Biờn son: Dng Duc Duy Chng 1: Hm a Tr I. Kin thc c: H cỏc ca X c kớ hiu l (X) hoc 2X . Cho khụng gian mờtric X, khỏc rng A X, xo X v s thc r > 0. Hỡnh cu m tõm xo X, bỏn kớnh r > l hp: B(xo, r) = { x X : d(x, xo) < r } Hỡnh cu úng tõm xo X, bỏn kớnh r > l hp: B(xo, r) = { x X : d(x, xo) r } Mt cu tõm xo X, bỏn kớnh r > l hp: S(xo, r) = { x X : d(x, xo) = r } Khong cỏch t im x X n A l: d x, A = inf d x, a aA Hỡnh cu m tõm A, bỏn kớnh r > l hp: B(A, r) = { x X : d(x, A) < r } Hỡnh cu úng tõm A, bỏn kớnh r > l hp: B(xo, r) = { x X : d(x, A) r } Tp U X c gi l lõn cn ca A nu r > cho B(A, r) U. Khong cỏch Hausdorff ca hai khỏc rng A, B X l: dH (A, B) = max{ sup d(x, B), sup d(y, A) } x A y B Cho X l khụng gian nh chun v A, B X Tp A c gi l li nu x; y A, [0; 1]: x + (1 - )y A Bao li ca A l: n n conv A = S = i xi xi A, i i 1,n vaứ i i i S loi AS B l m a + B l m A + B l m A, B l cỏc li thỡ A + B cng l li. B(xo, r) = xo + r.B(0, 1) , xo X v r > > : dH (A, B) < A B + B(0, ) v B A + B(0, ) Biờn son: Dng Duc Duy II. Hm a tr: 1.nh ngha: nh x a tr t X n Y l ỏnh x F: X (Y) x F(x) Y Kớ hiu F: X Y Dom F = {x X : F(x) } F c gi l ỏnh x a tr cht nu DomF = X ImF = F(x) = xX F(x) x DomF Vi A X, F(A) = F(x) xA th ca F l GrapF = GrF = { (x, y) XìY : y F(X) } 2. nh x ngc, ỏnh x thu hp: nh x ngc ca ỏnh x a tr F: X Y l ỏnh x a tr F-1 : Y X y F-1(y) = { x X : y F(x) } nh x a tr thu hp ca ỏnh x a tr F lờn K X l ỏnh x a tr FK(x): X Y cho bi F(x) neỏu x K FK(x) = neỏu x K , x X 3. Tớnh b chn, giỏ tr úng (compact, li): F b chn x X : F(x) b chn. F l ỏnh x a tr cú giỏ tr úng (compact, li) x X : F(x) l úng (compact, li) F l ỏnh x a tr úng (compact, li) GrF l úng (compact, li) XìY Bi 1: Cho X, Y l hai khụng gian nh chun, F: X Y. Chng minh: a) F úng F cú giỏ tr úng. b) F compact F cú giỏ tr compact. c) F li F cú giỏ tr li. Gii: a) x X, xột dóy (yn)n F(x) cho lim yn = y , ta cú: Biờn son: Dng Duc Duy ((x, yn))n GrF , lim(x, yn) = (x, y) F úng GrF l úng Nờn (x, y) GrF y F(x) Do ú, F(x) l úng x X Vy, F cú giỏ tr úng. b) x X, xột dóy (yn)n F(x), Ta cú ((x, yn))n GraphF = {(x, y) : y F(x)} F compact GraphF l compact XìY Nờn, (x, y n k ) ((x, yn))n cho (x, y n ) (x, y) GraphF k k k lim y n k =y F(x) k y n k y n n k Do ú, F(x) l compact Y Vy, F cú giỏ tr compact c) x X, y; z F(x), [0; 1]: (x, y), (x, z) GraphF F li GraphF l li XìY Nờn, (x, y) + (1 - )(x, z) = (x + (1- )x, y + (1- )z) = (x, y + (1- )z) GraphF y + (1- )z F(x) Do ú, F(x) l li Y , x X F cú giỏ tr li III. Hm a tr na liờn tc trờn v na liờn tc di: 1. nh ngha: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr, xo domF. F c gi l na liờn tc trờn ti xo nu vi mi lõn cn V = VF(xo) ca F(xo), tn ti lõn cn U = Uxo ca xo cho F(U) V. Kớ hiu: F l usc ti xo F c gi l na liờn tc di ti xo nu yo F(xo), vi mi lõn cn V ca yo , tn ti lõn cn U ca xo cho F(x)V , x U. Kớ hiu: F l lsc ti xo Biờn son: Dng Duc Duy y VD: {ex} neỏu x < F(x) = [e; e2 ] neỏu x = e neỏu x > V( F(1) ) lõn cn ca F(1) e2 f (x) e F(x) l hm usc ti 2. Tớnh cht: x U(1): lõn cn ca Mnh 1: Cho X, Y, Z l cỏc khụng gian mờtric, F: X Y v G: Y Z l cỏc ỏnh x a tr usc trờn X. Khi ú, GoF: X Z l ỏnh x a tr usc . Chng minh: xo X, Xột lõn cn V = VG(F(xo )) ca G(F(xo)), ta cú: G l usc ti F(xo) tn ti lõn cn U = UF(xo ) ca F(xo) cho G(U) V F l usc ti xo tn ti lõn cn W = Wxo ca xo cho F(W) U Do ú G(F(W)) G(U) V Nờn GoF l usc ti xo , xo X Vy GoF l usc trờn X Mnh 2: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr. Nu F cú giỏ tr úng v usc trờn X thỡ F úng. nh lý 1: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric. F, G: X Y l cỏc ỏnh x a tr tha F(x)G(x) , x X v i) F usc ti xo X ii) F(xo) l compact iii) G l ỏnh x a tr úng. Khi ú, FG l usc ti xo ( FG l ỏnh x a tr cho bi cụng thc FG(x) = F(x)G(x) ) Chng minh: Xột m V cha FG(xo) = F(xo)G(xo) TH1: F(xo) V F usc ti xo tn ti lõn cn U ca xo cho F(U) V Biờn son: Dng Duc Duy x U : FG(x) = F(x)G(x) F(U)G(U) F(U) V FG(U) V TH2: F(xo) V t K = F(xo)(XU), y K : y F(xo) v y XV y F(xo) v y F(xo)G(xo) y G(xo) (xo, y) GraphG (xo, y) XìYGraphG M GraphG l úng XìYGraphG l m Nờn tn ti mt lõn cn N(xo) X ca xo, tn ti mt lõn cn N(y) Y ca y Sao cho N(xo)ìN(y) XìYGraphG N(xo)ìN(y) GraphG = Khi ú, x N(xo): Nu z G(x)N(y) thỡ (x, z) GraphG v (x, z) N(xo)ìN(y) (x, z) N(xo)ìN(y) GraphG (mõu thun) Nờn G(x)N(y) = H qu 1: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, G: X Y l ỏnh x a tr úng. Nu Y l khụng gian compact thỡ G l usc Chng minh: Xột ỏnh x a tr F: X Y x F(x) = Y xo X: F(xo) = Y l compact Vi mi lõn cn V ca F(xo) = Y, chn mt lõn cn U bt kỡ ca xo : Y = F(xo) V Y F(U) = Y = V F usc ti xo G l ỏnh x a tr úng Nờn theo nh lý 1: FG(x) = F(x)G(x) = YG(x) = G(x) l usc ti xo Vy, G l usc trờn x Biờn son: Dng Duc Duy H qu 2: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr úng, r: X + l hm n tr na liờn tc trờn. Nu Y l khụng gian hu hn chiu thỡ ỏnh x a tr Fr: X Y xỏc nh bi Fr(x) = F(x)(r(x).B) , x X ( vi B = B(0,1) Y ) l usc. Mnh 3: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr. Nu F l a tr cht, usc, cú giỏ tr compact v X compact thỡ F(x) compact Bi 2: Cho ỏnh x a tr F: cho bi F(a) = { (x, y) | y = ax} Chng minh F cú th úng nhng khụng usc ti a = Gii: GraphF = {(a, z)| z = (x, y) F(a)} Xột dóy ((an , zn))n GraphF vi zn = (xn, yn) F(an) ,n y cho lim(an, zn) = (a, z) v z = (x, y) lim an = a lim a n = a lim x = x n lim z n = z lim y n = y * y n = a n x n , n y = a x , n * n n n y = limyn = lim( anxn) = ax y = ax F(0) y=0 z = (x, y) F(a) (a, z) GraphF -1 Do ú GraphF l úng (Hay F cú th úng) F(0) = {(x, y) | y = } t V = {(x, y) | -1 < y < 1} V l m v F(0) V nờn V l lõn cn ca F(0) Vi mi lõn cn U ca 0, b U: b Ta cú, ; F(b) = { (x, y) | y = bx} v ; V b b F(U) V Do ú, F khụng usc ti a = Mnh 4: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr cht. Khi ú: F usc nh ngc ca mi úng Y l úng X x Biờn son: Dng Duc Duy Chỳ ý: F-1(y) = { x X | y F(x)} , y Y F-1(K) = F -1 (y) ,KY yK x F-1(K) y K : x F-1(y) y F(x): y K y K : y F(x) Chng minh: () F usc Vi mi úng K Y, xột X\F-1(K). xo X\F-1(K): xo F-1(K) y F(xo) , y K K F(xo) = F(xo) Y\K M, Y\K l m v F usc Nờn, tn ti mt lõn cn m U ca xo cho F(U) Y\K Ta cn chng minh U X\F-1(K). x U: F(x) Y\K F(x)K = y K : y F(x) x F-1(K) x X\F-1(K) U X\F-1(K) Do ú, X\F-1(K) l m F-1(K) l úng. () nh ngc ca mi úng Y l úng X x X, vi mi lõn cn m V ca F(x): Y\V l úng F-1(Y\V) l úng X\F-1(Y\V) l m Ta cn chng minh x X\F-1(Y\V) Ta cú: F(x) V F(x)( Y\V) = y Y\V: y F(x) x F-1(Y\V) x X\F-1(Y\V) Ta cn chng minh F( X\F-1(Y\V) ) V x X\F-1(Y\V), y F(x): x F-1(Y\V) y Y\V y V Do ú, x X\F-1(Y\V): F(x) V F( X\F-1(Y\V) ) V Vy, F l usc Mnh 5: Cho F: X Y l ỏnh x a tr v xo domF. Lỳc ú: F lsc ti xo nu (xn) X, lim xn = xo v yo F(xo) thỡ yn F(xn) cho lim yn = yo . Chng minh: Biờn son: Dng Duc Duy () F lsc ti xo (xn) X, lim xn = xo v yo F(xo): > 0: B(yo, ) l lõn cn m ca yo v F lsc ti xo n1 : F(x)B(yo, ) ,x B(xo, 1/n1) M, lim xn = xo nờn n2 , n m n n2 thỡ xn B(xo, 1/n1) F(xn)B(yo, ) , n m n n2 n n2, chn yn F(xn)B(yo, ) yn F(xn) v yn B(yo, ) , n m n n2 lim yn = yo v yn F(xn) , n m n n2 () (xn) X, lim xn = xo v yo F(xo) thỡ yn F(xn) cho lim yn = yo . Gi s F khụng lsc ti xo yo F(xo), tn ti mt lõn cn m U ca yo cho vi mi lõn cn V ca xo: F(x) U = , x V n * : B(xo, 1/n) l lõn cn m ca xo nờn F(xn) U = , vi xn B(xo, 1/n) Do xn B(xo, 1/n), n * nờn limxn = xo Mt khỏc yo F(xo) Nờn yn F(xn) cho lim yn = yo vi n ln: yn U (do U l lõn cn ca yo) yn F(xn) U ( mõu thun vi (*) ) Vy, F lsc ti xo Bi 3: a) Cho ỏnh x a tr F: [-1;1] x F(x) = {0} neỏu x = neỏu x Chng minh F usc nhng khụng lsc ti xo = b) Cho ỏnh x a tr G: [-1;1] x G(x) = {0} Chng minh F lsc nhng khụng usc ti xo = Gii: neỏu x neỏu x = (*) Biờn son: Dng Duc Duy y F: a) [-1;1] neỏu x = x F(x) = neỏu x {0} Vi mi lõn cn V ca F(0): F(0) = [-1; 1] V U V Xột lõn cn U = (-1; 1) ca xo = 0: -1 F (x) x x U: F(x) [-1; 1] V F(U) = F(x) V xU Do ú, F usc ti xo = Vi yo = 1/2 F(0), V = (0; 1) l lõn cn ca yo , vi mi lõn cn U ca 0, x U\{0} cho F(x)={0} F(x)V = Do ú, F khụng lsc ti G: b) [-1;1] neỏu x x G(x) = neỏu x = {0} 1 Xột lõn cn V = (- ; ) ca G(0) = {0}, vi mi lõn cn U ca xo = 0, x U\{0} cho 2 G(x) = [-1; 1] V Do ú, G khụng usc ti yo G(0) = {0}, vi mi lõn cn V ca yo: yo = Chn U = (-1; 1) l lõn cn ca xo = x U: G(x) v V G(x)V , x U Do ú, G lsc ti xo = Mnh 6: Cho X; Y l hai khụng gian mờtric, F: X Y l ỏnh x a tr lsc ( DomF = X ) v f : X Y l ỏnh x n tr liờn tc. : X + l hm na liờn tc di. Khi ú: : X Y x B( f (x), (x))F(x) L lsc ti mi x Dom (Trong ú, B( f (x), (x)) = { y Y: d(y, f (x)) < (x)} 3.nh x a tr Lipschitz: (khụng thi) nh ngha: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric v F: X Y. F c gi l a tr Lipschitz a phng Biờn son: Dng Duc Duy xo X, V(xo), L > 0, x ; x V(xo): F(x) B( F(x), L.d(x, x) ) F c gi l a tr Lipschitz L > 0, x ; x X: F(x) B( F(x), L.d(x, x) ) Mnh 7: Cho X ; Y l hai khụn gian nh chun, F: X Y l ỏnh x a tr cht, Lipschitz vi hng s Lipschit l L > 0. coF : X Y Khi ú: X coF(x) L ỏnh x a tr Lipschitz vi hng s K ( ú: coF(x) = convectF(x) = G ) G loi F(x) G Chng minh: x; x, y coF(x) , > 0, y = - usc: Cho X, Y l hai khụng gian nh chun, F: X Y l ỏnh x a tr cht. F c gi l usc ti xo nu > 0, > cho F( xo + .B(0, 1) ) F(xo) + .B(0, 1) { õy xo + .B(0, 1) = B(xo, ) v F(xo) + .B(0, 1) = B( F(xo), ) } Nhn xột: Nu F usc thỡ F usc Bi 4: Cho F: a F(a) = {(a, y) } - lsc: Cho X, Y l hai khụng gian nh chun, F: X Y l ỏnh x a tr cht. F c gi l lsc ti xo nu > 0, > cho x B(xo, ): F(x) F(xo) + .B(0, 1) Nhn xột: Nu F lsc thỡ F lsc IV.Tớnh cht liờn tc ca ỏnh x Marginal: (khụng thi) 1. Hm Marginal - ỏnh x Marginal: Cho X, Y l hai hp, W: XìY l hm n tr Biờn son: Dng Duc Duy ii) G: Y X l ỏnh x a tr liờn tc vi giỏ tr compact. Khi ú, V l hm liờn tc trờn Y v M l usc trờn Y 7.nh lý 4: Cho X, Y l hai khụng gian mờtric. Nu i) W: XìY Lipschitz vi hng s L ( ngha l | W(x, y) - W(x, y) | L. [ d(x,x) + d(y, y) ] ,(x,y) ; (x,y) XìY ) ii) G: Y X l ỏnh x a tr Lipschitz vi hng s c ( ngha l G(y) B(G(y), c.d(y,y)) , y; y Y ) Thỡ V l hm s lipschitz vi hng s k = L(c + 1) ( ngha l | V(y) - V(y) | k. d(y, y) , y ; y Y ) Biờn son: Dng Duc Duy Chng 2: Quỏ Trỡnh Li úng chng ny ta tỡm hiu vi X, Y l hai khụng gian nh chun. F:X Y l mt ỏnh x a tr. I. Kin thc c: F l a tr chõn chớnh (hay khụng suy bin hay khụng tm thng) DomF = {x X | F(x) } F l a tr cht (hay tht s) DomF = X th ca F l GrapF = GrF = { (x, y) XìY : y F(x) } F li GraphF li (x1, y1),( x2, y2) GraphF, [0, 1]: (x1, y1) + (1 )( x2, y2) GraphF F úng GraphF úng (xn, yn) GraphF, (xn, yn) (x, y) thỡ (x, y) GraphF C C X l mt nún x C, : .x C F-1 : Y X y F-1(y) = { x X | y F(x) } II.Quỏ trỡnh: 1.nh ngha: F l mt quỏ trỡnh GraphF l mt nún XìY F l mt quỏ trỡnh li GraphF l mt nún li XìY F l mt quỏ trỡnh li úng GraphF l mt nún li, úng XìY 2.Mnh : X, Y l hai khụng gian nh chun, F:X Y l mt ỏnh x a tr. i) F li x1; x2 DomF, [0, 1]: .F(x1) + (1 - ).F(x2) F(.x1 + (1 - ).x2) ii) F l quỏ trỡnh x X, > 0: .F(x) = F(.x) v F(0) F laứ quaự trinh x1 ,x2 X: F(x1 ) + F(x ) F(x1 + x ) iii) F l quỏ trỡnh li iv) F l quỏ trỡnh li DomF, ImF l cỏc nún li. v) F l quỏ trỡnh li, úng F-1 l quỏ trỡnh li, úng. Chng minh: i) Biờn son: Dng Duc Duy () F li GraphF l li XìY Nờn x1; x2 DomF, [0, 1], y1 F(x1) v y2 F(x2): (x1, y1), ( x2, y2) GraphF (x1 + (1 x2); y1 + (1 y2)) = (x1, y1) + (1 )( x2, y2) GraphF y1 + (1 y2) F(x1 + (1 x2)) .F(x1) + (1 - ).F(x2) F(.x1 + (1 - ).x2) () x1; x2 DomF, [0, 1]: .F(x1) + (1 - ).F(x2) F(.x1 + (1 - ).x2) (x1, y1), ( x2, y2) GraphF, [0, 1] : x1, x2 DomF, y1 F(x1) v y2 F(x2) .F(x1) + (1 - ).F(x2) F(.x1 + (1 - ).x2) .y1 + (1 - ).y2 F(.x1 + (1 - ).x2) (x1, y1) + (1 )( x2, y2) = (x1 + (1 x2); y1 + (1 y2)) GraphF GraphF l li XìY F li ii) () F l mt quỏ trỡnh (0,0) GraphF GraphF l mt nún XìY (x,y) GraphF , : .(x,y) GraphF x X, > 0: Chng minh .F(x) F(.x) Nu F(x) = thỡ .F(x) F(.x) Nu F(x) thỡ y F(x): (x, y) GraphF (x, y) = (x, y) GraphF y F(x) .F(x) F(.x) Chng minh F(.x) .F(x) Nu F(.x) = thỡ F(.x) .F(x) Nu F(.x) thỡ y F(.x): (x, y) GraphF 1 (x, y) = (x, y) GraphF y F(x) y .F(x) F(.x) .F(x) Vy, F(.x) = .F(x) (0, 0) GraphF F(0) Biờn son: Dng Duc Duy () x X, > 0: .F(x) = F(.x) v F(0) F(0) (0, 0) GraphF (x, y) GraphF, > 0: y F(x) y .F(x) = F(.x) (x, y) = (x, y) GraphF Do ú, GraphF l mt nún XìY F l mt quỏ trỡnh iii) () F l mt quỏ trỡnh li F l mt quỏ trỡnh v GraphF l mt li x1 ; x2 X, y1 F(x1), y2 F(x2): (x1, y1) , (x2, y2) GraphF 1 1 1 (x1, y1) + (x2, y2) = ( x1 + x2, y1 + y2) GraphF 2 2 2 1 1 1 y1 + y2 = (y1 + y2) F( x1 + x2) = . F(x1 + x2) (theo ii) 2 2 2 y1 + y2 F(x1 + x2) F(x1) + F(x2) F(x1 + x2) () F l mt quỏ trỡnh v x1 ; x2 X : F(x1) + F(x2) F(x1 + x2) F l mt quỏ trỡnh GraphF l mt nún (x1 ; y1) , (x2 ; y2) GraphF, [0, 1]: y1 F(x1) v y2 F(x2) y1 F(x1) v (1 )y2 F((1 )x2) .y1 + (1 ).y2 F(.x1 + (1 )x2) (.x1 + (1 )x2, .y1 + (1 ).y2) GraphF .(x1 ; y1) + (1 ).(x2 ; y2) GraphF GraphF l mt li Vy, F l mt quỏ trỡnh li iv) DomF = {x X | F(x) } F l mt quỏ trỡnh F(0) DomF x DomF, > 0, y Y: y F(x) .y .F(x) = F(.x) F(.x) .x DomF (theo ii) Biờn son: Dng Duc Duy Do ú, DomF l mt nún x1, x2 DomF, [0, 1], y1 F(x1), y2 F(x2): .y1 + (1 ).y2 F(.x1 + (1 ).x2) (theo i) F(.x1 + (1 ).x2) .x1 + (1 ).x2 DomF DomF l li Do ú, DomF l mt nún li ImF = F(x) xX + F l mt quỏ trỡnh F(0) ImF + y ImF, > 0, x X: y F(x) .y F(.x) ImF Do ú, ImF l mt nún y1; y2 ImF, [0, 1], x1; x2 X: y1 F(x1) v y2 F(x2) .y1 + (1 ).y2 .F(x1) + (1 ).F(x2) F(.x1 + (1 ).x2) .y1 + (1 ).y2 ImF Do ú, ImF l mt li v) F-1(y) = {x X | y F(x)} F l mt quỏ trỡnh li, úng F l mt quỏ trỡnh F(0) F-1(0) (0, 0) GraphF-1 (y, x) GraphF-1 , > 0: x F-1(y) y F(x) (x, y) GraphF (x, y) = (x, y) GraphF y F(x) x F-1(y) (y, x) = (y, x) GraphF-1 Do ú, F-1 l mt nún F-1 l mt quỏ trỡnh F li, GraphF-1 = { (y, x) XìY : x F-1(y) } = { (y, x) XìY : y F(x) } (y1, x1), (y2, x2) GraphF-1, [0, 1]: y1 F(x1) v y2 F(x2) (x1, y1), (x2, y2) GraphF .(x1 ; y1) + (1 ).(x2 ; y2) GraphF (.x1 + (1 )x2, .y1 + (1 ).y2) GraphF .y1 + (1 ).y2 F(.x1 + (1 )x2) Biờn son: Dng Duc Duy -1 .x1 + (1 )x2 F (.y1 + (1 )y2) (.y1 + (1 )y2, .x1 + (1 )x2) GraphF-1 .(y1; x1) + (1 ).(y2 ; x2) GraphF-1 Do ú, GraphF-1 l li nờn F-1 li Xột ((yn, xn))n GraphF-1 cho lim(yn, xn) = (y, x) YìX lim(xn, yn) = (x, y) XìY n : yn F(xn) (xn, yn) GraphF M, GraphF l úng Nờn, lim(xn, yn) = (x, y) GraphF y F(x) (y, x) GraphF-1 Do ú, F-1 l úng. Bi 4: Cho F: x F(x) = { y : y x2 } Chng minh F li, úng nhng khụng quỏ trỡnh Gii: (x1, y1) ; (x2, y2) GraphF, [0, 1]: x12 y1 , x 22 y p dng bt ng thc Bunhiacopski: (.x1 + (1 )x2)2 = ( . x1 + . x2)2 ( + - ).( . x12 + (1 ) x22 ) .y1 + (1 ).y2 .y1 + (1 ).y2 F(.x1 + (1 )x2) (.x1 + (1 )x2, .y1 + (1 ).y2) GraphF .(x1 ; y1) + (1 ).(x2 ; y2) GraphF GraphF l li F li Xột ((xn, yn))n GraphF cho lim(xn, yn) = (x, y) YìX limxn = x v limyn = y M, n : x 2n y n limx2n lim y n Nờn, x2 y y F(x) (x, y) GraphF Do ú, GraphF l úng nờn F úng Biờn son: Dng Duc Duy Chn (1, 1) GraphF v = > 0: .(1, 1) = (2, 2) GraphF GraphF khụng phi l mt nún ì F khụng quỏ trỡnh. III. Tớnh cht liờn tc v nh lý ỏnh x m ca a tr: 1.nh lý: (Robinson-Usescu) Cho X, Y l hai khụng gian Banach, F: X Y l ỏnh x a tr li, úng, chõn chớnh (domF ) cho int(ImF) . Khi ú, yo int(ImF) v xo F-1(yo) thỡ > cho x DomF, y B(yo, ) ta c d(x, F-1(y)) d( y, F(x) ).( + x - xo ) c bit: F-1: Y X lsc trờn int(ImF). Ly x = xo thỡ y B(yo, ): d(xo, F-1(y)) d(y, F(xo)) Nhn xột: Nu yo int(ImF) v xo F-1(yo) thỡ yo F(xo) v y B(yo, ): d(xo, F-1(y)) x F-1(y): ||x - xo|| d(y, F(xo)) 1 d(y, F(xo)) ||y - yo|| H qu 1: X ; Y l hai khụng gian Banach, F: X Y l ỏnh x a tr li ; úng, int(ImF) . Lỳc ú: yo int(ImF), xo F-1(yo), > 0, y B(xo, ), x F-1(y): ||x - xo|| .||y - yo|| H qu 2: X ; Y l hai khụng gian Banach, A (X, Y), L X, M Y l cỏc li, úng, khỏc . t F-1(y) = {x L : Ax M + y} Gi s int(A(L) M) . Khi ú yo int(A(L) M), xo F-1(yo), > 0, x L,y B(yo, ) ta cú d(x, F-1(y)) ,y Y d(Ax y, M).(1 + ||x - xo|| ) H qu 3: X ; Y l hai khụng gian Banach. P, Q l cỏc nún li, úng, khỏc cho P X, Q Y v A (X, Y). Gi s Y = A(P) Q, y Y t F-1(y) = {x P : Ax Q + y} Khi ú, F-1 l ỏnh x Lipschit Biờn son: Dng Duc Duy ( Tc l > 0, y1 ; y2 Y: F-1(y1) B(F-1(y2), .||y1 y2|| ) ) H qa 4: ( nh lý ỏnh x m n tr ) Cho X, Y l hai khụng gian Banach, A l toỏn t tuyn tớnh, liờn tc, ton ỏnh. Khi ú, ỏnh x a tr A-1: Y X l ỏnh x Lipschitz v A l ỏnh x m. 2. nh lý ỏnh x m a tr: Cho X, Y l hai khụng gian Banach, F: X Y l quỏ trỡnh li, úng, ImF = Y. Khi ú, F-1 l ỏnh x a tr Lipschitz. ( Tc l L > 0, y1 ; y2 Y: F-1(y2) B(F-1(y1), L .||y1 y2||) = F-1(y1) + L.||y1 y2||.BX(0, 1) ) Chng minh: + X, Y l hai khụng gian Banach F l quỏ trỡnh li, úng F(0) DomF ImF = Y int(ImF) v F chõn chớnh ( DomF ) Chn yo = int(ImF) v xo = F-1(yo) p dng nh lý Robinson_Uescu: > 0,y BY(0, ): d(0, F-1(y)) x F-1(y): ||x|| 1 d(y, F(0)) ||y|| y Y, x F-1(y): ||x|| ||y|| (*) + y1 ; y2 Y, x2 F-1(y2): y2 F(x2) t u = y1 y2 v ỏp dng (*),e F-1(u): ||e|| 1 ||u|| e BY(0, ||u||) x1 = x2 + e F-1(y2) + F-1(y1 y2) F-1(y1) x2 = x1 - e F-1(y1) e F-1(y1) + BY(0, x2 F-1(y1) + .|| y1 y2||. BY(0, 1) F-1(y2) B(F-1(y1), .||y1 y2||) Vy, F-1 l ỏnh x a tr Lipschitz. ||u||) d(y, F(0)) Biờn son: Dng Duc Duy Bi 5: Cho X, Y l hai khụng gian nh chun, F: X Y l quỏ trỡnh li, úng, chõn chớnh v int(ImF) Chng minh: > 0, y ImF, x F-1(y): ||x|| ||y|| Bi lm: y ImF: Nu y = 0, chn x = F-1(y) ||x|| = ||y|| = Nu y 0: t z = d(0, F-1(z)) .y BY(0, ) y d(z, F(0)) xo F-1(z) = F-1( 1 .y ) = . F-1(y): ||xo|| d(z, F(0)) ||z|| y y ( F l mt quỏ trỡnh nờn F-1( x= y .x o F-1(y) v ||x|| = .y ) = . F-1(y) y y ) y y .x o = . xo Vy, y ImF, x F-1(y): ||x|| y . .y = ||y|| y ||y|| IV.nh lý th úng: 1.Vn n tr: nh lý: Nu A (X, Y) thỡ GraphA l khụng gian úng ca XìY nh lý th úng n tr: Cho X, Y la hai khụng gian Banach. Nu A L(X, Y) v GraphA úng thỡ A liờn tc. 2. nh lý th úng: ( a tr ) Cho X, Y l hai khụng gian Banach, F: X Y l quỏ trỡnh li, úng v ImF = Y. Khi ú, F l ỏnh x Lipschitz. Biờn son: Dng Duc Duy Chng minh: F-1: Y X Xột Y F-1(y) = {x X : y F(x)} Ta cú: F-1 l mt quỏ trỡnh li , úng ImF-1 = F-1 (y) = x X: y F(x) = DomF yY yY M ImF = Y nờn DomF = X = ImF-1 x X: (F-1)-1(x) = F(x) p dng nh lý ỏnh x m a tr cho F-1 : F = (F-1)-1 l mt ỏnh x a tr Lipschitz. H qu 1: Cho X, Y l hai khụng gian Banach, F: X Y l quỏ trỡnh li, úng. Nu DomF = X v F nhn giỏ tr compact thỡ F liờn tc ( F va usc va lsc) H qu 1: ( nh lý th úng n tr) Cho X, Y l hai khụng gian Banach, A L(X, Y) v GraphA úng XìY. Lỳc ú, A liờn tc. Chng minh: Xột ỏnh x a tr F: X Y x F(x) = {Ax} Ta cú: F l mt quỏ trỡnh li úng v DomF = X theo nh lý ỏnh x m: F Lipsxhitz L > 0, x1 ; x2 X: F(x2) F(x1) + L.||x1 x2||.BY(0, 1) Ax2 Ax1 + L.||x1 x2||.BY(0, 1) ||Ax2 Ax1|| L.||x1 x2|| Do ú, liờn tc Biờn son: Dng Duc Duy Chng 3: o Hm Ca nh X a Tr Trong phn ny ta xỏc nh X l khụng gian nh chun, M l rng ca X v xo M d(x, M) = inf { ||x - y||: y M } conM l nún nht cha M: conM = { x : x M v > 0} {0} Chỳ ý: Trong , conM c xỏc nh bng cỏch v cỏc tip tuyn ngoi rỡa ca M xut phỏt t cho cỏc tip tuyn ú bc ht M y M x I. Cỏc loi nún tip xỳc: 1.Nún tip tuyn Bouligand: Nún tip xỳc Bouligand ca M ti xo l TM(xo) = { v X : lim inf t 0+ d( x o + tv, M ) =0 t } Chỳ ý: Trong , nún tip xỳc Bouligand ca mt ng M ti im (xo, yo) l hp nhng im (x, y) cho ng thng i qua hai im ú l tip tuyờn ca ng M. VD 1: M = {(x1, x2) : x2 = |x1| } v xo = (0, 0) TM(xo) = { v X : lim inf t 0+ y d(t.v, M ) =0 } t A(x, y) =M ( Chỳ ý rng vỡ mt im A(x, y) nm ngoi M thỡ ng thng OA khụng phi tip tuyn ca th M nờn (x, y) khụng thuc TM(xo) ) + x Biờn son: Dng Duc Duy (0, 0) M > 0, (x1, x2) M: x2 = |x1| .x2 = |.x1| x M Do ú, M l mt nún nờn con(M xo) = conM = M y Mt khỏc, M úng Nờn M x o = M = TM(xo) A(x, y) VD 2: M = {(x1, x2) : x2 = x12 o } v x = (0, 0) ( Chỳ ý rng vỡ mt im A(x, y) cú tung khỏc thỡ ng thng OA ct parabol nờn khụng phi x o tip tuyn ca th M ú (x, y) khụng thuc TM(x ) ) TM(xo) = { (x1, x2) : x2 = } M x o = { (v1 ; v2) : v2 0} Mnh 1: i) TM(xo) = { v X : (tk) (0, +), (vk) X cho limtk = 0, limvk = v v xo + t.vk M, k } ii) TM(xo) l nún úng iii) TM(xo) M x o Mnh 2: ( cụng thc tớnh nún tip tuyn Bouligand ) Gi s gi : X (i = 1, 2, , m ) liờn tc trờn X. M = { x X: gi 0, i = 1, m } t I(xo) = { i {1, 2, , m}: gi(xo) = 0} Khi ú i) Nu I(xo) = thỡ TM(xo) = X ii) Nu I(xo) v gi kh vi (Frechet) ti xo , i = 1, m thỡ TM(xo) { v X: gi(xo)(v) 0, I I(xo)} iii) Nu ba iu kin sau tha I(xo) gi kh vi (Frechet) ti xo , i = 1, m vo X, I I(xo): gi(xo)(vo) < thỡ ( iu kin chớnh quy ) TM(xo) = { v X: gi(xo)(v) 0, i I(xo) } Biờn son: Dng Duc Duy 2.Nún tip xỳc k v nún tip xỳc Clarke: Nún tip xỳc k ca M ti xo l: d(x o + t.v, M ) =0 } t t T bM (x o ) = { v X : lim Nún tip xỳc Clarke ca M ti xo l: CM(xo) = { v X : lim t0 x xo d(x + t.v, M ) =0 } t Mnh 3: i) CM(xo) T bM (x o ) TM(xo) ii) T bM (x o ) l nún úng. iii) CM(xo) l nún li úng. iv) CM(xo) + T bM (x o ) T bM (x o ) v CM(xo) + TM(xo) TM(xo) Mnh 4: Nu M l li khụng gian nh chun X thỡ x M : CM(xo) = T bM (x o ) = TM(xo) II.o hm ca hm a tr: Cho X, Y l khụng gian nh chun, F: X Y GraphF = GrF = { (x, y) XìY : y F(x) } 1.o hm Contigent: (o hm Bouligand) o hm Contigent ca F: X Y ti (x, y) GraphF l ỏnh x a tr DF(x, y): X Y u DF(x, y)(u) = { v Y: (u, v) TGr F (x, y) } 2.o hm k: o hm k ca F: X Y ti (x, y) GraphF l ỏnh x a tr DbF(x, y): X Y u DbF(x, y)(u) = { v Y: (u, v) T bGr F (x, y) } 3.o hm Clarke: o hm Clarke ca F: X Y ti (x, y) GraphF l ỏnh x a tr CF(x, y): X Y u CF(x, y)(u) = { v Y: (u, v) CGr F (x, y) } Biờn son: Dng Duc Duy 4.Nhn xột: i) CF(x, y) DbF(x, y) DF(x, y) ii) Nu F l n tr f : X Y kh vi Frechet ti x thỡ Dbf( x, f (x)) = Df( x, f (x)) = { f (xo)(u)} iii) Nu F l n tr f : X Y kh vi liờn tc ti x thỡ Cf( x, f (x)) = Cfx(u) = { f (xo)(u)} Chỳ ý: Cỏc nún TM(xo) , T bM (x o ) v CM(xo) l trựng nu mt hai iu sau tha món: M l li. M l nghim ca mt h bt ng thc ( ng thc ) co bi cỏc hm trn tha mt iu kin chớnh quy no ú ( thng l iu kin chớnh quy iii ca mnh 2) Bi 6: y Xột F (x) = { y : x2 + y2 v y = x3 } , x Hóy xỏc nh CFz ,DbFz v DFz vi z = (1 ; 1) Bi lm: Bc 1: Xỏc nh GrF v xỏc nh xem z cú thuc GrF -1 Ta cú GrF = {(x, y)| x2 + y2 v y = x3 } = {(x, y)| x2 + y2 v y - x3 = } -1 z = (1, 1) M = GrF Bc 2: Tớnh TM(z) ( thc hin bc ny, ta x dng mnh ) t g1(x, y) = x2 + y2 v g2(x, y) = y - x3 l cỏc hm trn, liờn tc trờn I(z) = { i {1, 2}: gi(xo) = 0} Do g1(z) = v g2(z) = Nờn I(z) = {1; 2} ( tha iu kin ca ii hoc iii mnh 2) ( tip theo xột xem bi toỏn tha iu kin no hai iu kin ii v iii : thng l iu kin iii tỡm TM(z) ) v = (v1, v2) : g1 g2 g1 g2 (x, y) = 2x , (x, y) = -3x v (x, y) = 2y , (x, y) = x x y y x Biờn son: Dng Duc Duy g1 g2 g1 g2 (z) = , (z) = -3 v (z) = , (z) = x x y y g1(z)(v) = g1 g1 (z) .v1 + (z) .v2 = 2v1 + 2v2 x y v g2(z)(v) = g2 g2 (z) .v1 + (z) .v2 = - 3v1 + v2 x y Vi vo= (1, -2): g1(z)(vo) = -2 < v g2(z)(vo) = -5 < ( tha iu kin chớnh quy iii ) Do ú, theo mnh 2: TM(z) = { v = (v1, v2) : g1(z)(v) v g2(z)(v) = 0} = { v = (v1, v2) : 2v1 + 2v2 v -3v1 + v2 = 0} = { v = (v1, v2) : v1 v v2 = 3v1} = CM(xo) = T bM (x o ) Bc 3: Tớnh DFz(u) , CF(x, y) v DbF(x, y) DFz(u) = { v | (u, v) TM(z) } = { v | u v v = 3u } = CF(x, y) = DbF(x, y) Biờn son: Dng Duc Duy Chng 4: Bao Hm Thc Vi Phõn I. Khỏi nim: Vi phng trỡnh vi phõn, ta thng gp cỏc dng: x'(t) = f (x) x(t) = f (t, x) Vi t [ , ] , x(t) n f : [ , ]ì n n Vi iu kin u cho trc: x(to) = xo , to [ , ] , xo n Cỏc phng trỡnh trờn cú th khụng tn ti nghim (c in, suy rng) tha iu kin cho trc. Mt hng nghiờn cu ca vi phõn l xột bao hm thc: x'(t) F(x(t)) (1) x(t) G(t, x(t)) (2) Trong ú, t [0, T] = I F: D n n G: IìD n (1) v (2) c gi l bao hm thc vi phõn Thụng thng ngi ta xột cỏc bi toỏn: x'(t) F(x(t)) (1) x(0) = xo (3) x(t) G(t, x(t)) (2) x(0) = xo (3) hay Trong ú, xo cho trc. [...]... và GraphF là một tập lồi ∀x1 ; x2 ∈ X, ∀y1 ∈ F(x1), ∀y2 ∈ F(x2): (x1, y1) , (x2, y2) ∈ GraphF ⇒ 1 1 1 1 1 1 (x1, y1) + (x2, y2) = ( x1 + x2, y1 + y2) ∈ GraphF 2 2 2 2 2 2 ⇒ 1 1 1 1 1 1 y1 + y2 = (y1 + y2) ∈ F( x1 + x2) = F(x1 + x2) (theo ii) 2 2 2 2 2 2 ⇒ y1 + y2 ∈ F(x1 + x2) ⇒ F(x1) + F(x2) ⊂ F(x1 + x2) (⇐) F là một quá trình và ∀x1 ; x2 ∈ X : F(x1) + F(x2) ⊂ F(x1 + x2) • F là một quá trình ⇒ GraphF... ∀v = (v1, v2) ∈  2 :  g1  g2  g1  g2 (x, y) = 2x , (x, y) = -3x 2 và (x, y) = 2y , (x, y) = 1 x x y y x Biên soạn: Dương Duốc Duy ⇒  g1  g2  g1  g2 (z) = 2 , (z) = -3 và (z) = 2 , (z) = 1 x x y y ⇒ g1’(z)(v) =  g1  g1 (z) v1 + (z) v2 = 2v1 + 2v2 x y và g2’(z)(v) =  g2  g2 (z) v1 + (z) v2 = - 3v1 + v2 x y Với vo= (1, -2) : g1’(z)(vo) = -2 < 0 và g2’(z)(vo) = -5 < 0 ( thỏa mãn... x2 ∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1], ∀y1 ∈ F(x1) và ∀y2 ∈ F(x2): (x1, y1), ( x2, y2) ∈ GraphF ⇒ (αx1 + (1 – αx2); αy1 + (1 – αy2)) = α(x1, y1) + (1 – α)( x2, y2) ∈ GraphF ⇒ αy1 + (1 – αy2) ∈ F(αx1 + (1 – αx2)) ⇒ α.F(x1) + (1 - α).F(x2) ⊂ F(α.x1 + (1 - α).x2) (⇐) ∀x1; x2 ∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1]: α.F(x1) + (1 - α).F(x2) ⊂ F(α.x1 + (1 - α).x2) ∀(x1, y1), ( x2, y2) ∈ GraphF, ∀α ∈ [0, 1] : x1, x2 ∈ DomF, y1 ∈ F(x1) và y2... α)x2 )2 = (   x1 + 1 –  1 –  x2 )2 2 ≤ ( α + 1 - α).( α x1 + (1 – α) x2 ) 2 ≤ α.y1 + (1 – α).y2 ⇒ α.y1 + (1 – α).y2 ∈ F(α.x1 + (1 – α)x2) ⇒ (α.x1 + (1 – α)x2, α.y1 + (1 – α).y2) ∈ GraphF ⇒ α.(x1 ; y1) + (1 – α).(x2 ; y2) ∈ GraphF ⇒ GraphF là tập lồi ⇒ F lồi ♦ Xét ((xn, yn))n ⊂ GraphF sao cho lim(xn, yn) = (x, y) ∈ Y×X ⇒ limxn = x và limyn = y Mà, ∀n ∈ ℕ: x 2  y n ⇒ limx2  lim y n n n Nên, x2 ≤... } ∀(y1, x1), (y2, x2) ∈ GraphF-1, ∀α ∈ [0, 1]: y1 ∈ F(x1) và y2 ∈ F(x2) ⇒ (x1, y1), (x2, y2) ∈ GraphF ⇒ α.(x1 ; y1) + (1 – α).(x2 ; y2) ∈ GraphF ⇒ (α.x1 + (1 – α)x2, α.y1 + (1 – α).y2) ∈ GraphF ⇒ α.y1 + (1 – α).y2 ∈ F(α.x1 + (1 – α)x2) Biên soạn: Dương Duốc Duy -1 ⇒ α.x1 + (1 – α)x2 ∈ F (α.y1 + (1 – α)y2) ⇒ (α.y1 + (1 – α)y2, α.x1 + (1 – α)x2) ∈ GraphF-1 ⇒ α.(y1; x1) + (1 – α).(y2 ; x2) ∈ GraphF-1 Do... ; y2 ∈ Y, ∀x2 ∈ F-1(y2): y2 ∈ F(x2) Đặt u = y1 – y2 và áp dụng (*),∃e ∈ F-1(u): ||e|| ≤ 1 1 ||u|| ⇒ e ∈ BY(0, ||u||)   ⇒ x1 = x2 + e ∈ F-1(y2) + F-1(y1 – y2) ⊂ F-1(y1) ⇒ x2 = x1 - e ∈ F-1(y1) – e ⊂ F-1(y1) + BY(0, ⇒ x2 ∈ F-1(y1) + 1 || y1 – y2|| BY(0, 1)  ⇒ F-1(y2) ⊂ B(F-1(y1), 1 ||y1 – y2||)  Vậy, F-1 là ánh xạ đa trị Lipschitz 1 ||u||)  1 d(y, F(0))  Biên soạn: Dương Duốc Duy Bài tập 5: Cho. .. o ) = TM(xo) M II.Đạo hàm của hàm đa trị: Cho X, Y là 2 không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y GraphF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(x) } 1.Đạo hàm Contigent: (đạo hàm Bouligand) Đạo hàm Contigent của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị DF(x, y): X ⇉ Y u ↦ DF(x, y)(u) = { v ∈ Y: (u, v) ∈ TGr F (x, y) } 2. Đạo hàm kề: Đạo hàm kề của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị DbF(x, y): X ⇉ Y u...Biên soạn: Dương Duốc Duy G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị Lúc đó: ♦ Hàm Marginal chính là hàm số cho bởi công thức: V: Y → ℝ y ↦ V(y) = sup W(x, y) x G(y) ♦ Ánh xạ Marginal chính là ánh xạ đa trị cho bởi công thức: M: Y → X Y ↦ M(y) = {x ∈ X: W(x,y) = V(y)} 2. Định lý 2: Cho X, Y là hai không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị và G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị Nếu W(x, y)  W(xo ,yo ) ) liminf i) W nữa... hiện bước 2 này, ta xử dụng mệnh đề 2 ) • Đặt g1(x, y) = x2 + y2 – 2 và g2(x, y) = y - x3 là các hàm trơn, liên tục trên  2 I(z) = { i ∈ {1, 2} : gi(xo) = 0} Do g1(z) = 0 và g2(z) = 0 Nên I(z) = {1; 2} ≠ ∅ ( thỏa điều kiện của ii hoặc iii trong mệnh đề 2) ( tiếp theo xét xem bài toán thỏa mãn điều kiện nào trong hai điều kiện ii và iii : thường là điều kiện iii để tìm TM(z) ) • ∀v = (v1, v2) ∈  2 : ... Do đó, theo mệnh đề 2: TM(z) = { v = (v1, v2) ∈  2 : g1’(z)(v) ≤ 0 và g2’(z)(v) = 0} = { v = (v1, v2) ∈  2 : 2v1 + 2v2 ≤ 0 và -3v1 + v2 = 0} = { v = (v1, v2) ∈  2 : v1 ≤ 0 và v2 = 3v1} = CM(xo) = T b (x o ) M Bước 3: Tính DFz(u) , CF(x, y) và DbF(x, y) DFz(u) = { v ∈ ℝ| (u, v) ∈ TM(z) } = { v ∈ ℝ| u ≤ 0 và v = 3u } = CF(x, y) = DbF(x, y) Biên soạn: Dương Duốc Duy Chương 4: Bao Hàm Thức Vi Phân I . 2: Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị. Nếu F có giá trị đóng và usc trên X thì F đóng. ♦Định lý 1: Cho X, Y là hai không gian mêtric. F, G: X  Y là các ánh xạ đa. hai không gian mêtric, G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị chặt, lsc. Lúc đó, hàm số: H: X×Y → ℝ (x, y) ↦ H(x,y) = d(G(x), y) Là usc 4.Định lý 3: Cho X, Y là hai không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là. compact, Y là không gian mêtric, W: X×Y → ℝ là hàm đơn trị usc và G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị. Lúc đó, hàm marginal V là hàm usc. 6.Định lý 4: Cho X, Y là hai không gian mêtric. Nếu i) W: X×Y →