BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Bài 1: Cho số dương tùy ý x, y, z.CMR x y z + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z 1 1 1  = ≤  + ÷ 2x + y + z ( x + y ) + ( x + z )  x + y x + z  x 1 x x   ≤  + ÷  2x + y + z  x + y x + z   y 1 y y   1 x+ y y+z x+z ⇒ ≤  + + + ÷  ⇒ VT ≤  ÷= x + 2y + z  x + y y + z   4 x+ y y+z x+z  z 1 z z  =≤  + ÷ x + y + 2z  x + z y + z   Dấu “=” xảy x = y = z Bài 2: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = CMR: x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x  x2 + y + ≥ x 1+ y   y 1+ z + ( x + y + z ) 3( x + y + z ) − xyz − 3 + ≥ y  ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − = ≥ = 1+ z 4 4   z 1+ x + ≥z 1+ x  Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 3: Cho số không âm tùy ý x, y, z thõa mãn: x + y + z = . CM: + 4x + + y + + 4z ≥ 3 a = x  a, b, c > y Và : + a + + b + + c ≥ 3 (1) b = ⇒  abc =  c = z  1  16  Ta có : + a = + + a ≥ a ⇒ + a ≥ 3.a ⇒ VT(1) ≥ 3.  a + b + c ÷ ≥ 3. ( abc ) 18 = 3   Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 4: Cho số dương tùy ý a,b,c:Tìm giá trị nhỏ biểu thức c  a b A = 4(a + b3 ) + 4(b3 + c ) + 4(c + a ) +  + + ÷ a  b c 20 bất đẳng thức a b c  A = 4(a + b3 ) + 4(b3 + c ) + 4(c + a ) +  + + ÷ b c a  Vì :4(a + b3 ) ≥ (ab)3 ⇒ 4(a + b ) ≥ ab ⇒ 4(a + b3 ) + 4(b3 + c3 ) + 4(c + a ) ≥ ( ) ab + bc + ca ≥ abc 1    a b c  Và  + + ÷ ≥ ⇒ A ≥  abc + ÷ ≥ 12 ⇒ Min A = 12 abc abc  b c a   Dấu “=” xảy a = b = c = 1. Bài 5: Cho số dương tùy ý x,y,z. Tìm giá trị nhỏ biểu x  y  z  P = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷  zx   xy   yz  1  x2 + y + z x y2 z2 x2 + y2 + z x2 + y2 + z P= + + + = + = ( x2 + y + z )  + ÷ xyz xyz xyz xyz  xyz  Vì : x + y + z ≥ 3 ( xyz ) Và 1 1 1  + = 1 + + ÷≥ . xyz  xyz xyz  ( xyz ) 9 ⇒ P ≥ 3 ( xyz ) . . = ⇒ MinP = ( xyz ) 2 Dấu “=” xảy x = y = z =1 Bài 6: Cho số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng: P= x2 y2 z2 + + ≥1 x + y + y3 z y + z + z3 x z + x + x3 y x2 x3 Vì : = x + y + y z x + xy + y x3 − y x3 − y y3 − z3 z − x3 Mà : = x− y ⇒ + + =0 x + xy + y x + xy + y y + yz + z z + zx + x ⇔ x3 y3 z3 y3 z3 x3 + + = + + x + xy + y y + yz + z z + zx + x x + xy + y y + yz + z z + zx + x ⇔ 2P = Vì : x3 + y y3 + z z + x3 + + . x + xy + y y + yz + z z + zx + x x3 + y x − xy + y x − xy + y = ( x + y ) . m : ≥ x + xy + y x + xy + y x + xy + y Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ thức 20 bất đẳng thức ⇒ x +y x+ y ≥ ⇒ P = ( x + y + z ) ≥ xyz = ⇒ P ≥ 1. x + xy + y 3 Bài 7: Cho số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: a −c 1+a . 1+c ≤ a −b + a . +b + b −c +b . + c (*) a = tan α  b = tan β ⇒ (*) ⇔ sin(α − β ) + sin( β −γ ) ≥ sin(α −γ ) c = tan γ  Vì : sin(α − γ ) = sin [ (α − β ) + ( β − γ ) ] ) = sin(α − β )cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ ) ≤ sin(α − β ) cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ ) ≤ sin(α − β ) + sin( β − γ ) Bài 8: Cho số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2 = 1; c – d = 3. Chứng minh ac + bd − cd ≤ 9+6 A ( a; b ) ⇒ A ∈ (C ) : x + y = B ( c; d ) ⇒ B ∈ d : x − y = Ta có : AB = (a − c)2 + (b − d )2 = a + b + c + d − 2ac − 2bd = ( a + b ) + (c − d )2 − 2(ac + bd − cd ) = + − F Vì AB nhỏ A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O. 3 −2 22 −12 −1 = ⇒ AB ≥ 2 22 −12 11 − +6 ⇒10 − F ≥ ⇒5 − F ≥ ⇒F ≤ 4 ⇒ AB Min = OB − OA = Bài 9: Cho: a ≥ c ≥ 0; b ≥ c Chứng minh: c(a − c ) + c (b − c) ≤ ab r a= r b= r c, b −c ⇒ a = c +b −c = b r a −c, c ⇒ b = a −c + c = a rr r r Do : a.b ≤ a . b ⇔ c (a − c ) + c (b − c ) ≤ ab ( ( ) ) Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của: P= x y z + + 2 1−x 1− y 1−z2 Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 20 bất đẳng thức A   x = tan A B C  tan tan tan B  + + = ( t anA + tan B + tan C )  y = tan ⇒ P = A B C 2  − tan − tan − tan 2 2 C   z = tan  Vì :Trong ∆ABC ta có : t anA + tan B + tan C = t anA. tan B. tan C ≥ 3 t anA. tan B. tan C ⇒ t anA + tan B + tan C = t anA. tan B. tan C ≥ 3 ⇒ P ≥ 3 Dấu “=” xảy A=B=C=600 hay x = y = z = Bài 11: Cho x, y, z >1 thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Giải : Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz ⇒ 1 + + ≥2 x y z Đặt  x − = a  a , b, c > 1       ≥ 1 −  y −1 = b ⇒  1 ≥2⇔ ÷+ 1 − ÷ a +1  b +1   c +1 + + z −1 = c   a +1 b +1 c +1  ⇒ b c bc ≥ + ≥2 a +1 b +1 c +1 (b + 1)(c + 1) ca ab ≥2 ; ≥2 b +1 (c + 1)(a + 1) c + (a + 1)(b + 1) ⇒ abc ≥8 ⇒ abc ≤ ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ⇒ ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ≤ 1 ⇒ MaxA = 8 Bài 12. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y= − x4 + + x2 − − x2 + x2 − − x2 + Đặt: Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 20 bất đẳng thức  a , b > 2ab + a − b a = + x ⇒ ;y=  2 a −b + a + b =  b = − x t = ( a − b ) ≤ 12 + (−1)  a + b  =     Coi : t = a − b ⇒  −t2 + t y = t +2  t ∈ [ −2; 2] Max y = y (0) = t =   ⇒ ⇒ y ' = ⇔ ⇒ t = −4 < −2  lim y = −∞  t →−2  y = −t + −  t +2  Vậy hàm số đạt Max=1 không đạt Min. Bài 13. Cho số a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR: a − 12a + b − 8b + 52 + a + c + b + d − 2ac − 2bd + c + d − 4c + 8d + 20 ≥ Chọn A(a;b) B(c;d) ta có: M(6;4) N(2;-4) và:  A ∈ (d1 ) : x + y − =   B ∈ (d ) : x + y − = Ta có : a − 12a + b − 8b + 52 = ( a − 6) + ( b − ) = AM ( a − c) + ( b − d ) = AB a + c + b + d − 2ac − 2bd = c + d − 4c + 8d + 20 = ( c − 2) + ( d + ) = BN Mà : AM + AB + BN ≥ MN = (6 − 2) + (4 + 4) = Bài 14: Cho số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1. CMR: 9x 9y 9z 3x + y + z + + ≥ 3x + y + z y + z + x 3z + x + y  a = 3x a, b, c >   y ⇔ ab + bc + ca = abc b = ⇒  1 + + = c = z  a b c  a2 b2 c2 a3 b3 c3 Ta có :VT = + + = + + a + bc b + ca c + ab a + abc b + abc c + abc x2 y2 z2 + + Bài 15: Tìm Min của: H = y+z z+x x+ y Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 20 bất đẳng thức  x, y, z > Trong đó:  2 2 2  x + y + y + z + z + x = 2010 a = x + y  a, b, c >  2 Theo Bunhiacopxki ta có : b = y + z ⇒  a + b + c = 2010   c = z + x2   x + y ≤ 2( x + y ); y + z ≤ 2( y + z ); z + x ≤ 2( z + x ) ⇒H ≥ x2 2( y + z ) + y2 2( z + x ) + z2 2( x + y ) a − b + c 2 a + b − c 2 −a + b + c ;y = ;z = 2 2 2 2 2  a − b + c a + b − c −a + b + c  ⇒H ≥ + +  ÷ b c a 2  Và : x = =  1  (a + b + c) 2 1 2 ( a + b + c ) + + − 2( a + b + c ) . V ì : ( a + b + c ) ≥ nên :  ÷  ÷ 2 a b c  H≥ =  (a + b + c)   ( a + b + c) 1 1  .(a + b + c)  + + ÷− 2(a + b + c) ÷ ≥ .9 − 2(a + b + c) ÷   3 2 a b c   2 a + b + c 2010 1005 1005 = = ⇒ Min H = ⇔ x = y = z = 224450 2 2 2 Bài 16: Tìm Min, Max của: A = Ta có : A = ⇒ A= (x ( xy + y ) x + x +12 y . Coi : t =    x 2  y     ÷ + ÷1 + + 12  ÷ ÷  y  ÷ x ÷    ( 1   + ÷ + + 12t t  ) = y x t2 ( + 3t ) ( + ) + 12t ) = ( t − + 12t ) ( + 3t ) ( −12t ) 1 + 12t − u −1 = . Coi : u = + 12 t ( u ≥ 1) ⇒ A = = f (u ) 12t + u2 + u = −1 1 ⇒ f '(u ) = ⇔  ⇒ A = f (u ) ≤ f (3) = ⇒ MaxA = . 18 u = Và : lim f (u ) = ⇒ MinA = u →∞ Bài 17: Cho số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1. Tìm Min, Max của: Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ P = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx) 20 bất đẳng thức t = x + y + z ⇒ t ≤ 3( x + y + z ) = ⇒ t ∈ − 3;  t − −t + 2t + Và P = t − = = f (t ) ⇒ f '(t ) = ⇔ t = ∈ − 3;  2  MaxP = f (1) = Qua BBT ta có :   MinP = f (− 3) = −( + 1) Bài 18: Cho số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của: A = + x 4y 16 y + − y 16 y + x 60 y + A= = = . xy y (5 − y ) y( − y) a = y 0 < a , b < 16a + b 16 16 Coi :  ⇒ Và : A = = + = + = f (a ) ab b a 5−a a b = − y a + b = ⇒ f '(a ) = 16 ( − a) a = 16 − = 0⇒  ⇒ MinA = f (1) = + = 5 a = − a  Dấu “=” xảy x=1; y=1/4 Bài 19: CMR: Với tam giác ABC ta có: A A A + cos + cos + + >3 A A A + cos x2 Xét hàm số: y = + cos x −  π y ' = x − sin x y '' = − cos x > 0; ∀x ∈  o; ÷  2 x2 Ta thấy y’ đồng biến ta có: y > 0. Vậy ta có: cos x > − Áp dụng cho góc A/2, B/2 , C/2 ta có: A A2 B B2 C C2 cos > − ;cos > − ;cos > − 8 Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 20 bất đẳng thức A+ B+C 1 1 ⇒ VT >  + + ÷− ( A + B + C ) ≥ 2. − A+ B +C A B C 18 π 144 − π = − = >3 π 8π Bài 20: Cho số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của: S = x y + y +1 x +1 x y ( x + y ) + ( x + y ) − xy S= + = = . y +1 x +1 xy + ( x + y ) + + xy Mà : ≤ xy ≤ ( x + y)2 − 2t  1 = . Coi : t = xy ⇒ t ∈ 0;  S = = −2 + = f (t ) 4 + t t +    −6  MinS = f ( ) = ⇒S'= . − = − > ∀ ∈  ÷   Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có: 2 cos 1 2 x x > − Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có: 2 2 2 cos 1 ;cos 1 ;cos 1 2 8 2 8 2 8 A A B B C. và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Giải : Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz 1 1 1 2 x y z ⇒ + + ≥ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). a,b,c:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +  ÷   20 bài bất đẳng thức ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3