Đang tải... (xem toàn văn)
7.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, median, phương sai và xác suất 7.2. Ước lượng khoảng 7.3. Độ chính xác của ước lượng và số phép thử cần thiết Giả sử X là ĐLNN có tham số đặc trưng nào đó (chưa biết) mà ta đang quan tâm. Vấn đề đặt ra là: căn cứ trên n giá trị x1, x2, …, xn của X được quan trắc trên một mẫu ngẫu nhiên (MNN) cỡ n lấy ra từ tập chính, cần đưa ra một giá trị gần đúng của .
CHƯƠNG 7. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 7.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, median, phương sai xác suất 7.2. Ước lượng khoảng 7.3. Độ xác ước lượng số phép thử cần thiết Bài 7.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, median, phương sai xác suất 1.Khái niệm ước lượng điểm cho tham số: Giả sử X ĐLNN có tham số đặc trưng θ (chưa biết) mà ta quan tâm. Vấn đề đặt là: n giá trị x1, x2, …, xn X quan trắc mẫu ngẫu nhiên (MNN) cỡ n lấy từ tập chính, cần đưa ∧ giá trị gần θ θ. ∧ ∧ Định nghĩa 1. Một hàm θ = θ n ( X , X , ., X n ) n giá trị X1, X2, …, Xn gọi ước lượng điểm cho θ. Để khảo sát mặt toán học, ta coi (x1, x2, …, xn) giá trị quan sát thể MNN cỡ n (X1, X2, …, Xn), X1, X2, …, Xn BNN độc lập phân phối với X. ∧ ∧ Như vậy, θ = θ n ( X , X , ., X n ) hàm n BNN X1, X2, …, Xn BNN. Giá trị ước lượng thay đổi từ mẫu quan sát tới mẫu quan sát khác. Việc lựa chọn ước lượng “tốt” tiêu chuẩn sau: 2. Các tính chất ước lượng điểm: Định nghĩa 2. ∧ 1.Ước lượng θ gọi ước lượng không chệch cho θ n ∧ E ( θ ) = θ . θ n ∧ Tính chất không chệch có nghĩa ước lượng θ không n có sai số hệ thống. ∧ 2. Ước lượng θ gọi ước lượng vững với n ε >0 ∧ P θ − θ < ε =1. n lim n →∞ Hay ∧ P θ − ε < θ < θ + ε =1 n lim n →∞ 3. Ước lượng hiệu quả: Đó ước lượng không chệch có phương sai nhỏ lớp ước lượng không chệch θ. 3.Ước lượng điểm giá trị trung bình: Giả sử X BNN với giá trị trung bình với E(X)= μ (chưa biết), μ gọi giá trị trung bình tập hợp chính. Ước lượng điểm kỳ vọng trung bình mẫu: n x= N N ∑x i =1 i = ∑ rk xk k =1 n ∑ rk k =1 Định lý 1. Trung bình mẫu ước lượng không chệch vững cho giá trị trung bình μ tập chính. 4.Ước lượng điểm phương sai: Ước lượng điểm phương sai phương sai mẫu: s = N N −1 ∑ ( x − x) i =1 i = n N −1 ∑ r (x k =1 k k − x) Định lý 2. Phương sai mẫu ước lượng không chệch vững cho giá trị phương sai σ2 tập chính. 5. Ước lượng điểm xác suất: Giả sử A biến cố mà ta quan tâm với p=P(A) chưa biết. Tiến hành quan sát N lần độc lập, ký hiệu m ∧ tần số xuất A. Khi đó, p = m / N ước lượng điểm p. ∧ Định lý 3. p = m / N ước lượng không chệch vững cho giá trị xác suất p=P(A). 6. Ước lượng điểm Median: Ước lượng điểm Median Median mẫu xác định sau: Với mẫu, trung vị mẫu là giá trị nằm dãy giá trị quan trắc theo thứ tự tăng hay giảm. Nếu dãy quan trắc có 2n+1 số liệu xếp theo thứ tự tăng dần giá trị thứ n+1 trung vị, dãy quan trắc gồm 2n số liệu trung vị giá trị trung bình giá trị thứ n n+1. Nếu giá trị xi có tần số ri, gọi k số bé để r1+r2+…+rk≥n/2. Khi ta định nghĩa Med(X)=xk. Ví dụ: Cho bảng phân bố tần số đại lượng X sau: xi 10 11 ri 15 43 53 85 72 55 33 18 10 Kích thước mẫu 400 Hãy tính trung bình mẫu trung vị. Giải Trung bình mẫu x = 4.645 Ta thấy số giá trị mẫu bé hay là: 3+15+43+53=117200 Vậy Med(X)=4. Trong trường hợp mẫu cho dạng phân bố ghép lớp ta định nghĩa trung vị sau: Giả sử ta có m khoảng với điểm chia là: a0 zα / } = α / , với Z BNN chuẩn tắc N(0, 1). 10% 5% 2% 1% 0,3% α 1,645 1,96 2,326 2,576 zα/2 Còn S bậc phương sai mẫu. Ví dụ 5. Một trường đại học tiến hành nghiên cứu xem SV trung bình tiêu hết tiền điện thoại tháng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 59 sv chọn kết cho sau: 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 37 60 41 35 26 20 58 33 23 35 Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi điện thoại trung bình μ hàng tháng sv. Giải Từ số liệu ta có: n=59, x = 41,05 , S=27.99 Do S n = 27.99 59 = 3.64 . Vì n=59>30 nên ta có khoảng tin cậy 95% cho μ x ± 1.96(3.64) = 41.05 ± 7.13 Hay 33.92≤μ≤48.18 B.Khi X BNN tùy ý: Điều kiện: n ≥ 30. B1. Ước lượng khoảng kỳ vọng phương sai σ = σ biết: { P x − zα / σ0 n ≤ µ ≤ x + zα / σ0 n } =1−α B2. Ước lượng khoảng kỳ vọng phương sai σ chưa biết: { P x − zα / s n ≤ µ ≤ x + zα / s n } =1−α Ví dụ cho Trường hợp B1: Giả sử ta có mẫu cỡ n=50 với phân phối chưa biêt biết phương sai 25 cm2, ta tính trung bình mẫu 168 cm. Xây dựng khoảng tin cậy 99% cho giá trị TB μ X. Ví dụ cho Trường hợp B2: Giả sử ta có mẫu cỡ n=50 với phân phối chưa biêt biết trung bình mẫu 168 cm n ∑x i =1 i = 1445000cm . Xây dựng khoảng tin cậy 99% cho giá trị TB μ X. 2. Ước lượng khoảng cho xác suất: + Ước lượng khoảng xác suất: Điều kiện: - n ≥ 30 ∧ ∧ - min(n p; n(1 − p)) ≥ 10. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ p (1− p ) p (1− p ) ≈ 1−α . P p − zα / ≤ p ≤ p + zα / n n Ví dụ 6. Trước bầu cử tổng thống, thăm dò dư luận tiến hành. Người ta chọn ngẫu nhiên 100 người để hỏi ý kiến có 60 người nói họ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Tìm khoảng tin cậy 90% cho tỷ lệ cử tri bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Giải ∧ Ta có n=100; k=60; p = Ta thấy m n = 0.6 . ∧ n p = 100 x0.6 = 60 > 10 ∧ n(1 − p ) = 100 x0.4 = 40 > 10 Như ∧ p có phân bố xấp xỉ chuẩn với ∧ E ( p) = p với độ lệch tiêu chuẩn ∧ σ= ∧ ∧ p (1− p ) n = 0.6 x 0.4 100 = 0.0024 = 0.049 . Với γ=0.90 zα / = 1,645 . Vậy khoảng tin cậy 90% cho p là: ∧ p ± 1.645 x(0.049) = 0.60 ± 0.08 Hay 0.52≤ p ≤ 0.68. 3.Ước lượng khoảng cho phương sai: + Ước lượng khoảng phương sai biết giá trị trung bình µ=µ0 :Khi N=n ta có công thức: ∑ ( X i − µ0 ) ( X i − µ0 ) ∑ P i=χ1 n (α / ) ≤ σ ≤ iχ=12 n (1−α / ) = − α n n Trong giá trị χ (α / 2) χ (1 − α / 2) giá trị tra từ bảng phân phối χ với n bậc tự do, cụ thể là: n n { P{ χ } P χ n2 > χ n2 (α / 2) = α / 2 n } > χ n2 (1 − α / 2) = − α / + Ước lượng khoảng phương sai chưa biết giá trị trung bình:Khi N=n ta có công thức: 10 P ( ( n −1) s χ n −1 (α / ) ≤σ ≤ ( n −1) s χ n −1 (1−α / ) ) = 1−α Trong giá trị χ (α / 2) χ (1 − α / 2) giá trị tra từ bảng phân phối χ với n-1 bậc tự do, cụ thể là: n −1 n −1 { P{ χ } P χ n2−1 > χ n2−1 (α / 2) = α / 2 n −1 } > χ n2−1 (1 − α / 2) = − α / Mệnh đề : Giả sử Xj với j=1, 2, . biến ngẫu nhiên Gauss độc lập phân phối, với kỳ vọng µ chưa biết phương sai σ2 chưa biết. Khi : (n – 1)V/σ2 biến ngẫu nhiên χ2 với n – bậc tự do. 11 Bài 7.3. Độ xác ước lượng cỡ mẫu cần thiết Với độ tin cậy γ cho, ta thấy có mối liên quan cỡ mẫu n độ dài khoảng tin cậy. Cỡ mẫu lớn độ dài khoảng tin cậy hẹp, nghĩa độ xác cao, sai số ta nhỏ. Tuy nhiên, cỡ mẫu lớn đòi hỏi nhiều thời gian, tiền của, công sức. Vậy toán đặt là: cần chọn cỡ mẫu tối thiểu để đạt độ xác mong muốn. 1. Trường hợp ước lượng cho trung bình μ: Để ước lượng giá trị trung bình ta cần cỡ mẫu đủ lớn, cụ thể, với độ xác ε cho trước, ta có: Khi phương sai biết n≥ ( ) σzα / 2 ε , hay phương sai chưa biết. ( ) ,30) n ≥ max( szα / 2 ε Điều kiện: n≥30. 2. Trường hợp ước lượng cho tỷ lệ: Để ước lượng xác suất với độ xác ε cho trước, cỡ mẫu phải đủ lớn, cụ thể là: Cách 1: n≥ ∧ ∧ zα2 / p (1− p ) ε2 Với - n ≥ 30 12 ∧ ∧ - min(n p; n(1 − p)) ≥ 10. Cách 2: n≥ zα2 / 4ε 13 [...]... nhiêu để đạt được độ chính xác mong muốn 1 Trường hợp ước lượng cho trung bình μ: Để ước lượng giá trị trung bình ta cần cỡ mẫu đủ lớn, cụ thể, với độ chính xác ε cho trước, ta có: Khi phương sai đã biết n≥ ( ) σzα / 2 2 ε , hay khi phương sai chưa biết ( ) ,30) n ≥ max( szα / 2 2 ε Điều kiện: n≥30 2 Trường hợp ước lượng cho tỷ lệ: Để ước lượng xác suất với độ chính xác ε cho trước, cỡ mẫu phải đủ lớn,... sai σ2 chưa biết Khi đó : (n – 1)V/σ2 là biến ngẫu nhiên χ2 với n – 1 bậc tự do 11 Bài 7. 3 Độ chính xác của ước lượng và cỡ mẫu cần thiết Với độ tin cậy γ đã cho, ta thấy có mối liên quan giữa cỡ mẫu n và độ dài khoảng tin cậy Cỡ mẫu càng lớn thì độ dài khoảng tin cậy càng hẹp, nghĩa là độ chính xác càng cao, sai số của ta càng nhỏ Tuy nhiên, khi cỡ mẫu càng lớn thì càng đòi hỏi nhiều thời gian, tiền . CHƯƠNG 7. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 7. 1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, median, phương sai và xác suất 7. 2. Ước lượng khoảng 7. 3. Độ chính xác của ước lượng và số phép thử cần thiết Bài 7. 1. Ước lượng. cm) : 172 173 173 174 174 175 175 176 166 1 67 165 173 171 170 171 170 Hãy tìm khoảng tin cậy γ=99%. TB Mẫu 171 .5625 t0.005(15) 2.94 671 3 PS mẫu 10 .79 583 γ=99% cận dưới 169.142 cận trên 173 .983 -. cho như sau: 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 1 27 23 31 70 27 11 30 1 47 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 37 60 41 35 26 20 58 33 23 35 Hãy