Ôn tập hình học không gian giải tích I. Một số công thức quan trọng: 1. Độ dài đoạn thẳng độ dài vectơ (môđun vectơ): uuur Cho A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) ta có: AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) uuu r | AB |= AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2. Tích vô hướng hai vectơ: r r rr Cho a = ( x1 , y1 , z1 ); b = ( x2 , y2 , z2 ) Ta có: a.b = x1.x2 + y1. y2 + z1.z2 r r r r Hai vectơ a b vuông góc với ⇔ a. b = 3. Côsin góc hai vectơ: rr r r cos( a ,b)= Cho a = ( x1 , y1 , z1 ); b = ( x2 , y2 , z2 ) Ta có: x1.x2 + y1. y2 + z1.z2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 4. Côsin góc hai đường thẳng: Cho đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ): ur ( ∆1 ) qua M có vectơ phương u1 = ( x1 , y1 , z1 ) uu r ( ∆ ) qua N có vectơ phương u2 = ( x2 , y2 , z2 ) uu r uur cos( ∆ , ∆ )=|cos(u ,u )|= Ta có: | x1.x2 + y1. y2 + z1.z2 | x + y12 + z12 x2 + y2 + z2 2 5. Côsin góc hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( α ) mặt phẳng ( β ) ur ( α ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( x1 , y1 , z1 ) uu r ( β ) có vectơ pháp tuyến n2 = ( x2 , y2 , z2 ) GV: Lưu Anh Bảo ur uu r Ta có: cos(α ,β )=|cos(n1 ,n2 )|= | x1.x2 + y1. y2 + z1.z2 | x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 6. Sin góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng ( α ) r ( ∆ ) qua M có vectơ phương u = ( x1 , y1 , z1 ) r ( α ) có vectơ pháp tuyến n = ( x2 , y2 , z2 ) rr sin( ∆ , α )=|cos( u ,n)|= Ta có: | x1.x2 + y1. y2 + z1.z2 | x1 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 2 7. Tích có hướng hai vectơ: r r r r Cho a = ( x1 , y1 , z1 ); b = ( x2 , y2 , z2 ) Ta có [a, b] = ( y1 z2 − y2 z1; z1 x2 − z2 x1; x1 y2 − x2 y1 ) 8. Diện tích tam giác: r uuur uuu Cho ∆ ABC. Ta có: S= | [ AB, AC ] |= uuur2 uuur uuur uuur AB AC − ( AB. AC ) 9. Diện tích tứ giác: uuur uuur Cho tứ giác ABCD. Ta có : S= | [ AC , BD] | 10.Thể tích tứ diện r uuur uuur uuu | [ AB , AC ]. AD | Cho tứ diện ABCD. Ta có : V= 11.Thể tích hình hộp uuu r uuur uuur Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Ta có : V= | [ AB, AD]. AA ' | 12.Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x0,y0,z0) mặt phẳng (α ) : ax+by+cz+d=0 .Ta có: GV: Lưu Anh Bảo d ( M , (α )) = | ax0 + by0 + cz0 + d | a + b2 + c 13. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M(x0,y0,z0) đường thẳng ( ∆ ) qua điểm A(x1,y1,z1) ( ∆ ) có uuuu r r r | [ AM , u ] | r vectơ phương u = ( x1 , y1 , z1 ) Ta có d ( M , (∆)) = |u| 14.Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ) chéo : ur ( ∆1 ) qua M có vectơ phương u1 uu r ( ∆ ) qua N có vectơ phương u2 ur uu r uuuu r | [u1 , u2 ].MN | ur uu r Ta có: d( ∆1 , ∆ )= | [u1 , u2 ] | II.Phương trình đường thẳng mặt phẳng không gian 1. Phương trình đường thẳng không gian: Cho đường thẳng (d): qua M(xr0 , y , z0 ) có vtcp u = (a, b, c) a) Phương trình tham số (d):  x = x0 + at  (d):  y = y0 + bt , (t ∈ R)  z = z + ct  b) Phương trình tắc (d): x − x0 = y − y0 = z − z0 a b c 2. Phương trình mặt phẳng không gian: qua M(x , y , z0 ) r ⇒ (P): a( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = có vtpt n = ( a, b, c) Cho mặt phẳng (P):  GV: Lưu Anh Bảo Chú ý: +2 đường thẳng (hoặc đường thẳng mặt phẳng; mặt phẳng) “ song song” có vectơ , “vuông góc” có vectơ khác loại . + Tích có hướng vtpt cho ta vtcp (“2 pháp”) Ngược lại, tích có hướng vtcp cho ta vtpt (“2 pháp chỉ”) III. Mối quan hệ đường thẳng đường thẳng; đường thẳng mặt phẳng; mặt phẳng mặt phẳng không gian: 1) Chứng minh điểm không đồng phẳng (4 điểm lập thành tứ diện): Cho điểm A, B, C, D. Khi chứng minh điểm lập thành tứ diện ta có cách sau: Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (BCD) thay tọa độ điểm A vào ta thấy không thỏa mãn uuur uuur uuur Cách 2: Chứng minh: [ AB, AC ]. AD ≠ 2) Mối quan hệ đường thẳng đường thẳng: Cho đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ): ur ( ∆1 ) qua M có vectơ phương u1 = (a1 , b1 , c1 ) uu r ( ∆ ) qua N có vectơ phương u2 = (a2 , b2 , c2 ) *  M ∈ (∆ ) ⇔ (∆1 ) ≡ (∆ ) a1 b1 c1 = =  a2 b2 c2  M ∉ (∆ ) ⇔ (∆1 )//(∆ ) ur uu r uuuu r [u1 ,u2 ].MN =0 ⇔ (∆1 ) cát (∆ ) a1 b1  c1  * ≠  ≠ ÷  ur uur uuuur a2 b2  c2  [u1 ,u2 ].MN ≠ ⇔ (∆1 ) chéo (∆ ) ur uu r ( ∆1 ) ⊥ ( ∆ ) ⇔ u1.u2 = ⇔ a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = Chú ý: Nếu a1 b1  c1  ≠  ≠ ÷ ta lập hệ phương trình ( ∆1 ) ( ∆ ) a2 b2  c2  GV: Lưu Anh Bảo + Hệ có nghiệm ( ∆1 ) ( ∆ ) cắt nhau. + Hệ vô nghiệm ( ∆1 ) ( ∆ ) chéo nhau. 3) Mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng ( α ) r ( ∆ ) qua M có vectơ phương u = (a1 , b1 , c1 ) r ( α ) có vectơ pháp tuyến n = (a2 , b2 , c2 ) rr * u.n = M ∈ (α ) ⇔ (∆) ⊂ (α ) rr * u.n = M ∉ (α ) ⇔ (∆)//(α ) rr * u.n ≠ ⇔ (∆) cat (α ) a b c 1 * a = b = c ⇔ (∆) ⊥ (α ) 2 4) Mối quan hệ mặt phẳng mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( α ) mặt phẳng ( β ) ( α ) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = ( β ) : a2 x + b2 y + c2 z + d = * a1 b1  c1  ≠  ≠ ÷ ⇔ (α ) cat (β ) a2 b2  c2  a b c d 1 1 * a = b = c ≠ d ⇔ (α )// (β ) 2 2 * a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = ⇔ (α ) ⊥ ( β ) IV. Phương trình mặt cầu không gian: 1. Phương trình mặt cầu dạng tắc: Mặt cầu (S) : có tâm I(x , y , z0 ) ⇒ (S): (x − x ) + ( y − y ) + ( z − z )2 = R 0 có bán kính R GV: Lưu Anh Bảo 2. Phương trình mặt cầu dạng khai triển (dạng tổng quát): Cho phương trình x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = Nếu a + b + c − d > phương trình phương trình mặt cầu (S) có tâm I( − a, −b, −c )  2 bán kính R= a + b + c − d BÀI TẬP Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: r a) (d) qua A(3,2,6) có vtcp: u =(2,-1,4) b) (d) qua B(-2,-4,3) song song với đường thẳng (d ) : x+7 y −2 z +3 = = −1 −5 c) (d) qua C(1,3,-2) D(0,-2,3) d) (d) qua E(1,7,2) vuông góc với mặt phẳng: (α ) : x − y + z = e) (d) qua F(-2,1,5) vuông góc với đường thẳng sau:  x = + 2t x −1 y − z  (d1 ) :  y = −6 + 4t (d ) : = = −3 z = − t  f) (d) qua G(4,9,-6) song song với mặt phẳng sau: (α1 ) : x − y + z + = 0; (α ) : − x + y − z − =  x = − 7t  g) (d) qua H(-1,-2,5) ; vuông góc cắt đường thẳng (d3 ) :  y = + 3t  z = −2 + t   x = + 2t x = t   h) (d) vuông góc cắt đường thẳng: (∆1 ) :  y = −6 + 4t (∆ ) :  y = + 3t z = − t z = + t   i) (d) qua I(-2,5,0), vuông góc với đường thẳng (∆) song song với mặt GV: Lưu Anh Bảo phẳng ( β ) : (∆) : x + y − z +1 = = (β ): x − y + z − = −3 j) (d) vuông góc với đường thẳng (∆ ) : x − y +1 z − = = , đồng thời (d) nằm −3 mặt phẳng ( β1 ) : x+y-z-4=0 qua J(1,1,-2) x = t  x = − 3t   k) (d) qua K(2,3,1) cắt đường thẳng: (∆ ) :  y = −t (∆5 ) :  y = t  z = −4 − 2t z = − t   x = 1+ t  l) (d) hình chiếu vuông góc đường thẳng (∆ ) :  y = −1 + 2t mặt phẳng  z = −t  ( β ) : 2x+5y+7z-7=0 m) (d) qua giao điểm mặt phẳng: (P1): 2x-y+z-6=0; (P2): x+4y-2z-8=0; (P3): y=0 đồng thời vuông góc với giao tuyến (P1) (P2) n) (d) cách điểm L(1,2,3); M(-3,5,-8); N(-9,0,2) Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) biết: a) (α ) qua A(1,2,3); B(-1,2,5); C(-2,7,1) x b) (α ) qua D(-4,6,2) vuông góc với đường thẳng (d ) : = y − 11 z + = −4 c) (α ) qua E(7,6,1) song song với đường thẳng (d ') : x − y + z − 12 x+3 y −6 z +2 = = (d '') : = = −5 −1 d) (α ) qua F(-4,5,2) vuông góc với mặt phẳng (α1 ) :x-8y+z-1=0 (α ') : x+y+z=0 e) (α ) qua G(0,1,1) song song với mặt phẳng (α ) : 3x-y-z-2=0 f) (α ) qua điểm H(4,1,7) I(-5,2,2) đồng thời song song với đường thẳng GV: Lưu Anh Bảo  x = −5 + 4t  (d1 ) :  y = 11 − 5t  z = − 2t  g) (α ) qua điểm J(-1,1,1); K(2,0,0) vuông góc với mặt phẳng (α ) :x-y=0 x = t x = − t   h) (α ) chứa đường thẳng (d ) :  y = + t song song với (d3 ) :  y = −1 + t  z = + 2t z = 1− t   i) (α ) qua L(10,2,-5) song song với đường thẳng (d ) : x − y +1 z + = = 2 vuông góc với mặt phẳng (α ) :4x-7y+z+9=0 j) Cho mặt phẳng (P) qua M(2,-2,1) chứa đường thẳng (d ) : x +1 y − z + = = Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua N(1,4,2) song 2 song với (P) Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa: a) (S) có tâm I(1,2,4) có bán kính R=3 b) (S) có tâm J(-2,1,-5) qua M(2,5,3) c) (S) có đường kính AB với A(3,5,7); B(-1,-1,3) d) (S) qua điểm C(3,-2,-6); D(8,10,7); E(-9,1,3); F(6,2,-5) e) (S) có tâm G(-5,3,2) tiếp xúc với mặt phẳng (α ) :x+y+z+9=0 f) (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α1 ) : x + y − z + = 0; (α ) : x + y − z − = có x = − t  tâm nằm đường thẳng (d ) :  y = t  z = + 2t  g) (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α ) : 2x + y + z + = 0; (α ) : x + y − z + = có GV: Lưu Anh Bảo  x = − 3t  tâm nằm đường thẳng (d1 ) :  y = −7 + 2t z = 1+ t  h) (S) có bán kính nhỏ tiếp xúc với 2đường thẳng: x = 1− t  x = + 3t   (d ) :  y = −2 + t (d3 )  y = + t z = 1+ t  z = −1 + 4t   Một số toán tổng hợp thi: Bài 1: Cho hai điểm A(3,2,-2); B(5,3,-5) mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0 a) Tìm hình chiếu A (P) b) Tính độ dài hình chiếu AB (P) c) Tìm M (P) cho AM+MB nhỏ d) Tìm M (P) cho |AM-MB| lớn r uuuu r uuuu r e) Tìm M (P) cho vectơ v = AM + BM có độ dài nhỏ f) Tìm M (P) cho biểu thức T=3AM2-2BM2 có giá trị nhỏ Bài 2: Cho ∆ ABC với A(1,2,3); B(2,0,4); C(3,1,2) a) Viết phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC vuông góc với (ABC). b) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC c) Viết phương trình đường cao qua A ∆ ABC d) Viết phương trình đường phân giác góc A ∆ ABC e) Tính tọa độ trực tâm ∆ ABC f) Tìm D thuộc đường thẳng (d): x=y=z cho thể tích tứ diện ABCD GV: Lưu Anh Bảo GV: Lưu Anh Bảo GV: Lưu Anh Bảo ��ng cấp nhà nước (kèm theo danh sách); b) Tóm tắt thành tích cá nhân, có xác nhận Hội đồng cấp Nhà nước; c) Biên kết bỏ phiếu kín Hội đồng cấp Nhà nước. 5. Danh hiệu “Nhà giáo, Thầy thuốc, Nghệ sĩ, Nghệ nhân” nhân dân, ưu tú Hội đồng cấp Nhà nước xét, trình Thủ tướng Chính phủ năm lần. Điều 65. Hồ sơ, thủ tục xét tặng “Giải thưởng Hồ Chí Minh” “Giải thưởng Nhà nước” 1. “Giải thưởng Hồ Chí Minh” “Giải thưởng Nhà nước” Hội đồng cấp Nhà nước lĩnh vực khoa học, công nghệ Hội đồng cấp Nhà nước lĩnh vực văn học, nghệ thuật xét, trình Thủ tướng Chính phủ qua Ban Thi đua - Khen thưởng Trung ương. 2. Ban Thi đua - Khen thưởng Trung ương tổng hợp hồ sơ, trình Thủ tướng Chính phủ. 3. “Giải thưởng Hồ Chí Minh” xét công bố năm lần, “Giải thưởng Nhà nước” xét công bố năm lần vào dịp Quốc khánh tháng 9. 4. Hồ sơ trình Thủ tướng Chính phủ gồm 03 bộ, gồm có: a) Tờ trình Hội đồng cấp Nhà nước; 47 b) Báo cáo thành tích văn bản, tư liệu tác giả có liên quan đến công trình, tác phẩm, cụm công trình, cụm tác phẩm, có xác nhận quan có thẩm quyền; c) Biên kết bỏ phiếu kín Hội đồng giải thưởng cấp nhà nước. 5. Bộ Khoa học Công nghệ, Bộ Văn hóa, Thể thao Du lịch chủ trì, phối hợp với Bộ Nội vụ hướng dẫn cụ thể tiêu chuẩn, quy trình, thủ tục xét tặng “Giải thưởng Hồ Chí Minh” “Giải thưởng Nhà nước”. Điều 66. Tổ chức tôn vinh danh hiệu trao giải thưởng cho cá nhân tổ chức Việc tổ chức tôn vinh danh hiệu trao giải thưởng cho cá nhân, tổ chức thực theo quy định Thủ tướng Chính phủ. Chương V QUỸ THI ĐUA KHEN THƯỞNG Mục LẬP, SỬ DỤNG VÀ QUẢN LÝ QUỸ THI ĐUA, KHEN THƯỞNG Điều 67. Nguồn mức trích quỹ 1. Quỹ thi đua, khen thưởng Bộ, quan ngang Bộ, quan thuộc Chính phủ, Toà án nhân dân tối cao, Viện kiểm sát nhân dân tối cao, Kiểm toán Nhà nước hình thành từ nguồn ngân sách nhà nước với mức tối đa 20% tổng quỹ tiền lương theo ngạch, bậc cán bộ, công chức, viên chức biên chế tiền công duyệt năm từ nguồn đóng góp cá nhân, tổ chức nước, nước nguồn thu hợp pháp khác. 2. Quỹ thi đua khen thưởng cấp tỉnh, cấp huyện, cấp xã hình thành từ nguồn ngân sách nhà nước hàng năm với mức tối đa 1,0% chi ngân sách thường xuyên cấp ngân sách thuộc tỉnh đồng bằng, thành phố mức trích tối đa 1,5% chi ngân sách thường xuyên cấp ngân sách thuộc tỉnh miền núi, trung du, Tây Nguyên, vùng sâu, vùng xa từ nguồn đóng góp cá nhân, tổ chức nước, nước nguồn thu hợp pháp khác. 3. Quỹ thi đua, khen thưởng tổ chức trị, Ủy ban Trung ương Mặt trận Tổ quốc Việt Nam tổ chức trị - xã hội cấp từ nguồn ngân sách nhà nước (căn tính chất hoạt động tổ chức, Bộ Tài thống tỷ lệ cấp hàng năm) từ nguồn đóng góp cá nhân, tổ chức nước, ngoài . Ôn tập hình học không gian giải tích I. Một số công thức quan trọng : 1. Độ dài đoạn thẳng và độ dài của 1 vectơ (môđun. MN u u ur uur uuuur ur uur II.Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 1. Phương trình đường thẳng trong không gian: Cho đường thẳng (d): 0 0 0 qua M(x ,y , ) ó vtcp u ( , , ) z c. Diện tích tứ giác: Cho tứ giác ABCD. Ta có : S= 1 |[ , ]| 2 AC BD uuur uuur 10.Thể tích tứ diện Cho tứ diện ABCD. Ta có : V= 1 |[ , ]. | 6 AB AC AD uuur uuur uuur 11.Thể tích hình hộp Cho hình