BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Bao ñoùng truyeàn cuûa quan heä R laø quan heä truyeàn nhoû nhaát chöùa R. Thuaät toaùn : Kieåm tra tính truyeàn. Neáu vi phaïm thì boå xung phaàn töû vi phaïm vaøo quan heä. Laëp laïi cho ñeán khi khoâng coøn phaàn töû naøo vi phaïm. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Thí duï : Tìm bao ñoùng truyeàn cuûa R : R = {(a, b), (b, d), (a, c), (d, f)}. Kieåm tra tính truyeàn treân R. (a, b) + (b, d) → theâm vaøo (a, d). Kieåm tra tính truyeàn treân R∪{(a, d)}. (a, d) + (d, f) → theâm vaøo (a, f). … (_,_) (_,_) (a,b) (_,_) R (_,_) (b,d) (a,d) Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Kyù hieäu : R1 = R, R2 = R : R, Rn = Rn-1 : R. Bao ñoùng truyeàn cuûa R laø : ∞ C(R) =  R.n 1 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Bieåu dieãn quan heä baèng taäp hôïp : R = {(1,2), (2,3), (2,6), (3,5), (4,1), (5,7), (6,1),(8,3), (8,7)}. Bieåu dieãn quan heä baèng ñoà thò höõu höôùng : Bieåu dieãn quan heä baèng ma traän : 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3 7 4 5 6 2 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 Nguyễn 8 0 0Quang 1 0 0Châu 0 1 0 0 0 0 0 0 - 0Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Tích Boolean cuûa 2 ma traän. Qui öôùc : 0∧1 = 0, 0∧0 = 0, 1∧1 = 1, 1∨1 = 1, 0∨1 = 1, 0∨0 = 0 (0∧1) ∨ (1∧0) ∨ (1∧1) 0= 11 (0∧1) ∨ (1∧1) ∨ (1∧1) 1= 10 (0∧1) ∨ (1∧0) ∨ (1∧0) 1= 01 1 0 0 0 1 1  1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Quan heä R treân taäp mieàn trò coù n phaàn töû thì bao ñoùng truyeàn cuûa R laø : C(R) = R1 ∪ R2 ∪ … ∪ Rn Bieåu dieãn quan heä R baèng ma traän nhò phaân M(R) Ta coù M(R : R) = M(R)  M(R) Kyù hieäu M(R)  M(R) = M(R)2. M(C(R)) = M(R) ⊕ M(R)2 ⊕ M(R)3 ⊕ … ⊕ M(R)n. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ÑOÙNG TRUYEÀN Tìm bao ñoùng truyeàn cuûa quan heä R R = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. 1 M(R) = 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 ⊕ 0 0 1 M(R)2 = 1 1 1 1 0 1 1 0 ⊕ 1 1 1 1 M(R)3 = 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 = 1 0 1 1 1 1 1 0 1 Quang Châu - Khoa Bao ñoùng truyeàn cuûa R laø R Nguyễn ∪ {(a, b), (c, c)}. CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Khaùi nieäm ñænh trong cuûa ñöôøng coù höôùng AB. 3 2 1 5 4 B A 1 1 A 2 2 3 B 3 B 4 A Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM R laø quan heä treân taäp n phaàn töû a1, … , an. Thuaät toaùn Warshall xaây döïng chuoãi ma traän W0, W1, … , Wn. W0 = M(R) (ma traän nhò phaân cuûa R) W1 = [wij] vôùi wij = 1 neáu coù moät ñöôøng ñi töø ai ñeán aj sao cho moïi ñænh trong cuûa noù thuoäc taäp {a1}, ngöôïc laïi wij = 0. W2 = [wij] vôùi wij = 1 neáu coù moät ñöôøng ñi töø ai ñeán aj sao cho moïi ñænh trong cuûa noù thuoäc taäpNguyễn {a1, a2},Quang ngöôïcChâu laïi w-ij = 0. Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} 1 2 3 1 3 2 1 1 1 0 1 W0 = 2 0 1 0 3 1 1 0 1 2 1 1 0 1 W2 = 2 0 1 0 1 Quang 1 Nguyễn 1 3 Châu 1 1- Khoa 1 CNTT ĐHCN TpHCM 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 W3 = 2 0 1 0 W1 = s WARSHALL ALGORITHM Boå ñeà : Taäp ñænh ñang khaûo saùt {v1, … , vk} cuûa ma traän. Wk = [vij] Wk+1 = [wij] vôùi wij = vij ∨ (vik ∧ vkj). Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM W0 = [xij] W1 = [yij] vôùi bij = xij ∨ (xi1 ∧ x1j). y11 = x11 ∨ (x11 ∧ x11) = 1 ∨ (0 ∧ 0) = 1. y12 = x12 ∨ (x11 ∧ x12) = 0 ∨ (1 ∧ 0) = 0. y13 = x13 ∨ (x11 ∧ x13) = 1 ∨ (0 ∧ 0) = 1. W0 = 1 0 1 0 1 0 1 1 0 W1 = 1 0 1 0 1 0 1 1 1 y21 = x21 ∨ (x21 ∧ x11) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0. y22 = x22 ∨ (x21 ∧ x12) = 1 ∨ (1 ∧ 1) = 1. y23 = x23 ∨ (x21 ∧ x13) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0. y31 = x31 ∨ (x31 ∧ x11) = 1 ∨ (1 ∧ 0) = 1. y32 = x32 ∨ (x31 ∧ x12) = 1 ∨ (1 ∧ 1) = 1. Nguyễn Quang Châu - Khoa y = x ∨ (x ∧ x ) = 0 ∨ (1 ∧ 1) = 1. CNTT ĐHCN TpHCM 33 33 31 13 s WARSHALL ALGORITHM W1 = [xij] W2 = [yij] vôùi bij = xij ∨ (xi2 ∧ x2j). y11 = ………. = 1. y12 = x12 ∨ (x12 ∧ x22) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0. y13 = ……… = 1. W1 = 1 0 1 0 1 0 1 1 1 W2 = 1 0 1 0 1 0 1 1 1 y21 = x21 ∨ (x22 ∧ x21) = 0 ∨ (1 ∧ 0) = 0. y22 = ……… = 1. y23 = x23 ∨ (x22 ∧ x23) = 0 ∨ (1 ∧ 0) = 0. y31 = …….. = 1. y32 = …….. = 1. y33 = …….. = 1. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM W2 = [xij] W3 = [yij] vôùi bij = xij ∨ (xi3 ∧ x3j). y11 = ………. = 1. y12 = x12 ∨ (x13 ∧ x32) = 0 ∨ (1 ∧ 1) = 1. y13 = ……… = 1. W2 = 1 0 1 0 1 0 1 1 1 W3 = 1 1 1 0 1 0 1 1 1 y21 = x21 ∨ (x23 ∧ x31) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0. y22 = ……… = 1. y23 = x23 ∨ (x23 ∧ x33) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0. y31 = …….. = 1. y32 = …….. = 1. y33 = …….. = 1. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 0 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 w1 → {1} : (4, 2) (6, 2) W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 0 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 1 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 1 1 0 0 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 0 w2 → {1, 2} : (4, 3) (6, 3) (1, 6) (1, 3) (4, 6) (6, 6) Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = w3 → {1, 2, 3} : (6, 5) (4, 5) (1, 5) (2, 5) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 1 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 1 0 1 1 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 1 1 0 1 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 0 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 0 1 1 1 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 1 1 0 1 1 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 1 0 1 0 w4 → {1, 2, 3, 4} : Nguyễn Quang Châu - Khoa (4, 7) (6, 7) (8, 5) (2, 7) (3, 7) w5 → {1, 2, 3, 4, 5} : (1, 7) CNTT ĐHCN TpHCM s WARSHALL ALGORITHM Quan heä : 2 1 3 4 5 W0 = W1 = 8 W2 = W3 = 7 W = 4 W5 = 6 W6 = W7 = W8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 1 1 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 6 1 1 1 0 1 1 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 1 0 1 0 (6, 7) Quang Châu - Khoa w6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (1, 1) (2, 1) (2, 2)Nguyễn CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ TÖÔNG ÑÖÔNG    Phaûn hoài. Ñoái xöùng. Truyeàn. Thí duï : * Quan heä song song giöõa caùc ñöôøng thaúng. * Quan heä modulo. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ TÖÔNG ÑÖÔNG Laáy X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. R = {(1,1), (2,2), (1,2), (6,1), (2,6), (3,5), (8,7), (3,3), (4,4), (2,1), (1,6), (5,5), (6,6), (5,3), (6,2), (7,8), (7,7), (8,8)}. Chöùng minh quan heä R laø quan heä töông ñöông. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ TÖÔNG ÑÖÔNG R = {(1,1), (2,2), (1,2), (6,1), (2,6), (3,5), (8,7), (3,3), (4,4), (2,1), (1,6), (5,5), (6,6), (5,3), (6,2), (7,8), (7,7), (8,8)}. Phaûn hoài : chöùa ñöôøng cheùo. Ñoái xöùng : (1, 2) coù (2, 1), (6, 1) coù (1, 6), (2, 6) coù (6, 2), …. Truyeàn : (1, 2) + (2, 6) → (1, 6), (1, 2) + (2, 1) → (1, 1), … . Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s TAÄP SOÁ NGUYEÂN Z Chia ñuùng : m chia ñuùng cho n neáu m = kn vôùi k ∈ Z. Kyù hieäu n | m. Thí duï : 2 | 8, 3 | 12, 15 | 45. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s TAÄP SOÁ NGUYEÂN Z Ñònh lyù : Laáy a, b laø 2 soá nguyeân vôùi b > 0 thì coù duy nhaát 2 soá nguyeân q, r sao cho : a = bq + r, vôùi 0 ≤ r < b. Thí duï : a = 25, b = 3 thì q = 8, r = 1 ñeå cho 25 = 3×8 +1. a = 19, b = 5 thì q = 3, r = 4 ñeå cho 19 = 5×3 + 4. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s TAÄP SOÁ NGUYEÂN Z Tính chaát : 1. Neáu b | a vaø c | b thì c | a, vôùi bc ≠ 0. 2. Neáu b | a thì bc | ac, vôùi bc ≠ 0. 3. Neáu c | d vaø c | e thì c | (d + e), vôùi bc ≠ 0. Chöùng minh : 1. b | a vaø c | b → a = kb vaø b = hc → a = (kh)c → c | a. 2. b | a → a = kb → ac = kbc → bc | ac. 3. c | d vaø c | e → d = mc vaø e = nc → c | (d + e). Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s SOÁ NGUYEÂN TOÁ Soá nguyeân toá laø : soá nguyeân (≠ 0, 1) chæ coù 2 öôùc soá laø 1 vaø chính noù. Thí duï : 13 laø soá nguyeân toá vì chæ coù 1 vaø 13 laø öôùc soá cuûa 13. 15 khoâng laø soá nguyeân toá vì ngoaøi 1, 15 coøn 3 vaø 5 cuøng laø öôùc soá cuûa 15. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s SOÁ NGUYEÂN TOÁ Vaøi soá nguyeân toá :  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … .  2127 − 1 170141183460469231731687303715884105727 laø soá nguyeân toá coù 39 chöõ soá.  244497 − 1 laø soá nguyeân toá coù 13395 chöõ soá. = Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s SOÁ NGUYEÂN TOÁ Tính chaát : * Neáu p laø thöøa soá nguyeân toá nhoû nhaát cuûa n thì p ≤ n hoaëc p = n. * n laø nguyeân toá ↔ n khoâng chia ñuùng cho caùc soá ngtoá ≤ n. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s SOÁ NGUYEÂN TOÁ Tính chaát : Moïi soá nguyeân ñeàu ñöôïc phaân tích thaønh tích caùc soá nguyeân toá. Söï phaân tích naøy duy nhaát. Thí duï : 1008 = 24327. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s SOÁ NGUYEÂN TOÁ Ñònh lyù : Coù voâ haïn soá nguyeân k ñeå (4k+3) laø nguyeân toá. Ñònh lyù (Dirichlet) : Coù voâ haïn soá nguyeân k ñeå (ak+b) laø nguyeân toá, vôùi a, b nguyeân toá cuøng nhau vaø a ≥ 1. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ MODULO Quan heä modulo n treân soá nguyeân Z ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : n | (x − y), hay x = y mod (n), hay x = y + kn, vôùi k ∈ Z. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ MODULO Thí duï : Quan heä modulo 7 treân soá nguyeân Z : 3 vaø 17 coù quan heä modulo 7 vôùi nhau vì 17 − 3 = 2×7 32 vaø 17 khoâng quan heä modulo 7 vôùi nhau vì 32 −17 ≠ k × 7. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ MODULO Modulo laø quan heä töông ñöông. Phaûn hoài x = x + 0n, vôùi 0 ∈ Z → x mod(n) x. Ñoái xöùng x mod(n) y hay y = x + (−k)n → y mod(n) x. Truyeàn x mod(n) y vaø y mod(n) z, hay x = y + kn vaø y = z + k'n. x = z + k'n + kn = z + (k' + k)n → x mod(n) z. Vaäy modulo n laø quan heä töông ñöông. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HEÄ MODULO Caùc phaàn töû coù quan heä modulo (5) vôùi nhau : 1 0 6 −14 3 8 5 12 2 7 9 4 −6 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s LÔÙP TÖÔNG ÑÖÔNG Lôùp töông ñöông cuûa phaàn töû a treân quan heä töông ñöông R. a/R = {x | (∀x) (a, x) ∈ R} Thí duï : Modulo 5 coù caùc lôùp töông ñöông : {0, 5, −5, 10, −10, 15, −15, … } laáy pt ñaïi dieän 0. {1, 6, −4, 11, −9, 16, −14, … } laáy pt ñaïi dieän 1. {2, 7, −3, 12, −8, 17, −13, … } laáy pt ñaïi dieän 2. {3, 8, −2, 13, −7, 18, −12, … } laáy pt ñaïi dieän 3. {4, 9, −1, 14, −6, 19, −11, … } laáy pt ñaïi dieän 4. Z5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s LÔÙP TÖÔNG ÑÖÔNG Cho quan heä töông ñöông R treân taäp X. * Caùc lôùp töông ñöông caùch bieät nhau.  X bò caét thaønh nhöõng maûnh rôøi nhau bôûi quan heä R. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s PHAÂN HOAÏCH Phaân hoaïch treân taäp X laø caét X thaønh nhöõng maûnh rôøi nhau. * Moãi phaân hoaïch treân taäp X xaùc ñònh moät quan heä töông ñöông S coù caùc lôùp töông ñöông truøng vôùi caùc maûnh caét. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s PHAÂN HOAÏCH Thí duï : X = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Caét X thaønh caùc maûnh nhö sau : {a, e, f}, {b, h}, {g}, {c, d}. Quan heä R phaûn hoài neân R phaûi chöùa ∆. {a, e, f} laø lôùp töông ñöông neân : (a, e), (a, f), (e, f), (e, a), (f, a), (f, e) ∈ R. {b, h} laø lôùp töông ñöông cuûa R neân : (b, h), (h, b) ∈ R. {c, d} laø lôùp töông ñöông cuûa R neân : (c, d), (d, c) ∈ R. Vaäy R = ∆ ∪ {(a,e), (a,f), (e,f), (e,a), (f,a), (f,e), (b,h), (h,b), Nguyễn Quang Châu - Khoa (c,d), (d,c)}. CNTT ĐHCN TpHCM s TÖÔNG ÑÖÔNG HOÙA QUAN HEÄ Thí duï : Laøm cho quan heä R trôû thaønh töông ñöông. R = {(a, e), (a, f), (e, a), (b, h), (h, b), (c, d), (d, c)}. Caùch 1. Phaûn hoài : Boå sung theâm ∆. Ñoái xöùng : Boå sung theâm (f, a). Truyeàn : Boå sung theâm (e, f) do (e, a) + (a, f). Ñoái xöùng : Boå sung theâm (f, e). Truyeàn : Ñaõ truyeàn. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s TÖÔNG ÑÖÔNG HOÙA QUAN HEÄ Thí duï : R = {(a, e), (a, f), (e, a), (b, h), (h, b), (c, d), (d, c)}. Caùch 2. Caùc lôùp öông ñöông : {a, e, f}, {b, h}, {c, d}. Xaây döïng quan heä töông ñöông töø caùc lôùp treân. {a, e, f} → (a, e), (a, f), (e, f), (e, a), (f, a), (f, e). {b, h} → (b, h), (h, b). {c, d} → (c, d), (d, c). Caùch naøy traùnh phaûi xaây döïng tính truyeàn. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s ÖÙNG DUÏNG CUÛA Q.H T.Ñ  Taïo khaùi nieäm môùi (ñaët teân pt ñaïi dieän). Quan heä song song → khaùi nieäm "phöông".  Thu nhoû kích thöôùc taäp hôïp (choïn pt ñaïi dieän). Taäp Zp.  Xaây döïng taäp hôïp môùi. Xaây döïng taäp Z baèng quan heä töông ñöông R = {((m, n), (m+1, n+1)) | (∀m, n) m, n ∈ N} treân taäp tích N × N. Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP HEÁT CHÖÔNG Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s [...]... x + (−k)n → y mod(n) x Truyền x mod(n) y và y mod(n) z, hay x = y + kn và y = z + k'n x = z + k'n + kn = z + (k' + k)n → x mod(n) z Vậy modulo n là quan hệ tương đương Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HỆ MODULO Các phần tử có quan hệ modulo (5) với nhau : 1 0 6 −14 3 8 5 12 2 7 9 4 −6 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG Lớp tương đương của phần tử a trên quan hệ... (1,2), (6,1), (2,6), (3,5), (8,7), (3,3), (4,4), (2,1), (1,6), (5,5), (6,6), (5,3), (6,2), (7,8), (7,7), (8,8)} Phản hồi : chứa đường chéo Đối xứng : (1, 2) có (2, 1), (6, 1) có (1, 6), (2, 6) có (6, 2), … Truyền : (1, 2) + (2, 6) → (1, 6), (1, 2) + (2, 1) → (1, 1), … Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s TẬP SỐ NGUYÊN Z Chia đúng : m chia đúng cho n nếu m = kn với k ∈ Z Ký hiệu n | m Thí dụ : 2 |... 0 1 0 6 1 1 1 0 1 1 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 1 0 1 0 (6, 7) Quang Châu - Khoa w6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (1, 1) (2, 1) (2, 2)Nguyễn CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG    Phản hồi Đối xứng Truyền Thí dụ : * Quan hệ song song giữa các đường thẳng * Quan hệ modulo Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG Lấy X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} R = {(1,1), (2,2), (1,2), (6,1), ...BAO ĐÓNG TRUYỀN Thí dụ : Tìm bao đóng truyền R : R = {(a, b), (b, d), (a, c), (d, f)} Kiểm tra tính truyền R (a, b) + (b, d) → thêm vào (a, d) Kiểm tra tính truyền R∪{(a, d)} (a,... CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ĐÓNG TRUYỀN Ký hiệu : R1 = R, R2 = R : R, Rn = Rn-1 : R Bao đóng truyền R : ∞ C(R) =  R.n Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ĐÓNG TRUYỀN Biểu diễn quan hệ tập... 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM s BAO ĐÓNG TRUYỀN Quan hệ R tập miền trò có n phần tử bao đóng truyền R : C(R) = R1 ∪ R2 ∪ … ∪ Rn Biểu diễn quan hệ R ma trận nhò phân