Phần thứ Lý thuyết xác suất XSTK 2008 Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng Chương Xác suất Trong sống, nhiều trường hợp, người ta khơng thể đốn kiện có xảy hay khơng, nắm thơng tin kiện đó. Để giải tình khơng chắn đó, người ta nghiên cứu đưa vào sử dụng lý thuyết xác suất 1. PHÉP THỬ, KHƠNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ Lý thuyết xác suất, nay, lý thuyết tốn học xây dựng chặt chẽ hệ tiên đề. Tuy nhiên, để xây dựng hệ tiên đề chặt chẽ mặt tốn học cho lý thuyết xác suất, người ta dựa vào khái niệm mang tính chất kinh nghiệm, trực quan. 1.1. Phép thử, khơng gian mẫu. Bộ mơn Xác suất nghiên cứu loại thí nghiệm có đặc trưng là: Trước thực hiện, khơng đốn trước kết xảy ra, mơ tả tập hợp tất kết xảy ra. Loại thí nghiệm lặp lại nhiều lần điều kiện; gọi Thí nghiệm ngẫu nhiên hay Phép thử. Khi phép thử thực hiên, kết trong tập hợp nói xuất hiện, gọi kết sơ cấp. Tập hợp tất kết sơ cấp gọi Khơng gian kết sơ cấp. Để tiện lợi, xem kết sơ cấp điểm gọi Điểm mẫu (hay điểm cho gọn). Như vậy, kết sơ cấp biểu diễn điểm mẫu; khơng gian kết sơ cấp biểu diễn tập hợp mà phần tử điểm mẫu; gọi Khơng gian mẫu thường ký hiệu M. Khơng gian mẫu M gọi rời rạc tập hợp khơng đếm (hữu hạn đếm được). Thí dụ: Gieo xúc xắc quan sát số xuất mặt xúc xắc. Khi đó, khơng gian mẫu có điểm mẫu: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chư
ng XÁC SU T Quan sát xem xạ thủ bắn viên đạn vào bia có trúng bia hay khơng. Có hai kết sơ cấp là: “trúng bia”, ký hiệu T, “khơng trúng bia”, ký hiệu B. Khơng gian mẫu là: M = {T, B}. 1.2. Biến cố. Một kiện A gọi liên kết với phép thử (hay với khơng gian mẫu M tương ứng) nếu, phép thử thực hiện, vào kết sơ cấp m xuất hiện, người ta biết A có xảy hay khơng. Như vậy, người ta đồng A với tập khơng gian mẫu M, với đặc điểm: "A xảy m ∈ A", gọi A biến cố M. Biến cố khơng thể xảy ra, đồng với tập hợp ∅, gọi biến cố rỗng. Biến cố chắn xảy ra, đồng với khơng gian mẫu M, gọi biến cố chắn. Người ta nói biến cố A kéo theo biến cố B A xảy định B xảy ra, viết A ⊂ B (tập con). Biến cố {m} chứa điểm mẫu m ∈ M gọi biến cố sơ cấp. Có biến cố xây dựng từ biến cố cho trước. 1.3. Định nghĩa. Giả sử A B hai biến cố khơng gian mẫu M cho trước. (i) Biến cố "A khơng xảy ra" gọi biến cố đối biến cố A, đồng với A , phần bù A M. (ii) Biến cố "A B xảy ra" đồng với tập A ∩ B, gọi Biến cố giao A B. A ∩ B ký hiệu AB. Nếu AB = ∅, i.e. A B khơng thể xảy đồng thời, người ta nói A B xung khắc. Tương tự, định nghĩa giao họ biến cố (Ai)i∈I , ký hiệu: ∩ Ai i∈ I (iii) Biến cố " có hai biến cố A B xảy ra" đồng với tập A ∪ B gọi Biến cố hợp A B. Trong trường hợp A B xung khắc, A ∪ B viết A + B. Tương tự, định nghĩa hợp họ biến cố (Ai)i∈I ; ký hiệu: ∪ i∈ I Ai ( ∑ Ai Ai xung khắc đơi ) i∈ I Thuật ngữ viết tắt: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí dụ (iv) Biến cố "A xảy B khơng xảy ra" đồng với tập hợp A − B, gọi Biến cố hiệu A với B. Rõ ràng, A− B = AB . Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng 1.4. Thí dụ 1.4.1. Phép thử: Gieo hai xúc xắc khác màu quan sát số xuất mặt hai xúc xắc. Khơng gian mẫu gồm 36 cặp thứ tự (a,b), với a b thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6}: M = {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}. Gọi A biến cố “xuất hai số có tổng ”. Từ nay, tiện, viết biến cố sau: A: “xuất hai số có tổng 8”; tương tự, đặt B: “xuất hai số nhau” C: “xuất hai số chẵn”; có: A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)}; B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)} Khi đó, AB: “xuất hai số có tổng 8”; AB = {(4,4)}. A − B: “xuất hai số khác có tổng 8”; A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)}; Bạn đọc xác định điểm mẫu C; mơ tả xác định điểm mẫu biến cố: B − A, AC, BC A C . 1.4.2. Phép thử: Gieo đồng tiền khác màu quan sát dãy mặt sấp mặt ngửa xuất hiện. Ký hiệu S N mặt sấp mặt ngửa xuất hiện, khơng gian mẫu M gồm phần tử, biểu diễn bởi: {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} Xét biến cố: A: “ xuất hai mặt sấp” B: “xuất mặt giống nhau”, có: A = {SSS, SSN, SNS, NSS} B = {SSS, NNN}. Khi đó, AB = {SSS}. Biến cố “xuất mặt sấp” biến cố ∅. Chư
ng XÁC SU T 1.4.3. Phép thử: Gieo xúc xắc mặt xuất dừng đếm số lần gieo xúc xắc. Khơng gian mẫu M = *. (tập hợp đếm được). 1.4.4. Phép thử: Quan sát thời gian sống τ linh kiện điện tử. Khơng gian mẫu phép thử M = + Kết sơ cấp " τ = to" có nghĩa linh kiện làm việc đến thời điểm to bị hỏng. Biến cố " τ ≥ to" biểu thị thời gian làm việc sản phẩm khơng nhỏ to. Trong trường hợp này, khơng gian mẫu tập hợp khơng đếm được. 1.5. Chú ý. Nếu khơng gian mẫu M tập hợp khơng đếm (gọi khơng gian mẫu rời rạc ) tập M biến cố. Nhưng M tập hợp khơng đếm có số tập M khơng phải biến cố. Tổng qt, lý thuyết xác suất, khơng gian mẫu M ln đơi với họ biến cố, gồm lớp tập M, gọi σ − trường tập M. Lớp thoả mãn số tính chất, nhằm bảo đảm ∅ M biến cố, đóng kín phép tốn hữu hạn đếm tập hợp. Lớp xác định hệ tiên đề. Tuy nhiên, giáo trình khơng sâu vào lĩnh vực t tốn học lý thuyết xác suất, nên khơng đề cập đến hệ tiên đề xác suất. 2. KHÁI NIỆM XÁC SUẤT Nói chung, khái niệm xác suất dùng để “ khả “ (hay may) để xảy ra. Khái niệm xác suất bắt đầu hình thành từ việc nghiên cứu trò chơi may rủi, e.g. trò roulette đánh bài. Sau đó, nhà tốn học nhà khoa học góp phần xây dựng thành lý thuyết xác suất. Trong thực tiễn, giáo trình giới thiệu vài phương pháp khác để tiếp cận khái niệm xác suất. Trước hết, xét trường hợp: Do đặc điểm vật lý phép thử, điểm khơng gian mẫu hữu hạn M tương ứng có “ khả xảy “; trường hợp đó, M gọi Khơng gian hữu hạn đẳng xác suất hay Khơng gian hữu hạn . 2.1. Định nghĩa. (theo phương pháp cổ điển) Giả sử A biến cố có k điểm khơng gian mẫu hữu hạn gồm n điểm. Người ta gọi số k xác suất biến cố A, ký hiệu: P(A). n P( A) = k n Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng Theo cách hiểu cổ điển, điểm khơng gian mẫu gọi “trường hợp” điểm A “ trường hợp thuận lợi cho A ”, P(A) = Số trường hợp thuận lợi cho A Tổng số trường hợp phép thử Chúng ta dùng cụm từ “chọn ngẫu nhiên“ hay “vơ tư” phát biểu để trường hợp này. Thí dụ. Giả sử tập hợp gồm N phần tử, có T phần tử "được đánh dấu". Từ tập hợp trên, chọn ngẫu nhiên n phần tử khơng hồn lại, gọi mẫu kích thước n (hay cỡ n). Tính xác suất biến cố: Ak : “có k phần tử đánh dấu mẫu”, với k số tự nhiên khơng lớn min(T, n). Chọn khơng hồn lại n phần tử từ tập gồm N phần tử: Có C nN cách. Để tính P(Ak) , lưu ý khơng gian mẫu hữu hạn đều. k n−k Số trường hợp thuận lợi cho Ak CT .C N − T . Vậy, với k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, (T, n)}, n−k CT . C N − T k P( Ak ) = n CN , (1) Xác suất cho cơng thức (1) gọi Phân phối xác suất siêu hình học (hay gọi Phân phối xác suất siêu bội). • Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển dựa điều kiện “ lý tưởng ” phép thử nên có hạn chế. Nếu số kết sơ cấp phép thử vơ hạn hữu hạn khơng đồng khả định nghĩa cổ điển xác suất khơng dùng được. Chẳng hạn, xạ thủ bắn phát súng vào bia quan sát xem đạn có trúng bia khơng. Có hai kết sơ cấp, khơng thể nói xác suất cho trường hợp 0,5. Như vậy, làm để xác định xác suất bắn trúng bia xạ thủ này? Ngay việc gieo đồng tiền, dựa vào đâu để khẳng định khả xuất hai “mặt sấp” “mặt ngửa” nhau?. Suy nghĩ vấn đề này, nhà tốn học khám phá điều thú vị sau: Giả sử thực phép thử, người ta quan tâm đến xuất biến cố A. Bây lặp lại phép thử N lần điều kiện nhau, thấy A xuất nA lần nA gọi Tần số xuất biến cố A, tỉ số nA gọi Tần suất (hay Tần số tương đối ) xuất N biến cố A dãy N phép thử. Chư
ng XÁC SU T Bằng thực nghiệm, người ta nhận thấy rằng: Qua nhiều dãy phép thử, có nhiều dãy tần suất khác xuất hiện. Quan sát dãy tần suất này, người ta nhận thấy có đặc điểm, mang tính qui luật. Đó ổn định số phép thử N lớn. Chúng có khuynh hướng tiến đến giá trị N tăng lên vơ hạn. Các số liệu sau minh họa điều trên: Các kết gieo đồng tiền Buffon Pearson. Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Từ ổn định tần suất, người ta đưa ra: 2.2. Định nghĩa. (theo tần suất) Giả sử biến cố A xuất nA lần dãy phép thử lặp lại n N lần. Khi đó, xác suất để A xảy ra, ký hiệu P(A), giới hạn tỉ số A N số phép thử tăng lên vơ hạn: nA N →∞ N P ( A) = lim Trong thực tế, người ta dùng nA , với N đủ lớn, để P(A). N Thí dụ. Để kết luận xạ thủ có xác suất bắn trúng bia 80%, người ta ghi tần suất bắn trúng bia xạ thủ loạt bắn với nhiều viên đạn. Cho xạ thủ thực nhiều loạt bắn điều kiện trên, người ta có dãy tần suất Giá trị trung bình dãy tần suất 0,8. Định nghĩa xác suất tần suất có số nhược điểm như: Chỉ áp dụng cho phép thử ngẫu nhiên lặp lại nhiều lần điều kiện. Điều khơng dễ thực thực tế. Ngồi ra, nhiều trường hợp, khơng thể đánh giá số phép thử “ đủ lớn” để tạo xác suất theo tần suất. Hai định nghĩa xác suất cho giá trị xác suất khách quan. Khi điều kiện khách quan khơng cho phép dùng chúng người ta dựa tính chủ quan để xác định xác suất. 2.3. Định nghĩa. (theo chủ quan) Xác suất chủ quan biến cố mức độ tin tưởng cá nhân vào khả xảy biến cố đó. Xác suất chủ quan biến cố dùng biến cố có hội xảy ra, xảy khơng xảy thời điểm khác. Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng Thí dụ. Một nhà đầu tư xác định mua số lơ đất có xác suất 0,90 giá đất tăng 50% hay nhiều vòng năm tới. Dựa nghiên cứu dự án phát triển kinh tế vị trí địa lý vùng, ơng ta cho xác suất nói khoảng 0,75. Do đó, ơng ta dịnh khơng đầu tư vào lơ đất nói trên. ( Vẫn với kiện trên, nhà đầu tư khác, đưa xác suất khác 0,75, theo chủ quan ơng ta). Sau đây, trừu tượng hố chút khái niệm xác suất cho khơng gian mẫu rời rạc. 2.4. Định nghĩa. Giả sử M = {m1, m2, . . .} khơng gian mẫu rời rạc. Người ta gán cho điểm mi ∈ M số thực ký hiệu P({mi}), gọi xác suất biến cố {mi}. Đó số khơng âm cho ∞ P({m1}) + P({m2}) + . . .= ∑ P ({m i}) = (3) i =1 Xác suất P(A) biến cố A M định nghĩa tổng xác suất tất {mi} với mi ∈ A. Để tiện việc ký hiệu, viết P(mi) thay cho P({mi}). Rõ ràng Định nghĩa 2.1. trường hợp đăc biệt Định nghĩa 2.4.; trường hợp M = {m1, m2, . . ., mn} hữu hạn điểm M có xác suất (bằng 1/n). • Cho khơng gian mẫu M, có xác định hàm xác suất P: A ֏ P(A) cho biến cố A M. Cặp (M, P) gọi Khơng gian xác suất. Thơng thường, khơng có lầm lẫn, người ta viết M khơng gian xác suất. 3. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Giả sử M khơng gian xác suất cho trước; từ (3), có ngay: P(M) = Nếu A1, A2, … An biến cố đơi xung khắc M n  n  P  ∑ Ak  = ∑ P ( Ak )  k =1  k =1   Ngồi ra, có: 3.1. Định lý. Với biến cố A B khơng gian xác suất M, (i) P(∅) = 0; (ii) P( A) = − P( A) ; Chư
ng XÁC SU T (iii) P( A − B ) = P( A) − P( AB ) ; (iv) P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) ; (v) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B); (vi) P(A) ≤ 1. Chứng minh. (i) Vì A = A + ∅ nên P(A) = P(A) + P(∅). Do đó, P(∅ ) = (ii) Vì M = A + A nên = P(M) = P( A ) + P(A). Vậy, P( A ) = − P(A) (iii) Vì A = ( A − B ) + AB nên P ( A) = P ( A − B ) + P ( AB ) Vậy, P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) (iv) Vì A ∪ B = A + ( B − A) nên P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) (v) Nếu A ⊂ B B = A + ( AB ) . Do đó: P ( B ) = P ( A) + P( AB) ≥ P ( A) (vi) Do A ⊂ M (v).■ Bằng phương pháp qui nạp tốn học, chứng minh cơng thức mở rộng cơng thức cộng xác suất: 3.2. Hệ quả. Cho n biến cố A1, A2, . , An (n > 1) khơng gian xác suất; ký hiệu: S1 = ∑ P( Ai ); S2 = ∑ P ( Ai A j ); S3 = i, j i ∑ P( Ai A j Ak ); .; , i, j ,k đó, ≤ i < j < k ≤ n tổng, nhóm số ( i, j, k, .) xuất lần (Sr có C rn số hạng). Khi đó: n P ( ∪ Ak ) = S1 − S2 + S3 − S4 + . + ( −1) n −1 S n . (4) k =1 Đặc biệt, với biến cố A, B C, có: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 3.3. Thí dụ. Từ lớp có nữ sinh viên 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên sinh viên để lập Ban cán lớp (BCB). Tính xác suất để Xác su t − Th ng kê 10 (i) Ph m Đ c Thơng BCB gồm nữ nam, (ii) BCB có nữ, (iii) BCB có hai nam hai nữ. Giải. Đặt Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ), có: 5−k P ( Ak ) = k .C C12 C520 (i) BCB gồm nữ nam. Xác suất phải tính: P( A2 ) = .C C12 C 520 = 77 323 (ii) Đặt N: “BCB có nữ”, N = A5 . Do đó, P( N ) = P( A5 ) = − P( A5 ) =− .C C12 C 520 = − 33 = 613 646 646 (iii) Đặt H: “BCB có hai nam hai nữ”, H = A + A Do đó, P(H) = P(A2) + P(A3) . C2 C 12 77 = 616 = + 323 969 C 20 4. XÁC SUẤT ĐIÊU KIỆN - BIẾN CỐ ĐỘC LẬP Khi quan sát tượng đời sống, thường gặp câu hỏi: Việc xảy biến cố H có ảnh hưởng đến khả xảy biến cố A hay khơng? Thí dụ đơn giản mối quan hệ là: “ Việc xảy biến cố H làm cho biến cố A định phải xảy hay ngược lại, loại trừ khả khả xảy biến cố A “. Để trả lời câu hỏi này, người ta đưa vào lý thuyết xác suất khái niệm “ xác suất điều kiện độc lập biến cố “. 4.1. Định nghĩa. Trong khơng gian xác suất M, cho biến cố H với xác suất dương. Với biến cố A M, người ta viết: Chư
ng XÁC SU T 17 Xác suất phải tính P(H1 / T). Vì T = H1T + H2T nên P(T) = P(H1).P(T/H1) + P(H2).P(T/H2) = . + . = 59 15 210 Vậy, P( H1 / T ) = P ( H1 ). P (T / H1 ) P (T ) = . 210 = 14 . 15 59 59 6. Q TRÌNH BERNOULLI 6.1. Định nghĩa. (a) Giả sử phép thử có hai kết sơ cấp; gọi "Thành cơng" ký hiệu T, kết gọi "Thất bại", ký hiệu B. Nếu xác suất cho thành cơng p xác suất cho thất bại q = − p. Một phép thử gọi phép thử Bernoulli, với xác suất cho thành cơng p, ký hiệu B(p). (b) Lặp lại phép thử B(p) n lần độc lập nhau, có phép thử gọi Q trình Bernoulli (n,p), ký hiệu B(n,p). Khơng gian mẫu B(n,p) chứa 2n điểm, điểm biểu diễn dãy n ký tự gồm chữ T B. Theo định nghĩa, P(TTBT .BT) = ppqp .qp. Số lần thành cơng q trình B(n,p) 0, 1, 2, ., n tốn đặt là: Tính xác suất để có x thành cơng q trình (0 ≤ x ≤ n). Số trường hợp biến cố " có x thành cơng q trình" xảy với số trường hợp phân phối x chữ T n vị trí; số Cnx . Nói cách khác, biến cố chứa Cnx điểm, điểm có xác suất pxq n − x. Vậy, với x ∈ {0,1,…, n}, biến cố Tx : “có x thành cơng B(n, p)” có xác suất P(Tx ) = Cnx p x ( − p) n − x (11) Đặc biệt, xác suất để khơng có lần thành cơng qn xác suất để có lần thành cơng − qn. ( với q = − p) (11) gọi cơng thức Bernoulli. Xác su t − Th ng kê 18 Ph m Đ c Thơng • Nếu giữ n p cố định xác suất P(Tx), ký hiệu Pn(x), hàm theo x. Chúng ta khảo sát biến thiên Pn(x) x tăng từ đến n. Với x {1, 2, . . . , n }, Pn ( x) (n − x + 1) p (n + 1) p − x = = 1+ Pn ( x − 1) xq xq Do đó, Pn(x) > Pn(x −1) ⇔ x < (n + 1)p. Ký hiệu [(n + 1)p] phần ngun (n + 1)p, có 6.2. Định lý. Trong q trình B(n,p), xác suất để có x thành cơng, x ∈ {0, 1,…, n}, là: Pn x ) = Cnx p x ( − p) n − x (14) Ngồi ra, x tăng dần từ đến n Pn(x) tăng dần đạt giá trị lớn x = [(n + 1)p], sau Pn(x) giảm dần. Người ta gọi xo = [(n + 1)p] Số thành cơng có xác suất lớn hay gọi Số thành cơng có khả nhất. Thực ra, n có giá trị lớn, tất số hạng Pn(x) bé. 6.3. Thí dụ. 6.3.1. Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy 8%. Khảo sát lơ hàng gồm 75 sản phẩm máy sản xuất ra. (a) Tính xác suất để lơ hàng, có 10 phế phẩm (b) Trong lơ hàng, nhiều khả có phế phẩm? Tính xác suất tương ứng. Giải. Nếu xem việc máy sản xuất sản phẩm phép thử Bernoulli, với xác suất cho “thành cơng” p = 0,08, máy sản xuất 75 sản phẩm, thực q trình B(75; 0,08). (a) Xác suất phải tính: 10 65 P75(10) = C10 = 0, 03941 75 (0, 08) .(0, 92) (b) Số phế phẩm nhiều khả lơ hàng là: [(75 + 1). 0,08] = 6, với xác suất tương ứng: Chư
ng XÁC SU T 19 P75(6) = C675 (0, 08)6 .(0, 92)69 = 0,16745 6.3.2. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên số hạt giống từ lơ hạt giống có tỉ lệ hạt lép 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy hạt cho xác suất để có hạt lép khơng bé 95% ?. Giải. Gọi n số hạt phải lấy, có B(n; 0,03). Xác suất để có hạt lép − (1 − 0,03)n = − (0,97)n . Theo giả thiết, có: − (0,97)n ≥ 0,95 ⇔ (0,97)n ≤ 0,05 ⇔ n≥ ln 0, 05 = 98,3523 ln 0, 97 Vậy, phải lấy 99 hạt giống. 7. NGUN LÝ BIẾN CỐ HIẾM Chúng ta biết, sở khái niệm xác suất biến cố tính ổn định tần suất biến cố đó. Như quy luật xác suất xuất có số lớn phép thử. Tuy nhiên, thực tế, tiến hành phép thử, ngun lý sau đây, gọi Ngun lý biến cố hiếm, áp dụng. Một biến cố có xác suất bé biến cố khó xảy ra. Khi tiến hành phép thử biến cố đó, thực hành, biến cố chắn khơng xảy ra. Tùy theo lĩnh vực ứng dụng, người ta qui định mức α khác nhau; xác suất mức α coi bé. Mức α 5%, 1%, có vài phần nghìn, e.g. sinh học, biến cố có xác suất khơng quỏ 5% thường xem hiếm, gần khơng thể có. Nếu thực phép thử thấy biến cố A xảy xác suất biến cố A phải lớn α. Ngun lý biến cố dùng làm sở lơgic cho nhiều phán đốn thống kê mà gặp phần thứ hai giáo trình. Thí dụ. Một lớp có mặt 50 học sinh. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng, thấy hai khơng thuộc bài. Hãy dự đốn xem, hơm nay, lớp có học sinh khơng thuộc bài? Giải. Giả sử lớp có x học sinh khơng thuộc bài, xác suất để hai học sinh, gọi ngẫu nhiên, khơng thuộc là: Xác su t − Th ng kê 20 C2x C50 = Ph m Đ c Thơng x ( x −1) 50. 49 Biến cố “hai học sinh gọi lên khơng thuộc bài” xảy phép thử đầu tiên, nên khơng phải biến cố hiếm. Theo ngun lý biến cố hỉếm, lấy mức α = 5% có: x ( x −1) > 50. 49 100 ⇔ 2x2 − 2x − 245 > Vậy, hơm nay, lớp có 12 học sinh khơng thuộc bài. TK XS 2008 BÀI TẬP 1.1. Cho ba biến cố A, B C. Hãy viết thành biểu thức theo A, B C biến cố sau: (a) A, B C xảy ra; (b) biến cố A, B C xảy ra; (c) có A xảy ra; Chư
ng 21 XÁC SU T (d) có ba biến cố A, B C xảy ra. 1.2. Kiểm tra sản phẩm. Mỗi sản phẩm thuộc hai loại: Chính phẩm phế phẩm. Đặt Ak : “Sản phẩm kiểm tra lần thứ k phế phẩm” (k ∈ {1, 2, 3, 4}). Hãy biểu diễn biến cố sau qua Ak: (a) sản phẩm phế phẩm, (b) sản phẩm phẩm; (c) có sản phẩm phế phẩm; (d) có phẩm. 1.3. Có bình. Mỗi bình chứa số viên bi xanh viên bi đỏ. Từ bình lấy ngẫu nhiên viên bi. Đặt Xi : “lấy viên bi xanh từ bình thứ i”, (i ∈ {1,2,3}). Hãy biểu diễn biến cố sau qua Xi: (a) Lấy bi màu; (b) Lấy bi xanh; (c) Lấy bi đỏ. 1.4. Cho A B hai biến cố khơng gian xác suất, với P ( A) = , P( B) = P( AB) = . Tính: (a) P(A ∪ B); (b) P( A ∪ B ); (c) P({cả A B khơng xảy ra}); (d) P({A B khơng xảy đồng thời}); (e) P({chỉ có A xảy ra}); (f) P({chỉ có hai biến cố A B xảy ra}). 1.5. Một hệ thống bơm sản xuất nơng nghiệp ngừng hoạt động máy bơm bị hỏng chỗ nối bị rò rỉ. Có hai hệ thống bơm A B chào hàng với thơng số kỹ thuật cho bảng sau: Hệ thống Xác suất hỏng bơm Xác suất rò rỉ Xác suất hỏng bơm rò rỉ A 0,07 0,10 0,00 B 0,09 0,12 0,06 Theo ý bạn, nên chọn hệ thống để việc sản xuất bị gián đoạn hơn? Nếu lắp đặt hai hệ thống A B chúng hoạt động độc lập, xác suất để hai ngưng hoạt động bao nhiêu? 1.6. Cho A B hai biến cố khơng gian xác suất, với Xác su t − Th ng kê 22 P(A) = , P(B) = Ph m Đ c Thơng P(A ∪ B) = . Tính xác suất để (a) A xảy ra, biết B xảy ra; (b) B xảy ra, biết A xảy ra; (c) A B khơng xảy ra; (d) có A xảy ra; (e) A xảy ra, biết B khơng xảy ra; (f) B khơng xảy ra, biết A khơng xảy ra. 1.7. Một cơng ty cần tuyển nhân viên. Có người, gồm nam nữ nạp đơn xin dự tuyển, người có hội tuyển nhau. Tính xác suất để người tuyển, (a) có nam; (b) có nữ; (c) có khơng q hai nam; (d) có ba nữ, biết có nữ tuyển. 1.8. Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số khách hàng đến cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách 15% khách thực hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên khách nhà sách. Tính xác suất để người (a) khơng thực hai điều trên; (b) khơng mua sách, biết người hỏi nhân viên bán hàng. 1.9. Cho ba biến cố A, B C khơng gian xác suất, có xác suất tương ứng: P(A) = 0,7; P(B) = 0,6; P(C) = 0,5; P(AB) = 0,4; P(BC) = 0,2; P(AC) = 0,3 P(ABC) = 0,1. Tính xác suất để (a) biến cố A, B C khơng xảy ra; (b) có hai biến cố A, B C xảy ra; (c) có biến cố A, B C xảy ra. 1.10. Một điều tra cho thấy, thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X, 50% dùng loại sản phẩm Y số người dùng Y, có 36,5% dùng X. Phỏng vấn ngẫu nhiên người dân thành phố đó, tính xác suất để người (a) dùng X Y; (b) khơng dùng X, khơng dùng Y; (c) dùng Y, biết người khơng dùng X. 1.11. Cho hai biến cố A B có xác suất dương xung khắc. A B có độc lập khơng? Tại sao? Chư
ng XÁC SU T 23 1.12. Theo điều tra xác suất để hộ gia đình có máy vi tính thu nhập hàng năm 20 triệu (VNĐ) 0,75. Trong số hộ điều tra 60% có thu nhập 20 triệu 52% có máy vi tính. Tính xác suất để hộ gia đình chọn ngẫu nhiên (a) có máy vi tính có thu nhập hàng năm 20 triệu; (b) có máy vi tính, khơng có thu nhập 20 triệu; (c) có thu nhập hàng năm 20 triệu, biết hộ khơng có máy vi tính. 1.13. Trong đội tuyển có hai vận động viên A B thi đấu. A thi đấu trước có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, A thắng trận có 60% khả B thắng trận, A thua khả B 30%. Tính xác suất biến cố sau: (a) Đội tuyển thắng hai trận; (b) B thắng trận; (c) Đội tuyển thắng trận; (d) Đội tuyển thắng có trận. 1.14. Để thành lập đội tuyển quốc gia mơn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng. Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vòng thứ vòng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vòng thứ hai. Để vào đội tuyển, thí sinh phải vượt qua vòng thi Tính xác suất để thí sinh (a) vào đội tuyển; (b) bị loại vòng thứ ba; (c) bị loại vòng thứ hai, biết thí sinh bị loại. 1.15. Một lơ hàng có sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lơ hàng. Tính xác suất để sau lần kiểm tra, sản phẩm kiểm tra. 1.16. Một lớp học Trường Đại học AG có 2/3 nam sinh viên 1/3 nữ sinh viên. Số sinh viên q An Giang chiếm tỉ lệ 40% nữ sinh viên, chiếm tỉ lệ 60% nam sinh viên. (a) Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp. Tính xác suất để chọn sinh viên q An Giang. Nếu biết sinh viên vừa chọn q An Giang xác suất để sinh viên nam bao nhiêu? (b) Chọn ngẫu nhiên khơng hồn lại hai sinh viên lớp. Tính xác suất để có sinh viên q An Giang, biết lớp học có 60 sinh viên. 1.17. Có ba hộp A, B C đựng lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng 24 Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng (a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc, tính xác suất để lọ loại. (b) Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy lọ thuốc lọ tốt lọ hỏng. Tính xác suất để hộp A chọn. (c) Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, lấy ngẫu nhiên lọ thuốc từ hộp C lọ hỏng. Tính xác suất để (i) lọ hỏng hộp B bỏ sang; (ii) hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C lọ hỏng. 1.18. Trong đội tuyển có vận động viên A, B C thi đấu với xác suất chiến thắng 0,6; 0,7 0,8. Giả sử người thi đấu trận độc lập nhau. Tính xác suất để: (a) đội tuyển thắng trận, (b) đội tuyển thắng trận, (c) A thua trường hợp đội tuyển thắng trận. 1.19. Trong năm học vừa qua, trường đại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt mơn Tốn 34% , thi trượt mơn Tâm lý 20,5%, số sinh viên trượt mơn Tốn, có 50% sinh viên trượt mơn Tâm lý. (a) Gặp ngẫu nhiên sinh viên trường XYZ. Tính xác suất để trượt hai mơn Tốn Tâm lý; đậu hai mơn Tốn Tâm lý. Nếu biết sinh viên trượt mơn Tâm lý xác suất để đậu mơn Tốn bao nhiêu? (b) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên trường XYZ. Nhiều khả có sinh viên thi trượt hai mơn Tốn Tâm lý. Tính xác suất tương ứng. (c) Phải chọn sinh viên trường XYZ cho, với xác suất khơng bé 99%, số có sinh viên đậu hai mơn Tốn Tâm lý. 1.20. Ba máy A, B C xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% 10% tổng số sản phẩm xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy trên, theo thứ tự, 2%, 3% 4%. Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng xí nghiệp, để lẫn lộn sản phẩm máy sản xuất. (a) Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt. Ý nghĩa xác suất lơ hàng gì? (b) Nếu sản phẩm lấy phế phẩm, nhiều khả máy sản xuất? 1.21. Chia ngẫu nhiên vé số, có vé trúng thưởng, cho người (mỗi người tấm). Tính xác suất để người trúng thưởng. 1.22. Trong số bệnh nhân điều trị bệnh viện, có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, Chư
ng XÁC SU T 25 xác suất để chữa khỏi bệnh A, B C, theo thứ tự, 0,7; 0,8 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh bệnh viện. 1.23. Có hai bình sau: Bình A chứa bi đỏ, bi trắng bi xanh; bình B chứa bi đỏ bi trắng. (a) Gieo xúc xắc vơ tư: Nếu mặt mặt xuất chọn ngẫu nhiên bi từ bình B; trường hợp khác chọn ngẫu nhiên bi từ bình A. Tính xác suất để chọn viên bi đỏ. Nếu viên bi trắng chọn, tính xác suất để mặt xúc xắc xuất hiện. (b) Lấy ngẫu nhiên viên bi từ bình A bỏ vào bình B, từ bình B lấy ngẫu nhiên viên bi bi đỏ. Theo ý bạn, viên bi vốn thuộc bình nào? 1.24. Có hai chuồng ni thỏ. Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ nâu; chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu. Từ chuồng bắt ngẫu nhiên để nghiên cứu. Các thỏ lại dồn vào chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba lại bắt ngẫu nhiên thỏ. Tính xác suất để thỏ bắt sau thỏ nâu. 1.25. Đàng dễ thắng hơn, đánh mặt gieo lần xúc xắc vơ tư, hay đánh cặp (6, 6) lần gieo 24 lần cặp xúc xắc vơ tư? (Bài tốn hiệp sĩ De Méré đặt cho nhà tốn học Pascal). 1.26. (Bài tốn Samuel Pepys) Biến cố biến cố sau có xác suất lớn nhất? (a) Có mặt xuất gieo xúc xắc vơ tư; (b) Có hai mặt xuất gieo 12 xúc xắc vơ tư; (c) Có ba mặt xuất gieo 18 xúc xắc vơ tư; 1.27. Ban giám đốc cơng ty liên doanh với nước ngồi xem xét khả đình cơng cơng nhân để đòi tăng lương hai nhà máy A B. Kinh nghiệm cho họ biết đình cơng nhà máy A B xảy với xác suất 0,75 0,65. Ngồi ra, họ biết cơng nhân nhà máy B đình cơng có 90% khả để cơng nhân nhà máy A đình cơng ủng hộ. (a) Tính xác suất để cơng nhân hai nhà máy đình cơng. (b) Nếu cơng nhân nhà máy A đình cơng xác suất để cơng nhân nhà máy B đình cơng để ủng hộ bao nhiêu? 1.28. Một nhân viên kiểm tốn nhận thấy 15% cân đối thu chi chứa sai lầm. Trong chứa sai lầm, 60% xem giá trị bất thường so với số xuất phát từ gốc. Trong tất cân đối thu chi Xác su t − Th ng kê 26 Ph m Đ c Thơng 20% giá trị bất thường. Nếu số bảng cân đối tỏ bất thường xác suất để số sai lầm bao nhiêu? 1.29. Một hãng sản xuất loại tủ lạnh X ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh hãng sản xuất. Trong số người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% khơng đọc quảng cáo mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất để người tiêu dùng mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo. 1.30. Trên bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm bóng mắc song song. Khả bị hỏng bóng 18 thắp sáng liên tục 0,1. Việc hỏng bóng hệ thống xem độc lập. Tính xác suất để (a) hệ thống I bị hỏng; (b) hệ thống II khơng bị hỏng; (c) hai hệ thống bị hỏng; (d) có hệ thống bị hỏng. 1.31. Một lơ hàng gồm nhiều bóng đèn, có 8% bóng đèn xấu. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra có nhiều bóng đèn xấu khơng nhận lơ hàng. Tính xác suất để lơ hàng chấp nhận. 1.32. Một nhóm nghiên cứu nghiên cứu nguy cố nhà máy điện ngun tử gây rò rỉ phóng xạ. Nhóm nghiên cứu nhận thấy loại cố là: hoả hoạn, gãy đổ vật liệu sai lầm người, hay nhiều cố khơng xảy ra. Nếu có hỏa hoạn rò rỉ phóng xạ xảy khoảng 20% số lần. Nếu có gãy đổ vật liệu rò rỉ phóng xạ xảy khoảng 50% số lần, có sai lầm người rò rỉ xảy khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu tìm xác suất để: Hoả hoạn rò rỉ phóng xạ xảy 0,0010, gãy đổ vật liệu rò rỉ phóng xạ xảy 0,0015, sai lầm người rò rỉ phóng xạ xảy 0,0012. Tìm xác suất để (a) có hoả hoạn; có gãy đổ vật liệu có sai lầm người; (b) có rò rỉ phóng xạ; (c) rò rỉ phóng xạ gây sai lầm người. 1.33. Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc 30%. Biết tỉ lệ người bị viêm họng số người nghiện thuốc 60%, tỉ lệ số người khơng nghiện thuốc 40%. Chọn ngẫu nhiên người từ địa phương trên. Chư
ng XÁC SU T 27 (a) Nếu người bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc lá. (b) Nếu người khơng bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc lá. 1.34. Một nhà xuất gửi giới thiệu sách đến 80% giảng viên trường đại học. Sau thời gian, nhà xuất nhận thấy: Có 30% giảng viên mua sách số người nhận giới thiệu, số giảng viên khơng nhận giới thiệu, có 10% mua sách . Tìm tỉ lệ giảng viên nhận giới thiệu số người mua sách. 1.35. Ba lơ thuốc A, B C chứa nhiều chai thuốc. Tỉ lệ chai thuốc hỏng lơ, theo thứ tự, 0,1, 0,08 0,05. (a) Lấy từ lơ chai thuốc. Tính xác suất để chai tốt chai hỏng. (b) Chọn ngẫu nhiên lơ từ lấy chai. Tính xác suất để chai tốt chai hỏng. (c) Lấy ngẫu nhiên 10 chai thuốc từ lơ A nhiều khả có chai hỏng? Tính xác suất để có nhiều hai chai hỏng. (d) Kiểm tra chai thuốc lơ B phát lọ hỏng dừng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần lấy thứ 10. 1.36. (a) Xác suất để loại vi trùng S kháng loại thuốc A, B C, theo thứ tự, 5%, 10% 20%. Nếu dùng loại thuốc để diệt vi trùng S S bị diệt với xác suất bao nhiêu? (giả sử tác dụng loại thuốc độc lập nhau). (b) Nếu dùng riêng rẽ loại thuốc A, B C để điều trị loại bệnh K tỉ lệ khỏi bệnh, theo thứ tự, 90%, 80% 70%. Nếu dùng phối hợp loại thuốc khả khỏi bệnh bao nhiêu? (bỏ qua tương tác loại thuốc) 1.37. Một cơng ty dự định tung vào thị trường sản phẩm mới. Theo ước tính ban đầu ban quản trị thị trường tốt với xác suất 0,55. Để có thêm thơng tin, ban giám đốc th cơng ty tư vấn nghiên cứu thị trường. Được biết, thành tích cơng ty tư vấn là: Cho kết với thị trường tốt 80%, kết với thị trường xấu 85%. Vậy, xác suất để thị trường tốt, thị trường xấu sau th nghiên cứu bao nhiêu? 1.38. Nhà trường muốn chọn số học sinh từ tổ gồm nam sinh nữ.sinh. Lần đầu chọn ngẫu nhiên học sinh; sau đó, chọn tiếp học sinh nữa. (a) Tính xác suất để học sinh chọn lần sau nam sinh. (b) Biết học sinh chọn lần sau nữ sinh, tính xác suất để hai học sinh chọn lần đầu nam sinh. 1.39. Số liệu thống kê bệnh lao phổi địa phương cho biết: Có 15% số người làm nghề đục đá (LNĐĐ) bị lao phổi; có 50% số người khơng LNĐĐ khơng bị lao phổi; có 25% số người LNĐĐ khơng bị lao phổi. 28 Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng Ngồi ra, tỉ lệ người khơng LNĐĐ bị lao phổi 10%. Chúng ta kết luận mối quan hệ nghề đục đá bệnh lao phổi? 1.40. Giả sử xét nghiệm X cho kết dương tính (+) người nhiễm HIV với xác suất 95% cho kết (+) người khơng nhiễm HIV với xác suất 1%. Một người đến từ địa phương có tỉ lệ nhiễm HIV 1% làm xét nghiệm X cho kết (+). Tính xác suất để người thực nhiễm HIV. 1.41. Có hai lơ sản phẩm. Lơ thứ có tỉ lệ sản phẩm loại 90%, lơ thứ hai có tỉ lệ sản phẩm loại 70%. Chọn ngẫu nhiên lơ từ lơ lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại 1. Trả lại sản phẩm vào lơ chọn, từ lơ lấy ngẫu nhiên sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai loại 1. 1.42. Quan sát kiện hàng, kiện chứa 10 sản phẩm. Kiện thứ có sản phẩm loại 1, kiện thứ hai có sản phẩm loại kiện thứ ba có sản phẩm loại 1. (a) Từ kiện lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm để kiểm tra. Nếu sản phẩm lấy loại mua kiện hàng đó. Tính xác suất để có kiện hàng mua. (b) Chọn ngẫu nhiên kiện hàng từ kiện hàng cnọn, lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm sản phẩm loại 1. Nếu từ kiện đó, lấy tiếp sản phẩm xác suất để lấy sản phẩm loại bao nhiêu? 1.43. Một hộp chứa 15 lọ thuốc, có lọ hỏng. Lấy lọ khơng hồn lại để kiểm tra, gặp lọ hỏng dừng. (a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lọ thứ ba; lọ thứ sáu (b) Nếu việc kiểm tra dừng lại lọ thứ sáu, tính xác suất để lọ kiểm lọ hỏng. 1.44. Từ lơ hàng có nhiều với tỉ lệ hỏng 5%, người ta chọn ngẫu nhiên để kiểm tra. (a) Hỏi phải kiểm tra để xác suất có hỏng khơng bé 90% ? (b) Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát hỏng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10. 1.45. Một hộp có 10 sản phẩm hồn tồn khơng biết chất lượng. Mọi giả thiết số sản phẩm tốt có hộp lúc đầu đồng khả năng. Lấy ngẫu nhiên sản phẩm (khơng hồn lại) thấy tốt. Nếu lấy tiếp sản phẩm theo ý bạn sản phẩm tốt hay xấu? Tại sao? 1.46. Một người mua thùng hàng gồm sản phẩm. Giả sử người hồn tồn khơng biết thơng tin chất lượng sản phẩm thùng. Mọi giả thiết số sản phẩm tốt có thùng đồng khả năng. Sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm thùng để kiểm tra thấy sản phẩm Chư
ng XÁC SU T 29 tốt. Anh ta khơng kiểm tra nữa, tin sản phẩm lại sản phẩm tốt. Bạn dùng kiến thức lý thuyết xác suất để chứng tỏ niềm tin có sở. 1.47. Hộp thứ có sản phẩm loại A sản phẩm loại B; hộp thứ hai có sản phẩm loại A sản phẩm loại B. (a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm. (i) Tính xác suất để sản phẩm loại A; (ii) Giả sử lấy sản phẩm loại B sản phẩm loại A. Nhiều khả sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao? (b) Lấy ngẫu nhiên hộp, lấy ngẫu nhiên từ sản phẩm. Tính lại câu (i) (ii) phần (a). 1.48. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử với 96% sản phẩm có chất lượng cao. Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có đặc điểm: 2% sản phẩm có chất lượng cao lại khơng cơng nhận 5% sản phẩm khơng có chất lượng cao lại cơng nhận. Hãy tính xác suất để sau kiểm tra, sản phẩm cơng nhận có chất lượng cao sản phẩm có chất lượng cao. 1.49. Một máy cấu tạo loại linh kiện. Linh kiện loại chiếm 35%, loại chiểm 25% loại chiếm 40% tổng số linh kiện máy. Xác suất hư hỏng loại linh kiện 1, sau tháng hoạt động 15%, 25% 5%. Máy làm việc dừng lại. Hãy tính xác suất để loại linh kiện bị hỏng, biết máy dừng lại có linh kiện bị hỏng, loại linh kiện khơng hỏng đồng thời. 1.50. Một xưởng (bên A) ký kết hợp đồng với cơng ty thương mại (bên B) sản xuất viết cho học sinh. Viết xuất xưởng dạng đóng gói thành hộp, hộp chứa 100 cây. Hộp có khơng q viết hỏng coi hộp tốt. Khi giao hàng, bên B mở hộp lấy ngẫu nhiên hộp viết để kiểm tra; tất tốt hộp nhận, ngược lại, hộp bị trả lại. Tính xác suất để (a) bên B bác bỏ nhầm hộp tốt; (b) bên B nhận nhầm hộp khơng tốt có viết hỏng. 1.51. Một cặp trẻ sinh đơi cặp sinh đơi thật, trứng sinh ra; trường hợp này, xảy với xác suất p (0 < p < 1), chúng có giới tính. Nếu chúng trứng khác sinh xác suất để chúng có giới tính 0,5. Bây giờ, gặp ngẫu nhiên cặp sinh đơi có giới tính xác suất để chúng cặp sinh đơi thật bao nhiêu? 1.52. Một cơng ty bột giặt đưa loại bột giặt X. Sau thời gian theo dõi thị trường, kết là: số người dùng bột giặt X tháng có 75% tiếp tục dùng tháng kế tiếp, số người dùng loại bột giặt khác có 35% chuyển sang dùng bột giặt X tháng kế tiếp. 30 Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng Hiện có 50% số người dùng bột giặt dùng bột giặt X. Tính xem sau tháng có phần trăm số người dùng bột giặt sử dụng bột giặt X. 1.53. Giả sử bạn đem giao lơ hàng, nhiều sản phẩm, mà bạn biết có tỉ lệ phế phẩm 10%. Người nhận hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, có q k phế phẩm khơng nhận lơ hàng. Bạn đề nghị k để vừa thuyết phục người nhận, vừa hy vọng khả lơ hàng khơng bị từ chối 95%? 1.54. Ba cơng nhân sản xuất loại sản phẩm. Xác suất để người thứ thứ hai làm phẩm 0,9; xác suất để người thứ ba làm phẩm 0,8. Một người số làm sản phẩm, thấy có phế phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm tiếp theo, người sản xuất ra, có phẩm. 1.55. Có hai lơ sản phẩm: Lơ 1: Có a phẩm b phế phẩm (a > b > 0); lơ 2: Có c phẩm d phế phẩm (c > d > 0) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ bỏ sang lơ 2, sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ bỏ sang lơ 1, sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ 1. Tính xác suất để sản phẩm lấy sau phẩm. 1.56. Trong kho rượu, số lượng rượu loại A rựơu loại B nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên chai rượu kho đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định xem loại rượu nào. Giả sử người có khả đốn 75%. Có người kết luận chai rượu thuộc loại A người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy, chai rượu chọn thuộc loại A với xác suất bao nhiêu? 1.57. Có 10 cặp vợ chồng ngồi chờ phòng đợi. Chọn ngẫu nhiên người. Tính xác suất để số (a) khơng có cặp vợ chồng nào; (b) có hai cặp vợ chồng. 1.58. Một lơ hàng, ban đầu, có m sản phẩm tốt n sản phẩm xấu. Một sản phẩm bị mà khơng biết loại tốt hay loại xấu. Bây giờ, người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm lơ hàng sản phẩm tốt. Tính khả sản phẩm bị sản phẩm tốt. 1.59. Có ba hộp phấn. Hộp thứ có viên phấn trắng viên phấn vàng, hộp thứ hai có viên phấn đỏ viên phấn vàng, hộp thứ ba có 10 viên phấn trắng. Chọn ngẫu nhiên viên phấn hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai, sau đó, chọn ngẫu nhiên viên hộp thứ hai, bỏ vào hộp thứ ba. Sau cùng, chọn ngẫu nhiên viên hộp thứ ba, bỏ vào hộp thứ nhất. Tính xác suất để sau bỏ xong viên phấn vào hộp thứ nhất, hộp thứ viên phấn trắng viên phấn vàng. Chư
ng XÁC SU T 31 1.60. Một nhà máy có hai phân xưởng PX1 PX2. Tỉ lệ phế phẩm PX1 1%, PX2 2%. Từ lơ sản phẩm gồm 40% sản phẩm PX1 60% sản phẩm PX2, người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra. (a) Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra, có sản phẩm tốt. (b) Giả sử sản phẩm kiểm tra sản phẩm tốt. Nếu lấy tiếp sản phẩm từ lơ hàng xác suất lấy sản phẩm tốt bao nhiêu? 1.61. Biết người có nhóm máu AB nhận máu nhóm nào.Nếu người có nhóm máu lại (A B O) nhận máu người nhóm máu với người có nhóm máu O. Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu A, B, AB O, theo thứ tự, 37,5%, 20,9%, 7,9% 33,7%. (a) Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu. Tính xác suất để truyền máu thực được. (b) Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu hai người cho máu. Tính xác suất để truyền máu thực được. 1.62. Một người từ địa phương có tỉ lệ bệnh B 0,001 đền khám bệnh. Cho người làm xét nghiệm T1, kết dương tính; cho làm tiếp xét nghiệm T2, thấy kết dương tính. (T1 dùng để sàng lọc người có nguy bị bệnh B; T2 dùng để chẩn đốn bệnh người mà T1 cho kết dương tính).Tính khả người mắc bệnh B. Biết T1 có khả cho kết dương tính người mắc bệnh 93% cho kết sai 5% người khơng mắc bệnh; T2 khả chẩn đốn 95% người mắc bệnh có 7% người khơng có bệnh lại cho kết dương tính. 1.63. Một người bệnh xác định mắc hai bệnh A B. số liệu thống kê cho thấy xác suất mắc bệnh A cao gấp đơi xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện cho người bệnh làm hai xét nghiệm T1 T2 độc lập nhau. Biết có bệnh A T1 cho kết dương tính với xác suất 0,9, T2 cho kết dương tính với xác suất 0,75. Nếu có bệnh B T1 cho kết dương tính với xác suất 0,05, T2 cho kết dương tính với xác suất 0,1. Giả sử hai xét nghiệm T1 T2 cho kết dương tính. Tính xác suất để người bệnh mắc bệnh A. 1.64. Một người nghi ngờ bị bệnh B, với P(B) = 0,3, cho làm xét nghiệm T. Xét nghiệm T trả dương tính (T+) âm tính (T−). Trong số người (T+) có 80% bị bệnh B; số người (T−) có 90% khơng bị bệnh này. (a) Tính khả báo dương tính người bị bệnh B khả báo âm tính người khơng bị bệnh B xét nghiệm T. (b) Khả kết xét nghiệm (T+) người bao nhiêu? 32 Xác su t − Th ng kê Ph m Đ c Thơng 1.65. Phân phối đa thức Giả sử khơng gian xác suất phân hoạch biến cố A1, A2, . . ., Ar, với xác suất tương ứng p1, p2, . . ., pr. (dĩ nhiên p1 + p2 + . . . + pr = 1). Chứng minh dãy n phép thử độc lập tương ứng với khơng gian xác suất trên, xác suất p để A1 xảy k1 lần, A2 xảy k2 lần, . . ., Ar xảy kr lần, tính bởi: p = n! k k k p1 . p2 . . . pr r k1 ! k2 ! . . . kr ! k1 + k2 + . . . + kr = n. Mơ hình gọi mơ hình Phân phối xác suất đa thức. (i) Một xúc xắc vơ tư gieo lần. Tính xác suất để mặt mặt xuất mặt lần, mặt lại xuất mặt lần. (ii) Một hộp chứa viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi xanh. Một viên bi chọn ngẫu nhiên từ hộp, xem bi màu gì, trả lại hộp, lại chọn ngẫu nhiên viên bi. Tính xác suất để viên bi chọn theo cách trên, có bi màu đỏ, bi màu trắng bi màu xanh. [...]... (9) (9) ư c g i là công th c xác su t theo gi thi t Các xác su t P(Hi) và P(A/ Hi) thư ng ư c bi t trư c khi th c hi n phép th và ư c g i là các xác su t ti n nghi m, còn các xác su t P ( H i / A ) , cho bi t kh năng tham gia c a Hi Xác su t − Th ng kê 14 Ph m c Thông vào vi c x y ra bi n c A, ư c g i là xác su t h u nghi m Chúng ta có th tính xác su t h u nghi m t các xác su t ti n nghi m : P( Hi... không thu c bài Hãy d oán xem, hôm nay, l p có bao nhiêu h c sinh không thu c bài? Gi i Gi s trong l p có x h c sinh không thu c bài, xác su t ư c g i ng u nhiên, u không thu c bài là: hai h c sinh, Xác su t − Th ng kê 20 C2 x 2 C50 th = Ph m c Thông x ( x −1) 50 49 Bi n c “hai h c sinh ư c g i lên u không thu c bài x y ra ngay phép u tiên, nên không ph i là m t bi n c hi m Theo nguyên lý bi n c h... sinh viên trư t môn Tâm lý (a) G p ng u nhiên m t sinh viên c a trư ng XYZ Tính xác su t anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; u c hai môn Toán và Tâm lý N u bi t r ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t anh ta u môn Toán là bao nhiêu? (b) Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a trư ng XYZ Nhi u kh năng nh t là s có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn Toán và Tâm lý Tính xác su t tương ng (c) Ph... ư c xác nh là m c m t trong hai b nh A ho c B s li u th ng kê cho th y xác su t m c b nh A cao g p ôi xác su t m c b nh B B nh vi n cho ngư i b nh làm hai xét nghi m T1 và T2 c l p nhau Bi t r ng n u có b nh A thì T1 cho k t qu dương tính v i xác su t 0,9, còn T2 cho k t qu dương tính v i xác su t 0,75 N u có b nh B thì T1 cho k t qu dương tính v i xác su t 0,05, còn T2 cho k t qu dương tính v i xác. .. ph i l y ít nh t 99 h t gi ng 7 NGUYÊN LÝ BI N C HI M Chúng ta ã bi t, m t trong nh ng cơ s c a khái ni m xác su t c a m t bi n c là tính n nh t n su t c a bi n c ó Như v y quy lu t xác su t s xu t hi n khi có m t s l n các phép th Tuy nhiên, trong th c t , khi ch ti n hành m t phép th , nguyên lý sau ây, g i là Nguyên lý bi n c hi m, s ư c áp d ng M t bi n c có xác su t r t bé là bi n c r t khó x y... t ư c cho trong b ng sau: H th ng Xác su t h ng bơm Xác su t rò r Xác su t h ng bơm và rò r A 0,07 0,10 0,00 B 0,09 0,12 0,06 Theo ý b n, nên ch n h th ng nào vi c s n xu t ít b gián o n hơn? N u l p t c hai h th ng A và B và chúng ho t ng c l p, thì xác su t c hai cùng ngưng ho t ng là bao nhiêu? 1.6 Cho A và B là hai bi n c trong cùng m t không gian xác su t, v i Xác su t − Th ng kê 22 P(A) = 1 ,...Ch

ng 1 XÁC SU T P( A / H ) = P( A H ) P( H ) 11 (5) và g i i lư ng ó là xác su t i u ki n c a bi n c A v i gi thi t H (ho c khi H ã x y ra) Tính xác su t có i u ki n c a nh ng bi n c khác nhau trên cùng m t gi thi t H ch ng khác gì ch n H làm không gian m u m i Do ó các công th c v xác su t các ph n trên v n úng cho xác su t có i u ki n Ch ng h n: * P (A / H) =... k t qu xét nghi m là (T+) c a ngư i này là bao nhiêu? Xác su t − Th ng kê 32 Ph m c Thông 1.65 Phân ph i a th c Gi s m t không gian xác su t ư c phân ho ch b i các bi n c A1, A2, , Ar, v i các xác su t tương ng là p1, p2, , pr (dĩ nhiên p1 + p2 + + pr = 1) Ch ng minh r ng trong m t dãy n phép th c l p tương ng v i không gian xác su t trên, xác su t p A1 x y ra k1 l n, A2 x y ra k2 l n, , và... hàng là: [(75 + 1) 0,08] = 6, v i xác su t tương ng: Ch

ng 1 XÁC SU T 19 P75(6) = C6 (0, 08)6 (0, 92)69 = 0,16745 75 6.3.2 Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l h t lép là 3% nghiên c u H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ? Gi i G i n là s h t ph i l y, chúng ta có B(n; 0,03) Xác su t h t lép là 1 − (1 − 0,03)n... H ) − P ( AB / H ) T công th c (5), chúng ta có 4.2 nh lý chúng ta có: V i m i bi n c A và B trong m t không gian xác su t, P( AB ) = P( B ).P( A / B ) neáu P(B ) > 0; P( AB ) = P( A).P( B / A) neáu P(A) > 0 (6) Ngư i ta g i (6) là Công th c nhân xác su t Công th c (6) có th ư c m r ng b ng phép qui n p như sau: 4.3 H qu Trong m t không gian xác su t, cho các bi n c A1, A2, , An (n ≥ 2) th a mãn . ñó, người ta ñã nghiên cứu và ñưa vào sử dụng lý thuyết xác suất 1. PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ Lý thuyết xác suất, hiện nay, là một lý thuyết toán học ñược xây dựng chặt chẽ trên. Phần thứ nhất Lý thuyết xác suất XS TK 2008 2 Xác sut − −− − Thng kê    Phm Đc Thông Chương 1 Xác suất Trong. này ñược xác ñịnh bởi một hệ tiên ñề. Tuy nhiên, vì giáo trình này không ñi sâu vào lĩnh vực thuần tuý toán học của lý thuyết xác suất, nên chúng ta sẽ không ñề cập ñến hệ tiên ñề về xác suất.