BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG THỊ HUYỀN CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỒN CỤC CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON – JACOBI VỚI HAMILTONIAN LỒI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô tham gia giảng dạy Cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phùng Thị Huyền ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ kết nghiên cứu luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác chưa sử dụng để bảo vệ học vị Trong hoàn thiện luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phùng Thị Huyền Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập đóng, tập mở 1.2 Hàm lồi 1.3 Hàm liên tục Lipchitz 1.4 Liên hợp Fenchel 1.5 Công thức Hopf trường hợp Hamiltonian lồi 1.6 Kết luận 10 Đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 11 2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 11 2.2 Một số ví dụ 14 2.3 Điều kiện biên 23 2.4 Nghiệm địa phương 28 Cấu trúc tính quy nghiệm tồn cục iii iv trường hợp Hamiltonian lồi 33 3.1 Hệ phương trình vi phân đặc trưng 34 3.2 Công thức dạng Hopf đặc trưng 35 3.3 Dải khả vi nghiệm xác định qua công thức dạng Hopf 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R Đường thẳng thực Rn Không gian Euclid n chiều ¯ R = R ∪ {−∞, +∞} Tập số thực suy rộng Ø Tập hợp rỗng Chuẩn không gian domf Miền hữu hiệu f epif Trên đồ thị f Ux Lân cận mở x f|Ux Thu hẹp f Ux |x| Giá trị tuyệt đối x x, y Tích vơ hướng x y f∗ Liên hợp Fenchel f Lip(Ω) Tập hợp hàm số liên tục Lipchitz địa phương Ω C k (U ) Tập hợp hàm số khả vi liên tục cấp k U ¯ A Bao đóng A A∩B Giao tập A tập B A\B Hiệu tập A tập B Ec Phần bù tập E MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng vấn đề cần thiết Giải tích đại: lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp thơi thấy hàng loạt cơng trình nhiều nhà Tốn học giới, Phương trình Hamilton-Jacobi quan tâm nhiều Phương trình Hamilton-Jacobi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp có dạng sau: Ut + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn (1) H gọi Hamiltonian Những nghiên cứu Phương trình Hamilton-Jacobi xuất từ lâu, có lẽ từ việc khảo sát toán biến phân với đầu mút động Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương phương trình Định lý Cauchy-Kovalevskaya định lý nói tồn tại, nghiệm địa phương với kiện đặt hàm giải tích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi Tuy nhiên, nhiều toán vật lý ứng dụng, nghiệm cổ điển địa phương phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng yêu cầu thực tế mong muốn nhận thơng tin tổng thể đầy đủ Nhìn chung, nghiên cứu cổ điển trước chưa quan tâm đến vấn đề nghiệm tồn cục, chưa có cách hiểu nghiệm cách mềm dẻo (do chất phi tuyến phương trình HamiltonJacobi, nghiệm cổ điển tồn cục tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi nói chung tồn số lớp đặc biệt) Bắt đầu từ năm 1950-1951, với đời báo E Hopf J D Cole phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệm tồn cục phương trình Hamilton-Jacobi đặt móng nhà Tốn học quan tâm, sau có nhiều kết kinh điển đời tạo định hướng quan trọng Do tính phi tuyến Hamiltonian nên miền xác định nghiệm nói chung bị hạn chế nghiêm ngặt Để đạt tồn toàn cục cho nghiệm cổ điển tốn Cauchy địi hỏi phải có điều kiện nghiêm ngặt đặt Hamiltonian kiện ban đầu Đây nguyên nhân thúc đẩy phát triển phương pháp tìm nghiệm tồn cục, nghĩa tìm nghiệm tồn miền cho Để nhận điều không hy vọng đạt độ trơn cao nghiệm mà thiết phải giảm yêu cầu Một lớp hàm quan tâm trước hết việc mở rộng khái niệm nghiệm tồn cục lớp hàm liên tục Lipschitz Theo Định lý Rademacher: "Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi miền xác định nó", thấy lớp hàm lớp không rộng lớp hàm liên tục chứa lớp hàm khả vi, từ gợi ý cho nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết nghiệm suy rộng Bài tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, định chọn đề tài: "Cấu trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi với Hamiltonian lồi" Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thơng qua đặc trưng trường hợp Hamiltonian lồi xét tính quy nghiệm tồn cục Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Tổng quan phương pháp đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp - Mơ tả nghiệm tồn cục cho tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi thơng qua nghiệm nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng -Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi Hamiltonian lồi 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, cơng thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm tồn cục Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi Đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống cấu trúc nghiệm tồn cục mơ tả cơng thức dạng Hopf-Lax tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi 36 Ta xét giả thiết sau đây, giả thiết nới lỏng so với điều kiện mà Hopf đặt trước Cụ thể là: (A1) Hamiltonian H = H(p) hàm lồi ngặt Rn thỏa mãn điều kiện đối hữu hạn H(p) = +∞ p →+∞ lim p (A2) Dữ kiện ban đầu σ = σ(x) hàm liên tục Rn , với (t0 , x0 ) ∈ [0, T ) × Rn tồn số dương r, N cho ||y||≤N σ(y) + tH ∗ x−y t < σ(z) + tH ∗ x−z t (3.9) với ||z|| > N, |t − t0 | + ||x − x0 || < r, t = Ở H ∗ liên hợp Fenchel H Đặt: ζ(t, x, y) = σ(y) + tH ∗ (t, x) = x−y t y0 ∈ Rn |ζ(t, x, y0 ) = ζ(t, x, y) ||y||≤N (t, x) tập compact Rn giả thuyết (A2) tính nửa liên tục ζ(t, x, ) Điều kiện (A2) xem điều kiện tương thích Hamiltonian H(p) kiện ban đầu σ(x) để đảm bảo cho tồn nghiệm toàn cục Lipschitz toán Cauchy (3.7), (3.8) Nếu xét điều kiện (A1) giả thiết kiện ban đầu σ(x) hàm liên tục Lipschitz Rn điều kiện (A2) thỏa mãn Định lý sau xác định cơng thức dạng Hopf tốn (3.7), (3.8) Định lý 3.2.1 Với giả thiết (A1) − (A2) Khi 37 a) Hàm số u(t,x) xác định u(t, x) = σ(y) + tH ∗ n y∈R x−y t (3.10) nghiệm toàn cục Lipschitz toán (3.7), (3.8) b) Nghiệm u(t, x) khả vi liên tục tập mở V ⊂ Ω (t, x) singleton với ∀(t, x) ∈ V Định nghĩa 3.2.1 Với giả thiết (A1) − (A2), hàm u(t, x) xác định công thức (3.10) gọi công thức dạng Hopf toán Cauchy (3.7), (3.8) trường hợp Hamiltonian lồi Để chứng minh định lý cần mệnh đề bổ trợ sau Mệnh đề 3.2.1 Cho O tập mở Rm ω = ω(ξ, p) hàm nửa liên tục từ O × Rn đến [−∞, +∞) thỏa mãn hai tính chất sau: (i) Tồn tập khác rỗng E ⊂ Rn cho ω = ω(ξ, p) nhận giá trị hữu hạn O × E ω = ω(ξ, p)|(ξ,p)∈E c ≡ −∞, E c := Rn \E Hơn nữa, với tập bị chặn V O tồn số dương tương ứng N (V ) cho max ω(ξ, q) với ξ ∈ V, ω(ξ, p) < q p > N (V ) N (V ) (ii) Với điểm cố định p ∈ E, hàm ω(ξ, p) khả vi theo biến ξ ∈ O Bên cạnh đó, gradient ∂ω/∂ξ = ∂ω(ξ, p)/∂ξ liên tục O × E Khi ta có: a) ψ = ψ(ξ) := sup{ω(ξ, p) : phương O p ∈ Rn } hàm liên tục Lipschitz địa 38 b) ψ = ψ(ξ) khả vi theo hướng O với ∂e ψ(ξ) = max ∂ω(ξ, p)/∂ξ, e p∈L(ξ) (ξ ∈ O, e ∈ Rm ) L(ξ) := p ∈ Rn : ω(ξ, p) = ψ(ξ) ⊂ E Mệnh đề 3.2.2 Giả sử tính chất (i) Mệnh đề 3.2.1 thỏa mãn hàm ω = ω(ξ, p), ω giả thiết hàm liên tục theo biến ξ ∈ O (với p ∈ E) nửa liên tục theo (ξ, p) O × Rn Khi L(ξ) := p ∈ Rn : ω(ξ, p) = ψ(ξ) ⊂ E xác định hàm đa trị đóng, bị chặn địa phương, có miền giá trị khác rỗng Mệnh đề sau với hai mệnh đề giúp đạt chứng minh Định lý 3.2.1 cách đơn giản Mệnh đề 3.2.3 [4] Cho H = H(p) hàm lồi ngặt Rn thỏa mãn tính chất đối hữu hạn H(p) = +∞ p →+∞ lim p Khi liên hợp Fenchel H ∗ = H ∗ (z) hàm khả vi liên tục, H ∗ (z) = z, ∂H ∗ (z) ∂z −H ∂H ∗ (z) ∂z với z ∈ Rn Chúng ta công nhận kết mệnh đề khơng trình bày chứng minh mệnh đề Chứng minh Định lý 3.2.1 a) Xét hàm η(t, x, y) := − σ(y) + tH ∗ x−y t 39 Dễ thấy giả thiết Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2 hàm η(t, x, y) thỏa mãn với ξ := (t, x), p := y Do hàm u(t, x) xác định (3.10) liên tục Lipschitz địa phương, đạo hàm theo hướng tính sau H∗ ∂e u(t, x) = y∈ (t,x) x−y x−y x−y x−y − Dz H ∗ , Dz H ∗ ,e t t t t (t, x) định nghĩa e = ξ0 , ξ1 , , ξn ) véc tơ Rn+1 Theo Định lý Rademacher u(t, x) khả vi D ⊂ Ω với độ đo Lebesgue Ω\D Với (t, x) ∈ D ta có H∗ ut (t, x) = y∈ (t,x) H∗ = max y∈ (t,x) x−y − t x−y − t x−y x−y , Dz H ∗ t t x−y x−y , Dz H ∗ t t (3.11) , uxi (t, x) = y∈ (t,x) ∂H ∗ x − y ∂zi t = max y∈ (t,x) ∂H ∗ x − y ∂zi t (3.12) Lấy tùy ý y0 ∈ (t, x), từ đẳng thức (3.11) (3.12) viết lại sau ut (t, x) = H ∗ x − y0 − t x − y0 x − y0 , Dz H ∗ t t (3.13) uxi (t, x) = ∂H ∗ x − y0 , ∂zi t i = 1, , n (3.14) Từ tính chất liên hợp Fenchel kết hợp với (3.13) - (3.14) đạt ut (t, x) = −H Dz H ∗ x − y0 t , 40 tức ta có ut (t, x) + H(Du(t, x)) = hầu khắp nơi Ω Tiếp theo ta chứng minh lim (t,x)→(0,x0 ) u(t, x) = σ(x0 ) (3.15) với x0 ∈ Rn Thật vậy, từ công thức (3.10) dễ thấy u(t, x) σ(x) + tH ∗ (0), lim sup u(t, x) σ(x0 ) (3.16) (t,x)→(0,x0 ) Mặt khác, lấy dãy (tk , xk ) +∞ k=1 hội tụ tới (0, x0 ) cho lim inf u(t, x) = lim u(tk , xk ), (t,x)→(0,x0 ) k→+∞ sau chọn tùy ý yk ∈ (tk , xk ) với k = 1, 2, Khi ta yk → x0 k → +∞ Giả sử ngược lại yk → y0 ∈ Rn k → +∞, y0 = x0 Vì H ∗ (z) lim = +∞ theo ý Mục 1.4, Chương z→+∞ z cách cho qua giới hạn k → +∞ đẳng thức: u(tk , xk ) = σ(yk ) + tk H ∗ xk − y k tk (3.17) 41 ta nhận σ(x0 ) lim inf u(t, x) = lim u(tk , xk ) = σ(y0 ) + (+∞) = +∞, k→+∞ (t,x)→(0,x0 ) điều vô lý Và từ ta có lim yk = x0 k→+∞ Từ tính chất H ∗ (z) lim = +∞ z→+∞ z nên hàm liên tục H ∗ = H ∗ (z) bị chặn Lại lấy giới hạn đẳng thức (3.17) k → +∞ suy lim inf u(t, x) = lim u(tk , xk ) k→+∞ (t,x)→(0,x0 ) σ(x0 ) (3.18) Kết hợp (3.17) (3.18) ta nhận (3.15) Và u(t, x) xác định (3.10) nghiệm toàn cục Lipschitz toán (3.7)− (3.8) b) Ta giả sử u khả vi (t, x) ∈ V Nếu (t, x) chứa nhiều phần tử y1 = y2 x − y1 x − y2 = t t Vì Dz H ∗ đơn ánh, tồn i, (1 ≤ i ≤ n) cho Dzi H ∗ x − y1 x − y2 = Dzi H ∗ t t Điều mâu thuẫn với (3.12) Mặt khác, ý (t, x) → l(t, x) hàm đa trị nửa liên tục (theo Bổ đề 9.1 [5]) Giả sử (t, x) singleton với (t, x) ∈ V , V tập mở Ω, l(t, x) liên tục V Từ đẳng thức (3.11) -(3.12) suy ut (t, x), uxi (t, x) tồn hàm liên tục V Do u(t, x) ∈ C (V ) Định lý chứng minh trọn vẹn 42 Định lí sau cho ta mối quan hệ công thức (3.10) nghiệm xác định đặc trưng Định lý 3.2.2 Cho H, σ ∈ C (Rn ) thỏa mãn giả thiết (A1) − (A2) Giả sử ánh xạ y −→ x(t, y) = y + tHp (σ (y)) song ánh từ Rn vào Rn với t ∈ (0, T ) Khi nghiệm u(t,x) tốn (3.7) − (3.8) cho công thức dạng Hopf (3.10) trùng với u∗ (t, x) xác định công thức u∗ (t, x) = v(t, x−1 (t, x)) y = x−1 (t, x) hàm ngược x = x(t, y) Hơn nữa, u(t, x) khả vi liên tục dải (0, T ) × Rn Chứng minh Với (t, x) ∈ Ω, ta kí hiệu ∗ (t, x) tập hợp y ∈ Rn cho đường đặc trưng xuất phát từ y ∈ Rn qua điểm (t, x) Nói cách khác, y ∈ ∗ (t, x) x = y + tHp (σ (y)) Đặt ζ(t, x, y) = σ(y) + tH ∗ x−y t , (t, x) ∈ Ω, y ∈ Rn Khi u(t, x) = ζ(t, x, y) n y∈R Nhớ lại (t, x) = {y0 ∈ Rn |u(t, x) = ζ(t, x, y0 )} Vì H hàm lồi ngặt đối hữu hạn nên H ∗ hàm khả vi liên tục Rn Do cực tiểu ζ(t, x, ) đạt y ∈ Rn điểm 43 dừng ζ(t, x, )., tức ∗ ζy (t, x, y) = σ (y) − Hq x−y t = Từ đẳng thức theo tính chất hàm liên hợp, có Hp (σ (y)) = Do x = y + tHp (σ (y)), hay y ∈ σ(y) + tH ∗ n y∈R (t, x) ⊂ ∗ x−y t ∗ x−y t (t, x) Từ đó, có = ∗ x−y t σ(y) + tH ∗ y∈l (t,x) (t, x) Tiếp theo, giả sử với t ∈ (0, T ), ánh xạ y −→ x(t, y) = x từ Rn vào Rn song ánh Điều làm cho ∗ (t, x) trở thành singleton, (t, x) singleton Ta kí hiệu y = x−1 (t, x) hàm ngược y −→ x(t, x) Khi u(t, x) = σ(y) + tH ∗ x−y t = σ(y) + tH ∗ (Hp (σ (y))) = σ(y) + t Hp (σ (y)), σ (y) − H(σ (y)) = v(t, y) Do u(t, x) = σ(x−1 (t, x)) + t Hp (σ (x−1 (t, x))),σ (x−1 (t, x)) − H(σ (x−1 (t, x))) hay u(t, x) = v(t, x−1 (t, x)) = u∗ (t, x) Mặt khác, ý ∀(t, x) ∈ Ω tập (t, x) Singleton Theo Định lí 3.2.1 thấy trường hợp hàm u(t, x) khả vi liên tục Ω = (0, T ) × Rn tức u(t, x) nghiệm cổ điển toán Cauchy (3.7) − (3.8) 44 3.3 Dải khả vi nghiệm xác định qua công thức dạng Hopf Ta biết rằng, với t ∈ (0, T ) hàm y → x(t, y) vi phơi từ Rn → Rn tồn lớp nghiệm C toán (3.1) − (3.2) miền Ω = (0, T ) × Rn xác định công thức sau u (t, x) = v t, x−1 (t, x) (3.19) Do phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến nên hàm y → x(t, y) không đơn ánh toàn ánh t ∈ (0, T ) Ngay t nhỏ vài trường hợp ánh xạ y → x(t, y) đơn ánh tồn ánh địa phương Để minh họa điều này, ta xét ví dụ sau Xét tốn (3.1) − (3.2), với H(p) = p3 , σ(x) = x2 , x ∈ R Khi x(t, y) = y + 12ty , v(t, y) = 16ty + y , y ∈ R Ta giải y theo x từ phương trình x(t, y) = x tức phương trình 12ty + y − x = ∆ = + 48tx ≥ x ≥ Do đó, với x1 > −1 , t > 48t −1 có hai đường đặc trưng xuất phát từ 48t1 √ −1 ± + 48tx1 y1,2 = 24t1 45 −1 48t2 khơng có đường đặc trưng qua Như nghiệm cổ điển qua điểm M (t1 , x1 ) Điều nghĩa điểm N (t2 , x2 ) với x2 < toán (3.1) − (3.2) không tồn dải (0, t0 ) × R t0 nhỏ Bằng cách khai thác công thức dạng Hopf , ta số kết tồn dải có dạng (0, t0 ) × Rn , < t0 ≤ T mà nghiệm suy rộng khả vi liên tục Đặt θ = sup t > : u khả vi (t, x), ∀x ∈ Rn Khi tập (0, θ) × Rn dải lớn Rn+1 mà u khả vi liên tục Chúng ta gọi (0, θ) × Rn dải khả vi nghiệm u(t, x) Trong mục này, trình bày cụ thể kết trường hợp khơng gian với số chiều n (trong R) Với giả thiết Hamiltonian H = H(p) hàm lồi R H(p) = +∞, |p|→+∞ |p| lim bên cạnh đó, kiện ban đầu σ = σ(x) hàm liên tục Lipschitz R, công thức dạng Hopf u(t, x) = σ(y) + tH ∗ y∈R x−y t (3.20) cho ta nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy (3.7) − (3.8) Trong mục xét H thuộc lớp C (R) Công thức (3.20) Conway Hopf thiết lập theo phương pháp biến phân cách xét t H ∗ (w(τ ))dτ + σ(w(0)), J(w) = (3.21) 46 nghiệm u(t, x) biểu diễn dạng u(t, x) = J(w) (3.22) w∈A(t,x) A(t, x) tập tất hàm liên tục tuyệt đối w(τ ) từ [0, t] đến R với w(0) = x Trong trường hợp này, cực trị đường nối điểm (0, y) tới điểm (t, x) có cơng thức sau w(τ ) = y + x−y τ, t y ∈ (t, x) = y0 ∈ R u(t, x) = ζ(t, x, y0 ) , (3.23) x−y ζ(t, x, y) = σ(y) + tH ∗ t Để ý y ∈ (t, x) y điểm dừng hàm ζ(t, x, ·) ζy (t, x, y) = Điều tương đương với σ (y) = H ∗ x−y t Từ ta có x−y = H (σ (y)) t x = y + tH (σ (y)) Như vậy, đường đặc trưng xuất phát từ (0, y) qua (t, x) Hơn trùng với cực trị phiếm hàm (3.21) nối (0, y) với (t, x) Chú ý tồn đặc trưng nối (0, y) tới (t, x) y phải điểm dừng ζ(t, x, ·), nhiên ta chưa thể chắn liệu y ∈ (t, x) hay không Ta cần bổ đề phụ trợ sau 47 Bổ đề 3.1 Cho (t, x) ∈ Ω Giả sử đoạn thẳng AB nối (0, y) tới (t, x) cực trị, (t1 , x1 ) singleton với điểm (t1 , x1 ) ∈ AB, t1 ∈ (0, 1) Bây xét u(t, x) khả vi điểm thuộc đường thẳng ∆ : t = t0 , t0 > Khi với (t0 , x) ∈ ∆ (t0 , x) singleton Do cực trị qua (t0 , x) cực trị phải xuất phát từ (0, y) với y ∈ (t0 , x) Định lý 3.3.1 Cho H ∈ C (R) hàm lồi ngặt, đối hữu hạn σ hàm liên tục Lipschitz R Giả sử (t0 , x) xác định (3.23) singleton với điểm đường thẳng ∆ : t = t0 Khi nghiệm u(t, x) hàm khả vi liên tục dải mở O = (0, t0 ) × R ⊂ Ω Chứng minh Lấy (t, x) ∈ (0, t0 ) × R Chúng ta rằng, tồn cực trị nối (0, y) tới điểm (t0 , x∗ ) ∈ ∆ cực trị qua (t, x) Cực trị d nối (0, y) tới (t0 , x∗ ) có dạng sau w(τ ) = x∗ − y τ + y, t0 y ∈ (t0 , x∗ ) Theo giả thiết, với z ∈ R, (3.24) (t0 , z) = {y} singleton Nếu lấy y = y(t0 , z) ∈ (t0 , z) ta nhận hàm đơn trị z Hàm hàm tăng, liên tục R Khi phương trình (3.24) viết lại dạng d : w(τ ) = x∗ − y(t0 , x∗ ) τ + y(t0 , x∗ ) t0 48 Để ý rằng, (t, x) ∈ d phương trình (ẩn x∗ ) x= x∗ − y(t0 , x∗ ) t + y(t0 , x∗ ) t0 (3.25) (t0 − t)y(t0 , x∗ ) + tx∗ − t0 x = có nghiệm Đặt g(z) = (t0 − t)y(t0 , z) + tz − t0 z Do hàm y = y(t0 , z) hàm tăng z nên dẫn tới lim g(z) = −∞ (t.ứ lim g(z) = +∞) z→−∞ z→+∞ dù y = y(t0 , z) có bị chặn hay khơng Bằng cách áp dụng Định lý giá trị trung gian g(z) ta thấy phương trình (3.25) có nghiệm x∗ ∈ R Và tồn cực trị qua điểm (t, x) ∈ (0, t0 ) × R Theo Bổ đề 3.1, (t, x) singleton với (t, x) ∈ (0, t0 ) × R Từ Định lý 3.2.1, ta kết luận u(t, x) hàm khả vi liên tục O = (0, t0 ) × R 49 KẾT LUẬN Luận văn nhằm trình bày cách có hệ thống việc mơ tả cấu trúc nghiệm (suy rộng) tồn cục Lipschitz tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thơng qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng trường hợp Hamiltonian lồi xét tính quy nghiệm tồn cục góc độ xem xét dải khả vi nghiệm toàn cục Lipschitz Trong luận văn, nghiệm toàn cục Lipschitz tốn xác định dạng thơng qua cơng thức dạng Hopf Riêng tính quy nghiệm toàn cục Lipschitz, luận văn trình bày trường hợp số chiều khơng gian n = Với số chiều không gian n > 1, tốn xét tính quy nghiệm tồn cục Lipschitz cho tốn Cauchy phương trình HamiltonJacobi toán phức tạp, nhiều nhà Toán học quan tâm Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý thầy bạn đọc để vấn đề nghiên cứu hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích Xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình Vi phân Đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] Nguyen Hoang (2004), Regularity of generalized solutions of Hamilton - Jacobi equations, Nonlinear Anal 59, 745 - 757 [3] E Hopf (1965), Generalized solutions of nonlinear equations of fisrt order, J Math and Mech 14, 951-973 [4] Rockafellar T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press [5] Tran Duc Van, Mikio Tsuji, Nguyen Duy Thai Son (2000), The characteristic method and its generalizations for first order nonlinear PDEs, Chapman Hall/CRC 50 ... trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi với Hamiltonian lồi" Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi. .. tả nghiệm tồn cục cho tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi thông qua nghiệm nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng -Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy. .. cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi Hamiltonian lồi 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trường hợp Hamiltonian lồi, hệ phương trình vi phân