Đang tải... (xem toàn văn)
...Nội dung Đạo hàm vi phân hàm hợp Đạo hàm vi phân hàm ẩn ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp bản: hợp hàm biến hàm biến Cho z = f(x, y) x = x(u, v), y = y(u, v) Nếu z, x, y khả vi: zu′ =... ′′(u ) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định phương trình F(x, y) = Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = theo x giải tìm y’(x) (cách 1) Với cách ta xem y hàm. .. fx′ + fy′ y ′( x ) dz = z′( x )dx Lưu ý: tính đạo hàm hàm hợp, đạo hàm f theo biến Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm biến vào cạnh đạo hàm f VÍ DỤ 1/ Cho: xy z = f (x, y ) = e ,
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung 1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: zu′ = fx′ .xu′ + fy′ .y u′ , zv′ = fx′ .xv′ + fy′ .yv′ dz = zu′ du + zv′ dv dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ ( xu′ du + xv′ dv ) + fy′ ( y u′ du + y v′ dv ) Trường hợp riêng 1 Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zu′ = f ′( x ) xu′ , zv′ = f ′( x ) xv′ dz = zu′ du + zv′ dv dz = f ′( x )dx = f ′( x )( xu′ du + xv dv ) Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z′(t ) = fx′ .x ′(t ) + fy′ .y ′(t ) dz = z′(t )dt dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ .x ′(t )dt + fy′ .y ′(t )dt Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z′( x ) = fx′ + fy′ .y ′( x ) dz = z′( x )dx Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f. VÍ DỤ 1/ Cho: xy 2 z = f (x, y ) = e , x = u , y = u + v tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v (u, v)= (1, 1) ⇒ (x, y) = (1, 2) xy ′ zu = ye .2u + xe xy .1 xy xy ′ ye .0 zv = + xe .1 zu′ (1,1) = 2.e 2 .2 + 1.e 2 .1 = 5e 2 ⇒ 2 zv′ (1,1) = e 2 2 dz (1,1) = zu′ (1,1)du + zv′ (1,1)dv = 5e du + e dv u 2/ Cho:z = f ( x ) = sin( x + x ), x = arctan ÷ v Tính z’u, z’v tại (0, 1) 2 z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v 1 zu′ = (1 + 2 x )cos( x + x ) × × v 2 2 ′ zv = (1 + 2 x )cos( x + x ) 1 2 u 1+ 2 v −u 1 × 2× 2 v u 1+ 2 v x(0, 1) = 0 zu′ (0,1) = 1 zv′ (0,1) = 0 3/ Cho: z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1 z′(t ) = y cos( xy ) 2 1+ t t = 0 ⇒ x = 0, y = 1 ⇒ dz (0) = dt + x cos( xy ) e t z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Cách 2: dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ .x ′(t )dt + fy′ .y ′(t )dt dz = y cos( xy )dx + x cos( xy )dy dt t = y cos( xy ) + x cos( xy )e dt 2 1+ t ⇒ dz (0) = dt 4/ Cho: 2 ln( y + 1) z = f (x, y ) = . x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 2 ∂z ln( y + 1) ln(1) a / z′x = = fx′ = −2 ⇒ z′x (1,0) = − 2 =0 3 ∂x 1 x b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) 2 2y ln( y + 1) x + 2 = −2 2 e 3 ( y + 1) x x 2 ln(y + 1) 2y x z '( x ) = −2 + 3 2 2 e x ( y + 1) x x =1⇒ y = e 2 2e ⇒ z′(0) = −2ln(e + 1) + 2 e +1 2 5/ Cho: z = f ( x − y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy ⇒ z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) z′x = fu′ .u′x + fv′ .v ′x = fu′ .1 + fv′ y z′y = fu′ .u′y + fv′ .v ′y = fu′ .(−1) + fv′ x x 6/ Cho: z = xf 2 ÷ với f là hàm khả vi y 2 xz′x + yz′y = 2z Chứng minh đẳng thức: Đặt : x u= 2 y ⇒ z = x.f(u) z′x = f (u ) + x.[ f (u ) ] ′ x 1 = f (u ) + x.f ′(u ).u′x = f (u ) + x.f ′(u ). 2 y x z = xf 2 ÷ y z′y = x.[ f (u ) ] ′y −2 x = xf ′(u ).u′y = x.f ′(u ). 3 y 1 − 2 x 2 xz′x + yz′y = 2 x f (u ) + x.f ′(u ). 2 ÷ + yx.f ′(u ). 3 y y = 2 xf (u ) = 2z ( 2 2 z = f x − y , xy 7/ Cho: ) với f là hàm khả vi Tính dz theo dx, dy. Đặt: u = x2 – y , v = xy2 ⇒ z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với z′x = fu′ .u′x + fv′ .v ′x 2 ′ ′ = fu .2 x + fv .y z′y = fu′ .u′y + fv′ .v ′y = fu′ .(−1) + fv′ .2 xy ( dz = fu′ .2 x + fv′ .y 2 ) dx + ( −f ′ + f ′.2xy ) dy u v • Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) ( )u ′′ = fx′ .xu′ + fy′ .y u′ ′ zuu ′ ′ ′′ + fy′ .y u′ + fy′ .y uu ′′ = ( fx′ ) u .xu′ + fx′ .xuu u ′ z′′ = f ′ .x ′ + f ′ .y ′ ( ) uv (x u y ) u v ′ ′ ′′ + fy′ .y u′ + fy′ .y uv ′′ = ( fx′ ) v .xu′ + fx′ .xuv v ( ) ( )v ′′ = fx′ .xv′ + fy′ .y v′ ′ zvv ′ ′ ′′ + fy′ .y u′ + fy′ .yvv ′′ = ( fx′ ) v .xu′ + fx′ .xuv v ( ) Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 ′′ du + 2zuv ′′ dudv + zvv ′′ dv d z = zuu 2 Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) 2 ′ ′ dz = fx dx + fy dy ⇒ d z = d (dz ) = d ( fx′dx + fy′ dy ) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng 2 2 ′ ′ ′ ′ ⇒ d z = d ( fx ) dx + fx d x + d ( fy ) dy + fy d y 2 Lưu ý: • d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp. • d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường. VÍ DỤ 2 z = f (x, y ) = x y , x = u + v , y = u − v 1/ Cho: Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0) 2 zu′ = 2 xy × xu′ + x × y u′ 2 = 2 xy × 1 + x × 1 = 2 xy + x ( 2 )u 2 ′ ′′ zuu = 2 xy + x = 2 ( xu′ y + xy u′ ) + 2 xxu′ ⇒ z”uu(1, 1) = 8 = 2( y + x ) + 2 x = 4 x + 2 y x = u + v,y = u −v 2 ′ zu = 2 xy + x ( )v 2 ′ ′′ zuv = 2 xy + x = 2 ( xv′ y + xy v′ ) + 2 xxv′ = 2( y − x ) + 2 x = 2y z”uv (1, 1) = 0 VÍ DỤ 2 2 z = f ( x , y ) = x y , x = u + v,y = u 1/ Cho: Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1) 2 zu′ = 2 xy × xu′ + x × y u′ = 2 xy × 1 + x 2 × 2u ( )u 2 ′ ′′ zuu = 2 xy + u.x = 2 [ ( xu′ y + xy u′ ) +(x + u.2 x.xu′ ) ] 2 = 2 ( y + x.2u ) + x 2 + 2ux.1 ⇒ z”uu(1, 1) = 26 2/ Cho: 2 z = f ( x , y ) = x y , với x = t 2 , y = ln t Tính d2z theo dt tại t = 1 2 2 ′′ d z = z (t )dt (t là biến độc lập) 1 z′(t ) = fx′ .x ′(t ) + fy′ .y ′(t ) = 2 xy .2t + x . t 2 3 = 4t .ln t + t 2 2 z′′(t ) = 12t .ln t + 4t + 3t 2 d z (1) = 7dt 2 2 3 3/ Cho: 2 z = f ( x − y ) với f là hàm khả vi cấp 2. Tính z”xx, z”xy, z”yy Đặt u = x2 - y ⇒ z = f(u) z′x = f ′(u )u′x = f ′(u ).2 x , z′y = f ′(u ).(−1) z′′xx = ( z′x ) ′ x = ( f ′(u ).2 x ) ′x = 2 f ′(u ) + x ( f ′(u ) ) ′ x 2 ′ ′′ ′ ′ = 2 [ f (u ) + xf (u ).u x ] = 2 f (u ) + 2 x f ′′(u ) z′′xy = ( z′x ) ′y = ( f ′(u ).2 x ) ′y = 2 x ( f ′(u ) ) ′y= 2 xf ′′(u ).u′y = −2 xf ′′(u ) z′y = f ′(u ).(−1) z′′yy = ( z′y ) ′ = ( −f ′(u ) ) ′y= −f ′′(u )u′y y = f ′′(u ) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1). Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo hàm của F. Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến G = F(x, y) = 0, với y = y(x) ⇒ G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0 Đạo hàm của hàm ẩn 1 biến y = y(x) Fx′ y ′( x ) = − Fy′ Xem x, y là 2 biến độc lập khi lấy đh của F. Xét hàm ẩn 2 biến z = z(x, y) xác định từ phương trình: F(x, y, z) = 0 Fx′ z′x = − , Fz′ Fy′ z′y = − Fz′ (1). x, y, z là các biến độc lập khi tính F’x, F’y, F’z. Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: Fx′ G = 0 ⇒ Gx′ = Fx′ .1 + Fy′ .0 + Fz′ .z′x = 0 ⇒ z′x = − Fz′ Fy′ G = 0 ⇒ Gy′ = Fx′ .0 + Fy′ .1 + Fz′ .z′y = 0 ⇒ z′y = − Fz′ Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là Cách tìm vi phân cấp 1: G = 0 ⇒ dG = dF = Fx′ .dx + Fy′ .dy + Fz′ .dz = 0 ⇒ Giải pt tìm dz dz tìm bằng giải pt hoặc từ dz = z’xdx + z’ydy Đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm ẩn: Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy và d2z từ z’x, z’y và dz Cách 2: giải các pt (a) G”xx = 0 tìm z”xx (b) G”xy = 0 tìm z”xy (c) G”xy = 0 tìm z”yy (d) d2G = d2F = 0 tìm d2z VÍ DỤ Cho y = y(x) xác định từ pt: e y + xy − e = 0 (1) Tìm y’(0). Cách 1: học kỳ 1 Lấy đạo hàm pt đã cho: y ′e y + y + xy ′ = 0 (2) x = 0, (1) ⇒ y = 1, (2) ⇒ y ′(0)e + 1 + 0 = 0 −1 ′ ⇒ y (0) = −e Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e (1) ⇔ F(x, y) = 0 Fx′ y ′( x ) = − Fy′ y =− y e +x 1 ⇒ y ′(0) = − = −e −1 e+0 Ví dụ 1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) = z − ye x / z = 0 (1) Tìm z’x, z’y tại (x, y) = (0, 1). từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1) ⇔ z = 1 y x/z − e −1 Fx′ z ⇒ z′x (0,1) = − =1 z′x = − = − yx x / z 1 + 0 Fz′ 1+ 2 e z F ( x , y , z ) = z − ye Fy′ z′y = − = − Fz′ x/z =0 x /z −e yx x / z 1+ 2 e z −1 ⇒ z′y (0,1) = − =1 1+ 0 Ví dụ 2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z) = xy − sh( x + y − z ) = 0 (1) Tìm z’’xx, z’’xy tại (x, y) = (1, 0). ( x , y ) = (1,0) ⇒ z = 1 Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) z′x (1,0) = 1, ⇒ ′ z Fy′ y (1,0) = 0 x − ch( x + y − z ) z′y = − = − Fz′ ch( x + y − z ) Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) ′ y − ch( x + y − z ) ′ z′′xx = ( z′x ) x = − ÷ ch( x + y − z ) x =− ′ ′ y − c h (.) . ch (.) − ch (.) [ ]x [ ] x .[ y − ch(.)] 2 ch (.) −(1 − z′x )sh(.)ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′x )sh(.) =− 2 ch ( x + y − z ) − (1 − z′x )sh(.)ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′x )sh(.) z′′xx = − 2 ch ( x + y − z ) z′x (1,0) = 1, ′ zy (1,0) = 0 −(1 − 1).0.1 − (0 − 1)(1 − 1).0 ⇒ z′′xx (1,0) = − =0 1 Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) z′x (1,0) = 1, ′ zy (1,0) = 0 ′ y − ch ( x + y − z ) z′′xy = ( z′x ) ′y = − ÷ ch( x + y − z ) y 1 − (1 − z′y )sh(.) ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′y )sh(.) =− ch 2 ( x + y − z ) ⇒ z′′xy 1 − (1 − 0).0] .1 − (0 − 1)(1 − 0).0 [ (1,0) = − = −1 1 Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) = z 3 − 4 xz + y 2 − 4 = 0 (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) nếu z(1, -2) = 2 Lấy vi phân pt (1): 2 dF = 3z dz − 4zdx − 4 xdz + 2ydy = 0 (2) Thay x = 1, y = - 2, z = 2 vào (2): 12dz (1, −2) − 8dx − 4dz (1, −2) − 4dy = 0 1 ⇒ dz (1, −2) = dx + dy 2 Lấy vi phân pt (2): ( 2 ) 2 d F = d 3z dz − 4zdx − 4 xdz + 2ydy = 0 ( 2 2 2 2 d F = 3 2zdz + z d z ( 2 ) ) −4dzdx −4 dxdz + xd z +2dy 2 =0 (3) (Vì x, y là biến độc lập nên dx = dy = hằng) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) 1 2 5 2 d z (1, −2) = − dx − dxdy − dy 2 8 2 Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F = f ( x + z, y ) = 0 (1) với f là hàm khả vi cấp 2. Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y ⇒ F(x, y, z) = f(u, v) = 0 Fx′ = fu′ .u′x + fv′ .v x = fu′ , Fy′ = fu′ .u′y + fv′ .v ′y = fv′ Fz′ = fu′ .uz′ + fv′ .v z′ = fu′ fu′ z′x = − = −1, fu′ fv′ z′y = − fu′ z′′xx = 0 fv′ z′y = − fu′ fv′ ′ z′′yy = − ÷ fu′ y =− u = x+ z, v = y ′ .f ′ − f ′′ .u′ + f ′′ .v ′ ′ .f ′ ′′ ′ ′′ ′ f . u + f . v ( vu y vv y ) u ( uu y uv y ) v y y ( fu′ ) 2 ′′ .z′y + fvv ′′ ) .fu′ − ( fuu ′′ .z′y + fuv ′′ ) .fv′ fvu ( =− ( fu′ ) 2 z′′yy ′′ .z′y + fvv ′′ ) .fu′ − ( fuu ′′ .z′y + fuv ′′ ) .fv′ fvu ( =− ( fu′ ) 2 fv′ z′y = − fu′ fv′ fv′ ′′ . − ÷+ fvv ′′ ÷.fu′ − fuu ′′ . − ÷+ fuv ′′ ÷.fv′ fvu fu′ fu′ ′′ zyy = − 2 ( fu′ ) [...]... ′′(u )u′y y = f ′′(u ) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0 Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1) Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo hàm của F Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến G = F(x, y) = 0, với y = y(x) ⇒ G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0 Đạo hàm của hàm ẩn 1 biến y = y(x) Fx′... ( ) Các hàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, vi t d2z theo du, dv 2 2 ′′ du + 2zuv ′′ dudv + zvv ′′ dv d z = zuu 2 Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) 2 ′ ′ dz = fx dx + fy dy ⇒ d z = d (dz ) = d ( fx′dx + fy′ dy ) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải... Xét hàm ẩn 2 biến z = z(x, y) xác định từ phương trình: F(x, y, z) = 0 Fx′ z′x = − , Fz′ Fy′ z′y = − Fz′ (1) x, y, z là các biến độc lập khi tính F’x, F’y, F’z Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: Fx′ G = 0 ⇒ Gx′ = Fx′ 1 + Fy′ 0 + Fz′ z′x = 0 ⇒ z′x = − Fz′ Fy′ G = 0 ⇒ Gy′ = Fx′ 0 + Fy′ 1 + Fz′ z′y = 0 ⇒ z′y = − Fz′ Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là Cách tìm vi. .. 0 ⇒ Gy′ = Fx′ 0 + Fy′ 1 + Fz′ z′y = 0 ⇒ z′y = − Fz′ Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là Cách tìm vi phân cấp 1: G = 0 ⇒ dG = dF = Fx′ dx + Fy′ dy + Fz′ dz = 0 ⇒ Giải pt tìm dz dz tìm bằng giải pt hoặc từ dz = z’xdx + z’ydy Đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm ẩn: Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy và d2z từ z’x, z’y và dz Cách 2: giải các pt (a) G”xx = 0 tìm z”xx (b) G”xy = 0 tìm z”xy (c) G”xy = 0 tìm z”yy (d)... Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) ( )u ′′ = fx′ xu′ + fy′ y u′ ′ zuu ′ ′ ′′ + fy′ y u′ + fy′ y uu ′′ = ( fx′ ) u xu′ + fx′ xuu u ′... fx′dx + fy′ dy ) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng 2 2 ′ ′ ′ ′ ⇒ d z = d ( fx ) dx + fx d x + d ( fy ) dy + fy d y 2 Lưu ý: • d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp • d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường VÍ DỤ 2 z = f (x, y ) = x y , x = u + v , y = u − v 1/ Cho: Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0) 2 zu′ = 2 xy × xu′ + x × y u′ 2 = 2 xy × 1 + x... x x =1⇒ y = e 2 2e ⇒ z′(0) = −2ln(e + 1) + 2 e +1 2 5/ Cho: z = f ( x − y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy ⇒ z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) z′x = fu′ u′x + fv′ v ′x = fu′ 1 + fv′ y z′y = fu′ u′y + fv′ v ′y = fu′ (−1) + fv′ x x 6/ Cho: z = xf 2 ÷ với f là hàm khả vi y 2 xz′x + yz′y = 2z Chứng minh đẳng thức: Đặt : x u= 2 y ⇒ z = x.f(u) z′x = f (u ) +... d z = z (t )dt (t là biến độc lập) 1 z′(t ) = fx′ x ′(t ) + fy′ y ′(t ) = 2 xy 2t + x t 2 3 = 4t ln t + t 2 2 z′′(t ) = 12t ln t + 4t + 3t 2 d z (1) = 7dt 2 2 3 3/ Cho: 2 z = f ( x − y ) với f là hàm khả vi cấp 2 Tính z”xx, z”xy, z”yy Đặt u = x2 - y ⇒ z = f(u) z′x = f ′(u )u′x = f ′(u ).2 x , z′y = f ′(u ).(−1) z′′xx = ( z′x ) ′ x = ( f ′(u ).2 x ) ′x = 2 f ′(u ) + x ( f ′(u ) ) ′ x 2 ′ ′′... z′y = x.[ f (u ) ] ′y −2 x = xf ′(u ).u′y = x.f ′(u ) 3 y 1 − 2 x 2 xz′x + yz′y = 2 x f (u ) + x.f ′(u ) 2 ÷ + yx.f ′(u ) 3 y y = 2 xf (u ) = 2z ( 2 2 z = f x − y , xy 7/ Cho: ) với f là hàm khả vi Tính dz theo dx, dy Đặt: u = x2 – y , v = xy2 ⇒ z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với z′x = fu′ u′x + fv′ v ′x 2 ′ ′ = fu 2 x + fv y z′y = fu′ u′y + fv′ v ′y = fu′ (−1) + fv′ 2 xy ( dz = fu′... Cách 2: giải các pt (a) G”xx = 0 tìm z”xx (b) G”xy = 0 tìm z”xy (c) G”xy = 0 tìm z”yy (d) d2G = d2F = 0 tìm d2z VÍ DỤ Cho y = y(x) xác định từ pt: e y + xy − e = 0 (1) Tìm y’(0) Cách 1: học kỳ 1 Lấy đạo hàm pt đã cho: y ′e y + y + xy ′ = 0 (2) x = 0, (1) ⇒ y = 1, (2) ⇒ y ′(0)e + 1 + 0 = 0 −1 ′ ⇒ y (0) = −e Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e (1) ⇔ F(x, y) = 0 Fx′ y ′( x ) = − Fy′ y =− y e +x 1 ⇒ y ′(0) =