ðÁP ÁN ðỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2011 – MÔN TOÁN Câu I Ý I.1 NỘI DUNG Rút gọn P… (1 ñiểm) x ≥ . x ≠ P có nghĩa khi:  0,25 x x + x +1 . = x +1 x +1 x x x −1 . ðặt N = − = − = x +1 x −1 x x + x − x −1 x − ( x + 1)( x − 1) x+2 . Vậy P = M : N − = x −1 0,25 Tìm x ñể . (1 ñiểm ) x +3 x +3 x −1 x + − = − = x + P ( x + 2) x + 2 ( x + 2) Do ñó 0,25 ðặt M = + I.2 Ycbt ⇔ x +5 x +5 = ⇔ =1⇔ x + = x +5 ⇔ x − x −3 = 2( x + 2) x+2 Giải x = −1 (lo ại) x = . Từ ñó x = . ðối chiếu ñiều kiện kết luận x = giá trị cần tìm II II.1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 Giải phương trình . (1 ñ iểm ) x − 2x − = − x2 + 2x (1) 2 ðặt t = x − x − ( t ≥ ) ⇒ x − x = t + t = ⇔ t = (vì t ≥ ) t = − II.2 ðiểm 2,0 0,25 (1) ⇔ 3t = − (t + 3) ⇔ t + 3t − = ⇔  0,25 ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ± 0,25 Vậ y phương trình ñ ã cho có hai nghiệm x = ± 0,25 Giải hệ phương trình . (1 ñiểm)  x + xy = (1) ,  4 y + xy = (2) Cộng vế tương ứng của(1) (2), ta ñược: ( x + y )2 = 16 0,25 x + 2y = x = − y ⇔ ⇔  x + y = −4  x = −4 − y +) Với x = − y : th ế vào (2) ta ñược: 8y = ⇔ y = 1⇒ x = 2. Trường hợp hệ có nghiệm (2; 1). +) Với x = −4 − y : vào (2) ta ñược: 0,25 0,25 y = −8 ⇔ y = −1 ⇒ x = −2 . Trường hợp hệ có nghiệm (-2; -1). Vậ y h ệ ñ ã cho có hai nghiệm (2; 1) (-2; -1). Chú ý: Có thể trừ vế hai phương trình ñược 0,25 x = 2y x − y = ⇔ ( x − y )( x + y ) = ⇔  .  x = −2 y Sau ñó vào hai phương trình hệ. III 2,0 III.1 CMR: m = n ( 3m − n − 1) (1 ñiểm)  x + x = −m Theo ñịnh lý Vi-et ta có:  .  x1 x2 = n  x1 + x12 = −m Vì x2 = x1 nên   x1 = n Do ñó: 0,25 0,25 m3 = − ( x1 + x12 ) = − ( x13 + 3x14 + 3x15 + x16 ) = − x13 1 + ( x1 + x12 ) + x13  = − n (1 − 3m + n ) = n ( 3m − n − 1) III.2 0,25 0,25  1 CMR: M cách ñều F  0;  ( d ) : y = − (1 ñ iểm)  4 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( P) ⇒ y0 = x0 . 0,25 1 1 x2   Ta có MF = ( x0 − ) +  y0 −  = x0 +  x0 −  = x0 + + 4 4 16   Khoảng cách từ M tới (d): 1 x2  1 2 MH = y0 + = x0 + ⇒ MH =  x0 +  = x0 + + 4 4 16  Từ ñó suy MF = MH 0,25 0,25 0,25 IV A N F E M O D 3,0 H B I C IV.1 Chứng minh MN song song với DE (1 ñ iểm) Ta có BDC = BEC = 90° (gt). Suy tứ giác BEDC nội tiếp. Do ñó BDE = BCE (góc nội tiếp chắn cung) 0,25 Mà BCE = BMN (góc nộ i tiếp chắn cung BN (O)) 0,5 Suy BDE = BMN . Từ ñó MN // DE (do hai góc ñồng vị b ằng nhau) 0,25 IV.2 Chứng minh OA vuông góc với DE (1 ñiểm) Vì tứ giác BEDC nội tiếp nên DBE = DCE (góc nội tiếp chắn cung) Do ñó AM = AN (góc nội tiếp chắn cung nhau) Suy OA ⊥ MN . Mà MN // DE (câu a) Suy OA ⊥ DE . IV.3 Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ADE theo R (1 ñ iểm) Gọi H giao ñiểm BD CE. Vì BEH = BDH = 90° (gt) nên tứ giác ADHE nội tiếp ñường tròn ñường 0,25 0,25 0,5 0,25 kính AH AH . Do ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ADE Hạ OI ⊥ BC . Ta ñi chứng minh AH = 2OI Cách chứng minh: BF Vẽ ñường kính CF, ta có OI = (t/c ñường trung bình củ a ∆CBF ) 0,25 BF = AH (cạnh ñối hình bình hành AHBF). Do ñó AH = 2OI. Vì BAC = 60° nên BOC = 120° ⇒ BOI = 60° . Từ ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ADE OI = OB cos 60° = V 0,25 R 0,25 1,0 Tìm giá trị nhỏ . xy yz zx ðặt a = , b = , c = ⇒ A = a + b + c z x y Ta có ab + bc + ca = y + z + x = 0,25 0,25 Vì ( a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ A ≥ (do x, y, z > ) 3 Vậ y giá trị nhỏ nh ất củ a A (khi x = y = z = ) Nhận xét: x, y, z không cần thiết ph ải số dương. Tuy nhiên ñiều kiện xảy d ấu ñó x = y = z = (có trường hợp). Dấu b ằng xảy ⇔ a = b = c ⇔ x = y = z = 0,25 0,25 . ðÁP ÁN ðỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2011 – MÔN TOÁN Câu Ý NỘI DUNG ðiểm I 2,0 I.1 Rút gọn P… (1 ñiểm) P có. = + ⇔ − − = + + 0,25 Giải ra 1 x = − (loại) và 3 x = . Từ ñó 9 x = . 0,25 ðối chiếu ñiều kiện và kết luận 9 x = là giá trị cần tìm 0,25 II 2,0 II.1 Giải phương trình (1 ñiểm. ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = ± 0,25 Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm là 1 5 x = ± 0,25 II.2 Giải hệ phương trình (1 ñiểm) 2 2 2 8 (1) 4 2 8 (2)  + =   + =   x xy y xy , Cộng các vế