phòng giáo dục đào tạo huyện bá thớc Trờng THCS Thị trấn cành nàng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp Giáo viên: Hoàng Xuân Thìn Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n .16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài 2. Thực phép tính: ( 1 1 . 49 + + + . + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2x + = x + b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 giờ. Sau kim đồng hồ nằm đối diện đ ờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E. Chứng minh: AE = BC Đề số 2: Bi 1:(4 im) a) Thc hin phộp tớnh: A= 212.35 46.92 ( .3) + .3 510.73 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 3n + 2n+ + 3n 2n chia ht cho 10 Bi 2:(4 im) Tỡm x bit: + = ( 3, ) + 5 a. x b. ( x 7) x +1 ( x 7) x +11 =0 Bi 3: (4 im) S A c chia thnh s t l theo : : . Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s ú bng 24309. Tỡm s A. a c a2 + c2 a = . Chng minh rng: 2 = c b b +c b Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB cho AI = EK . Chng minh ba im I , M , K thng hng ã ã c) T E k EH BC ( H BC ) . Bit HBE = 50o ; MEB =25o . ã ã Tớnh HEM v BME Bi 5: (4 im) = 200 , v tam giỏc u DBC (D nm tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b) AM = BC a) Cho Ht Đáp án đề 1toán Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm) n .16 = 2n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài 2. Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 . 49 + + + . + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 (1 + + + + . + 49) ( + + + . + ). 9 14 14 19 44 49 12 = 1 (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( ). = = 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x + = x + Ta có: x + => x - 2. + Nếu x - x + = x + => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < - Thì x + = x + => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 + 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007 Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 giờ. Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y xy 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33 x= 12 ( vũng) => x = (giờ) 33 11 Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đờng thẳng 11 Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC I Và FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF B H C M (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), D BAH = ACB ( phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => AFE = CAB =>AE = BC Đáp án đề toán Bi 1:(4 im): a) (2 im) 212.35 46.9 510.73 255.49 10 212.35 212.34 510.73 .7 A= = 12 12 9 3 ( .3) + .3 ( 125.7 ) + .14 .3 + .3 .7 + .2 .7 212.34. ( 1) 510.73. ( ) = 12 .3 . ( + 1) 59.73. ( + 23 ) 212.34.2 .7 . ( ) = 12 .3 .4 59.73.9 10 = = 10 b) (2 im) 3n + 2n + + 3n 2n = 3n + + 3n 2n + 2n Vy 3n + = 3n (32 + 1) n (2 + 1) = 3n ì10 2n ì5 = 3n ì10 2n1 ì10 = 10( 3n -2n) 2n + + 3n 2n M 10 vi mi n l s nguyờn dng. Bi 2:(4 im) a) (2 im) x 4 16 + = ( 3, ) + x + = + 5 5 x 14 + = 5 x =2 x = 13 x =2 x=2+ = 3 x=2+1 = 3 b) (2 im) ( x 7) x +1 ( x 7) ( x 7) x +11 =0 ( x ) 10 = 10 ( x +1) ( x ) = ( x 7) x +1 x x +1=0 ữ 1( x 7)10 =0 x 7=010 x =7 ( x 7) =1 x=8 Bi 3: (4 im) a) (2,5 im) Gi a, b, c l ba s c chia t s A. Theo bi ta cú: a : b : c = : : (1) v a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = T (1) = k a = k ; b = k ; c = 6 + ) = 24309 Do ú (2) k ( + 25 16 36 k = 180 v k = 180 + Vi k =180, ta c: a = 72; b = 135; c = 30. Khi ú ta cú s A = a + b + c = 237. + Vi k = 180 , ta c: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi ú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 im) a c T = suy c = a.b c b a + c a + a.b ú 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b( a + b ) b Bi 4: (4 im) a/ (1im) Xột AMC v EMB cú : AM = EM (gt ) ãAMC = EMB ã (i nh ) BM = MC (gt ) Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) B AC = EB ã ã Vỡ AMC = EMB MAC = MEB (2 gúc cú v trớ so le c to bi ng ng thng AE ) Suy AC // BE . b/ (1 im ) Xột AMI v EMK cú : AM = EM (gt ) ã ã = MEK ( vỡ AMC = EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nờn AMI = EMK ( c.g.c ) ã Suy ãAMI = EMK ã M ãAMI + IME = 180o ( tớnh cht hai gúc k bự ) ã ã EMK + IME = 180o Ba im I;M;K thng hng c/ (1,5 im ) = 90o ) cú HBE ã Trong tam giỏc vuụng BHE ( H = 50o ã ã = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HBE ã ã ã = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o HEM ã l gúc ngoi ti nh M ca HEM BME ã ã ã Nờn BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( nh lý gúc ngoi ca tam giỏc ) A I M C 0,5 im H thng AC v EB ct K 0,5 im E A 20 M D B C Bi 5: (4 im) a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) ã ã suy DAB = DAC ã Do ú DAB = 200 : = 100 b) ABC cõn ti A, m àA = 200 (gt) nờn ãABC = (1800 200 ) : = 800 ã ABC u nờn DBC = 600 Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ãABD = 800 600 = 200 . Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ãABM = 100 Xột tam giỏc ABM v BAD cú: ã ã AB cnh chung ; BAM = ãABD = 200 ; ãABM = DAB = 100 Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Đề số 3: Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu 3. Cho đa thức 9 nhỏ 10 11 P ( x ) = x + 2mx + m Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x a/ Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 B= x + 15 x2 + Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC. a. Chứng minh: DC = BE DC BE b. Gọi N trung điểm DE. Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a a => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn 9 nhỏ 10 11 Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70. Vì 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 70 x 77 => x = Vậy phân số cần tìm Câu 3. Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = 2m +m2 = m2 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y x y xy 84 a/ = ; xy=84 => = = = =4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y = = 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y + 7y 5y 2y + 5y 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y = x x 12 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = vào ta đợc: 1+ 3y y = = y 12 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 15 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề 15 => Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 Ta có : x + 0. Dấu = xảy x= -1. A 5. Dấu = xảy x= -1. Vậy: Min A = x= -1. ( ) 12 x + 15 x + + 12 B= = = + x +3 x +3 x2 + Ta có: x 0. Dấu = xảy x = x + ( vế dơng ) 12 12 12 12 1+ 1+ x +3 x +3 x +3 B Dấu = xảy x = Vậy : Max B = x = 0. Câu 6: a/ Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta có: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) (3) => ABC = c/ Kéo dài MA cắt BC H. Từ E hạ EP Xét AHC EMA ( đpcm) MH EPA có: CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA câu b) EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) Đề số 4: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) 10 Đề số 48: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 81 , 624 : , 505 + 125 A= 11 13 : , 88 + , 53 ( , 75 ) : 25 25 b) Chứng minh tổng: 1 1 1 S = + . + n n + + 2002 2004 < 0,2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x thoả mãn. 2005 = x + x 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 b) Cho p > 3. Chứng minh số p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho 6. Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày. Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3. Điều hay sai ? ? b) Cho dãy tỉ số nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + Tính M = c+d d +a a+b b+c Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I. a) Tính góc DIE góc A = 600. b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N. Chứng minh BM > MN + NC. Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z số dơng. x y z + + Chứng minh rằng: 2x + y + z y + z + x 2z + x + y 53 Đề số 49: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 2 a) Tìm x biết: x + x = x + b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3 x + x ) 2004 . (3 + x + x ) 2005 Bài 2: (2 điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên. Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t = = = Cho . y+ z+t z+t + x t + x+ y x+ y+ z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: x+ y y+ z z+t t + x P= + + + z+t t + x x+ y y+ z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E cho góc EBA= tia EB lấy điểm D cho ED = BC. Chứng minh tam giác CED tam giác cân. . Trên tia đối Bài 5: (1 điểm) Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mãn : a + 3a + = 5b a + = 5c 54 Đề số 40: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính A = 32 + 33 34 + . + 32003 32004 b) Tìm x biết x + x + = Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z = = Nếu a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c a b c = = Thì x + y + z 2x + y z 4x y + z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng). Vận tốc ngời từ A 20 km/h. Vận tốc ngời từ B 24 km/h. Tính quãng đờng ngời đi. Biết họ đến C lúc. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH. Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE. Gọi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC. Tính số đo góc AIC AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005. Tính giá trị biểu thức: x 2005 2006 x 2004 + 2006 x 2003 2006 x 2002 + 2006 x + 2006 x Đề số 50: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) a b c = = Câu . ( 2đ) Cho: . b c d a a+b+c Chứng minh: = . d b+c+d Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A= a c b = = . b+c a+b c+a 55 Câu 3. (2đ). Tìm x Z để A Z tìm giá trị đó. x+3 2x a). A = . b). A = . x2 x+3 Câu 4. (2đ). Tìm x: a) x3 = . b). ( x+ 2) = 81. c). x + x+ = 650 Câu 5. (3đ). Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM . E BC, BH,CK AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân. Đề thi học sinh giỏi toán lớp Câu 1: (2đ) Rút gọn A= x x2 x + x 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây,. Hỏi lớp có học sinh. Biết số lớp trồng đợc nh nhau. Câu 3: (1,5đ) 102006 + 53 Chứng minh số tự nhiên. Câu : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc . Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C. vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh . a, K trung điểm AC. AC b, BH = c, VKMC Câu (1,5 đ) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 . Biết câu câu dới nửa sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em xác định thứ tự giải cho bạn. Đề số 51: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bi 1: (3 im): Tớnh 2 18 (0, 06 : + .0,38) : 19 .4 ữ Bi 2: (4 im): Cho a) a2 + c2 a = b2 + c b a c = chng minh rng: c b b2 a b a b) 2 = a +c a 56 Bi 3:(4 im) Tỡm x bit: a) x + = b) 15 x+ = x 12 Bi 4: (3 im) Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi tc 5m/s, trờn cnh th ba vi tc 4m/s, trờn cnh th t vi tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy = 200 , v tam giỏc u DBC (D nm tam giỏc ABC). Tia Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: e) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC f) AM = BC Bi 6: (2 im): Tỡm x, y Ơ bit: 25 y = 8( x 2009) --------------------------------------------------------P N THI Bi 1: im 2 18 (0, 06 : + .0,38) : 19 .4 ữ= 15 17 38 19 109 ( : + . ) : 19 . ữ 0.5 = 100 100 109 17 19 38 . + . ữ : 19 ữ = 50 15 50 109 323 19 + = ữ : 250 250 109 13 ữ. = = 10 19 506 253 . = = 30 19 95 0.5 0.5 0.5 Bi 2: a) T a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b ú 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b( a + b ) b 0.5 0.5 0.5 a2 + c2 a b2 + c2 b 0.5 = = b2 + c b a2 + c2 a b2 + c b b2 + c2 b t 2 = 2 = a +c a a +c a b) Theo cõu a) ta cú: 57 b2 + c a c b a = a2 + c2 a 2 b a ba vy 2 = a +c a hay 0.5 0.5 Bi 3: a) x+ = = + 0.5 1 x + = x + = hoc x + = 5 1 Vi x + = x = hay x = 5 1 11 Vi x + = x = hay x = 5 x+ 0.25 0.25 b) 15 x+ = x 12 x+ x = + 0.5 13 ( + )x = 0.5 14 49 13 x= 0.5 20 14 130 x= 0.5 343 Bi 4: Cựng mt on ng, cn tc v thi gian l hai i lng t l nghch 0.5 Gi x, y, z l thi gian chuyn ng ln lt vi cỏc tc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x = 4. y = 3.z v x + x + y + z = 59 Ta cú: x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 hay: 1 1 1 59 0.5 + + + 5 60 Do ú: 1 x = 60. = 12 ; x = 60. = 15 ; x = 60. = 20 0.5 Vy cnh hỡnh vuụng l: 5.12 = 60 (m) 0.5 Bi 5: -V hỡnh, ghi GT, KL ỳng 0.5 a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) ã ã suy DAB = DAC ã Do ú DAB = 200 : = 100 A 20 M D 58 B C b) ABC cõn ti A, m àA = 200 (gt) nờn ãABC = (1800 200 ) : = 800 ã ABC u nờn DBC = 600 Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ãABD = 800 600 = 200 . Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ãABM = 100 Xột tam giỏc ABM v BAD cú: ã ã AB cnh chung ; BAM = ãABD = 200 ; ãABM = DAB = 100 Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Bi 6: 25 y = 8(x 2009) 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5 25 Vỡ y2 nờn (x-2009)2 , suy (x-2009)2 = hoc (x-2009)2 =1 Vi (x -2009)2 =1 thay vo (*) ta cú y2 = 17 (loi) Ta cú Vi (x- 2009)2 = thay vo (*) ta cú y2 =25 suy y = (do y Ơ ) T ú tỡm c (x=2009; y=5) 0.5 0.5 0.5 Đề số 52: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) 1 1 + + + . + 1.6 6.11 11.16 96.101 Bài 1. Tính Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: 1 + = x y Bài 3. Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: x + x + y + x = Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 700 . Phân giác góc ACB cắt AB M. Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. Đề số 52: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bi 1:(4 im) a) Thc hin phộp tớnh: A= 212.35 46.92 ( .3) + .3 510.73 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 59 3n + 2n+ + 3n 2n chia ht cho 10 Bi 2:(4 im) Tỡm x bit: + = ( 3, ) + 5 a. x b. ( x 7) x +1 ( x 7) x +11 =0 Bi 3: (4 im) b) S A c chia thnh s t l theo : : . Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s ú bng 24309. Tỡm s A. a c a2 + c2 a c) Cho = . Chng minh rng: 2 = c b b +c b Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB cho AI = EK . Chng minh ba im I , M , K thng hng ã ã c) T E k EH BC ( H BC ) . Bit HBE = 50o ; MEB =25o . ã ã Tớnh HEM v BME Bi 5: (4 im) = 200 , v tam giỏc u DBC (D nm tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: g) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC h) AM = BC Ht 60 P N V HNG DN CHM MễN TON Bi 1:(4 im): ỏp ỏn Thang im a) (2 im) 212.35 46.92 510.73 255.49 10 212.35 212.34 510.7 .7 A= = 12 12 9 3 .3 + .3 .7 + .2 .7 125.7 + .14 ( .3) + .3 ( ) 212.34. ( 1) 510.73. ( ) = 12 .3 . ( + 1) 59.73. ( + 23 ) 0,5 im 0,5 im .3 .2 .7 . ( ) 212.35.4 59.73.9 10 = = = 12 10 0,5 im 0,5 im b) (2 im) n + - Vi mi s nguyờn dng n ta cú: 3n + 2n+ + 3n 2n = 3n + + 3n 2n + 2n = 3n (32 + 1) n (2 + 1) = 3n ì10 2n ì5 = 3n ì10 2n1 ì10 = 10( 3n -2n) Vy 3n + 2n + + 3n 2n M 10 vi mi n l s nguyờn dng. 0,5 im im 0,5 im Bi 2:(4 im) ỏp ỏn Thang im a) (2 im) x 4 16 + = ( 3, ) + x + = + 5 5 0,5 im 14 x + = 5 x =2 x = x1 =2 x=2+ = 3 x=2+1 = 3 b) (2 im) ( x 7) x +1 ( x 7) ( x 7) x +1 0,5 im x +11 0,5 im 0,5 im 0,5 im =0 0,5 im ( x ) = 10 61 ( x 7) ( x +1) 0,5 im ( x ) 10 = x x +1=0 ữ 1( x 7)10 =0 0,5 im x 7=010 x =7 ( x 7) =1 x=8 Bi 3: (4 im) ỏp ỏn Thang im a) (2,5 im) Gi a, b, c l ba s c chia t s A. Theo bi ta cú: a : b : c = : : (1) v a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = T (1) = k a = k ; b = k ; c = 6 + ) = 24309 Do ú (2) k ( + 25 16 36 k = 180 v k = 180 + Vi k =180, ta c: a = 72; b = 135; c = 30. Khi ú ta cú s A = a + b + c = 237. + Vi k = 180 , ta c: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi ú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 im) a c T = suy c = a.b c b a + c a + a.b ú 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b( a + b ) b 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Bi 4: (4 im) ỏp ỏn Thang im 62 V hỡnh 0,5 im A I M B C H K E a/ (1im) Xột AMC v EMB cú : AM = EM (gt ) ãAMC = EMB ã (i nh ) BM = MC (gt ) Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB ã ã Vỡ AMC = EMB MAC = MEB (2 gúc cú v trớ so le c to bi ng thng AC v EB ct ng thng AE ) Suy AC // BE . b/ (1 im ) Xột AMI v EMK cú : AM = EM (gt ) ã ã = MEK ( vỡ AMC = EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nờn AMI = EMK ( c.g.c ) ã EMK ã M ãAMI + IME = 180o ( tớnh cht hai gúc k bự ) ã ã EMK + IME = 180o Ba im I;M;K thng hng c/ (1,5 im ) = 90o ) cú HBE ã Trong tam giỏc vuụng BHE ( H = 50o ã ã = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HBE ã ã ã = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o HEM ã l gúc ngoi ti nh M ca HEM BME ã ã ã Nờn BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( nh lý gúc ngoi ca tam giỏc ) 0,5 im 0,5 im 0,5 im Suy ãAMI = 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Bi 5: (4 im) 63 A 20 M D B C -V hỡnh a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) ã ã suy DAB = DAC ã Do ú DAB = 200 : = 100 b) ABC cõn ti A, m àA = 200 (gt) nờn ãABC = (1800 200 ) : = 800 ã ABC u nờn DBC = 600 Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ãABD = 800 600 = 200 . Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ãABM = 100 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im 0,5 im Xột tam giỏc ABM v BAD cú: ã ã AB cnh chung ; BAM = ãABD = 200 ; ãABM = DAB = 100 Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Lu ý: Nu hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng t im ti a. Đề số 53: đề thi học sinh giỏi 0,5 im (Thời gian làm 120 phút) Câu ( điểm) Thực phép tính : a. 6. 3. + : ( ) 64 2003 . .( 1) b. . 12 Câu ( điểm) a2 + a + a. Tìm số nguyên a để số nguyên a +1 b. Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y = Câu ( điểm) a c = với b, d khác b d b. Cần số hạng tổng S = + + + để đợc số có ba chữ số giống . Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200. Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = a. Chứng minh a + c = 2b 2bd = c(b + d) Câ u 1.a 1.b 2.a Đáp án chấm Toán Hớng dẫn chấm Thực theo bớc kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bớc kết 14,4 cho điểm tối đa a + a + a (a + 1) + =a+ Ta có : = a +1 a +1 a +1 a +a+3 a số nguyên nên số nguyên số nguyên hay a+1 a +1 a +1 ớc ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 Vậy với a { 4,2,0,2} 2.b a2 + a + số nguyên a +1 Điểm 1Điểm 1Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ : x- 2xy + y = 65 3.a 3.b Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ta có trờng hợp sau : y = x = x = y = y = x = Hoặc x = y = Vậy có cặp số x, y nh thoả mãn điều kiện đầu Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) a c Hay ad = bc Suy = ( ĐPCM) b d Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta có : n(n + 1) = 111a = 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n + < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do n=37 n + = 37 n(n + 1) = 703 không thoả mãn Nếu n =37 n + = 38 lúc n(n + 1) = 666 thoả mãn Nếu n + 1=37 n = 36 lúc Vậy số số hạng tổng 36 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 A H B C 0,5 D Kẻ DH Vuông góc với AC ACD =600 CDH = 300 CD CH = BC Nên CH = Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150 0,5 1,0 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H 1,0 Do tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 Từ : x2- 2y2 =1suy x2- = 2y2 0,25 Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x = lúc y = nguyên tố thoả mãn 0,25 Nếu x không chia hết cho x 2-1 chia hết cho 2y chia hết cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho x2 =19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3) 0,25 66 0,25 Đề số 54: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài (4đ) Rút gọn biểu thức a- A = a - + - 2a - + a b- + + + . + (n 1) + n + (n 1) + . + + + với n N Bài (4 đ) . Chứng minh : a,b,c số không âm thoả mãn điều kiện sau : a + c = a + b = N 17 = a+b-clà số không dơng . Tìm a,b,c để N = Bài (4 đ) . Cho biểu thức A = x2 2+ x Biểu thức A có giá trị lớn hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị Câu (4 đ) Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 . Phân giác CAB cắt CB D . Chứng minh AD + DC = AB Bài ( đ) Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên đờng thẳng vuông góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đờng thẳng AC . Gọi K giao điểm đờng thẳng qua B vuông góc với AB đờng thẳng qua trung điểm M CD vuông góc với AD . Chứng minh KB = KD -------------------------*****------------------------Đề số 55: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bi 1: Thc hin phộp tớnh (2 im) 5 a/ : + : 11 22 15 ( 69 b/ + + + 167 ( ) ) 1 Bi 2: So sỏnh (2 im) a/ + vi 48 + b/ (1 50 ) vi Bi 3: Tỡm x, y, z bit (4,5 im) a/ 3(x-2) 4(2x+1) 5(2x+3) = 50 67 21 b/ : x + = 22 c/ 3x y y 3z z 5x = = 37 15 v 10x - 3y - 2z = -4 Bi 4: (6 im) Cho hm s y = ( m + 2009) x + x . Bit th hm s i qua im A(-1; -1) a/ Tỡm m b/ V th hm s vi m tỡm c c/ im no sau õy khụng thuc th hm s trờn. B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tớnh din tớch tam giỏc OBC Bi 5: (5,5 im) Cho ABC, gúc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm. Trờn BC ly im D cho gúc BAD = 60 0. Gi H l trung im ca BD a/ Tớnh di HD b/ Chng minh rng DAC cõn c/ ABC l tam giỏc gỡ? d/ Chng minh rng AB2 + CH2 = AC2 + BH2 =======&======= (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) 68 [...]... = Y 3 30 c) d) e) f) 41o1 = 4100 +1 = 4100 4 = C 6 4 = k 4 71 01 = 71 00+1 = 71 00 7 = D1 7 = F 7 8101 = 8100+1 = 8100 8 = E 6 8 = N 8 9101 = 9100 +1 = 9100 9 = F1 9 = M 9 3 Một số bài toán phức tạp hơn Bài toán 3: Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau : a) 129219 97 ; b) 333319 97 ; c) 123419 97 ; d) 12 371 9 97 ; e) 123819 97 ; f) 256919 97 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của... góc ACD? Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp 7 29 Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6 ,7 I phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa đây là những bài toán tơng đối phức tạp của học sinh các lớp 6 ,7 nhng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn... mà thôi (cơ số) Nh vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2 a) 129219 97 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6.1292 = M 2 b) 333319 97 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3 c) 123419 97 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C 6 )499 1234 = G 4 d) 12 371 9 97 = 12 374 499 +1 = (12 374 ) 499 12 37 = (D1) 499 12 37 = X 7 4 vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết Ta... VABC =VVEMA f Chứng minh: MA BC Đề số 30: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: So sánh các số: a A = 1 + 2 + 2 2 + + 250 B =251 b 2300 và 3200 Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a tỉ lệ thuận với 7 và 11; b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 8 và 5a - 3b + 2c = 164 Câu 3: Tính nhanh: 3 1 1 1 76 1 4 5 ì ì4 + 4 17 762 139 76 2 4 17. 762 139 Câu 4 Cho tam giác ACE đều sao cho B và E ở hai nửa mặt... sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4) Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh a) 129219 97 + 333319 97 M 5 Theo bài toán trên ta có 129219 97 = M 2 333319 97 = D3 nh vậy tổng của hai số này sẻ có tận cùng là 5 129219 97 + 333319 97 M 5... bài toán chứng minh chia hết trong tập hợp số tự nhiên Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hớng dẩn cho một số học sinh các em tỏ ra rất thích thú và xem đó nh là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề nh trên các em đã tự ra đề đợc và có nhiều bài rất hay Cách đặt vấn đề cung nh trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành 31 đề thi. .. 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 11 Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n + 1) = 111a = 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a 2 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1 . .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125 .7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A = = + + + + . (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷ . : aa nn . 37. 3111 2 )1( == + Hay n(n+1) =2.3. 37. a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1< ;74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n= 37 hoặc n+1 = 37 Nếu n= 37 thì n+1 = 38 lúc đó 70 3 2 )1( = +nn