BÀI dạng TÍNH ĐỊNH THỨC D = detAn Th1: Định thức D định thức đặc biệt 1.a. Có dòng cột b. Có hai dòng hai cột c. Có hai dòng hai cột tỉ lệ D=0 2. Có dạng tam giác dạng chéo D = tích phần tử đường chéo Ví dụ: 0 =0 7 9 = 48 0 0 0  Th2: D=detAn không đặc biệt n=1 A = (a) detA = a : Ví dụ: Tính detA , A = (2 -1 0) 1x3 A=(a) -1 3x1 Ta có a = -3- = -1 A = ( -1 ) detA = -1 n=2: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 - a21 a12 Ví dụ: 1-i 1+i = (1-i) (1+i) - (4) = -10 n=3: Cách a13 Dùng Quy tắc Sarius a11 a12 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a31 a22 a13 - a32 a23 a11 - a33 a21 a12 Ví dụ: Tính định thức sau đây: D= x x 2 x D = + 3x + - - - 2x2 = -2x2 +3x+2 x 2 x x 2 Cách Đưa định thức đặc biệt  TC1: Định thức không thay đổi lấy cộng với k lần dòng khác  TC2: Định thức đổi dấu đổi chỗ hai dòng  TC3: Nhân tử chung dòng đưa dấu định thức dòng Ví dụ : Tính định thức sau đây: a+b b+c c a 1 c+a b = (a+b+c) 1 c a 1 b D= =0 = a+b+c c b+c+a a 1 c+a+b b n 4: Khai triển theo dòng cột Cách (Chọn dòng cột có nhiều số 0) Ví dụ : Tính định thức sau 2+1 a = (-1) 21 2+2 + (-1) a -1 0 22 + a23 (-1)2+3 + a24 (-1)2+4 D21 D22 D23 D24 Ví dụ : So sánh hai định thức sau đây: A= B= Đổi chỗ cột cột A -A = =B Ví dụ : So sánh hai định thức sau đây: A= 2 0 A =2 4 0 B= 3 3 0 A =2 4 = 2.4 0 1 0 A = 2.4. 1 0 B = 3.3. 1 0 31 31 93 23 B =3 2 36 Vậy: A/8 = B/9 Ví du ï3: So sánh hai định thức sau đây: A= B= Đặt nhân tử chung dòng Đổi chỗ dòng dòng A 13 A = -2 13 09 09 65 65 13 = -2B 13 Dạng GIẢI PT detA = f(x) PP1: Tính detA giải PT PP2: Nhẩm nghiệm f(x) = detA = A có a. dòng cột b. hai dòng hai cột c. hai dòng hai cột tỉ lệ Ví dụ 1: Giải PT sau đây: -2 x -2 x x 3 0 x = 10x2 0 x = 10x2 (-6-2x)(6-5x) = 10x2 x=2 Ví dụ 2: Giải PT sau đây: x x x -1 x x x x3 1 -1 x4 16 =0 =0 x = 1, 2, -1, x tùy ý Ví dụ 3: CMR PT sau có nghiệm X+1 X-2 X-2 X-2 f(0) = -1 X-2 = f(2) = 27 X X-2 X+1 f(x)= X X X-1 X-2 X X X X+1 ĐPCM 13 -20 -2 -2 02 13 -20 -20 f(2) = f(0) -20 02 02 -1 02 02 02 13 Bài toán quan hệ detA, detkA, detA-1, detAT PP: Dựa vào tính chất sau đây: Dạng det(kAn) = kn detAn detA = det(AT) detA. det(A-1) = det(AB)= detAdetB Ví dụ 1: Nếu A ma trận vuông cấp có detA = -2. Tính det(2AT) n det(kAn) = k detAn detA = det(AT) det(2AT) = 24detAT = 24detA = -32 Ví dụ 2: Nếu A ma trận vuông cấp có det(2A) = -24. Tính det(3A-1) det(2A) = -24 n det(kAn) = k detAn 23detA = -24 detA. det(A-1) = detA = -3 det(A-1) = -1/3 det(3A-1) = 33 det(A-1) = -27/3 = -9 Ví dụ 3: Tìm cấp ma trận vuông A biết: n Det(A-1 )= 1/3 (1) = 16 Det(2AT) = 48 (2) Gỉa sử A có cấp n (1) DetA = DetA = T (2) 2nDetAT = 48 n=4 Ví dụ 4: Các mệnh đề sau hay sai: Vậy mệnh đề  det(-An )= -detAn n lẻ detAn = det(-An )= det(-1.An) = (-1)n detAn = -detAn, n lẻ detAn, n chẵn  det(An+Bn )= detAn+detBn A= -1 0 B= A+B = -1 0 detA = detB = detA+detB = det(A+B) = Vậy mệnh đề sai  det[(An)k]= [detAn]k det(An)k= det(AnAn. . . An) k lần = detAn.detAn. . .detAn k lần = [detAn]k Vậy mệnh đề [...]... cột 1 và cột 2 của A 1 2 -A = 4 3 0 1 2 9 5 3 2 6 3 4 =B 0 1 0 1 2 9 5 3 2 6 3 4 0 1 Ví dụ 2 : So sánh hai định thức sau đây: 0 1 A= 2 1 2 2 1 3 2 3 2 6 8 4 0 0 0 1 A =2 2 1 1 2 1 3 1 3 2 6 4 4 0 0 0 1 B= 2 1 3 2 1 3 3 3 2 6 9 3 0 0 0 1 A =2 2 1 1 2 1 3 1 3 2 6 4 4 = 2.4 0 0 0 1 2 1 1 2 1 3 1 3 2 6 1 1 0 0 0 1 A = 2.4 2 1 1 2 1 3 1 3 2 6 1 1 0 0 0 1 B = 3.3 2 1 1 2 1 3 1 3 2 6 1 1 0 0 0 3 3 9 11 3 1. .. 4 0 0 3 3 1 0 1 = 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 0 3 3 1 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 0 3 3 1 d4-d3 = 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 0 2 0 = -6 Ví dụ 2: Tính định thức sau đây: D= 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 9 D= 2 2 2 Lấy d2, d3, d4 trừ 2d1 1 D= 9 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 =9 9 3 2 2 9 2 3 2 9 2 2 3 1 =9 2 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 0 1 Ví dụ: Tính định thức D = 2 3 0 1 2 3 4 4 -1 0 3 4 5 ( -1) 5D = -2... 1 0 -1 0 5 3 1 2 0 4 4 1 0 2 1 = a22 ( -1) 2+2 D22 9 2 1 = ( -1) 1 0 4 2 = -36 3 4 1 Cách 2 Dùng hệ quả của khai triển Laplace (0) B D C C D C D A= B (0) D C (0) B B (0) ( B, D là ma trận vuông ) detA = detB.detD Ví dụ: Tính định thức sau đây: 2 1 3 1 4 1 5 2 D= -2 2 0 0 2 3 0 0 -2 2 D= 2 3 3 1 5 2 = ( -10 ) (1) = -10 Cách 3 Đưa về định thức đặc biệt Ví dụ 1: Tính định thức d2-d1 d3-d1 1 3 1 1 2 1 -1 1... lệ Ví dụ 1: Giải PT sau đây: 2 4 -2 x -2 x 1 x 2 3 2 3 3 5 0 0 3 5 x 2 = 10 x2 0 0 x = 10 x2 2 (-6-2x)(6-5x) = 10 x2 x=2 Ví dụ 2: Giải PT sau đây: x 0 x 5 x 1 2 -1 0 2 x 6 3 0 x 4 2 x x3 1 1 4 8 1 -1 1 3 0 2 x4 1 16 1 =0 =0 x = 1, 2, -1, 0 x tùy ý Ví dụ 3: CMR PT sau đây có nghiệm X +1 X-2 X-2 X-2 f(0) = -1 X X +1 X-2 X-2 = 0 f(2) = 27 f(x)= X X X -1 X-2 X X X X +1 ĐPCM 1 -2 -2 -2 3 0 0 0 0 1 -2 -2 2 3... tính chất Cách 4 detA = detAT ( -1) 5 D = D - D= D -1 0 3 4 5 -2 -3 0 5 6 -3 -4 -5 0 7 D=0 -4 -5 -6 7 0 BÀI 1 (PHẦN 2) Dạng 2 SO SÁNH HAI ĐỊNH THỨC PP1: Tính hai định thức PP2: Dùng các tính chất của định thức  Đổi chỗ thích hợp các dòng hoặc các cột  Rút nhân tử chung của các dòng và các cột ra ngoài dấu định thức Ví dụ 1 : So sánh hai định thức sau đây: 0 1 A= 2 9 1 2 4 3 5 3 2 6 3 4 0 1 1 2 B= 4... 1 2 1 3 1 3 2 6 1 1 0 0 0 3 3 9 11 3 1 23 3 B =3 2 1 2 0 1 36 0 Vậy: A/8 = B/9 Ví du ï3: So sánh hai định thức sau đây: 3 2 A= 2 1 9 1 4 0 6 3 2 5 1 4 0 3 1 2 B= 1 3 0 1 2 9 5 3 1 6 Đặt nhân tử chung của dòng 3 ra ngoài Đổi chỗ dòng 1 và dòng 4 của A 1 3 2 A = -2 1 3 1 0 9 1 2 9 0 5 6 3 1 6 5 3 1 4 = -2B 0 1 3 3 4 0 1 Dạng 3 GIẢI PT detA = f(x) PP1: Tính detA và giải PT PP2: Nhẩm nghiệm khi f(x)... 23detA = -24 detA det(A -1) = 1 detA = -3 det(A -1) = -1/ 3 det(3A -1) = 33 det(A -1) = -27/3 = -9 Ví dụ 3: Tìm cấp của ma trận vuông A biết: n Det(A -1 )= 1/ 3 (1) 2 = 16 Det(2AT) = 48 (2) Gỉa sử A có cấp là n (1) DetA = 3 DetA = 3 T (2) 2nDetAT = 48 n=4 Ví dụ 4: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai: Vậy mệnh đề chỉ  det(-An )= -detAn đúng khi n lẻ hoặc detAn = 0 det(-An )= det( -1. An) = ( -1) n detAn = -detAn,... 0 -1 -2 2 2 1 0 0 0 0 1 2 2 2 3 Bài toán về quan hệ giữa detA, detkA, detA -1, detAT PP: Dựa vào tính chất sau đây: Dạng 4 det(kAn) = kn detAn detA = det(AT) detA det(A -1) = 1 det(AB)= detAdetB Ví dụ 1: Nếu A là ma trận vuông cấp 4 có detA = -2 Tính det(2AT) n det(kAn) = k detAn detA = det(AT) det(2AT) = 24detAT = 24detA = -32 Ví dụ 2: Nếu A là ma trận vuông cấp 3 có det(2A) = -24 Tính det(3A -1) det(2A)... hay sai: Vậy mệnh đề chỉ  det(-An )= -detAn đúng khi n lẻ hoặc detAn = 0 det(-An )= det( -1. An) = ( -1) n detAn = -detAn, nếu n lẻ detAn, nếu n chẵn  det(An+Bn )= detAn+detBn 1 0 A= 0 1 -1 0 0 0 B= A+B = 0 -1 0 0 detA = 1 detB = 1 detA+detB = 2 det(A+B) = 0 Vậy mệnh đề trên sai  det[(An)k]= [detAn]k det(An)k= det(AnAn An) k lần = detAn.detAn .detAn k lần = [detAn]k Vậy mệnh đề trên đúng . biệt Ví dụ 1: Tính định thức 1 3 1 0 1 2 1 -1 1 3 4 1 0 3 3 0 1 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 3 3 0 d2-d1 = d3-d1 1 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 3 3 0 d4-d3 1 3 1 0 0 -1 0 -1 0 0 3 1 0 0 2 0 = = -6 Ví. biệt a 11 a 12 a 21 a 22 = 1- i 4 3 1+ i ( 1- i) (1+ i) - 3 (4) Ví dụ: a 22 - a 21 a 12 = a 11  n=2: = -1 0 a 11 a 12 a 13 a 23 a 22 a 21 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 - a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 - +. 1 = a 21 ( -1 ) 2 +1 D 21 ( -1 ) 2+2 D 22 a 23 ( -1 ) 2+3 D 23 a 24 ( -1 ) 2+4 D 24 + + + a 22 0 -1 0 0 9 1 2 1 0 -1 0 0 0 5 4 2 3 1 4 1 = ( -1 ) 2+2 D 22 a 22 = ( -1 ) 9 2 1 0 4 2 3 4 1 = -3 6 0 -1 0 0 1 9 2 1 0 4 2 3 4 1 A = (0) DC B C B (0) D D (0) B C B CD (0) detA