NGUYN TH LIU B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TP HT TON CC i VI H PHNG TRèNH BRUSSELATOR LUN VN THC S TON HC NGUYN TH LIU TP HT TON CC i VI H PHNG TRèNH BRUSSELATOR Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn kh oa hc: PGS.TS. Cung Th Anh B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI LI CM N Tụi xin trõn trng cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, Phũng Sau i hc trng i hc S phm H Ni cựng cỏc thy, cụ giỏo ging dy lp cao hc khúa 16 t (2012 - 2014), ó to iu kin thun li giỳp tụi hon thnh tt bn lun ny. c bit tụi xin gi li cm n chõn thnh ti PGS. TS. Cung Th Anh, ngi luụn hng dn v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hon thnh lun vn. Mc dự ó cú nhiu c gng nhng lun khú trỏnh nhng thiu sút. Tỏc gi mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca quý thy, cụ v bn c lun c hon thin hn. Xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Liu rri' _ _ LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc. H Ni, thỏng 12 nm 2014 m / _ _____ Tỏc gi Nguyn Th Liu Mc lc M U 1. Lý chn ti Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l mt bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin. Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca ht. ú l mt compact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột. Trong nhng nm qua, s tn ti v tớnh cht ca ht, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng ó c nghiờn cu cho nhiu lp phng trỡnh parabolic phi tuyn. Tuy nhiờn phn ln cỏc kt qu t c mi ch l cho trng hp phng trỡnh vụ hng; cỏc kt qu tng ng i vi cỏc h parabolic phi tuyn xut hin húa sinh v húa lớ cũn ớt (xem [1]-[14]). Cỏc phng trỡnh parabolic phi tuyn xut hin mt cỏch t nhiờn nhiu bi toỏn ca húa sinh v húa lớ, v ang thu hỳt c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc. Lp chung ca cỏc h phn ng-khuch tỏn phi tuyn cú dng D U = diAu + aiu + biv +f(u,v) + gi (*), t dv = D Av + A U + B V + F (U , v) + G (x), t vi iu kin biờn Dirichlet thun nht hoc Neumann b chn Q. cM. N , N < 3, liờn tc Lipschitz a phng. Nú cng c bit rng phn ng v khuch tỏn ca phm trự húa hc hoc phm trự sinh húa cú th to a dng nhng mụ hỡnh khụng gian. Lp ny ca h phn ngkhuch tỏn bao gm mt s ỏng k h phng trỡnh hỡnh thnh mụ hỡnh mu phỏt sinh t cỏc mụ hỡnh ng lc húa hc hoc phn ng sinh húa v t lý thuyt hỡnh thnh mụ hỡnh sinh hc. Trong nhúm ny, bn h sau õy thng quan trng v dựng nh cỏc mụ hỡnh toỏn hc ngnh yt lý v sinh hc. Mụ hỡnh Brusselator: D \ = ( B + 1), B = 0, ô = B , = 0, / = W2 V, gi = a, G2 = , ú A v B l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Gray-Scott: A \ = ( F + K ), B \ = 0, ô = 0, = F . F = M2V, gi = 0? = F , ú F v K l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Glycolysis: = 1, B \ = K , = 0, = K , F = U2V,G I = P , G = , ú K , P v ễ l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Schnackenberg: a\ = k,b = , = b2 = 0,f = u2 v,g = a,g2 = b, ú K , A V B l cỏc hng s dng. Mụ hỡnh Gray-Scott cú ngun gc t vic mụ t t xc tỏc ng nhit, dn truyn liờn tc, phn ng v khuch tỏn khụng b kớch thớch ca hai húa cht U v V vi nng U ( T , X ) v V ( T , X ) , (xem [7]). T nm 1993, mt lot cỏc khụng gian mu c to bi cỏc gii phỏp n nh v cỏc gii phỏp phỏt trin lõu nm ó tip xỳc bng cỏc thc nghim [ ], bng mụ phng s, hoc bng cỏc phõn tớch toỏn hc [13]. Lỳc u, Brusselator l h ca hai phng trỡnh vi phõn thụng thng nh cỏc phng trỡnh phn ng cõn bng cho t xỳc tỏc, phn ng dao ng húa hc [3]. Tờn ca mụ hỡnh l thnh ph ca cỏc nh khoa hc ó xut nú. Trong nhiu h t xc tỏc, ng lc hc phc c nhỡn thy, bao gm cỏc trng thỏi bi n nh, cỏc qu o tun hon v cỏc im r nhỏnh. Phn ng Belousov-Zhabotinsky [5] l mt phn ng húa hc chung, ú nng ca cỏc cht a ng thỏi dao ng. c bit, mụ hỡnh Brus- selator mụ t trng hp ú cỏc phn ng húa hc theo s : A >u, B + U >V + D, u + v >3U, u >E, ể A , B , D , E , U v l cỏc hp cht húa hc. Gi S U ( T , X ) vv(f,x) l cỏc nng ca , V v gi nh rng cỏc nng ca cỏc hp cht a vo A v c liờn tc khụng i quỏ trỡnh phn ng, kớ hiu bng A v B tng ng. Sau ú thu c mt h ca hai phng trỡnh phn ng- khuch tỏn phi tuyn, h ny c gi l h phng trỡnh Brusselator D U = diAu + u v (b+ l)u + a,(t,x) G (0,o) X Ê2, ỏt dv 3- = út U V + bu,(t,x) G (0,o) X ớỡ, u ( t , x ) =v(ớ,jc) = 0,ớ>0,jc d Q , u(0,x) = Uo (x) ,v(0,jc) = Vo (x) ,x e , ú D I , ( , A , B l cỏc hng s dng. õy, ngi ta gi nh rng h s t l cho cỏc phn ng trung gian ph l bng 1. Trờn thc t cỏc kt qu ca lun ny s khụng b nh hng bng cỏch ly cỏc h s phn ng khỏc nhau. Lu ý rng cú mt s vớ d ni ting ó bit ca t xỳc tỏc cú th c mụ phng bi h phng trỡnh Brusselator; nh phn ng ferrocyanuaiodat- sulfite, phn ng clorit-iodua-axit malonic, phn ng axen-iodat, mt s phn ng xỳc tỏc enzim v tng trng nm mycelia, xem [3]-[4]. K t nm 1970 ó cú mt s hn ch nghiờn cu gii phỏp khụng gian mu nh trng thỏi n nh ca n nh a phng v cỏc im r nhỏnh cho h phng trỡnh Brusselator. Trong [ ]-[10], mt s khụng gian Turing phỏt sinh bi h phng trỡnh Brusselator c nghiờn cu v s lng hoc phõn tớch, bao gm c mụ hỡnh tng t bin, mụ hỡnh sc v nhng bt n dao ng. Trong kt qu s [2] ó c trỡnh by, cho thy mụ hỡnh mazelike, mụ hỡnh lc giỏc v mụ hỡnh hn lon-tỡm kim, cho h phng trỡnh Brusselator 2D v phiờn bn hyperbolic vi cỏc phng trỡnh dũng khuch tỏn. Trong [8 ], theo cỏc gi nh ca u vo chm v t l khuch tỏn chm, s tn ti ca mụ hỡnh kiu mu mesa cho Brusselator 1D c hin th cựng vi mt mc cho s n nh a phng v mt im r nhỏnh Hopf vi s n nh kiu bỡnh th bng cỏch s dng phng phỏp nhiu lon kỡ d. Lý thuyt c bn ca hỳt ton cc v cỏc ng dng cú th tỡm thy [11] -[12] v nhiu ti liu tham kho ú. K t nhng nm 1980 s tn ti ca mt hỳt ton cc ó c chng minh i vi mt s lp phng trỡnh parabolic suy bin v ó lm tt dn cỏc phng trỡnh súng phi tuyn. Tiờu tỏn in hỡnh ca mt phng trỡnh phn ng-khuch tỏn n c th hin kớ hiu iu kin tim cn bờn phi hm phi tuyn F ( U ) , tc l: / (S ) lim sup < . |j|>oo S i vi h ca hai hay nhiu phn ng-khuch tỏn, kớ hiu tim cn h vect luụn luụn khụng tha món. Mt kt qu hn ch v s tn ti ca hỳt ton cc ó c chng minh cho mt phn tiờu tỏn h phn ng-khuch tỏn, nh cỏc phng trỡnh FitzHugh-Nagumo. Mt s kt qu da trờn vic xõy dng mt bt bin dng trờn K" núi chung cung cp nht hỳt a phng. i vi h phng trỡnh Brusselator trờn, nhng khú khn ch yu vic chng minh s tn ti ht ton cc l trờn thc t, a thc phi tuyn cú tớnh tng tỏc i hai phng trỡnh c ghộp thnh ụi khụng cú tiờu tỏn riờng hoc tiờu tỏn tim cn, gõy mt s tr ngi nht nh vic chng minh s tn ti ca cỏc hp th v thm nhiu thỏch thc hin th compact tim cn. Trong lun ny, mt phng phỏp phõn tớch mi c nghiờn cu v c s dng hin th tớnh K -co ca na nhúm. Vỡ yy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun vi tờn gi l: "Tp hỳt ton cc i vi h phng trỡnh Brusselator". Kt qu ca lun ny da ch yu vo bi bỏo " Y. You, G L O B A L DYNAM ICS OF THE BRUSSELATOR EQUATIONS, D Y N A M I C S O F P D E (2007), 167 - 196". 2. Mc ớch nghiờn cu r \U(T)\2DXM2)\ (||v(ớ)||^ +Ik(OII^) M < vi > % 2, W q = (w ,v ) B q . B 2.6. Gi s pu : H L2 (,)u l phộp chiu trc giao t H vo khụng Do ú, (2.34) c chng minh. gian thnh phn u tiờn liờn kt vi u-thnh phn. Gi s Bq l hp th b chn ca {5 (ớ)}ớ> tron H th hin B 2.2. Khi ú vi bt kỡ M > 0, ta luụn cú (2.38) K(pu(S(t)B0)n(v} cho (2.39) ||ớ>||4(n) < |M|2,(è), vi H ( ), v cng luụn c nh i vi cỏc hm Q cú (2-40) V M . Do ú ta F C W V U TA . J . + D I R W V U FA . J , ~d~ a2 |2,,M + -j -(i b+l ) K + < Mp- II vô|| + J (b + 1) K + a |èM l) 2 vi > T Q , ề ú T Q c a vo ti phn u ca chng minh B 2.3. Bt ng thc (2.40) suy (2.41) ^ ú 3 Qv,M H ( T ) l)2Êio + ò |^v,m Xột (2.30), ta cú th ỏp dng bt ng thc Gronwall u vo (2.41) thu c 3 v TO, |Vu(/)ll^< (2.42 c ( M ) + ^ - ( { b + l ) K0 + a2 |ới v , l) exp f^J^- (M)) , v i t > T = max { ( - S o ) ( - ò o ) } + = T ( B O ) + 1, ú c a chng minh B 2.4. Bt ng thc (2.42) cho thy rng v(f)| T , vỡ th P(S(t)B0)ai P U ( S (ớ) ặo)n(|v(f)|0 - 2.4. ỏnh giỏ s chu fractal ca hỳt Trong phn ny ta s chng minh ht ton cc S i vi na nhúm Brusselator cú s chiu Hausdorff v s chiu fractal l hu hn v c lng cn trờn i vi cỏc s chiu ny. B sau [12, Chng 5] da trờn lý thuyt ca s m Lyapunov s c s dng c lng cn trờn ca s chiu Hausdorff v fractal ca hỳt ton cc ẫ . B 2.7. [12] Gi s sd l hỳt ton cc ca na nhúm Brusselator {5 (ớ)}f> H. nh ngha qm (ớ) = sup w0eA 4 qm = limsup^ (ớ), ú Tr (A + F' (s (t) wo)) l vt ca toỏn t tuyn tớnh A + F' (s (t) wo) vi F(w) l ỏnh x phi tuyn (2.5), v Qm (ớ) thay cho phộp chiu trc giao ca khụng gian H khụng gian c m rng bi y i { t ) , . , y m (ớ), v i y i ( t ) = L ( S ( t ) w ) i , i = , . ,m. õy F' ( s (t) Wo) l o hm Frechet ca ỏnh x F ti s (t) Wo, v L (s (t) Wo) l o hm Frechet ca ỏnh x s ( t ) ti W Q , vi t c c nh. Nu cú mt s nguyờn m cho qm < 0, ú s chiu Hausdorffva s chiu fractal ca s tha món, tng ng D H (A) < m, 5 Frộchet u tiờn ta cú th thy vi bt kỡ t > 0, s ( t ) l kh vi theo ngha H v o hm Frộchet ti Wo l toỏn t tuyn tớnh b chn L ( S (ớ) Wo) v 5 //pf L(5(ớ)w0) - Y ( T ) = ( U ( t ) , v (0), vi bt kỡ = (Tf,) E H , ú ( U (ớ), V (ớ)) l nghim mnh ca phng trỡnh bin phõn Brusselator sau 6(2.43) (2.44) _ d v + (ớ) V (ớ) + (ớ) y - (b + 1) , -=f- d=u dAU ot = ớ/2AV - (ớ) v ( t ) u u2 (ớ) y + b u , (2.45) F (A) < M max ( + 0, gi s [ Q ) J (T) : j = 1, . ,m} l MT c s TRC GIAO H CA KHễNG GIAN CON Q M { T ) H = Span { ) > (t) , . , Y M (t)} , ú Y ( T ) = Cyi (T), . . . , Y M ( T ) ) tha (2.46) vi y(0) = Đ = (Đ!, v khụng lm mt tớnh tng quỏt ta gi nh rng {i, ., M } l mt hp c lp tuyn tớnh H . Bi quỏ trỡnh trc giao húa Gram-Schmidt, (j (T) = (T) , ( P J (T) J E 96 vi j 1, t Ji (t) , . ,ym (t) e E vi T > 0, v + 0 < / 2|M(-T)| |v(- r)| (T)|2+ |,.()||2 >*3^. 7=1 |ò|" TR{A + F' (S(T) Wo) ) QM ( ) < - ^ m1+" + 211- (^2 ( ) + B)M. Khi ú ta cú th kt lun rng Q M (ớ) = sup A sup ( F T R ( A + F ( S (t) w0)) O Q M (t) F 4 1 5 $H \\i\\ = l \ t J 1,"',m J < \ M ] +ằ + { K . (n) + B ) M , vi bt kỡ T > , 2|fỡ|vỡ vy DX) qm = limsup (ớ) < -m+l + (K2(n) + b)m < 0, ớ->0 2|2|" nu s nguyờn M tha iu kin sau, V d0K3 ) (2.54) m - l < ( 2t e } * \ + b ) ) \ \ < Theo B 2.7, ta ó ch rng s chiu Hausdorff v s chiu fractal ca TP HT TON CC s L HU HN V CN TRấN CA CHNG C CHO BI 5 5 ) < dp {s) < m, ú M tha (2.54). Do ú nh lý ó c chng minh cho na nhúm Brusselator. KT LUN Ni dung ca lun l nghiờn cu s tn ti v ỏnh giỏ s chiu ca hỳt ton cc i vi h Brusselator xut hin húa hc. Cỏc kt qu chớnh c trỡnh by lun vn: 1. nh lớ v s tn ti nht nghim ton cc. 2. nh lớ v s tn ti hỳt ton cc. 3. nh lớ v ỏnh giỏ s chiu fractal v s chiu Hausdorff ca hỳt ton cc. Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Cung Th Anh, C S Lí THUYT H NG LC V ễ H N C H I U , Nh xut bn i hc S Phm, 2012. [B] Ti liu ting Anh [2] M. Al-Ghoul and B.c. Eu, Hyperbolic reaction-diffusion equations, patterns, and phase speeds for the Brusselator, J. Phys. Chemistry 100 (1996), 1890018910. [3] J.F.G. Auchmuty and G. Nicolis, Bifurcation analysis of nonlinear reactiondiffusion equations - I: Evolution equations and the steady state solutions, Bull. Math. Biology 37 (1975), 323-365. [4] KJ. Brown and F.A. Davidson, G L O B A L B I F U R C A T I O N I N THE BRUSSELATOR SYSTEM, Nonlinear Analysis 24 (1995), 1713-1725. [5] I.R. Epstein and J.A. Pojman, A N NONLINEAR CHEMICAL Press, New York, 1998. INTRODUCTION DYNAMICS, TO Oxford Univ. [6] T. Erneux and E. Reiss, B R U S S E L A T O R Appl. Math. 43 (1983), 1240-1246. I S O L A S , SIAM J. [...]... các hàm dương thỏa mãn dx — < ax + b, D T với J X ( s ) d s < X , J a ( s ) d s < Av ầ Ị b ( s ) d s < B với r > 0 nào đó và với mọi t > ÍQ Khi đó x(t) < với mọi T > T O + R + 5^ И Chương 2 Tập hút toàn cục đối với hệ Brusselator Trong chương này, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài... hiệu độ đo Lebesgue của tập con ưong Í2 Ta có thể chứng minh định lí sau cho tập khác của điều kiện cần và điều kiện đủ đối với sự tồn tại của tập hút toàn cục trong trường hợp này và sẽ được sử dụng để hiển thị tính chất К -co của nửa nhóm { S (í)}í>0 - 34 CHƯƠNG 2 TẬP HÚT TOÀN CỤCĐỐl VỚI HỆ BRUSSELATOR Đỉnh lí 2.3.2 Nửa nhóm Brusselator {5 (í)lí> 0 tr o n 8 H có một tập hút toàn cục sể trong H khi và... Hausdorff của tập hút toàn cục của hệ phương trình Brusselator xuất hiện trong hóa học 3 Nhiệm yụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán • Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập hũt toàn cục MỤC LỤC 4 Đối tượng và phạm vỉ nghỉên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Brusselator •... các hằng số dương Hệ (2.1)-(2.2) được gọi là hệ phương trình Brusselator Ở đây, người ta giả định rằng hệ số tỉ lệ cho các phản ứng trung gian phụ là bằng 1 Trên thực tế các kết quả của luận văn này sẽ không bị ảnh hưởng bằng cách lấy các hệ số phản ứng khác nhau Cho hệ phương trình Brusselator và ba mô hình hệ Gray-Scott, hệ Glycolysis và hệ Schnackenberg đã đề cập trong phần đầu với số chiều không... Hausdorff của tập hút toàn cục 5 Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm • Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff của tập hũt toàn cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực 6 Kết quả chính của luận văn Trình bày các kết quả về: • Sự tồn tại duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu • Sự tồn tại tập hũt toàn cục của... rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact К trong X sao cho với bất kì tập bị chặn В С X , tồn tại T O ( B ) sao cho S W (T ) B С K , \ / T > Í Q ( B ) Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact Tiếp theo ta trình bày định nghĩa tập hút toàn cục Tập hút toàn cục là đối tượng... không gian N < 3, tuy nhiên, đã không có nhiều kết quả nghiên cứu đáng kể của hệ động lực toàn cục Trong luận văn này, với những giả thiết không ngặt, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hũt toàn cục trong không gian pha L 2 cho nửa nhóm sinh bởi nghiệm của hệ phương trình Brusselator với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất Với các không gian tích Hilbert H = L 2 (n) X Ử (n), £ = flj (n) X tfj} (n),... một tập hút toàn cục sẩ trong H của nửa nhóm {£ (í)}í> 0 hệ B R U S S E L A T O R (2.1) — (2.2) Để chứng minh Định lí 2.3.1 ta phải chứng minh nửa nhóm Brusselator { S ( T ) } 1 > 0 có một tập hấp thụ bị chặn và nửa nhóm đó phải có tính chất K - C O Đầu tiên, ta xét sự tồn tại tập hấp thụ của nửa nhóm Brusselator 2.3.1 Sự tồn tại tập hấp thụ Bổ đề 2.2 Tồn tại một tập hút bị chặn Bo trong H đối với. .. I Ỉ ) tương ứng với tính chất K - C O Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra các điều kiện trong Định lí 2.3.2 được thỏa mãn đối với nửa nhóm Brusselator Thông qua cách tiếp cận này, sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm Brusselator {5 (í)}í > 0 sẽ được thể hiện Bổ đề 2.3 Với bất kì £ > 0, tồn tại hằng số dương M\ = Mị (e) và T\ = Tị (e) sao cho v-thành phần của nghiệm của hệ phương trình Brusselator (2.1)(2.2)... (2.2.), khẳng định rằng nghiệm mạnh W ( T ) của phương trình (2.5) bị nổ trong H tại bất kì thòi gian hữu hạn nào □ Do Bổ đề 2.1, họ của nghiệm mạnh toàn cục { W ( T ; W O ) ,f > 0,wo G H } xác định một nửa nhóm trong H , s ( t ) : Wo w(f;wo) > 0,wo € я, được gọi là nửa nhóm Brusselator, được tạo ra bởi hệ phương trình Brussela- tor 2.3 • Sự tồn tạỉ tập hút toàn cục • • -Я • Đỉnh lí 2.3.1 (Định lí chính) . NGUYỄN THỊ LIỄU TẬP HÚT TOÀN CỤC Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ LIỄU TẬP HÚT TOÀN CỤC Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR Chuyên ngành: Toán. làm đề tài nghiên cứu của luận văn với tên gọi là: " ;Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Brusselator& quot;. Kết quả của luận văn này dựa chủ yếu vào bài báo " Y. You, G L O B A. compact. Tiếp theo ta trình bày định nghĩa tập hút toàn cục. Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Định nghĩa 1.3.6. Một tập con khác rỗng