SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh chuyên Toán chuyên Toán tin) Ngày thi: 03/7/2010 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Chữ ký GT 1: Chữ ký GT 2: . (Đề thi có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức:  x+2 x  x −1 M =  + − ÷: với x ≥ ; x ≠1 . x −1 ÷  x x −1 x+ x +  a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị biểu thức M x = − 2 . Bài 2. (3,0 điểm) ( ( )  x +xy+y  a) Giải hệ phương trình:   x − xy+y x + y =185 ) x + y =65 b) Cho phương trình: mx − ( m +1) x − m x + m +1 = (1). + Chứng tỏ x = − nghiệm phương trình (1). + Tìm điều kiện m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt. Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) BE vuông góc với đường kính AD (E ∈ AD). a) Chứng minh HE song song với DC. b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M. Chứng minh ∆MHE cân. Bài 4. (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn: −1 ≤ a ≤ 2; − ≤ b ≤ ; −1 ≤ c ≤ a + b + c = 0. Chứng minh a + b + c ≤ . Bài 5. (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm; BC = 2cm. Trên cạnh AB lấy điểm I (I ≠ A, B). Kẻ IM ⊥ AC ( M ∈ AC ) IN ⊥ DC ( N ∈ DC ). Tìm vị trí điểm I để đường thẳng AN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. ____________________Hết____________________ (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………. HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN (Đề thức) Bài (2,0 điểm ) Cho điểm 0,5 Sơ lược lời giải a) M = = x + 2+ x ( ( ( ( ) ( x −1 x −1 x −1 )( ): x − − x+ x + ) ) ( x+ ) x +1 x −1 ) x+ x + 7 = x − x+ x + × 0,75 b) Với x = − 2 = ( − 1) => x = − 0,25 M= = 3-2 2+ − + a) Đặt x +y = u; xy = v (3,0 điểm ) ( ( = 3+ 3- 0,5 0,25 ĐK: u ≥ )  u +v u=185 u=5  2u =250 ⇔ ⇔ . ⇔  Ta có hệ PT :  (TMĐK)  u + uv=185  v=12  u -v u=65  x +y =25 Do đó:   xy=12 ) 0,5 0,25  x+y=7  x+y=-7   xy=12  xy=12 Suy ra:  Vậy nghiệm hệ là: (3;4) ; (4;3) (-3;-4) ;(-4;-3) b) + Thay x = -1 vào PT: m ( −1) - ( m +1) ( −1) -m ( −1) +m+1=0 ⇔ -m-m2-1+m2+m+1 = (hiển nhiên đúng) +) Vì x = - nghiệm phương trình. 2 Do đó: ( 1) ⇔ . ⇔ ( x+1)  mx - ( m +m+1) x+m+1 =0 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt PT mx - ( m +m+1) x+m+1 = có hai nghiệm phân biệt khác -1. m ≠   ⇔ Δ= m +m+1 -4m ( m+1) >0   m ( -1) - m +m+1 ( -1) +m+1 ≠ m ≠ m ≠   2 -1±  ⇔ . ⇔  m +m-1 >0 ⇔ m ≠   m +3m+2 ≠  m ≠ −1; m ≠ −2  −1 ± Vậy với m ≠ 0; m ≠ ; m ≠ −1; m ≠ −2 phương trình (1) có ( ( ( ba nghiệm phân biệt. ) 0,5 0,5 0,25 0,25 ) 0,25 ) 0,25 (3,0 điểm · · a) Có BHA = BEA = 900 => tứ giác BHEA nội tiếp · · · · => HED = ABC mà ABC = ADC · · => HED = EDC => HE // CD b) Nối K với E, K với H. 0,75 0,75 0,5 0,25 KE=KH= AB ⇒ K thuộc trung trực HE. Có DC ⊥ CA HE//CD ⇒ HE ⊥ AC Có KM / /AC HE ⊥ AC ⇒ KM ⊥ HE ⇒ KM trung trực HE ⇒ ME=MH hay ∆MHE cân M. b) Có −1 ≤ a ≤ ⇔ a+1≥ a − ≤ . 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm ) ⇔ ( a +1) ( a − ) ≤ ⇔ a − a − ≤ ⇔ a ≤ a + 0,25 0,25 Tương tự: b2 ≤ b + 2; c ≤ c + Do đó: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + = (vì a + b + c =0) 0,25 0,25 (1,0 điểm ) Chứng minh năm điểm I, B, C, N, M thuộc đường tròn đường tròn đường kính BN. AN tiếp tuyến đường tròn (IMN) ⇔ AN ⊥ NB ⇔ AB2 = AN2 + NB2. Đặt AI = x (0 . TẠO QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh chuyên Toán và chuyên Toán tin) Ngày thi: 03/7 /2010 Thời. gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………. HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2010- 2011 MÔN: TOÁN (Đề chính thức) Bài Sơ lược lời giải Cho