BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng. Sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ, hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Vân i LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn. Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Vân ii Mục lục Mở đầu vi Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Định lý tồn nghiệm . . . . . . . . . Áp dụng phương pháp lặp giải số phương trình phi tuyến 10 2.1. Định lý điểm bất động không gian Banach . . . . . . 11 2.2. Ứng dụng phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3. Phương trình tích phân tuyến tính phi tuyến . . 19 2.2.4. Phương trình vi phân thường không gian Banach 24 2.3. Vi phân toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . iii 25 2.3.1. Đạo hàm Frechet Gauteaux . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.3. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.4. Đạo hàm Gateaux cực tiểu lồi . . . . . . . . . . 34 2.4. Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1. Phương pháp Newton không gian Banach . . 38 2.4.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Các trường vectơ hoàn toàn liên tục . . . . . . . . . . . . . 44 2.6. Phương pháp liên hợp gradient cho phương trình phi tuyến 48 2.7. Phương pháp Euler, Euler cải tiến, Runge- Kutta . . . 56 2.8. Phương pháp Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Ứng dụng 64 3.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.1. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.2. Chức cốt lõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Giải số phương trình phần mềm Maple . . . . . 65 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 80 iv BẢNG KÝ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với nghĩa xác định bảng đây: C Tập số phức C[a; b] Tập tất hàm số thực liên tục [a,b] N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực Rk Không gian thực k chiều Z Tập số nguyên ∅ Tập hợp rỗng ||.|| Chuẩn Kết thúc chứng minh. v MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Phương trình vi phân phi tuyến lĩnh vực quan trọng ngành toán học phương diện lý thuyết mô hình ứng dụng. Có nhiều phương pháp giải phương trình phi tuyến. Một phương pháp sử dụng nhiều phương pháp lặp. Nên chọn đề tài “Một số phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến” với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp này. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến ứng dụng giải số phương trình cụ thể máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng phương pháp lặp. Phân tích hội tụ phương pháp. Nêu ứng dụng phương pháp 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ thống số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich. Ứng dụng giải số số phương trình máy tính. 5. Những đóng góp đề tài Đề tài nghiên cứu cách có hệ thống số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến. Nêu lên ứng dụng phương pháp vào giải số phương trình vi phân phi tuyến. vi 6. Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích số lập trình máy tính. Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. vii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1. [2] Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn: (i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính chất đối xứng). (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác). Nếu d metric X (X, d) không gian metric. Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v). Định nghĩa 1.2. [2] Dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim d(xn , x) = 0. n→∞ Kí hiệu lim xn = x xn → x n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.3. [2] Cho T ánh xạ từ tập X vào nó. Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X, cho T (x0 ) = x0 . Định nghĩa 1.4. [2] Một dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N∗ : d(xm , xn ) < ε, ∀m, n ≥ n(ε) Định nghĩa 1.5. [1] Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ đến phần tử X. Định lý 1.6. [1] Mọi tập đóng không gian metric đầy đủ không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.7. [1] Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho: d(T x, T y) ≤ αd(x, y) với x, y ∈ X. Định lý 1.8. [1](Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T ánh xạ co X. Khi tồn u ∈ X cho T (u) = u. Ngoài với x ∈ X, ta có T n (x) → u n → ∞. Chứng minh. Lấy x ∈ X tùy ý. Do T ánh xạ co nên d(T (x), T (x)) = d[T (x), T (T (x))] ≤ αd(x, T (x)). ⇒ d(T n (x), T n+1 (x)) ≤ αn d(x, T (x)). Khi với ∀n, p > ta có: d(T n (x), T n+p (x)) ≤ d(T n (x), T n+1 (x)) + d(T n+1 (x), T n+2 (x)) + . . . + d(T n+p−1 (x), T n+p (x)). ≤ (αn + αn+1 + . . . + αn+p−1 )d(x, T (x)) ≤ (αn + αn+1 + . . . + αn+p−1 + αn+p + . . .)d(x, T (x)) αn = d(x, T (x)) (do ≤ α ≤ 1). 1−α                                                     .000125 .00004266662214  .0003333349060                                                    .0006250007815 .001125027190 .001750020314 .002666869814 .003750173443 .005209302335 .006875876633 .009003473190 .01137824052 .01430188852 .01750971374 .02135938017 .02552504325 .03043446027 10 .03568261964 .04179114620 11 .04824628211 .05570133726 12 .06348766730 .07244786118 13 .08168920150 .09232831036 14 .1031478578 .1156598536 15 .1281798318 .1427852339 16 .1571263353 .1740802646 17 .1903607696 .2099632190 18 .2282976307 .2509066824 19 .2714036211 .2974526313 20 .3202116174 .3502318440 Trong bảng này, cột thứ số bước lặp, số cột thứ hai tương ứng giá trị xấp xỉ, số cột thứ ba giá trị theo công thức đúng. Ta thấy kết tính toán theo công thức Euler có sai số lớn so với nghiệm xác. Ta tiếp tục giải phương trình phương pháp Euler cải tiến sau đây. Phương pháp Euler cải tiến > x(0):=0; 67 y(0):=0; h:=0.05; f := (x, y)− > x2 + y ; yec:=proc(n) x(n):=x(0)+(n)*h; y(n):=y(n-1)+1/2*h*f(x(n-1),y(n-1)) +1/2*h*f(x(n),h*f(x(n-1), y(n-1))+y(n-1)); end: > seq(yec(i),i=1 20); .00006250000000, .0003750009767, .001187523634, .002750192593, .005313445880, .009128432478, .01444766189, .02152597186, .03062188485, .04199943065, .05593052469, .07269800878, .09259948712, .1159521278, .1430986524, .1744148132, .2103187592, .2512828471, .2978486639, .3506463411 > with(Detools): > sol := dsolve(dif f (t(x), x) = x2 + (t(x))2 , t(0) = 0, t(x)); −x∗ (−BesselY (−3/4, 1/2 ∗ x2 ) + BesselJ(−3/4, 1/2 ∗ x2 )) sol := z(x) = (−BesselY (1/4, 1/2 ∗ x2 ) + BesselJ(1/4, 1/2 ∗ x2 )) > assign(sol); > array([seq([n,yec(n),evalf(subs(x=n/20,t(x)))],n=1 20)]); 68                                                     .00006250000000 .00004266662214  .0003750009767 .0003333349060 .001187523634 .001125027190 .002750192593 .002666869814 .005313445880 .005209302335 .009128432478 .009003473190 .01444766189 .01430188852 .02152597186 .02135938017 .03062188485 .03043446027 10 .04199943065 .04179114620 11 .05593052469 .05570133726 12 .07269800878 .07244786118 13 .09259948712 .09232831036 14 .1159521278 .1156598536 15 .1430986524 .1427852339 16 .1744148132 .1740802646 17 .2103187592 .2099632190 18 .2512828471 .2509066824 19 .2978486639 .2974526313                                                    20 .3506463411 .3502318440 phương pháp Euler cải tiến cho kết tốt phương pháp Euler nhiều. Phương pháp Runge-Kutta > restart; > x(0):=0; y(0):=0; h:=0.1; 69 f := (x, y)− > x2 + y ; local k1,k2,k3,k4; x(n):=x(0)+n*h; k1:=f(x(n-1),y(n-1)); k2 := f (x(n − 1) + h/2, y(n − 1) + h ∗ k1/2); k3 := f (x(n − 1) + h/2, y(n − 1) + h ∗ k2/2); k4:=f(x(n),y(n-1)+h*k3); y(n):=y(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end: > seq(yr(i),i=1 20); .00004166667889, .0003333349638, .001125027317, .002666870383, .005209303464, .009003475096, .01430189176, .02135938501, .03043446755, .04179115619, .05570135122, .07244787942, .09232833426, .1156598842, .1427852733, .1740803147, .2099632827, .2509067624, .2974527326, .3502319726 > with(DEtools): > sol := dsolve(dif f (t(x), x) = x2 + (t(x))2 , t(0) = 0, t(x)); −x∗ (−BesselY (−3/4, 1/2 ∗ x2 ) + BesselJ(−3/4, 1/2 ∗ x2 )) sol := z(x) = (−BesselY (1/4, 1/2 ∗ x2 ) + BesselJ(1/4, 1/2 ∗ x2 )) > assign(sol); > array([seq([n,yr(n),evalf(subs(x=n/20,t(x)))],n=1 20)]); 70                                                     .00004166667989 .00004166662214  .0003333349638 .0003333349060 .001125027317 001125027190 .002666870383 .002666869814 .005209303464 .005209302335 .009003475096 .009003473190 .01430189176 .01430188852 .02135938501 .02135938017 .03043446755 .03043446027 10 .04179115619 .04179114620 11 .05570135122 .05570133726 12 .07244787942 .07244786118 13 .09232833426 .09232831036 14 .1156598842 .1156598536 15 .1427852733 .1427852339 16 .1740803147 .1740802646 17 .2099632827 .2099632190 18 .2509067624 .2509066824 19 .2974527326 .2974526313                                                    20 .3502319726 .3502318440 Phương pháp Runge-Kutta cho kết gần với kết theo công thức phương trình. Ví dụ 3.2: Giải phương trình phương pháp Kantorovich, Kantorovich cải biên x = x5 − 0, 1x2 cos t − t, 71 x(0) = 0, ≤ t ≤ 1. Đặt f (x, t) = x5 − 0, 1x2 cos t ⇒ fx (x, t) = 5x4 − 0, 2x cos t, fx2 (x, t) = 20x3 − 0.2 cos t. Chọn x0 (t) = ν = ||x0 (t) − f [x0 (t), t]|| = ||t||, = max |t| + λ max |1| = + λ. 0≤t≤1 0≤t≤1 Chọn λ = 0.1 ⇒ ν = 1.1 fx (x, t) = ||5x40 (t) − 0, 2x0 cos t|| ⇒ M1 = 0. fx2 [x0 (t), t] = ||20x30 (t)−0, cos t|| = ||0, cos t|| = max |0, cos t|+λ max |0, sin t| = 0≤t≤1 0≤t≤1 0, 2(1 + λ1 0, 14147). Chọn λ1 = 0.1 ⇒ M2 ≈ 0.2(1 + 0.084147) ≈ 0.216834. h = M2 T ν e 4T M1 = 0.216834 × × 1.1 × = 0.2385174 < (thỏa mãn). Sử dụng phương pháp Kantorovich >v:=proc(n) local x,t,k,s; x[0](t):=0; x[0](s):=0; f [0](t) := (x[0](t)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[0](t)∧ 2) ∗ cos(t) − t; f [0](s) := (x[0](s)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[0](s)∧ 2) ∗ cos(s) − s; g[0](t) := e∧ int(diff(f[0](t),x),t=0 s); g[0](s) := e∧ int(diff(f[0](s),x),s=0 t); for k from to n f [k − 1](t) := (x[k − 1](t)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[k − 1](t)∧ 2) ∗ cos(t) − t; f [k − 1](s) := (x[k − 1](s)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[k − 1](s)∧ 2) ∗ cos(s) − s; 72 g[k − 1](s) := e∧ int(diff(f[k-1](s),x),s=0 t); g[k − 1](t) := e∧ int(diff(f[k-1](t),x),t=0 s); x[k](s) := x[k −1](s)−g[k −1](s)∗int((1/g[k −1](t))∗(dif f (x[k −1](t), t)− f [k − 1](t)), t = s); x[k](t):=x[k-1](t)-g[k-1](t)*int((1/g[k-1](s))*(diff (x[k-1](s),s)-f[k-1](s)),s=0 t); od; end: >tocdohoitu:=proc(n) local l, h, k, a; a:=0.1; l:=1+a; h:=0.216834*(1+a); k := (1/2∧ n) ∗ ((2 ∗ h)∧ (2∧ n)) ∗ l/h; > v(1); −1 t >tocdohoitu(1); 0.5247382799 >v(2); − t2 − 0.002840909091t11 − 0.02500000000t4 sin(t) − 0.1000000000 ∗ t3 cos(t) + 0.3000000000t2 sin(t) − 0.6000000000 sin(t) + 0.6000000000t cos(t) >tocdohoitu(2); 0.05970529886 73 Sử dụng phương pháp Kantorovich cải biên >v:=proc(n) local x,t,k,s; x[0](t):=0; x[0](s):=0; f [0](t) := (x[0](t)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[0](t)∧ 2) ∗ cos(t) − t; f [0](s) := (x[0](s)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[0](s)∧ 2) ∗ cos(s) − s; phi(t) := e∧ int(diff(f[0](t),x),t=0 s); phi(s) := e∧ int(diff(f[0](s),x),s=0 t); for k from to n f [k − 1](t) := (x[k − 1](t)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[k − 1](t)∧ 2) ∗ cos(t) − t; f [k − 1](s) := (x[k − 1](s)∧ 5) − 0.1 ∗ (x[k − 1](s)∧ 2) ∗ cos(s) − s; x[k](s) := x[k − 1](s) − phi(s) ∗ int((1/g[k − 1](t)) ∗ (dif f (x[k − 1](t), t) − f [k − 1](t)), t = s); x[k](t):=x[k-1](t)-phi(t)*int((1/g[k-1](s))*(diff (x[k-1](s),s)-f[k-1](s)),s=0 t); od; end: >tocdohoitu:=proc(n) local l, h, k, a; a:=0.1; l:=1+a; h:=0.216834*(1+a); k := eta/h ∗ (1 − sqrt(1 − ∗ h))∧ (n + 1); end: > v(1); 74 −1 t >tocdohoitu(1); .3534433833 >v(2); − t2 − 0.002840909091t11 − 0.02500000000t4 sin(t) − 0.1000000000 ∗ t3 cos(t) + 0.3000000000t2 sin(t) − 0.6000000000 sin(t) + 0.6000000000t cos(t) >tocdohoitu(2); .09784608973 Ví dụ 3.3: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Kantorovich, Kantorovich cải biên y = 3y − 0.3y + tet , y (0) = 0, t ∈ [0; 0.25]. Đặt x = y ⇒ x = y , ta có phương trình tương đương x = 3x3 − 0.3x2 + tet . Đặt f (x, t) = 3x3 − 0.3x2 + tet ⇒ x (x, t) = 9x2 − 0.6x, fx2 (x, t) = 18x − 0.6. ν = ||x0 (t) − f [x0 (t), t]|| = ||tet || √ √ = max |tet | + λ max |et + tet | = 0, 25 e + λ[ e(1 + 0, 25)] 0≤t≤T 0≤t≤T √ = (0.25 + 1.25λ) e. 75 √ √ Chọn λ = 0.1 ⇒ ν = (0.25 + 0.125) e = 0.375 e ⇒ fx (x, t) = ||9x20 − 0.6x0 || = ⇒ M1 = 0. fx2 [x0 (t), t] = ||18x0 (t) − 0.6|| = ||0.6|| = 0.6 ⇒ M2 = 0.6. √ 4T M1 h = M2 T ν e = 0.6 × 0.25 × 0.375 e ≈ 0.0722264 < 1/2(thỏa mãn). Sử dụng phương pháp Kantorovich >v:=proc(n) local x,t,k,s; x[0](t):=0; x[0](s):=0; f [0](t) := (3 ∗ x[0](t)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[0](t)∧ 2) + t ∗ e∧ t; f [0](s) := (3 ∗ x[0](s)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[0](s)∧ 2) + t ∗ e∧ t; g[0](t) := e∧ int(diff(f[0](t),x),t=0 s); g[0](s) := e∧ int(diff(f[0](s),x),s=0 t); for k from to n f [k − 1](t) := (3 ∗ x[k − 1](t)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[k − 1](t)∧ 2) + t ∗ e∧ t; f [k − 1](s) := (3 ∗ x[k − 1](s)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[k − 1](s)∧ 2) + t ∗ e∧ t; g[k − 1](s) := e∧ int(diff(f[k-1](s),x),s=0 t); g[k − 1](t) := e∧ int(diff(f[k-1](t),x),t=0 s); x[k](s):=x[k-1](s)-g[k-1](s)*int((1/g[k-1](t))*(diff (x[k-1](t),t)-f[k-1](t)),t=0 s); x[k](t):=x[k-1](t)-g[k-1](t)*int((1/g[k-1](s))*(diff (x[k-1](s),s)-f[k-1](s)),s=0 t); od; end: > tocdohoitu:=proc(n) local eta,h,k,a; 76 a:=0.1; eta:=(0.25+1.25*a)*sqrt(sqrt(e)); h := 0.6 ∗ 0.25∧ 2*eta; k := (1/2∧ n) ∗ ((2 ∗ h)∧ (2∧ n))∗eta/h; end: > v(1); t2 e t > tocdohoitu(1); √ 0.1054687500 e >v(2); t2 et + .002777777778(360.t2 et ln(e)7 + 1080.t ln(e) − 108. ln(e)3 t − 1040.(et )3 + 2040.(et )3 t ln(e) − 1440.(et )3 t2 ln(e)2 + 360.(et )3 t3 ln(e)3 − 135.(et )2 ln(e)2 + 4050.(et )2 + 162.(et )2 ln(e)3 t − 4860.(et )2 t ln(e) − 54.(et )2 ln(e)4 t2 + 1620.(et )2 t2 ln(e)2 + 432.et ln(e)2 − 6480.et + 360.et ln(e)5 + 3240.et t ln(e) − 360.tet ln(e)6 − 216.et ln(e)3 t)/ln(e)7 297. ln(e)2 − 3470. + 360. ln(e)5 − .002777777778 ln(e)7 >tocdohoitu(2); 0.4171371462(10)−5 e Sử dụng phương pháp Kantorovich cải biên >v:=proc(n) local x,t,k,s; x[0](t):=0; x[0](s):=0; f [0](t) := (3 ∗ x[0](t)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[0](t)∧ 2) + t ∗ e∧ t; 77 f [0](s) := (3 ∗ x[0](s)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[0](s)∧ 2) + t ∗ e∧ t; φ(t) := e∧ int(diff(f[0](t),x),t=0 s); φ(s) := e∧ int(diff(f[0](s),x),s=0 t); for k from to n f [k − 1](t) := (3 ∗ x[k − 1](t)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[k − 1](t)∧ 2) + t ∗ e∧ t; f [k − 1](s) := (3 ∗ x[k − 1](s)∧ 3) − 0.3 ∗ (x[k − 1](s)∧ 2) + t ∗ e∧ t; x[k](s):=x[k-1](s)-phi(s)*int((1/phi(t))*(diff (x[k-1](t),t)-f[k-1](t)),t=0 s); x[k](t):=x[k-1](t)-phi(t)*int((1/phi(s))*(diff (x[k-1](s),s)-f[k-1](s)),s=0 t); od; end: > tocdohoitu:=proc(n) local eta,h,k,a; a:=0.1; eta:=(0.25+1.25*a)*sqrt(sqrt(e)); h := 0.6 ∗ 0.25∧ 2*eta; k := (1/2∧ n) ∗ ((2 ∗ h)∧ (2∧ n))∗eta/h; end: > v(1); t2 e t > tocdohoitu(1); − .02812500e )2 26.66666667(1 − >v(2); t2 et + .002777777778(360.t2 et ln(e)7 + 1080.t ln(e) − 108. ln(e)3 t 78 − 1040.(et )3 + 2040.(et )3 t ln(e) − 1440.(et )3 t2 ln(e)2 + 360.(et )3 t3 ln(e)3 − 135.(et )2 ln(e)2 + 4050.(et )2 + 162.(et )2 ln(e)3 t − 4860.(et )2 t ln(e) − 54.(et )2 ln(e)4 t2 + 1620.(et )2 t2 ln(e)2 + 432.et ln(e)2 − 6480.et + 360.et ln(e)5 + 3240.et t ln(e) − 360.tet ln(e)6 − 216.et ln(e)3 t)/ln(e)7 297. ln(e)2 − 3470. + 360. ln(e)5 − .002777777778 ln(e)7 >tocdohoitu(2); 26.66666667(1 − − .02812500e )3 . Nhận xét: Ta thấy hai phương pháp Kantorovich Kantorovich cải biên cho kết hoàn toàn trùng khớp, nhiên phương pháp Kantorovich cải biên có tốc độ hội tụ nhanh so với phương pháp Kantorovich. 79 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách hệ thống số phương pháp lặp giải phương trình tích phân vi phân phi tuyến: phương pháp Picard lặp, phương pháp Newton, phương pháp Euler, phương pháp Kantorovich . Ứng dụng phần mềm maple vào giải số phương trình phi tuyến; phân tích, so sánh hội tụ phương pháp. Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận bảo, góp ý Thầy Cô bạn đọc để vấn đề trình bày luận văn hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích. Xin chân thành cảm ơn ! 80 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2001. [2] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2001. [3] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1999. [4] Doãn Tam Hòe, Toán học tính toán, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2005. [5] Tạ Duy Phượng, Giải tích số máy tính điện tử, Bản thảo Bài giảng Cao học. [6] Tạ Duy Phượng, Phương pháp số giải phương trình vi phân thường, Bản thảo Bài giảng Cao học. [7] Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc, Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục, 1996. [B] Tài liệu tiếng Anh [8] Stoer, R. Bulirsch, Introduction to numerical Analysis, Springer, 2002, (Third Edition). 82 [...]... 0 ⇔ w = 0 Vậy phương trình (2.1) có thể đưa về phương trình (2.5) Và từ phép lặp (2.3) ta có được một phương pháp xấp xỉ để giải phương trình (2.5) Ở mục 2.2, tôi sẽ trình bày việc giải phương trình bằng các phương pháp lặp trong các tập hợp khác nhau Xét ví dụ sau: Ví dụ 2.1 Cho V là đường thẳng thực R, T là một toán tử afin, T x = ax + b, x ∈ R, a, b là hằng số Ta xác định công thức lặp của T Cho... (2.25) Xét một phương trình tích phân phi tuyến khác: b k(x, y)h(y, u(y))dy + f (x) a ≤ x ≤ b u(x) = µ a 20 với k(x, y), h(y, u), và f (x) đã cho, được gọi là phương trình tích phân Hammerstein Phương trình loại này xuất hiện khi xây dựng bài toán giá trị biên của phương trình vi phân phi tuyến thường Một phương trình tích phân phi tuyến khác không thuộc nhóm đối tượng trên đó là phương trình Nekrasov... này, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến và phương pháp giải số Chúng ta bắt đầu xem xét các phương trình toán tử có dạng u = T (u), u ∈ K, (2.1) ở đây V là một không gian Banach, K là một tập hợp con của V, T : K → V Các nghiệm của phương trình này được gọi là các điểm cố định của T khi chúng được giữ nguyên bởi T Phương pháp quan trọng nhất để xét tính giải được các phương trình, đó là định lý... tính toán thực tế; và một ước lượng sai số hậu nghiệm (2.7) để tính giới hạn sai số khi tính các nghiệm bằng số Trong phần này, tôi áp dụng định lý Banach về điểm bất động để tính xấp xỉ (bằng số) của một số bài toán 2.2.1 Phương trình phi tuyến Cho một hàm thực f : R → R Tìm nghiệm của nó, nghĩa là, ta đi giải các phương trình: f (x) = 0, x ∈ R (2.13) Có nhiều cách để đưa phương trình này về bài toán... có được hằng số co 1 α= max |λ| a≤x≤b b |k(x, y)|dy a 19 Với giả thiết α < 1, ta có phép lặp b 1 un (x) = λ a 1 k(x, y)un−1 (y)dy + f (x), a ≤ x ≤ b λ (2.21) với n = 1, 2, dùng để giải (2.19) Phương trình tích phân phi tuyến loại hai Ta xét một số phương trình tích phân phi tuyến loại 2 thường thấy Phương trình b k(x, y, u(y))dy + f (x), a ≤ x ≤ b u(x) = µ (2.22) a được gọi là phương trình tích phân... của phương trình đã cho là x 1 y = − − + Ce3x Để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện như trên ta 3 9 chỉ cần thay các giá trị ban đầu và tính C 1 1 = y(0) = − + Ce0 9 10 x 1 10 suy ra C = Nghiệm cần tìm là: y = − − + e3x 9 3 9 3 9 Chương 2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi tuyến Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu các toán tử không có tính tuyến tính Trong đề tài này, ta xét các phương. .. 2 Phương trình có một nghiệm θ(x) = 0, chúng ta chỉ xét các nghiệm khác không Phương trình này xuất phát từ việc nghiên cứu cấu hình sóng của các chất lỏng có độ sâu vô hạn Phương trình tích phân phi tuyến Volterra Phương trình có dạng: t u(t) = k(t, s, u(s))ds + f (t), t ∈ [a, b] (2.27) a được gọi là phương trình tích phân phi tuyến Volterra Khi k(t, s, u) phụ thuộc tuyến tính vào u, chúng ta có phương. .. phương pháp giải phương trình (2.1) và khả năng giải xấp xỉ u bằng một số phương pháp lặp Chọn một nghiệm ban đầu u0 ∈ K, và xác định dãy {un } theo công thức un+1 = T (un ), n = 0, 1, (2.3) T (v) ∈ K, ∀v ∈ K (2.4) f (u) = 0 (2.5) trong đó T thỏa mãn: Giải phương trình: với f : K ⊂ V → V Ta đưa phương trình về bài toán tìm điểm bất động (2.1) bằng cách đặt T (v) = v − c0 f (v) với hằng số c0 = 0,... xin trình bày định lý này ở phần 2.1, và ứng dụng vào nghiên cứu các phương pháp lặp khác nhau trong giải tích số Sau đó, chúng ta mở rộng phương pháp Newton, cho một số lớp phương trình vi phân trong không gian Banach 10 2.1 Định lý điểm bất động trong không gian Banach Cho V là một không gian Banach, với chuẩn ||.||V và K là một tập con của V Xét toán tử T :K→V (2.2) xác định trên K Ta tìm phương pháp. .. thông số gia tốc Tương ứng phương pháp lặp (xấp xỉ) với lựa chọn tối ưu của ω, được gọi là phương pháp SOR Biểu diễn từng phần theo phương pháp SOR là: i−1 xn,i = xn−1,i + ω bi − m aij xn,j − j=1 aij xn−1,j , 1 ≤ i ≤ m j=i+1 Một cách trực quan hơn, ta viết chúng dưới dạng vector như sau: zn = D−1 [b − Lxn − U xn−1 ], xn = ωzn + (1 − ω)xn−1 2.2.3 Phương trình tích phân tuyến tính và phi tuyến Xét phương . nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến và ứng dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ. phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của các phương pháp này vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến. vi 6. Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp phân. dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi tuyến Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu các toán tử không có tính tuyến tính. Trong đề tài này, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến và phương pháp