Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Ví dụ : Kiểm tra sp Gọi X số sp đạt yêu cầu sp kiểm tra Đỏ : Đạt yêu cầu Xanh : Khơng đạt X nhận giá trị khác tương ứng với biến cố X=3 khác X=1 X=2 X đgl đại lượng ngẫu nhiên X=0 I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN • Khi thực phép thử, quy tắc (hay hàm) ta gán giá trị số cho kết phép thử Quy tắc đgl đại lượng ngẫu nhiên • Khi thực phép thử, ĐLNN nhận giá trị tập hợp giá trị mà nhận Việc ĐLNN nhận giá trị cụ thể biến cố Lưu ý : Khơng có P(X) chung chung mà có P(X = x1), P(X = x2),…, P(a < X < b),… I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phân loại ĐLNN: • ĐLNN đgl rời rạc tập hợp giá trị mà nhận tập hữu hạn vơ hạn đếm • Cho ví dụ? ĐLNN đgl liên tục giá trị mà nhận lấp kín khoảng trục số II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Một hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giá trị nhận với xác suất tương ứng đgl phân phối xác suất ĐLNN • • • Bảng phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối xác suất II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất : •Giả sử ĐLNN X nhận giá trị x1, x2,…, xn với xác suất tương ứng p1, p2,…, pn (tức pi = P(X = xi), ) Khi đó, bảng phân phối xác suất X có dạng: X x1 x2 … xk P p1 p2 … pk n ∑p i=1 i =1 II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất : Ví dụ : Một hộp có 10 sản phẩm, có sp loại A sp loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp sp Gọi X số sp loại A có sp lấy Lập bảng phân phối xác suất X II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 6A 4B sp X P II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm mật độ xác suất : Hàm mật độ xác suất ĐLNN liên tục X, ký hiệu f(x), thỏa mãn điều kiện sau: (i) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ +∞ (ii) ∫ f(x)dx = -∞ b (iii) P(a < X < b) = ∫ f(x)dx a II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm mật độ xác suất : Minh họa hình học : P(a < X < b) 0.45 0.4 f(x) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.5 1.5 a 2.5 b 3.5 III HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm đại lượng ngẫu nhiên : Nếu với giá trị có ĐLNN X, qua hàm f(X) ta xác định giá trị ĐLNN Y Y đgl hàm ĐLNN X: Y = f(X) Ví dụ : Tìm phân phối xác suất Y = X , biết X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất sau: X -2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 III HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm đại lượng ngẫu nhiên : X P III HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm hai hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên : Nếu ứng với giá trị nhận (X1, X2,…, Xn), qua hàm Z = ϕ(X1, X2,…, Xn), ta có giá trị nhận ĐLNN Z Z đgl hàm n ĐLNN (X1, X2,…, Xn) Ví dụ : Cho X ĐLNN nhận giá trị 0, 1, 2; Y ĐLNN nhận giá trị -1, 0, Khi đó: X + Y III HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Sự độc lập đại lượng ngẫu nhiên : Hai ĐLNN đgl độc lập với phân phối xác suất ĐLNN khơng phụ thuộc vào việc ĐLNN nhận giá trị • Nếu X, Y độc lập với thì: P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b) • Nếu Y phụ thuộc vào X thì: P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b/X = a) III HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Sự độc lập đại lượng ngẫu nhiên : Ví dụ 1: 7A 3B 6A 4B X1, X2 số sp loại A sp lấy từ hộp 1, hộp sp sp Ví dụ 2: 7A 3B 6A 4B sp Y1, Y2 số sp loại A sp lấy từ hộp 1, hộp sp IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Nếu X ĐLNN rời rạc nhận giá trị x1, x2,…, xn với xác suất tương ứng p1, p2,…, pn kỳ vọng tốn X xác định biểu thức: E(X) = n ∑x p i i i=1 Ví dụ : Tìm kỳ vọng ĐLNN X có bảng phân phối xác suất sau: X -2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Nếu X ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) kỳ vọng tốn xác định bởi: +∞ E(X) = ∫ xf(x)dx -∞ Bản chất ý nghĩa kỳ vọng toán? IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Ví dụ : Giả sử ta có túi đựng 10 cam, có nặng 200g, nặng 250g, nặng 300g Gọi X khối lượng cam lấy ngẫu nhiên từ túi Khi X ĐLNN có bảng phân phối xác suất: X 200 250 300 P 0,2 0,5 0,3 ⇒ E(X) = 200x0,2 + 250x0,5 + 300x0,3 = 255 ⇒ E(X) giá trị trung bình ĐLNN X IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phương sai : Var(X) D(X) 2 Var(X) = E[(X – E(X)) ] = E(X ) – [E(X)] Nếu X ĐLNN rời rạc : n   Var(X) = ∑ [x i - E(X)] pi = ∑ x p -  ∑ x i p i ÷ i=1 i=1  i=1  n i i n Ví dụ : Tìm phương sai ĐLNN X có bảng phân phối xác suất sau: X -2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phương sai : Var(X) D(X) 2 Var(X) = E[(X – E(X)) ] = E(X ) – [E(X)] Nếu X ĐLNN liên tục :   Var(X) = ∫ [(x - f(x)] f(x)dx = ∫ x f(x)dx-  ∫ xf(x)dx ÷ -∞ -∞  -∞  +∞ +∞ +∞ Ý nghĩa phương sai? Phương sai phản ánh mức độ phân tán giá trị ĐLNN xung quanh giá trị trung bình IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Độ lệch chuẩn : σ(X) σ(X) = Var(X) Độ lệch chuẩn có đơn vị đo với ĐLNN Giá trị tin : Mod(X) Nếu X rời rạc : Mod(X) giá trị X ứng với xác suất lớn bảng phân phối xác suất Nếu X liên tục : Mod(X) giá trị X mà hàm mật độ đạt giá trị cực đại IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giá trị tin : Mod(X) Ví dụ : Tìm Mod(X), với X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất sau: X -2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Lưu ý: Mod(X) nhận nhiều giá trị khác Trung vị : Med(X) Là giá trị chia phân phối ĐLNN thành phần IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Các tính chất kỳ vọng tốn phương sai: • • • E(C) = C (với C số) E(CX) = C.E(X) (với C số) E(X1 + X2 + … + Xn) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn) • E(X1X2…Xn) = E(X1).E(X2)…E(Xn) (nếu ĐLNN độc lập với nhau) IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Các tính chất kỳ vọng tốn phương sai: • • • Var(C) = (với C số) Var(CX) = C Var(X) (với C số) Var(X1 + X2 + … + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + … + Var(Xn) (nếu ĐLNN độc lập với nhau) Tổng kết chương • ĐLNN rời rạc – bảng phân phối xác suất ĐLNN liên tục – hàm mật độ xác suất • • • Cách lập bảng phân phối xác suất? Cơng thức tìm E(X), Var(X), Mod(X)? Các tính chất E(X) Var(X)? ... có nặng 20 0g, nặng 25 0g, nặng 300g Gọi X khối lượng cam lấy ngẫu nhiên từ túi Khi X ĐLNN có bảng phân phối xác suất: X 20 0 25 0 300 P 0 ,2 0,5 0,3 ⇒ E(X) = 20 0x0 ,2 + 25 0x0,5 + 300x0,3 = 25 5 ⇒ E(X)... suất Hàm phân phối xác suất II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất : •Giả sử ĐLNN X nhận giá trị x1, x2,…, xn với xác suất tương ứng p1, p2,…, pn (tức pi = P(X... Lập bảng phân phối xác suất X II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 6A 4B sp X P II PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm mật độ xác suất : Hàm mật độ xác suất ĐLNN liên tục