ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2000 A. Phần chung: ' 2 2 5 Câu 1. Giải a) y + 3 x y = 3 x + 3 x b) y + 3 y + 2 y = 2 x + 3 + 6e '' ' x ∞ nn Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ n n =1 3 n!  n+4  2n b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑   ( x + 2) n =1  2n + 1  x x Câu 3. Tính tích phân I = ∫ ( e sin y − y ) dx + ( e cos y − 1) dy , nếu: n ∞ C a) C là ñoạn thẳng nối từ O(0,0) ñến A(1,0). 2 2 b) C là cung x + y = x từ A(1,0) ñến 0(0,0) ngược chiều kim ñồng hồ. Câu 4. Tính ∫∫ x − y dxdy , với D là hình tròn x 2 + y2 = 1 D B. Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2) 4 2 2 3 Câu 5A. Tìm cực trị của hàm z = x − 2 x y + y − y 1  , x≠0  x sin | x| Câu 5B. a) Cho hàm số f ( x ) =  tìm tất cả các giá trị của a ñể liên tục tại x = 0  a, x=0  5 b) Tính giới hạn lim x →0 1 + 3x 4 1 + 2 x − 1 x cos 2 x − x 2 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2001 A. Phần chung: 2 y = x 2e x x '' ' 2x b) y − 4 y + 3 y = 4 xe Câu 1. Giải a) y − ' ∞ Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 4.7.10...(3n + 1) ∑ 2.6.10...(4n − 2) n =1 ( x + 1) n b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑ n n =1 n.2 . n + 1 ∞ Câu 3. Tính các tích phân: a) x ∫∫ e 2 + y2 dxdy, D = { x 2 + y 2 ≤ 1} D b) ∫ 2( x 2 + y 2 )dx + (4 y + 3)dy , C là ñường gấp khúc kín gồm các ñoạn thẳng nối các ñiểm O(0,0), C A(2,2), B(0,4) theo ngược chiều kim ñồng hồ. Câu 4. Tính các giới hạn 135 a) lim x →0 1 + tan x − 1 − tan x 1  1 , b) lim  −  x →0 arctan x x x  B. Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2) 4 2 2 3 Câu 5A. Tìm cực trị của hàm z = x − 2 x y + y − y Câu 5B. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm y = 3 ( x 2 − 2 x) 2 trên ñoạn [ 0,3] . ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2002 A. Phần chung: I. Giải: 1/ ( 1+ exy + xexy)dx+ (xex+ 2)dy =0 2/ y’’ – 5y’ + 6y = 5cos2x ∞ 5 n (n + 2)! II. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ (2n)! x =1 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∞ (−1) n+1 2 n +1 ( x − 5) n n =1 (n + 1) ln(n + 1) ∑ cos ( x 2 + y 2 ) π 2 π2 2 2 dxdy , D= ≤ x + y ≤   ∫∫d 9  x2 + y2  36 2. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 ñể tích phân ñường sau ñây không phụ thuộc ñường ñi I= ∫ h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt ñường x2 = y2. III. 1. Tính J= [ ] AB IV. 1/ Cho z= x3 + y 3 . Tính dz(1,1). cos( x 2 ) − x sin x − e− x 2/ Tính K = lim x →0 x 2 sin 2 x 2 B. Phần riêng: ( câu Va cho toán 1, câu Vb cho toán 2) Va 1/ Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4 3 dx 2/ xét sự hội tụ của tích phân ∫ 1 (4 x − x 2 − 3)3 x−2 Vb 1/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x)= trên ñoạn [− 1,1] x2 +1 x 2/ Tính L = lim x →+∞ ∫e t dt 0 x2 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2003 A. Phần chung ( dành cho toán 1 và toán 2) I. Giải phương trình vi phân 1. y’ = y + x sin x với ñiều kiện y( π )= 2 π x 2. y’’ – 7y’ + 6y = 6x2 – 20x +3 II. 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ ( n + 2) n n =1 2 3n n n ∑ 2 2 136 (−1) n ( x − 2) n ∞ 2. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 III. 1.Tính J= ∫∫ dxdy 3n +1 3 n4 + n2 + 1 với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 ñường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các ñường D thẳng y = x, y = 0. 2/ Tính K= −( x ∫e 2 + y2 ) [ 2 xdy − (1 + 4 y )dx ] với C là ñường tròn x2+y2=1 theo ngược chiều kim ñồng hồ. c IV. 1. Cho z= x3- 2xy2+3y3. Tính d2z(1,1). 2. Viết phương trình các tiệm cận của y = 23 x 3 + 2 − x 2 − 3 x B. Phần riêng Va. 1/ Tìm cực trị của z = x5 + y5 - 5xy. x et dt ∫1 t ∞ x e dx 2/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫ phân kì. Tính J = lim x →∞ x ex 1 Vb. 1. Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của y= e 2 x e − (1 + x) x →0 x 1. Tính L = lim 3 −3 x 2  1  trên ñoạn − ,2  3  1 x ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2004 A. Phần chung Câu 1. 1/ Giải phương trình vi phân xdy- ydx=3x2sinxdx 2/ Giải phương trình vi phân : y’’- 4y’ + 5y = 8sinx + 16cosx ∞ n u 1   2  Câu II. 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n với un=  2 + 2  và vn= 1 +  n    n n =1 v n n2 (−1)n −1 x 2 n 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 4 (3n − 1) ∞ x2 x2 −1 Câu III. 1/ Cho hàm số y= , x >1. Khảo sát chiều biến thiên và tìm các tiệm cận của hàm số ñã 2x 2 − 1 cho. ∂2z 2/ Cho hàm 2 biến z = xy 1 − x 2 − y 2 Tính dz (0, 0) và (0,0) ∂x∂y Câu IV.1/ Tính tích phân kép ∫∫ dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi x2 + y2 = 4x và ñường thẳng D y = x 3. 2/ Cho 2 hàm P(x,y)= ax − y bx + y , Q(x,y)= 2 . Tìm a,b ñể biểu thức Pdx+ Qdy là vi phân toàn phần 2 2 x + 2y x + 2y2 I = ∫ Pdx+ Qdy với ( γ ) là của hàm u(x,y) nào ñó. Với a,b vừa tìm ñược, tính tích phân ñường γ ñường cong có phương trình x2 + 2y2 = 1 nối 2 ñiểm A(1,0) và B(0, 2 ) theo chiều từ A ñến B. 2 B. Phần riêng Câu Va: 1/ Tìm cực trị hàm số z = e y− x2 (1 − 2 x − 2 y ) 137 ∞ 2/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng dx ∫x x2 +1 3 hội tụ và tính giá trị tích phân này. Câu Vb:1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = ( x − 4) e trên ñoạn [-1,3] 2 | x| 2/ Tính giới hạn lim x →0 1 + x sin x − cos x x tg 2 2 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2005 A. Phần chung Câu 1: 1/ Giải các phương trình vi phân y b/(3x2+y3+4x)dx+3xy2dy=0 a/ y’= +3xex x 2/ Giải phương trình vi phân: y’’- 4y’+3y=6ex  n − 3 Câu II. 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: a/ ∑   n  n =1  ∞ 1.2...n b/ ∑ 2) ...(3 + n) n =1 (3 + 1)(3 + ∞ ∞ 2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =0 n2 ( x − 3) n (2n + 1) x 3 − x 2 , x> 0. Tìm các ñiểm cực trị và các tiệm cận của hàm số y. ∂2z 2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và 2 ( 2 ,1) ∂x Câu III. 1/ Cho hàm số y = 3 Câu IV: 1/ Tính tích phân kép ∫∫ 9 − x 2 − y 2 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa ñường D tròn x2 + y2 = 9, y ≥ 0 và các ñường thẳng y = x, y = -x 2/ Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny trong ñó α là hằng số. Tìm α ñể biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với α vừa tìm ñược, tính tích phân ñường ∫ [ P( x, y ) − y 3 ]dx + [Q( x, y ) + x3 ]dy trong ñó ( γ ) là ñường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương γ (ngược chiều kim ñồng hồ). B. Phần riêng: Câu Va. 1/ Tìm cực trị của hàm số z = xy + 3 9 + với x > 0, y > 0 x y ∞ 2. Chứng minh rằng tích phân suy rộng sau x2 − 3 ∫1 x( x + 1)( x 2 + 1) dx hội tụ và tính giá trị tích phân này. Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 trên ñoạn [- , 3] 2  (1 + 4 x)1 / x  2/ Tính giới hạn lim   e4 x − >0   3 (2 − x) x 2 1/ x 138 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2006 A. Phần chung 2y = 5x5 x b/ (ey +Sinx)dx+(cosy +xey)dy=0 2/ Giải các phương trình vi phân: y’’- 4y’+4y = 8e2x Câu I. 1/ Giải các phương trình vi phân a/ y’- n ( n+ 2) ∞ 1.3.5...(2n − 1) n +1  n −1  Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑  b/ ∑ .3  n=2  n + 2  n =1 2.4.6...( 2 n) ∞ (−1) n .3 n +1 ( x − 1) n 2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n + 2 3 . n +1 n =0 4 2 3x − 4 x − 4 Câu III: 1/ cho hàm số y = . Tìm các ñiểm cực trị và tiệm cận của hàm số y. x2 2 3 ∂2z 2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x y . Tính dz(1,1) và (1,1) ∂x∂y dxdy Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các ñường x2+y2= 2 2 3+ x + y 0 ∞ 1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 . 2/ Cho 2 hàm P(x,y) = e mx[xSin(3y)+ y Cos(3y)], Q(x, y) =emx[xcos(3y)-ysin(3y)] trong ñó m là hằng số. Tìm m ñể biểu thức P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần. Với m vừa tìm, tính tích phân ∫ [P( x, y ) + x + my ]dx + [Q( x, y) + y − mx]dy trong ñó ( γ ) là ñường gấp khúc nối 3 ñiểm O(0, 0), A(2, 0), γ B(1, 1) lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ). B. Phần riêng: Câu Va: 1/ Tìm cực trị của hàm số z = 2x2- 4xy + y4+2. ∞ 1 2/ Xét tích phân suy rộng ∫ dx , α là tham số. Tìm giá trị α nguyên dương bé nhất ñể tích 3 α 0 (1 + x )(1 + x ) phân suy rộng này hội tụ. Với α vừa tìm ñược, tính tích phân này. Câu Vb: 1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = ln[(3-x)(x-1)2+1] trên ñoạn [0,2]. 1/ x 2 x  2/ Tính giới hạn lim  3 1 + x −  3 x →0  ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2007 A. Phần chung y3 dx − x 2 dy = 0 , y(4)=2 2 4y b/ y’ = x 4 cos x . x 2/ Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x Câu I: 1/ Giải các phương trình vi phân a/ ∞ n ( n −1)  2n  Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑   n =2  2n + 1  ∞ 1.4.9...n 2 b/ ∑ .5 n + 2 n =1 1.3.5...( 2 n − 1) n! 2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ( x + 3) n n =0 4 n + 2.4 n 3 + 1 ∑ 139 Câu III: 1/ Cho hàm số y = x 2 − 6 x + 10 , x ≥ 0. Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y. 2/ Cho hàm u = u(x, y)= ln (x2+3y2). Tính Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ arctan D ) ( ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u (1,1) + (1,1) và 2 (1,1) + (1,1) ∂x ∂x∂y ∂x ∂y x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3 −y 2/ Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e . Tìm hàm h(x), h(0) = 1 ñể biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân 2 2 ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y)dy ] trong ñó L là nữa ñường tròn x + y = 9 nằm bên phải trục tung, chiều ñi L từ ñiểm A(0, -3) ñến ñiểm B(0, 3). B. Phần riêng: Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 ∞ 2/ Xét tích phân suy rộng ∫ 80 1 x ⋅ 4 x2 + 1 dx . Chứng minh tích phân suy rộng này hội tụ. Tính giá trị tích phân này. Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= x(x-1)2(12-5x) trên ñoạn [1,3]. ( x + 1) x+1.( x + 2) x+ 2 .( x + 4) x+ 4 2/ Tính giới hạn lim x →+∞ ( x + 5)3 x+7 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2008 A. Phần chung 3 y 6 sin x = , x >0 x x3 b/ (5xy2+4y)dx+(5x2y+4x)dy=0 2/ Giải phương trình vi phân: y’’-2y’-3y=-30cos3x Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y’+ ∞ Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của ∑ (u n =1 n + vn ) 2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  4n − 1  vớ i u n =    4n + 1  ∞ (n + 2)(x + 1)n ∑ n =0 n ( 4 n +1) 2.4.6...(2n).n n , vn = 4.7.10...(3n + 1).n! 5 n + 2. n 6 + 1 x 2 − 6 x + 10 , x ≥ 0 . Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận cuả hàm số y. x−5 ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u 2/ Cho hàm u = u(x,y) = 6 x 2 + y 2 . Tính 2 (2,1) + 3 (2,1), 4 (2,1) + 5 2 (2,1) ∂x ∂y ∂x∂y ∂y Câu III: 1/ Cho hàm số y = Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ x 2 + y 2 .ln( x 2 + y 2 ) dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2 ≤ e2 D 2/ Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thoả mãn ñiều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] trong ñó L là ñường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, L chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm A(3,0) ñến B(0,2). B. Phần riêng Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z = x3+3xy+2y2 140 ∞ ∫x 1 dx . Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ. . 1+ x2 7 Tính giá trị tích phân này khi m = 3 Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y = 3x4 – 8x3 – 6x2 +24x+ 2 trên ñoạn [-2, 1] 3x 2 f ( x) 2/ Cho f(x)= x + 4 − 3 x + b , g ( x) = ∫ e −t dt . Tìm b ñể lim nhận giá trị hữu hạn. Với b vừa g ( x ) x − > 0 + 0 tìm ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên. 2/ Xét tích phân suy rộng 1 m 3 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2009 A. Phần chung 3y + 2e 2 x x 3 , x > 0 x b/ e x sin y + 5 y dx + e x cos y + 5 x dy Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y ' = ( ) ( ) 2/ Giải phương trình vi phân: y '' + 6 y ' + 9 y = 12e3 x (3 x − 2) ∞ Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của ∑ ( un − vn ) với un = n =1 ∞ 2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n=0 Câu III: 1/ Cho hàm số y = 3.5.7...(2n + 1).n !  4n − 1  , vn =   n 4.8.12...(4n).n  4n + 2  (−1) n ⋅ n ⋅ ( x − 2 ) n (4 n +1) . n 2n+1.(2n + 1) x +1 . Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y. x + x +1  x  ∂ 2u ∂u ∂u 2/ Cho hàm u = u(x,y) = sin  . Tính π + 2 và khi x = π / 3, y = 0 .  ∂x ∂y ∂x 2  1+ y  Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ e 2 x2 + y2 dxdy với D là miền 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ ln 2 3 D 2/ Cho P ( x, y ) = ( x + 2) sin y, Q( x, y ) = x cos y . Tìm hàm h(x) sao cho h(1) = e và biểu thức h(x)P(x,y)dx+ h(x)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân ∫ [ h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] trong ñó L là phần ñường ellipse có phương trình L π   π 9π2 x 2 + 64 y 2 = 25π2 , chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm A 1, −  ñến B 1,  . 2   2 B. Phần riêng Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z = (1 + xy )( x + y ) +∞ dx 2/ Xét tích phân suy rộng ∫ . Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ. m 2 2 x + 1 . x −1 ( ) Tính giá trị tích phân này khi m = 1. x −1 trên ñoạn [-2, 0] x2 + 3 0 2 f ( x) 2/ Cho f ( x) = esin x , g ( x) = ∫ ln(1 + sin t )dt . Tìm b ñể lim nhận giá trị hữu hạn. Với b vừa tìm x →0 − g ( x) 3x ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên. Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y = 141  ... →+∞ ∫e t dt x2 ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 200 3 A Phần chung ( dành cho toán toán 2) I Giải phương trình vi phân y’ = y + x sin x với ñiều kiện y( π )= π x y’’ – 7y’ + 6y = 6x2 – 20x +3 II Khảo sát... riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2) 2 Câu 5A Tìm cực trị hàm z = x − x y + y − y Câu 5B Tìm giá trị lớn giá trị bé hàm y = ( x − x) ñoạn [ 0,3] ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 200 2 A Phần chung:... Tìm giá trị bé lớn y= e x e − (1 + x) x →0 x Tính L = lim −3 x   ñoạn − ,2   x ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 200 4 A Phần chung Câu 1/ Giải phương trình vi phân xdy- ydx=3x2sinxdx 2/ Giải phương