Đang tải... (xem toàn văn)
...NỘI DUNG 1.Tham số hóa đường cong 2.Định nghĩa tích phân đường loại 3. Tính chất tích phân đường loại 4.Cách tính tích phân đường loại THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Tổng quát: (C) viết... x2 + y2 + (3 – x)2 = 6 (3 – x) ⇔ 2x2 + y2 =9 3 x= cos t , y = 3sin t , z = − cos t 2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Cho AB đường cong hữu hạn mặt phẳng Oxy, f(x,y) xác định đường cong B A Phân hoạch... tổng tích phân n Sn = ∑ f (Mk )∆l k k =1 n Sn = ∑ f (Mk )∆l k k =1 ∫ f ( x , y )dl = lim Sn : đường loại f n →∞ AB AB Trong R3, đường loại định nghĩa tương tự TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1/ Tp đường
Chương 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Phần 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI NỘI DUNG 1.Tham số hóa đường cong 2.Định nghĩa tích phân đường loại 3.Tính chất tích phân đường loại 4.Cách tính tích phân đường loại THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Tổng quát: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t) VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) B(b1,b2) x = a1 + t (b1 − a1 ) ,0 ≤ t ≤ y = a2 + t (b2 − a2 ) x = t 2/ Đường cong y = f(x): y = f (t ) THAM SỐ HĨA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 3/ Đường trịn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x = a + R cos t ⇔ ,0 ≤ t ≤ 2π y = b + R sin t x2 y 4/ Ellipse: + = a b x = a cos t ⇔ ,0 ≤ t ≤ 2π y = b sin t THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 5/ Đường cong tọa độ cực: r = r(ϕ) x = r (ϕ )cos ϕ y = r (ϕ )sin ϕ VD: đường trịn : r = 2sinϕ có dạng tham số x = 2sin ϕ cos ϕ ,0 ≤ ϕ ≤ π y = 2sin ϕ Lưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ tham số tăng THAM SỐ HĨA ĐC TRONG KHƠNG GIAN B1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp B2: Tham số hóa cho đường cong hình chiếu (trong mặt phẳng) B3: Tham số hóa cho biến cịn lại Ví dụ 1/ Tham số hóa cho giao tuyến mặt trụ x2 + y2 = mặt phẳng z = Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy đtrịn: x2 + y = Vậy dạng tham số là: x = 2cos t , y = 2sin t , z = 2/ Tham số hóa cho giao tuyến mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z mặt phẳng z = – x Hình chiếu gtuyến mặt lên mp Oxy : x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x) ⇔ 2x2 + y2 =9 3 x= cos t , y = 3sin t , z = − cos t 2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Cho AB đường cong hữu hạn mặt phẳng Oxy, f(x,y) xác định đường cong B A Phân hoạch cung AB thành cung Ck, cung Ck lấy Mk, ∆lk độ dài cung Ck, tính tổng tích phân n Sn = ∑ f (Mk )∆l k k =1 n Sn = ∑ f (Mk )∆l k k =1 ∫ f ( x , y )dl = lim Sn : đường loại f n →∞ AB AB Trong R3, đường loại định nghĩa tương tự CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI TH1: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 ∫ t2 ∫ f ( x , y )dl = f ( x (t ), y (t )) C [ x ′(t ) ] + [ y ′(t ) ] dt t1 TH2: (C) viết dạng y = y(x), a ≤ x ≤ b ∫ C b ∫ f ( x , y )dl = f ( x , y ( x )) + [ y ′( x ) ] dx a CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI TH3: (C) viết dạng r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β ∫ C β ∫α 2 ′ f ( x , y )dl = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) r + r dϕ (C) đường cong không gian (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 ≤ t ≤ t2 ∫ C t2 ∫ f ( x , y , z)dl = f ( x (t ), y (t ), z(t )) [ x ′(t ) ] + [ y ′(t ) ] + [ z′(t ) ] dt t1 2 Lưu ý: C = C1 ∪ C2 (trong R2 )đối xứng qua Oy • f lẻ theo x: f ( x , y )dl = ∫ C • f chẵn theo x: ∫ C ∫ f ( x , y )dl = f ( x , y )dl C1 * Trên R3, xét tính đối xứng qua mặt tọa độ Ví dụ ∫ 1/ Tính I = ( x + y )dl C biên tam C giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A y O y = x I= ∫ OA + x = B ( x + y )dl + ∫ AB ( x + y )dl + ∫ OB ( x + y )dl A y y O = x ∫ + OA: y = x, ≤ x ≤ x = B 2 ⇒ 1+ y′ = 1+1 = ∫ ( x + y )dl = ( x + x ) 2dx OA AB: y = – x , ≤ x ≤ ⇒ + y ′2 = + = ∫ AB ∫ ( x + y )dl = ( x + − x ) 2dx OB: y = , ≤ x ≤ ∫OB ′ ⇒ 1+ y = 1+ = ∫0 ( x + y )dl = ( x + 0).1dx ⇒I = 2+ 2/ Tính I = ∫ xydl với C : x2 + y2 = 2x, y ≥ C Hai cách tham số hóa cho C: C1: (x – 1)2 + y2 = 1, y ≥ • π ∫ x = + cos t , y = sint 0 ≤ t ≤ π 2 I = (1 + cos t )sin t sin t + cos tdt π ∫ = (sin t + sin t cos t )dt = C2: x= rcosϕ, y= rsinϕ x2+y2 =2x ⇔ r = 2cosϕ, cosϕ ≥ y ≥ r ⇔ sinϕ ≥ x = 2cos ϕ sin ϕ , y = 2sin ϕ C viết lại: 0 ≤ ϕ ≤ π / π I= ∫ 2 ′ 2cos ϕ 2cos ϕ sin ϕ r + r dϕ π =4 ∫ 2 cos ϕ sin ϕ 4cos ϕ + 4sin ϕ dϕ 3/ Tính I = ∫ x + z dl , C giao tuyến C mặt cầu x2 + y2 + z2 = mp y = x Hình chiếu C lên mp Oxz ellipse: 2x2 + z2 =1 C có dạng tham số là: x = cos t , z = sin t , y = x = cos t 2 0 ≤ t ≤ 2π x = cos t , z = sin t , cos t y = x = 0 ≤ t ≤ 2π 2 ′ ′ ′ [ x (t )] + [ y (t )] + [ z (t )] = sin t + sin t + cos t = 2 I= ∫ C 2 2π 2 x + z dl = ∫ 1.1dt = 2π 4/ Tính I = ∫ xzdl với C phần giao tuyến C mặt cầu x2 + y2 + z2 = mặt nón z2 = x2 + y2, x, z ≥ Tham số hóa C: x = cos t , y = sin t , z = z = 1, x + y = ⇔ π π x, z ≥ − ≤ t ≤ =2 ∫ I = xzdl = C π ∫π − 2 cos t sin t + cos t + 0dt 1 5/ Tính I = ∫ x dl với C phần giao tuyến C mặt cầu x2 + y2 + z2 = mp x + y + z = Việc tham số hóa cho C phức tạp Nhận xét: vai trò x, y, z đường cong C I = x dl = y dl = z dl = ∫C ∫C ∫C (∫ x C 2 ) + y + z dl (∫ x C 2 ) ∫ + y + z dl = 4dl = 4L C với L độ dài cung C Vì mp qua tâm mặt cầu, nên C đường trịn có bán kính bán kính mặt cầu Vậy: 16π L = 2π × = 4π ⇒ I =