BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN ĐÌNH CƠNG NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc PGS TS Hà Tiến Ngoạn; thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn q thầy Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, tồn thể đội ngũ giảng viên Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Cơng Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập vừa qua Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân gia đình, tập thể lớp K16 Tốn Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm Cơng Bình bạn bè giúp đỡ, động viên nhiều trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phan Đình Cơng Lời cam đoan Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích” hồn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với luận văn khác Trong trình làm đề tài, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phan Đình Cơng Mục lục MỞ ĐẦU Chương SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1 Một số ký hiệu 1.2 Khái niệm sóng phẳng 1.3 Công thức biểu diễn hàm số 1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng 1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân siêu phẳng 11 1.4 Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng với vế phải hàm sóng phẳng 14 1.4.1 Bài toán Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski 14 1.4.2 Bài toán Cauchy trường hợp vế phải đồng 15 1.4.3 Bài toán Cauchy với vế phải hàm sóng phẳng 20 Chương NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH 21 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Nghiệm 21 2.1.1 Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính 21 2.1.2 Định nghĩa nghiệm 22 2.1.3 Xây dựng nghiệm cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích 23 2.1.4 Cấu trúc nghiệm 30 2.2 Nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số 34 2.2.1 Trường hợp n lẻ 35 2.2.2 Trường hợp n chẵn 39 2.3 Nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích 43 2.3.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính 44 2.3.2 Ma trận nghiệm 45 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đối với số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm chúng nhà tốn học tìm cơng thức biểu diễn dạng tường minh Luận văn đặt vấn đề mô tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích việc sử dụng cơng cụ sóng phẳng khơng gian nhiều chiều Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề tác giả chọn đề tài: “Nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích” Bố cục luận văn gồm chương Chương Luận văn trình bày khái niệm hàm sóng phẳng số tính chất Phát biểu chứng minh số định lý công thức biểu diễn hàm số qua hàm sóng phẳng Cũng chương Luận văn trình bày tốn Cauchy cho phương trình elliptic với kiện Cauchy cho siêu phẳng Chương Luận văn trình bày cách xác định nghiệm phương trình elliptic tuyến tính thơng qua việc giải toán Cauchy Chương Đồng thời đưa cơng thức nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Cũng chương Luận văn ứng dụng nghiệm phương trình elliptic tuyến tính để trình bày ma trận nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Luận văn trình bày với sở nội dung chương sách: "Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin." Mục đích nghiên cứu Đưa cơng thức mơ tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích sở sử dụng phép biểu diễn hàm số qua sóng phẳng khơng gian nhiều chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm sóng phẳng công thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng, sau dẫn dắt cơng thức mơ tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tổng quan kết nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Dự kiến đóng góp luận văn Tổng quan nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích cách sử dụng cơng cụ hàm sóng phẳng Chương SĨNG PHẲNG VÀ CƠNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1 Một số ký hiệu • Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) |xi ∈ R , i = 1, n} • Các chữ x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ thay cho vectơ (x1 , , xn ), (y1 , , yn ), , (ζ1 , , ζn ) không gian n chiều, n ≥ Tất chữ khác thay cho biến vơ hướng n • Tích vơ hướng vectơ y x kí hiệu y.x = yi xi i=1 • Độ dài (x.x) vectơ x |x| • Phần tử thể tích dx1 , , dxn viết tắt dx, dSx kí hiệu phần tử diện tích mặt siêu mặt khơng gian n chiều • Mặt cầu đơn vị có bán kính với tâm gốc tọa độ khơng gian x kí hiệu Ωx , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị dωx , diện tích mặt cầu đơn vị ωn • Thể tích hình cầu đơn vị không gian n chiều ωn n • Các phép tính tích phân thực tồn miền biến thiên biến đó, trừ hạn chế khác • Chứng minh hồn thành kí hiệu 1.2 Khái niệm sóng phẳng Định nghĩa 1.1 Cho g(s) hàm liên tục biến vô hướng s, vectơ y = (y1 , , yn ) = cố định thuộc không gian Rn Hàm số g(y.x) hàm theo biến x = (x1 , , xn ) nhận giá trị số siêu phẳng mà vectơ y pháp tuyến Hàm g(y.x) gọi sóng phẳng Định lý 1.1 Giả sử n ≥ 2, g(s) hàm liên tục biến vô hướng s Ta có cơng thức +1 (1 − p2 ) g(y.x)dωx = ωn−1 Ωx n−3 g (|y| p) dp = ωn h (|y|), (1.1) −1 h(s) xác định (1.1), Ωx mặt cầu đơn vị Rn Chứng minh Ta tính tích phân g (y.x) tồn hình cầu có bán kính r với tâm gốc tọa độ cách phân tích hình cầu thành phần thiết diện vng góc với hướng y Trên mặt phẳng y.x = |y| p có khoảng cách từ gốc |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y| p) Phần giao (n − 1) chiều mặt phẳng với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1) n−1 ωn−1 (r − p2 ) n−1 36 Theo với n < m phép lấy vi phân tiến hành đưới dấu tích phân, khơng có đóng góp hàm bước nhảy sign (x − y) ξ Do với n lẻ, n < m ta có K (x, y) = (2πi)n eλ(x−y).ξ n−1 λ dλ P (λξ) sign [(x − y) ξ] dωξ Ωξ |λ|=M Tích phân khơng thay đổi dạng ξ λ thay −ξ −λ Theo hai bán cầu (x − y) ξ > (x − y) ξ < cho ta đóng góp Do K (x, y) = (2πi)n eλ(x−y).ξ n−1 λ dλ P (λξ) dωξ Ωξ (x−y).ξ>0 |λ|=M Ta viết biểu thức thành dạng, mà bất biến biến đổi affine Với n < m ta có eλ(x−y).ξ n−1 λ dλ = P (λξ) |λ|=M eλ(x−y).ξ − n−1 λ dλ P (λξ) |λ|=M ∞ eλ/r n λ dλ P (λξ) −2 = r dr |λ|=M 1/(x−y).ξ ∞ = r 1/(x−y).ξ n−1 dr eλ λn dλ P (λrξ) (2.38) |λ|=M/r Vì 1/r < |(x − y) ξ| ≤ |x − y| , nên ta lấy tích phân chu tuyến đường trịn bán kính M |x − y| 37 Đặt z = rξ, dz = rn−1 drdωξ Bằng cách ta thu biểu diễn K (x, y) = (2πi)n eλ λn dλ P (λz) dz |λ|=M |x−y| (x−y).z>1 tích phân nửa khơng gian lấy tích phân bán cầu Hệ 2.1 Giả sử P n số lẻ ta có K (x, y) = |(x − y) ξ|m−1 dωξ (2.39) Q (ξ) (n−1)/2 (2πi)n−1 (m − 1)! (∆y ) Ωξ Hơn n < m ta có |(x − y) η|m−n dSη |gradQ (η)| m K (x, y) = (2πi)n−1 (m − n)! (2.40) Q(η)=1 Chứng minh Vì P bậc m, P = Q nên ta đánh giá tích phân theo chu tuyến (2.36), thu K (x, y) = |(x − y) ξ|m−1 dωξ Q (ξ) (n−1)/2 (2πi)n−1 (m − 1)! (∆y ) Ωξ Với n < m quy [(x − y) ξ]m−n sign(x − y).ξ dωξ Q (ξ) K (x, y) = 4(m − n)!(2πi)n−1 Ωξ (2.41) Như từ (2.37), việc đánh giá tích phân chu tuyến ta K (x, y) = (2πi)n−1 (m − n − 1)! dz Q (z) (x−y).z>1 (2.42) 38 Với x − y = rζ trở thành K (x, y) = (2πi)n−1 (m − n − 1)! dz Q (z) z.ζ>1/r Ta lấy vi phân vế theo r Vì bậc K m − n theo r nên ta dK/dr = (m − n)!K/r Suy (2πi)n−1 (m − n)!K (x, y) = r dSz Q (z) (2.43) (x−y).z=1 Như K có chất tích phân phẳng hàm 1/Q Ta biến đổi thành tích phân mặt Q (η) = Để đạt mục đích ta đặt z = tη, Q (η) = 1, t > Khi = (x − y) z = t (x − y) η, = Q (η) = t−m Q (z) Nếu dSz dSη phần tử mặt tương ứng có góc khối dω từ điểm gốc, ta có dSz = |x − y| |z|n dω, dSη = |gradQ (η)| |η|n dω m Do dSz mtn−m m [(x − y).η]m−n = dSη = dSη |x − y| Q (z) |gradQ (η)| |gradQ (η)| Dẫn đến (2.43) thành [(x − y) η]m−n dSη |gradQ (η)| m K (x, y) = n−1 (2πi) (m − n)! Q(η)=1 (x−y).η>0 |(x − y) η|m−n dSη |gradQ (η)| m = n−1 (2πi) (m − n)! Q(η)=1 m − n số nguyên lẻ 39 Nhận xét 2.4 Với nghiệm K (x, y) cho (2.40), từ (2.4) với hàm tùy ý f (y) thuộc lớp C1 triệt tiêu bên tập bị chặn, ta có    L  f (y)    |(x − y) η|m−n   dSη dy  = (2πi)n−1 (m − n)!f (x) |gradQ (η)| m Q(η)=1 (2.44) Đẳng thức (1.8) xem trường hợp đặc biệt (2.44) tương ứng với L = ∆(n+k)/2 Nhận xét 2.5 Cũng biến đổi biểu thức (2.40) với K thành tích phân khối phần Q (η) = 1, sử dụng đặc điểm hàm dấu tích phân, ta K (x, y) = m (2πi) (m − n)! |(x − y) η|m−n dη n−1 (2.45) Q(η)≤1 2.2.2 Trường hợp n chẵn Định lý 2.4 Cho L toán tử elliptic với hệ số hằng, với biểu trưng P số chiều n chẵn Nghiệm L cho log |(x − y) ξ| dωξ (2πi)n Q (ξ) K (x, y) = − (∆y )(n−m)/2 (2.46) Ωξ với m < n, [(x − y) ξ]m−n log |(x − y) ξ| dωξ (m − n)! (2πi)n Q (ξ) K (x, y) = − Ωξ với m ≥ n (2.47) 40 Chứng minh Theo (2.29),(2.30), (2.31) ta có K(x, y) = K1 (x, y) + K2 (x, y) Mặt khác P nên P = Q ta có (x.ξ − p)m v (x, ξ, p) = m!Q (ξ) Khi phần quy K2 K cho n [(x − y) ξ]m dωξ m!Q (ξ) n/2 (2πi) K2 (x, y) = (∆y ) (1 − t)m − dt t Ωξ Vì K2 đa thức bậc < m, nghiệm L [K2 ] = 0, bỏ qua Do từ (2.30) ta có n [(x − y) ξ]m log |(x − y) ξ| dωξ Q (ξ) n/2 m! (2πi) K (x, y) = − (∆y ) Ωξ (2.48) Trường hợp m < n, với kết (bỏ qua nghiệm quy) ta log |(x − y) ξ| dωξ (2πi)n Q (ξ) K (x, y) = − (∆y )(n−m)/2 Ωξ Trong trường hợp ngược lại m ≥ n, từ (2.48) phạm vi nghiệm quy ta có [(x − y) ξ]m−n log |(x − y) ξ| dωξ (m − n)! (2πi)n Q (ξ) K (x, y) = − Ωξ Nhận xét 2.6 Trong (2.46) ta đặt x − y = rζ hệ số log r triệt tiêu K trường hợp theo x − y có bậc m − n 41 Nhận xét 2.7 Biểu thức (2.47) viết dạng n (m − n)! (2πi) K (x, y) = − r m−n (ζ.ξ)m−n dωξ Q (ξ) log r Ωξ −r (ζ.ξ)m−n log |ζ.ξ| dωξ Q (ξ) m−n (2.49) Ωξ Ở số hạng log r dạng bậc m − n x − y nghiệm quy phương trình vi phân số hạng cịn lại bậc m − n x − y Định lý 2.5 Cho L toán tử elliptic với hệ số hằng, với biểu trưng P không thiết số chiều n chẵn, n < m Phần kỳ dị nghiệm L cho  −2 K1 (x, y) = (2πi)n+1  λn eλ  dλ dz, (2.50) P (λz)  log R (z)  (x−y).z>1 |λ|=M |x−y| R (ξ) hàm bậc -1, dương với ξ = chẵn ξ (chẳng hạn R (ξ) = Q−1/m (ξ) , với Q biểu trưng L) z = rξ Chứng minh Khi dựa vào (2.30) ta có phần kỳ dị K cho K1 (x, y) = −1 (2πi)n v (n) (x, ξ, y.ξ) log |(x − y) ξ| dωξ Ωξ (Các hệ số xuất từ việc lấy vi phân log |(x − y) ξ| theo y quy kết hợp với K2 ) Theo (2.35) ta có (2πi)n+1 K1 (x, y) = − log |(x − y) ξ| Ωξ eλ(x−y).ξ n−1 λ dλdωξ P (λξ) |λ|=M (2.51) 42 Thay số hạng log |(x − y) ξ| log |R (ξ) (x − y) ξ| Vì tích phân không thay đổi dạng ξ λ thay −ξ −λ, mặt khác điểm Ωξ với (x − y) ξ > tạo đóng góp tương tự trường hợp (x − y) ξ < Mặt khác n − số nguyên lẻ n − < m − Do ta có (2πi)n+1 K1 (x, y) = −2 eλ(x−y).ξ − n−1 λ dλdωξ P (λξ) log [R (ξ) (x − y) ξ] Ωξ (x−y).ξ>0 |λ|=M Với (x − y) ξ > ta có ∞ eλ/r [log (R (rξ))] r−2 dr λ 1/(x−y).ξ ∞ r−2 eλ/r (− log r + log R (ξ)) dr =λ 1/(x−y).ξ ∞ λ(x−y).ξ = e − log [R (ξ) (x − y) ξ] − eλ/r − dr r 1/(x−y).ξ λ(x−y).ξ = e − log [R (ξ) (x − y) ξ] − eλ(x−y).ξs − ds s Như ∞ n+1 (2πi) K1 (x, y) = − dωξ Ωξ 1/(x−y).ξ +2 |λ|=M eλs(x−y).ξ − n−1 λ dλ P (λξ) ds s dωξ Ωξ eλ/r log (R (rξ)) λn dλ P (λξ) dr r2 |λ|=M 43 Ở số hạng thứ hàm giải tích quy x − y, hàm lấy tích phân giải tích quy theo x − y, s, λ, ξ miền lấy tích phân Bây đặt z = rξ, thay λ λr tích phân chu tuyến, ta thấy phần kỳ dị K cho  −2 K1 (x, y) = (2πi)n+1  λn eλ  dλ dz (2.52) P (λz)  log R (z)  (x−y).z>1 |λ|=M |x−y| Nhận xét 2.8 Trong trường hợp n số chẵn n < m, P nhất, tức P = Q ta có K1 (x, y) = −2 (m − n − 1)! (2πi)n log R (z) dz Q (z) (2.53) (x−y).z>1 Trong trường hợp K1 không phần kỳ dị nghiệm bản, mà nghiệm 2.3 Nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Việc xây dựng nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính thực chất khơng có khác với việc xây dựng nghiệm phương trình elliptic tuyến tính Vì ta sử dụng kết nghiệm phương trình elliptic ta trình bày để xây dựng nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ 44 số hàm giải tích Với giả thiết phương trình hệ thỏa mãn điều kiện nghiệm trình bày 2.3.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính Cho ut (x) hàm x, t = 1, 2, N x = (x1 , , xn ) Lit tập hợp tốn tử tuyến tính với i, t = 1, N với hệ số hàm giải tích x Gọi mt cấp cao đạo hàm xuất Lit [ut ] Do số tốn tử Lit có cấp mt , vài tốn tử Lit cịn lại có hệ số số hạng cấp cao triệt tiêu Ta có Lit xác định sau N mt Lit (x, D)ut = t=1 k=0 i1 , ,ik =1, ,n ∂ k ut aiti1 ik (x) ∂xi1 ∂xik (2.54) Dưới biểu thức có số lặp ta quy định lấy tổng theo số lặp Tương ứng với Lit với ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn ta đặt Qit (x, ξ) = aiti1 imt (x)ξi1 ξi2 ξimt (2.55) i1 , ,imt =1, ,n Khi ta có Định nghĩa 2.3 Ta gọi Qit (x, ξ) biểu trưng tốn tử Lit , có bậc mt theo ξ vài Qit (x, ξ) triệt tiêu Khi Q (x, ξ) = det[(Qit (x, ξ))N ×N ] định thức ma trận gọi đa thức đặc trưng hệ toán tử Lit 45 Định nghĩa 2.4 Xét hệ phương trình có dạng Lit [ut ] = Bi (x) , (i = 1, , N ) (2.56) Q (x, ξ) = với ∀ξ = (2.57) Khi với x thuộc miền xét hệ phương trình (2.56) coi hệ phương trình elliptic tuyến tính Nhận xét 2.9 Với việc (2.56) hệ phương trình elliptic tuyến tính ta có t mt số chẵn n > Nhận xét 2.10 Để xây dựng ma trận nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính (2.56) ta xây dựng ma trận [Ktr (x, y)] cho phương trình sau thỏa mãn r Lit [Ktr (x, y)] = δi δ (x − y) (2.58) r δi ký hiệu Kronecker, δ (x − y) hàm Dirac 2.3.2 Ma trận nghiệm Việc xây dựng ma trận nghiệm tiến hành Mục 2.1.3 trường hợp phương trình Định lý sau ma trận nghiệm mô tả qua nghiệm toán Cauchy với kiện siêu phẳng x.ξ = p 46 Định lý 2.6 Nếu ut (x) tất đạo hàm cấp < mt triệt tiêu i siêu phẳng x.ξ = p, phần tử Kj (x, y) ma trận nghiệm phương trình (2.56) có dạng i Kj (x, y) = (∆y )(n+k)/2 Wji (x, y) (2.59) Wji (x, y) hàm giải tích xây dựng tương tự trước (2.10), k = n lẻ k = n chẵn Chứng minh Vì ut (x) tất đạo hàm cấp < mt triệt tiêu siêu phẳng x.ξ = p, nên siêu phẳng x.ξ = p phương trình (2.56) đưa dạng ∂ Qij (x, ξ) ξα ∂xα mj [uj (x)] = Bi (x) (2.60) Từ (2.57) từ (2.60) ta xác định đại lượng sau ∂ ξα ∂xα mj uj , (2.61) ta gọi chúng đạo hàm theo hướng pháp tuyến uj cấp mj Trong biểu thức số j gạch có nghĩa ta khơng lấy tổng theo j Gọi Qit (x, ξ) phần tử ma trận nghịch đảo ma trận Qit , với siêu phẳng x.ξ = p ta có ∂ ξα ∂xα mj uj (x) = Qji (x, ξ) Bi (x) (2.62) Ở định lí Cauchy-Kowalewski áp dụng Bi (x) hàm giải tích lân cận điểm x siêu phẳng x.ξ = p Khi ta tìm hệ nghiệm uj (x) (2.56), với uj với đạo hàm cấp < mj triệt tiêu siêu phẳng x.ξ = p 47 Trong trường hợp đặc biệt ta xét hệ phương trình j j Lit vt (x, ξ, p) = δi (2.63) k với vj tất đạo hàm chúng theo x, cấp < mj triệt tiêu k siêu phẳng x.ξ = p Hàm vj (x, ξ, p) bậc theo ξ p k Nếu hệ số Lik giải tích lân cận điểm gốc, vj giải tích theo j, x, ξ, p tập hợp cho (1.36) với số dương ε Hơn nữa, ta viết j j vi (x, ξ, p) = (x.ξ − p)mi wi (x, ξ, p) (2.64) j wi giải tích theo x, ξ, p tập hợp cho (1.36) Khi từ phương trình (2.63) cho ta j j mi !Qit (x, ξ) wt (x, ξ, x.ξ) = δi (2.65) ij Q (x, ξ) mi ! (2.66) hay j wi (x, ξ, x.ξ) = Tương tự với (1.40) ta có hệ phương trình x.ξ−p Vji (x, ξ, p) = − g (t) ∂ i v (x, ξ, t + p) dt ∂p j (2.67) g (s) hàm xác định (2.9) Khi ta có j Lit Vtj (x, ξ, p) = δi g (x.ξ − p) (2.68) Ta ký hiệu Wji (x, y) = Vji (x, ξ, y.ξ) dωξ Ωξ (2.69) 48 Bây ta xét ma trận i Kj (x, y) = (∆y )(n+k)/2 Wji (x, y) Cũng trước ta có i Wji (x, y) = rmj +k Ai (x, y, r, ζ) + Bj (x, y, r, ζ) log r j i với x − y = rζ Ở Ai Bj hàm giải tích biến j i i chúng, Bj = với n lẻ Tương ứng Kj có dạng i Kj (x, y) = rmj −n Aji (x, y, r, ζ) + Bji (x, y, r, ζ) log r i Ta có Kj (x, y) dạng nghiệm giải tích Lit Ktj (x, y) = (2.70) với x = y |x − y| đủ nhỏ Đặc biệt với hệ hàm số fj (y) thuộc lớp C1 ta có  Lit   fj (y) Ktj (x, y) dy  = fi (x) (2.71) D i Từ suy Kj (x, y) = (∆y )(n+k)/2 Wji (x, y) nghiệm (2.61) KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau • Khái niệm hàm sóng phẳng cơng thức biểu diễn hàm số qua hàm sóng phẳng • Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic với kiện Cauchy cho siêu phẳng • Cách xác định nghiệm phương trình elliptic tuyến tính thơng qua việc giải tốn Cauchy đưa cơng thức nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích • Mô tả cấu trúc nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích • Ma trận nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian lực có hạn, nên chắn luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì tác giả mong muốn đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn trình bày cách đầy đủ hồn thiện hơn, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau Tài liệu tham khảo [1] Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, SpringerVerlag, New York Heidelberg Berlin ... trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Cũng chương Luận văn ứng dụng nghiệm phương trình elliptic tuyến tính để trình bày ma trận nghiệm hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm. .. p) nghiệm (1.38) Chương NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Nghiệm 2.1.1 Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính. .. diễn hàm số qua sóng phẳng, sau dẫn dắt cơng thức mơ tả nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hàm giải tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số