Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC HƯNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc PGS. TS Hà Tiến Ngoạn; thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, toàn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập vừa qua. Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân gia đình, tập thể lớp K16 Toán Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận bạn bè giúp đỡ, động viên nhiều suốt thời gian học tập nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Lời cam đoan Dưới hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng” hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với luận văn khác. Trong trình làm đề tài, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Ngọc Hưng Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Khái niệm sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Công thức biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Hình học siêu mặt nghiệm đặc trưng đa thức hyperbolic chặt với hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Đa thức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Siêu mặt đặc trưng đa thức hyperbolic chặt . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Toán tử hyperbolic chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Phát biểu toán Cauchy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Phát biểu toán Cauchy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3. Đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Bài toán Cauchy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Bài toán Cauchy tắc với kiện ban đầu sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . 22 22 2.3.2. Bài toán Cauchy tắc với kiện ban đầu hàm . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3. Nhân toán tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Việc biểu diễn nhân toán tử nghiệm qua tích phân mặt nghiệm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển . . . . . . . . . . . . . 34 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với hệ số nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn nghiệm trường hợp số chiều không gian n 1, 2, công thức D’Alembert, Poisson Kirchoff tương ứng. Kết mở rộng cho trường hợp n số chẵn, sau phương pháp hạ bậc kết thiết lập cho trường hợp số chiều n bất kỳ. Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. Với mong muốn nghiên cứu vấn đề tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng". Bố cục luận văn gồm chương Chương 1. Trình bày khái niệm sóng phẳng số tính chất. Phát biểu chứng minh công thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng. Ngoài luận văn nghiên cứu tính chất mặt đặc trưng đa thức hyperbolic. Chương 2. Phát biểu toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc. Luận văn đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc. Trình bày lời giải toán Cauchy tắc với kiện sóng phẳng. Biểu diễn nhân toán tử nghiệm qua tích phân mặt nghiệm đặc trưng, áp dụng kết thu cho phương trình truyền sóng cổ điển. Luận văn trình bày sở chương sách: "Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin". 2. Mục đích nghiên cứu Đưa công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày khái niệm sóng phẳng công thức biểu diễn hàm số qua sóng phẳng, sau dẫn dắt công thức mô tả nghiệm tường minh cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu tổng quan kết công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. 6. Dự kiến đóng góp đề tài Tổng quan công thức biểu diễn nghiệm cho toán Cauchy phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. Chương SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 1.1. Một số ký hiệu • Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) |xi ∈ R , i = 1, n}. • Các chữ x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ thay cho vectơ (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ), . . . , (ζ1 , . . . , ζn ) không gian n chiều, n ≥ 2. Tất chữ khác thay cho biến vô hướng. n • Tích vô hướng vectơ y x kí hiệu y.x = yi xi . i=1 • Độ dài (x.x) vectơ x |x|. • Phần tử thể tích dx1 , . . . , dxn viết tắt dx, dSx kí hiệu phần tử diện tích mặt siêu mặt không gian n chiều. • Mặt cầu đơn vị có bán kính với tâm gốc tọa độ không gian x kí hiệu Ωx , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị dωx , diện tích mặt cầu đơn vị ωn . 27 Từ công thức (2.14), ta có (2πi)n (m−n−1)!K(x−y, t) = πi m k=1 Ω η m − k=1 Fkm−n−1 signFk dωη với n lẻ Qλ (η, λk (η)) Fkm−n−1 log |Fk | dωη với n chẵn. Qλ (η, λk (η)) Ωη (2.26) Ta có định lý sau Định lý 2.3. Giả sử n < m − 1, f (y) hàm tập bị chặn, K(x − y, t) xác định (2.26). Khi nghiệm u(x, t) Bài toán 2.1 biểu diễn công thức sau u(x, t) = f (y)K(x − y, t)dy. (2.27) Hàm số K(x − y, t) gọi nhân toán tử nghiệm. 2.4. Việc biểu diễn nhân toán tử nghiệm qua tích phân mặt nghiệm đặc trưng Định lý 2.4. Giả sử n < m − nhân K(x − y, t) cho (2.26). Khi ta có công thức biểu diễn K(x − y, t) qua tích phân mặt đặc trưng sau n−1 2(2πi) (−1)N E m−n−1 signE dS (2.28) |gradQ(ξ, 1)| (m−n−1)!K(x−y, t) = Q(ξ,1)=0 với n < m − lẻ, (2πi)n (m − n − 1)!K(x − y, t) = −2 (−1)N E m−n−1 log |grandQ(ξ, 1)| E E0 dS Q(ξ,1)=0 (2.29) 28 với n < m − chẵn, E = (x − y).ξ + t E0 = (x − y).ξ. Chứng minh. Ta biến đổi biểu thức (2.26) K thành tích phân mặt nghiệm đặc trưng. Với mục đích ta cho thêm giả ∂ thiết toán tử Q không chứa thừa số. Điều có nghĩa ∂t hàm λk (η) triệt tiêu đồng mặt phẳng vô cực không tạo thành tập mặt nghiệm đặc trưng. Trong trường hợp tập hợp điểm mặt cầu đơn vị Ωη mà Q(η, 0) = tạo thành đa tạp có số chiều thấp đóng góp điểm η với λk (η) = bỏ qua việc hình thành tích phân (2.26) cho K. Cho η thay đổi Ωη với λk (η) = 0, điểm ξ= η λk (η) biến thiên phần bị chặn tập Σk mặt nghiệm đặc trưng Q(ξ, 1) = theo tọa độ không đồng nhất. Góc khối dωη phụ thuộc yếu tố tương ứng mặt dS Σk phương trình (xem Hình 2.1) dS = |ξ|n |gradQ(ξ, 1)| dωη Qξi (ξ, 1)ξi i Q2ξi (ξ, 1) |gradQ(ξ, 1)| = i với |ξ| = |λk (η)| (2.30) 29 Qξi (ξ, 1)ξi = |−Qλ (ξ, 1)| = |ξ|m−1 |Qλ (η, λk (η))| . i Đặt E= Fk = (x − y).ξ + t. λk (η) Khi từ công thức (2.26) với n lẻ ta có công thức E m−n−1 (signλk )m−1 signE dS. |gradQ(ξ, 1)| signQλ (η, λk ) 4(2πi)n−1 (m − n − 1)!K(x − y, t) = k k Vì Q(0, 1) = hàm Q(η, λ) dương với λ dương lớn. Sau từ công thức (1.26) suy signQλ (η, λk ) = (−1)k+1 . Mỗi điểm ξ mặt Q(ξ, 1) = có hai đóng góp hai cho K, ξ biểu diễn dạng ξ= η −η = λk (η) λm+1−k (−η) 30 với k cố định. Ở λk (η) λm+1−k (−η) có dấu đối nhau. Vì (−1)k (signλk (η))m−1 = (−1)m−k+1 (signλm+1−k (−η))m−1 , suy hai phép biểu diễn ξ đóng góp nhau. Do ta có n−1 2(2πi) (−1)N E m−n−1 signE dS |gradQ(ξ, 1)| (m − n − 1)!K(x − y, t) = Q(ξ,1)=0 với n < m − lẻ. Trong N = N (ξ) số điểm mặt đặc trưng tia ξ xem gần gốc. Rõ ràng (−1)N không đổi theo thành phần kết nối mặt đặc trưng không gian Euclide, khác cho thành phần khác tạo nên tầng Σk mặt đặc trưng không gian xạ ảnh. Một công thức tương tự suy từ (2.26) cho n chẵn. Nó thuận tiện trường hợp thay số hạng log |Fk | (2.26) Fk , F0 = (x − y).η. Số hạng log |Fk | độc lập k, log F0 đóng góp lấy tổng theo k mà suy từ (2.13). Đặt E0 = (x − y).ξ ta có (2πi)n (m − n − 1)!K(x − y, t) = −2 Q(ξ,1)=0 với n < m − chẵn. (−1)N E m−n−1 log |grandQ(ξ, 1)| E E0 dS. 31 Nhận xét 2.2. Công thức (2.28), (2.29) Herglotz đưa với n ≤ m − theo giả thiết mặt đặc trưng bị chặn (và m chẵn). Nếu ta đưa ξ1 , . . . , ξn−1 biến phép tính tích phân ta có dS dξ1 . . . ξn−1 =± . |grandQ(ξ, 1)| Qξn (ξ, 1) Ta chia miền lấy tích phân thành miền với E > E < 0, ta cho biến phép tính tích phân giá trị phức thu biểu thức cho F . Bây ta chuyển sang xét trường hợp n ≥ m − 1. Định lý 2.5. Giả sử n ≥ m − 1. Khi hàm số ∂ n−m+1 u(x, t) = n−m+1 ∂t f (y)K (x − y, t)dy (2.31) nghiệm Bài toán 2.1. Trong nhân K (x − y, t) biểu diễn qua tích phân mặt đặc trưng sau K (x − y, t) = (−1)N signE dS |gradQ(ξ, 1)| 2(2πi)n−1 (2.32) Q(ξ,1)=0 với n ≥ m − lẻ, (−1)N log −2 K (x − y, t) = (2πi)n E E0 |gradQ(ξ, 1)| dS (2.33) Q(ξ,1)=0 với n ≥ m − chẵn. Chứng minh. Ta giả thiết n ≥ m − 1. Chúng ta phải hạn chế trường hợp Q(η, 0) = Ωη m chẵn. Với giả thiết này, mặt đặc trưng bị chặn, λk (η) = với η Ωη . 32 Ta sử dụng cho f g lớp C2 đồng thức sau g(Fk )λ−α k dωη dy Qλ (η, λk (η)) Ωη ∂2 ∂t2 f (y) g (Fk )λ2−α k dωη dy Qλ (η, λk (η)) Ωη = f (y) = f (y)∆y = (∆y f (y)) g(Fk )λ2−α k dωη dy Qλ (η, λk (η)) Ωη g(Fk )λ2−α k dωη dy. Qλ (η, λk (η)) Ωη Sử dụng lặp lại đồng thức này, giả sử f thuộc lớp Cn+q triệt tiêu bên tập bị chặn, biến đổi biểu thức (2.16) cho u vào ∂ n+q u(x, t) = n+q ∂t f (y)Z (x − y, t)dy m g(Fk )λ−n−q k dωη Qλ (η, λk (n)) Z (x − y, t) = k=1 Ω η (ở sử dụng λk = 0). Bây Fk = (x − y).η + tλk (η) triệt tiêu đồng theo biến η, trường hợp Q(η, λ) phải chứa hàm tuyến tính (x − y).η + tλ thừa số, mặt đặc trưng chứa mặt phẳng mở rộng đến vô cực, trái với giả thiết. Do tập hợp điểm Ωη với Fk = tạo 33 thành tập hợp điểm chiều thấp hơn. Suy Z (x − y, t) với g cho (2.17), (2.18) có đạo hàm t liên tục có bậc ≤ m − + q. Khi ∂ n−m+1 u(x, t) = n−m+1 ∂t f (y)K (x − y, t)dy (2.34) ∂ m−1+q K (x − y, t) = m−1+q Z (x − y, t) ∂t g (m−1+q) (Fk ) λm−1+q k = dωη . k Qλ (η, λk (η)) Ωη Ở signs với n lẻ 4(2πi)n−1 (m−1+q) g (s) = log |s| + c với n chẵn −(2πi)n c số định. Hằng số c đóng góp tới K , bị triệt tiêu đạo hàm theo t mà có mặt biểu thức u (với n chẵn m giá trị n − m + 1). Fk , F0 đóng góp log |F0 | không phụ thuộc vào t. Như ta dẫn Đối với trường hợp ta thay log |Fk | log đến biểu thức K (x − y, t) = 4(2πi)n−1 k Ω η λm−1−n signFk k dωη Qλ (η, λk (η)) với n lẻ, −1 K (x − y, t) = (2πi)n với n chẵn. λm−1−n log k k Ω η Fk F0 Qλ (η, λk (η)) dωη 34 Biến đổi tích phân qua tích phân mặt đặc trưng, cuối ta (−1)N signE dS |gradQ(ξ, 1)| K (x − y, t) = 2(2πi)n−1 Q(ξ,1)=0 với n lẻ, (−1)N log −2 K (x − y, t) = (2πi)n E E0 |gradQ(ξ, 1)| dS Q(ξ,1)=0 với n chẵn. 2.5. Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển Xét phương trình truyền sóng cổ điển ∆x u = utt (2.35) x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , t ∈ R. Trong trường hợp cấp toán tử m = ta có số biến độc lập n + lớn m. Do ta áp dụng Định lý 2.5 để nghiên cứu Bài toán Cauchy tắc cho phương trình (2.35). Bài toán 2.4. Bài toán Cauchy tắc cho phương trình truyền sóng cổ điển có dạng u(x, 0) = u (x, 0) = f (x). t (2.36) 35 Đặt I(x, r) đại lượng trung bình mặt cầu tâm điểm x bán kính r f xác định công thức I(x, r) = ωn f (y)r1−n dSy . (2.37) |x−y|=r Định lý 2.6. Nghiệm toán Cauchy tắc cho phương trình truyền sóng cổ điển biểu diễn qua công thức t ∂ n−2 u(x, t) = (n − 2)! ∂tn−2 I(x, r)r(t2 − r2 ) n−3 dr (2.38) với n chẵn, n−3 ck t u (x, t) = k=0 k+1 ∂ k I(x, t) ∂tk (2.39) với n ≥ lẻ. Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh công thức (2.38) nghiệm phương trình (2.36) n lẻ. Ta có mặt đặc trưng trùng với mặt cầu đơn vị Ωξ Q(ξ, 1) = − |ξ|2 = 0. Trên tầng đơn mặt N = |grandQ(ξ, 1)| = 2. Sau từ (2.32) (1.1) với n lẻ, suy K (x − y, t) = 4(2πi)n−1 sign [(x − y) .ξ + t]dωξ Ωξ +1 ωn−1 = 4(2πi)n−1 (1 − p2 ) −1 n−3 sign (rp + t) dp 36 r = |x − y|. Khi ωn−1 r2−n r2 − t2 ∂ n−1 2(2πi) K (x − y, t) = ∂t 0 n−3 với r > t với r < t. Từ (2.34) u(x, t) = ∂ n−2 ∂tn−2 f (y) ∂ K (x − y, t)dy ∂t ∞ ∂ n−2 ωn ωn−1 = n−2 ∂t 2(2πi)n−1 I(x, r)r(r2 − t2 ) n−3 dr t I(x, r) đại lượng trung bình mặt cầu tâm điểm x bán kính r f xác định theo công thức I(x, r) = ωn f (y)r1−n dSy . |x−y|=r Ở đây, từ (1.6) ωn ωn−1 Ta nhận thấy 2n π n−1 = . (n − 2)! (2.40) ∞ I(x, r)r(r2 − t2 ) n−3 dr đa thức theo t có bậc n − 3, nên ta nhận công thức cổ điển t ∂ n−2 u(x, t) = (n − 2)! ∂tn−2 I(x, r)r(t2 − r2 ) n−3 dr. Ta chứng minh tiếp công thức (2.38) nghiệm phương trình (2.36) n chẵn. Để nhận công thức cho n chẵn từ (2.33) khó hơn. Ta có từ (2.33) (1.1) −ωn−1 K (x − y, t) = (2πi)n +1 (1 − p2 ) −1 n−3 log p + t − log |p| dp. r 37 Ở số hạng log |p| bỏ qua, đóng góp cho ∂K . Ta viết K tích phân mặt phẳng phức p lấy ∂t qua đường đóng C K (x − y, t) = +ωn−1 Re 2(2πi)n (1 − p2 ) n−3 log p + t r dp. (2.41) C Hàm (1 − p2 ) n−3 xác định bên đường cắt từ −1 đến +1 có giá trị thực dương biên đường cắt. Giả sử log s có nhánh xác định mặt phẳng s chia đường cắt theo −t trục ảo dương. Đặt p0 = ta lấy C đường đóng qua điểm p0 , mà r không qua đường cắt từ −1 đến +1 đường cắt từ p0 đến p0 + i∞ mặt phẳng p (xem Hình 2.2). Tích phân (2.41) có dạng g(p) log(p − p0 )dp h(p0 ) = (2.42) C hàm g(p) giải tích thông thường bên đường cắt hữu hạn theo trục thực liên tục từ hai phía bên điểm đường cắt. (Ta giả thiết n ≥ 4). Ta sử dụng đường lấy tích phân vòng tròn bán kính M với tâm điểm p0 với đường cắt từ p0 đến p0 + iM . Sử dụng thực tế log p thay đổi số 2πi qua trục ảo, ta tới biểu thức p0 +iM g(p + p0 ) log pdp − 2πi h(p0 ) = |p|=M g(p)dp. p0 38 Khi g (p + p0 ) log pdp − 2πi(g(p0 + iM ) − g(p0 )). h (p0 ) = |p|=M Phép tính tích phân phần áp dụng cho tích phân theo công thức h (p0 ) = − g(p + p0 ) dp + 2πig(p0 ) p (2.43) |p|=M có tính tới tính đa trị. Trong trường hợp đặc biệt g(p) = (1 − p2 ) n−3 ta h (p0 ) = − (1 − (p + p0 )2 ) n−3 n−3 dp + 2πi(1 − p20 ) . p |p|=M Tích phân công thức phần dư hàm − (p + p0 )2 p n−3 39 p = ∞. Ở dễ dàng thấy đa thức P (p0 ) có bậc ≤ n − 3. Khi ∂K ∂ K (x − y, t) = − ∂t r ∂p0 −ωn−1 t2 = Re 2πi − 2r(2πi)n r2 n−3 +P − t r . Đa thức P không tạo đóng góp vào u(x, t) = Phần lại ∂ n−2 ∂tn−2 f (y) ∂ K (x − y, t)dy. ∂t ∂ K (x − y, t) có giá trị r > t, giá trị ∂t ωn−1 2−n 2 n−3 r (t − r ) 2(2π)n−1 r < t (sau quan sát p0 < −1). Lập luận tương tự thiết lập trước, công thức (2.38) với n ≥ chẵn. Chứng minh tương tự cho thấy giá trị công thức (2.38) n = đúng. Công thức (2.38) thiết lập giả thiết f (x) có đạo n−3 phép đạo hàm cấp cao. Cho n lẻ ta chuyển hàm theo t dấu tích phân ký hiệu đóng góp n−1 từ giới hạn phép tính tích phân. Còn lại phép tính vi phân tạo biểu thức có dạng n−3 u (x, t) = ck t k=0 k+1 ∂ k I(x, t) ∂tk với số ck biết . Bây I(x, t) có lớp f (x). Suy u biểu diễn (2.39) lớp C2 cho f (x) lớp C n+1 . Do biểu thức (2.39) 40 biểu diễn nghiệm toán biên ban đầu phương trình sóng cho f đủ trơn. Ta kết luận cách xấp xỉ toán giải f C n+1 . Đây toán với giá trị ban đầu đặc biệt u = 0, ut = f cho t = 0. Đối với giá trị tổng quát u = g, ut = f hàm g phải giả thiết thuộc lớp C n+3 . Giả thiết f thuộc lớp C n+1 nói chung làm cho yếu đi, I(x, t) lớp với f (x). Vì trường hợp f (x) hàm đối xứng cầu f (x) = h (|x|), ta có I(0, t) = h(t), số đạo hàm theo biến t I với n−2 phép tính vi lớp f . Cho n chẵn ta chuyển phân dấu tích phân ký hiệu công thức (2.38) thấy u đại diện cho nghiệm phương trình sóng cho f lớp C n+2 . KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau • Khái niệm hàm sóng phẳng công thức biểu diễn hàm số qua hàm sóng phẳng. • Khái niệm đa thức hyperbolic chặt theo biến thời gian t cấu trúc hình học mặt đặc trưng nghiệm nó. • Phát biểu toán Cauchy tổng quát, toán Cauchy tắc việc đưa toán Cauchy tổng quát toán Cauchy tắc phương trình hyperbolic chặt với hệ số hằng. • Trình bày công thức nghiệm toán Cauchy tắc với kiện ban đầu bất kỳ, đồng thời cách biểu diễn hàm nhân toán tử nghiệm thông qua tích phân mặt đặc trưng. Sau áp dụng trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển. Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót. Vì tác giả mong quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy cô để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thừa Hợp (2004), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [2] Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, SpringerVerlag, New York Heidelberg Berlin. [...]... (1.28) với mọi η trên Ωη , thì không có λk có thể bằng 0 Từ sự liên tục của λk (η) suy ra rằng các số dương λk là như nhau với mọi η Theo (1.27) số dương λk (η) bằng số âm λk (−η) Từ đó theo giả thiết (1.28) số dương và số âm λk là bằng nhau với mọi η Điều kiện (1.28) chỉ có thể được thỏa mãn với m chẵn Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG 2.1 Toán tử hyperbolic. .. j,k=1 Toán tử Q(Dx , Dt ) là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng t = 0, do đa thức n n bj ξj − λ2 ajk ξj ξk + 2λ Q(ξ, λ) = j,k=1 j=1 theo Ví dụ 1.2 là đa thức hyperbolic chặt 2.2 Bài toán Cauchy 2.2.1 Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc Bài toán 2.1 Bài toán Cauchy chính tắc bao gồm tìm nghiệm u của phương trình L [u] = Q(Dx , Dt )u = 0 (2.5) với (x, t) ∈ Rn × R, thỏa mãn các điều kiện ban đầu với t... ∈ Rn 0 với 0 ≤ k ≤ m − 2 ∂ku (x, 0) = f (x , , x ) với k = m − 1 ∂tk 1 n (2.6) 21 2.2.2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát Bài toán 2.2 Bài toán Cauchy tổng quát bao gồm tìm nghiệm u của phương trình L [u] = w(x, t) (2.7) thỏa mãn các điều kiện ban đầu với t = 0 và với mọi x ∈ Rn ∂ku (x, 0) = fk (x) ∂tk (2.8) với k = 0, 1, , m − 1 2.2.3 Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính... ban đầu là sóng phẳng 2.3 Bài toán Cauchy chính tắc 2.3.1 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng Bài toán 2.3 Bài toán Cauchy được xét ở đây bao gồm tìm nghiệm u của phương trình (2.5) với (x, t) ∈ Rn × R, thỏa mãn các điều kiện ban đầu với t = 0 và mọi x ∈ Rn r với 0 ≤ r ≤ m − 2 ∂ u 0 = g (m−1) ((x − y).η) với r = m − 1 ∂tr (2.9) trong đó g(s) là hàm số một biến đủ trơn nào... Σl (1.24) m+1 với m lẻ 2 l= m với m chẵn 2 (1.25) trong đó Chứng minh Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặt phương trình đặc trưng (1.21) với η = 0 có đúng m nghiệm thực phân biệt λ1 , , λm Ta đánh số theo một dạng duy nhất sao cho λ1 > λ2 > > λm (1.26) Cho η là vectơ đơn vị, khi đó λk bị chặn đều do hệ số của λm trong (1.21) có giá trị 1 và các hệ số khác bị chặn Vì... 1.2 (Đa thức hyperbolic) Đa thức Q(η, λ) được gọi là hyperbolic đối với biến λ nếu ∀η ∈ Rn thì phương trình Q(η, λ) = 0 chỉ có các nghiệm thực đối với biến λ (1.21) 15 Định nghĩa 1.3 (Đa thức hyperbolic chặt) Giả sử (η, λ) ∈ Rn × R, khi đó đa thức Q(η, λ) được gọi là hyperbolic chặt đối với biến λ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau • Nó là hyperbolic đối với biến λ • Khi η = 0 thì phương trình (1.19)... hàm số sm−1+q signs g(s) = 4(m − 1 + q)!(2πi)n−1 với n lẻ, và g(s) = sm−1+q log |s| −(m − 1 + q)!(2πi)n với n chẵn Ở đây q là một số nguyên với q ≥ 2, q + n chẵn Khi đó |s|q với n lẻ 4q!(2πi)n−1 (m−1) g (s) = (2.22) −sq (log |s| + c) với n chẵn q!(2πi)n với một hằng số c nhất định Sau đó từ công thức (1.8), (1.9) đối với f thuộc C1 (∆x ) n+q 2 ∂ m−1 v(x, t) ∂tm−1 = f (x) (2.23) t=0 Các hằng. .. trị chính Cauchy Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là +∞ f (z)dp = lim + f (z)dp ε→0 −∞ |p−z.x|>ε Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp n chẵn công thức sau p=+∞ (2πi)n f (z) = (∆z ) n−2 2 dωx Ωx n trong đó ∆z = j=1 dJ(x, p) p − z.x p=−∞ ∂2 2 là toán tử Laplace theo biến z ∂zj 14 1.4 Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng 1.4.1... hyperbolic chặt đối với mặt phẳng t = 0 nếu đa thức Q(η, λ) là hyperbolic chặt đối với biến λ Ví dụ 2.1 Toán tử thuần nhất cấp hai sau đây n 2 2 Dxj − Dt Q(Dx , Dt ) = j=1 là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng t = 0 Thật vậy, đa thức n 2 2 2 ηj − λ2 Q(η, λ) = |η| − λ = j=1 theo Ví dụ 1.1 là đa thức hyperbolic chặt (2.3) 20 Ví dụ 2.2 Xét toán tử n n 2 bj Dxj − Dt ajk Dxj Dxk + 2Dt Q(Dx , Dt ) = (2.4)... n )u]] Với η = (η1 , , ηn ) ∈ R, λ ∈ R ta xét đa thức aαk η α λk Q(η, λ) = (2.2) |α|+k=m Ta sẽ luôn giả thiết Q(0, 1) = 1 Đa thức Q(η, λ) được gọi là đa thức đặc trưng của toán tử Q(Dx , Dt ) Định nghĩa 2.1 Toán tử Q(Dx , Dt ) được gọi là hyperbolic đối với mặt phẳng t = 0 nếu đa thức Q(η, λ) là hyperbolic đối với biến λ Định nghĩa 2.2 Toán tử Q(Dx , Dt ) được gọi là hyperbolic chặt đối với mặt . hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. Chương. cứu Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic. mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . .