http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình quy tắ c để với điểm M mặt phẳng xác đònh điểm M mặt phẳng , điểm M  gọi ảnh M qua phép biến hình . ª Kí hiệu : f phép biến hình M ảnh M qua phé p f ta viết : M= f(M) hay f f(M) = M hay f : M I  M hay M I  M . Điểm M gọi tạo ảnh . f phép biến hình đồng  f(M) = M ,  M  H . Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến . f1 ,f2 phép biến hình f2 f1 phép biến hình . ª Nếu H hình tập hợp điểm M= f(M), với M  H, tạo thành mộ t hình H gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H= f(H) . Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với hai điểm M,N ảnh M, N chúng , ta có MN= MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . Tính chất : ( phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng . HQ : Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng . 4. Tam giác thành tam giác . ( Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn . ( Tâm biến thành tâm : I I I , R = R ) 6. Góc thành góc . B . BÀI TẬP x = 2x  1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) =  .  y = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B(  1;2) c) C(2;  4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = f(B) = (  7;6) c) C = f(C) = (3;  1) x = 2x  y  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) =  . y = x  2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B(  1;3) c) C(  ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = (  4;  4) c) C = f(C) = (  7;  7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (3x; y) . Đây có phả i phép dời hình hay không ? Giải : Lấy hai điểm M(x1; y1 ), N(x ; y2 ) Khi f : M(x1; y1 ) I  M = f(M) = (3x1; y1 ) . f : N(x2 ; y2 ) I  N = f(N) = (3x2 ; y2 ) -1- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Ta có : MN = (x  x1 )2  (y  y1 )2 , MN = 9(x  x1)2  (y2  y1 )2 Nếu x1  x MN  MN . Vậy : f phép dời hình . (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) . Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = ( y ; x  ) x b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( 2x ; y+1) . y x y Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1  x MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = (y + ;  x) b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1  y2 MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( 2x ; y  1) . Tìm ảnh củ a đường thẳng () : x  3y  = qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ   x x =  2x x  Ta có f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y     x Vì M(x;y)  ()  ( )  3(y  1)    x   6y    M (x ;y)  () : x  6y   Cách : Lấy điểm M,N  ( ) : M  N . M  () : M(2;0) I  M  f(M)  ( 4;1) N  () : N(  1;  1) I  N  f(N)  (2; 0)  Qua M(4;1) x+ y  ()  (MN) :   PTCtắc () :   PTTQ () : x  6y   1  VTCP : MN  (6; 1) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) . a) CMR f phép dời hình . b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = . I  (C) : (x  2)2 + (y  3)2 = Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) . a) CMR f phép dời hình . b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x + 2y  = . c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = . x2 y2 + =1. Giải : a) Lấy hai điểm M(x1; y1), N(x ; y2 ) d ) Tìm ảnh elip (E) : Khi f : M(x1; y1 ) I  M  = f(M) = (x1  3; y1  1) . f : N(x ; y2 ) I  N = f(N) = (x  3; y  1) Ta có : M N = (x  x1)2  (y  y1)2 = MN Vậy : f phép dời hình . -2- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x   Ta có f : M(x;y) I  M = f(M) =   y  y   y  y  Vì M(x;y)  ()  (x  3)  2(y  1)    x  2y    M(x;y)  () : x  2y   Cách : Lấy điểm M,N  () : M  N . M  () : M(5 ;0) I  M  f(M)  (2;1) N  () : N(3 ; 1) I  N  f(N)  (0;2)  Qua M(2;1) x  y 1 ( )  (MN) :   PTCtắc () :   PTTQ ( ) : x  2y      VTCP : M N  (  2;1)  Cách : Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng () thành đường thẳng () // () . Lấy M  () : M(5 ;0) I  M   f(M)  (2;1) Vì () // ()  () : x + 2y  m = (m  5) . Do : ()  M(2;1)  m =   ( ) : x  2y   c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x   Ta có f : M(x;y) I  M  = f(M) =    y  y   y  y  Vì M(x;y)  (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 =  (x  4)2  (y  3)2    M(x;y)  (C) : (x  4)2  (y  3)2  + Tâm I(  1;2) f + Tâm I= f [ I(  1;2)]  ( 4;3) Cách : (C)    (C)   BK : R =  BK : R= R =  (C) : (x  4)2  (y  3)2  d) Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x   Ta có f : M(x;y) I  M = f(M) =   y  y   y  y  x2 y2 (x+ 3)2 (y  1)2 (x + 3)2 (y  1)2 Vì M(x;y)  (E) : + =1  + =  M(x;y)  (E) : + =1 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) . a) CMR f phép dời hình . b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x  2y  = 0. c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = . d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x ; y) . Khẳng đònh sau sai ? A. f phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) f(A) = A C. M f(M) đối xứng qua trục hoành D. f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C . Vì M f(M) đối xứng qua trục tung  C sai . 12 Trong mpOxy cho phép biến hình : f1 : M(x;y) I  M = f1(M) = (x + ; y  4) ; f2 : M(x;y) I  M = f2 (M) = (  x ;  y) . Tìm toạ độ ảnh A(4;  1) qua f1 f2 , nghóa tìm f2 [f1(A)] . f f  A(6;  5) I  A (  ; ) . ĐS : A(4;  1) I x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh sau sai ? A. f (O) = O (O điểm bất biến) B. Ảnh A  Ox ảnh A= f(A)  Ox . C. Ảnh B  Oy ảnh B= f(B)  Oy . D. M= f [ M(2 ;  3)] = (1;  9) ĐS : Chọn D . Vì M= f [M(2 ;  3)] = (1; 9) -3- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM  u. Kí hiệu : T hay Tu .Khi : Tu (M)  M  MM  u Phép tònh tiến hoàn toàn xác đònh biết vectơ tònh tiến . Nếu To (M)  M , M To phép đồng . Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tònh tiến Tu  x= x + a M(x;y) I  M=Tu (M)  (x; y )   y= y + b Tính chất : ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng . 2. Biến tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng . 5. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng . 6. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho . 7. Biến tam giác thành tam giác . (Trực tâm I  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) 8. Đường tròn thành đường tròn . (Tâm biến thành tâm : I I I , R = R )  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM  x= x + a M(x;y) I  M=Tu (M)  (x; y )   y= y + b  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M  (H) I  M   (H) 2. (H)  đường thẳng   (H )  đường thẳng phương  Tâm I  Tâm I (H)  (C)  I   (H)  (C)  (cần tìm I) . + bk : R + bk : R = R Cách : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ . Cách : Lấy hai điểm phân biệt : M, N  (H) I  M, N  (H) B, BÀI TẬP Trong mpOxy . Tìm ảnh M  điểm M(3;  2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải  x    x  Theo đònh nghóa ta có : M  = Tu (M)  MM   u  (x   3; y  2)  (2;1)     y   y  1  M (5; 1) Tìm ảnh điểm qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A(  1;1) , u = (3;1) b) B(2;1) , u = (  3;2) c) C(3;  2) , u = (  1;3) -4-  A(2;3)  B(  1;3)  C(2;1) http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , AB . Giải Ta có : A= Tu (A)  (5; 4) , B= Tu (B)  (4;2) , AB = |AB |  , AB = |AB |  . Cho vectơ u1; u2 . Gỉa sử M1  Tu (M), M  Tu (M1). Tìm v để M2  Tv (M) . Giải Theo đề : M1  Tu (M)  MM1  u1 , M  Tu (M1)  M1M  u2 . Nếu : M  Tv (M)  MM  v  v  MM  MM1  M1M  u1+ u2 .Vậy : v  u1 + u2 Đường thẳng  cắt Ox A(  1;0) , cắt Oy B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng  ảnh  qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;  1) . Giải Vì : A  Tu (A)  (1; 1) , B  Tu (B)  (2;1) .  qua A(1;  1) x   t Mặt khác :   Tu ()   qua A,B . Do :    ptts  :    y  1  2t  VTCP : A B = (1;2) Đường thẳng  cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng  ảnh  qua phép tònh tiến theo vectơ u = (  1;  2) . Giải Vì : A  Tu (A)  (0; 2) , B  Tu (B)  ( 1;1) .  qua A(0;  2) x  t Mặt khác :   Tu ( )   qua A ,B . Do :    ptts  :  y  2  3t  VTCP : AB= (  1;3) Tương tự : a)  : x  2y  = , u = (0 ; 3)   : x  2y   b)  : 3x  y  = , u = (  ;  2)   : 3x  y   Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2  (y  2)2  qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1;  3) . Giải x= x + x = x  Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :   y= y  y = y+ Vì : M(x;y)  (C) : (x + 1)2  (y  2)2   x 2  (y  1)2   M (x ;y)  (C) : x  (y  1)2  Vậy : Ảnh (C) (C) : x  (y  1)2  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) . a) CMR f phép dời hình . b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x  2y  = 0. c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = . d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( x ; y) . Khẳng đònh sau sai ? A. f phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) f(A) = A C. M f(M) đối xứng qua trục hoành D. f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C . Vì M f(M) đối xứn g qua trục tung  C sai . Tìm ảnh đường tròn (C) : (x  3)2  (y  2)2  qua phép tònh tiến theo vectơ u = (  2;4) . x= x  x = x+ Giải : Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :   y= y   y = y  -5- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Vì : M(x;y)  (C) : (x  3)2  (y  2)2   (x  1)2  (y  2)2   M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  Vậy : Ảnh (C) (C) : (x  1)2  (y  2)2  -6- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH BT Tương tự : a) (C) : (x  2)2  (y  3)2  1, u = (3;1) b) (C) : x  y  2x  4y   0, u = (  2;3)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  (C) : x  y2  2x  2y   10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A(  2;0), đỉnh B(  1;0) giao điểm đường chéo I(1;2) . Giải Gọi C(x;y) .Ta có : IC  (x  1; y  2), AI  (3;2), BI  (2; 1) Vì I trung điểm AC nên : x   x  C = T (I)  IC  AI     C(4; 4) AI y   y  Vì I trung điểm AC nên : x   x  D = T (I)  ID  BI   D  D  D(3; 4) BI y D   y D  Bài tập tương tự : A(  1;0),B(0;4),I(1;1)  C(3;2),D(2;  2) . 11 Cho đường thẳng song song d d  . Hãy phép tònh tiến biến d thành d  . Hỏi có bao nhiê u phép tònh tiến ? Giải : Chọn điểm cố đònh A  d , A   d  Lấy điểm tuỳ ý M  d . Gỉa sử : M  = T (M)  MM  AB AB  MA  MB  MB / /MA  M  d   d  = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d  . 12 Cho đường tròn (I,R) (I ,R ) .Hãy phép tònh tiến biến (I,R) thành (I,R) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) . Gỉa sử : M = T (M)  MM   II II  IM  IM  IM  IM  R  M  (I,R)  (I,R) = T [(I,R) ] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC. Giải Gọi J trung điểm cạnh AB . Khi dễ thấy J cố đònh IM  JB . Vậy M ảnh I qua phép tònh tiến T . Suy : Quỹ tích M JB ảnh đường tròn (C) phép tònh tiến theo vectơ JB 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) (P) ảnh (P) qua phé p tònh tiến . Hãy viết phương trình (P) . Giải : Tu M(x;y) I  M(x;y) , ta có : MM = u , với MM= (x  x ; y  y)  x  x = m x = x  m Vì MM= u     y  y = n  y = y  n Mà : M(x; y)  (P) : y  ax  y  n = a(x   m)2  y = a(x  m)2  n  M(x;y)  (P) : y = a(x  m)2  n Vậy : Ảnh (P) qua phép tònh tiến Tu (P) : y = a(x  m)2  n  y = ax  2amx  am  n . 15 Cho đt  : 6x + 2y  1= . Tìm vectơ u  để  = Tu () . Giải : VTCP  a = (2;  6) . Để :  = Tu ()  u phương a . Khi : a = (2;  6)  2(1; 3)  chọn u = (1;  3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A(  5;2) , C(  1;0) . Biết : B = Tu (A) , C = Tv (B) . Tìm u v để thực phép biến đổi A thành C ? Giải -7- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Tu Tv A(  5;2) I  B I   C(1; 0) . Ta có : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (4; 2) Tu + v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3;  1), N(2; 3) vectơ u = (2;3) ,v = (  1;2) . Tìm ảnh K,M,N qua phép tònh tiến Tu Tv . Tu Tv HD : Gỉa sử : A(x;y) I  B I  C(x; y) . Ta có : AB  u, BC  v  AC  AB  BC  u  v  (1;5)  x    x  Do : K =Tu  v (K)  KK   (1;5)     K (2; 7) .  y    y  Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B(  2;4) , C(  4;5) . G trọng tâm ABC phép tònh tiến theo vectơ u  biến A thàn h G . Tìm G = Tu (G) . Giải Tu Tu A(3;0) I  G( 1;3) I  G(x; y) x   4 x  5 Vì AG  (4;3)  u . Theo đề : GG   u     G ( 5;6).  y    y  19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x  1)2  (y  3)2  2,(C) : x  y  10x  4y  25  0. Có hay không phe ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C) . HD : (C) có tâm I(1;  3), bán kính R = ; (C) có tâm I(5;  2), bán kính R = . Ta thấy : R = R = nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A(  2;1) B   :2x  y  = . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC hình bình hành nên : BC  AO  (2; 1)  C  Tu (B) với u = (2; 1) Tu  x  x  x  x  B(x;y) I  C(x; y) . Do : BC  u    y  y  1 y  y  B(x;y)    2x  y  =  2x   y  10 =  C(x ; y)   : 2x  y  10 = 21 Cho ABC . Gọi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC,CA,AB. Gọi O1,O2 ,O3 I1,I ,I3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1 . Chứng minh : O1O 2O3  I1I 2I . HD : Xét phép tònh tiến : T1 T1 AB AB biến A I  C,C1 I  B, B1 I  A1 . T1 T1 AB AB 2  AB1C1 I  C1BA1;O1 I  O2 ; I1 I  I2 .  O1O2  I1I2  O1O2  I1I2 . Lý luận tương tự : Xét phép tònh tiến T1 BC , T1 CA suy : 2 O2O3  I2 I3 O3O1  I3I1  O2O3  I2 I3 ,O3O1  I3I1  O1O2 O3  I1I2 I3 ( c.c.c). 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD  12cm , A  60 , B  150 D  90 . Tính độ dài cạnh BC DA . HD : T BC  M  AM  BC.Ta có : ABCM hình bình hành BCM  (vì B  150 ) Xét : A I -8- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Lại có : BCD  360 o  (90  60  150 )  60  MCD  30 . Đònh lý hàm cos MCD : MD2  MC2  DC2  2MC.DC.cos30  (6 3)2  (12)2  2.6 3.12.  MD = 6cm . Ta có : MD = CD MC = MD  MDC tam giác  36  MCD nửa tam giác  DMC  90 MDA  30 . Vậy : MDA  MAD  MAB  30  AMD tam giác câ n M . Dựng MK  AD  K trung điểm AD  KD=MDcos30  cm  AD  3cm Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN1: Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM. Phép đối xứng qua đường thẳ ng gọi phép đối xứn g trục . Đường thẳng a gọi trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a . Kí hiệu : Đa (M)  M  M oM  M oM , với M o hình chiếu M đường thẳng a . Khi : Nếu M  a Đa (M)  M : xem M đối xứng với qua a . ( M gọi điểm bất động ) M  a Đa (M)  M  a đường trung trực MM Đa (M)  M Đa (M)  M Đa (H)  H Đa (H)  H , H ảnh hình H . ĐN : d trục đối xứng hình H  Đd (H)  H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh biết trục đối xứng . Chú ý : Một hình trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng . Biểu thức tọa độ : M(x;y) I  M  Đd (M)  (x; y ) x= x x=  x ª d  Ox :  ª d  Oy :  y =  y y = y ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình . HQ : 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàn g bảo toàn thứ tự điểm tương ứng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng . 5. Tam giác thành tam giác . (Trực tâm I  trực tâm , trọn g tâm I  trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn . (Tâm biến thành tâm : I I  I  , R = R ) 7. Góc thành góc . -9- http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G  PP : Tìm ảnh M = Đa (M) 1. (d)  M , d  a 2. H = d  a 3. H trung điểm MM  M ? ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đa ( ) TH1: () // (a) 1. Lấy A,B  () : A  B 2. Tìm ảnh A= Đa (A) 3.   A,// (a)   I : PHÉP BIẾN HÌNH TH2 :  // a 1. Tìm K =   a 2. Lấy P   : P  K .Tìm Q = Đa (P) 3.   (KQ) ª PP : Tìm M  () : (MA + MB)min . Tìm M  () : (MA+ MB)min Loại : A, B nằm phía () : 1) gọi A đối xứng A qua () 2) M  (), MA + MB  MA+ MB  AB Do đó: (MA+MB)min = AB  M = (AB)  () Loại : A, B nằm khác phía () : M  (), MA + MB  AB Ta có: (MA+MB)min = AB  M = (AB)  () B . BÀI TẬP Trong mpOxy . Tìm ảnh M(2;1) đố i xứng qua Ox , đối xứng qua Oy . Đ Đ Oy Ox  M (2;  1) I HD : M(2;1) I  M ( 2; 1) Trong mpOxy . Tìm ảnh M(a;b) đố i xứng qua Oy , đối xứ ng qua Ox . Đ Đ Oy Ox  M ( a;  b) HD : M(a;b) I  M(  a;b) I Đ Đ b  M. Cho đường thẳng (a) : x  = , (b) : y + = điểm M(  1;2) . Tìm : M Ia  M  I Đ Đ b  M(5; 4) [ vẽ hình ] . HD : M(  1;2) Ia  M(5;2) I Cho đường thẳng (a) : x  m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0). Đ Đ b  M (x ; y ). Tìm M: M(x;y) a  M (x ; y)  Đa Đb x  2m  x x  2m  x HD : M(x;y) I  M  I  M  tđ(m;y) tđ( 2m  x;  n)  y  y y  2n  y Cho điểm M(  1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + = . HD : (d) : 2x  y + = , H = d  a  H(  2;0) , H trung điểm MM   M (  3;  2) Cho điểm M(  4;1) đường thẳng (a) : x + y = .  M= Đa (M)  (1; 4) Cho đường thẳng ( ) : 4x  y + = , (a) : x  y + = . Tìm ảnh = Đa ( ) . HD : 1 Vì    cắt a  K    a  K(2;1) 1 M(  1;5)    d  M,  a  d : x  y    H(1/ 2; / 2) : tđiểm MM  M  Đa (M)  (2;2)   KM: x  4y + = - 10 - Giải http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH    x= x cos  y sin Ta có f : M (x; y) I  M(x;y) với   f phé p quay Q  (O; ) y= x sin   y cos   3 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x  y+1= . Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1;  2). b) Phép quay Q . (O;90 ) Giải  x   x  x   x a) Ta có : M(x;y) = ĐI (M) biểu thứ c tọa độ M   y  4  y y  4  y   Vì M(x;y)  () : 2x  y+1=  2(2  x )  ( 4  y )    2x  y    M(x;y)  ( ) : 2x  y   ĐI Vậy : () I  () : 2x  y   Q (O;90 ) b) Cách : Gọi M(x;y) I  M (x ;y ) . Đặt (Ox ; OM) =  , OM = r , Ta có (Ox ; OM ) =  + 90 ,OM  r . Q x  r cos(  90 )   r sin   y x  y x = rcos (O;90 ) Khi : M  I  M   y = rsin y   x y  r sin(  90 )  rcos   x Vì M(x;y)  () : 2(y)  (  x ) + =  x   2y + =  M(x;y)  ( ) : x  2y   Q (O;90 ) Vậy : () I  () : x  2y   Q (O;90 ) Cách : Lấy :  M(0;1)  () I  M ( 1; 0)  ( ) Q 1 (O;90 )  N(  ;0)  ( ) I  N (0; )  () 2 Q (O;90 )  () I  ( )  M N  : x  2y   Q (O;90 ) Cách :  Vì () I ( )  ( )  ( ) mà hệ số góc : k    k    Q (O;90 )  M(0;1)  () I  M (1; 0)  ( )  Qua M(1; 0)   () :   () : x  2y    hsg ; k =  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A ảnh A qua phép quay tâm O góc 90o . HD : Gọi B(3;0),C(0;4) hình chiếu A lên trục Ox, Oy . Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhậ t OABC thành hình chữ nhật OCA B. Khi : C(0;3),B(  4;0). Suy : A (  4;3). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A(  1;5) thành điểm B(5;1) . OA  OB  26 HD : Ta có : OA  ( 1;5) OB  (5;1)   OA.OB   OA  OB B=Q (A) . (O ; 90 ) - 22 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q HD : Vì N = Q (O ; 90 ) I : PHÉP BIẾN HÌNH (O ; 90 ) (M) . (M)  (OM;ON)  90  OM.ON =  4x+y =  y=  4x (1) Do : OM  ON  x  y2  16   17 (2) . Giải (1) (2) , ta có : N(1;  4) hay N(  1; 4) . Thử lại : Điều kiện (OM;ON)  90 ta thấy N(  1; 4) thoả mãn . a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q HD : Phép quay Q (O ; 45 ) (A) . (O ; 45 ) biến điểm A  Oy nh điểm B  đt : y  x, ta có : x B  y B  . Mà OB =  OA  OB  3 x 2B  y 2B   x B   B( ; ). 2 43 3 b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q B ( ; ) o (A)  (O;60 ) 2 Cho đường tròn (C) : (x  3)2  (y  2)2  . Tìm (C) = Q (C) . (O ; 90 ) HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I)  I ( 2;3)  (C) : (x  2)2  (y  3)2  . (O ; 90 ) 10 Cho đường tròn (C) : (x  2)2  (y  3)2  . Tìm (C) = Q (C) . (O ; 60 ) HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I)  I ( 2;2 3)  (C) : (x  2)2  (y  3)2  . (O ; 60 ) 11 Cho đường tròn (C) : (x  2)2  (y  2)2  . Tìm (C) = Q HD : Tìm ảnh tâm I : Q (O ; 45 ) (O ; 45 ) (C) . (I)  I(1  2;1  2)  (C) : (x   2)2  (y   2)2  . 12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) đường thẳng (d) : x + y  = 0. Tìm ảnh A (d) qua phép quay Q . (O ; 90 ) HD : Ta có : A(2;0)  Ox . Gọi B = Q ( A) B  Oy OA = OB . (O ; 90 ) Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y  = nên A,B  (d) . Do B = Q (A) tương tự Q (A) = C(  2;0) (O ; 90 ) (O ; 90 ) x y x y nên Q (d) = BC  (BC) :  1   1 x y2  (O ; 90 ) x C yC 2 13 Cho (d) : x  3y  = . Tìm  = Q (d) .  () : 3x  y   (O ; 90 ) 14 Cho (d) : 2x  y  = . Tìm  = Q (d) . (O ; 60 ) ảnh HD : d  Ox = A(1;0) , d  Oy = B(0;2)   A ( ; ), B(  3;1) 2  () : (  2)x  (2  1)y   15 Cho tam giác ABC có tâm O phép quay Q a) Xác đònh ảnh đỉnh A,B,C . b) Tìm ảnh ABC qua phép quay Q (O; 120 ) (O;120 ) - 23 - . Giải http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G a) Vì OA = OB = OC AOC  BOC  COA  120 nên Q b) Q (O; 120 ) I : PHÉP BIẾN HÌNH (O;120 ) : A I  B, B I  C,C I A : ABC   ABC 16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O . a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay Q . (A ; 90 ) b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay Q (O ; 90 ) HD : a) Gọi E = Q (C) AE=AC CAE  90 nên AEC (A ; 90 ) vuông cân đỉnh A , có đường cao AD . Do : D trung điểm EC . b) Ta có : Q (B)  C Q (B)  C  Q (BC)  CD. (O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 ) 17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M trung điểm AB , N trung điểm OA . Tìm ảnh AMN qua phép quay Q . (O;90 ) HD : Q (A)  D , Q (M)  M  trung điểm AD . (O;90 ) (O;90 ) Q (N)  N trung điểm OD . Do : Q (AMN)  DMN (O;90 ) (O;90 ) 18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác ABCDEF , O tâm đường tròn ngoại tiếp . Tìm ảnh OAB qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O , góc 60 phép tònh tiến TOE . HD : Gọi F = TOE Q Q (O;60 ) (O;60 ) (O)  O,Q . Xét : (O;60 ) (A)  B,Q (O;60 ) (B)  C . TOE (O)  E, TOE (B)  O, TOE (C)  D Vậy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D  F(OAB) = EOD 19 Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương , O tâm đường tròn ngoại tiếp . I trung điểm AB . a) Tìm ảnh AIF qua phép quay Q . (O ; 120 ) b) Tìm ảnh AOF qua phép quay Q . (E ; 60 ) HD : a) Q biến F,A,B thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120 ) thành trung điểm J CD nên Q (AIF)  CJB . (O ; 120 ) b) Q biến A,O,F thành C,D,O . (E ; 60 ) - 24 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH 15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự trê n thẳng hàng . Vẽ phía dự ng hai tam giác ABE BCF . Gọi M N tương ứng hai trung điểm AF CE . Chứng minh : BMN tam giác . HD : Xét phép quay Q .Ta có : Q (A)  E , Q (F)  C (B;60 ) (B;60 ) (B;60 ) Q (AF)  EC . (B;60 ) Do M trung điểm AF , N trung điểm EC , nên : Q (B;60 ) (M)  N  BM = BN MBN  60  BMN tam giác . 21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâ m O đường kính BC . Điểm A chạy nửa đường tròn . Dựng phía ABC hình vuông ABEF . Chứng minh : E chạy nửa đường cố đònh . HD : Gọi E = Q (A) . Khi A chạy nửa đường tròn (O) , (B;90 ) E chạy nửa đường tròn (O) = Q [(O)] . (B;90 ) 22 Cho đường (O;R) đường thẳng  không cắt đường tròn . Hãy dựng ảnh () qua phép quay Q . (O ; 30 ) Giải Từ O hạ đường vuông góc OH với  . Dựng điểm H cho (OH;OH) = 30 OH = OH . Dựng đường tròn qua điểm O,H,H ; đường tròn cắt  điểm L . Khi LH đường thẳng phải dựng . 23 Cho đường thẳng d điểm O cố đònh không thuộc d , M điểm di động d . Hãy tìm tập hợp điểm N cho OMN . Giải : OMN  OM  ON NOM  60 . Vì M chạy d : N chạy d  ảnh d qua phép quay Q . (O;60 ) N chạy d  ảnh d qua phép quay Q (O;60 ) 24 Cho hai đường tròn (O) (O) bằn g cắt A B . Từ điểm I cố đònh kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB NB cắt (O) M N. Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố đònh. Giải Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO) =  biến (O) thành (O) . Vì MM NN qua B nên (AO;AO) = (AM;AM ) = (AN;AN) . Qua phép quay Q : MI  M , NI  N Q(A; ) MNI MN Đường thẳng MN qua điểm cố đònh I nên đường thẳng M N  qua điểm cố đònh I ảnh I qua Q (A; ) - 25 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH 25 Cho hai hình vuông ABCD BEFG a) Tìm ảnh ABG phép quay Q . Q : ABG   CBE (B;90 ) b) Gọi M,N trung điểm AG CE . Chứng minh BMN vuông cân . Giải BA  BC BG  BE a) Vì   (BA; BC)  90 (BG; BE)  90 b) Q (B;90 ) : A I  C,G I E  Q (B;90 ) : AG   CE  Q : M I  N  BM  BN (BM;BN) =  90 (B;90 ) (B;90 )  BMN vuông cân B . 26 Cho ABC . Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE ACF . Gọi M trung điểm BC giả sử AM  FE = H . Chứng minh : AH đường cao AEF . HD : Xét phép quay Q : Kéo dài FA đoạn AD = AF . (A;90 ) Vì AF = AC  AC = AD nên suy : Q biến B , C thành E , D (A;90 ) Đ/ nghóa nên gọi trung điểm K DE K= Q (M)   MA  AK (1) . (A;90 ) Trong DEF , AK đường trung bình nên AK // FE (2) Từ (1),(2) suy : AM  FE  AH đường cao AEF . 27 Cho hình vuông ABCD có cạnh có đỉnh vẽ theo chiều dương . Các đường chéo cắt tạ i I. Trên cạnh BC lấy BJ = . Xác đònh phép biến đổi AI thành BJ . HD : Ta có : AI= AB  2   AI  BJ . Lại có : (AI,BJ)  45 .  BJ = Q (AI) . Tâm O = ttrực AB  cung chứa góc 45 (O;45 ) qua A,B  BJ = Q (AI) (O;45 ) 28 [CB-1.18] Cho ABC . Dựng phía tam giác hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF gọi O,P,Q tâm đối xứng chúng . a) Gọi D trung điểm AB . Chứng minh : DOP vuông cân D . b) Chứng minh : AO  PQ AO = PQ . HD : a) Vì : AI = Q (MB)  MB = AI MB  AI . (C;90 ) Mặt khác : DP BM , DO AI  DP =  DO  DOP vuông cân D . b) Từ câu a) suy : Q Q (D;90 ) (D;90 ) O I  P, A I  Q  OA   PQ. - 26 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH 29 Cho ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm . Dựng phía tam giác hình vuông ABDE BCKF . Gọi P trung điểm AC , H điểm đối xứng D qua B , M trung điểm đoạn FH . a) Xác đònh ảnh hai vectơ BA BP phép quay Q b) Chứng minh : DF  BP DF = 2BP . HD : BA = BH (cùng BD) a) Ta có :  (BA;BH) = 90 (B;90 ) . 90  H  Q 90 B (A)  BH  Q B (BA) 90 90 Vì : Q 90 B (A)  H,Q B (C)  F  Q B (AC)  HF . 90 Mà : F trung điểm AC , Q 90 B (F)  M trung điểm HF . Do : Q B (BP)  BM . b) Vì : Q 90 B (BP)  BM  BP  BM, BP  BM . 1 Mà : BM = DF BM // DF (Đườn g trung bình HDF ). Do : BP = DF , DF  BP . 2 30 Cho tứ giác lồi ABCD . Về phía tứ giác dựng tam giác ABM , CDP . Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK . Chứng minh : MNPK hình bình hành . HD : Xét phép quay Q 60  A , N I C B : M I Q (B;90 )  MN I  AC  MN  AC (1) Xét phép quay Q 60  C , K I A D : P I Q (D;90 )  PK I  CA  PK  CA (2) Từ (1) , (2) suy : MN = PK . Lí luận , tương tự : MK = PN  MKNP hình bình hàn h . 31 Cho ABC . Về phía tam giác , dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 . Chứng minh : AA1, BB1,CC1 đồng quy . HD : Q Q (B;60 ) (B;60 ) Gỉa sử AA1  CC1  I . Xét : A1 I  C, A I  C1 Q (B;60 )  A1A I  CC1  (A1A;CC1)  60  AJC1  60 (1) Lấy CC1 điểm E cho : IE = IA . Vì EIA  60  EIA . Q Q Q (A;60 ) (A;60 ) (A;60 ) Xét : B I  C1, I I  E , B1 I C Vì : C1, B,C thẳng hàng nên B, I, B1 thẳng hàng  AA1, BB1,CC1 đồng quy . - 27 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH 32 Chứng minh đoạn thẳng nối tâm hình vuông dựng cạnh hình bình hành phía , hợp thành hình vuông . HD : Gọi I1, I , I3 , I tâm hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA . Dùng phép quay Q(I;90 ) : B I  C . Vì I1BA  I3CD  CI3  BI1 DCI3  ABI1  45 . Mà DC // AB  CI3  BI1 Q (I;90 ) Vậy : I3 I  I1  I2 I1  I2 I3 I I1  I I3 . Lý luận tương tự , ta có : I1I I3I hình vuông . Vấn đề : HAI HÌNH BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐL : Nếu ABC ABC hai tam giác có phép dời hình biến ABC thành ABC. Tính chất : 1. Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình . 2. Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình . B. BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF. Hãy tìm phép dời hình biến AEI thành FCH . HD : Thực liên tiếp phép tònh tie án theo AE phép đối xứng qua đườ ng thẳng IH T : A I  E, E I  B, I I  H  T (AEI)  EBH AE AE ĐIH : E I  F, B I  C, H I  H  ĐIH ( EBH)  FCH ĐIH : T (AEI)  FCH AE Do : ĐIH T ( AEI)  FCH  AEI  FCH AE Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi O tâm đối xứng ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chứng minh : Hai hình thang AJOE GJFC . HD : Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F . Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C. Từ suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC . Do hai hình thang . [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x  y = . Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tònh tiến Tu . (O;90 ) - 28 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Q Tu (O;90 ) HD : PP : d I  d  I  d  Gọi d   Q (d) . Vì tâm O  d nên Q (O)  O  d  . (O;90 ) (O;90 ) Mặt khác : d   d  d  : x  2y  C  (C  0) mà d  qua O nên C =  d : x + 2y = Q (O;90 ) Cách khác : Chọn M(1;2)  d I  M  d  . x  OM cos(  90 ) x  OM cos  cos 90  OM sin  sin 90 x   x cos 90  y sin 90 Ta có : M    y  OM sin(  90 ) y  OM sin  cos 90  OM cos  sin 90 y   y cos 90  x sin 90 x  1cos 90  sin 90 x  2    M(2;1)  y    y  cos 90  1sin 90 Gọi d   Tu (d )  d  // d   d  : x  2y  C  .  x  x   x  Gọi O  Tu (O)  OO = u     O(3;1) .  y  y   y  Vì d   O    C   C  5  d  : x  2y   Vậy :Tu Q (d)  (d ) : x  2y   (O;90 ) Tìm ảnh đường tròn (C) : x  y  2x  4y   có cách thực liên tiếp phép tònh tiến theo u = (3;  1) phép ĐOy . ĐS : (C) : (x + 4)2  (y  3)2  Tìm ảnh đường tròn (C) : x  y  6x  2y   có cách thực liên tiếp phép quay Q phép ĐOx . (O;90 ) HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = . Khi : Q ĐOx (O;90 ) (C) : I(3;1) , R = I (C) : I(  1;3) , R = I (C) : I(  1;  3) , R =  (C) :(x + 1)2  (y  3)2  [CB-P23] Trong mpOxy cho điểm A(  3;2),B(  4;5) C(  1;3). a) Chứng minh : Các điểm A(2;3),B(5;4) C(3;1) theo thứ tự ảnh A,B C qua Q (O;90 ) b) Gọi A1B1C1 ảnh ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép Q phép đối xứng ĐOx . Tìm toạ độ đỉnh A1B1C1 . (O;90 ) HD : a) Gọi M,N hình chiếu A Ox,Oy M(  3; 0), N(0;2). Q (O; 90 ) Khi : Hình chữ nhật OMAN I  hcnhật OMAN với M(0;3),N(2;0). Do : A(2;3) = Q (A) . (O;90 ) Ttự : B(5;4) = Q (B),C(3;1) = Q (C) . (O;90 ) (O;90 ) Q (O;  90 ) Cách khác : Gỉa sử A I  A   AOA  vuông c ân O . Điều : OA = OA = 13, OA.OA   . Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh . b) Phép quay : Q (ABC)  ABC , ĐOx (ABC)  A1B1C1 (O;90 ) - 29 - . http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH  x A  x A   Khi :   A1(2; 3).Ttự : B1(5; 4),C1(3; 1). y A1  y A  3 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y  2x , (P2 ) : y  2x  4x  1. Khẳng đònh sau sai ? A) y  2x  4x   y  2(x  1)2  B) Tònh tiến sang trái đơn vò xuống đơn vò ta (P2 ). C) (P1) (P2 ) . D) Phép tònh tiến theo u = (1;  3) biến (P1) thành (P2 ) . ĐS : B) Trong mpOxy , cho điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) D(  4; 4) . Khẳng đònh sau sai ? A) Các OAC,OBD tam giác vuô ng cân . Q (O;90 ) B) Phép quay : OAB I  OCD . C) OAB OCD hai hình . D) Tồn phép tònh tiến biến A thành B C thành D . ĐS : D) Trong mpOxy cho ABC với A(  3; 0), B(0;3),C(2; 4) . Phép biến hình f biến A thành A(;3) , B thành B(2;6),C thành C(4;7) . Khẳng đònh sau ? A) f phép quay Q . B) f phép đối xứng tâm I(  1; ) . D) f phép đối xứn g trục . (O;90 ) C) f phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) . ĐS : C) Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ ĐN : Cho điểm I cố đinh số k  . Phép vò tự tâm I tỉ số k . Kí hiệu : VIk , phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho IM  k IM. Biểu thức tọa độ : Cho I(xo ; yo ) phép vò tự VIk .  VIk x= kx+ (1  k)x o M(x;y) I  M  VIk (M)  (x; y)   y= ky+ (1  k)yo Tính chất : 1. M  VIk (M), N  VIk (N) MN= kMN , MN= |k|.MN 2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng . 3. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho . 4. Biến tia thành tia . 5. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| . 6. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với . 7. Đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R= |k|.R . 8. Biến góc thành góc . B . BÀI TẬP - 30 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G Tìm ảnh điểm sau qua phép vò tự tâm I , tỉ số k  : a) A(1;2) , I(3;  1) , k = . b) B(2;  3), I( 1; 2), k  3 . c) C(8;3), I(2;1) , k = . I : PHÉP BIẾN HÌNH  A(  1;5)  B(  10;1)  C(5;2) 1  P (1;  ),Q (  ;  ),R(  ; ) 3 3 V(I;2) x   4 HD : a) Gọi : A(1;2) I  A(x; y)  IA  2IA  (x   3; y  1)  2(2;3)    y   x  1   A( 1;5) .  y  d) P(  3;2),Q(1;1), R(2; 4) , I  O,k =  1/ Cho ba điểm A(0;3),B(2;  1),C( 1;5) . Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C . V(A;k) 1  k(2) Khi : B I C  AC  kAB   k 2  k(4) Vậy : Tồn phép vò tự V C . : B I (A; ) Cho ba điểm A(  1;2),B(3;1),C(4;3) . Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C . V(A;k) Khi : B I C  AC  kAB (1) . Cho OMN . Dựng ảnh M,N qua phé p vò tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau : a) k = b) k = c) k =  Giải : M I a) Phép vò tự VO  M , N I  N ta có OM  3OM,ON  3ON 1/2 : M I b) Phép vò tự VO  H , N I  K HK đường trung bình OMN . 3 3/ : M I c) Phép vò tự VO  P , N I  Q ta có OP   OM,OQ   ON 4 - 31 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O . Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = . b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k =  . Giải : A I a) Gọi VO  A OA   2OA B I  B OB  2OB C I  C OC  2OC D I  D OD  2OC : ABCDM I  VO  ABCD . Ta vẽ : AB// AB,BC // BC,CD // CD,DA // DA  1/2 : A I b) Gọi VO  P OP   OA B I  Q OQ   OB C I  R OR   OC D I  S OS   OD 1/2 : ABCDM   VO  PQRS . Ta vẽ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP . Cho ABC có AB = 4, AC = , AD phân giác A ABC (D  BC) . Với giá trò k phép vò tự tâm D , tỉ số k biến B thành C . HD : Theo tính chất phân giác A , ta có : V( D;3/2 ) DB AB       DC   DB  B I C . AC DC Do DB DC ngược hướng . Cho ABC vuông A AB = 6, AC = . Phép vò tự V biến B thành B,C thành C . (A; ) Khẳng đònh sau sai ? A) BBCC hình thang . B) BC = 12 . C) SABC  SABC . D) Chu vi (ABC) = Chu vi( ABC) . HD : V(A;3/2) A) BC   BC . 3 B) sai : BC= BC  AB2  AC2  15 2 3 SABC .AB.AC .AB. .AC C) :    . SABC AB.AC .AB.AC Chu vi ABC D) :  Chu vi ABC Cho ABC có hai đỉnh B C cố đònh , đỉnh A di động đường tròn (O) cho trước . Tìm tập hợp trọng tâm ABC . - 32 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH HD : Gọi I trung điểm BC . Ta có I cố đònh . Nếu G trọng tâm ABC IG  IA . 1/3 Vậy G ảnh A qua phép vò tự VI . Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O) , ảnh đường tròn (O) qua phép vò tự VI1/3 . Trong mpOxy , cho điểm A(  1;2) đường thẳng d qua A có hệ số góc . Gọi B đường thẳng di động d . Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành .Tìm phương trình tập hợp : a) Các tâm đối xứng I hình bình hành . b) Các trọng tâm G tam giác ABC . HD : a)  Qua A(  1;2) (AB):   (AB) : y   1(x  1)  y  x   Hsg : k = 1 Vậy B chạy d I chạy d  // d qua trung điểm M(  ;1) củ a đoạn OA . Vậy d  : x  y  = . 2 2/3 (B) . Vậy G chạy đt d// d qua điểm N(  ; )  V 2/3 (A). b) Ta có : OG  OB  G  VO O 3  d : x  y  = . 10 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : a) d : 3x  y  = ,V(O;  ) b) d : 2x  y  = ,V(O;3) c) d : 2x  y  = ,V(I;  2) với I(  1;2) d) d : x  2y  = ,V(I;2) với I(2;  1)  d  : 9x  3y  10   d  : 2x  y  12   d  : 2x  y    d  : x  2y   11 Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải ) a) (C) : (x  1)2  (y  2)2 = ,V(O;  2)  (C) : (x  2)2  (y  4)2 = 20 b) (C) : (x  1)2  (y  1)2 = ,V(O; 2)  (C) : (x  2)2  (y  2)2 = 16 c) (C) : (x  3)2  (y  1)2 = ,V(I;  2) với I(1;2)  (C) : (x  3)2  (y  8)2 = 20 12 Tìm phép vò tự biến d thành d  : x y a) d :   1,d  : 2x  y   0, V(O; k) k= . HD : d : 2x  y   // d  : 2x  y   . Lấy A(2;0)  d, B(3; 0)  d  . Vì : phép vò tự V(O;k) : A I  B  OB  kOA . Vì : OA= (2; 0),OB  (3; 0)  OB  OA 3 V(O; ) V(O; ) 2 Vậy : A I B  d I d Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đườn g thẳng . Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy . b) (C1) : (x  4)2  y2  ; (C2 ) : (x  2)2  (y  3)2  HD : (C1) có tâm I1( 4; 0), R1  , (C2 ) có tâm I2 (2;3), R2  2 V(I;k) Gỉa sử :(C1) I  (C2 ) : - 33 - V(I; 2), I(2;1) http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G R  | k | R1  | k |  R2 R1 I : PHÉP BIẾN HÌNH   k  2 II2  kII1 k =  . Gọi I(x o ; y o ) (2  x o;3  y o )  2( 4  xo ;  yo )  I(2;1) k = . Gọi I(x o ; y o ) (2  x o ;3  y o )  2( 4  x o ;  yo )  I(10; 3) Vậy có phép vò tự biến (C1)   (C2 ) V(I;  2) với I(  2;1) V(I;2) với I(  10;  3) 13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C1) : (x  1)2  (y  3)2 = (C2 ) : (x  4)2  (y  3)2 = . a) Xác đònh toạ độ tâm vò tự hai đường tròn . b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn . HD : (C1) có tâm I1(1;3) , bk : R1  ; (C2 ) có tâm I2 (4;3) , bk : R  . R a) Gọi I tâm vò tự (C1) (C2 ) , ta có : II  kII1 với k =    I(2;3) R1 b) Tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp tuyến từ I đến (C1). Gọi đt  qua I có hệ số góc k   :y  = k(x+2)  ky  y   2k  .   : 2.x  4y  12    tiếp xúc (C1)  d(I1; )  R1  k     2 : 2.x  4y  12   2 14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB . Một đường tròn (O) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I . Chứng minh : AI  BI . HD : C tâm vò tự đường tròn (O) (O) . D  (O), I  (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng . Gọi R bán kính đường tròn (O) , : R VCR : O I  O, I I D  OI // OD  OI  AB (Vì OD  AB)  I trung điểm AB  AI  BI . 15 Cho hai đường tròn (O,R) (O, R ) tiếp xúc A (R > R) . Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O, R) C . Một đường thẳng di động qua A cắt (O, R) M cắt (O, R) N . Tìm quỹ tích I = BN  CM . HD : IC CN Ta có : BM // CN . Hai BMI NCI . Do :  IM BM AC CN Hai ACN ABM . Do :  AB BM IC AC 2R R IC R       IM AB 2R R IM  IC R  R R V(C;k  ) CI R R R  R  I    CI  CM  M : I CM R  R R  R Vậy : Tập hợp điểm I đường tròn () vò tự đường R tròn (O,R) phép vò tự V(C ; k  ). R  R 16 Cho ABC . Gọi I , J . M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ . Đường tròn ngoại tiếp tâm O AIJ , cắt AO A . Gọi M chân đường vuông góc hạ từ A xuốn g BC . Chứng minh : A , M , M thẳng hàng . - 34 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH HD : Gọi M1 trung điểm BC .Ta có : AB  2AI AC  2AJ V(A;2) Từ : AIJ  ABC . Khi : V(A;2) : O I  A, M I  M1  OM  IJ  AM1  BC . Như : M1  M  A, M, M thẳng hàng ( A, M, M1 thẳng hàng ) 17 Cho ABC . Gọi A1, B1,C1 tương ứng trung điểm BC,CA, AB. Kẻ A1x, B1y,C1z song song với đường phân giác góc A,B,C ABC . Chứng minh : A1x, B1y,C1z đồng quy. HD : Xét phép vò tự tâm G , tỉ số  . G trọng tâm ABC , I tâm đường tròn nôïi tiếp ABC . Ta có : AJ I  A1x , BI I  B1y , CI I  C1z , GI I I J (   )  A1x, B1y,C1z đồng quy J . GJ 18 Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2 , R ) R1  R . Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc với (O1) A tiếp xúc với (O2 ) B . Chứng minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố đònh . HD : A tâm vò tự biến (O1) thành (O) : AO1 AO ngược hướng . B tâm vò tự biến (O) thành (O2 ) : AO1 AO ngược hướng . Kéo dài AB cắt (O2 ) C : AO CO2 ngược hướng . Vậy : AO1 CO2 ngược hướng . Như AC AB phải qua tâm I tâm vò tự (O1) (O2 ) . 19 Cho ABC . Người ta muốn đònh ba điểm A,B,C cạnh BC,CA,AB cho ABC AB  CA , BC  AB CA   BC . 1. Gọi E,F,K chân đường cao phát xuất từ A,B,C . 2/3 (A), A= V 2/3 (E), B= V 2/3 (F). Đặt : C= VB B B 2/3 (E) BC  CK . a) Nghiệm lại : A= VB b) Suy : ABC . 2. Chứng minh trực tâm H ABC trọng tâm ABC . HD : Trong ABC đướng cao : AE = BF = CK = a .(a cạnh ABC) E,F,K trung điểm cạnh . 2/3 (E)  BA  BE  BC  CA  ( BC)  CA   CB . Vậy : A = V 2/3 (E) . 1. a) Vì A= VB B 3 2/3 (A)  BC  BA  BA  AC  BA  AC   BA  AK  B= V 2/3 (C). Vì C= VB A 3 3 2/3 2/3 VA VA  Vậy : C I B , K I C  BC  CK . - 35 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH  BC // CK  AB  b) Ta có : BC  CK   a 3  BC = CK = 3  2 Tương tự : CA  AE AB  BF . 3 a  ABC . 2. Trực tâm H ABC trọn g tâm tam giác , nên : 2 2 BH  BF. Mà : BC  BA  BH  BC  (BF  BA)  CH  AF . 3 3 Vậy : CH // AF . Suy : CH  AB Lý luận tương tự : AH  BC . Vậy : BC  AB,CA  BC,AB  AC BC= CA= AB= Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M , N ảnh chúng , ta có M N = k.MN . ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành mộ t phép vò tự tỉ số k phép dời hình D. Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng : 1. Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) . 2. Biến đường thẳng thành đường thẳng . 3. Biến tia thành tia . 4. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳn g mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồng dạng ) . 5. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k). 6. Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R = k.R . 7. Biến góc thành góc . Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình . F H đồng dạng G   F đồng dạng : H I G Cho điểm M a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đa phép vò tự V tâm O , với O  a , tỉ số k = . b) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép vò tự V tâm O , tỉ số k =  phép quay tâm I với góc quay  = 90 . Giải Đa VO a) Gọi : M I  M1 I  M2 M  (a) M1  M M trung điểm OM M  (a) O  M1 : a trung trực đoạn MM1 M1 trung điểm đoạn OM M  (a) O  M1 : a trung trực đoạn MM1 M1 trung điểm đoạn OM 3 VO Q 90 I  M . Khi : b) Gọi M I  M1 I OM1  3OM , IM = IM1 (IM1; IM)  90 - 36 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Cho ABC có đường cao AH . H đoạn BC . Biết AH = , HB = , HC = . Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC . F hợp thành hai phép biến hình dướ i ? A) Phép đối xứng tâm H phép vò tự tâm H tỉ số k = . B) Phép tònh tiến theo BA phép vò tự tâm H tỉ số k = . C) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (H B;HA) . D) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục . HD : Q(H;) với  = (HB;HA) : B I Phép VH  A, A I C Vậy : F phép đồng dạng hợp thành V Q biến HBA thành HAC . Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA  2IB  gọi G trọng tâm ABD . F phép đồn g dạng biến AGI thành COD . F hợp thành hai phép biến hình sau ? A) Phép tònh tiến theo GO phép vò tự V(B;  1) . B) Phép đối xứng tâm G phép vò tự V(B; ). C) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm O . 2 D) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm G . HD : Vì G trọng tâm ABD nên AO  AG Theo giả thiết , ta có : AB  AJ . Phép đối xứng tâm O , biến A nh C B thành D ( O bất biến ) 2/3 ĐO VA A I A I C . 2/3 ĐO VA G I O I O . V(A; ) ĐO  AGI  AOB   COD Phép đồng dạng F . . . . . . . . HẾT . . . . . . - 37 - 2/3 ĐO VA I I B I D . [...]... tự , ta có : I1I 2 I3I 4 là một hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và ABC là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ABC thành ABC 2 Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I... 35o 2 2 29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng BC 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng 31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn... Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ? A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang cân D Hình thang cân D  vuông cân D Hình thang cân 33 Trong các hình sau , hình nào khôn g có trục đối xứng ? A Hình bình hành B  đều C  cân D Hình thoi ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng 34 Cho hai hình vuông... cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng : Hai hình thang AJOE và GJFC bằng nhau HD : Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do đó hai hình thang ấy bằng nhau 3 [CB-1.20] Trong mpOxy... B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A(;3) , B thành B(2;6),C thành C(4;7) Khẳng đònh nào sau đây đúng ? A) f là phép quay Q 3 B) f là phép đối xứng tâm I(  1; ) 2 D) f là phép đối xứn g trục (O;90 ) C) f là phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ 1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k  0 Phép vò tự tâm I tỉ số k Kí hiệu : VIk , là phép biến hình biến mỗi điểm... AC và BC= CA= AB= Vấn đề 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M , N và ảnh M , N là ảnh của chúng , ta có M N = k.MN 2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) đều là hợp thành của mộ t phép vò tự tỉ số k và một phép dời hình D 3 Hệ quả : (Tính chất ) Phép đồng dạng : 1 Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm... ) 2 Biến đường thẳng thành đường thẳng 3 Biến tia thành tia 4 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳn g mà độ dài được nhân lên k ( k là tỉ số đồng dạng ) 5 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k) 6 Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R = k.R 7 Biến góc thành góc bằng nó 4 Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng biến hình. .. qua ĐAH Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng Kí hiệu : ĐI (M)  M  IM  IM - 16 - http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH Nếu M  I thì M  I Nếu M  I thì M... là phép gì ? 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f :  y= 3 x  1 y   2 2 - 21 - Giải http://trithuctoan.blogspot.com/ C H Ư Ơ N G I : PHÉP BIẾN HÌNH    x= x cos 3  y sin 3  Ta có f : M (x; y) I M(x;y) với    f là phé p quay Q  (O; ) y= x sin   y cos  3  3 3  4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x  y+1= 0 Tìm ảnh của đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1;  2) b) Phép. .. phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V(A;k) 1 1  k(2) Khi đó : B I C  AC  kAB    k 2 2  k(4) Vậy : Tồn tại phép vò tự V  1 : B I C (A; ) 2 3 Cho ba điểm A(  1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn tại hay không tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn tại một phép vò tự tâm A , tỉ số k biến . Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 4 y = y 4 http://trithuctoan .blogspot. com/ C HệễN G I : PHEP BIE N H èNH - 6 - 2 2 2 2 2 2 Vỡ : M(x;y) (C). f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I http://trithuctoan .blogspot. com/ C HƯƠN G I : PHÉP BIE ÁN H ÌNH - 2 -          2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2. (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I http://trithuctoan .blogspot. com/ C HƯƠN G I : PHÉP BIE ÁN H ÌNH - 3 -                  