ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2014 MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học đóng vai trò quan trọng ngành khoa học. Trong đó, bất đẳng thức mảng kiến thức hay thú vị toán học đặc biệt toán sơ cấp. Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả giải vấn đề phát triển tư duy. Lý thuyết tập bất đẳng thức phong phú đa dạng. Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi toán, bất đẳng thức đề cập thuộc loại toán khó khó. Nhiều bất đẳng thức trở thành công cụ đắc lực để giải toán bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… bất đẳng thức Bernoulli thường quan tâm. Là người say mê bất đẳng thức sơ cấp tác giả biết không nhiều bất đẳng thức này. Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng quan đầy đủ bất đẳng thức sơ cấp để cung cấp thêm tài liệu tham khảo bổ ích toán học trường THPT nay. Với ý nghĩa trình làm luận văn, tác giả xây dựng lựa chọn toán hay nhằm làm bật lên mặt mạnh bất đẳng thức Bernoulli. Luận văn chia thành ba chương. Chương 1. Bất đẳng thức Bernoulli. Trong chương tác giả trình bày bất đẳng thức Bernoulli dạng phát biểu khác số ví dụ thể kỹ thuật bất đẳng thức Bernoulli. Chương 2. Một số bất đẳng thức xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli. Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng toán từ bất đẳng thức Bernoulli thông qua ví dụ cụ thể. Từ trình bày hệ thống tập. Mặc dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận góp ý thầy cô giáo bạn. Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo thầy PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn. Em xin chân thành cảm ơn thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em nhận bảo tận tình thầy cô để có học vấn sau đại học bản. Em xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đọc góp ý kiến quý báu để em hoàn thiện luận văn mình. Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi em công tác, tạo điều kiện cho em học hoàn thành chương trình. Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất thầy cô, kính chúc thầy cô luôn mạnh khỏe hạnh phúc. Chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Người thực Bùi Trọng Nguyện MỤC LỤC Trang Chương Bất đẳng thức Bernoulli 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 1.2. Một số ví dụ 1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi 4 6 18 Chương Một số bất đẳng thức xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli 28 2.1. Xây dựng số hàm đơn điệu dựa bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2. Phát triển số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Bernoulli 40 2.3. Xây dựng số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức 2α ≥ + α 51 2.3.1. Một số toán tam giác 52 2.3.2. Một số toán lượng giác 59 2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.1. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.2. Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển 64 2.4.3. Một số toán khác 70 Chương Bất đẳng thức Bernoulli 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli Định lí 1.1 1. Nếu α số thực thỏa mãn α ≥ (1+ x) α ≥ + α.x , với x > −1. (1.1) Đẳng thức xảy x=0 α = 1. 2. Nếu α số thực thỏa mãn < α ≤ (1+ x) α ≤ + α.x , với x > −1. Đẳng thức xảy x=0 α = 1. Định lí 1.2 1. Nếu α số thực thỏa mãn α ≥ a α + α − ≥ α.a , với a > 0. (1.2) Đẳng thức xảy a = α = 1. 2. Nếu α số thực thỏa mãn < α ≤ a α + α − ≤ α.a , với a > 0. Đẳng thức xảy a = α = 1. Định lí 1.3 Cho hai số thực α, β thỏa mãn α > β > 0. Khi xα + α α − ≥ .x β , với x > 0. β β (1.3) Đẳng thức xảy x = 1. Định lí 1.4 Giả sử cho trước x >0 cặp số ( α, β ) thỏa mãn điều kiện α > β > . Khi α β  x  α α  x   ÷ + − ≥ . ÷ , với x > 0. β β  x0   x0  (1.4) Đẳng thức xảy x = x . 1.2. Một số ví dụ 1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa. Ví dụ 1.2.1. Giả sử a, b hai số thực dương. Chứng minh a3 + b3 ≥ 21− [ ab(a + b)] . Ví dụ 1.2.2. Giả sử a, b, c ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức  a   b   c   ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3. b+c c+a a+b Ví dụ 1.2.3. Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh a b c + + ≥ . b+c c+a a+b Ví dụ 1.2.4. Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh n a b c +n +n ≥ , với n ∈ N *. b+c c+a a+b Ví dụ 1.2.5. Cho tam giác ABC. Chứng minh      1 1  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3 ÷ ,  3r     hb   hc  r bán kính đường tròn nội tiếp, h a , h b , h c độ dài đường cao tương ứng với đỉnh tam giác ABC. Ví dụ 1.2.6. Cho tam giác ABC. Chứng minh  3 sin A + sin B + sin C ≤ 3. ÷ .   Ví dụ 1.2.7. Cho tam giác ABC. Chứng minh với số thực < k < , ta có k  3 A B C cos k + cos k + cos k ≤ 3. ÷. 2 2   Ví dụ 1.2.8. Giả sử a, b > . Chứng minh a b + ba > . Ví dụ 1.2.9. Giả sử a, b, c > 0. Chứng minh ( b + c) a + ( c + a ) + ( a + b ) > 2. b c Ví dụ 1.2.10. Giả sử có n số dương a1 , a , ., a n ( n ≥ ) . Chứng minh n n ∑ (∑ a ) i =1 j=1 j≠i j > n −1. 1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi. Ví dụ 1.2.11. Giả sử x, y > thỏa mãn x + y = . Chứng minh . 1. x + y3 ≥ 2. x + y4 ≥ . Ví dụ 1.2.12. Giả sử x, y > thỏa mãn x + 2y = 1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1. M = x + y3 . 2. N = x n + y n , với n ≥ cho trước. Ví dụ 1.2.13. Giả sử x, y > thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + 3y3 . Ví dụ 1.2.14. Giả sử x, y, z > thỏa mãn x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + 2y + 3z . Ví dụ 1.2.15. (Tổng quát) Giả sử có n số dương x1 , x , ., x n (với n ≥ ) thỏa mãn x1 + x + . + x n = n a1 , a , ., a n số dương cho trước. Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = a1x1m + a x m2 + . + a n x nm . Chương Một số bất đẳng thức xây dựng bất đẳng thức Bernoulli 2.1. Xây dựng số hàm đơn điệu dựa bất đẳng thức Bernoulli Ví dụ 2.1.1. Giả sử a, b, c ba số thực dương. Chứng minh b+c c+a a+b + + ≥ 3. 2a 2b 2c Ví dụ 2.1.2. Giả sử a, b, c, α, β số dương, α ≥ β . Chứng minh α α α β β β b+c c+a a+b b+c c+a a+b  ÷ + ÷ + ÷ ≥ ÷ + ÷ + ÷.  2a   2b   2c   2a   2b   2c  Ví dụ 2.1.3. Giả sử a, b, c số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh a b c + + ≥ 3. b+c−a c+a−b a +b−c Ví dụ 2.1.4. Giả sử a, b, c số đo ba cạnh tam giác α, β hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α β β a b c        ÷ + ÷ + ÷ b+c−a  c+a −b a +b−c β a b c       ≥ ÷ + ÷ + ÷. b+c−a  c+a −b a +b−c Ví dụ 2.1.5. (IMO-2001). Giả sử a, b, c ba số thực dương. Chứng minh a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ≥ 1. Ví dụ 2.1.6. Giả sử a, b, c số thực dương α, β hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α       3a 3b 3c  ÷ + ÷ + ÷  a + 8bc   b + 8ac   c + 8ab  β β β       3a 3b 3c ≥ + + ÷ ÷ ÷. 2  a + 8bc   b + 8ac   c + 8ab  Ví dụ 2.1.7. (Japan MO 2002) Giả sử a, b, c ba số thực dương. Chứng minh (b + c − a) (c + a − b) (a + b − c) + + ≥ . (b + c) + a (c + a) + b (a + b) + c Ví dụ 2.1.8. Giả sử a, b, c số thực dương α, β hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α  5.(b + c − a)   5.(c + a − b)   5.(a + b − c)  + +  2 ÷ 2 ÷ 2 ÷  (b + c) + a   (c + a) + b   (a + b) + c  β β β  5.(b + c − a)   5.(c + a − b)   5.(a + b − c)  ≥ + + . 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷  (b + c) + a   (c + a) + b   (a + b) + c  Một số tập xây dựng hàm đơn điệu. Bài 2.1.1. Giả sử a, b, c số đo cạnh tam giác α, β hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α β β 3a 3b 3c        ÷ + ÷ + ÷  2b + 2c − a   2a + 2c − b   2a + 2b − c  β 3a 3b 3c       ≥ ÷ + ÷ + ÷.  2b + 2c − a   2a + 2c − b   2a + 2b − c  Bài 2.1.2. Giả sử a, b, c số đo ba cạnh tam giác, α, β hai số thực thỏa mãn α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α β β β  3a   3b   3c   3a   3b   3c   ÷ + ÷ + ÷ ≥ ÷ + ÷ + ÷.  2b + c   2c + a   2a + b   2b + c   2c + a   2a + b  Bài 2.1.3. Giả sử a, b, c, α, β số dương, α ≥ β . Chứng minh α α α β β β  a   b2   c2   a   b2   c2   ÷ + ÷ + ÷ ≥ ÷ + ÷ + ÷ .  bc   ca   ab   bc   ca   ab  Bài 2.1.4. Giả sử a, b, c số dương, α ≥ β ≥ . Chứng minh  3a   a + 2(b + c)  α   3b ÷ + ÷  b + 2(c + a)    3a ≥  a + 2(b + c)  α   3c ÷ + ÷  c + 2(a + b)   β   3b ÷ + ÷  b + 2(c + a)   α  ÷ ÷  β   3c ÷ + ÷  c + 2(a + b)   Bài 2.1.5. Giả sử a, b, c số dương, α ≥ β ≥ . Chứng minh α α α  a + bc   b + ca   c   ÷ + ÷ + ÷  a(b + c)   b(c + a)   c(a + b)  β β β  a + bc   b + ca   c  ≥ ÷ + ÷ + ÷.  a(b + c)   b(c + a)   c(a + b)  2.2. Phát triển số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Bernoulli. Ví dụ 2.2.1. Giả sử a, b, c ba số thực dương. Chứng minh 1. 2. a + b + c5  a + b + c  ≥ ÷. 3   a +b +c  a + b + c 3 . ≤ ÷ 3   Mệnh đề 2.2.1. Giả sử có n số thực dương a1 , a , ., a n (với n ∈ N, n ≥ ). Chứng minh r 1. a1r + a 2r + . + a nr  a1 + a + . + a n  ≥ ÷ n n   với r > . β  ÷. ÷  r 2. a1r + a 2r + . + a nr  a1 + a + . + a n  ≤ ÷ n n   với r < . Mệnh đề 2.2.2. Giả sử a, b hai số thực dương. Khi ta có a+ b a+b . ≤ 2 Đẳng thức xảy a = b . Mệnh đề 2.2.3. Giả sử a, b, c ba số thực dương. Khi ta có a + b + c a+b+c ≤ . 3 Đẳng thức xảy a = b = c . Mệnh đề 2.2.4. Giả sử a, b, c ba số thực dương. Khi ta có m a m + bm + cm  a + b + c  ≥ ÷ 3   (với m ∈ N, m ≥ ). Đẳng thức xảy a = b = c . Ví dụ 2.2.2. Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = . Tìm giá trị lớn biểu thức sau P= 1 1 + 6b + + 6c + + 6a − . a b c abc Ví dụ 2.2.3. Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh 2 + 9bc + + 9ca + + 9ab ≤ + 27 . a b c abc Mệnh đề 2.2.5. Với số thực dương x, x α > . Ta có x α ≥ x 0α + α.x 0α−1 (x − x ) . Đẳng thức xảy x = x . Ví dụ 2.2.4. Giả sử x ≥ 3, x + y = . Chứng minh x + y ≥ 10 . 10 Ví dụ 2.2.5. Giả sử x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + y + z = . Chứng minh x + y3 + z3 ≥ 36 . Ví dụ 2.2.6. (Tổng quát) Giả sử  x1 ≥ a ; x + x ≥ a + a ;  2   .  x1 + x + . + x k ≥ a1 + a + . + a k . với k ∈ N, k ≥ 2; với α > ; x1 , x , ., x k > a1 ≥ a ≥ . ≥ a k > . Chứng minh x1α + x 2α + . + x k α ≥ a1α + a 2α + . + a k α . Ví dụ 2.2.7. Giả sử a, b, c số dương thỏa mãn a ≥ 5, a + b ≥ 8, a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a +b +c 3. Ví dụ 2.2.8. Giả sử a, b số thực dương thỏa mãn a ≥ b, a ≤ 3, a + b = . Tìm giá trị lớn biểu thức P=a 2014 +b 2014 . Một số toán xây dựng theo cách trên. Bài 2.2.11. Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 2, x + y ≥ 3, x + y + z = . Chứng minh x + y3 + z3 ≥ 10 . Bài 2.2.112. Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 2, x + y ≥ 3, 2x + 2y + z = . Chứng minh 8x + 8y3 + z3 ≥ 73 . 11 Bài 2.2.13. Giả sử hai số thực x,y thỏa mãn x ≥ 3, x + y = . Chứng minh x + y ≥ 82 . Bài 2.2.14. Giả sử hai số thực x,y thỏa mãn x ≥ 7, x + y ≥ 10, x + y + z = 18 . Chứng minh x + y + z ≥ 2483 . Bài 2.2.15. Giả sử a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a ≥ 6, a + b ≥ 11, a + b + c ≥ 14, a + b + c + d = 15 . Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a 2014 +b 2014 +c 2014 +d 2014 . Bài 2.2.16. Giả sử a, b, c ba số dương. Chứng minh 1 1 1   + + ≥ 2 + + ÷. a b c b + 3c c + 3a   a + 3b Bài 2.2.17. Giả sử a, b, c ba số dương. Chứng minh 1 2 + + ≥ . a b c a+b+c Bài 2.2.18. Giả sử a, b, c ba số dương thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh a + b + c +2 ( ) a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ . Bài 2.2.19. Giả sử a, b, c số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh a +b−c + b+c−a + c+a −b ≤ a + b + c. Bài 2.2.20. Giả sử ba số thực a, b, c ≥ 1. Chứng minh (1+ a) +3 ( + b) +3 ( + c) 12 ≥ 3. (1+ abc ) . Bài 2.2.21. Giả sử bốn số thực a, b, c, d > thỏa mãn a + b + c + d = . Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 2014 1  P = a + ÷ a  2014 1  + b + ÷ b  2014 1  + c + ÷ c  2014 1  + d + ÷ d  Bài 2.2.22. Giả sử a, b, c, d thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn abcd = . . 100 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 2014  a  P=  ÷  a +1 2014  b  +  ÷  b +1 2014  c  +  ÷  c +1 2014  d  +  ÷  d +1 . Bài 2.2.23. Giả sử a, b, c ba số dương. Chứng minh 4  a + 2b   b + 2c   c + 2a  4 a +b +c ≥ ÷ + ÷ + ÷.       Bài 2.2.24. Giải phương trình sau 4−x 2+x x + 2−x = + . 3 2.3. Xây dựng số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức 2α ≥ + α Mệnh đề 2.3. Giả sử α số thực thỏa mãn ≤ α ≤ . Chứng minh 2α ≥ + α Đẳng thức xảy α = α = . 2.3.1. Một số toán tam giác Ví dụ 2.3.1. Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn thỏa mãn điều kiện sin A + sin B ≥ sin C . Chứng minh 2sin A + 2sin B + 2sin C > . 13 Ví dụ 2.3.2. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn điều kiện sin A + sin B = sin C . Chứng minh 1. sin A +2 sin B +2 sin A   2.  + ÷  sin A  >5 . sin C sin B   + 1 + ÷  sin B  sin C   + 1 + ÷  sin C  > 5. 3. ( sin A + sin B + sin C ) sin A + ( sin A + sin B + sin C ) sin B + + ( sin A + sin B + sin C ) sin C > 5. Ví dụ 2.3.3. Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh tan 1. B C   4cos cos ÷  ÷ A  ÷ cos   2. B C  4cos cos  2÷  ÷ A  ÷ cos   A sin A tan A C   4cos cos ÷ + ÷ B  ÷ cos   B sin A C  4cos cos  2÷ + ÷ B  ÷ cos   B tan A B   4cos cos ÷ + ÷ C  ÷ cos   C sin A B  4cos cos  2÷ + ÷ C  ÷ cos   > 4. C > 2.3.2. Một số toán lượng giác. Ví dụ 2.3.4. Chứng minh cos x + s inx ≥ , với x ∈ R . Ví dụ 2.3.5. Chứng minh 1. cos α1 + s inα1 cos α2 + s inα1 s inα2 ≥ . 2. cos α1 + s inα1 cos α2 + s inα1 s inα cos α3 + s inα1 s inα2 s inα3 ≥ . Ví dụ 2.3.6. (Bài toán mở rộng). Chứng minh cos α1 + s inα1 cos α2 + s inα1 s inα2 cos α3 + . + s inα1 s inα2 .s inα n −1cosα n + s inα1 s inα2 .s inαn −1 sin α n ≥ n + 2. 14 15 . 2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng. Mệnh đề 2.4.1. Giả sử a,b ≥ 0; α, β > α + β = . Chứng minh αa + β b ≥ a α b β . (2.4.1) Mệnh đề 2.4.2. Giả sử a1 , a , a , a ≥ , α1 , α , α , α > α1 + α + α + α = 1. Chứng minh α1a1 + α 2a + α3a + α 4a ≥ a1α1 a α2 a 3α3 a α4 . (2.4.2) Mệnh đề 2.4.3. Giả sử a1 , a , a ≥ ; α1 , α , α3 > α1 + α + α = . Chứng minh α1a1 + α 2a + α3a ≥ a1α1 a α2 a 3α3 . (2.4.3) Mệnh đề 2.4.4.(Bài toán tổng quát). Giả sử n số không âm a1 , a , ., a n với n ≥ n số dương α1 , α , ., α n thỏa mãn α1 + α + . +α n = . Chứng minh α1a1 + α 2a + . + α n a n ≥ a1α1 a α2 .a αn n . (2.4.4) Mệnh đề 2.4.5. Giả sử n số dương a1 , a , ., a n với n ≥ . Chứng minh a a1 a1 + a + .+ a n a a2 a1 + a + .+ a n .a an a1 + a + .+ a n n ≥ a1 + a + . + a n . n (2.4.5) Mệnh đề 2.4.6. Giả sử n số thực dương a1 , a , ., a n , với n ≥ . Chứng minh a + a + .+ a n 1.  a1 + a + . + a n  a a .a ≥  ÷  n  2. a1a1 a a22 .a ann ≥ ( a1a .a n ) a1 a 2 an n a1 +a + .+ a n n . . 2.4.2. Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển. 15 Ví dụ 2.4.1 (Bất đẳng thức Yuong). Giả sử a, b không âm p, q thỏa mãn điều kiện p > 1, q>1, 1 + = 1. p q Chứng minh ab ≤ a p bq + . p q Ví dụ 2.4.2 (Bất đẳng thức Holder). Giả sử a1 ,a , .,a n ; b1 ,b , .,b n ≥ 0; 1   + =1 ; p q n ∈ ¥ , n ≥ 2. Với p, q > . Chứng minh a1b1 + a b + . + a n b n ≤ p a1p + a 2p + . + a np . q b1q + b q2 + . + b qn . Ví dụ 2.4.3 (Bất đẳng thức Bunhiacopski). Giả sử 2n số thực a1 , a , ., a n b1 ,b , .,b n . Chứng minh ( a1b1 + a 2b + . + a n b n ) ≤ ( a12 + a 22 + . + a 2n ) ( b12 + b 22 + . + b 2n ) Ví dụ 2.4.4. Giả sử ba dãy số thực không âm ( a1 ,a , .,a n ) , ( b1 ,b , .,b n ) ( c1 ,c , .,c n ) . Chứng minh ( a1b1c1 + a b 2c2 + . + a n bn c n ) ≤ ( a13 + a 32 + . + a 3n ) ( b13 + b32 + . + b3n ) ( c13 + c32 + . + c3n ) . 2.4.3. Một số toán khác. Ví dụ 2.4.5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh 1. ( tanA ) tan A ( tanB ) tan B ( tanC ) tan C ≥ ( 3 ) . 16 3 2. ( sin A ) sin A ( sin B ) sin B ( sin C ) sin C >  ÷ 3 . 3. ( cos A ) cos A ( cos B ) cos B ( cos C ) cos C  2 > ÷ .  3 Ví dụ 2.4.6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh 1. ( cos A ) tan A ( cos B ) 2. ( sin A ) cot A ( sin B ) tan B ( cos C ) tan C 3 1 ≤ ÷ . 2 cot B ( sin C ) cot C  3 ≤ ÷ .   17 Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày vấn đề sau 1) Nhắc lại bất đẳng thức Bernoulli phát biểu khác bất đẳng thức. Trình bày hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bernoulli. 2) Trình bày ý tưởng phương pháp cụ thể để xây dựng bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Bernoulli. 3) Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli để xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển xây dựng hệ thống tập theo nội dung. 18 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức. [2] Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam. [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục. [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục. [5] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [6] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [7] T.Andreescu, R.Gelca, Mathematical Olympial Challenges-2001, Birkhauser Boston, Second printe, United States of America. 19 [...]... Kết luận Trong luận văn này, tác giả đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau 1) Nhắc lại bất đẳng thức Bernoulli và các phát biểu khác của bất đẳng thức Trình bày được hai kỹ thuật cơ bản trong sử dụng bất đẳng thức Bernoulli 2) Trình bày được các ý tưởng và các phương pháp cụ thể để xây dựng bất đẳng thức mới dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 3) Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli để xây dựng lại một số. .. xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển và xây dựng được hệ thống bài tập theo các nội dung 18 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức [2] Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các bài toán nội suy và áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí và áp... nhất của biểu thức sau 2014  a  P=  ÷  a +1 3 2014  b  +  ÷  b +1 3 2014  c  +  ÷  c +1 3 2014  d  +  ÷  d +1 3 Bài 2.2.23 Giả sử a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng 4 4 4  a + 2b   b + 2c   c + 2a  4 4 4 a +b +c ≥ ÷ + ÷ + ÷  3   3   3  Bài 2.2.24 Giải phương trình sau 4−x 4 2+x 4 x + 4 2−x = 4 + 3 3 2.3 Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2α ≥ 1... 2   Bài 2.1.5 Giả sử a, b, c là các số dương, α ≥ β ≥ 1 Chứng minh rằng α α α  a 2 + bc   b 2 + ca   c 2   ÷ + ÷ + ÷  a(b + c)   b(c + a)   c(a + b)  β β β  a 2 + bc   b 2 + ca   c 2  ≥ ÷ + ÷ + ÷  a(b + c)   b(c + a)   c(a + b)  2.2 Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli Ví dụ 2.2.1 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng 5 1 2 a... a ≥  ÷  n  2 a a11 a a 2 a a n ≥ ( a1a 2 a n ) 2 n a1 a 2 1 2 an n a1 +a 2 + + a n n 2.4.2 Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển 15 Ví dụ 2.4.1 (Bất đẳng thức Yuong) Giả sử a, b không âm và p, q thỏa mãn điều kiện p > 1, q>1, 1 1 + = 1 p q Chứng minh rằng ab ≤ a p bq + p q Ví dụ 2.4.2 (Bất đẳng thức Holder) Giả sử a1 ,a 2 , ,a n ; b1 ,b 2 , ,b n ≥ 0; 1 1   + =1 ; p q n ∈ ¥ , n ≥ 2 ... a 2α + + a k α Ví dụ 2.2.7 Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn a ≥ 5, a + b ≥ 8, a + b + c = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a 3 +b 3 +c 3 Ví dụ 2.2.8 Giả sử a, b là các số thực dương thỏa mãn a ≥ b, a ≤ 3, a + b = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a 2014 +b 2014 Một số bài toán được xây dựng theo cách trên Bài 2.2.11 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 2, x + y ≥ 3, x + y +... rộng) Chứng minh rằng 2 cos α1 + 2 s inα1 cos α2 + 2 s inα1 s inα2 cos α3 + + 2 s inα1 s inα2 s inα n −1cosα n + 2 s inα1 s inα2 s inαn −1 sin α n ≥ n + 2 14 15 4 2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy rộng Mệnh đề 2.4.1 Giả sử a,b ≥ 0; α, β > 0 và α + β = 1 Chứng minh rằng αa + β b ≥ a α b β (2.4.1) Mệnh đề 2.4.2 Giả sử a1 , a 2 ,... ta luôn có 3 a + 3 b + 3 c 3 a+b+c ≤ 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Mệnh đề 2.2.4 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Khi đó ta luôn có m a m + bm + cm  a + b + c  ≥ ÷ 3 3   (với m ∈ N, m ≥ 2 ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 2.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau P= 3 1 1 1 1 + 6b + 3 + 6c + 3 +... Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí và áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [5] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [7] T.Andreescu, R.Gelca, Mathematical Olympial Challenges-2001, Birkhauser... p q a1b1 + a 2 b 2 + + a n b n ≤ p a1 + a 2 + + a n q b1 + b q + + b q 2 n Ví dụ 2.4.3 (Bất đẳng thức Bunhiacopski) Giả sử 2n số thực a1 , a 2 , , a n và b1 ,b 2 , ,b n Chứng minh rằng ( a1b1 + a 2b 2 + + a n b n ) 2 2 2 ≤ ( a1 + a 2 + + a 2 ) ( b1 + b 2 + + b 2 ) 2 n 2 n Ví dụ 2.4.4 Giả sử ba dãy số thực không âm ( a1 ,a 2 , ,a n ) , ( b1 ,b 2 , ,b n ) và ( c1 ,c 2 , ,c n ) Chứng minh rằng . đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28 2.1. Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2. Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli. biểu thức m m m 1 1 2 2 n n C a x a x a x .= + + + 6 Chương 2 Một số bất đẳng thức được xây dựng trên bất đẳng thức Bernoulli 2.1. Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli Ví. NHIÊN BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG