BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LANH PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Lanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Lanh Mục lục Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Cơ sở toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Phương trình vi phân có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Một số bổ đề bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Tính ổn định phương trình vi phân có trễ . . . . 17 19 2.1. Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Danh mục ký hiệu R trường số thực; R+ tập số thực không âm; Rn không gian Euclide n chiều trường số thực; D lân cận mở Rn ; Mn×m (R) không gian ma trận hệ số thực cỡ n × m; C[a, b] không gian hàm nhận giá trị thực liên tục đoạn [a, b]; C [a, b] không gian hàm nhận giá trị thực khả vi liên tục tới cấp đoạn [a, b]; C = C([a, b], Rn ) không gian hàm nhận giá trị thực Rn liên tục đoạn [a, b]; AT ma trận chuyển vị ma trận A; I ma trận đơn vị; λ(A) tập tất giá trị riêng A; λmin (A) phần thực nhỏ giá trị riêng A Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn lý thuyết có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết công cụ toán học đại số lĩnh vực giải tích, phương trình vi tích phân, giải tích hàm, giải tích đa trị, lý thuyết ma trận, giải tích phổ toán tử, thuật toán số giải phương trình điều khiển giải toán tối ưu . .Vấn đề nghiên cứu tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov quan tâm nghiên cứu nhận nhiều kết lý thú sâu sắc. Vì hữu hiệu quan trọng phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ, chọn đề tài: “Phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ Toán học mình. Luận văn cấu trúc thành 02 chương. Chương dành để đưa số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân. Trong chương luận văn, trình bày phương pháp hàm Lyapunov áp dụng vào xét tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân có trễ. 2. Mục đích vi nghiên cứu - Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov ứng dụng giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. - Phương pháp hàm Lyapunov điều kiện cần đủ giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. - Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định. - Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận. 5. Đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống khoa học toán ổn định phương trình vi phân có trễ: Phương pháp kết sở toán ổn định. Chương Cơ sở toán học Trong chương này, trình bày số kiến thức sở chuẩn bị dùng cho phần sau. Trước tiên, giới thiệu số không gian hàm, khái niệm liên quan tới hệ phương trình vi phân thường có trễ, trình bày toán ổn định hệ phương trình vi phân, mục cuối giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân. Nội dung chương lấy từ tài liệu [1, 2, 3, 4]. 1.1. Phương trình vi phân 1.1.1. Phương trình vi phân thường • Một số không gian hàm a) Không gian Rn Không gian tuyến tính thực Rn với chuẩn 1/2 n x2i ||x|| = . i=1 Khi Rn không gian Banach, ta trang bị tích vô hướng n x, y = xi yi i=1 ||x|| = x, y Rn trở thành không gian Hilbert. b) Không gian Mn×m gồm tất ma trận A = (aij ), ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m cỡ n × m, aij số thực. Chuẩn ma trận A xác định n 1/2 m ||A|| = |aij | . i=1 j=1 c) Xét không gian C[a, b] gồm tất hàm số giá trị thực xác định liên tục đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn ||x|| = sup |x(t)|. [a,b] Khi C[a, b] không gian Banach thực. d) Xét không gian C [a, b] gồm tất hàm số giá trị thực xác định khả vi liên tục đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn ||x|| = sup |x(t)| + sup |x (t)|. [a,b] [a,b] Khi C [a, b] không gian Banach thực. Ta cần nhớ lại khái niệm ma trận xác định dương xác định âm đây. Định nghĩa 1.1. Ma trận M ∈ Mn×m (R) gọi xác định dương M x, x > 0, ∀x = 0. Điều kiện tương đương với ∃C > : M x, x ≥ C x , ∀ x ∈ Rn . Ma trận M ∈ Mn×m (R) gọi xác định âm M x, x < 0, ∀x = 0. Điều kiện tương đương với ∃C > : M x, x ≤ −C x , ∀ x ∈ Rn . • Xét phương trình vi phân    x(t) ˙ = f (t, x(t)),   x(t ) = x , 0 t ∈ I = [t0 − d, t0 + d] (1.1) x ∈ Rn , t0 ≥ 0, f (t, x) : I × D −→ Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a}. Ta nhắc lại định lí tồn nghiệm hệ (1.1) sau. Định lý 1.1. (Picard-Linderl¨off) Giả sử hàm f (t, x) liên tục theo biến t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là, ∃L > : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, ∀x1 , x2 ∈ D, ∀t ≥ 0. Khi hệ (1.1) có nghiệm đoạn [t0 − d, t0 + d], d > (t0 , x0 ) ∈ I × D. 1.1.2. Phương trình vi phân có trễ Trong mục ta giả sử h số thực không âm, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) = {ϕ : [−h, 0] −→ Rn liên tục} với chuẩn hàm ϕ ∈ C ||ϕ||C = sup ||ϕ(t)||. t∈[−h,0] Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.1) có dạng: t V (t, xt ) = P x(t), x(t) + Qx(s), x(s) ds. t−h Ta kiểm tra điều kiện hàm Lyapunov chặt Định nghĩa 1.9 ổn định hệ (2.1). Vì P > 0, Q > nên V (t, xt ) ≥ P x(t), x(t) ≥ λmin (P ) x(t) , t ≥ t V (t, xt ) ≤ λmax (P ) x(t) + λmax (Q) x(s) ds t−h ≤ λmax (P ) x(t) Hơn nữa, x(t) ≤ xt + λmax (Q)h xt . nên ta có V (t, xt ) ≤ [λmax (P ) + hλmax (Q)]. xt . Hay λ1 x(t) ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt , (2.3) điều kiện i) iii) thỏa mãn. Để kiểm tra điều kiện ii) iv) ta lấy đạo hàm hàm V theo t sau: V˙ f (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = 2P Ax(t), x(t) + P Dx(t − h), x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = (AT P + P A + Q)x(t), x(t) + P Dx(t − h), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) . 20  Đặt biến z(t) =   x(t)  ta có x(t − h)  V˙ f (t, x(t)) = z T (t)  T A P + PA + Q PD T −Q D P   z(t) = M z(t), z(t) . Theo giả thiết (2.2) ta có V˙ f (t, xt ) ≤ M z(t), z(t) ≤ −λ z(t) , ∀t ≥ 0, λ = λmin (M ). Hơn nữa, z(t) V˙ f (t, xt ) ≤ −λ x(t) , ≥ x(t) nên ta có ∀t ≥ 0. Vậy điều kiện Định nghĩa 1.9 thỏa mãn, theo Định lý 1.4 hệ (2.1) ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân có trễ dạng:    x˙ (t) = −3x1 (t) + x1 (t − 2), t ≥ 0, (2.4)   x˙ (t) = −5x (t) + 2x (t − 2), 2 h = 2. Ta thấy ma trận  A= −3 −5    D =  0  . Ta chứng tỏ điều kiện (2.2) Định lý 2.1 thỏa mãn. Thật vậy, điều kiện (2.2) tương đương với ∃P, Q cho AT P + P A + Q + P DQ−1 DT P < 0. 21 (2.5) Ta kiểm tra bất đẳng thức ma trận (2.5) có nghiệm     1  Q =  . P = Thật vậy, ta có:  AT P =   PA =  −3 0        −3  = , −5 −10  −3 −5  =  P DQ−1 DT P =  0 16 −3 , −10  . Do (2.5) trở thành  −4    < 0. −3 Vậy theo Định lý 2.1 hệ cho ổn định tiệm cận. Bây ta xét hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên dạng:    x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − h(t)), t ≥ 0,     x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0),       ≤ h(t) ≤ h, h(t) ˙ ≤ δ < 1, ∀t ≥ 0. (2.6) Ta có kết ổn định tiệm cận hệ (2.6) qua định lý đây. Định lý 2.2. Giả sử ma trận hệ số hệ phương trình (2.6) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho  M = T A P + PA + Q PD T −(1 − δ)Q D P 22   < 0. (2.7) Khi hệ (2.6) ổn định tiệm cận. Chứng minh. Ta lấy hàm Lyapunov: t V (t, xt ) = P x(t), x(t) + Qx(s), x(s) ds. t−h(t) Ta kiểm tra điều kiện ii) Định lý 1.4 ổn định hệ (2.6). Theo giả thiết P > 0, Q > nên ta có V (t, xt ) ≥ P x(t), x(t) ≥ λmin (P ) x(t) ≤ h(t) ≤ h nên t V (t, xt ) ≤ λmax (P ) x(t) + λmax (Q) x(s) ds t−h(t) Hơn nữa, x(t) ≤ λmax (P ) x(t) + λmax (Q)h(t) xt ≤ λmax (P ) x(t) + λmax (Q)h xt ≤ x(t) nên ta có V (t, xt ) ≤ [λmax (P ) + hλmax (Q)]. xt . Hay λ1 x(t) ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt , (2.8) điều kiện i) iii) Định nghĩa 1.9 thỏa mãn. Ta kiểm tra điều kiện ii) iv) Định nghĩa 1.9 cách lấy đạo hàm hàm V theo t sau: ˙ V˙ f (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + Qx(t), x(t) − (1 − h(t)) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) . 23 ˙ Do −(1 − h(t)) ≤ −(1 − δ) nên ta có V˙ f (t, xt ) ≤ 2P Ax(t), x(t) + P Dx(t − h(t)), x(t) + Qx(t), x(t) ˙ − (1 − h(t)) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) ≤ (AT P + P A + Q)x(t), x(t) + P Dx(t − h(t)), x(t)  Đặt z(t) =  x(t) − (1 − δ) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) .   ta có x(t − h(t))   T A P + PA + Q PD  z(t) V˙ (t, x(t)) = z T (t)  T D P (1 − δ)Q = M z(t), z(t) . Do V˙ f (t, xt ) ≤ M z(t), z(t) ≤ −λ z(t) . Hơn nữa, z(t) z(t) ≥ x(t) = x(t) + x(t + h(t)) ≥ x(t) . nên ta có V˙ f (t, xt ) ≤ −λ x(t) , t ≥ 0. Vậy điều kiện hàm Lyapunov chặt thỏa mãn, hàm V (t, xt ) hàm Lyapunov chặt, theo Định lý 1.4 hệ (2.6) ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.2. Xét hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên sau:    x˙ = −10x1 + 3x1 (t − t − 1)   x˙ = −4x + 2x (t − t − 1), 2 h(t) = t + 1. 24 (2.9) Với δ = ta có ˙ h(t) = < δ < 1. Ma trận A, D tương ứng hệ (2.9)     −10  D =  . A= −4 Ta kiểm tra điều kiện (2.7) Định lý 2.2. Theo Bổ đề Schur điều kiện (2.7) tương đương với bất đẳng thức ma trận sau AT P + P A + Q + P DQ−1 DT P < 0. 1−δ Ta kiểm tra (2.10) có nghiệm P > 0, Q > :     2 .  Q =  P = Thật vậy, ta có:  AT P =   PA =  Ta tính −10 −4 0    0 −10 −4    =   = −20 −4 −20 −4 P DQ−1 DT P, ta có 1−δ       = . PD =  2  DT P =  0   0 25    = 0  . ,  . (2.10)  Q−1 =  0 −1    2 0 =  1 .   36 . P DQ−1 DT P = 2P DQ−1 DT P =  1−δ Do (2.10) trở thành   −2 −2   < 0. Vậy theo Định lý 2.2 hệ cho ổn định tiệm cận. 2.2. Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ sau:    x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − h) + f (x(t), x(t − h)), t ≥ 0,   x(t) = ϕ(t), (2.11) t ∈ [−h, 0), hàm f : Rn × C → Rn thỏa mãn điều kiện ∃α > 0, β > 0, ∀(x, y) ∈ R n × Rn : f (x, y) ≤α x + β y 2. (2.12) Ta có kết ổn định tiệm cận hệ (2.11) qua định lý đây. Định lý 2.3. Giả sử ma trận hệ số hệ phương trình (2.11) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính   T A P + P A + αI + Q P D P     M = DT P βI − Q  < 0.   P −I Khi hệ (2.11) ổn định tiệm cận. 26 (2.13) Chứng minh. Ta chứng minh định lý cách lấy hàm Lyapunov có dạng sau: t V (t, xt ) = P x(t), x(t) + Qx(s), x(s) ds. t−h Theo chứng minh Định lý 2.1 điều kiện iii) Định nghĩa 1.9 thỏa mãn. Ta kiểm tra điều kiện iv) sau. Lấy đạo hàm theo t hàm V ta có: V˙ f (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) = 2P Ax(t), x(t) + P Dx(t − h), x(t) + P f (x(t), x(t − h), x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) ≤ (AT P + P A + Q)x(t), x(t) + P Dx(t − h), x(t) − Qx(t − h), x(t − h) + P f (x(t), x(t − h), x(t) + αxT x + βxTh xh − f T (·)f (·) xh = x(t − h), theo điều kiện (2.12) ta có:  −f T f + αxT x + βxTh xh ≥ 0.  x(t)     Đặt z(t) = x(t − h) ta có   f (·)    T ˙ Vf (t, xt ) ≤ z (t)   T A P + P A + αI + Q PA P    βI − Q  z(t) < 0,  −I T A P P hay V˙ f (t, xt ) ≤ z T (t)M z(t) < 0. 27 Do tồn λ > cho V˙ f (t, xt ) ≤ −λ z(t) , λ = λmin (M ), z(t) = x(t) + x(t − h) + f (x(t), x(t − h)) ≥ x(t) . Như V˙ f (t, xt ) ≤ −λ x(t) , t ≥ 0. Vậy điều kiện ii) Định lý 1.4 thỏa mãn, hay hệ (2.11) ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.3. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ sau:    x˙ = −3x1 + x1 (t − 3) + x21 (t) + x21 (t − 3) (2.14)   x˙ = −11x + 3x (t − 3) + x2 (t) + x2 (t − 3), 2 2 h = 3. Ma trận A, D tương ứng hệ (2.14)     −3  D =  . A= −11 Hàm f (x(t), x(t − h)) = x2 (t) + x2 (t − h) ≤ 1.||x(t)||2 + 2.||x(t − h)||2 , ta chọn α = 1, β = 2. Ta chứng tỏ điều kiện (2.13) Định lý 2.3 thỏa mãn. Thật vậy, điều kiện (2.13) tương đương với AT P + P A + αI + Q + P D(βI − Q)−1 DT P + P < 0. Phương trình ma trận (2.15) có nghiệm P > 0, Q > :     1  Q =  . P = 28 (2.15) Thật vậy, ta có:  AT P =   PA =  −3 0        −3 ,  = −22 −11  −3 −3 = . −11 −22   . αI =   Ta tính P D(βI − Q)−1 DT P, ta có      1  = . PD =   DT P =      =  −1 2−1  (βI − Q)−1 =  2−1  P D(βI − Q)−1 DT P =   .  = 36  . Cuối ta tính  P2 =  0  . Do (2.15) trở thành   −2   < 0. −2 Vậy theo Định lý 2.3 hệ cho ổn định tiệm cận. 29  . Tiếp theo ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên sau:    x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + f (x(t), x(t − h(t))), t ≥ 0,     x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0),       ≤ h(t) ≤ h, h(t) ˙ ≤ δ < ∀t ≥ 0. (2.16) f (x, y) ≤α x + β y 2, ∀(x, y) ∈ Rn × Rn . Ta có kết ổn định tiệm cận hệ (2.16) qua định lý đây. Định lý 2.4. Giả sử ma trận hệ số hệ phương trình (2.16) thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính   T A P + P A + αI + Q PD P     T M = D P βI − (1 − δ)Q  < 0.   P −I (2.17) Khi hệ (2.16) ổn định tiệm cận. Chứng minh. Tương tự định lý ta lấy hàm Lyapunov có dạng sau: t V (t, xt ) = P x(t), x(t) + Qx(s), x(s) ds. t−h(t) Theo chứng minh Định lý 2.2 điều kiện iii) Định nghĩa 1.9 thỏa mãn. Ta kiểm tra điều kiện iv) sau. 30 Lấy đaọ hàm theo t hàm V ta có: V˙ f (t, xt ) = P x(t), ˙ x(t) + Qx(t), x(t) ˙ − (1 − h(t)) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) = 2P Ax(t), x(t) + P Ax(t − h(t)), x(t) + P f (x(t), x(t − h(t)), x(t) + Qx(t), x(t) ˙ − (1 − h(t)) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) ≤ (AT P + P A + Q)x(t), x(t) + P Ax(t − h(t)), x(t) − (1 − δ) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) + P f (x(t), x(t − h(t)), x(t) + αxT x + βxTh xh − f T (·)f (·) ˙ xh = x(t − h), h(t) ≤ δ < −f T (·)f (·) + αxT x + βxTh xh ≥ 0.   x(t)     Đặt z(t) = x(t − h) ta có   f (·)   T A P + P A + αI + Q PA P     T ˙ T Vf (t, xt ) ≤ z (t)  A P βI − (1 − δ)Q  z(t) < 0,   P −I hay V˙ f (t, xt ) ≤ z T (t)M z(t) < 0. Do tồn λ > cho V˙ f (t, xt ) ≤ −λ z(t) , λ = λmin (M ), z(t) = x(t) + x(t − h(t)) + f (x(t), x(t − h(t))) 31 ≥ x(t) . Như V˙ f (t, xt ) ≤ −λ x(t) . Vậy điều kiện ii) Định lý 1.4 thỏa mãn, hay hệ (2.11) ổn định tiệm cận. Ví dụ 2.4. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên sau:    x˙ = −6x1 − 4x2 + 2x1 (t − t) + x2 (t − t) + x21 (t − t) 3 (2.18)   x˙ = −13x + 3x (t − t) + x2 (t − t), 2 2 3 h(t) = t. 1 ˙ Ta thấy h(t) = = δ = < 1, hàm f (x(t), x(t − h(t))) = x2 (t − h(t)) ≤ 1.||x(t)||2 + 2.||x(t − h(t))||2 , ta chọn α = 1, β = 2. Ta kiểm tra điều kiện (2.17) Định lý 2.4 thỏa mãn. Thật vậy, điều kiện (2.17) tương đương với AT P + P A + αI + Q + P D(βI − (1 − δ)Q)−1 DT P + P < 0. Ma trận A, D tương ứng hệ (2.18)     −6 −4  D =  . A= −13 Ta kiểm tra hệ (2.19) có nghiệm P > 0, Q > :     1  Q =  . P = Khi  AT P =  −6     1 −6 −6  = , −4 −13 −4 −17 32 (2.19)  −6 −17 1 −6 −4 .  = PA =  −13 −13   . αI =    Ta tính P D(βI − (1 − δ)Q)−1 DT P, ta   1  PD =   DT P =      có    = . 1   =  (βI − (1 − δ)Q)−1 = I −1 =  0 2  . −1   P D(βI − (1 − δ)Q)−1 DT P =   = 16 12  . Cuối ta tính  P2 =  1   1   =  . Do (2.19) trở thành   −1 −5 −1 −1   < 0. Vậy theo Định lý 2.4 hệ cho ổn định tiệm cận. 33  . Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau đây: 1. Trình bày toán ổn định phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ tuyến tính phi tuyến, phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có trễ; 2. Giới thiệu số tiêu chuẩn sở tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ có trễ biến thiên, lớp phương trình có tính toán ví dụ cụ thể. 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục. [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. [3] W. Hahn (1963), Theory and Applications of Lyapunov’s Direct Methods, Prentice Hall, NJ. [4] V. L. Kharitonov (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkh¨auser, Berlin. [5] P. Gahinet, A. Nemirovskii, A. J. Laub and M. Chilali (1995), The LMI Control Toolbox, for Use with MATLAB. The MathWorks Inc., Natick, MA. 35 [...]... x(t) của hệ (1.6) Khi đó hệ là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov α và N = λ2 λ1 1.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ    x(t) = f (t, xt ), ˙   x(t) = ϕ(t), t ≥ 0; (1.8) t ∈ [−h, 0] Tương tự như đối với hệ phương trình vi phân thường (1.3) ta cũng có các khái niệm tương tự về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) Định nghĩa... ma trận đối xứng xác định dương Khi đó ta có ±2xT y ≤ xT N x + y T N −1 y, 18 ∀(x, y) ∈ Rn × Rn Chương 2 Tính ổn định phương trình vi phân có trễ Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov Các điều kiện được trình bày dưới dạng... R→0 0 Khi đó hệ (1.2) có nghiệm duy nhất x(t, ϕ) trên R+ 1.2 Bài toán ổn định 1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy sau    x(t) = f (t, x(t)), ˙   x(t ) = x , 0 0 8 t≥0 t0 ≥ 0, (1.3) trong đó x(t) ∈ Rn là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm f : R+ ×Rn −→ Rn cho trước Ta giả sử với các điều kiện của hàm f hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhất trên toàn R+ Ta có các khái... rằng, nghiệm của hệ này cho bởi x(t) = x0 eat , t ≥ 0 Bằng các tính toán đơn giản, ta có thể kết luận Hệ là ổn định (cũng tiệm cận và ổn định mũ) nếu a < 0 Nếu a = 0 thì hệ là ổn định Hơn nữa, ta có thể chọn được số δ không phụ thuộc vào t0 , do đó, hệ cũng ổn định đều (và cũng ổn định tiệm cận đều) Ví dụ 1.2 Xét hệ sau    x(t) = a(t)x(t), ˙ t≥0 t0 ≥ 0,   x(t ) = x , 0 0 trong đó a là hàm số liên tục... 1.10 Hệ (1.8) gọi là: 1 ổn định nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ϕ ∈ C : ϕ < δ thì với mọi nghiệm x(t, ϕ) thỏa mãn x(t, ϕ) < , ∀t ∈ R+ 2 ổn định tiệm cận nếu hệ (1.8) là ổn định và x(t, ϕ) → 0 khi t → +∞ 3 ổn định mũ nếu mọi nghiệm x(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện: ∃M > 0, α > 0 : x(t, ϕ) ≤ M e−αt ϕ , 16 ∀t ≥ 0 Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa tương tự như sau: Định nghĩa 1.11 Hàm. .. xt + h) − V (t, xt ) ˙ Vf (t, xt ) = lim+ h→0 h Ta có định lý sau về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) Định lý 1.6 Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V (t, xt ) cho hệ (1.8) Khi đó 1 α2 hệ là ổn định mũ với chỉ số ổn định Lyapunov α = − α3 , N = 2 α1 1.3 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.1 (Bổ để Schur) Cho P, Q là các ma trận đối xứng xác định dương, M ∈ Mn×m (R) Khi đó,   P M   < 0 ⇔... Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov thì hệ đó là ổn định; 2) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt thì hệ đó là ổn định tiệm cận Chứng minh 1) Giả sử trái lại hệ (1.6) không ổn định, khi đó tồn tại các số 1 > 0, t0 > 0 và với mọi δ > 0 tồn tại nghiệm x1 (t) mà x1 (t0 ) = x0 và một số T > t0 sao cho ||x0 || < δ ⇒ ||x1 (T )|| ≥ 1 Lấy δ > 0 đủ nhỏ sao cho Vδ (0) ⊆ D Theo giả thiết hàm V là hàm Lyapunov của hệ nên... Vậy theo Định lý 2.2 hệ đã cho là ổn định tiệm cận 2.2 Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng sau:    x(t) = Ax(t) + Dx(t − h) + f (x(t), x(t − h)), t ≥ 0, ˙   x(t) = ϕ(t), (2.11) t ∈ [−h, 0), trong đó hàm f : Rn × C → Rn thỏa mãn điều kiện ∃α > 0, β > 0, ∀(x, y) ∈ R n × Rn : f (x, y) 2 ≤α x 2 + β y 2 (2.12) Ta có kết quả về sự ổn định tiệm... mà có thể giải được bằng các công cụ Matlab LMI toolbox [5] Nội dung chương này lấy từ các tài liệu [2, 4] 2.1 Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ Trong mục này, giả sử A, D ∈ Mn×n (R), h dương xét hệ phương trình sau:    x(t) = Ax(t) + Dx(t − h), ˙ (2.1)   x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0) Ta có một kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.1) qua định lý sau Định lý 2.1 Giả sử các ma trận hệ. .. của hệ trên xác định bởi t a(s)ds x(t) = x0 et0 t a(s)ds là bị chặn bởi số µ(t0 ) < +∞ nào đó, Như vậy, nếu tích phân t0 nghĩa là, t a(s)ds ≤ µ(t0 ) < +∞ t0 11 thì hệ là ổn định Và nếu số µ(t0 ) chọn được không phụ thuộc vào t0 thì hệ là ổn định đều Hơn nữa, nếu t a(s)ds = −∞ lim t→+∞ t0 thì hệ là ổn định tiệm cận Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của hệ phương trình vi . trọng của phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài: Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” để. giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ. - Phương. nghiệm x(t) của hệ (1.6). Khi đó hệ là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov α và N =  λ 2 λ 1 . 1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ      ˙x(t)