| 0 cố định, u(r)−A−Iδ → 0, trong đó dt = I dt. Cho ε > 0, chọn δ > 0 đủ nhỏ sao cho với 0 < t 6 δ, khi đó |I Vậy u(r) → A kh i dt < 2ε. r → 1. Do một hàm biến phân bị chặn là khả vi hầu khắp nơi và một hàm f ∈Hp nếu và chỉ nếu phần thực và phần ảo của nó thuộc hp. Ta có các hệ quả sau: Hệ quả 1.4.7. Mỗi hàm u ∈ h1 có giới hạn bán kính hầu khắp nơi. Hệ quả 1.4.8. Nếu u là tích phân Poisson của hàm ϕ ∈ L1 thì u rei khắp nơi. 30 hầu Nhận xét 1.4.9. Ta có thể chứng minh tốt định lý trên bằng việc chứng minh u(z) → Dµ(θ0) theo bất kỳ đường nào không tiếp xúc với đường tròn đơn vị. Tuy nhiên ta sẽ đi đến kết quả này theo cách khác, đó là chứng minh một hàm giải tích bị chặn có giới hạn không tiếp xúc hầu khắp nơi. Với ta ký hiệu hình quạt với đỉnh eiθ, góc 2α đối xứng qua bán kính từ tâm tới eiθ là Sα (θ). Định lý 1.4.10. Nếu f ∈ H∞, giới hạn bán kính lim f rei tồn tại hầu khắp r→1 nơi. Hơn nữa, nếu θ0 là giá trị mà ở đó giới hạn bán kính tồn tại thì f(z) dần tới giới hạn tương tự khi z → eiθ0 bên trong bất kỳ miền Sα (θ0),α < π. Để chứng minh định lý ta sử dụng định nghĩa và định lý sau: Định nghĩa 1.4.11. Một họ A các hàm trên miền Ω được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy trong họ có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của Ω. Định lý 1.4.12. (Định lý Azela) Một họ A các hàm trên miền Ω của mặt phẳng phức là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu: A là đồng liên tục trên mỗi tập hợp con compact E ⊂Ω Với mỗi z ∈Ω tập {f (z) : f ∈A} nằm trong một tập compact của C Chứng minh. (Định lý (1.4.10)) Sự tồn tại hầu khắp nơi của giới hạn bán kính, được suy ra từ hệ quả (1.4.7) , định lý (1.4.6), do h∞⊂ h1 Để thuận tiện ta sẽ chuyển đường tròn đơn vị về miền |z−1| 1 thỏa mãn Tn (U)∩V 6= 0/. (ii) Tồn tại hằng số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X và với bất kỳ lân cận N của x, tồn tại y ∈ N và n > 0 thỏa mãn |Tn (x)−Tn (y)| > δ. (iii) Tập hợp các điểm tuần hoàn của T, ký hiệu Per(T), trù mật trong X. Trong [3] điều kiện (ii) được suy ra từ (i) và (iii). Toán tử tuyến tính bị chặn T trên X được gọi là hypercyclic nếu tồn tại một véctơ x ∈ X có quỹ đạo Orb trù mật trong X và gọi là véctơ x hypercyclic tương ứng với T. Tiếp theo là điều kiện đủ đối với tính hypercyclic, nó dùng để xác định một toán tử bất kỳ là hypercyclic hoặc không. 2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic Tiêu chuẩn 2.1.2. (Kitai - Gethner - Shapiro, xem ([9]) ) Cho X1,X2 là các tập con trù mật của không gian Banach tách được X và một toán tử tuyến tính S (có thể không liên tục) trên X2 thỏa mãn: (i) Tnx → 0 với mọi x ∈ X1, 34 (ii) Snx → 0 với mọi x ∈ X2, (iii) TS là đồng nhất trên X2. Khi đó T là hypercyclic (Xem [9]). Dễ chỉ ra tính hypercyclic kéo theo tính bắc cầu. Đảo lại, ta chứng minh tính bắc cầu kéo theo tính hypercyclic. Thật vậy, gọi HC(T) là tập hợp các véctơ hypercyclic tương ứng với T. Khi đó , HC (2.1.1) k y∈Y k∈Nn∈N vớiY là tập con trù mật đếm được của X (xem [14] Ch.7). Khi T là bắc cầu, hợp đếm được trù mật trong (2.1.1) là tập con mở trù mật của X. Theo định lý Baire HC(T) khác rỗng. Do đó T là chaotic nếu và chỉ nếu T là hypercyclic trên X và Per(T) là trù mật trong X. Tổng quát, ta chưa thể biết γT là chaotic trên X với γ ∈C, ngay cả khi T là chaotic trên X. Trong [2] tác giả đã chỉ ra, T là hypercyclic trên X nếu và chỉ nếu Tn là hypercyclic với mỗi n > 1. Từ Per(Tn) = Per(T), T là chaotic nếu và chỉ nếu Tn cũng là chaotic. Do đó nếu T là chaotic thì ωnT cũng là chaotic, với ωn là căn bậc n của 1. Nếu T cố định điều kiện của tiêu chuẩn hypercyclic, eiθT cũng cố định điều kiện đó với mọi eiθ ∈∂D. Tuy nhiên nếu eiθ là phép quay vô tỷ thì không thể khẳng định Per(eiθT) trù mật hay không trù mật. Xét sự tác động của |γ| với γT cũng là chaotic. Tính hypercyclic đòi hỏi chuẩn của toán tử lớn hơn 1. Thực vậy, mọi quỹ đạo của toán tử có chuẩn không lớn hơn 1 chứa bởi hình cầu đóng, có tâm tại 0, bán kính là chuẩn của điểm khởi đầu. Do vậy ta giả thiết |γ| > kTk−1. Tương tự nếu l = inf{kTxk : kxk = 1} , thì ta giả thiết |γ| 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic trên H2(D) nếu và chỉ nếu λ−1 /2 < |γ| < λ1/2. (ii) Giả sử ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H2(D) nếu và chỉ nếu |γ| = 1. (iii) Giả sử ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trên D. Khi đó γCψ không là chaotic trên H2(D) với mọi γ ∈C. Trước khi chứng minh định lý ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2. Giả sử α,β nằm trên ∂D và Z(α) là tập các hàm chỉnh hình trên một lân cận của D và triệt tiêu tại α. Đặt Z(α,β) = Z(α)∩Z(β). Giả sử Zk (α) là tập các hàm chỉnh hình trên lân cận của D và có không điểm bậc k tại 1 (z) = (λ n −1)z+( n +1), λ trong đó λ = ψ0(1)−1 > 1. Giả sử f là hàm số trong Z(1). Khi đó tồn tại một hàm số h1 chỉnh hình trên α. Khi đó Z(α),Z(α,β) và Zk (α) trù mật trong H2(D) với mọi k > 1. 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 Chứng minh. (i). Giả sử ψ là một tự đẳng cấu hyperbolic của D. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 là điểm cố định và −1 là điểm đẩy. Khi đó với n ∈Z, (λn +1)z+(λn −1) lân cận của D thỏa mãn f (z)=(1−z)h1(z). Đặt M1 =max|h1(z)|. Từ |ψn|=1 z∈D trên ∂D và Re(ψn) là điều hòa trên D, n 1/2 π 1/2 2Reψn θ = (2.2.1) = (2−2Reψn (0))1/2 = . Do đó ta có 1/2 (2.2.2) Tương tự với f ∈ Z(−1) tồn tại hàm h2 chỉnh hình trên lân cận của D thỏa mãn f(z) = (1+z)h2(z). Do đó ta có 38 n/2 , C (2.2.3) và , (2.2.4) với M2 = max|h2(z)|. Dễ thấy và từ (2.2.2),(2.2.4) suy ra z∈D với mọi λ−1/2 < |γ| < λ1/2, khi n →∞ với mọi f ∈ Z(1), n f → 0 khi n →∞ với mọi f ∈ Z(−1). Theo tiêu chuẩn hypercyclic, ta có γCψ là hypercyclic với λ−1/2 < |γ| < λ1/2. Trong phần tiếp theo ta sẽ chứng minh Per là trù mật trong H2(D) với −1 /2 < |γ| < λ1/2. Thật vậy, giả sử f là một hàm số trong Z(1,−1). Khi đó λ tồn tại một hàm h chỉnh hình trên một lân cận của D sao cho f(z) = (1−z)(1+ z)h(z). Theo (2.2.1) và (2.2.3) ta có 1/2 1/2 và với M = max|h(z)|. Với n > 1, gọi z∈D nj f ◦ fn j=−∞ (ψn)j. j=−∞ Khi đó kfnk6 j và → 0, khi n →∞. j Từ fn tuần hoàn như γCψ , Z(1,−1)⊂F ⊂Per với FγC={f ψ n : f ∈ Z(1,−1),n > 1}. Theo bổ đề 2.2.2, Per trù mật trong H2(D), vậy γCψ là chaotic trên H2(D) với λ−1/2 < |γ| < λ1/2. Ngược lại, giả sử |γ|6λ−1/2 . Theo ([6],Ch.3), 1/2 . (2.2.5) Từ , suy ra . Do đó γCψ không là hypercyclic, nên γCψ không là chaotic. Tiếp theo, giả sử |γ|>λ1/2. Khi đó không là hypercyclic . Nó chỉ ra rằng một toán tử nghịch đảo là hypercyclic nếu và chỉ nếu nghịch đảo của nó là hypercyclic (xem[12]). Vậy γCψ không là hypercyclic nên γCψ cũng không là chaotic. 40 (ii) Giả sử ψ là một tự đẳng cấu parabolic của D. Trong ([14],Ch.7) và ([5],Ch.2) đã chỉ ra Cψ thỏa mãn giả thiết của tiêu chuẩn hypercyclic. Do đó γCψ cũng thỏa mãn giả thiết nếu |γ| = 1. Giả sử 1 là điểm cố định của ψ và ia với a > 0. Khi đó n (2−ina)z+ina ψ (z) = . −inaz+(2+ina) Ở đây, ta tính toán bên trong tích lặp lần 2 của ψ, ta sử dụng bước sau. Gọi αp = (1− pz)−1: mô phỏng nhân của điểm p ∈D. Khi đó ta có phân tích ψn theo công thức ψn = bn +cnαpn với −ina 2−ina 4 pn = ,bn = ,cn = . 2−ina −ina ina(2+ina) Ta có tích trong sau một số bước tính toán 2+4 (2−ina)p nk + = · · 2+inaj inakinak(2−inak) −inapnk +(2+ina) j(2+inak) 4(j−k) = − k(2+inaj) k(2−inak)(2+ina(j−k)) = 8+2n2a2 jk+in3a3 jk(j−k) . (2+inaj)(2−inak)(2+ina(j−k)) (2.2.6) Tương tự như chứng minh (i), ta xây dựng các điểm tuần hoàn trù mật của Cψ. Với mọi f ∈ Z2(1), ta viết f (z) = (1−z)2h(z) với h chỉnh hình trên một lân cận của D và tồn tại M = max|h(z)| < ∞. Gọi z∈D . fn (2.2.7) j=−∞ Ta sẽ chứng minh fn là điểm tuần hoàn trong H2(D) j, dθ 2π j,k=−∞− π π 2∞ nj i nk i dθ 2π j,k=−∞ 2π j,k=−∞ ! M2 j, 42 −π = 32M 12+n2a2 2 − jk+ ,k6=0 n a j k 4+n a (j k) (2.2.8) . Gọi S là số hạng cuối trong (2.2.8). Khi đó với S j=1 j=1 j2 − jk+k2 S n 6 12 2 j2 − jk+k2 1 n S +∑ ∑0 n a n4a4 j2k2 2 j2 − jk+k2 S+ , ∑ k>0 n (j−k) 14 j k 4+n a (j−k) + 2 aj k 4+n a n a (j j2 j>0 j>k>0 n4a4 j2k2(j−k)2 . Nghĩa là fn ∈ H2(D) và bằng cách tính toán tương tự ta cũng có kfn − fk2 6 32M2S → 0 khi n →∞. trù mật trong H2(D). Khi đó Per Ta sẽ chứng minh nếu |γ|6= 1 thì γCψ không là chaotic trên H2(D). Theo (2.2.5) . C Nếu |γ| < 1 thì với n đủ lớn, . n Do đókhông là hypercyclic. Theo [2], γCψ cũng không là hypercyclic. Tương tự với . Khi đó γ −1C − không là hyperψ 1 cyclic. 44 (iii) Có một số kết quả mạnh hơn kết luận (iii). Trong [4], các tác giả đã chỉ ra nếu ψ có một điểm trong cố định Cψ không là supercyclic, tức là; với mọi f ∈ H2(D), COrb C H2(D). Từ Orb không trù mật trong Orb C không là hypercyclic với mọi γ ∈C 2.3. Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1 Trong phần tiếp theo ta sẽ nghiên cứu biến dạng chaotic của các toán tử hợp thành trên không gian H2(D). Trong định lý 2.2.1, cho γ = 1 ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.3.1. Giả sử ψ là tự đẳng cấu của D. Khi đó Cψ là chaotic trên H2(D) nếu và chỉ nếu ψ không có điểm cố định trong D. Chú ý: Hệ quả 2.3.1 được sử dụng trong một số kết quả khác (xem [5],[9]). Trong trường hợp này, tính hypercyclic của các toán tử hợp thành đã được nghiên cứu, tuy nhiên tính trù mật của các điểm tuần hoàn không được chứng minh. Trong phần tiếp theo ta sẽ xây dựng một trường hợp đơn giản của các điểm tuần hoàn trù mật với các toán tử hợp thành, nó là cảm sinh bởi các tự đẳng cấu. P.S.Bourdon và J.H.Shapiro có phân loại trên tính hypercyclic của Cψ theo vị trí điểm cố định của tự đẳng cấu ψ. Các tác giả đưa ra điều kiện đủ trên ϕ không là tự đẳng cấu của D với Cϕ là hypercyclic (xem [5]). Ta sẽ thiết lập điều kiện Bourdon và Shapiro cũng là điều kiện đủ với Cϕ là chaotic. Điểm p ∈D được gọi là điểm Denjoy - Wolff của ϕ nếu dãy lặp {ϕn} hội tụ tới hàm hằng p đều trên các tập con compact của D. Nếu ϕ không là tự đẳng cấu elliptic thì theo định lý Denjoy - Wolff tồn tại duy nhất điểm Denjoy - Wolff của ϕ. Giả sử p ∈∂D. Ta nói ϕ là co rút tới p nếu ϕ liên tục và đơn diệp trên D, có điểm Denjoy - Wolff p và . Ký hiệu ϕ(k)(p) là đạo hàm cấp k của ϕ tại p. Với ε ∈ [0,1), giả sử Cn+ε (p) là tập các tự đồng cấu chỉnh hình ϕ của D sao cho ϕ có mở rộng ) n ϕ (k)(p ∑ ϕ(z) = k và =0 k! k (z− p) +γ(z) khi z → p trong D. Định nghĩa 2.3.2. Giả sử ϕ là co rút tới p. Ta nói rằng (i) ϕ là co rút hyperbolic tới p nếu ϕ ∈C1+ε (p) và ϕ0(p) < 1, (ii) ϕ là co rút parabolic tới p nếu ϕ ∈C3+ε (p) và ϕ0(p) = 1. Định lý 2.3.3. Cho ϕ là tự đồng cấu chỉnh hình của D và γ ∈C. (i) Giả sử ϕ là co rút hyperbolic tới p và λ > 0 là đạo hàm tại p , λ 1 /2 < |γ| < λ−1/2. Khi đó γCϕ là chaotic trên H2(D). là thuần ảo khác không, |γ| = 1. (ii) Giả sử ϕ là co rút parabolic tới p và Khi đó γCϕ là chaotic trên H2(D). Chứng minh. Giả sử ϕ thỏa mãn (i). Khi đó theo kết quả của định lý ([5], Ch. 4), tồn tại tự đồng cấu giải tích đơn diệp σ của D thỏa mãn (a) σ◦ ϕ = ψ◦ σ trên D, với ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D 46 (b) Cσ biến thiên trù mật trong H2(D). ψ có một điểm cố định tại σ (p) và ψ0(σ (p))=ϕ0(p)=λ. Từ định lý 2.2.1, γCψ là chaotic với λ1 /2 < |γ| < λ −1/2. Giả sử f là một véc tơ hypercyclic ứng với f ∈ H2(D) , với γCψ. Từ Orb Orb . Do đó (b) đảm bảo Cσ f là véctơ hypercyclic ứng với γCϕ. Tương tự nếu g là một điểm tuần hoàn của γCψ thì Cσg là một điểm tuần hoàn của γCϕ. Khi đó Per chứa CσPer , nó là trù mật trong H2(D). Vậy γCϕ là chaotic trên H2(D). KẾT LUẬN Luận văn trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D). Cụ thể, chứng minh định lý (2.2.1) nói lên rằng; Với D := {z ∈C : |z| < 1} là đĩa đơn vị mở, H2(D) là không gian Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D, ψ là tự đẳng cấu của D và γ là một số phức. Khi đó • Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic trên H2(D) khi và chỉ khi λ−1/2 < |γ| < λ1/2 • Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H2(D) khi và chỉ khi |γ| = 1. • Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ không là chaotic trên H2(D) với mọi γ ∈C. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] S.I.Ansari (1995), Hypercyclic and cyclic vectors, J.Funct. Anal, 128 , 374-383. [3] J.Banks, J.Brooks, G.Cairns, G.Davis and P.Stacey (1992), On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math. Monthly, 99 , 332-334. [4] P.S.Bourdon and S.I.Ansari (1997), Some properties of cyclic operators, Acta. Sci. Math . (Szeged), 63 , 195-207. [5] P.S.Bourdon and J.H.Shapiro (1997), Cyclic phenomena for composition operators, Mem. Amer. Math. Soc. 596, Amer. Math. Soc. [6] C.Cowen and B.MacCluer (1995), Composition operators on spaces of analytic functions, CRC Press. [7] Robert L.Devaney (1989), An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Addison-Wesley. [8] Peter L.Duren (1970), Theory of HP spaces, volume 38, Academic Press, INC. 48 [9] R.M.Gethner and J.H.Shapiro (1987), Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions, Proc. Amer. Math. Soc, 100 , 281-288 . [10] G.Godefroy and J.H.Shapiro (1991), Operators with dense, invariant, cyclic vector maifolds, J.Funct. Anal., 98 , 229-269 . [11] D.A.Herrero (1992), Hypercyclic operators and chaos, J.Operator Theory, 28 , 93-103. [12] D.A.Herrero and C.Kitai (1991), On invertible hypercyclic operators, J.Funct. Anal, 98 , 229-269 . [13] T.Hosokawa (2003), Chaotic behavior of composition operators on the Hardy space, Acta. Sci. Math . (Szeged), 69 , 801-811. [14] J.H.Shapiro (1993), Composition operators and classical function theory, Springer-Verlag . [...]... Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực Chẳng hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi nếu x 6= 0 ϕ 0 nếu x = 0 khả vi vô hạn với ϕ(n)(0) = 0 với n = 0,1,2, Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0 1.4 Không gian Hardy 1.4.1 Không gian Lp Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1(p = 1) là không gian tuyến tính... nn=N+1 Vậy L1 là không gian Banach Do đó n=1 Với 1 < p < ∞ ký hiệu và N p = N ∩L p Lp Khi đó không gian thương Lp N p là một không gian Banach với chuẩn 22 Trường hợp p = ∞ ta ký hiệu L∞ là không gian con của L 1 là tập hợp các hàm bị chặn cốt yếu f thỏa mãn tập hợp {x ∈T : |f (x)| > M} có độ đo 0 với M đủ lớn và ký hiệu kfk∞ là số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên Tương tư như trên, đặt N ∞ = N... < s 6 r < ∞ 1.4.2 Không gian Hardy Định nghĩa 1.4.1 Với 1 6 p 6∞ Khi đó Hp = {f ∈ Lp : fn = 0,∀n < 0} được gọi là không gian Hardy Nhận xét: • Hp là không gian con đóng của Lp và H∞⊂ Hr ⊂ Hs ⊂ H1 với 1 6 s 6 r 6∞ • Khi nói f ∈Hp ta hiểu là f xác định trên cả đĩa đơn vị D={z ∈C : |z| < 1} • H∞ là đại số Banach • H2 là không gian Hilbert và f ∈ H2 nếu và chỉ nếu ∑ |fn|2 < ∞ Tập n∈Z+ hợp các đơn thức... ∈ Lq thỏa mãn Lp và kLkq = kΛk Thu hẹp trên Hp ta thu được Λ từ lớp là không gian đối ngẫu của Hp Vậy Bằng lập luận tương tự như trên ta có: Định lý 1.4.3 Đối ngẫu của L là H∞(0) Đối ngẫu của H1 là L 1.4.4 Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes Xét hàm giải tích f trong đĩa đơn vị, đặt 1 /p Mp (r, f) =,0 < p < ∞ M 26 Hàm giá trị thực u(z) điều hòa trên |z| ... Taylor, không gian Hardy tính chất • Chương 2: Trình bày làm rõ công trình nghiên cứu Takuya Hosokawa biến dạng chaotic toán tử hợp thành không gian Hardy H2(D), tính chất toán tử hợp thành không gian. .. dụng trường hợp này, γ−1T−1 không hypercyclic γT không hypercyclic Mục đích chương nghiên cứu mở rộng vô hướng toán tử hợp thành chaotic không gian Hardy H2(D) 2.2 Toán tử hợp thành Chaotic Giả... có giới hạn không tiếp xúc L eiθ0 f(z) → L z → eiθ0 bên miền S Vậy hàm f ∈ H∞ có giới hạn không tiếp xúc hầu khắp nơi Chương BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY 2.1 Mở