http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu ( 4, điểm)    1) Giải phương trình  4sin x  4sin 3x   2cos10 x. 2) Tìm x để sin x ; sin 2 x ;  sin x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu ( 6, điểm) 1) Một đoàn tàu có toa chở khách với toa có chỗ trống. Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để hành khách lên tàu có toa có khách lên, hai toa có khách lên toa khách lên tầu. 1  2) Tìm hệ số số hạng chứa x13 khai triển f ( x)    x  x  (2 x  1)15 thành đa thức. 4  3) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện  P1  2P2  3P3   nPn  P2014 , với Pn số hoán vị tập hợp có n phần tử. Câu ( 2, điểm). Tính lim x 1 x 2014  2014 x + 2013  x  1  Câu ( 6, điểm) 1) Cho đường tròn  O  dây cung AB thay đổi cho AB qua điểm I cố định nằm đường tròn  O  (I không trùng với tâm O). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn IA  IB  IM . 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB  AD = a ; AA '= a ; BAD  600. Gọi M N lần lượt trung điểm A'D' A'B', E giao điểm MN A'C'. a) Tính cosin góc tạo đường thẳng BE mặt phẳng (ACC'A'). b) Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Câu ( 2, điểm). Cho số thực dương a, b  a  b  hai dãy số un ;vn  xác định sau: u1  a ; v1  b   u v un 1  n n ; 1  un .vn ,  n    * . Chứng minh hai dãy un ;vn  có giới hạn hữu hạn lim un  lim . ------ HẾT -----Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) NGÀY THI 29/3/2014 Hướng dẫn giải Câu Câu Xét sin x x k ,k Xét sin x x k ,k Điểm (4đ) . Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn. (*). 0.5 Nhân hai vế phương trình cho với sin x Phương trình tương đương với sin x sin x cos10x sin x 1.1. (2.0 điểm) cos 6x sin 5x x m x 12 sin11x sin x , m, n n 0.5 x Kết hợp với (*) ta nghiệm phương trình x m 5k; m, n, k 0.5 m 12 sin x   sin x  2sin 2 x  sin x   sin x   cos4x  2cos4x sin 3x  cos4x  cos4x=0 sin 3x  x x x 18 18 , n 0.5 . sin x ; sin 2 x ;  sin x lập thành cấp số cộng 1.2 (2.0 điểm) 0.5 0.5 0.5 k , k k k . 0.5 KL. (6đ) Câu 2.1 (2.0 điểm) Gọi A biến cố cần tính xác suất. Số cách xếp khách lên toa | | 45 0.5 Số cách chọn ba khách để xếp lên toa C 53 Số cách chọn toa để xếp ba người C 10 . 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa lại A23 Suy | | 10.4.6 A 2.2 (2.0 điểm) 2.3 (2.0 điểm) Ta có (1 | | | A | 240 45 (2x+1)6 .(2x+1)15 64 2x )21 0.5 240 Vậy xác suất cần tìm P Ta có f (x ) 21 15 . 64 (1 64 0.5 2x)21 . 0.5 k k k C 21 2x 0.5 k 13 13 Hệ số số hạng chứa x 13 khai triển (2x+1)21 C 21 0.5 13 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển thành đa thức f (x ) 13 13 13 C 21 C 21 26046720 64 Ta có Pk Pk k ! (k 1)! (k 1)! k (k 1)Pk , k = 1, 2, . (*) Áp dụng (*) ta có P2 (**) P1 P1, P3 P2 2P2, , Pn Pn Cộng đẳng thức (**) ta Pn P1 P1 2P2 Do P1 nên Pn 1 P1 2P2 nPn Khi điều kiện cho thành Pn P2014 n 2014 Kết luận. 0.5 nPn nPn . n 0.5 0.5 2013. 0.5 (2 đ) Câu lim x 2014 lim x  2014 x+2013  x  1 x 1 2.0 điểm 0.5 (x 2013 lim x 2012 x 2013  lim (x 2014  1)  2014( x  1)  x  1 x 1 (x 2012 1) x 2011 x x x x   x   2014 x 1 1) x 2011 2014.2013  lim 2012 x 1 (x 1) 2012 2013 0.5 0.5 x (x 2027091. 1) 0.5 0.5 (6đ) Câu O 4.1 (2.0 điểm) A E I B Gọi E trung điểm AB IA IB 2IE suy IM 2IE 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có OE AB vuông góc suy E thuộc đường tròn đường kính OI. Xét phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm E thành điểm M; Gọi (C) đường tròn đường kính OI. Vậy quỹ tích điểm M đường tròn (C') ảnh đường (C) qua VI2 hay (C') đường tròn tâm O bán kính OI. A 0.5 0.5 0.5 B O C D I A' 4.2a (2 .0 điểm) B' N E M D' O' C' Gọi O giao điểm AC BD Suy AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết. BD (ACC'A') . Vậy OE hình chiếu BE mặt phẳng (ACC'A'). 0.5 Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO. 0.5 Xét tam giác EOO' vuông O', tính EO a 15 . 15 . 15 15 Vậy cosin góc đường thẳng BE (ACC'A') . 19 0.5 Trong tam giác BEO vuông O. Tính tan BEO= 4.2b (2.0 điểm) Câu Theo chứng minh ta có BD vuông góc AC' (1) Gọi O' trung điểm A'C'; I giao điểm OO' AC'. Chứng minh tam giác OO'E tam giác AOI nhau. EOO'+OIA 900 Suy OAI=EOO'; OAI+OIA 900 Từ chứng minh EO vuông góc với AC' (2) Từ (1) (2) suy AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (2đ) http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có v2 u1v1 u1 u2 ab v1 b a b 2 Chứng minh quy nạp v1 v2 uk uk vk 2.0 điểm uk v1 v2 vk uk 1.vk uk v k uk vk vk a u1 . vk ; 0.5 u1 vk (do uk u2 . uk vk ) vk ; vk 0.5 uk . . v1 uk uk .u1 . Vậy (un ) giảm bị chặn dưới; (vn ) tăng bị chặn nên tồn lim un un un Vậy lim un lim 0.5 lim ; . 0.5 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng. - Với toán hình học học sinh vẽ hình sai không vẽ hình không cho điểm phần tương ứng. . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG Ngày thi: 29/3 /2014 Thời gian làm. TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 29/3 /2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn. điều kiện đã cho thành 1 2014 1 2014 2013. n P P n n Kết luận. 0.5 Câu 3 (2 đ) 2.0 điểm     2014 2014 2013 2012 22 1 1 1 2014 +2013 ( 1) 2014( 1) 1 2014 1 11 x x x x x x x x x x lim