BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÙNG VĂN LONG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CẶP ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn T.S Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Hà Đức Vượng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phùng Văn Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn T.S Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón” tự làm. Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phùng Văn Long Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Định lý điểm bất động không gian metric . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Định nghĩa ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Sự hội tụ không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Điểm bất động không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Định lý điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng Rn Không gian Euclide n chiều (X, d) Không gian metric x Chuẩn x K Hằng số chuẩn tắc k Hệ số co E Không gian Banach int(P ) Phần P d(x, y) Khoảng cách hai phần tử x y C[a,b] Tập hàm số liên tục đoạn [a, b] p T :X→X Quan hệ thứ tự theo nón P Ánh xạ T từ không gian X vào không gian X Kết thúc chứng minh Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Một tập hợp X tùy ý khác rỗng ánh xạ T : X → X . Nếu tồn x0 ∈ X mà T x0 = x0 x0 gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp X . Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên Lý thuyết điểm bất động ( fixed point theory). Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung toán học nói riêng. Các kết điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến định lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi nhiều lĩnh vực Vật lí. Chẳng hạn, phương trình vi phân ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân với điều kiện ban đầu, . . . Năm 2007, Huang Long Guang Zhang Xian giới thiệu khái niệm metric nón cách thay tập số thực R định nghĩa metric nón định hướng không gian Banach thực. Không gian metric nón (cone metric space) giới thiệu với kết điểm bất động lớp không gian này. Gần đây, M. Abbas, G. Jungck tác nhiều giả khác công bố kết điểm bất động cho lớp ánh xạ co không gian metric nón. Năm 2011, tác giả José R. Morales, Edison M. Rojas công bố kết điểm bất động cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón qua báo “ Common fixed points a pair of commuting mappings in complete cone metric spaces”, tạp chí An. St. Univ. Ovidius Constanta. Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón, hướng dẫn nhiệt tình TS. Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón". 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kết điểm bất động điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón, điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón dựa hai báo: 1. "Common fixed points a pair of commuting mappings in complete cone metric spaces" José R. Morales Edison M. Rojas. 2. "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings" L. G. Huang X. Zhang. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Đóng góp đề tài Luận văn tổng quan điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. Luận văn trình bày không gian metric nón, điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. Luận văn trình bày gồm ba chương nội dung danh mục tài liệu tham khảo. Chương trình bày khái niệm không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach. Chương trình bày khái niệm nón, metric nón, không gian metric nón, hội tụ không gian metric nón, điểm bất động không gian metric nón. Chương trình bày khái niệm cặp ánh xạ tương thích kết điểm bất chung chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm không gian metric, không gian Banach với ví dụ phản ví dụ. Cuối trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Cho X tập hợp X = ∅. Ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn điều kiện sau: 1. d(x, y) 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất); 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng ); 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác). Khi d gọi metric X . Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y . Các phần tử X gọi điểm. Định nghĩa 1.1.2. [1]. Một tập X khác rỗng với metric d xác định X gọi không gian metric kí hiệu (X, d). Ví dụ 1.1.1. Cho M[a,b] tập hàm số giá trị thực xác định bị chặn đoạn [a, b], Với hai hàm x (t) , y (t) ∈ M[a,b] ta đặt: d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|. a t b Khi d (x, y) metric M[a,b] (M[a,b] , d) không gian metric. Chứng minh. Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b] , ∀y = y(t) ∈ M[a,b] ta có: |x(t) − y(t)| |x(t)| + |y(t)|. Từ suy |x(t) − y(t)| bị chặn ∀t ∈ [a, b]. Do tồn sup |x(t) − y(t)| hay d(x, y) xác định M[a,b] . a t b Ta kiểm tra điều kiện metric. 1. Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b] , ∀y = y(t) ∈ M[a,b] , ta có |x(t) − y(t)| 0, ∀t ∈ [a, b]. Do sup |x(t) − y(t)| 0, ∀t ∈ [a, b]. a t b Vậy d(x, y) 0, ∀x, y ∈ C[a,b] . Ta có d(x, y) = ⇔ sup |x(t) − y(t)| = 0. a t b Do vậy: |x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b]. Từ ta suy x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y. 2. Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b] , ∀y = y(t) ∈ M[a,b] : d(x, y) = sup |x(t) − y(t)| a t b 35 p hn−1 + hn−2 + . + hm d (x1 , x0 ) p hm d (x1 , x0 ) . 1−h Chúng ta đặt d (xn , xm ) hm K d (x1 , x0 ) . 1−h Điều có nghĩa d (xn , xm ) → (n, m → ∞). Do {xn } dãy Cauchy. Do (X, d) đầy đủ nên ta có x∗ ∈ X cho xn → x∗ (n → ∞). Từ d (T x∗ , x∗ ) p p d (T x∗ , x∗ ) d (T x∗ , x∗ ) d (T xn , T x∗ ) + d (T xn , x∗ ) k (d (T xn , xn ) + d (T x∗ , x∗ )) + d (xn+1 , x∗ ) (kd (xn+1 , x∗ ) + d (xn+1 , x∗ )) ta suy 1−k (k d (xn+1 , xn ) + d (d (xn+1 , x∗ )) ) → 1−k p Do d (T x∗ , x∗ ) = 0, có nghĩa T x∗ = x∗ . Vì x∗ điểm bất động T. Nếu y ∗ điểm bất động khác T , d (x∗ , y ∗ ) = d (T x∗ , T y ∗ ) p k (d (T x∗ , x∗ ) + d (T y ∗ , y ∗ )) = 0. Do x∗ = y ∗ . Do T có điểm bất động nhất. Ví dụ 2.3.1. Cho E = R2 không gian Euclide, P = (x, y) ∈ R2 |x, y nón chuẩn tắc E . Cho X = (x, 0) ∈ R2 |0 x ∪ (0, x) ∈ R2 |0 Ánh xạ d : X × X → E xác định d ((x, 0) , (y, 0)) = |x − y| , |x − y| x . 36 d ((0, x) , (0, y)) = |x − y| , |x − y| x + y, x + y . d ((x, 0) , (0, y)) = d ((0, y) , (x, 0)) = 3 Khi (X, d) không gian metric đầy đủ. Chúng ta xét ánh xạ T : X → X xác định T ((x, 0)) = (0, x) T ((0, x)) = x, . Khi T thỏa mãn điều kiện co d (T (x1 , x2 ) , T (y1 , y2 )) p kd ((x1 , x2 ) , (y1 , y2 )) với (x1 , x2 ) , (y1 , y2 ) ∈ X , với số k = điểm bất động (0, 0) ∈ X . ∈ [0, 1). Rõ ràng T có 37 Chương Điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón Trong chương trình bày khái niệm cặp ánh xạ tương thích kết điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón. 3.1 Các khái niệm Định nghĩa 3.1.1. [13]. Cho (X, d) không gian metric nón P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K. Hai ánh xạ T S T :X→X S:X→X thỏa mãn S (X) ⊂ T (X) với phần tử x0 ∈ X ta xác định dãy {xn } T (xn ) = S (xn−1 ), n = 1, 2, Chúng ta nói {S (xn )} (S, T ) − dãy với điểm đầu x0 . 38 Định nghĩa 3.1.2. [13]. Cho (X, d) không gian metric nón P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K. Hai ánh xạ T S T :X→X S:X→X ta nói cặp ánh xạ (T, S) tương thích (commuting) T S = ST. Ví dụ 3.1.1. Cho E = C[0,1] , R , P = {ϕ ∈ E/ϕ ≥ 0} ⊂ E, X = R ánh xạ d : X × X → E xác định d (x, y) = |x − y| et , et ∈ E (X, d) không gian metric nón. Chúng ta xét ánh xạ T : X → X xác định T x = 2x S : X → X xác định Sx = x . Khi ta có: T S = ST. Thật vậy: Trước hết ta chứng minh (X, d) không gian metric nón. 1. Ta có |x − y| 0, ∀x, y ∈ X et > nên d (x, y) = |x − y| et p ∀x, y ∈ X. d (x, y) = |x − y| et = ⇔ |x − y| = ⇔ x = y. 2. Ta có |x − y| = |y − x|, ∀x, y ∈ X nên d(x, y) = |x − y| et = |y − x| et = d(y, x), ∀x, y ∈ X. 3. Với ∀x, y, z ∈ X , ta có |x − y|et = |x − z + z − y|et (|x − z| + |z − y|)et . Do d(x, y) = |x − y|et p |x − z|et + |x − z|et 39 = d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Hay d(x, y) p d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Vậy (X, d) không gian metric nón. Vì ánh xạ T : X → X xác định T x = 2x S : X → X xác định x Sx = nên ta có: x x = 2. = x; 2 2x = x. ST x = S(2x) = T Sx = T Do ta có ST = T S. 3.2 Định lý điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích không gian metric nón Định lý 3.2.1. [13]. Cho (X, d) không gian metric nón đầy đủ, P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K . Ánh xạ T : X → X S : X → X thỏa mãn: 1. T liên tục 2. S (X) ⊂ T (X) 3. (S, T ) cặp ánh xạ tương thích 4. Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn < a + 2b + 2c < K ta có: d (Sx, Sy) p ad (T x, T y) + b [d (Sx, T x) + d (Sy, T y)] + 40 c [d (Sx, T y) + d (Sy, T x)] , với x, y ∈ X . Khi S T có điểm bất động chung nhất. Chứng minh. Giả sử x0 ∈ X điểm tùy ý. Chúng ta chứng minh dãy {S (xn )} với điểm đầu x0 dãy Cauchy X . Ta có: d (Sxn+1 , Sxn ) p ad (T xn+1 , T xn ) + +b [d (Sxn+1 , T xn+1 ) + d (Sxn , T xn )] + +c [d (Sxn+1 , T xn ) + d (Sxn , T xn )] . Vì d (Sxn+1 , Sxn ) p a+b+c d (Sxn , Sxn−1 ) 1−b−c có nghĩa d (Sxn+1 , Sxn ) p αd (Sxn , Sxn−1 ) (3.1) với α= a+b+c < 1. 1−b−c Như theo bất đẳng thức (3.1) định lí 2.2.7 có {S (xn )} dãy Cauchy X . Mặt khác, lặp lại cách làm ta có: d (Sxn+1 , Sxn ) p αn d (Sx1 , Sx0 ) . Từ P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K , ta có: d (Sxn+1 , Sxn ) αn .K d (Sx1 , Sx0 ) Vậy ta có: lim d (Sxn+1 , Sxn ) = 0. n→∞ Từ (X, d) không gian metric nón đầy đủ nên tồn z0 ∈ X cho: lim Sxn = lim T xn+1 = z0 . n→∞ n→∞ (3.2) 41 Vì T liên tục S, T tương thích nên ta có: T z0 = T lim T xn = lim T xn n→∞ n→∞ Nhưng ta có: T z0 = T lim Sxn = lim T Sxn = lim ST xn . n→∞ n→∞ n→∞ Do vậy: d (ST xn , Sz0 ) p ad T xn , T z0 + +b d ST xn , T xn + d (Sz0 , T z0 ) + +c [d (ST xn , T z0 ) + d (Sz0 , T z0 )] . Một lần nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên ta có: d (ST xn , Sz0 ) K. [ a d T xn , T z0 +b d ST xn , T xn + c d (ST xn , T z0 ) + (b + c) d (Sz0 , T z0 ) ]. Lấy giới hạn n → ∞ thu được: d (T z0 , Sz0 ) K. [ a d (T z0 , T z0 ) +b d (T z0 , T z0 ) + c d (T z0 , T z0 ) + (b + c) d (Sz0 , T z0 ) ]. Viết lại bất đẳng thức ta được: d (T z0 , Sz0 ) K (b + c) d (Sz0 , T z0 ) . Từ , với < b + c < ,chúng ta có: d (T z0 , Sz0 ) = K tức T z0 = Sz0 . Bây ta chứng minh T z0 = Sz0 = z0 . Thật vậy, ta có: d (Sxn , Sz0 ) p ad (T xn , T z0 ) + b [d (Sxn , T xn ) + d (Sz0 , T z0 )] +c [d (Sxn , T z0 ) + d (Sz0 , T z0 )] 42 = ad (T xn , T z0 ) + b.d (Sxn , T xn ) + c.d (Sxn , T z0 ) + (b + c) d (Sx0 , T z0 ) . Vì P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K , nên có: d (ST xn , Sz0 ) K. [a d T xn , T z0 +b d ST xn , T xn + c d (ST xn , T z0 ) + (b + c) d (Sz0 , T z0 ) ]. Lấy giới hạn n → ∞ ta thu được: d (z0 , Sz0 ) K. (a + c) d (z0 , T z0 ) . Tương tự, ta thu d (z0 , Sz0 ) = hay z0 = Sz0 . Do ta có z0 = Sz0 = T z0 . Vậy z0 điểm bất động chung S T Tiếp theo ta chứng minh điểm bất động chung z0 nhất. Thật vậy: Giả sử ta có y0 = Sy0 = T y0 .Khi ta có: d (y0 , z0 ) = d (Sy0 , Sz0 ) p ad (T y0 , T z0 ) + b [d (Sy0 , T y0 ) + d (Sz0 , T z0 )] + c [d (Sy0 , T z0 ) + d (Sz0 , T z0 )] = (a + c) d (Sy0 , Sz0 ) = (a + c) d (y0 , z0 ) . Mà < a + c < 1. Do y0 = z0 . Do định lý chứng minh. Nhận xét 3.2.1. Trong định lí 3.2.1 lấy E = R+ P = [0, +∞) ta có kết S. L. Singh [14] sau : Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, Ánh xạ T : X → X S : X → X thỏa mãn: 1. T liên tục 2. S (X) ⊂ T (X) 43 3. (S, T ) cặp ánh xạ tương thích 4. Bất đẳng thức: d (Sx, Sy) p ad (T x, T y) + b [d (Sx, T x) + d (Sy, T y)] + c [d (Sx, T y) + d (Sy, T y)] xảy với x, y ∈ X , a, b, c số thực không âm thỏa mãn < a + 2b + 2c < . K Khi S T có điểm bất động chung nhất. Nhận xét 3.2.2. Trong định lí 3.2.1 lấy b = c = ta thu kết sau: Cho (X, d) không gian metric nón đầy đủ, P ⊂ E nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K .Giả sử ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn điều kiện: 1. T liên tục 2. S (X) ⊂ T (X) 3. (S, T ) cặp ánh xạ tương thích 4. Bất đẳng thức: d (Sx, Sy) p ad (T x, T y) xảy với x, y ∈ X , 0[...]... là không gian Banach 1.3 Định lý điểm bất động trong không gian metric Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) kd(x, y), ∀x, y ∈ X Định lý 1.3.1 [1] Nguyên lý ánh xạ co Banach Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất Chứng minh Giả sử T : X → X là ánh xạ. .. gian metric nón Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón cùng với các ví dụ minh họa Cuối cùng chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động trong không gian metric nón 2.1 Định... hội tụ Định nghĩa 2.2.5 [11] Cho (X, d) là một không gian metric nón {xn } là dãy bất kỳ trong X có dãy con {xni } là hội tụ trong X Khi đó X được gọi là không gian metric nón compact dãy 2.3 Điểm bất động trong không gian metric nón Định lý 2.3.1 [11] Cho (X, d) là không gian metric nón P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co: d (T x, T y) p kd... d) là không gian metric nón Sau đây chúng ta trình bày về sự hội tụ của dãy trong không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [11] Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn } là một dãy trong X và x ∈ X Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho d(xn , x) p c, với mọi n > n0 Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy... được ánh xạ T từ không gian đầy đủ R vào chính nó Giả sử x > x , khi đó ta có |T x − T x | = |a sin x − a sin x | x+x x−x = 2|a|| cos | · | sin | 2 2 x−x 2a| | 2 = a|x − x | Vì a ∈ [0, 1), suy ra T là ánh xạ co Hơn nữa R là không gian metric đầy đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 20 Chương 2 Không gian metric nón. .. trong (C[0,1] , d) Định nghĩa 1.1.5 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X Ví dụ 1.1.3 Xét không gian C[a,b] các hàm số liên tục trên [a, b] với metric: d(x, y) = max |x(t) − y(t)| a t b Khi đó C[a,b] với metric đã xác định như trên là không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử {xn (t)} là dãy Cauchy tùy ý trong không. .. ánh xạ T 18 Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên X Giả sử tồn tại điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Thế thì d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) kd(x∗ , y ∗ ) Suy ra d(x∗ , y ∗ ) − kd(x∗ , y ∗ ) 0 Hay (1 − k)d(x∗ , y ∗ ) 0 Do k < 1 nên ta có d(x∗ , y ∗ ) = 0 Suy ra x∗ = y ∗ Vì vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Định lý được chứng minh Ví dụ 1.3.1... X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X (Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ) 13 Ví dụ 1.2.2 Cho không gian C[a,b] là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] cùng với ánh xạ · : C[a,b] → R, xác định bởi: x = max |x(t)| là không gian Banach a t b Chứng minh Theo ví dụ 1.2.1 ta đã chứng minh được C[a,b] là không gian định chuẩn... Cauchy trong không gian metric đầy đủ (X, d) Do đó {xn } hội tụ tới x∗ ∈ X Ta chứng minh x∗ là điểm bất động của ánh xạ T trong X Ta có: d(T x∗ , x∗ ) d(T x∗ , xn ) + d(xn , x∗ ) = d(T x∗ , T xn−1 ) + d(xn , x∗ ) kd(x∗ , xn−1 ) + d(xn , x∗ ), ∀n = 1, 2, Do lim d(xn , x∗ ) = lim d(xn−1 , x∗ ) = 0, n→∞ n→∞ nên ta suy ra d(T x∗ , x∗ ) = 0 hay T x∗ = x∗ , nghĩa là x∗ là điểm bất động của ánh xạ T 18... 2.2.2 [11] Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn } là một dãy trong X Nếu với bất kì c ∈ E , 0 p c, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: ∀n, m n0 , d (xn , xm ) p c thì {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X Định nghĩa 2.2.3 [11] Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X Ta đã biết đối với không gian metric (X, d) thì dãy {xn } trong X hội tụ tới x thuộc . metric nón, điểm bất động trong không gian metric nón. Chương 3 trình bày khái niệm về cặp ánh xạ tương thích và các kết quả về điểm bất chung chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric. động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không. góp của đề tài Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón. Luận văn trình bày về không gian metric nón, điểm bất động của ánh xạ co trong