Biên Soạn: Dương Quốc Duy Chương 1: Gradient Suy Rộng Trong Không Gian Banach I. Kiến Thức liên Quan: 1.Phiếm hàm tuyến tính: Ánh xạ f : X → ℝ gọi phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn hai tính chất i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ( cộng tính ) ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ. f (x) ( dương ) 2.Phiếm hàm tuyến tính: Ánh xạ f : X → ℝ gọi phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn hai tính chất i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) = f (x) + f (y) ( cộng tính ) ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ. f (x) ( dương ) 3. Hàm liên tục Lipschitz: ( hàm Lipschitz ) Ánh xạ f : X → ℝ gọi liên tục Lipschitz ∃L > 0, ∀x; y ∈ X : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y|| Lúc đó, L gọi lầ số Lipschitz • Ánh xạ f : X → ℝ gọi Lipschitz địa phương ∀xo ∈ X, ∃δ > 0, ∃L > 0, ∀x; y ∈ B(xo, δ) : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y|| VD: a) Nếu f :  n → ℝ phiếm hàm tuyến tính f Lipschitz b) f (x) = x2 phiếm hàm Lipschitz địa phương không Lipschitz II. Đạo hàm theo hướng suy rộng gradient suy rộng: 1. Đạo hàm theo hướng suy rộng : Cho f : X → ℝ hàm Lipschitz lân cận xo ∈ X với số L ( sau ta nói ngắn gọn Lipschitz gần xo ) ∀v ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm theo hướng suy rộng f xo theo hướng v là: f o(xo, v) = lim sup x  xo t  0+ f (x + tv) - f (x) t • f o(xo, v) tồn f : X → ℝ hàm Lipschitz lân cận xo ∈ X ♦ Nhắc lại: Đạo hàm theo hướng (nếu có) hàm f :  n → ℝ giới hạn f ' (xo, v) = lim + sup t 0 f (x o + tv) - f (x) t ( Giới hạn không tồn lúc đạo hàm theo hướng ) Biên Soạn: Dương Quốc Duy ♦ Chú ý: lim sup f (x)  lim  • x  xo • f (x) sup   x  B(x o ,  ) f o(xo, v) = lim sup x  xo t  0+ f (x + tv) - f (x) f (x + tv) - f (x) = lim sup + t t   x  B(x o ,  ) t  (0,  ) Bài tập 1: Cho f (x) = - |x| tính f ’(0, 1) f o(0, 1) Bài làm: • ∀t > 0, đặt g(t) = f (0 + t.1) - f (0) = -1 t ⇒ f ’(0, 1) = lim + g(t) = -1 t 0 • ∀t > 0,∀x ∈ X, đặt h(t, x) = -x+t + x f (x + t.1) - f (x) = t t Ta có, f (x) = - |x| hàm Lipschitz nên tồn giới hạn: lim sup h(t, x) x  xo t  0+ Chọn dãy xn = - n tn = n → n → ∞ → 0+ n → ∞ Ta có: h(tn, xn) = → n → ∞ f o(0, 1) = lim sup h(t, x) = Nên x  xo t  0+ 2.Mệnh đề 1: Cho f Lipschitz gần xo với số L > 0. Lúc đó: i) f o(xo, .) hữu hạn, lồi, dương X | f o(xo, v )| ≤ K.||v|| ,∀v ∈ X ii) Hàm hai biến f o( . , .) nửa liên tục (xo, v) hàm biến f o(xo, .) Lipschitz với số L X. iii) f o(xo, - v) = - f o(xo, v) ,∀v ∈ X. Biên Soạn: Dương Quốc Duy Bài tập 2: o o Tính f (0, 1) f (0, -1) biết 1  x f (x) =  -2x  neáu x  y neáu x < Bài làm: f o(xo, v) = lim sup   + x  B(x o ,  ) t  (0,  ) f (x + tv) - f (x) t ♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ) Đặt 1 2 f (x + t) - f (x)  g(x, t) = = -2 t  5.x  +  2.t ⇒ -1 neáu  x   x neáu -  x  - t < neáu -  -t  x < sup g(x, t) = x  (-δ, δ) t  (0,  ) ⇒ f o(0, 1) = lim +  sup g(x, t) = x  (-δ, δ) t  (0,  ) ♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ) Đặt  2  f (x - t) - f (x)  5.x h(x, t) = = 2 t 2.t    ⇒ neáu -  x  neáu  x  t <  neáu  t  x <  sup h(x, t) = x  (-δ, δ) t  (0,  ) ⇒ f o(0, -1) = lim + sup g(x, t) =   x  (-δ, δ) t  (0,  ) Bài tập 3: Cho f g hai hàm Lipschitz gần x ∈ X. Chứng minh (f + g)o(x, v) = fo(x, v) + go(x, v) ,∀v ∈ X Biên Soạn: Dương Quốc Duy Bài làm: ♦ f, g hai hàm Lipschitz gần x ⇒ ∃δf ; δg > 0, ∃Lf ; Lg > 0, ∀z1 ; y1 ∈ B(x, δf ), ∀z2 ; y2 ∈ B(x, δg ): | f(z1) – f(y1) | ≤ Lf.|| z1 – y1 || | g(z2) – g(y2) | ≤ Lg.|| z2 – y2|| Đặt L = L f + Lg > Δ = min{ δf ; δg} > Khi ∀z, y ∈ B(x, δ) ⊂ B(x, δf )∩ B(x, δg ): | f(z) – f(y) | ≤ Lf.|| z – y || | g(z) – g(y) | ≤ Lg.|| z – y|| ⇒ |(f + g)(z) – (f + g)(y)| = | f(z) – f(y) + g(z) – g(y)| ≤ | f(z) – f(y)| + |g(z) – g(y)| ≤ Lf.|| z – y || + Lg.|| z – y|| ≤ L.|| z – y || ⇒ f + g hàm Lipschitz gần x Nên tồn (f + g)o(x, v) = lim sup yx t  0+ (f + g)(y + tv) - (f + g)(y) ,∀v ∈ X t ♦ ∀v ∈ X :  f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)  (f + g)o(x, v) = lim sup    yx t t   + t 0 f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)   ≤ lim  sup  sup  yx  t t  + t 0 ≤ lim sup yx t  0+ f (y + tv) - f (y)  t lim sup yx t  0+ g (y + tv) - g (y) t ≤ fo(x, v) + go(x, v) 3.Dưới Gradient suy rộng: (dưới vi phân theo nghĩa Clake) Cho f : X → ℝ hàm Lipschitz lân cận x ∈ X với số L. Khi đó, vi phân Gradient f xo Biên Soạn: Dương Quốc Duy  C f (x) = { x* ∈ X*: ≤ f o(x, v) ,∀v ∈ X } 4.Mệnh đề 2: i)  C f (x) ≠ ∅, lồi, compact yếu * ||x*|| ≤ L ,∀x* ∈ X* ii) f o(x, v) = max{ : x* ∈  f (x) } C 5.Mệnh đề 3: Cho f :  n → ℝ hàm Lipschitz lân cận xo ∈  n . Nêu Ω ⊂  n , μ(Ω) = Ω f = {xo ∈  n : f không khả vi xo }  C f (xo) = co{ lim ∇ f (xi) : (xi)i ⊂  n \( Ω∪Ω f ) , lim xi = xo } i i ♦ Chú ý: • Nếu f g Lipschitz địa phương gần xo max{ f , g}, min{ f , g}, f + g, α f, f .g Lipschitz địa phương gần xo. • Nếu f khả vi liên tục lân cận x f Lipschitz địa phương x f o(x, v) = < f ’(x), v> , ∀v ∈ X  c f (x) = { f ’(x)} , f ’(x) ≡ ∇f (x) Bài tập 5: Cho f (x, y) = max{ x2 – y, x + y, -3x + 2y + 5} a) Chứng minh f Lipschitz địa phương  . b) Tính  c f(1,1) ,  c f(2,1),  c f(0, 0) Bài làm: a) Đặt • f1(x, y) = x2 – y ⇒ Df1(x, y) = (2x, -1) • f2(x, y) = x + y ⇒ Df2(x, y) = ( , 1) • f3(x, y) = -3x + 2y + ⇒ Df3(x, y) = (-3, 2) Ta có Df1(x, y), Df2(x, y), Df3(x, y) hàm liên tục Nên f1, f2, f3 hàm khả vi liên tục nên Lipschitz địa phương  ⇒ f(x, y) = max{f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)} Lipschitz địa phương  Biên Soạn: Dương Quốc Duy b) ♦ Đặt • C1 = { (x, y) ∈  : x2 – y ≥ x + y x2 – y ≥ -3x + 2y + 5} = { (x, y) ∈  : x2 – x ≥ 2y x2 + 3x – ≥ 3y} • C2 = { (x, y) ∈  : x + y ≥ x2 – y x + y ≥ -3x + 2y + 5} = { (x, y) ∈  : x2 – x ≤ 2y 4x - ≥ y} • C3 = { (x, y) ∈  : -3x + 2y + ≥ x2 – y -3x + 2y + ≥ x + y} = { (x, y) ∈  : x2 + 3x - ≤ 3y 4x - ≤ y} Ta có:  x2 - y neáu (x,y)  C1  f (x, y)   x + y neáu (x,y)  C2  -3x + 2y + neáu (x,y)  C  Và Và C1 ∪ C2 ∪ C3 = ℝ2 ♦ + ∀(x, y) ∈ ℝ2, đặt • f1(x, y) = x2 – y • f2(x, y) = x + y • f3(x, y) = -3x + 2y + + Đặt Ω = C1  C2  C3 (  C1 : biên tập C1 ) ⇒ μ(Ω) = ( độ đo Ω ) • Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω + • Nếu (x, y) ∈ C1 ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = (2x, -1) • Nếu (x, y) ∈ C2 ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = (1, 1) • Nếu (x, y) ∈ C3 ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-3, 2) ♦ Ta có + (1, 1) ∉ C1, (1, 1) ∉ C2 (1, 1) ∈ C3 ⇒  c f(1,1) = co{∇f3(1, 1)} = {(-3, 2)} + (2, 1) ∈ C1, (2, 1) ∈ C2 (2, 1) ∉ C3 ⇒  c f(2, 1) = co{∇f1(2, 1), ∇f2(2, 1)} = co{(4, -1), (1, 1)} + (0, 0) ∉ C1, (0, 0) ∉ C2 (0, 0) ∈ C3 ⇒  c f(0, 0) = co{∇f3(0, 0)} = {(-3, 2)} Biên Soạn: Dương Quốc Duy II. Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến: 1. Hàm khoảng cách: Cho S tập đóng khác roogx không gian Banach X. Ta định nghĩa hàm khoảng cách từ điểm x ∈ X đến S dS(x) = inf ||x - s|| s S • Nếu X =  n dS(x) = inf (s1 - x1 )2 + (s - x ) + . + (s n -x n )2 s S 2.Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến: ♦ Nón tiếp xúc tập S điểm a ∈ S o TS(a) = {v ∈ X : dS (a, v) = } ♦ Nón pháp tuyến tập S a ∈ S NS(a) = { x* ∈ X* : < x*, v > ≤ ,∀v ∈ TS(a)} ♦ Mệnh đề 4: Nếu S tập lồi a ∈ S i) TS(a) = {  (S - a):   } ii) NS(a) = { x* ∈ X* : < x*, a’ - a > ≤ ,∀a’ ∈ S } -------------------------------------------------------------------------------------------Quá Trình Tìm Dưới Gradient Suy Rộng Và Đạo Hàm Theo Hướng Suy Rộng Đối Với Hàm Hai Biến Tại (xo, yo) (chúng ta sử dụng f hàm lipschitz lân cận (xo,yo) ∈ C1∩C2∩C3 ) Bước 1: xác định tường minh hàm f dạng  f1 ((x, y)) , (x,y)  C1  f ((x, y))   f ((x, y)) , (x,y)  C2  f ((x, y)) , (x,y)  C  Trong C1 ∪ C2 ∪ C3 = ℝ2 Bước 2: • Đặt Ω = C1  C2  C3 (  C1 : biên tập C1 ) ⇒ μ(Ω) = ( độ đo Ω ) Biên Soạn: Dương Quốc Duy • Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω Bước 3: tìm gradien • Nếu (x, y) ∈ C1 ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = ? • Nếu (x, y) ∈ C2 ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = ? • Nếu (x, y) ∈ C3 ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = ? Nên D = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (xo, yo) (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ } = { ∇f1(xo , yo), ∇f2(xo , yo), ∇f3(xo , yo)} ⇒  C f (x o , yo ) = coD Bước 4: Tìm đạo hàm suy rộng o f ((x o ,yo ),(u,v))  max{x.u + y.v : (x,y)  C f (x o , yo )} Bài tập 1.15 : Tính  C f (0,0) với f (x, y) = max{min{x, - y}, y - x} Bài làm : * ∀(x, y) ∈ ℝ2, đặt f1(x,y) = x f2(x, y) = -y f3(x, y) = y – x • f (x, y) = f1(x,y) ⇔ y - x ≤ x ≤ - y ⇔ (x , y) ∈ C1 = { (x,y) : y ≤ - x y ≤ 2x } • f (x, y) = f2(x,y) ⇔ y - x ≤ - y ≤ x ⇔ (x , y) ∈ C2 = { (x,y) : y ≥ - x y ≤ x / 2} • f (x, y) = f3(x,y) ⇔ y - x ≥ x y - x ≥ - y ⇔ (x , y) ∈ C3 = { (x,y) : y ≥ 2x y ≥ x/2 } x  Do đó, f (x,y) = - y y - x  neáu (x, y)C1 neáu (x, y) C2 neáu (x, y)C3 Và C1 ∪ C2 ∪ C3 = ℝ2 , (0,0) ∈ C1∩C2∩C3 * Đặt Ω = C1  C2  C3 (  C1 : biên tập C1 ) ⇒ μ(Ω) = ( độ đo Ω ) • Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω Biên Soạn: Dương Quốc Duy * • Nếu (x, y) ∈ C1 ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = (1, 0) • Nếu (x, y) ∈ C2 ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = (0, -1) • Nếu (x, y) ∈ C3 ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-1, 1) Nên D = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (0, 0) (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ } = { ∇f1(0, 0), ∇f2(0 , 0), ∇f3(0 , 0)} ⇒  C f (x o , yo ) = coD = co{ (1, 0), (0, -1), (-1, 1) } Bài 1.18 : o Cho hàm f (x,y) = x - y - x - 2y + . Xác định  c f (0,0),  c f (1,1) f ((1 , 1),(-1, 2)) Bài làm :  x2 - x + y -   x + x - 3y + f (x, y)    -x - x + 3y -   -x + x - y + neáu x  y  vaø x - 2y +  neáu x2  y  vaø x - 2y +  neáu x2  y  vaø x - 2y +  neáu x  y  vaø x - 2y +  ♦ Đặt C1 = { (x,y) : x  y  vaø x - 2y +  } C2 = { (x,y) : x  y  vaø x - 2y +  } C3 = { (x,y) : x  y  vaø x - 2y +  } C4 = { (x,y) : x  y  vaø x - 2y +  } ⇒ C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 = ℝ2 ♦ Đặt Ω = C1  C2  C3  C4 (  C1 : biên tập C1 ) ⇒ μ(Ω) = ( độ đo Ω ) • Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω ♦ • Nếu (x, y) ∈ C1 ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = (2x - 1, 1) • Nếu (x, y) ∈ C2 ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = (2x + 1, -3) • Nếu (x, y) ∈ C3 ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-2x - 1, 3) • Nếu (x, y) ∈ C4 ∇f(x, y) = ∇f4(x, y) = (-2x + 1, -1) ♦ Ta có : Biên Soạn: Dương Quốc Duy • f (0, 0) = f1(0, 0) = f3(0, 0) = -1 ≠ f2(0, 0) = f4(0, 0) = Nên với D1 = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (0, 0) (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ } = { ∇f1(0, 0), ∇f3(0 , 0)}= { (-1, 1), (-1, 3)} ⇒  c f (0,0) = co{ (-1, 1), (-1, 3)} • f (1, 1) = f1(1, 1) = f2(1, 1) = f3(1, 1) = f4(1, 1) = Nên với D2 = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (1, 1) (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ } = { ∇f1(1,1), ∇f2(1,1), ∇f3(1,1), ∇f4(1,1)}= {(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)} y ⇒  c f (1,1) = co{(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)} o ⇒ f ((1,1),(-1,2))  max{ (x, y), (-1, 2) : (x,y)   c f (1,1)} -x + 2y = Mà -1 • (1, 1), (-1, 2) = • (-3, 3), (-1, 2) = • (3, -3), (-1, 2) = -9 • (-1, -1), (-1, 2) = -1 -3 -1 x -3 o Nên : f ((1, 1),(-1,2 ))  Bài tập 6: Cho S = {(x,y)∈ ℝ : ( Dùng định nghĩa xác định + ≤ 1) ( ≤ ℎ ặ (0,0), ≤ 0)} (0,1) Bài làm: y ♦ Ta có 0  x y  dS(x, y) =  (x - 1) + y   2  x + (y - 1)  2  x + y - neáu (x, y)  C1 C5 C6 neáu (x, y)  C2 neáu (x, y)  C3 C4 C3 C2 neáu (x, y)  C neáu (x, y)  C5 neáu (x, y)  C6 x C1 Trong đó: • C1 = {(x, y) ∈ ℝ : x2 + y2 ≤ (x ≤ y ≤ 0) } • C2 = {(x, y) ∈ ℝ : ≤ x ≤ y ≤ 1} • C3 = {(x, y) ∈ ℝ : ≤ y ≤ x ≤ 1} • C4 = {(x, y) ∈ ℝ : ≤ y ≤ x x ≥ 1} 10 Biên Soạn: Dương Quốc Duy • C5 = {(x, y) ∈ ℝ : ≤ x ≤ y y ≥ 1} • C6 = {(x, y) ∈ ℝ : x2 + y2 ≥ (x ≤ y ≤ 0) } ⇒ C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6 =  ♦ • Đặt Ω = ∂C1∪∂C2∪∂C3∪∂C4∪∂C5∪∂C6 ⇒ μ(Ω) = • Ωd ⊂ Ω ⇒ Ωd ∪ Ω = Ω S S ♦ ∀(x, y) ∈  , đặt : • g1(x, y) = ⇒ ∇g1(x, y) = (0, 0) • g2(x, y) = x ⇒ ∇g2(x, y) = (1, 0) • g3(x, y) = y ⇒ ∇g3(x, y) = (0, 1) • g4(x, y) = • g5(x, y) = • g6(x, y) = (x - 1) + y x + (y - 1)  x-1 y ⇒ ∇g4(x, y) =  ,  (x - 1) + y (x - 1) + y      , (x, y) ≠ (1, 0)  x y-1 ⇒ ∇g5(x, y) =  ,  x + (y - 1)2 x + (y - 1)2      , (x, y) ≠ (0, 1)  x y ⇒ ∇g6(x, y) =  ,  x + y2 x + y2  x +y -1     , (x, y) ≠ (0, 0) ♦ Ta có: + (0, 0) ∈ C1∩C2∩C3 (0, 0) ∉ C4∪C5∪C6 Nên  cdS ((0,0)) = co{∇ g1(0, 0), ∇ g2(0, 0), ∇ g3(0, 0)} = co{(0, 0), (1, 0), (0, 1)} o ⇒ dS ((0,0), (u, v)) =  max  , (u, v) = max{0, u, v}   c d S ((0,0)) o ⇒ TS(0, 0) = {(u, v) ∈  : dS  (0, 0), (u, v) = } = {(u, v) ∈  : u ≤ v ≤ 0} + (0, 1) ∈ C1∩C3∩C5∩C6 (0, 0) ∉ C2∪C4  cdS ((0, 1)) = co{∇ g1(0, 1), ∇g3(0, 1), ∇g6(0, 1)} (do ∄ ∇g5(0, 1) ) = co{(0, 0), (0, 1), (0, 1)} Nên o ⇒ dS ((0,1), (u, v)) =  max  , (u, v) = max{0, u, v}   c d S ((0,1)) o ⇒ TS(0, 1) = {(u, v) ∈  : dS  (0, 1), (u, v) = } = {(u, v) ∈  : u ≤ v ≤ 0} 11 Biên Soạn: Dương Quốc Duy Chương 2: Phép Tính Xấp Xỉ Trong Không Gian Hilbert I. Pháp tuyến xấp xỉ: 1.Điểm chiếu: Cho X không gian Hilbert thực, < . , . > tích vô hướng. ∅ ≠ S ⊂ X. Điểm s ∈ S gọi hình chiếu x ∈ X lên ||x - s|| = dS(x) = inf{ ||x – s’|| : s’ ∈ S } ♦ Tập tất điểm chiếu x lên S kí hiệu projS(x). ♦ Nếu projS(x) có phần tử ta nói projS(x) đơn tử. 2.Mệnh đề 2.1: Cho S ⊂ X, x ∈ X s ∈ S. Các điều kiện sau tương đương: i) s ∈ projS(x). ii) < x - s , s’ - s > ≤ ||s’ - s||2 , ∀s’ ∈ S. iii) s ∈ projS(s + t(x - s)). ,∀t ∈ [0, 1] iv) dS(s + t(x - s)) = t.||x - s|| ,∀t ∈ [0, 1] 3.Pháp tuyến xấp xỉ: ♦ Cho x ∈ X s ∈ proj S (x), vectơ pháp tuyến xấp xỉ S s vectơ có dạng: ξ = t(x - s) ,t ≥ ♦ Nón pháp tuyến xấp xỉ S s ∈ X tập hợp: p N (s) = { ξ = t(x - s) | (x ∈ X cho s ∈ proj (x)) t ≥ 0} S S = { ξ ∈ X | ∃λ > 0: dS( s + λξ ) = λ||ξ|| } p • Nếu s ∈ S điểm chiếu điểm x nằm S N (s) = {0} S p • Quy ước N (s) = ∅ ,∀s ∉ S S 4.Mệnh đề 2.2: Cho S ⊂ X, s ∈ S. Khi đó: p i) ξ ∈ N (s) ⇔ ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S: ξ, s' - s  σ s' - s S p ii) ξ ∈ N (s) ⇔ ∃δ > 0, ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S∩(s, δ): ξ, s' - s  σ s' - s S 12 Biên Soạn: Dương Quốc Duy 5.Mệnh đề 2.3: Cho S tập lồi X. Khi đó: p i) ∀s ∈ S: ξ ∈ N (s) ⇔ ξ, s' - s  ,∀s’ ∈ S S p ii) Nếu X hữu hạn chiều N (s) ≠ ,∀s ∈ ∂S S ♦ Chú ý: Nếu S1 S2 hai tập chứa X thỏa s ∈ S1∩S2 ∃δ > cho p p S1∩B(s, δ) = S2∩B(s, δ) N (s) = N (s) S1 S2 • Diễn tả lời nghĩa S1 = S2 lân cận điểm s 6.Đa tạp khả vi: Tập S ⊂  n X gọi đa tạp khả vi S = { x ∈  n | hi(x) = ,i = 1, k } Với hi :  n → ℝ hàm khả vi thuộc lớp C1 ( C tập hàm khả vi liên tục) 5.Mệnh đề 2.4: Cho S đa tạp khả vi, s ∈ S hệ {∇hi(s) = ,i = 1, k } độc lập tuyên tính. Khi đó: p i) N (s) ⊂ span{∇hi(s) = ,i = 1, k } S (không gian sinh {∇ hi(s) = ,i = 1, k } ) ii) Dấu “ = ” xảy ⇔ hi ∈ C2 ,∀ i = 1, k (C : tập hàm khả vi liên tục cấp 2) ♦ Chú ý: p Để tìm N (s) ta sử dụng chủ yếu mệnh đề 2.3 ý mệnh đề với hai quy S y ước định nghĩa. Bài tập 2.4: S = {(x, y) ∈  + | x2 + y2 ≤ } a) S tập lồi nên theo mệnh đề 2.3: S • Với s1 = (0, 0) ∈ S: p ξ = (u, v)∈ N ((0, 0)) S x ⇔ ξ, s' - s1  ,∀s’ = (x, y) ∈ S 13 Biên Soạn: Dương Quốc Duy ⇔ (u, v), (x, y)  ,∀s’ = (x, y) ∈ S ⇔ ux + vy ≤ , ∀(x, y) ∈ S ⇔ u ≤ v ≤ ( S tập có x, y ≥ 0) p Vậy, N ((0, 0)) = {(u, v) ∈  : u ≤ v ≤ 0} S • Với s2 = (2, 0) ∉ S p ⇒ N ((2, 0)) = ∅ S S = {(x, y) ∈  | x2 + y2 ≥ |x| ≤ |y| ≤ 2} b) ♦ Với s1 = (0, 0) ∉ S: y p ⇒ N ((0, 0)) = ∅ S ♦ Với s2 = (2, 0) ∈ S S Đặt S’ = {(x, y) ∈  : |x| ≤ |y| ≤ 2} Chọn δ = 1/2 > S∩B((2, 0), δ) = S’∩B((2, 0), δ) p x p ⇒ N ((2, 0)) = N ((2, 0)) S S' + S’ tập lồi Với ξ = (u, v) ∈  : (u, v), (x - 2, y)  ⇔ u(x – 2) + vy ≤ ,∀ (x, y) ∈ S’ ,∀ (x, y) ∈ S’ (*) • Chọn (x, y) = (2, 1) ∈ S’ : v ≤ • Chọn (x, y) = (2, -1) ∈ S’: v ≥ Nên v = ⇒ (*) trở thành: u(x – 2) ≤ ,∀ (x, y) ∈ S’ (*) ⇔u≥0 p p Vậy, N ((2, 0)) = N ((2, 0)) = {(u, 0) ∈  : u ≥ 0} S S' 14 Biên Soạn: Dương Quốc Duy ♦ Với s3 = (1, 1) ∈ S\∂S : s3 điểm chiếu điểm x nằm S nên p N ((1, 1)) = {(0, 0)} S ♦ Với s4 = (2, 2) ∈ S\∂S : s3 điểm chiếu điểm x nằm S nên II. Dưới gradient xấp xỉ: 1.Khái niệm cũ: Từ ta giả thiết f : X → (-∞, +∞] • dom f = {x ∈ X: f (x) < +∞} • gr f = {( x, f (x) ): x ∈ dom f } • epi f = {(x, r) ∈ dom f × ℝ : r ≥ f (x)} • f gọi liên tục ( l.s.c) x ∈ X lim inf f (x)  f (x) x'  x • f gọi l.s.c tập U ⊂ X f l.s.c điểm x ∈ U. ℱ(U) = { f : f l.s.c U dom f ∩U ≠ ∅ } • Kí hiệu: ℱ = ℱ(X) = { f : f l.s.c X dom f ≠ ∅ } • f gọi lồi epi f tập lồi 2.Dưới gradient xấp xỉ: Cho f ∈ ℱ x ∈ dom f . Dưới gradient xấp xỉ f x vectơ ξ ∈ X thỏa mãn: P ( ξ , -1) ∈ N epi f ( x, f (x) ) ♦ Tập hợp tất gradient xấp xỉ f x gọi vi phân xấp xỉ f x kí hiệu P ∂P f (x) = { ξ ∈ X : ( ξ , -1) ∈ N epi f ( x, f (x) ) } epif = {(x, y) ∈  : y ≥ - |x| } ♦ (0, 0) ∈ grf điểm (x, y) nằm eipf có điểm chiếu (0, 0) nên Do y f(x) = -|x| VD: epi f P x N epi f (0, 0) = {(0, 0)} P -1 ∀ξ ∈ X : (ξ, -1) ∉ N epi f (0, 0) ⇒ ∂P f (0) = ∅ ♦ (1, - 1) ∈ epif 15 Biên Soạn: Dương Quốc Duy Xét S = { (x, y) ∈  : y ≥ -x x ≥ 0} Vơi δ = 1/2: epif ∩B( (1, -1), δ ) = S∩B( (1, -1), δ ) P P ⇒ N epi f (1, -1) = NS (1, -1) ∀(u, v) ∈  :  u, v  ,  x – 1, y + 1 ≤ ,∀(x, y) ∈ S ⇔ u(x – 1) + v(y + 1) ≤ ,∀(x, y) ∈ S (⇒) • Chọn (x, y) = ( 1, 0) ∈ S: v ≤ • Chọn (x, y) = (0, 0) ∈ S: v ≤ u • Chọn (x, y) = (2, -2) ∈ S: u ≤ v Nên u = v ≤ (⇐) Khi u = v ≤ 0: u(x – 1) + v(y + 1) = u(x + y) ≤ ,∀(x, y) ∈ S (do x + y ≥ 0) P P Vậy, N epi f (1, -1) = NS (1, -1) = {(x, x) ∈  : x ≤ 0} Do P ∀ξ ∈ ℝ: (ξ , -1) ∈ N epi f (1, -1) ⇔ ξ = -1 Vậy ∂P f (1) = {-1} 3.Định lý 2.5: Cho f ∈ ℱ x ∈ dom f . Lúc đó: ξ ∈ ∂P f (x) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (x) +  , y - x - σ||y - x||2 , ∀y ∈ B(x, δ) 4.Hệ 2.1: Cho f ∈ ℱ tập mở U ⊂ X. Lúc đó: i) Nếu f khả vi Gateaux x ∈ U ∂P f (x) ⊂ { fG’ (x)} ii) Nếu f ∈ C2(U) ∂P f (x) ⊂ { f ’(x)} iii) Nếu f lồi ξ ∈ ∂P f (x) ⇔ f (y) ≥ f (x) +  , y - x , ∀y ∈ X ♦ Chú ý: • Để tìm ∂P f (x) ta sử dụng chủ yếu định lý 2.5 hệ 2.1. • Những hàm không khả vi x thường có ∂P f (x) = ∅ ( dự đoán cá nhân cho tập, chưa phải dự đoán xác ) 16 Biên Soạn: Dương Quốc Duy Bài tập 2.8: tính ∂P f (x) a) f (x) = x ξ ∈ ∂P f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ. (y – 0)2 , ∀y ∈ (- δ, δ) ⇔ ∃δ, σ > 0: Chọn y ∈ (- δ, 0): ≤ ξ. y ≥ ξ. y – σ. y , ∀y ∈ (- δ, δ) y - σ. y. y = y ( ξ - σ.y) Cho y → 0: ≤ ( vô lý) Vậy, ∂P f (0) = ∅ b) f (x) = -|x| ( giải trước đó, ta sử dụng cách để giải dựa định lý 2.5 hệ 2.1) ♦ ξ ∈ ∂P f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ. (y – 0)2 , ∀y ∈ (- δ, δ) ⇔ ∃δ, σ > 0: - |y| ≥ ξ. y – σ. y , ∀y ∈ (- δ, δ) • chọn y ∈ (0, δ) : ⇒ - y ≥ ξ. y – σ. y , ∀y ∈ (0, δ) ⇒ ≤ - ξ + σ.y , ∀y ∈ (0, δ) Cho y → ≤ - ξ ⇒ ξ ≤ -1 • Chọn y ∈ (- δ, 0) : ⇒ y ≥ ξ. y – σ. y , ∀y ∈ (0, δ) ⇒ ≤ ξ - σ.y , ∀y ∈ (0, δ) Cho y → ξ ≥   1 Do đó,    ( vô lý) Vậy, ∂P f (0) = ∅ ♦ Ta có: f (x) = -|x| ∈ C2(0, +∞) ∈ (0, +∞) Nên ∂P f (1) = { f ’(1)} = { -1} 17 [...]... v) ∈  2 : u ≤ 0 và v ≤ 0} S • Với s2 = (2, 0) ∉ S p ⇒ N ( (2, 0)) = ∅ S S = {(x, y) ∈  2 | x2 + y2 ≥ 2 và |x| ≤ 2 và |y| ≤ 2} b) ♦ Với s1 = (0, 0) ∉ S: y p ⇒ N ((0, 0)) = ∅ S ♦ Với s2 = (2, 0) ∈ S S 2 Đặt S’ = {(x, y) ∈  : |x| ≤ 2 và |y| ≤ 2} Chọn δ = 1 /2 > 0 thì S∩B( (2, 0), δ) = S’∩B( (2, 0), δ) p 0 1 2 x p ⇒ N ( (2, 0)) = N ( (2, 0)) S S' + S’ là tập lồi Với ξ = (u, v) ∈  2 : (u, v), (x - 2, y) ... : x2 + y2 ≥ 1 và (x ≤ 0 hoặc y ≤ 0) } ⇒ C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6 =  2 ♦ • Đặt Ω = ∂C1∪∂C2∪∂C3∪∂C4∪∂C5∪∂C6 ⇒ μ(Ω) = 0 • Ωd ⊂ Ω ⇒ Ωd ∪ Ω = Ω S S ♦ ∀(x, y) ∈  2 , đặt : • g1(x, y) = 0 ⇒ ∇g1(x, y) = (0, 0) • g2(x, y) = x ⇒ ∇g2(x, y) = (1, 0) • g3(x, y) = y ⇒ ∇g3(x, y) = (0, 1) • g4(x, y) = • g5(x, y) = • g6(x, y) = 2 (x - 1) + y 2 x + (y - 1) 2  x-1 y ⇒ ∇g4(x, y) =  ,  (x - 1) 2 + y 2 (x - 1) 2 + y 2  2. .. =  ,  x 2 + (y - 1 )2 x 2 + (y - 1 )2  2     , (x, y) ≠ (0, 1)  x y ⇒ ∇g6(x, y) =  ,  x 2 + y2 x 2 + y2  2 x +y -1     , (x, y) ≠ (0, 0) ♦ Ta có: + (0, 0) ∈ C1∩C2∩C3 và (0, 0) ∉ C4∪C5∪C6 Nên  cdS ((0,0)) = co{∇ g1(0, 0), ∇ g2(0, 0), ∇ g3(0, 0)} = co{(0, 0), (1, 0), (0, 1)} o ⇒ dS ((0,0), (u, v)) =  max  , (u, v) = max{0, u, v}   c d S ((0,0)) o ⇒ TS(0, 0) = {(u, v) ∈  2 : dS  (0,... span{∇hi(s) = 0 ,i = 1, k } S (không gian con sinh bởi {∇ hi(s) = 0 ,i = 1, k } ) ii) Dấu “ = ” xảy ra ⇔ hi ∈ C2 ,∀ i = 1, k (C 2 : tập các hàm khả vi liên tục cấp 2) ♦ Chú ý: p Để tìm được N (s) ta sử dụng chủ yếu là mệnh đề 2. 3 và chú ý ở mệnh đề đó cùng với hai quy S y ước ở định nghĩa Bài tập 2. 4: 1 2 S = {(x, y) ∈  + | x2 + y2 ≤ 2 } a) S là tập lồi nên theo mệnh đề 2. 3: S • Với s1 = (0, 0) ∈ S:... σ y 3 y 2 = 3 y 2 ( ξ - σ.y) Cho y → 0: 1 ≤ 0 ( vô lý) Vậy, ∂P f (0) = ∅ b) f (x) = -|x| tại 0 và 1 ( bài này đã được giải trước đó, nhưng bây giờ ta sử dụng cách 2 để giải dựa trên định lý 2. 5 và hệ quả 2. 1) ♦ tại 0 ξ ∈ ∂P f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ (y – 0 )2 , ∀y ∈ (- δ, δ) ⇔ ∃δ, σ > 0: - |y| ≥ ξ y – σ y 2 , ∀y ∈ (- δ, δ) • chọn y ∈ (0, δ) : ⇒ - y ≥ ξ y – σ y 2 , ∀y ∈ (0, δ)... định lý 2. 5 và hệ quả 2. 1 • Những hàm không khả vi tại x thường có ∂P f (x) = ∅ ( đây chỉ là dự đoán cá nhân cho bài tập, chưa phải là dự đoán chính xác ) 16 Biên Soạn: Dương Quốc Duy Bài tập 2. 8: tính ∂P f (x) a) f (x) = 3 x tại 0 ξ ∈ ∂P f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ (y – 0 )2 , ∀y ∈ (- δ, δ) ⇔ ∃δ, σ > 0: 3 Chọn y ∈ (- δ, 0): 1 ≤ ξ 3 y ≥ ξ y – σ y 2 , ∀y ∈ (- δ, δ) y 2 - σ y 3 y 2 =... Nếu S1 và S2 là hai tập chứa trong X thỏa s ∈ S1∩S2 và ∃δ > 0 sao cho p p S1∩B(s, δ) = S2∩B(s, δ) thì N (s) = N (s) S1 S2 • Diễn tả bằng lời nghĩa là S1 = S2 trong một lân cận nào đó của điểm s 6.Đa tạp khả vi: Tập S ⊂  n X được gọi là đa tạp khả vi nếu S = { x ∈  n | hi(x) = 0 ,i = 1, k } Với hi :  n → ℝ là các hàm khả vi thuộc lớp C1 ( C 1 tập các hàm khả vi liên tục) 5.Mệnh đề 2. 4: Cho S là đa... = (u, v) ∈  2 : (u, v), (x - 2, y)  0 ⇔ u(x – 2) + vy ≤ 0 ,∀ (x, y) ∈ S’ ,∀ (x, y) ∈ S’ (*) • Chọn (x, y) = (2, 1) ∈ S’ : v ≤ 0 • Chọn (x, y) = (2, -1) ∈ S’: v ≥ 0 Nên v = 0 ⇒ (*) trở thành: u(x – 2) ≤ 0 ,∀ (x, y) ∈ S’ (*) ⇔u≥0 p p Vậy, N ( (2, 0)) = N ( (2, 0)) = {(u, 0) ∈  2 : u ≥ 0} S S' 14 Biên Soạn: Dương Quốc Duy ♦ Với s3 = (1, 1) ∈ S\∂S : s3 không phải là điểm chiếu của bất kì điểm x nào nằm... dS( s + λξ ) = λ||ξ|| } p • Nếu s ∈ S không phải là điểm chiếu của bất kì một điểm x nào nằm ngoài S thì N (s) = {0} S p • Quy ước N (s) = ∅ ,∀s ∉ S S 4.Mệnh đề 2. 2: Cho S ⊂ X, s ∈ S Khi đó: p i) ξ ∈ N (s) ⇔ ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S: ξ, s' - s  σ s' - s S p ii) ξ ∈ N (s) ⇔ ∃δ > 0, ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S∩(s, δ): ξ, s' - s  σ s' - s S 12 Biên Soạn: Dương Quốc Duy 5.Mệnh đề 2. 3: Cho S là tập lồi trong X Khi đó: p i)... (1, -1) = NS (1, -1) = {(x, x) ∈  2 : x ≤ 0} Do đó P ∀ξ ∈ ℝ: (ξ , -1) ∈ N epi f (1, -1) ⇔ ξ = -1 Vậy ∂P f (1) = {-1} 3.Định lý 2. 5: Cho f ∈ ℱ và x ∈ dom f Lúc đó: ξ ∈ ∂P f (x) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (x) +  , y - x - σ||y - x| |2 , ∀y ∈ B(x, δ) 4.Hệ quả 2. 1: Cho f ∈ ℱ và tập mở U ⊂ X Lúc đó: i) Nếu f khả vi Gateaux tại x ∈ U thì ∂P f (x) ⊂ { fG’ (x)} ii) Nếu f ∈ C2(U) thì ∂P f (x) ⊂ { f ’(x)} iii) . 12 Chương 2: Phép Tính Xấp Xỉ Trong Không Gian Hilbert I. Pháp tuyến xấp xỉ: 1.Điểm chiếu: Cho X là không gian Hilbert thực, < . , . > là tích vô hướng. ∅ ≠ S ⊂ X. Điểm s ∈ S được. f ' (x o , v) = o t 0 (x + tv) - (x) lim sup t  + f f ( Giới hạn có thể không tồn tại lúc đó không có đạo hàm theo hướng ) Biên Soạn: Dương Quốc Duy 2 ♦ Chú ý: • o o x x . f y -1 0 1 x ♦ Với s 3 = (1, 1) ∈ S∂S : s 3 không phải là điểm chiếu của bất kì điểm x nào nằm ngoài S nên p N ((1, 1)) S = {(0, 0)} ♦ Với s 4 = (2, 2) ∈ S∂S : s 3 không phải là điểm chiếu của bất