Diễn Đàn Toán THPT K2pi.Net.Vn TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TỪ DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN Trần Quốc Việt Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ n Lời Nói Đầu Ne t.V Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 vừa qua với nhiều thay đổi lớn trước ngưỡng đổi Giáo Dục. Chúng ta thấy thay đổi đột phá đề thi môn Toán nói riêng. Về cấu trúc đề thi phân loại gồm 60% phần dễ đủ cho học sinh thi tốt nghiệp 40% phần khó cực khó nhằm phân loại mạnh học sinh để xét tuyển vào trường Đại học- Cao đẳng. Trong nhóm câu phương trình, hệ phương trình không dừng lại mức độ dễ kiếm điểm đề thi năm trước, mức độ khó nhóm câu nằm điểm ta chinh phục nó. Và nói riêng đề thi Toán 2015 câu phương trình vô tỷ xuất lại sau năm trước đề thi hệ phương trình nên xu hướng học sinh theo học phương trình vô tỷ nhiều. Và người đam mê Toán muốn phát triển họ chả ngừng nghỉ học cho dù có liên quan đến thi cử hay không. Vì mà tiếp nối thành công TOPIC Phương trình vô tỷ 2014 thầy Phạm Kim Chung diễn đàn Toán -THPT K2pi.Net.Vn TOPIC Phương trình vô tỷ 2015 anh Nguyễn Duy Hồng thành công quét kỹ hết dạng toán thường gặp phương trình vô tỷ,mở nhìn chuyên pi. sâu toán giúp phần cho thí sinh vượt qua kỳ thi. Nay tổng hợp toán lại thành tài liệu tiếp tục phục vụ việc ôn thi kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 tiếp theo. Mong tài liệu bổ ích cho việc ôn thi bạn. K2 Mọi ý kiến đóng góp xin gửi thành viên Trần Quốc Việt diễn đàn Toán THPT K2pi.Net.vn, qua gmail: tranquocvietkyphu@gmail.com facebook cá nhân https://www.facebook.com/leoricmta c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Hà Tĩnh tháng 10 năm 2015 Người Tổng Hợp Trần Quốc Việt Trang Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ n Phần I. Tuyển Chọn Các Bài Toán Bài toán Giải phương trình sau x+1 x2 + 2x + = x+3 x2 + 6x + 13 Ne t.V + 4x2 + x Lời Giải Cách 1. Phương trình cho tương đương với 2x + (2x)2 + (x + 1) + (x + 1)2 = (x + 3) 1+ x+3 (∗) √ Để ý f (t) = t + t2 hàm đồng biến R. Với x Ta có 2x x+3 ⇒ 2x Và 1+ pi. x+3 ⇒ (x + 1) (2x)2 x+1 Từ suy V T (∗) + (x + V P (∗), ∀x x+3 1)2 x+3 1+ x+3 1+ x+3 K2 Với x < 1, tương tự ta có V T (∗) < V P (∗) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1. Cách 2. Đặt u = 2x, v = x + 1, w = u + u2 + v x+3 ta đưa phương trình + v = 2w + w2 ⇔ u + u2 − w + w2 = w + w2 − v + v √ Do f (t) = t t2 + hàm tăng. Giả sử V T ≥ V P ≥ tức   u ≥ w 3x ≥ ⇔ ⇔x=1 w ≥ v 1 ≥ x c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tương tự với biện luận V T ≤ 0. n Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán Giải phương trình sau 2x − + √ 3x − = 2x Ne t.V √ Lời Giải Điều kiện x Cách 1. Khi phương trình cho tương đương với x− √ 2x − + x − √ 3x − = (x − 1)2 (x + 2) (x − 1)2 √ ⇔ + =0 x + 2x − x2 + x√ 3x − + (3x − 2)    ⇔ (x − 1)2  x+2 √ + x + 2x − x2 + x√ 3x − + (3x − 2)2  =0 pi. 1 x+2 √ > ; ∀x ≥ + x + 2x − x2 + x√ 3x − + (3x − 2)2 Nên phương trình cho có nghiệm x = Cách 2. Phương trình cho tương đương với Do K2 √ √ 1 2x − − 2x − + + 3x − − 3 3x − + = √ √ √ 2 2x − − + 3x − + 3x − − = ⇔ √ 2x − = ⇔ √ 3x − = ⇔x=1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1. c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ x− √ √ x−3= 1+ √ x Lời Giải n Bài toán Giải phương trình sau Ne t.V  x − √x − ≥ Điều kiện x ≥ Khi phương trình tương đương √ √ √ − 4x x − = x + √ √ ⇔ 4x2 − 4x x − = 3x + 12 x + 12 √ √ ⇔ 4x2 − 4x x − + x − = 4x + 12 x + √ √ 2 ⇔ 2x − x − = x + √ √ Trường hợp 1. Với 2x − x − = x + √ √ 2x − x − = x + √ √ ⇔ x − + x − − − (x − 4) = 4x2 pi. +√ −2 =0 x+2 x−3+1 Với x ≥ Phần ngoắc vuông nhỏ 0. Vậy phương trình có nghiệm x = √ √ Trường hợp 2. Với 2x − x − = −2 x − Ta nhận thấy với x ≥ V T > V P < 0. Do phương trình vô nghiệm Kết luận. phương trình cho có nghiệm x = 4. K2 ⇔ (x − 4) √ Bài toán Giải phương trình sau c x2 − + = x + Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn √ 2x − Lời Giải Trang TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  2x − ≥ Điều kiện x2 − ≥ ⇒x≥ √ n Trần Quốc Việt Phương trình tương đương x2 − − ⇔ √ 2x − = x − x(x − 2) =x−2 √ x2 − + 2x − x Suy x = √ = (∗) √ x2 − + 2x − √ (∗) ⇔ x − x2 − = 2x −  x − √x2 − = − √2x − Kết hợp với phương trình cho ta có x − √x2 − = √2x − Ne t.V ⇔√ ⇒2− √ 2x − = √ 2x − ⇔ x = Kết luận. Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = Bài toán Giải phương trình sau x2 + + 2x x2 + = pi. 2x2 + x + ; x=2 Lời Giải Phương trình cho tương đương với x+ x2 + (2x + 1) = K2 ⇔ (2x + 1) √ =9 x2 + − x ⇔ 2x + = 3( x2 + − x) ⇔ x2 + = 5x +   x≥− ⇔ 8x2 + 5x − 13 = ⇔x=1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài toán Giải phương trình sau √ √ + − x = −3x + x + + n Trần Quốc Việt − x2 Ne t.V Lời Giải Điềukiện −1 ≤ x ≤ √1 + x = a ≥ Đặt √  1−x=b≥0 Khi phương trình cho trở thành 2a2 − a(b + 5) − b2 + 2b + = ⇔ (2a + b − 3)(a − b − 1) = Với 2a + b = ta có √ √ x+1+ 1−x=3 pi. ⇔ − x2 = − 3x  x ≤ ⇔ 25x2 − 24x = ⇔ x = (t/m) ∨ x = 24 (t/m) 25 Với a − b − = ta có: K2 √ √ 1+x= 1−x+1 √ ⇔ − x = 2x −  x ≥ ⇔ 4x2 = √ ⇔x= (t/m) Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = x = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn √ 24 x = 25 Trang TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài toán Giải phương trình sau √ 7x + − x2 − x − + n Trần Quốc Việt x2 − 8x − = Lời Giải Ne t.V Phương trình cho tương đương √ 3 ⇔ 7x + + + x − x2 + x2 − 8x − =  √   a = 7x +   √ √ Đặt b = + x − x2 ta có a + b + c = a3 + b3 + c3 =    c = √ x2 − 8x − ⇔ a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 ⇔ 3(a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ (2 − a)(2 − b)(2 − c) = Với a = ⇒ x = Với b = ⇒ x = ∨ x = pi. Với c = ⇒ x = −1 ∨ x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {−1; 0; 1; 9} Bài toán Giải phương trình sau x+ √ 2−x= K2 √ 4−x + 2+x Lời Giải Điều kiện ≤x ≤ √   a = x    √    b = − x Cách 1. Đặt 4−x  c=       + x  d = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ n Vậy ta có a4 + b4 = c4 + d4 ≤ ab ≤ cd (∗) Thay vào phương trình ta a + b = c + d ⇔ a2 + b2 + 2ab = c2 + d2 + 2cd ⇒ a2 + b2 ≥ c2 + d2 Ne t.V Dấu xảy ab = cd Mặt khác ta có a2 + b2 ≥ c2 + d2 ⇔ a4 + b4 + 2a2 b2 ≥ c4 + d4 + 2c2 d2 ⇒ a4 + b4 ≥ c4 + d4 Dấu đẳng thức xảy a2 b2 = c2 d2 Theo (∗) ta có phương trình nghiệm khi:  ab = cd ⇔x=1 a2 b2 = c2 d2 Cách 2. Đặt x = t + ta đưa phương trình dạng: √ 1+t+ √ 1−t= 3−t + 3+t pi. Tiếp tục đặt t = 3w phương trình trở thành: √ √ √ √ + 3w + − 3w = + w + − w Đến phương trình có dạng đối xứng, việc xét hàm đơn giản nhiều, 1 Điều kiện − ≤ w ≤ 3 Do phương trình có tính đối xứng, w0 nghiệm −w0 nghiệm K2 nên ta cần giải phương trình đoạn ≤ w ≤ √ √ 4 Xét hàm số: f (s) = + s + − s với ≤ s ≤ Ta có   f (s) = 1  (1 + s)3 − (1 − s)3   < ; ∀0 ≤ s ≤ phương trình tương đương với f (3w) = f (w) ⇔ 3w = w ⇔ 2w = ⇔ w = Vậy hàm f nghịch biến ≤ s ≤ c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ⇒x=1 n Cách 3. Nếu ta sử dụng bất đẳng thức sau toán trở nên gọn nhẹ Với a, b, c không âm ta có √ a+ √ b+ √ c≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a √ x+ Ne t.V Với toán ta có phương trình tương đương √ x+ √ 2−x= √ x+ 4−x + 2+x Sử dụng bất đẳng thức với vế trái ta có nhỏ vế phải Đẳng thức xảy x = Kết luận. Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán Giải phương trình sau √ (x4 + x3 )(x x + + 1) + x3 + x2 − = x+1 x pi. Lời Giải Điều kiện : x > x = −1 TH1. Nếu x = −1 vào không thỏa nên x = −1 nghiệm. TH2. Với x > phương trình cho tương đương với √ √ x4 + 2x3 + x2 − + (x5 + x4 )( x + − 2) − 2( √ x+1 √ − 2) + 2(x5 + x4 − 2) = x K2 ⇔ (x − 1) A = √ )+ Với A = x3 +3x2 +4x+4+(x5 +x4 )( √ x+1+ x( √ + 2(x4 + x+1 √ + 2) x 2x3 + 2x2 + 2x + 2) Hiển nhiên ta có A > ∀x > nên phương trình cho có nghiệm x=1 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 10 Trần Quốc Việt Đặt t = TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ −x + √ x2 + > phương trình cho n + 3t2 = t ⇔ (t − 1)2 (3t3 + 6t2 + 4t + 2) = Nghiệm t = suy Ne t.V x2 + = x + ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 123 Giải phương trình sau √ √ √ √ x x + x + 12 = 12( − x + − x) Lời Giải Điều kiện ≤ x ≤ Thấy x = nghiệm phương trình Xét ≤ x < V T < 12, V P > 12 suy phương trình vô nghiệm pi. Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 124 Giải phương trình sau √ √ 9x + − x = 3x + + −3x2 + 2x + + K2 Lời Giải Phương trình cho tương đương 9x − − −3x2 + 2x + = √ √ 3x + − − x ⇔ 78x2 − 63x − 15 − 6(3x − 5) −3x2 + 2x + = ⇔ (1 − x)(26x + 5) + 2(3x − 5) (1 − x)(3x + 1) = ⇔ √ c x=1 √ − x(26x + 5) + 2(3x − 5) 3x + = Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 82 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài toán 125 Giải phương trình sau √ x+1−2 √ = 2x + − x + Lời Giải n Trần Quốc Việt Ne t.V Phương trình cho tương đương √ √ (x + 2) x + − 2x − = 2x + √ √ ⇔ (x + 1)2 + x + = 2x + (2x + 1)2 + Đến ta liên hợp dùng hàm số đơn điệu √ 2x + √ 1± Giải phương trình ta có ba nghiệm x = , x = √ x+1= Bài toán 126 Giải phương trình sau √ √ √ √ 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Lời Giải pi. Điều kiện x ≥ Ta có √ √ √ 10x + + 3x − = 9x + + 2x − √ √ √ √ ⇔ 10x + − 9x + = 2x − − 3x − x−3 −x + √ √ ⇔√ =√ 2x − + 3x − 10x + + 9x + ⇔ x = (T /M ) K2 √ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 127 Giải phương trình sau 2x2 √ = 2x − − 4x − c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn 2x2 − 4x + Trang 83 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Lời Giải n 1 1 + √ ; +∞ ;1 − √ 2 Từ phương trình suy 2x − > Ta có 2x2 √ = 2x − − 2x2 − 4x + 4x − ⇔ √ Ne t.V Điều kiện x ∈ 2x2 2x2 √ ⇔√ = 4x − 2x − + 2x2 − 4x + 4x − = 2x − + 2x2 − 4x + ( x > 0) √ ⇔ 4x − − (2x − 1) = 2x2 − 4x + −2(2x2 − 4x + 1) ⇔√ = 4x − + (2x − 1) 2x2 − 4x + ⇔ 2x2 − 4x + = Kết hợp điều kiện suy x = + √ Vậy phương trình cho có nghiệm x = + √ √ 2x2 − 2x + + x − 1) = x x pi. Bài toán 128 Giải phương trình sau √ (1 + x + 1)( Lời Giải K2 Điều kiện x > Phương trình cho tương đương với ⇔ −1 x −1 x +1− −1 x √ x √ = 1+ x+1 +1− −1 x = 1 +1− √ x x √ t2 + − t ta có √ t − t2 + 1 √ √ f (t) = √ =− < ∀t ∈ R t2 + t + t2 + t2 + Xét hàm số f (t) = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 84 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 −1= √ x x √ 3− ⇔x= n Suy f (t) nghịch biến ta có Bài toán 129 Giải phương trình sau Ne t.V √ 3− Vậy phương trình cho có nghiệm x = x4 + 2x2 + 2x + = 4x2 + 5x + Lời Giải Phương trình cho tương đương với (x + 1)2 (x2 − 2x − 1) + ( 2x2 + 2x + 3) − x − 2) = x2 − 2x − ⇔ (x + 1) (x − 2x − 1) + 2x2 + 2x + 3) + x + =0 ⇔ x2 − 2x − = √ x=1− √ ⇔ x=1+ pi. Thử lại ta thấy hai nghiệm thõa mãn phương trình √ √ Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − ; x = + Bài toán 130 Giải phương trình sau K2 x2 + 3x = x2 + 1−x 2x Lời Giải Điều kiện x ∈ (0; 1] x2 + 3x Xét hàm số f (x) = với x ∈ (0; 1] x +1 Ta có 3(1 − x2 ) + 2x f (x) = > ; ∀x ∈ (0; 1] (x2 + 1)2 Vậy f (x) hàm đồng biến (0; 1] c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 85 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tương tự ta xét g(x) = 1−x với x ∈ (0; 1] 2x n Ta có ; ∀x ∈ (0; 1] − x 8x2 2x Vậy g(x) hàm nghịch biến (0; 1]. Ta lại có Ne t.V g (x) = − f =g Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán 131 Giải phương trình sau x2 + 80 = 3x + + x2 + Lời Giải pi. √ √ Đặt f (x) = x2 + 80 − 3x − − x2 + Khi ta có x x • f (x) = √ −√ −3 + 80 2+3 x x √ √ x x • x2 + 80 > x2 + =⇒ √ −√ ∀x ∈ R ⇒ x > c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 90 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình cho tương đương với n √ 2(x − 3)2 + x + − 3 4x − = x + 15 =0 √ (x + 3)2 + (x + 3) 4x − + (4x − 4)2 x + 15 > ∀x > nên phương trình Do + √ (x + 3)2 + (x + 3) 4x − + (4x − 4)2 suy x = Ne t.V ⇔ (x − 3)2 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 140 Giải phương trình sau 3x3 + 4x2 − = x6 + 2x3 + x2 Lời Giải Phương trình cho tương đương 3x3 + 3x2 − x − + x2 + x − ⇔ 3x2 − (x + 1) + x6 + 2x3 + x2 = x2 √ (x2 + x)2 + (x2 + x) x6 + 2x3 + x2 + (x6 + 2x3 + x2 )2 pi. Do biểu thức ngoặc vuông dương nên phương trình suy x = ± √ ; x = −1 Thử lại ta thấy thõa mãn Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = ± √ ; x = −1 K2 Bài toán 141 Giải phương trình sau 1+ − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 = + − x2 Lời Giải Phương trình cho tương đương với 1+ c √ √ − x2 ( + x − − x)(2 + Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn − x2 ) = + − x2 Trang 91 =0 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ √ √ + − x2 ( + x − − x) = √  + x − √1 − x > ⇒ (1 + √1 − x2 )(2 − 2√1 − x2 ) =  x > ⇔ ⇔ x = √ (T /M ) 2(1 − + x2 ) = Ne t.V n ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm x = √ Bài toán 142 Giải phương trình sau 162x3 + − 27x2 − 9x + = Lời Giải Phương trình cho tương đương với 9x2 − 3x + 3x √ =0 − √ √ 27x2 − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + ⇔ (3x − 1)  pi.  ⇔  Đặt t = √ x= 9x2 + 3x + 3x =√ (∗) √ √ 3 3+2 3 162x 162x + + 162x + + 162x3 + 2. Phương trình (∗) suy K2 3x + +1 3x =t+ +2 t t = + 3x t  t ⇔ x = 3x =     x = ⇔ 3x = ⇔    t x=−3 81 Thử lại có x = c ⇔ 3x + thõa mãn Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 92 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 143 Giải phương trình sau x2 + = √ x − + 2x − Ne t.V n Trần Quốc Việt Lời Giải Điều kiện x > Phương trình cho tương đương √ ( x − − 1) + (x − √ x2 + 4) + (x + 2) = (x − 2)(x2 + x + 2) x−2 √ √ + (x − 2) = + x − + x2 + x x2 + + ( x2 + 4)2 ⇔ (x − 2) √ x2 + x + √ √ + +1 =0 x − + x2 + x x2 + + ( x2 + 4)2 Ta nhận thấy phương trình ngoặc vuông dương ∀x > nên phương trình có nghiệm x = thỏa mãn điều kiện Vây phương trình cho có nghiệm x = pi. Bài toán 144 Giải phương trình sau √ √ x − + x + + − 4x = 5x2 + 3x − Lời Giải K2 Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương (4x − 5) (x + 1) A = −√ −√ 2 5x2 + 3x − + (x + 2) x+1+ x+ − 4x − x + 3 3 Ta có biểu thức A < ∀x ∈ −1; Với A = − √ c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 93 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ x = −1 thõa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x = −1 ; x = n Nên phương trình có hai nghiệm x = Bài toán 145 Giải phương trình sau Ne t.V 3x − x + =4 20 x+2 Lời Giải Ta có x4 + = 20 Suy x+ 3x − 3x − 3x + ≤ +1= 5 (x4 + 4)(16 + 4) ≥ 400 3x + ≥8 (4x2 + 4) =2 400 x2 + ⇔ 8x + ≥ 40 20 x2 + 20 x2 + 20 pi. x2 + ⇔ 2x + ≥ 10 20    x > −1  x > −1 ⇔ ⇔ ⇔x=2 2  4x2 + 4x + ≥ 5x2 +  (x − 2)2 ≤ K2 Thử lại thấy thõa mãn phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 94 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ n Phần I. Bài Tập Tự Luyện Bài Toán 1. Giải phương trình +√ + 3x − = 6−x+1 3x + + Ne t.V √ Bài Toán 2. Giải phương trình 3x2 + 7x + = (x + 1) x2 + 2x + Bài Toán 3. Giải phương trình x 25 − x3 (x + 25 − x3 ) = 30 Bài Toán 4. Giải phương trình √ √ x + + x + = x2 + 6x + x pi. Bài Toán 5. Giải phương trình x2 x(x + 2)2 − 7x +2+ √ +2 x+ x2 + 4x + − x2 + 4x + = 5x Bài Toán 6. Giải phương trình x2 + 4x − + = K2 (x + 1) x2 + 2x + + √ x+3 Bài Toán 7. Giải phương trình (x + 1) x2 + = x3 + 14x2 − 12x + Bài Toán 8. Giải phương trình x4 + 8x = 6x2 − 8x + + c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn x6 + 8x3 + x2 + + Trang 95 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ n Bài Toán 9. Giải phương trình 1 √ √ =4 + √ 2x − x + 2 x(1 − x) Ne t.V Bài Toán 10. Giải phương trình x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32 √ 2x + = x2 x + + Bài Toán 11. Giải phương trình 4x4 − 12x3 + 9x2 + 16 − 2x3 + 3x √ x+3+ √ x−1 =8 Bài Toán 12. Giải phương trình √ 3x + x3 + 10x2 + 18x + √ −3= x+2 x+1 Bài Toán 13. Giải phương trình pi. √ x(x − 3) + 2(1 + x)(1 − √ ) = 2x + 10 x − 16 x Bài Toán 14. Giải phương trình K2 1 √ √ √ + + = √ √ x + + x + + x + + x2 + 4x + + x + + x2 + 4x + Bài Toán 15. Giải phương trình x+ x2 x4 − −x+1= 2x − Bài Toán 16. Giải phương trình √ √ 2(x + 5) − x + 16 x + + 3x2 − 11x − 36 = c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 96 Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Toán 17. Giải phương trình 1 √ + =√ x2 + 3x + 1 + x2 − 3x + x2 + n 1+ √ Bài Toán 18. Giải phương trình x2 − + √ x−3+ √ x+1+x= x+3 +5 x2 − Ne t.V Bài Toán 19. Giải phương trình √ √ x(2x + 7) − 2x2 + 9x + 10 + 10 = (3x + 2)(2 x + − 2x + 5) Bài Toán 20. Giải phương trình x2 + 3x + √ + = x3 − + (x2 − 1)2 + (x2 − 1) + x+3 Bài Toán 21. Giải phương trình +√ + 3x − = 6−x+1 3x + + K2 pi. √ c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 97 [...]... V y phương trình đã cho có hai nghi m phân bi t x = ; x= 1− 2− 2 2−1 2 2 Bài toán 16 Gi i phương trình sau √ √ √ √ x + 1 + 3x + 1 − x = 1 + 2x + 1 − 2x c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 15 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T L i Gi i n 1 1 Đi u ki n x ∈ − ; 3 2 Phương trình đã cho tương đương v i √ √ √ √ 1 + 3x − 1 + 2x + 1 − x − 1 − 2x = 0 x+ Bài toán 17 Gi i phương trình. .. Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 21 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T V y phương trình có 4 nghi m phân bi t x = ± 1 + x2 Ne t.V Bài toán 26 Gi i phương trình sau √ √ √ x x+1+ x+3 = 2 1+ 17 ± 3 2 n √ L i Gi i Đi u ki n đ phương trình có nghi m là x > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương v i phương trình x+1 + 2 x+3 1 = + 2 x 1+ 1 x2 x+1 x+1 1 1 + +1= + 1+ 2 2 2 x x... x ≥ 5 Phương trình đã cho tương đương v i √ √ 5x − 1 − 2 + 3 9 − x − 2 = 2x2 + 3x − 5 1 9−x+1 2 5 2 + 2x + 5 > 0 ; ∀x ≥ +3 1 5 K2 V y phương trình (∗) vô nghi m! K t lu n V y phương trình đã cho nghi m duy nh t x = 1 Bài toán 30 Gi i phương trình sau −2x3 + 10x2 − 17x + 8 = 2x2 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn 3 5x − x3 L i Gi i Trang 24 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Ta... 72(sin a − cos a) T i đó các b n t gi i ti p K2 Cách 2 Đi u ki n 0 ≤ x ≤ 1 Phương trình đã cho tương đương v i 2 √ 1 − x2 = ( − x)2 3  √  a= x≥0 Đ t 2 √ 2 b = − x ≤ 3 3 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 27 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Bài toán 34 Gi i phương trình sau Ne t.V Đ n đây cũng có nhi u hư ng đ gi i quy t hơn! n Khi đó k t h p v i phương trình đã cho ta có... y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 1 K2 Bài toán 44 Gi i phương trình sau x3 + 6x2 x2 + x + 1 = x2 − x x4 + x2 + 1 + 7 x2 + 2 L i Gi i Phương trình đã cho tương đương v i (x3 + 6x − 7) x2 + x + 1 = (x2 − x) x4 + x2 + 1 + 7 x2 + 2 − x2 + x + 1 • Xét x = 1 là m t nghi m c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 34 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T • Xét x = 1, phương trình. .. Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 25 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T ⇔ 2cos3tsin2t + sint = cos3t ⇔ sin5t = cos3t n ⇔ (sin5t − sint) + sint = cos3t Bài toán 32 Gi i phương trình sau Ne t.V Đ n đây thì phương trình sin5t = cos3t là m t phương trình lư ng giác cơ b n và v i t ∈ (0; π) π π 5π 9π 13π ta tìm đư c 5 nghi m t = ; t = ; t = ;t = ;t = 4 16 16 √ 16 16 π 5π 9π 13π 2 V y phương. .. 1 + x + x + 1 x + 1 + 3x + 2 √ 1+ 5 ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 2 √ 1+ 5 V y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 2 K2 2 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 26 TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Bài toán 33 Gi i phương trình sau √ 9 1 − x2 = (2 − 3 x)2 L i Gi i n Tr n Qu c Vi t ⇔ 9 Ne t.V Cách 1 Đ t x = sin a Phương trình đã cho ta có √ 1 − sin2 a = 9 sin a − 12 sin a + 4 (∗) Xét TH1: 1... (b2 − a2 ) − 2ab − b2 = 0  a ≥ 2 ⇔ ⇔a=b a(a − b) = 0 V ia=b ⇒x=2 V y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 2 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 13 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4 = 16 L i Gi i n Bài toán 14 Gi i phương trình sau Ne t.V Cách 1 Chia c hai v c a phương trình cho x2 ta có 13 Đ n đây đ t t = 1 −1+3 x2 1 16 +1= 2 x2 x 1 > 0 ta... −1 − 29 V y phương trình đã cho có hai nghi m x = ;x= 6 10 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 31 TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Bài toán 39 Gi i phương trình sau √ √ 1+x+ 1−x+x 1 − x2 = x3 n Tr n Qu c Vi t 1 + x4 Ne t.V L i Gi i Xét −1 ≤ x < 0 ta có ngay V P < 0 √ √ Do 1 − x ≥ 1 và x 1 − x2 > −1 ⇒ V T > 0 Vô nghi m suy ra x > 0 L i có đi u ki n x ≤ 1 √ √ Khi đó phương trình ⇔ 1 + x... ⇒x≤ 7 Suy ra phương trình đã cho vô nghi m Bài toán 21 Gi i phương trình sau 1 − 4x2 − x = x K2 1+ 2− 1+2 1 − 4x2 L i Gi i  − 1 ≤ x ≤ 1 2 2 Đi u ki n 2 − 1 + 2√1 − 4x2 ≥ 0 √ Đ t 1 + 1 − 4x2 = a ⇒ a ≥ 1 2a − a2 Khi đó x2 = (∗) 4 c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 18 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ T √ 2− a=x 1+ ⇔a=x 2 1+ 2− √ √ 2a − 1 2 2a − 1 n T phương trình ta có (∗∗) . Đàn Toán THPT K2pi.Net.Vn Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TỪ DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN K2pi.Net.V n Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Lời. Quốc Việt c  Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 2 K2pi.Net.V n Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phần I. Tuyển Chọn Các Bài Toán Giải phương trình sau x  1 + 4x 2 + x. = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.  c  Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 4 K2pi.Net.V n Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Giải phương trình sau  x