Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Định nghĩa : ĐLNN chiều gồm ĐLNN X Y Ký hiệu: (X, Y) Nếu X Y rời rạc (X, Y) đgl vectơ ngẫu nhiên rời rạc Ngược lại (X, Y) liên tục * Mở rộng: ĐLNN n chiều (hay gọi vectơ ngẫu nhiên n chiều) gồm n ĐLNN (X1, X2,…, Xn) I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều: pij = P[(X = x i )(Y = y j )], (i = 1,n, j = 1,m) m n ⇒ ∑∑ pij = j = 1i = Y y1 y2 … ym x1 p11 p12 … p1m x2 p21 p22 … p2m … … … … … xn pn1 pn2 … pnm X I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Từ bảng PPXS, ta tìm PPXS thành phần X, Y (gọi phân phối lề, hay phân phối biên) sau: X x1 x2 … xn Y y1 y2 … ym P p1 p2 … pn P q1 q2 … qm pi = m ∑p j=1 ij (i = 1,n) n qj = ∑p i=1 ij (j = 1,m) I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Từ bảng PPXS suy ra: Nếu pij = pi.qj (∀i, j) thì: P[(X=xi)(Y=yj)] = P(X=xi).P(Y=yj) ⇔ X, Y độc lập Y y1 y2 … ym x1 p11 p12 … p1m x2 p21 p22 … p2m … … … … … xn pn1 pn2 … pnm X I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : Một kiện hàng có 10 sản phẩm, có sp loại I, sp loại II sp loại III Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ kiện sp Gọi X1, X2 tương ứng số sp loại I, loại II có sp lấy Lập bảng phân phối xác suất đồng thời (X1, X2) I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : 5I 3II 2III sp I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Ví dụ : X2 X1 0 5I 3II 2III 2 sp I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hàm mật độ xác suất ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu f(x,y)) hàm thỏa mãn điều kiện sau: (i) f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ ¡ +∞+∞ (ii) ∫ ∫ f(x, y)dxdy = -∞ -∞ x y2 (iii) P[(x1 < X < x )(y1 < Y < y )] = ∫ ∫ f(x,y)dxdy x1 y1 I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hàm phân phối xác suất ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu F(x,y)) định nghĩa sau: F(x,y) = P[(X < x)(Y < y)] (x, y ∈ ) Đối với ĐLNN rời rạc : F(x,y) = ∑ ∑ P[(X = x )(Y = y )] i xi < x y j < y Đối với ĐLNN liên tục : x y F(x,y) = ∫ ∫ f(u,v)dudv -∞-∞ j II CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hiệp phương sai : Cov(X,Y) Nếu Cov(X,Y) = 0: X, Y đgl không tương quan Nếu cov(X,Y) ≠ 0: X, Y đgl có tương quan Nếu X, Y độc lập X, Y có tương quan không? II CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Tính chất hiệp phương sai:  Cov(X,Y) = Cov(Y,X)  Cov(X,X) = E(X2) – [E(X)]2 = Var(X)  Var(aX ± bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) ± 2ab.Cov(X,Y) II CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên hai chiều : Hệ số tương quan : ρ XY Tính chất hệ số tương quan :  |ρXY| ≤   cov(X,Y) = σXσY Nếu Y = aX + b ρXY = ± (a ≠ 0) ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X,Y), với a, b, c, d số ac ≠ II CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Ví dụ : Giả sử hai loại cổ phiếu A, B có mức lãi suất (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau: a) Nếu đầu tư toàn vào cổ phiếu A lãi suất kỳ vọng mức độ rủi ro bao nhiêu? Y -2% 0% 5% 10% 0% 0,05 0,05 0,1 4% 0,05 0,1 0,25 0,15 6% 0,1 0,05 0,1 X II CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU b) Nếu mục tiêu nhằm đạt lãi suất kỳ vọng lớn nên đầu tư vào loại cổ phiếu theo tỷ lệ nào? c) Muốn hạn chế rủi ro lãi suất đến mức thấp nên đầu tư vào loại cổ phiếu theo tỷ lệ nào? Y -2% 0% 5% 10% 0% 0,05 0,05 0,1 4% 0,05 0,1 0,25 0,15 6% 0,1 0,05 0,1 X III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Nếu cho X = xk cố định, ta có cơng thức xác suất có điều kiện sau: P(Y = y j /X = x k ) = = P[(Y = y j )(X = x k )] P(X = x k ) p kj pk (j = 1,m) Y y1 y2 … ym x1 p11 p12 … p1m x2 p21 p22 … p2m … … … … … xn pn1 pn2 … pnm X III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Tương tự, cho Y = yh cố định, ta có cơng thức xác suất có điều kiện sau: P(X = x i /Y = y h ) P[(X = x i )(Y = y h )] = P(Y = y h ) pih = qh (i = 1,n) Y y1 y2 … ym x1 p11 p12 … p1m x2 p21 p22 … p2m … … … … … xn pn1 pn2 … pnm X III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Từ ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện Y X sau: Y/xk y1 … ym P(Y/xk) P(Y = y1/xk) … P(Y = ym/xk) X/yh x1 … xn P(X/yh) P(X = x1/yh) … P(X = xn/yh) III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Kỳ vọng tốn có điều kiện: Từ bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy kỳ vọng tốn có điều kiện, phương sai có điều kiện,… X2 1/45 6/45 3/45 10/45 15/45 10/45 0 X1 E(X1/X2 = 0)? III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Hàm hồi quy: Hàm hồi quy Y X kỳ vọng tốn có điều kiện Y (với điều kiện X=x) g(x) = E(Y/X = x) Ý nghĩa: g(x) cho biết giá trị trung bình Y thay đổi X nhận giá trị khác Tương tự, ta có hàm hồi quy X Y IV HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Ví dụ : Một hộp có 10 sp, có sp loại A, sp loại B, sp loại C Giá bán sp loại A, B, C 10, 8, (ngàn đồng) Lấy từ hộp sp để bán Tìm phân phối xác suất số tiền thu IV HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN X2 X1 2 IV HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN IV HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Y P Tổng kết chương • Lập bảng phân phối xác suất đồng thời ĐLNN hai chiều (X,Y)? • • Các tham số đặc trưng ĐLNN hai chiều? Tìm phân phối xác suất có điều kiện kỳ vọng tốn có điều kiện? • Lập bảng phân phối xác suất hàm ĐLNN? ... PHỐI XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Kỳ vọng tốn có điều kiện: Từ bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy kỳ vọng tốn có điều kiện, phương sai có điều kiện,… X2 1 /45 6 /45 ... pn1 pn2 … pnm X III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Tương tự, cho Y = yh cố định, ta có cơng thức xác suất có điều kiện sau: P(X =... … … … … xn pn1 pn2 … pnm X III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN Phân phối xác suất có điều kiện: Từ ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện Y X sau: Y/xk y1 … ym