Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN THỊ QUẾ PHƯƠNG PHÁP EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUÂN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC • • • Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này. Trong suốt thời gian qua Thầy không quản ngại khó khăn nhiệt tình dạy, giúp đỡ để em hoàn thành Luận văn này. Xin cảm ơn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình Thầy cô. Và xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình, bạn bè bên, thông cảm, tạo điều kiện tốt cho để hoàn thành Luận văn này. Hà Nội, tháng năm 20lị Tác giả Nguyễn Thị Quế Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu Luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng năm 20lị Tác giả Nguyễn Thị Quế Mục lục Mở đầu Chương 1. Phương pháp Euler Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường 4 1.1. Phép nội suy toán cầu phương 1.1.1. Phép nội suy 1.1.2. Qui tắc cầu phương 1.2. Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp 12 1.3. Phương pháp Euler 15 1.3.1. Định lí tồn nghiệm 15 1.3.2. Phương pháp đường gấp khúc Euler 15 1.3.3. Phương pháp xốp xỉ tích phân 1.4. Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun) 1.5. Giải số phương trình vi phân thường phương pháp Euler Euler cải tiến 1.6. Phương pháp Euler cho hệ phương trình 1.7. Ôn định sai số phương pháp Euler 1.7.1. Bậc xấp xỉ 1.7.2. Tính ổn định 21 22 34 41 41 41 1.7.3. Tính hội tụ 1.7.4. Ước lượng sai số Chương 2. Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số 49 2.1. Phương trình vi phân đại số 49 2.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân đại số 49 2.1.2. Phương trình vi phân đại số số 50 2.1.3. Phương trình vi phân đại số tuyến tính . 2.2 Một số đặc thù phương trình vi phân đại số 2.3. Phương pháp Euler giải phương trình vi phân đại số Phụ lục 51 52 60 65 83 Tài liệu tham khảo 84 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Những phương trình vi phân giải cầu phương (tìm công thức nghiệm hiển) ít. Vì phương trình vi phân phát triển theo hai hướng: L Í THUYẾT ĐỊNH TÍNH nghiên cứu tính chất nghiệm theo liệu đầu vào (vế phải phương trình, điều kiện ban đầu, điều kiện biên, tham số, . ) G I Ả I PHƯƠNG pH Ư Ơ N G SỐ PHÁP phương trình vi phân (tìm nghiệm xấp xỉ). ĐƯỜNG PHÁP CỖ ĐIỂN GẤP KHÚC E U L E R (classical methods) giải số phương trình vi phân. Do độ hội tụ thấp nên phương pháp Euler áp dụng so với phương pháp Runge- Kutta. Tuy nhiên, gần đây, s. Smale (1981) phát mối quan hệ hữu phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến với phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân. Điều gợi quan tâm phương pháp Euler. Có nhiều cách giải thích phương pháp Euler (tiếp tuyến đường cong nghiệm, xấp xỉ đạo hàm, khai triển Taylor, . ). Trong [1] giải thích phương pháp Euler trường hợp riêng toán XẤP XỈ TÍCH PHẪN. Cách tiếp cận cho phép hiểu thống phương pháp Euler cải biên tranh chung phương pháp giải hệ phương trình vi phân thường. Do nhu cầu toán kĩ thuật, công nghệ kinh tế (hệ rôbôt, hệ hóa học vật lí phức tạp, hệ điều khiển kinh tế, . ), năm 1980 trở lại đây, lí thuyết PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ quan tâm mạnh mẽ. Phương pháp Euler sử dụng cải biên để giải hệ phương trình vi phân đại số. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn có mục đích trình bày tổng quan phương pháp Euler cải tiến giải phương trình vi phân thường phương trình vi phân đại số. Ngoài ra, Luận văn trình bày thực hành tính toán số ví dụ giải phương trình, hệ phương trình vi phân phương pháp Euler M A P L E máy tính điện tử khoa học. Luận văn gồm hai chương. > y:= proc (n) option remember; Y ( N — 1) + — F ( X ( N — ) , Y ( N — 1)) z x n n + f( ( )^y( - ) + h- f{x(n),y(n - 1))) end; y :=proc(n) option remember; y(n — ) + / * h* f(x(n — ),y(n — )) + / * h* f(x(n ), y(nl) + h* f(x(n - ),y(n - ))) end proc > y(0 ) := ; ,(0 ) := > Sol := dsolve({diff(Y(X),X) = = 1}, S O L : = Y ( X ) = - — >/16 - X - X > assign(Sol ); > array([seg([n,y(n),e^a//(sw&s(X = ^ y(X)))], n = 10)]); 0 1.0000000 1.005006278 00 1.0050062 72 1.010025251 1.0100252 26 1.015057242 1.0150571 86 1.020102729 1.0201026 28 1.025162348 1.0251621 90 1.030236892 1.0302366 64 1.035327317 1.0353270 06 1.040434742 1.0404343 33 1.045560451 1.0455599 34 1.050705897 1.0507052 55 (Vpf))); Ví dụ 4. Giải phương trình y ' = 2x y - X , y ( 0) = theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.02 [0,1]. Giải > X : = ' x ' - , y :=' y ' ] > f := ( x , y ) - > • X ■ y - X ] f := ( x , y ) ^ ■ X ■ y - X2 > h := 0.02; h := 0.02 > X:nn•h X := 71 —»• n h > y:= proc (n) option remember; 2/(n — 1) + — f ( x ( n — ĩ ) , y ( n — 1)) + - 1) + ■ y f(x(n),y(n - 1))) end; :=proc(n) option remembev, y(n — 1) + 1/2 * h* f(x(n — 1), y(n — 1)) + 1/2 * h* f(x(n ), y(n - 1) + h * f{x(n - ),y{n - 1))) end proc > y { 0) := 1; 1/(0) := > Sol := dsolve({dif f(Y(X),X) = 2-X-Y{X)-X , Y (0) = 1}, (rpí))); Sol := Y{X) = -X- ^-e ỵ yfĩrerf{x) + e* Ái “t > assign(Sol)', > X : TI n • h > array([seq([n,y(n),evalf(subs(X = Y (X)))],n = 10)]); X := n —¥ nh 1 1.000396000 1.00039741 1.001577109 1.00157993 1.003530148 1.00353438 4 1.006243771 1.00624942 1.009708433 1.00971549 1.013916363 1.01392484 1.018861548 1.01887146 1.024539721 1.02455107 1.030948353 1.03096116 1.038086660 1.03810094 Ví dụ 5. Giải phương trình Y' = 3sin(2x) + cos(a^), /(0 ) = theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.01 [0,1] so sánh với giá trị phương trình. Giải > X :=' X ' \ Y :=' Y ] > F := ( X : Ỳ) — ¥ • sin(2 • X ) + cos(x); / := (X , y) —> sin(2 • x) + cos(x) > H := .0 ; /i := . > y:= proc (n) option remember; y(n — 1) + —f(x(n — ),y(n — 1)) z + f ( x ( n ) ^ y ( n - ) + h - f { x ( n ) , y ( n - 1))) end; y :=proc(n) option remember; y(n — 1) + 1/2 * h* f(x(n — 1),y(n — 1)) + 1/2 * h* f(x(n ), y(n - 1) + h * f{x(n - ),y{n - 1))) end proc > y{ ) := l; /(0 ) := > > Sol := dsolve({dif f(Y(X),X) = • sin(2 • X) + cos(X),y(0) = l},(y(X))); Sol := Y{X) = —- cos(2 X) + sm{X) + > assign(Sol ); = ĩẫpy (*)))] 1, EVALF(SUBS(X 1.00000000 1.010299730 1.010299823 1.021198300 1.021198507 1.032694350 1.032694690 1.044786281 1.044786775 1.057472255 1.057472921 1.070750194 1.070751052 1.084617782 1.084618853 1.099072466 1.099073769 1.114111455 1.114113010 1.129731723 1.129733550 Ví dụ . Giải phương trình y ' = x - y ( 1) = > X : TI n • h X X := n —¥ nh theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.1 [1,2] so sánh với giá trị phương trình. Giải > X :=' x'\y ■.=' y'; > f := {x,y) •XX f := (x,y) -> 3íc - - X > h : = 0.1; /ì := . X := 71 —»• + nh > y:= proc (n) option remember; Y ( N — 1) + — F ( X ( N — ) , Y ( N — 1)) z x n n + f( ( )^y( - ) + h- f{x(n),y(n - 1))) end; y :=proc (n) option remember', y{n — 1) + 1/2 * h* f(x(n — 1),y(n — 1)) + 1/2 * h* f(x(n ), y(n-l) + h* f{x(n - ),y(n - 1))) end proc >»(1 ) :=2 ; »(1 ) := > > Sol := dsolve({diff(Y(X),X) = - X - = 2}, (Y(X))); X -I- S o l := Y ( X ) = > assign(Sol)', > array([seq([n, y(n), evalf (subs(X = ^,y(Ji)))],n = 10)]); 2.11909090 2.164583333 92.27333333 2.359230769 2.45923076 2.359230769 2.581785714 2.830666666 3.104687499 3.402941176 3.724722222 4.069473684 4.136315789 Ví dụ 7. Giải phương trình 2.45923076 2.67428571 2.91666666 3.18500000 3.47823529 3.79555555 4.13631578 4.50000000 y' = y + e x , /(0 ) = theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.01 [0,1] so sánh với giá trị phương trình. Giải > X x'; > y ■■=' y’\ > / := { X , Y ) -> Y + exp(a:); / := [x,y) ->• y + e x > h : = 0.01; h := 0.01 > X : n n • h X := N —>• N H > y:= proc (n) option remember; Y ( N — ) + — F ( X ( N — ),2 /(n — )) + f{x{n),y(n -ĩ ) + h- f(x(n),y(n - ))) end; Y :=proc(n) option R E M E M B E R ; y(n — 1) + 1/2 * h * f{x(n — 1),y(n — 1)) + 1/2 * h* > X y(n : TI n- •1) h > Y{ 0) := ; + h * f{x(n - ),y{n - 1))) end proc X := n —¥ nh Y{ 0) := > > Sol := dsolve({diff(Y(X),X) = y(X)+exp(X), y(0) = 1}, {Y(x))y, Sol := Y ( X ) = {X + l)e x > assign(Sol)', > array([seq([n : y(n),evalf(subs(X = ịỊỊõ, y(x)))], = 10)]); 1. 1020150251 02015066 1040604521 04060536 1061366886 06136817 1082441472 08244320 1103832458 10383465 1125544076 12554674 1147580609 14758375 1169946396 16995003 1192645828 19264997 1215683354 21568801 Ví dụ . Giải phương trình + (x + l)3, y' = y{ ) = X + theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.01 [0,1] so sánh với giá trị phương trình. Giải > X :=' X ' \ Y :=' Y ] > F := ( X , + (x + l)3; Y) a: + / := (3, ỉ/) -> -^7 + (s + l) £ + > h := 0.01; /i := . X : TI n • h X := n nh > y:= proc (n) option remember; Y ( N — 81 ) + — F ( X ( N — ) , Y ( N — )) z + f( x ( n )^y( n - ) + h- f{x(n),y(n - ))) end; Y :=proc(n) option R E M E M B E R ; Y(N — ) + / * /i * F ( X ( N — ), Y ( N — )) + / * H * F ( X ( N ), /(n - ) + /i * /(z(n - ) , Y { N - ))) end proc > /(0 ) := ; Y { 0) := > > Sol ■.= dsolve({diff (Y(X),X) = (Y(X)))-, + ( X + \ f , y(0) = 1}, S o l : = Y ( X ) = (i^ + X + 1)(X + l) z > assign(Sol)', > array([seq([n, y(n), evalf (subs(X = y(X)))], n = 10)]); 1. 1.003003500 1.00300350 2 1.006014012 1.00601401 1.009031548 1.00903155 4 1.012056120 1.01205612 1.015087740 1.01508775 1.018126420 1.01812643 1.021172172 1.02117218 1.024225008 1.02422502 1.027284940 1.02728496 1 1.027284961 1.03035200 Ví dụ 9. Giải phương trình X := n nh y' = —lnx X X y(l) = ị theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.5 [1,10] so sánh với giá trị phương trình. Giải > / := (x,y) ->• — -ỉn{x) - > /i := 0.5; /i := 0.5 > X \ n —> + n ■ h X := n ^ + nh > y:= proc (n) option remember; y(n — ) + —f(x(n — ),y(n — )) + -^f{x{n),y{n -ĩ) + h- f(x(n),y(n - ))) end; Y :=proc(n) option R E M E M B E R ; Y(N — ) + / * H * F { X ( N — ), Y ( N — )) + / * H * F ( X ( N ), y(n - 1) + h* f{x(n - ),y(n - ))) end proc >*(!):= ì; vm = = ĩ > > Soỉ := đS0MW/(Y№,*) = . ln(X) - )^P-,Y( 1) = X := n nh ịMi-pO)); S ° L = y(x> = + X + > assign(Sol)', > array([seq([n, evaỉf(y(n)), evaỉf(subs(X — l+0.5-(n— 1), Y (X)))], n — )]); 0.500000000 00.399348463 0.340339641 0.300347287 0.270889328 6 0.247988243 0.229500676 8 0.214155814 0.201145559 0.189927795 0 Ví dụ . Giải hệ phương trình = Z X — yx d x s ft 0.50000000 00 0.34417897 40 0.27077177 03 0.22643436 78 0.19613179 89 0.17382951 56 0.15658532 84 0.14277397 91 0.13141575 13 0.12188064 63 = x + yx y(0 ) = , z(0 ) = theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.01 [0,1] so sánh với giá trị hệ phương trình. Giải > / /'; ■- 91’, X :=' x'\ y :=' y'\ h :=’ b!\ > / := (x,y,z ) -> ( z - y ) - x \ X := n nh f ■= (x,y,z1) X := n nh (z- y)x > := (x,y,z) -> [z + y ) - x G : = (X , Y , Z ) (s + y)a; > h := 0.01; h := 0.01 > X : N —»■ n • H x := n nh > y:= proc (n) option remember; Y I N — ) H---------------• F ( X ( N — ) , Y ( N — l),z(n-l)) +-/(a;(n),y(n-l) + /i-/(a;(n-l),y(n-l),z(n-l)),z(n- 1) + h ■ g(x(n — ), y(n — ), z(n — ))) end; Y :=proc(n) option R E M E M B E R ; y(n — ) + / * h * f(x(n — ),y(n — ),z(n — )) + / * h * f{x(n), y ( n - l ) + h* f (x(n - ), y{n - ), z(n - )), z(n - )) + h* g(x(n - ), y(n - ), z(n - )) end proc > y(0 ) := ; y(0 ) := > > z:= proc (n) option remember; z(n — 1) + — -g(x(n — 1), yin— 1), z(n — !)) +^9(x(n),y(n - ) + h- f(x{n - 1), y{n - 1), z(n - 1)), z(n - 1) + G(X(N - ), Y ( N - ), Z ( N - ))) end; :=proc(n) X := n nh H ■ option remember; z(n — ) + / * h, * g(x(n — ),y{n — * {x{n), ),z{n — )) + 1/2 * h y{n - ) + h* f{x(n - ), y(n - ), z{n - )), z{n - )) + H * G(X(N - ),Y{N- ),Z(N1 )) end proc > ^(0 ) := ; z { ) := > dsolve({diff(Y{X),X) = Z ( X ) ■ X - Y ( X ) ■ X , d i f f ( Z ( X ) , X ) = Z ( X ) ■ X + Y ( X ) • X, Y ( 0) = 1, Z(0) = }{Y(X), Z(X)})-, { Y ( X ) = cosh(-X2 \/2), Z ( X ) = sinh(-X2 \/2)\/2 + cosh(ijf2 \/2)} > array([seq([x(i ), y(i ), evalf(subs(x = x(i), y(a:))), z(i),evalf(subs(x = (i),Z{x)))],i = о 10)]); 13 14 15 19 20 18 23 28 33 38 43 48 53 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 0. 06 0. 07 0. 08 0. 09 24 1.000 00004 29 1.000 000220 34 1.000 000700 39 1.000 001700 44 1.000 003500 49 1.000 006440 54 1.000 010920 10 25 30 35 40 45 50 55 1.0000 00002 1.0000 00040 1.0000 00203 1.0000 00640 1.0000 01563 1.0000 03240 1.0000 06003 1.0000 10240 1.0000 16403 X := n nh 11 16 21 1.0002 26 1.0006 0004 1.0012 00220 1.0020 00700 1.0030 01701 1.0042 03503 1.0056 06448 1.0072 10938 31 36 41 46 51 56 12 17 1.000 100002 22 1.000 400040 27 1.000 900203 32 1.001 600640 37 1.002 501564 42 1.003 603244 47 1.004 906013 52 1.006 410262 57 1.008 116447 58 63 0. 10 59 1.000 017400 60 41.0000 25000 X := n nh 61 1.0090 17438 62 1.010 025083 64 Kết 65 luận Luận văn trình bày phương pháp Euler trường hợp riêng toán XẤP XỈ TÍCH PHÂN. Cách tiếp cận cho phép hiểu thống phương pháp Euler cải biên tranh chung phương pháp giải hệ phương trình vi phân thường. Đồng thời ứng dụng phương pháp Euler Euler cải tiến để giải phương trình, hệ phương trình M A P L E máy tính điện tử khoa học. Điều giúp hình dung cách tổng quan phương pháp Euler mặt phương pháp lẫn thực hành tính toán thực tế. Các ví dụ việc thực hành tính toán máy chứng tỏ giải phương trình vi phân phương pháp số dễ dàng thực phương diện thuật toán, lập trình tính toán máy. 66 Trong trình trình bày kết trên, phải tính toán tỉ mỉ, chi tiết để đối chiếu, so sánh rút kết luận cần thiết. 67 Luận văn trình bày sơ lược phương trình vi phân đại số phương pháp Euler việc giải phương trình vi phân đại số. Tiếc đủ thời gian để nghiên cứu sâu phương trình vi phân đại số. Hy vọng vấn đề tiếp tục nghiên cứu thời gian tới. [...]... phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số 5 Đóng góp của luận văn Hy vọng Luận văn là một... nhiều phương trình cụ thể Chương 2 Trình bày phương pháp Euler giải phương trình vi phân ẩn F ( T , X') — 0 hoặc phương trình vi phân đại số dạng < 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có hai nhiệm vụ: 1 x' = f{t,x,y), = gịt, X, y) X, 1) Nghiên cứu phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số 2) Thực hành tính toán trên máy giải phương trình, hệ phương trình. .. tổng quan và tham khảo tốt cho sinh vi n và học vi n cao học về phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số 6 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích số, giải tích hàm, giải tích phức, để tiếp cận và giải quyết vấn đề Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các...Chương 1 Trình bày tổng quan về phương pháp Euler, Euler cải tiến giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường Các phương pháp này được so sánh và minh họa qua thực hành tính toán trên máy tính V I N A C A L 570ES PLUS và trên chương trình Maple Có thể coi các quy trình và chương trình trong Luận văn là các chương trình mẫu để giải bất kì phương trình vi phân thường nào Điều này... mà luận văn đề cập tới Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường 1.1 Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản 1.1.1 Phép nội suy Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số У tại một số điểm T I , Ỉ = Ĩ{T) = 1, , N của T trong khoảng [a, T Í Ị nào đó Thí dụ, dân số của nước ta có thể biết được theo điều tra dân số vào... tương ứng NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC ĐẠI SỐ Dưới đây ta sẽ xem xét phép nội suy bằng đa thức đại số Nội suy bằng đa thức đại số Đa thức đại số là những hàm khá thuận tiện trong sử dụng (bất biến đối với phép cộng, nhân, lấy tích phân và đạo hàm, , tức là sau các phép toán trên áp dụng vào đa thức ta được kết quả vẫn là đa thức) Hơn nữa, các hàm liên tục đều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức Thật vậy,... theo công thức nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính Đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange cho phép giải quyết bài toán nội suy mà không cần giải hệ phương trình fll.l.ip Trước tiên ta tìm đa thức P Ị ( T ) bậc N (được gọi là H À M L A G R A N G E ) thỏa mãn Pi{tj) = {1, nếu i = j = 0, là kí hiệu Kroneker Vì T J , I Ỷ 3 là nghiệm 1, nếu I ^ J của phương trình đa thức P Ị ( T ) = 0... = J2 ViPiitj) = Vj (j = 0, ,n) I =0 I =0 Do hệ (1.1.1) có duy nhất nghiệm nên p " " (I _ +A (t) = ^ 2vi p i(t) = Enr ^ ỉ—0 I—0 7-0 № ” (1.1.2) là đa thức nội suy duy nhất cần tìm (trùng với đa thức tìm được bằng cách giải phương trình đại số (Ịl.l.lỊ)) Đa thức này được gọi là Đ A THỨC NỘI SUY (interpolating polynomial) Lagrange 1.1.2 Qui tắc cầu phương cơ bản Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương. .. T L ) Có nhiều phương pháp để xác định giá trị của Y tại Ĩ Các phương pháp này đều có chung một cách giải, đó là: “Tìm một hàm theo các giá trị trong bảng nội suy X Ấ P XỈ hàm F ( T Y \ Hàm xấp xỉ thường được chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán Hàm xấp xỉ có thể là đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, chuỗi Taylor, chuỗi Fourie, Khi hàm xấp xỉ được gọi là IF(T) là một đa thức đại số thì phép nội suy... toán học chính xác nào cho phép tính số dân trong các năm đó Do đó ta cũng không thể tính số dân của các năm khác (thí dụ, 2000, 2010, 2020, ) một cách giải tích Tuy nhiên, sử dụng phép nội suy, ta có thể tính được (xấp xỉ) số dân trong năm bất kì nào đó Có thể, công thức toán học của hàm số У = F(T) là đã biết, nhưng khá cồng kềnh, không thuận tiện (tốn thời gian và bộ nhớ) khi tính toán giá trị (chính . trình vi phân đại số 49 49 50 Định nghĩa phương trình vi phân đại số 2.1.1. 2.1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 2.1.3. Phương trình vi phân đại số tuyến tính 51 2.2 Một số đặc thù của phương. phương trình vi phân đại số. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phương trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. 5. Đóng góp của luận văn Hy. các hệ phương trình vi phân đại số. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn có mục đích trình bày tổng quan phương pháp Euler và các cải tiến của nó giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân