Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Chủ Đề 1: tính giá trị biểu thức chứa bậc hai. (2 buổi) A lý thuyết. . Phơng pháp nhắc li lý thuyết thông qua học sinh làm nhanh số tập Câu : Nêu định nghĩa bậc hai số học số a ; 0,09 + 0,16 ; + áp dụng tính : 81 ; 0,09 49 ; 36 0,64 + Nếu viết : a = a hay sai ? ? + Tìm số tự nhiên A biết bậc hai số học số * x = x khi.* x = x Câu : Nêu điều kiện để A có nghĩa: áp dụng tìm x để thức bậc hai sau có nghĩa: a. 5x ; b. 5x ; c. x + ; d. x e. x ; f. g. x + x 10 x x + 12 Câu 3: trình bày quy tắc khai phơng tích; nhân thức bậc hai? áp dụng tính: a. 36.25 ; 16.81.121 ; 7.4.225 b. 90.50 ; (16).(9) ; 4a c. . 50 ; . 0,27 ; + . Câu 4: nêu quy tắc khai phơng thơng; chia hai thức bậc hai? áp dụng tính: 25 ; 64 a. b. 0.16 0.25 0,08 ; 27 ; ; 12 + 3+ Câu 5: viết công thức tổng quát: đa thừa số dấu căn? đa thừa số vào dấu căn? khử mẫu biểu thức dới dấu căn? trục thức mẫu? áp dụng tính: A. áp dụng Bài a. tính: + 27 = ? ; 80 + 45 = ? b. so sánh: 3 24 ; c. tính: : 32 + =? Bài : Tính : 0,0025 ; (7) ; (12) 2.5 ; 36 49 Bài : Đa thừa số dấu căn. a. 72 ; 162 ; 54 ; ; 75 Bài : Tính a. 28 + ; b. 50 + 32 - 162 Bài : Khử mẫu biểu thức dới dấu ; ; , 25 ; + 16 ; (3 4) ; b. 32.48 ; 128.44 b. 20 - 10.125 + ; (với x > -1) x +1 48 Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bài : Tính a. + ; b. 25 + 28 + Bài : Trục thức mẫu 11 a. 11 ; b. Bài : Tính: a. + +1 ; Bài 8:Thực phép tính: 1.)3 + 2 ; 14 ; +2 b. ; 3+ - 15 3 2.)3 + 72 28 3.)(3 + )(3 ) 4.)(2 27 + 12 75 ) : 5.)(2 18 + 50 ). 6.)(2 5)(3 ) 7.)( ) + ( + ) 1 8.) + +1 9.) 10.( + +2 14 +1 15 + + ): 5+ +1 + + 5+ 5 11.) 12.)2 80 48 ( ) 13. 12 18 : 75 ( 15. + 12 )( 14. ) ( ) ( 3) ( e) + + 72 2 ( 18. + + 2007 (3 + ) c) ) 48 + 75 108 . 16. + 17. 2 + Bài : Tính : a) ( + ) Bài 10 : Giải phơng trình: + ( (3 ) ) 5+3 + 15 ( ) b) (2 + 3) ) d) + 15 - 15 g) + + 32 3+ x + x + x x = Bài 11 : Cho số x : y phân tích đa thức sau thành nhân tử x-y , x x + y y , x x , x + x + , x x + , x x y y , x y y x ,x + y + xy Bài 12:Tính: Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 A= + 1+ B= 1 1 + +. + . + +1 + +3 100 99 + 99 100 C= + + + 2+ 24 + 25 1 1 1 1 + + + + + + + + . + + + 2 3 4 99 100 Chủ Đề 2: rút gọn tính giá trị biểu thức (2 buổi) I. Phơng pháp. 1. Phơng pháp rút gọn cách phân tích thành nhân tử. - Sử dụng HĐT. - Sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử. 2. Phơng pháp nhân với biểu thức liên hợp. Các biểu thức liên hợp thờng gặp: a + b a b ; a + b a2 - ab + b2; a - b a2 + ab + b2. 3.Nhắc kiến thức chơngII :Đại Số (Phân thức đại số) ii. tập. Rút gọn biểu thức Bài : Rút gọn biểu thức sau : 1) A= x y+y x 2) B = xy Bài : Cho biểu thức : a) b) c) d) x A= x mn m n m + n + mn m+ n 2x x x x Tìm x để A có nghĩa Rút gọn A Tính giá trị biểu thức A x = 3+ Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài 3: Cho biểu thức A = x4 x 16 x x + + 3( x 4) x+2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Bài : Cho biểu thức : B= 1) Tìm a để B có nghĩa 2) Rút gọn B Bài : Cho biểu thức: M= a +3 a a a a a +6 3) Tìm a để B < 4) Tìm a để B = a a : a + 1 9a a + a) Rút gọn M b) Tìm a để M = Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 x E= Bài : Cho biểu thức: x : + x x x + x a) Rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = 15 c) Tính giá trị biểu thức E x = 3+ 2 Bài : Cho M = a a a a a a +1 a + + a + a+ a a a a a + a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm a để M = c) Tìm a để M > A= Bài : Cho biểu thức: m m +3 m m +2 : + + + m m m m m + a) Tìm m để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm m để A nhận giá trị âm Bài 10 : Rút gọn biểu thức sau : a b +b a ab a ab ab b a +3 b ab Bài 11: Cho biểu thức : R = ữ ab + a + b + ữ ab + a b A= b a . a) Rút gọn R b + 81 b số nguyên chia hết cho 3. b 81 a x+2 + Bài 12 : Cho biểu thức: B= x+3 x +x6 2x b) Chứng minh R = a. Rút gọn B b. Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên c.Tính giá trị B biết x = Bài 13: Cho biểu thức : K = a. Tìm x để K có nghĩa b. Rút gọn K c. Tìm x K= 15 x 11 2+ + x x + x x Bài 15 : Cho biểu thức: x +3 x +3 d. Tìm giá trị lớn K x+2 P= x x + x : Với x ; x x + x + 1 x x + a. Rút gọn biểu thức b. Chứng minh P > với x x Bài 16 : cho biểu thức 1 a +1 . + + Q= a 2+2 a 22 a a Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bi 17 x3 x x x : x9 x+ x x x x + N= b)Tìm x để N4 c)Tìm GTNN , GTLN R e) Tính R x=11-6 Bi 20 S= + a)Rút gọn S= a a : a + a a a + a a a + a +1 a b)Tìm a để S=2a c)Tìm GTNN S với a>1 e)Tìm a Z để S Z d)Tính S a=1/2 Bi 22 Y= 3x x x+ x x +1 x +2 + x . x x x a)Rút gọn Y= x +2 c)Tìm x Z để Y Z Bi 23 P = b)Tìm x để Y=x d)Tìm GTLN Y x x + x x x +1 c)Tìm x Z để P Z a) Rút gọn P= d)Tìm GTNN P x x +1 e) Tính P x=6-2 Bài 24: Cho biểu thức : P= a +2 + a +3 a+ a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P bc, c > ac < bc, c < 1.3: a > b, b> c a > c. 1.4: a > b, c > d a + c > b + d. 1.5: a > b > 0, c > d > ac > bd. 1.6: a > b > an > bn. 1.7: a > b > a > b . 1.2: a > b 2. Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, bất đẳng thức Bunhiacopxki số bất đẳng thức khác. 2.1: Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm: Với a 0, b đó: a+b ab . Dấu = xảy a = b 2.2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2). Dấu = xảy tồn số k cho x = ka, y = kb (*), a, b (*) đợc viết là: ii. tập. x y = . a b Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bài 1: Cho hai số dơng a, b. CMR: a + b 4ab . + ab a + b ab (BĐT Cosi) (a + b)(1 + ab) 4ab suy ĐPCM. Dấu = xảy + ab ab HD giải: Ta có: a = b hay a = b = 1. = ab Bài 2: Cho số a, b, c, d. CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) HD giải: Khai triển hai vế đa về: (bc - ad)2 (luôn đúng) suy BĐT cần chứng minh đúng. a c = . b d 2a + 3b = Bài 3: Tìm hai số a, b biết rằng: 2 2a + 3b = HD giải: Ta có: 25 = (2a + 3b)2 = ( . 2a + 3. 3a )2 [( )2 + ( )2].[( 2a )2 + ( 3a )2] = 5. Dấu = xảy bc = ad (2a2 + 3a2) Suy 2a2 + 3a2 5. Dấu = xảy = hay a = b. Vậy a = b = 1. 2a 3b a a+k Bài 4: Cho a, b, k số dơng, a < b. CMR: < (1). b b+k HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < a < b. BĐT đúng, (1) đúng. Bài 5: CMR: a2 + b2 + ab + 2(a + b) (1). HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 đúng. Dấu = xảy a = b = 2. am bm an bn (1). > am + bm an + bn am + bm 2b m a n + bn 2b n 2b n 2b m HD giải: (1) m . Chia VT cho bn, chia > > m m m n n n n n n m m a +b a +b a +b a +b a +b a +b Bài 6: CMR a > b > 0, m > n, ta có: VP cho bm m n an am a a Ta đợc n < m > . b b b b Bài 7: (TH 04 - 05). Cho < x < 1. 1. CMR: x(1 - x) (1). 2. Tìm GTNN A = 4x + . x (1 x ) 1. (1) x đúng. HD giải. 1 x2(1 - x) x suy A 2. Từ x(1 - x) 4 A 16x + 4x + . x 4 x= 2. 16 x. = 2.8 = 16 (BĐT Cosi). Dấu = xảy 16x = x x x , mà Cho < x < suy x = . Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 3x Bài 8. (TH 09 - 10). Cho x, y, z thoả mãn y + yz + z = . 2 Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x + y + z. 3x 2y2 + 2yz + 2z2 = - 3x2 (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = HD giải. y2 + yz + z2 = (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + 2. Dấu = xảy x = y = z - x + y + z . Vậy GTLN , GTNN - x = y = z. xy . Bài 9: (TH 05 - 06). Cho x - y 0. CMR x + y + x y xy xy xy = x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + + = (x - y + HD giải. x + y + ) + 2. x y x y x y b 3(b + 1) Bài 10: (TH 06 - 07). Cho b > 0. CMR: + 2b b +1 2 b 3(b + 1) b b + 5(b + 1) HD giải. Ta có: = . + + + 2b 4b 4b b +1 b +1 5(b + 1) 5.2b b b2 +1 b b2 +1 Ta có = . + . = (BĐT Cosi). Lại có b + 2b 4b 4b b +1 b + 4b b 3(b + 1) 1+ Dấu = xảy b = 1. Vậy = . + 2 2b b +1 16ab Bài 11: CMR: a = 4b với a, b dơng. (Sử dụng tính chất BĐT). + 4ab Bài 12: CMR: (a2 + 1)(b2 + 4) (2a + b)2. (Chuyển vế chứng minh vế trái không âm). a a + 2010 Bài 13: CMR < x < b < . (Tơng tự 4) b b + 2010 a 2010 b 2010 a 2009 b 2009 Bài 14: CMR a, b > thì: 2010 . (Tơng tự 6) > a + b 2010 a 2009 + b 2009 Chuyên đề PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH (Bc nht) (2 buổi) A.KIN THC C BN 1.Phng trỡnh bc nht mt n -Quy ng kh mu. -a v dng ax + b = (a 0) -Nghim nht l x = b a 2.Phng trỡnh cha n mu -Tỡm KX ca phng trỡnh. -Quy ng v kh mu. -Gii phng trỡnh va tỡm c. -So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun. 3.Phng trỡnh tớch Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng hn: Vi phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = A ( x ) = B( x ) = C x = ( ) 4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh) Dng phng trỡnh ny sau bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th ca a, b ta khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh. -Nu a thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = b . a -Nu a = v b = thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim. -Nu a = v b thỡ phng trỡnh vụ nghim. 5.Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc A A A = A A < 6.H phng trỡnh bc nht Cỏch gii ch yu da vo hai phng phỏp cng i s v th. Chỳ ý phng phỏp t n ph mt s trng hp xut hin cỏc biu thc ging c hai phng trỡnh. 7.Bt phng trỡnh bc nht Vi bt phng trỡnh bc nht thỡ vic bin i tng t nh vi phng trỡnh bc nht. Tuy nhiờn cn chỳ ý nhõn v c hai v vi cựng mt s õm thỡ phi i chiu bt phng trỡnh. B.MT S V D VD1.Gii cỏc phng trỡnh sau a) ( x 3) + = ( x + 1) c) b) 13 + = 2x + x 21 2x + x HDGii :d) Lp bng xột du x x3 x-7 -Xột x < 3: - 7x 20x + 1,5 5( x 9) = d) x + x = 10 (*) + - + + (*) x + ( x ) = 10 24 4x = 10 4x = 14 x = (loi) -Xột x < : (*) x + ( x ) = 10 2x + 18 = 10 2x = x = (t/món) -Xột x : (*) x + ( x ) = 10 4x 24 = 10 4x = 34 x = Vy phng trỡnh cú nghim x = 4. 17 (loi) VD2.Gii v bin lun phng trỡnh sau Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 x + a b x + b a b2 a (1) = a b ab a ( x + 1) ax b) (2) + = x x +1 x a) Gii a) K: a 0; b 0. (1) b ( x + a b ) a ( x + b a ) = b a bx + ab b ax ab + a = b a ( b a ) x = 2( b a ) ( b + a ) -Nu b a b a thỡ x = 2( b a ) ( b + a ) = 2( b + a ) ba -Nu b a = b = a thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim. Vy: -Vi b a, phng trỡnh cú nghim nht x = 2(b + a). -Vi b = a, phng trỡnh cú vụ s nghim b) KX: x (2) ( ax-1) ( x + 1) + ( x 1) = a ( x + 1) ax + ax x + 2x = ax + a ( a + 1) x = a + -Nu a + a thỡ x = a +3 a +1 -Nu a + = a = thỡ phng trỡnh vụ nghim. Vy: -Vi a -1 v a -2 thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = -Vi a = -1 hoc a = -2 thỡ phng trỡnh vụ nghim. a +3 a +1 VD3.Gii cỏc h phng trỡnh sau x + 5y = a) 3x 2y = x + y + x y = b) =3 x y x + y x + 2y 3z = c) x 3y + z = x 5y = Gii x = 5y x + 5y = x = 5y x = 5y x = a) 3x 2y = ( 5y ) 2y = 21 17y = y = y = x + 5y = 3x + 15y = 21 17y = 17 y = hoc 3x 2y = 3x 2y = 3x 2y = x = b) K: x y Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 10 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 v nghim cũn li l x2 = * Giỏo viờn cn khc sõu trng hp h s a cú cha tham s (khi ú bi toỏn tr nờn phc vhc sinh thng hay sai sút) Bi 4: Cho phng trỡnh: x2 -2(m-1)x m = ( n s x) a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm d) Tỡm m cho nghim s x1, x2 ca phng trỡnh tho x12+x22 10. e) Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc vo m f) Hóy biu th x1 qua x2 Gii 15 a) Ta cú: = (m-1)2 ( m ) = m + Vy m = 15 > > vi mi m Do m vi mi m; Phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit Hay phng trỡnh luụn cú hai nghim (pcm) b) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du a.c < m < m > -3 Vy m > -3 c) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú phng trỡnh cú hai nghim õm S < v P > 2(m 1) < m < m < (m + 3) > m < Vy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10 Theo bi A 10 4m2 6m 2m(2m-3) m m m m 2 m m m m 2m m Vy m hoc m e) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim x1 + x = 2(m 1) x + x = 2m . Theo nh lớ Viet ta cú: x1 .x = (m + 3) x1 .x = 2m x1 + x2+2x1x2 = - Vy x1+x2+2x1x2+ = l h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc m + x2 f) T ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) x1 = + x2 + x2 Vy x1 = ( x2 ) + x2 Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 20 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bi 5: Cho phng trỡnh: x2 + 2x + m-1= ( m l tham s) a) Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tho 3x1+2x2 = 1 c) Lp phng trỡnh n y tho y1 = x1 + ; y = x2 + vi x1; x2 l nghim ca phng trỡnh x2 x1 trờn Gii a) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca ' m m m=2 m = m = P = Vy m = b) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú nghim m m (*) Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m (2) Theo bi: 3x1+2x2 = (3) x1 + x2 = x1 + x2 = x1 = x1 = T (1) v (3) ta cú: x1 + x2 = x1 + x2 = x1 + x2 = x2 = Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho (*)) Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm d) Vi m thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m (2) + y = x1 + x2 + Khi ú: y y y = (x + x )( x + x1 x + = x1 + x + x2 ) = xx + xx x1 + x2 x1 x2 = + + = m 1+ m m +2= = 2m m m (m1) m (m1) 2m m2 .y + = (m1) m m Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y2 + 2my + m2 = *Yờu cu: + HS nm vng phng phỏp + HS cn thn tớnh toỏn v bin i + Gv: cn chỳ ý sa cha nhng thiu sút ca hc sinh, cỏch trỡnh by bi v khai thỏc nhiu cỏch gii khỏc * Bi tng t: 1) Cho phng trỡnh: (m 1)x2 + 2(m 1)x m = ( n x) a) nh m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ny b) nh m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit u õm. 2) Cho phng trỡnh : x2 4x + m + = a) nh m phng trỡnh cú nghim. b) Tỡm m cho phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho món: x12 + x22 = 10 3) Cho phng trỡnh: x2 (2m 3)x + m2 3m = a) C/m , phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim m thay i b) nh m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho món: < x1 < x2 x2 x1 8) Cho phng trỡnh : (m 1)x2 2(m + 1)x + m = (1) a) Gii v bin lun phng trỡnh (1) theo m b) Khi phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit x1, x2: * Tỡm mt h thc gia x1, x2 c lp i vi m * Tỡm m cho x1 x Dng toán: Tỡm m phng trỡnh ax2 + bx + c = cú nghim x1, x2 tho ng thc cho trc. Bi 1: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m ) x + m m = 0. cú nghim x1,x2 tho x12 + x22 = 8. Bi 2: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x m = 0. cú nghim x1,x2 tho x12 + x22 = 10. Bi 3: Tỡm m phng trỡnh : ( m ) x 2( m + ) x + m + = 0. cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = x x + 16. Bi 4: Tỡm m phng trỡnh : ( m ) x mx + m + = 0. cú nghim x1,x2 tho x1 x2 + + = 0. x x1 Bi 5: Tỡm m phng trỡnh : mx ( m ) x + m = 0. cú nghim x1,x2 tho 2( x 12 + x 22 ) x x = 0. Bi 6: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x + m + = 0. cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = 10. Bi 7: Tỡm m phng trỡnh : x ( m ) x m = 0. cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = 8. Bi 8: Tỡm m phng trỡnh : x ( m + ) x + 3m = 0. cú nghim x1,x2 tho x 12 + x 22 = 10. x1 x2 + = 1. Bi 9: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m ) x m + = 0. cú nghim x1,x2 tho x2 x1 Bi 10: Tỡm m phng trỡnh : ( m + ) x ( m ) x + m = 0. cú nghim x1,x2 tho x1 = 2x2. Bi 11: Tỡm m phng trỡnh : x 2( m + ) x + m = 0. cú nghim x1,x2 tho 2x1 + x2 = 5. Dng toán: lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 22 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bi 1: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m + ) x 2( m ) x + m = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Bi 2: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x 2( m ) x + m = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Bi 3: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 2( m ) x + m = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Bi 4: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 3( m + ) x + m + = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Bi 5: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x ( m + ) x + m + m = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Bi 6: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: ( m ) x 2( m + ) x + m = 0. Hóy lp h thc liờn h gia x1, x2 khụng ph thuc vo m. Chủ đề 7:CHNG MINH T GIC NI TIP (3 buổi) A.KIN THC C BN Phng phỏp chng minh -Chng minh bn nh ca t giỏc cựng cỏch u mt im. -Chng minh t giỏc cú hai gúc i din bự nhau. -Chng minh hai nh cựng nhỡn on thng to bi hai im cũn li hai gúc bng nhau. -Chng minh tng ca gúc ngoi ti mt nh vi gúc i din bự nhau. -Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB thỡ t giỏc ABCD nt tip. (Trong ú M = AB CD; N = AD BC ) -Nu PA.PC = PB.PD thỡ t giỏc ABCD ni tip. (Trong ú P = AC BD ) -Chng minh t giỏc ú l hỡnh thang cõn; hỡnh ch nht; hỡnh vuụng; Nu cn chng minh cho nhiu im cựng thuc mt ng trũn ta cú th chng minh ln lt im mt lỳc. Song cn chỳ ý tớnh cht Qua im khụng thng hng xỏc nh nht mt ng trũn B. BI TP TNG HP: Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P. => CEH + CDH = 1800 Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H M đối xứng qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC = 900. CF đờng cao => CF AB => BFC = 900. Nh E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 23 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 AE AH = => AE.AC = AH.AD. AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C góc chung BE BC = => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta có C1 = A1 ( phụ với góc ABC) C2 = A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đơng trung trực HM H M đối xứng qua BC. 5. Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED. Chứng minh tơng tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. => AEH ADC => Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H. Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn. 3. Chứng minh ED = BC. 4. Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEA = 900. AD đờng cao => AD BC => BDA = 900. Nh E D nhìn AB dới góc 900 => E D nằm đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đờng cao nên đờng trung tuyến => D trung điểm BC. Theo ta có BEC = 900 . Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC. 4.Vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1). Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E. Vậy DE tiếp tuyến đờng tròn (O) E. 5. Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cm Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 24 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D. Các đờng thẳng AD BC cắt N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. Lời giải: 2.Chứng minh COD = 90 . AB 3.Chứng minh AC. BD = . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD. 5.Chứng minh MN AB. 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900. 3.Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, AB Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4. Theo COD = 900 nên OC OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD). 5.Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang. Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đờng tròn đờng kính CD CN AC CN CM = = 6. Theo AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy BN BD BN DM => MN // BD mà BD AB => MN AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By. Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB. Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 25 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. nh K, A, B nhìn OM dới góc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM AB I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đờng cao. áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi. 5. Theo OAHB hình thoi. => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo OAHB hình thoi. => AH = AO = R. Vậy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R. Do quỹ tích điểm H M di chuyển đ ờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E. 1.Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH. 3.Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH). 4.Chứng minh BE = BH + DE. Lời giải: (HD) 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2). Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân. => B1 = B2 2. Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I. 4. DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M. 1. Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N. Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải: 1. (HS tự làm). 2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm AOM chắn cung AM => ABM = (1) OP tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) => AOM AOP = (2) Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 26 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Từ (1) (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP. (4) 3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau). 4. Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900 => K trung điểm PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO tia phân giác APM => APO = MPO (8). Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đông thời đờng cao => IK PO. (9) Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng. Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K. 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF tam giác cân. 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn. Lời giải: 1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (vì hai góc kề bù). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (vì hai góc kề bù). => KMF + KEF = 1800 . Mà KMF KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 27 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 2. Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên). áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF. (1) Theo ta có AEB = 900 => BE AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2). Từ (1) (2) => BAF tam giác cân. B . 4. BAF tam giác cân. B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF. (3) Từ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân. A có AE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm HK. (6). Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng). 5. (HD). Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn AKFI phải hình thang cân. AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB. Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau). Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn. Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh ABD = DFB. 3. Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp. Lời giải: 1.C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC AE. ABE = 900 ( Bx tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC đờng cao => AC. AE = AB2 (hệ thức cạnh đờng cao ), mà AB đờng kính nên AB = 2R không đổi AC. AE không đổi. 2. ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ). => ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800)(1) ABF có ABF = 900 ( BF tiếp tuyến ). => AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800) (2) Từ (1) (2) => ABD = DFB ( phụ với BAD) 3.Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ECD = ABD ( bù với ACD). Theo ABD = DFB => ECD = DFB. Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc kề bù) nên suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 28 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB. Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA. Gọi P chân đờng vuông góc từ S đến AB. 1.Gọi S giao điểm MA SP. Chứng minh PSM cân. 2.Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn . Lời giải: 1. Ta có SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AMS = 900 . Nh P M nhìn AS dới góc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn. 2. Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm đờng tròn nên M nằm đờng tròn => hai cung AM AM có số đo => AMM = AMM ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) Cũng Mđối xứng M qua AB nên MM AB H => MM// SS ( vuông góc với AB) => AMM = ASS; AMM = ASS (vì so le trong) (2). => Từ (1) (2) => ASS = ASS. Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đ/ tròn => ASP=AMP (nội tiếp chắn AP ) => ASP = AMP => tam giác PMS cân P. 3. Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS vuông M => B1 = S1 (cùng phụ với S). (3) Tam giác PMS cân P => S1 = M1 (4) Tam giác OBM cân O ( có OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Từ (3), (4) (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB = 900 nên suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM M => PM tiếp tuyến đờng tròn M Bài 10 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) N. Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P. Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 4. Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định nào. Lời giải: 1. Ta có OMP = 900 ( PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ). Nh M N nhìn OP dới góc 900 => M N nằm đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2). Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 29 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 3. Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C góc chung => OMC NDC CM CO = => => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 CD CN không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đờng thẳng cố định vuông góc với CD D. Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B song song AB. Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F. 1. Chứng minh AFHE hình chữ nhật. 2. BEFC tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn . Lời giải: 1. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (vì hai góc kề bù). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông). 2. Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp. 3. Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) AE AF = => AEF ACB => => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD cách 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 . O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2. => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chứng minh tơng tự ta có O2F EF. Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn . Bài 12 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K. Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E. Gọi M. N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN tiếp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Lời giải: 1. Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) => ENC = 900 (vì hai góc kề bù). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 30 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) 2. Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN). Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Từ (4) (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N. Chứng minh tơng tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = .OA2 = 252 = 625 ; S(I) = . IA2 = .52 = 25 ; S(k) = .KB2 = . 202 = 400 . Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E. Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G. Chứng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lời giải: 1. Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB CAB . 2. Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp . * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh F A nhìn BC dới góc 900 nên A F nằm đờng tròn đờng kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp. 3. Theo ADEC tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S. Bài 14 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D. Gọi I giao điểm AD BC. 1. Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I. 3. Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp . Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 31 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Lời giải: 1. Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MCI = 900 (vì hai góc kề bù). ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (vì hai góc kề bù). => MCI + MDI = 1800 mà hai góc đối tứ giác MCID nên MCID tứ giác nội tiếp. 2. Theo Ta có BC MA; AD MB nên BC AD hai đờng cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I trực tâm tam giác MAB. Theo giả thiết MH AB nên MH đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I. 3. OAC cân O ( OA OC bán kính) => A1 = C4 KCM cân K ( KC KM bán kính) => M1 = C1 . Mà A1 + M1 = 900 ( tam giác AHM vuông H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( góc ACM góc bẹt) hay OCK = 900 . Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK OCK hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp. Bài 15. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M trung điểm đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 2. Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi. 3. Chứng minh BI // AD. 4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 5. Chứng minh MI tiếp tuyến (O). Lời giải: 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì hai góc kề bù); DE AB M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đờng kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo BI DC => BI // AD. (1) 4. Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2). Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đờng thẳng song song với AD mà thôi.) 5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; OIC cân O ( OC OI bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI I => MI tiếp tuyến (O) Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 32 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 1. 2. 3. 4. 5. Bài 16 : Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B. Nối AC cắt MN E. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. Chứng minh AM2 = AE.AC. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất. Lời giải: 1. Theo giả thiết MN AB I => EIB = 900; ACB nội tiếp chắn nửa đờng tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900 => EIB + ECB = 1800 mà hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết MN AB => A trung điểm cung MN => AMN = ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) hay AME = ACM. Lại thấy CAM góc chung hai tam giác AME AMC tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Theo AME ACM => AM AE = => AM2 = AE.AC AC AM 4. AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ); MN AB I => AMB vuông M có MI đờng cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông) . áp dụng định lí Pitago tam giác AIM vuông I ta có AI2 = AM2 MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo AMN = ACM => AM tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp ECM; Nối MB ta có AMB = 900 , tâm O1 đờng tròn ngoại tiếp ECM phải nằm BM. Ta thấy NO1 nhỏ NO1 khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM. Gọi O1 chân đờng vuông góc kẻ từ N đến BM ta đợc O1 tâm đờng tròn ngoại tiếp ECM có bán kính O1M. Do để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ C phải giao điểm đờng tròn tâm O1 bán kính O1M với đờng tròn (O) O1 hình chiếu vuông góc N BM. Bài 17 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C. Gọi E giao điểm AC BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 3.Theo giả thiết A N đối xứng qua M 2. Chứng minh NE AB. 3. Gọi F điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA tiếp tuyến nên M trung điểm AN; F E xứng (O). qua M nên M trung 4. Chứng minh FN tiếp tuyến đờng tròn (B; BA). điểm EF => AENF Lời giải: 1. (HS tự làm) 2. (HD) Dễ thấy E trực tâm tam giác NAB => NE AB. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 33 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 hình bình hành => FA // NE mà NE AB => FA AB A => FA tiếp tuyến (O) A. 4. Theo tứ giác AENF hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC BN => FN BN N N F _ / M _ C / E A O H B BAN có BM đờng cao đồng thời đờng trung tuyến ( M trung điểm AN) nên BAN cân B => BA = BN => BN bán kính đờng tròn (B; BA) => FN tiếp tuyến N (B; BA). Bài 18 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB. 1.Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2.Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn . 3.Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4.Chứng minh OAHB hình thoi. 5.Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6.Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Lời giải: 1.(HS tự làm). 2.Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. nh K, A, B nhìn OM dới góc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM AB I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đờng cao. áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi. 5. Theo OAHB hình thoi. => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo OAHB hình thoi. => AH = AO = R. Vậy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R. Do quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài tập luyện giải Bài : Cho đờng tròn (O) điểm A bên đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O). M điểm tuỳ ý dây BC (MB ; M C) đờng thẳng vuông góc với OM M cắt AB, AC lần lợt D E. CMR a. Tứ giác ODBM tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn. b. M trung điểm DE. Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB S điểm cung . Trên dây AB lấy hai điểm E H. Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C D. CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn. Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 34 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi S điểm cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS E. đờng thẳng BC cắt AS F CMR a. Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn. b. ED.EA= ES.EB c. DC song song với EF. Bài : Cho ABC nhọn đờng phân giác góc B góc C gặp S . đờng phân giác B C gặp E a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn. b> Gọi M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE. CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 5: cho đờng tròn (0) điểm A đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B C gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( MB ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với AC, MI vuông góc với AB a> chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chứng minh MI.MK= MH2 Bài 6: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M điểm đờng tròn(MA; M B). C điểm cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B với đờng tròn (0) E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng tròn b> Tam giác ECF vuông C Bài 7: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB CC cắt H a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp . Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC. b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt BC I. CMR tứ giác BIDC nội tiếp, từ suy AO BC c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M BC Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB CD vuông góc với nhau. E điểm cung nhỏ BC. AE cắt OC F, DE cắt AB N. a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy Bài : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E F ; O 1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) cắt EF H. P điểm tia đối tia EH. CP cắt (O1) M ; BP cắt (O2) N ; AM cắt DN I chứng minh : a. Tứ giác MPNI nội tiếp b. HA. HC = HB. HD c. Tứ giác BNMC nội tiếp TI LIU B SUNG Trong quỏ trỡnh ụn giỏo viờn kt hp vi cỏc tai liu: 1/Ti liu ụn thi vo lp 10 Nm 2010-2011 2/B thi vo lp 10 t khúa thi 2000-2001 n khúa thi 2010-2011 3/Sỏch giỏo khoa, hc tt toỏn 9,nõng cao v phỏt trin toỏn v mt s ti liu khỏc Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 35 [...]... hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau) 4 Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP... giác EBD 2 Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp 3 AC // FG 4 Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: 1 Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB CAB 2 Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800... trên đoạn thẳng cố định nào Lời giải: 1 Ta có OMP = 900 ( vì PM AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ) Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp 2 Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900;... cắt (O2) tại N ; AM cắt DN tại I chứng minh rằng : a Tứ giác MPNI nội tiếp b HA HC = HB HD c Tứ giác BNMC nội tiếp TI LIU B SUNG Trong quỏ trỡnh ụn tp giỏo viờn kt hp vi cỏc tai liu: 1/Ti liu ụn thi vo lp 10 Nm 2 010- 2011 2/B thi vo lp 10 t khúa thi 2000-2001 n khúa thi 2 010- 2011 3/Sỏch giỏo khoa, hc tt toỏn 9,nõng cao v phỏt trin toỏn 9 v mt s ti liu khỏc Gv: trần Văn thuân Trờng thcs quảng thái -QuảNG... u mt im -Chng minh t giỏc cú hai gúc i din bự nhau -Chng minh hai nh cựng nhỡn on thng to bi hai im cũn li hai gúc bng nhau -Chng minh tng ca gúc ngoi ti mt nh vi gúc trong i din bự nhau -Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB thỡ t giỏc ABCD nt tip (Trong ú M = AB CD; N = AD BC ) -Nu PA.PC = PB.PD thỡ t giỏc ABCD ni tip (Trong ú P = AC BD ) -Chng minh t giỏc ú l hỡnh thang cõn; hỡnh ch nht; hỡnh vuụng;... nên ADEC là tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp 3 Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG 4 (HD) Dễ thấy CA, DE, ... của AB; DE AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng 3 ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) 4 Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với... vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC 2 4.Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1) 1 Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => E3 = B1 (2) 2 Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE tại E Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)... do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF => AEH ADC => Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE 1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp 2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn 1 3 Chứng minh ED = BC 2 4 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) 5 Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm Lời giải: 1 Xét... trên trục tung c (d1) và (d2) song song với nhau d (d1) và (d2) vuông góc với nhau e (d1) và (d2) trùng nhau Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d Tìm giá trị của m để : a Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến) Gv: trần Văn thuân Trờng thcs quảng thái -QuảNG xơng Thanh hoá 13 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2011-2012 (d) đi . âm). Bài 13: CMR nếu 0 < x < b thì 2 010 2 010 + + < b a b a . (Tơng tự bài 4) Bài 14: CMR nếu a, b > 0 thì: 20092009 20092009 2 0102 010 2 0102 010 ba ba ba ba + > + . (Tơng tự bài. Thanh hoá 2 Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012 A= 2524 1 32 1 21 1 + ++ + + + B = 100 999 9100 1 4334 1 . 3223 1 2112 1 + ++ + + + + + C= 22222222 100 1 99 1 1 5 1 4 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 ++++++++++++ Chủ. = (loi) -Xột 3 x 7 < : (*) ( ) x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4 + = + = = = (t/món) -Xột x 7 : (*) ( ) 17 x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x 2 + = = = = (loi) Vy phng trỡnh