Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn trình bày về hệ phương trình tuyến tính với những nội dung chính bao gồm định nghĩa; định lý Crocneker – Capelli; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.
10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i 1, ., n ) m phương trình: a11x a12x . a1n x n b1 a 21x a 22x . a 2n x n b2 (I ) a x am 2x . amn x n bm m1 đó, hệ số aij ¡ (i 1, ., n; j 1, ., m ) , gọi hệ phương trình tuyến tính. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình: x x 2x 4x 2x x 4x 3 2x 7x 5. Hệ phương trình viết lại dạng ma trận: 1 1 4x x 2 3 x 0 7 0 x (1; 1; 1; 1) nghiệm hệ. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: AX B X A1B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp ma trận: 2x y z y 3z 2x y z 1. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a 11 . a1n Đặt: A . . . aij , mn am . amn B b1 . bm T X x . x n T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành AX B . • Bộ số 1 . n T 1; .; n gọi nghiệm (I ) A B . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX B . Gọi ma trận a 11 a12 . a1n b1 mở rộng A A B . . . . . . am am . amn bm Định lý Hệ AX B có nghiệm r (A) r (A). Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì: § Nếu r (A) n : kết luận hệ có nghiệm nhất; § Nếu r (A) n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 1 Giải. A 0 A 3. 2 1 1 Hệ phương trình X A1B x 1 1 x 3 y 3 y . 1 z 1 z 1 x 3, Vậy hệ cho có nghiệm y 6, z 1. 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX B , với A ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính định thức: a11 . a1 j det A . . . an . anj a11 . b1 . a1n an . bn . ann j . . . . . a1n . . , . ann . , j 1, n Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận: § Nếu hệ có nghiệm nhất: x j j , j 1, n . § Nếu j 0, j 1, n hệ có vô số nghiệm (ta thay tham số vào hệ tính trực tiếp). § Nếu j 0, j 1, n hệ vô nghiệm. (thay cột thứ j cột tự do). Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau định thức: 2x y z y 3z 2x y z 1. Giải. Ta có: 1 4, Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 1 Vậy x 1 1 1 24 , 3 3, y 4 . 1 2 6, z 3 1. 12 , Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính (m 1)x y m VD 6. Hệ phương trình x (m 1)y có nghiệm khi: A. m 2 ; B. m 2 m ; C. m ; D. m 2 . m 1 Giải. Ta có: m(m 2) m 1 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • m 2 : Hệ x y hệ có vô số nghiệm. x y • m : Hệ hệ vô nghiệm. x y Vậy với m hệ có nghiệm C . m 2 m . 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B . • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B dạng bậc thang PBĐSC dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối lên trên. Chú ý. Trong trình thực bước 1, nếu: § có dòng tỉ lệ xóa dòng; § có dòng xóa dòng đó; § có dòng dạng .0 b , b hệ vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: 5x 2x 5x 3x 4x x 3x 2x 2x 7x x = 1. 5 3 2 Giải. Ta có: A B 4 2 1 1 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính x 4y 5z 1 VD 9. Tìm nghiệm hệ 2x 7y 11z . 3x 11y 6z A. ; B. Hệ có vô số nghiệm; Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ sau phương pháp Gauss: 2x y z y 3z 2x y z 1. Giải. Ta có: 2 1 2 1 d3 d d1 A B 0 3 0 3 . 0 2 2 1 1 2x y z x 3 Hệ y 3z y . z 1 2z 2 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5 3 0 13 5 7 0 39 15 11 d2 5d2 4d1 d 5d3 2d1 5 3 0 13 5 7. 0 10 0 d d 3d2 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 1 1 1 Giải. Ta có: 2 11 0 1 21 . 3 11 6 0 1 21 x 15 79 x 4y 5z 1 Hệ y 4 21 D . y 21z z ¡ 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3x y 2z VD 10. Tìm nghiệm hệ . 2x y 2z 3 Giải. Ta có: . 2 2 0 10 15 x 3x y 2z Hệ y 2 B . y 2z z ¡ Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 11. Giá trị tham số m để hệ phương trình x 2y (7 m )z tuyến tính 2x 4y 5z 3x 6y mz có vô số nghiệm là: A. m 1; B. m 1; C. m 7 ; D. m . Giải. Ta có: 1 2 m 1 m c3 c4 2 5 A B 2 5 1 m 3 3 3 m Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 2 m 1 2 m 0 3 2m 19 0 3 2m 19. 0 3 4m 21 0 0 2m Hệ có vô số nghiệm r (A) r (A) m 1. …………………………………………………………………