Họ tên thí sinh: Số báo danh: Bộ Giáo dục đào tạo Đại Học Huế Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180 phút n x2 Câu 1. Xét chuỗi hàm un với un (x) = , x2n+1 n=1 |x| < 1. an a) Với a : < a < 1, chứng minh |un (x)| 1a [a, a]. x [a, a]. Từ suy un hội tụ n=1 b) Tính tổng S chuỗi hàm un (1, 1). n=1 Câu 2. Cho hàm hai biến: f (x, y) = y < x2 y = x2 y > x2 Chứng minh hàm f (x, y) khả tích Riemann hình chữ nhật D = [1, 2] ì [0, 5] tính f (x, y)dxdy. D / A. Đặt Câu 3. Cho (X, d) không gian mêtric, A tập khác trống X, x0 X x0 d(x0 , A) = inf d(x0 , a). aA a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x0 , A) > 0. b) Giả sử A compact, chứng minh tồn y0 A cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). c) Giả sử X = Rn với mêtric Euclide thông th-ờng A Rn tập đóng. Chứng minh tồn y0 A cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (xn ) C[0, 1] với xn (t) = 2nt , + t2 n4 t [0, 1] toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi: t Ax(t) = x(s)ds, với x C[0, 1], t [0, 1]. a) Chứng minh A toán tử tuyến tính liên tục. b) Chứng minh (Axn) hội tụ C[0, 1]. Câu 5. Giả sử {en } sở trực chuẩn không gian Hilbert H X không gian Banach. Giả sử A L(H, X) cho chuỗi Aen hội tụ. Chứng minh A toán tử compact. n=1 Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm BO GIAO DVCVA DAO TAO Ho vd,ten thi sinh: 56 b6o danh: DAI H Q C HUE KV Sv 2AO7 SrNH SAU DAr HOC NAM M6n thi: Giai tich (dd,nhcho Cao hpr) Thdi gi,anld,mbd,i,;180 phirt THI TUYEN CAu I. 2ra 1. Chohdm hai bi6n f (r,a) -I , + a ' ' 0, n6u (*,y) + (0,0), n6u (*,a)- (0,0). KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm / t a i d i d m ( , ) Chirng minh rHng dao hA"mriOng 1x ', lr6nhsp A2f d;N(O,0) khongtbn tai (huu hat) z. KhAos6,tsu hoi tu dbucriachu6ihd,m f ," .i" fl':L ,,fu tr6n c6,ctApsau: i i ) B - ( ,+ o o ) . ,) A: lp,+-), p ) 0i Cdu II. Trong khong gian metric IR.v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng, 1.E - {t,2,1,1,1,. !.u-L^'-,2,3)4) .1n' ).*^^^Y""7 I . 1, . . . .) U.Ongphai th,mot t6,pcon compactc i a R . ' ^F_{it z ' J1I P ) ')4)s)" , Cdu III. Kj' liiOuX : co th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc hoi tu vb v6i chudn l l r l l- s u pl r n l , ,Y r - ( r . ) n e c o v b , Y - l R ' v i chudn Euclide rL va- (ar, .,un)eY. llsll- WiZ, V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"cdinh bdi A n r - ( " n + r , f r x a t ' ' ) r k + n ) , Y r : ( r t ) z e N X . 1. Chirng minh Ap lit"c6,c6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,oY. 2. Chirng td rXng J* Ann - R.' v6i moi z e X. CAu IV. Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng / \ S @,il :2*^y,, *ong d6 ,: ( r , - ) ne { , U : ( U n ) -e . ' " _: Cho o - (a), x6c dinh bdi ie mQt c5,cs6 phric bi ch5,nvA,,4.: 12 Ar - (onrn)n, Yr e !2. t2 Ib"mot to5,n trl ducvc A. 1. Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd,tinh chudn c:d:a 2. Tim to6n trl liOn hiep A* cia A. Khi nb,othi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep? Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i,thi,ch gi, thm no cteo DIJCvA DAO T4O DAI HQC HUE Ho ud,tn thi,sinh: 55 b(t"o d"anh KV rHr ruyEN srNH sAU DAr Hec wAtra2008 MOn thi: Giei tich (ddn,hcho Cao hqc) Thdi gian ld"mbdz:180 phrlt CAu 1. (a dicm) a) Kh6o sat cuc tri dia phuongcriaham hai bin:z - (r + a)t - rn - yn. b) Kh6o s6t su hOitU du criachu6ihdrn @ \- -L (r" +r-") / ?rvfr* t r O nr n i nD - { " e R | < lrl < 3} CAu 2. (2 dicm) Xet tOphop 11c6cday so thuc kh6 tdng tu_v*t d6i: 1: - { , - ( r , ) n > r cR I i l r , | < + - } ,a V6i m6i cflp r : (rn),, A -- (An),, /r ta dinh nghia dr(r,a) :-[ :: (p (r, - r,)')+ fr, - y,]; dr(r.a) a) Chrlngminh dr, dz.ldc6c metric trn 11. b ) B d n g c c hk h S os t d a y ( o ) oC l i , v i o : ( , + , minh khOnggian (lr,dr) khOngday dri. ,f ,0,0, . ,0, .), chrrng CAu 3. (2 dim) Cho ll llr ll .llz la hai chudntrn cung mOt khOnggian X cho "u 'lir) (X, li .'d (X, ll llz) dcu la khong gian Banach.Chfing minh rang, hai chudnnd-l,tuong drrongkhi la chi diOu kiOn sau thoA m5n: V ( " , , ) "C, X , l l t , l l r " - - , Q a l l " " l l ," - - , . CAu 4. (2 diem) GiA sri {e,,},,ex ia rnQt irO tnlc chudn khong gian Hilbert 11. Chr'rngrninh rhng a) Da}' (#",),,ex hoi tu ycu nhung khong hoi tu ma'h 11. b) Day (ne,,),,e x khOnghoi tu you H . Ghi chfi: Can b0 coi thi klt,Anggzdi thfclLgi tltm. , BQcrAO DVCvA DAOT4O Ho vd t6n thf sinh: 56 b5o danh:. DAI HOC }IUE KV rur ruy6N srNH sAU DAr HQC xAvr 200e(Dqt I) ! ' M6n thi: crAr rfCll (dd,nhcho Cao hqr) Thdi gian ld,mbd,i: 180 phrit oo - *2n+2). C6-rr f. . Cho chu6ihA,mD@'" n:1 a ) Tim miEn h6i tu cria chu5i fram d5, cho. b/ Khdo s5,tsu hoi tu dEu cria chu6i hbm dd cho tr6n doan l-1,1]. trlrf 2. Tinn tfch phAn | | | {r' JdJ * y2 * z2 drdydz,, t r o n gd V - { ( * , a , ) e R t l " ' + y * z < r } . C5.u II. X6t 5,nhxa d: [0,1] x [0,1] + R. x6c dinh boi d(r,a) : 0 9. l r - al 1+ir-al Ch'3ngminh rXng 1. d lb mgt m6tric tr6n t6,p 10,1], 2. (10,1],d) Ie mQt kh6ng gian m6tric dhy dri. C,5'" III. Ch,1nsminh rXng n6u X ld khong gian dinh chudn vo han chibu thi moi tAp cd-aX co phhn khd,cr5ng dbu khong phai lb tAp compact. CAU trV. . G i e s , 3M - { * t , n z , . . . , , r n } l a m t h c c v e c t o t r u c g i a o k h d , cv e c t o cri.amQt khong gian Hilbert I/. Chung minh rXng vcvim5t vecto r e H tbn tai nhdt cilc sd e1,e2, . ,,en K (trulng co s& criakhonggian H i l b e r t I / ) s a oc h o v i b d t k j ' c c s h , i . . . , n K t a c ll" ii"L"*rll=Lt"-ll khonggianHilbert,H.Chirng 2. Cho {r,in e N} le mQthOtruc chuAln minh rXngd*y (q")Pr hQitu y6u vE trong.I/. Ghi chri: C6n b6 coi thi kh6ng giAi thich gi thOm. . gian làm bài: 18 0 phút Câu 1. Xét chuỗi hàm n =1 u n với u n (x)= x 2 n 1 x 2 n +1 , |x| < 1. a) Với mỗi a :0<a< ;1, chứng minh |u n (x)| a n 1 a x [a, a]. Từ đó suy ra n =1 u n hội tụ đều. gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) C[0, 1] với x n (t)= 2nt n 4 + t 2 , t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi: Ax(t)= t 0 x(s)ds, với x C[0, 1] ,t [0, 1] . a) Chứng. chuỗi hàm n =1 u n trên (1, 1) . Câu 2. Cho hàm hai biến: f(x, y )= 1 nếu y<x 2 0 nếu y = x 2 1 nếu y>x 2 Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D = [1, 2] ì [0,