Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x + y + xy = xy + 3x = 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nghiệm nguyên: 4x + 4mx + 2m 5m + = Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: + x2 ( + x ) A= + x2 2) Cho trớc số hữu tỉ m cho ( x) với x m số vô tỉ. Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 + b m + c = Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) = 2010 . Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số. 2 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x 4x + x + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN. Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E ã ã cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K cho DMK . Chứng = NMP minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK. Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt. Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. -----------------------Hết----------------------Họ tên thí sinh : Số báo danh : . Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x + y + xy = (1) (2) xy + 3x = Từ (2) x 0. Từ y = 3x , thay vào (1) ta có: x 0.25 3x 3x x + =3 ữ + x. x x 7x 23x + 16 = 16 Giải ta đợc x = x = 16 7 x= y=m 7 7 7 ; Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ữ ữ; ; ữ ữ 7 Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' Từ x = x = y = ; x = 2) 1,0điểm câu II 1) 2,5 điểm 1,5điểm m 5m + (m 2)(m 3) . Vì (m - 2) > (m - 3) nên: x ' m m m 3, mà m Z m = m = 3. Khi m = x ' = x = -1 (thỏa mãn) Khi m = x ' = x = - 1,5 (loại). Vậy m = 2. Đặt a = + x; b = x (a, b 0) 2 2 a + b = 4; a b = 2x + ab ( a b3 ) + ab ( a b ) ( a + b + ab ) A= = + ab + ab + ab ( a b ) ( + ab ) A= = + ab ( a b ) + ab A = + 2ab ( a b ) A 2= 2) 1,0điểm (a ) + b + 2ab ( a b ) = ( a + b ) ( a b ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A = a b = 2x A = x 0.25 0.25 a m + b m + c = (1) Giả sử có (1) b m + c m + am = (2) Từ (1), (2) (b ac) m = (a m bc) 0.25 a m bc số hữu tỉ. Trái với giả thiết! b2 ac b ac = b3 = abc a m bc = bc = am Nếu a m bc m = b số hữu tỉ. Trái với giả a thiết! a = 0;b = . Từ ta tìm đợc c = 0. Ngợc lại a = b = c = (1) đúng. Vậy: a = b = c = 0.25 b3 = a m b = a m . Nếu b m = câu III 1) điểm 1,0điểm 2) 1,0điểm Theo f(x) có dạng: f(x) = ax + bx + cx + d với a nguyên dơng. Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) M3 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) hợp số P= ( x 2) + 12 ( x + 3) OA = ( x x 3) ( x 2) điểm K B C N 2) 1,25điểm E A 0.25 0.25 0.25 + 12 , OB = ( x + 3) + 12 + 22 ( x + 3) + 2 26 Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 = x = .Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x+3 OB. Vậy Max P = 26 x = 7. Ta dễ dàng chứng minh tứ giác 1) ã ã MBAN nội tiếp MAB , = MNB 0,75điểm ã ã M MCAP nội tiếp CAM . = CPM D 0.25 + ( ) = 25 + = 26 ( x 2) Mặt khác ta có: OA OB AB câuIV 0.25 0.25 + 22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB = 0.25 P ã ã Lại có BNM = CPM (cùng phụ góc NMP) ã ã (1) CAM = BAM Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA trung trực DE MD = ME 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 M K B C D N E P A ã ã Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: = NAB ã ã ã ã + DEK = 1800 NMB + NAB = 1800 NMB ã ã ã ã Theo giả thiết DMK DMK + DEK = 1800 = NMP Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA = MDA ã ã ã ã MEA . = MDA MEK = MDC ã ã ã ã DM phân giác góc CDK, kết hợp Vì MEK = MDK MDK = MDC với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK. câu V 0.25 0.25 0.25 0.25 A' điểm B' B O C A D' D Không tổng quát giả sử:AB AC. Gọi B điểm cung ẳ AB ' = CB ' ABC Trên tia đối BC lấy điểm A cho BA = BA AB + BC = CA ' ã 'BC = B ã ' AC = B ã 'CA (1) ; B ã 'CA + B ã 'BA = 1800 Ta có: B (2) ã 'BA = B ã 'BA ' ã 'BC + B ã 'BA ' = 1800 (3);Từ (1), (2), (3) B B Hai tam giác ABB ABB A 'B ' = B 'A Ta có B' A + B 'C = B 'A '+ B 'C A 'C = AB + BC ( BA + BC không đổi B, A, C cố định). Dấu = xảy B trùng với B. ẳ Hoàn toàn tơng tự gọi D điểm cung ADC ta có AD + CD AD + CD. Dấu = xảy D trùng với D. Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 ằ đờng tròn (O) cung AC Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải cho điểm tối đa. Bài 1: (1,5 điểm) Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 đề thức Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Cho a = : +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm. Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy y = a) Giải hệ phơng trình: xy y = x ( ) b) Tìm m để phơng trình x 2x 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt. Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho 5. b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O. Gọi M điểm cung AB nhỏ. D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B). DM cắt AB C. Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi. Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc nhau. Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ. ------------ Hết -----------Họ tên thí sinh: .. . Số báo danh: ..Phòng thi số: . . Chữ ký giám thị . . . Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x + = x + 2x + = x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận làm nghiệm 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 2: (2,5 điểm) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y a) ĐK: x, y y x y xy = = (2) x y x Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y . 3y 16 y. + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = . Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) Đặt x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt 0,25 đ > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ m < < m < m > Vậy với < m < phơng trình có nghiệm phân biệt. 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố. - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố. - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố. 0,25 đ 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố. Do k M5 ( ) 2 b) Ta chứng minh: Với a, b, c ( a + b + c ) a + b + c (*) Thật (*) a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p p a + p b + p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) 0,5 đ N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD 0,5 đ Do MBC MDB đồng dạng MB MD = MB.BD = MD.BC Suy BC BD 0,5 đ ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã hay MBC = ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = 0,5 đ ã ã BJC 180 O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB 0,5 đ c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN 0,5 đ Chứng minh tơng tự: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) 0,5 đ A E F a B b h c M K D G H g d f e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có (8 2).180O số đo là: = 135O 0,25 đ Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân. h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d +a+ = +e+ Ta có AB = CD nên: 2 2 (e - a) = h + b - f - d h +bf d Ô (điều vô lý số vô tỉ) Nếu e - a = ea Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (đpcm). ------------ Hết ---------S GIO DC BèNH NH BèNH NH 1(1.5im) Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng: 1< a b c + + 0 v a< b+c ,b< a + c , c < a+b a a+ a 2a < = b+ c a+ b+ c a+ b+ c a a > Mt khỏc b+ c a+ b+ c a a 2a < < (1) Vy ta cú a+ b+ c c+ b a+ b+ c b b 2b c c 2a < < (2); < < (3) Tng t a+ b+ c c+ a a+ b+ c a+ b+ c b+ a a+ b+ c Nờn ta cú Cng (1) (2) v (3) v theo v ta cú iu phi chng minh. Bi 2: K: x m, n, p PT ó cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta cú ' = (m + n + p)2 - 3(mn + mp + np) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp1 3np = m2+n2+p2 mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 t f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta cú f(m) = 3m2 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 mn mp +np = (m-n) (m-p) = >m,n,p khụng phi l nghim ca pt(1) Vy PT ó cho luụn cú hai nghim phõn bit Bi b) x 3x = x + y = x + y = c) Bài II : a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = - x2 đờng thẳng (d) y = x - hệ trục toạ độ . b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) câu phép tính. Bài III : Thu gọn biểu thức sau : a) A = + x +1 x x x + 2x x ữ ữ x . ữ b) B = ữ x4 x+4 x +4 với x > 0, x Bài IV: Cho phơng trình x2 - 2mx - = ( m tham số ) a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm với m. b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình . Tìm m để x12 + x22 x1 x2 = Bài V: Từ điểm M nằm đờng tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tuyến tuyến MA , MB đến đờng tròn (O) A , B tiếp điểm C nằm M D. a) Chứng minh : MA2 = MC.MD b) Gọi I trung điểm CD . Chứng minh điểm M, A, O, I, B nằm đờng tròn . c) Gọi H giao điểm AB MO . Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đờng tròn . Suy AB đờng phân giác góc CHD. d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đờng tròn (O) . Chứng minh điểm A, B, K thẳng hàng. ỏp ỏn K THI TUYN SINH LP 10 THPT NM HC: 2008 2009 TP.HCM Mụn thi : TON Cõu 1: a) cú a + b + c = nờn cú nghim l x = hay b) ét , phng trỡnh : (1) thnh Phng trỡnh ny cú dng a - b + c = nờn cú nghim l t = -1 (loi) hay . Do ú, c) Cõu 2: a) V th: b) Phng trỡnh honh giao im ca (P) v (D) l nghim ca phng trỡnh: Ta cú: y(1) = - = -1; y(-2) = -2 - = -4 Ta giao im ca (D) v (P) l (1; -1); (-2; -4) Cõu 3: a) b) iu kin: x - 0; x + Vi iu kin (*) thỡ: + 0; 0; x Cõu 4: a) Ta cú : a.c = -1 < 0, phng trỡnh cú nghim phõn bit trỏi du vi x 4; x > (*) b) Theo nh lý Viet ta cú ; vi Cõu 5: a) Chng minh : Vỡ tớnh cht phng tớch ca tip tuyn nờn ta cú b) Chng minh: M, A, O, I, B cựng nm trờn ung trũn Vỡ nờn im B, A, I cựng nhỡn OM di mt gúc vuụng. Vy im B, A, I, M, O cựng ni tip ng trũn ng kớnh OM c) T h thc lng tam giỏc vuụng ta cú: (c.g.c) Ta cú: M ni tip (chng minh trờn) ( cựng chn cung DO) (tam giỏc COD cõn ti O) l phõn giỏc ca gúc CHD d) K l trc tõm ca tam giỏc CDO thng hng. ( chn na ng trũn ng kớnh KO) M D dng suy A, H, K thng hng suy A, B, K thng hng. S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT Nm hc 2008 -2009 đề thi số 58 Mụn: TON Thi gian lm bi 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) I. Phn trc nghim (4, im) Chn ý ỳng mi cõu sau v ghi vo giy lm bi.Vớ d: Nu chn ý A cõu thỡ ghi 1A. Cõu 1. Giỏ tr ca biu thc (3 5) bng A. B. C. D. Cõu 2. ng thng y = mx + song song vi ng thng y = 3x A. m = B. m = C. m = D. m = Cõu 3. x = x bng A. 10 B. 52 C. 46 D. 14 Cõu 4. im thuc th hm s y = 2x l A. ( 2; 8) B. (3; 12) C. ( 1; 2) D. (3; 18) Cõu 5. ng thng y = x ct trc honh ti im cú to l A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0; 2) D. ( 2; 0) Cõu 6. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH. Ta cú A. sin B = AC AB B. sin B = AH AB AB BC C. sin B = D. sin B = BH AB Cõu 7. Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy bng r v chiu cao bng h. Din tớch xung quanh ca hỡnh tr ú bng A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh Cõu 8. Cho hỡnh v bờn, bit BC l ng kớnh ca ng trũn (O), im A nm trờn ã ng thng BC, AM l tip tuyn ca (O) ti M v MBC = 650 . M S o ca gúc MAC bng 650 0 0 A A. 15 B. 25 C. 35 D. 40 O B II. Phn t lun (6,0 im) Bi 1. (1,5 im) a) Rỳt gn cỏc biu thc: 45 + 20 ; M=2 5- ổ N =ỗ ỗ ỗ ố3 - C - 3+ 5- ữ ì ữ ữ5 - . 5ứ b) Tng ca hai s bng 59. Ba ln ca s th nht ln hn hai ln ca s th hai l 7. Tỡm hai số ú. Bi 2. (1,5 im) Cho phng trỡnh bc hai x2 - 5x + m = (1) vi x l n s. a) Gii phng trỡnh (1) m = 6. b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim dng x1, x2 tho x1 x + x x1 = . Bi 3. (3,0 im) Cho ng trũn (O) ng kớnh AB bng 6cm. Gi H l im nm gia A v B cho AH = 1cm. Qua H v ng thng vuụng gúc vi AB, ng thng ny ct ng trũn (O) ti C v D. Hai ng thng BC v DA ct ti M. T M h ng vuụng gúc MN vi ng thng AB (N thuc ng thng AB). a) Chng minh MNAC l t giỏc ni tip. ã b) Tớnh di on thng CH v tớnh tg ABC . c) Chng minh NC l tip tuyn ca ng trũn (O). d) Tip tuyn ti A ca ng trũn (O) ct NC E. Chng minh ng thng EB i qua trung im ca on thng CH. S GIO DC V O K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT TO QUNG NAM Nm hc 2008 -2009 HNG DN CHM MễN TON I. Hng dn chung 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh. 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi. 3) im ton bi ly im l n 0,25. II. ỏp ỏn v thang im 1. Phn trc nghim (4,0 im) - HS chn ỳng mi cõu cho 0,5 im. - ỏp ỏn Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu A C B D A B C D 2. Phn t lun (6,0 im) Bi ỏp ỏn im a) Bin i 0,25 M = 5 +4 = (1,5) ổ 1 5- 3+ ữ N =ỗ ì = ữ ỗ ữ ỗ ố3 - + ứ - = - (3 9- 5) ì 1 ì = 5- 5( - 1) 0,25 0,25 b) Gi x l s th nht, y l s th hai. ỡù x + y = 59 Theo bi ta cú: ùớ ùùợ 3x - 2y = Gii h phng trỡnh tỡm c x = 25, y = 34. Kt lun hai s cn tỡm l 25 v 34. 0,25 a) Khi m = 6, ta cú PT x2 - 5x + = Lp = 52 - 4.6 = Tỡm c hai nghim: x1 = 2; x2 = b) Lp = 25 - 4m 0,25 0,5 Phng trỡnh cú nghim x1, x2 hay m 0,25 0,25 25 p dng h thc Viet, ta cú x1 + x2 = ; x1.x2 = m ùỡ x1 + x > Hai nghim x1, x2 dng ùớù hay m > 0. ùợ x1x > iu kin phng trỡnh cú nghim dng x1, x2 l (1,5) 0,25 0 t = => m = (tho (*)). * 2t2 + 9t + 18 = : phng trỡnh vụ nghim. Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim dng x1, x2 tho x1 x + x x1 = . Hỡnh v phc v a) M Hỡnh v phc v b), c), d) K 0,25 0,25 0,25 C N E I A H O B D ã ã a) Lớ lun c ACM = 900 , ANM = 900 Kt lun ANMC l t giỏc ni tip. (3,0) b) p dng h thc lng tam giỏc vuụng ABC ta cú: CH2 = AH.HB CH = AH.HB = (cm) CH ã t gABC = = HB ã ã c) Lớ lun c: ACN=AMN ã ã ã ADC=ABC = BCO ã ã ADC=AMN ã ã Suy c ACN=BCO ã Lớ lun NCO=90 Kt lun NC l tip tuyn ca ng trũn (O). d) Gi I l giao im ca BE v CH v K l giao im ca tip tuyn AE v BM. Lớ lun c OE//BM. T ú lớ lun suy E l trung im ca AK Lý lun c M EK = EA IC IH BI = (cựng bng ) EK EA BE 0.25 0.25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do ú IC = IH. Kt lun: ng thng BE i qua trung im ca on thng CH. S GIO DC V O TO 0,25 K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) QUNG NAM đề thi số 59 Bi ( im ): a) Thc hin phộp tớnh: 10 + 20 12 . b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 . Bi ( 1,5 im ): mx y = 3x + my = Cho h phng trỡnh: a) Gii h phng trỡnh m = . b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h thc x + y = m2 . m2 + Bi (1,5 im ): a) Cho hm s y = x , cú th l (P). Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v 1. b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = . Bi ( im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O. ng thng qua O song song vi AB ct AD v BC ln lt ti M v N. MO MO + = 1. CD AB 1 + = . b) Chng minh: AB CD MN c) Bit S AOB = m ; S COD = n . Tớnh S ABCD theo m v n (vi a) Chng minh: S AOB , S COD , SABCD ln lt l din tớch tam giỏc AOB, din tớch tam giỏc COD, din tớch t giỏc ABCD). Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song. Gi M l giao im ca AC v BD. Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip. b) OM BC. nh. c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c Bi ( im ): a) Cho cỏc s thc dng x; y. Chng minh rng: x2 y2 + x+y. y x b) Cho n l s t nhiờn ln hn 1. Chng minh rng n + n l hp s. S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN QUNG NAM Nm hc 2008-2009 Mụn TON CHNH THC Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I. Hng dn chung: 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh. 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi. 3) im ton bi ly im l n 0,25. II. ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,25 ( )(3 + 2) a) Bin i c: 0,25 =3 2+2 b) iu kin x 2008 1 x x 2008 = ( x 2008 2. . x 2008 + ) + 2008 4 8031 8031 = ( x 2008 ) + 4 0,25 8033 Du = xy x 2008 = x = (tha món). Vy giỏ tr 8031 8033 x = nh nht cn tỡm l . 4 0,25 x y = a) Khi m = ta cú h phng trỡnh 0,25 3x + y = 2 +5 x y = 2 x = 3x + y = y = 2x 0,25 (1,5) 0,25 2 +5 x = y = b) Gii tỡm c: x = Thay vo 2m + 5m ;y= 2 m +3 m +3 h x + y = thc 0,25 m ; m2 + ta c 2m + 5m m + = 2 m +3 m +3 m +3 Gii tỡm c m = 0,25 0,25 a) Tỡm c M(- 2; - 2); N (1 : ) Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn (1,5) 2a + b = a + b = 0,25 0,25 Tỡm c a = ; b = . Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l 0,25 y= x b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t 2t = Gii tỡm c t = hoc t = (loi) Vi t = 1, ta cú hoc x = 1+ x + x = x + x = . Gii c x = 2 0,25 0,25 . 0,25 Hỡnh v A M B O D MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) Suy CD AB AD AD a) Chng minh c N 0,25 C 0,25 0,50 (2) NO NO + = (2) CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) v (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = AOB = AOD c) S AOD OD S COD OC OD OC S AOD S COD b) Tng t cõu a) ta cú 0,25 0,25 S 2AOD = m .n S AOD = m.n Tng t S BOC = m.n . Vy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n ) (phc 0,25 0,25 0,25 a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB. Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) T gi thit suy d OM Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca ng trũn ny Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh. Vy d luụn i qua im I c nh. 0,25 Hỡnh v v cõu a) A D I O M B (3) C OM BC x2 y2 + x+y a) Vi x v y u dng, ta cú (1) y x x + y xy( x + y) ( x + y)( x y) (2) 0,25 0,25 0,25 (1) (2) luụn ỳng vi mi x > 0, y > 0. Vy (1) luụn ỳng vi mi 0,25 x > 0, y > 0,25 b) n l s t nhiờn ln hn nờn n cú dng n = 2k hoc n = 2k + 1, vi k l s t nhiờn ln hn 0. - Vi n = 2k, ta cú n + n = (2k ) + k ln hn v chia ht cho 2. 0,25 Do ú n + n l hp s. -Vi n = 2k+1, tacú n + n = n + k .4 = n + (2.4 k ) = (n + 2.4 k ) (2.n.2 k ) = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n 2k)2 + 22k ]. Mi tha s u ln hn hoc bng 2. Vy n4 + 4n l hp s 0,25 ======================= Ht ======================= S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON ( Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) QUNG NAM đề thi số 60 Bi (1,5 im ): a) Thc hin phộp tớnh: 10 + 20 12 . b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 . Bi (2 im ): mx y = 3x + my = Cho h phng trỡnh: a) Gii h phng trỡnh m = . b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h m2 thc x + y = . m +3 Bi (2 im ): a) Cho hm s y = x , cú th l (P). Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v 1. b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = . Bi ( 1,5 im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O. ng thng qua O song song vi AB ct AD v BC ln lt ti M v N. a) Chng minh: MO MO + = 1. CD AB b) Chng minh: 1 + = . AB CD MN Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song. Gi M l giao im ca AC v BD. Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip. b) OM BC. c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c nh. ======================= Ht ======================= H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN QUNG NAM Nm hc 2008-2009 Mụn TON CHNH THC (Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I. Hng dn chung: 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh. 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi. 3) im ton bi ly im l n 0,25. II. ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,50 ( )(3 + 2) a) Bin i c: 0,25 =3 2+2 b) iu kin x 2008 1 1 x x 2008 = ( x 2008 2. . x 2008 + ) + 2008 4 (1,5) 0,50 8031 8031 = ( x 2008 ) + 4 8033 x= (tha món). Vy giỏ tr 0,25 8031 8033 x = nh nht cn tỡm l . 4 x y = a) Khi m = ta cú h phng trỡnh 0,25 3x + y = x y = 2 3x + y = 0,25 2 +5 x = y = 2x 2 +5 0,25 x = y = Du = xy (2) x 2008 = 0,25 2m + 5m b) Gii tỡm c: x = ; y = m +3 m +3 Thay vo h 0,50 m2 x + y = ; m +3 thc ta c 2m + 5m m + = 2 m +3 m +3 m +3 Gii tỡm c m = 0,25 0,25 a) Tỡm c M(- 2; - 2); N (1 : ) Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn (2) 2a + b = a + b = 0,25 0,25 Tỡm c a = ; b = . 0,25 Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l y = x 0,25 b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t 2t = 0,25 Gii tỡm c t = hoc t = (loi) 0,25 0,25 Vi t = 1, ta cú hoc x = x + x = x + x = . Gii c x = 1+ . 0,25 Hỡnh v A B M N O 0,25 D C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) Suy CD AB AD AD (1,5) b) Tng t cõu a) ta cú NO + NO = (2) CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) v (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN a) Chng minh c Hỡnh v v cõu a) 0,25 0,50 0,25 0,25 (phc 0,25 A D I O M B (3) C a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB. Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy OM BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) T gi thit suy d OM 0,25 Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca 0,25 ng trũn ny. Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng 0,25 trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh. 0,25 Vy d luụn i qua im I c nh. ======================= Ht ======================= đề thi số 61 thi tuyn sinh lp 10 PTNK nm hc 2008-2009_Mụn toỏn AB Thi gian : 150' Cõu 1. Cho phhg trỡnh : a) Gii phng trỡnh b)Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca (1) phng trỡnh (1) cú nghim. Cõu 2. a)Gii phng trỡnh : b) gii h phng trỡnh : Cõu 3. a) chng minh rng giỏ tr ca biu thc sau khụng ph thuc vo bin x (x > 1) b) Cho a , b , c l cỏc s thc khỏc tho mn iu kin : Chng minh rng : Cõu 4. Cho t giỏc vuụng gúc vúi ti giỏc . a) Hóy tớnh t s : cú gúc A nhn v ng chộo AC , BD l trung im v l trc tõm tam PM DH b)Gi N, Kln lt l chõn ng cao k t B v D ca tam giỏc ; Q l giao im ca hai ng v . CMR : MN = MQ . c) Chng minh rng t giỏc BQNK ni tiếp c. Cõu 5. Mt nhúm hc sinh cn chia u mt lng ko thnh cỏc phn qu tng cỏc em nh mt n v tr m cụi. Nu mi phn qu gim i viờn thỡ cỏc em cú thờm phn qu , nu giam i 10 viờn mi phn qu thỡ cú thờm 10 phn qu. Hi s ko m nhúm hc sinh ny cú. [...]... 2- 2+ 2+ 1 n2 2- 1 n2 1 ( 3+ 2 ) ************************************************ SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chun Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ————————— (Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm) a) 1 1 9  x + y + x + y = 2  Giải hệ phương trình:   xy + 1 = 5  xy... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ Đề chính thức KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009-2010 MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1 Cho số x ( x ∈ R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện : x 2 + thức : A = x 3 + 1 x3 1 x5 1 2= 2 y 1 = 7 Tính giá trị các biểu x2 và B = x 5 +   ... = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊy cđa P lµ 49/16 0,2 0,5 0,2 0,2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn Tốn – Vòng 1 (Dùng cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức: x = 5 2 + 2 5 5 − 250 ( y= ) 3 3 − 3 −1 3 +1... chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác A' B 'C ' Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngồi tam giác A ' B ' C ', chẳng hạn như trên hình vẽ Khi đó d ( P; AB ) > d ( C ; AB ) , suy ra S PAB > SCAB , mâu thuẫn với giả thi t tam giác ABC có diện tích lớn nhất Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác A ' B ' C ' có diện tích khơng lớn hơn 4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN CỦA... màu các ơ vng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ở các ơ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ơ đen ln là số lẻ vậy khơng thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ơ vng về cùng một ơ sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T Së gi¸o dơc-®µo t¹o Hµ nam Kú thi tun sinh vµo líp 10 THPT chuyªn N¨m häc 2009-2010 M«n thi :... ba của ∆IER hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD ⇒ Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm) Câu 5 (1,0 điểm): Nội dung trình bày Điể m 0,25 0,25 0,25 0,25 Điể m P' B' A C' P C B A' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S) Khi đó S ≤ 1 Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác... Đònh m để phương trình có một nghiệm bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của phương trình b/ Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay vào pt ta có: Cách khác: 2.9 - 7 9 +3m – 4 = 0 2 3m = 7 2 ( x ) − 7 x + 3 = 0 (2) m = 7/3 Từ (1) ta có x ≥ 0 thế vào (1) ta được x1 = 9 ⇒ x1 = 3 7 pt: x1 + x2 = ( x) 2 7 ⇒ 3 + x2 = 2 Đặt x = t ≥ 0 ta có pt: 2t – 7t... ta có 2 C x AB 2 AC AD AC  BC   AB  = =  BD ÷ ÷ AD 2 = AD 2 = AD    AD  1 E / = 12 j B 2 D 1 O' Së GD&§T NghƯ An K× thi TUN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010 §Ị thi chÝnh thøc Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình x+2 + 3 7− x =3 b) Giải hệ phương trình 3 8  2 + 3x = y 3    x3 − 2 = 6  y ...  1 1 1 1 Cho các số dương a; b; c Chứng minh rằng ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 a b c 2 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 Chứng ming rằng 1 2009 + ≥ 670 2 2 a +b +c ab + bc + ca 2 Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) 0.25 0.25 0.25 0.25 Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và... tất cả các số ngun tố p để 4p + 1 và 6p + 1 cũng là số ngun tố Câu 4: (3,0 điểm) 1 Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK ⊥ BN 2 Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp . giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hà nam Năm học 2009-2010 Môn thi : toán (đề chuyên) đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1.(2,5 điểm) 1). Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. Sở giáo dục và đào tạo Hng yên đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành. giả thi t tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 0.25 Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO