Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC * Để học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, em xin tríck dẫn tóm tắt từ bất đẳng thức Khải Thầy Phương. Lập bảng số dấu hiệu nhận biết sau: ( Giả sử hàm số lượng giác sau có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự 1+ x + tan t x − 3x cos3 t − 3cos t cos3 t − 3cos t = cos3t 2x2 −1 cos2 t − cos2 t − = cos 2t 2x tan t + tan t = tan t − tan t − tan2 t 2x tan t tan t 1− x − tan2 t − tan2 t x+y − xy tan α + tan β − tan α .tan β 1− x Công thức lượng giác x2 − cos α . cos2 t = tan 2t = sin 2t tan α + tan β = tan(α + β ) − tan α .tan β −1 cos α − = tan α MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ I. DẠNG 1: Sử dụng hệ thức sin α + cos2 α = 1. Phương pháp:  x = sin α a) Nếu thấy x + y = đặt   y = cos α với α ∈ [0; 2π].  x = a sin α b) Nếu thấy x + y = a2 (a > 0) đặt  với α ∈ [0; 2π].  y = a cos α 2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d = . Chứng minh rằng: − ≤ S = a(c + d ) + b(c − d ) ≤ (1)  a = sin u c = sin v • Đặt    b = cos u  d = cos v ⇒ S = sin u(sin v + cos v) + cos u(sin v − cos v) = (sin u cos v + sin v cos u) − (cos u cos v − sin u sin v) = sin(u + v) − cos(u + v) trang Chứng minh BĐT phương pháp lương giác  π sin (u + v) −  ⇒ − ≤ S = a(c + d ) + b(c − d ) ≤ (đpcm).  4 =     25 Ví dụ 2: Cho a + b = . Chứng minh rằng:  a2 + ÷ +  b2 + ÷ ≥ a2   b2   (2) • Đặt a = cos α , b = sin α với ≤ α ≤ 2π.         VT (2) =  a2 + ÷ +  b2 + ÷ =  cos2 α + +  sin α + ÷ ÷ a2   b2   cos2 α   sin α   4 = cos α + sin α + ( cos4 α + sin α + = cos4 α + sin α + cos4 α + sin α cos4 α .sin α +4 )   4 +4 = cos α + sin α  + 4 ÷  cos α .sin α  (  2 =  cos α + sin α  )   − cos2 α sin2 α   + +4 4 ÷ cos α .sin α       1 16  17 25 =  − sin 2α ÷ + ÷+ ≥  − ÷(1 + 16) + = + = 2   sin 2α   2 Dấu "=" xảy ⇔ sin 2α = ⇔ a = b = (đpcm) . Bây ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2 + b2 = . Ví dụ 3: Cho a2 + b2 − 2a − 4b + = . Chứng minh rằng: 2 A = a − b + 3ab − 2(1 + 3)a + (4 − 3)b + − ≤ (3) • Biến đổi điều kiện: a2 + b2 − 2a − 4b + = ⇔ (a − 1)2 + (b − 2)2 = .  a − = sin α  a = + sin α ⇒ Đặt  .  b − = cos α  b = + cos α 2 ⇒ A = sin α − cos α + sin α cos α = sin 2α − cos 2α =  π sin 2α − cos 2α = sin  2α − ÷ ≤ 2  6 (đpcm)    a = + a = 2  Dấu "=" xảy ⇔  . b = b = +   2 Ví dụ 4: Cho a, b thoả mãn : 5a + 12b + = 13 . Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b − 1) ≥ −1 trang (4) Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác • Biến đổi bất đẳng thức (4) ⇔ (a − 1)2 + (b + 1)2 ≥  a − = R sin α  a = R sin α + ⇔ (a − 1)2 + (b + 1)2 = R Đặt  với R ≥ ⇔   b + = R cos α  b = R cos α − Ta có: 5a + 12b + = 13 ⇔ 5( R sin α + 1) + 12( R cos α − 1) + = 13 ⇔ 5R sin α + 12 R cos α = 13 ⇔ = R  12 5 sin α + cos α = R sin  α + arccos ÷ ≤ R 13 13 13   Từ suy (a − 1)2 + (b + 1)2 = R ≥ (đpcm).   18  a = 13 a = 13 Dấu "=" xảy ⇔   . b = − b = − 25  13  13 II. DẠNG 2: Sử dụng tập giá trị sin α ≤ 1; cos α ≤ 1. Phương pháp:   π π  x = sin α α ∈  − ;  a) Nếu thấy x ≤ đặt   2  x = cos α α ∈  0; π    π π  x = m sin α α ∈  − ;  b) Nếu thấy x ≤ m ( m ≥ ) đặt   2  x = m cos α α ∈  0; π  2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (1 + x ) p + (1 − x ) p ≤ p , với x ≤ 1, p ≥ . • Đặt x = cosα với α ∈ [0; π]. Khi (1 + x ) p + (1 − x ) p = (1 + cos α ) p + (1 − cos α ) p p p    α  α α α α α =  cos2 ÷ +  2sin ÷ = p  cos2 p + sin p ÷ ≤ p  cos2 + sin ÷ = p 2  2 2 2    Ví dụ 2: Chứng minh rằng: − ≤ A = 3a2 + 2a − a2 ≤ + • Từ đk − a2 ≥ ⇔ a ≤ nên đặt a = cosα với ≤ α ≤ π ⇒ 1− a2 = sinα. Khi ta có: A = 3a2 + 2a − a2 = cos2 α + cos α sin α = 3(1 + cos 2α ) + sin 2α trang Chứng minh BĐT phương pháp lương giác    π cos 2α + sin 2α  + = 2sin  2α + ÷+ ⇒ − ≤ A ≤ + (đpcm) =2 3    Ví dụ 3: Chứng minh rằng: + − a2  (1 + a)3 − (1 − a)3  ≤ 2 + − 2a2   (1) • Từ đk a ≤ nên đặt a = cosα với α∈[0, π] ⇒ − a = sin (1) ⇔ + 2sin α ; + a = cos α ; − a2 = sin α  α α α α α α cos .2  cos3 − sin3  ≤ 2 + 2 sin cos 2 2 2   α α  α α  α α α α α α + sin cos + sin ÷ ≤ + sin cos ⇔  sin + cos ÷ cos − sin ÷ cos 2  2  2 2 2   α α  α α α 2α − sin = cos α ≤ ⇒ (đpcm) ⇔  sin + cos ÷ cos − sin ÷ = cos 2  2 2    3 2 Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S =  (1 − a ) − a ÷+  a − − a ÷ ≤     Từ đk a ≤ nên đặt a = cosα với α ∈ [0, π] ⇒ 1− a2 = sinα. 3 3 Khi đó: S = 4(sin α − cos α ) + 3(cos α − sin α ) = (3sin α − 4sin α ) + (4 cos α − 3cos α )  π = sin 3α + cos3α = sin  3α + ÷ ≤ ⇒ (đpcm) 4   2 2  Ví dụ 5: Chứng minh A = a − b + b − a +  ab − (1 − a )(1 − b ) ÷ ≤   • Từ điều kiện: − a2 ≥ 0, − b2 ≥ ⇒ a ≤ 1, b ≤ nên:  π π Đặt a = sinα, b = sin β với α, β ∈  − ;   2 Khi A = sin α cos β + cos α sin β − cos(α + β ) = sin(α + β ) − cos(α + β ) = sin(α + β ) − cos(α + β ) 2  π = sin (α + β ) −  ≤ 3  (đpcm) trang Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác Ví dụ 6: Chứng minh rằng: A = 4a3 − 24a2 + 45a − 26 ≤ 1, ∀a ∈ [ 1;3] . • Do a ∈ [1; 3] nên a − ≤ nên ta đặt a − = cos α ⇔ a = + cos α . Ta có: A = 4(2 + cos α )3 − 24(2 + cos α )2 + 45(2 + cos α ) − 26 = cos3 α − 3cos α = cos3α ≤ (đpcm) Ví dụ 7: Chứng minh rằng: A = 2a − a2 − 3a + ≤ 2, ∀ a∈[0;2] • Do a ∈ [0; 2] nên a − ≤ nên ta đặt a − = cos α với α ∈ [0; π]. Ta có: A = 2(1 + cos α ) − (1 − cos α )2 − 3(1 + cos α ) + = − cos2 α − cos α 1   π cos α ÷ = sin  α + ÷ ≤ = sin α − cos α =  sin α − ÷ 3  2  III. DẠNG 3: Sử dụng công thức: + tan α = cos2 α ⇔ tan α = cos2 α (đpcm) − (α ≠ π + kπ ) 1. Phương pháp: a) Nếu x ≥ toán có chứa biểu thức đặt x =  π   3π  với α∈  0; ÷∪ π , ÷ cos α  2   b) Nếu x ≥ m toán có chứa biểu thức đặt x = x2 − x − m2  π   3π  m với α∈  0; ÷∪ π , ÷ cos α  2   2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh A = • Do a ≥ nên đặt a = a2 − + ≤ 2, ∀ a ≥ a  π   3π với α∈  0; ÷∪ π , cos α  2   ÷⇒  a2 − = tan α = tan α . Khi đó: A=  a2 − + ( π = tan α + ) cos α = sin α + cos α = sin  α + ÷ ≤ (đpcm) a 3  Ví dụ 2: Chứng minh rằng: • Do a ≥ nên đặt a = −4 ≤ A = − 12 a2 − a2 ≤ 9, ∀ a ≥  π   3π với α∈  0; ÷∪ π , cos α  2  trang  ÷⇒  a2 − = tan α = tan α . Chứng minh BĐT phương pháp lương giác Khi đó: A = − 12 a − = (5 − 12 tan α ) cos2 α = cos2 α − 12sin α cos α a2 ⇒ −4 = = 5(1 + cos 2α ) − 6sin 2α =  13  13  12 5 +  cos 2α − sin 2α ÷ = + cos  2α + arccos ÷ 2  13 13 13   2   13 13  13 + (−1) ≤ A = + cos  2α + arccos ÷ ≤ + .1 = (đpcm) 2 2 13  2  a2 − + b2 − ≤ 1, ab Ví dụ 3: Chứng minh rằng: A = • Do a , b ≥ nên đặt a = ∀ a , b ≥ 1.  π   3π  1 , b= với α, β∈  0; ÷∪ π , ÷. cos β cos α  2   Khi ta có: A = (tan α + tan β ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β ) ≤ (đpcm) a+ Ví dụ 4: Chứng minh rằng: • Do a > nên đặt a = a a −1 ≥ 2 , ∀ a >1  π với α∈  0; ÷ ⇒ cos α  2 a a2 − = 1 . = . cos α tan α sin α Khi đó: a+ a a2 − = 1 1 2 + ≥ 2. . = ≥2 cos α sin α cos α sin α sin 2α y x − + y − + ≤ xy 26 , ∀ x ; y ≥ Ví dụ 5: Chứng minh rằng: • Bất đẳng thức (*) ⇔   x2 − 1  y −1 ÷ + + ≤ 26 (1) x x y y÷   Do x , y ≥ nên đặt x =  π 1 , y= với α, β∈  0, ÷. cos β cos α  2 Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta có: S ≤ sinα + cosα (42 + 32 )(sin β + cos2 β ) = sin α + 5cos α ≤ (12 + 52 )(sin2 α + cos2 α ) = 26 ⇒ (đpcm) trang (đpcm) (*) Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác IV. DẠNG 4: Sử dụng công thức + tan α = cos2 α 1. Phương pháp:  π π a) Nếu x ∈ R toán chứa 1+ x đặt x = tan α với α ∈  − , ÷  2  π π b) Nếu x ∈ R toán chứa x + m đặt x = m tan α với α ∈  − , ÷  2 2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: S= 3x + x2 4x3 − (1 + x )3 ≤1  π π • Đặt x = tan α với α ∈  − , ÷ ⇒ + x = . cos α  2 Khi đó: S = 3tan α .cos α − tan α .cos3 α = 3sin α − 4sin α = sin 3α ≤ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:  π π • Đặt a = tan α với α ∈  − , ÷  2 A= + tan2 α + 3tan α = (1 + tan α )2 + 8a2 + 12a (1 + 2a2 )2 ta có: 3cos4 α + 4sin α cos2 α + 3sin α (cos2 α + sin α )2 = 3(sin2 α + cos2 α )2 − 2sin α cos2 α = − ⇒ A= sin2 2α sin 2α = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− = 2 2 π Với α = a = ⇒ MinA = . 2 Với α = a = ⇒ MaxA = ; (a + b)(1 − ab) Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (1 + a )(1 + b ) ≤ , ∀ a, b ∈ R • Đặt a = tan α , b = tan β . Khi (a + b)(1 − ab) (1 + a2 )(1 + b2 ) 2 = cos α cos β . = (tan α + tan β )(1 − tan α tan β ) (1 + tan α )(1 + tan β ) sin(α + β ) cos α .cos β − sin α .sin β . cos α .cos β cos α .cos β trang (đpcm) Chứng minh BĐT phương pháp lương giác = sin(α + β ) cos(α + β ) = Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1 sin 2(α + β )  ≤ 2 a−b (1 + a )(1 + b ) (đpcm) b−c + (1 + b )(1 + c ) c−a ≥ (1 + c )(1 + a ) , ∀a, b, c • Đặt a = tan α , b = tan β , c = tan γ . Khi đó: BĐT ⇔ tan α − tan β (1 + tan α )(1 + tan β ) ⇔ cos α cos β . + tan β − tan γ (1 + tan β )(1 + tan γ ) ≥ tan γ − tan α (1 + tan γ )(1 + tan α ) sin(α − β ) sin( β − γ ) sin(γ − α ) + cos β cos γ . ≥ cos γ cos α . cos α .cos β cos β .cos γ cos γ .cos α ⇔ sin(α − β ) + sin( β − γ ) ≥ sin(γ − α ) Biến đổi biểu thức vế phải ta có: sin(γ − α ) = sin [ (α − β ) + ( β − γ )] = sin(α − β ) cos( β − γ ) + sin( β − γ ) cos(α − β ) ≤ ≤ sin(α − β ) cos( β − γ ) + sin( β − γ ) cos(α − β ) = sin(α − β ) . cos(β − γ ) + sin( β − γ ) . cos(α − β ) ≤ sin(α − β ) + sin( β − γ ) Vi dụ 5: Chứng minh rằng: • Ta có: (1) ⇔ ⇔ Đặt tan α = (đpcm). ab + cd ≤ (a + c)(b + d ), ∀a, b, c, d > ab cd + ≤1 (a + c)(b + d ) (a + c)(b + d ) cd ab + ≤1  c  d   c  d   + a ÷ + b ÷  + ÷ + ÷     a  b  (2)  π c d , tan β = với α, β ∈  0, ÷. a b  2 Ta có VT (2) = (1 + tan α )(1 + tan β ) + tan2 α .tan β (1 + tan α )(1 + tan β ) = cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β ) ≤ ⇒ đpcm. Dấu xảy ⇔ cos(α − β ) = ⇔ α = β ⇔ c d = . a b Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: trang A= 6a + a − a2 + (1) Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác • Đặt a = tan tan A= α . Khi đó: α α α α + tan2 − tan tan2 − 2 + 4. = 3. = 3sin α + cos α 2α 2α 2α tan +1 + tan tan +1 2 ≥ 3sin α + 4.0 = 3sin α ≥ 3(−1) = −3 (1) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: A2 = ( 3sin α + cos α ) ≤ (32 + 42 )(sin2 α + cos2 α ) = 25 ⇒A≤5 (2) Dấu "=" (1) xảy ⇔ sinα = –1 ⇔ a = –1 ⇒ minA = –3. Đấu "=" (2) xảy ⇔ sin α cos α = ⇒ maxA = 5. V. DẠNG 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1. Phương pháp:   π  x , y, z >  A, B, C ∈  0; ÷ ∃ ∆ ABC : a) Nếu    2 2  x + y + z + xyz =  x = cos A; y = cos B; z = cos C   π  A; B; C ∈  0; ÷  x , y, z > b) Nếu  ∃∆ ABC :   2  x + y + z = xyz  x = tan A; y = tan B; z = tan C   π   A, B, C ∈  0; ÷  2    x , y, z > x = cot A ; y = cot B; z = cot C c) Nếu  ∃∆ ABC :    A, B, C ∈ (0; π )  xy + yz + zx =  A B C   x = tan ; y = tan ; z = tan  2  2. Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho x, y, z > zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= 1 + + − 3( x + y + z) x y z • Từ < x, y, z < nên đặt x = tan Do xy + yz + zx = nên tan α β γ ; y = tan ; z = tan với α, β, γ ∈ 2  π  0, ÷  2 β γ  α α β β γ γ α tan + tan tan + tan tan = ⇔ tan  + ÷ = cot  2 2 2 2 β γ  π α  β γ π α ⇔ tan  + ÷ = tan  − ÷ ⇔ + = − ⇔ α + β + γ = π 2 2  2 2 2 trang Chứng minh BĐT phương pháp lương giác S = 1  α β γ α β γ + + − 3( x + y + z) = cot + cot + cot −  tan + tan + tan ÷ x y z 2  2 2  α α  β β  γ γ  α β γ =  cot g − tg ÷+  cot g − tg ÷+  cot − tan ÷−  tan + tan + tan ÷ 2  2  2  2 2   α β γ = 2(cot α + cot β + cot γ ) −  tan + tan + tan ÷ 2 2   γ  α  β =  cot α + cot β − tan ÷+  cot β + cot γ − tan ÷+  cot γ + cot α − tan ÷  2  2  2 Để ý rằng: cot α + cot β = sin(α + β ) 2sin γ 2sin γ = = sin α .sin β 2sin α .sin β cos(α − β ) − cos(α + β ) sin γ 2sin γ = = ≥ − cos(α + β ) + cos γ γ γ 4sin cos 2 = tan γ ⇒ cot α + cot β − tan γ ≥ γ 2 cos2 Từ suy S ≥ 0. Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = Ví dụ 2: Cho < x, y, z < x 1− x + 1− y + z 1− z = ⇒ MinS = xyz (1 − x )(1 − y )(1 − z2 ) . Tìm giá trị nhỏ S = x + y + z2 . biểu thức: • Do < x, y, z < nên đặt x = tan Khi tan α = y 2x − x2 ; tan β = α β γ ; y = tan ; z = tan với α, β, γ ∈ 2 2y − y2 ; tan γ =  π  0, ÷.  2 2z − z2 Và đẳng thức giả thiết trở thành: 2x 1− x + 2x 1− x + 2x 1− x = xyz (1 − x )(1 − y )(1 − z2 ) ⇔ tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ ⇔ tan α + tan β = − tan γ (1 − tan α tan β ) ⇔ ⇔ tan(α + β ) = tan(−γ ) tan α + tan β = tan(−γ ) − tan α .tan β (1)  π Do α, β, γ ∈  0, ÷ nên từ (1) suy α + β = π − γ ⇔ α + β + γ = π . Khi ta có:  2 tan α β β γ γ α tan + tan tan + tan tan = ⇔ xy + yz + zx = 2 2 2 trang 10 Chứng minh BĐT phương pháp lượng giác Mặt khác: ( x + y + z2 ) − ( xy + yz + zx ) = 1 2 ( x − y ) + ( y − z) + (z − x )  ≥ ⇒ S = x + y + z2 ≥ xy + yz + zx = . Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = ⇒ MinS = 1. x y z  x , y, z > + + ≤ Ví dụ 3: Cho  . Chứng minh rằng: S = x + yz y + zx z + xy x + y + z = yz α = tan ; x Đặt cos α = Suy ra: xz β = tan ; y xy γ = tan với α, β, γ ∈ z  π  0, ÷.  2 x − yz y − zx z − xy ; cos β = ; cos γ = . x + yz y + zx z + xy yz zx zx xy xy yz . + . +. . =x+y+z=1 x y y z z x Do nên tan α β β γ γ α tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 β γ  β γ  π α  α β γ π α ⇔ tan  + ÷ = cot ⇔ tan  + ÷ = tan  − ÷⇔ + = − 2 2  2  2 2 2 ⇔ S = = α + β +γ π = ⇔α + β +γ =π 2   2y   2z  x y z  x + + =  − 1÷+  − 1÷+  − 1÷ + x + yz y + zx z + xy  x + yz   y + zx   z + xy    x − yz y − zx z − xy  + +  ÷+  x + yz y + zx z + xy  3 = (cos α + cos β + cos γ ) + = ( cos α + cos β ) − (cos α cos β − sin α sin β )  + 2 2 ≤  1 (cos α + cos β )2 + + (sin α + sin β ) − cos α cos β  +  2  = ( 3 cos2 α + sin α ) + cos2 β + sin β + 1 + = + =  2 4 ( Chú ý: ) ( ) * cos α + cos β = (cos α + cos β ).1 ≤ * sin α .sin β ≤ (sin α + sin β ) trang 11 1 (cos α + cos β ) + 1 (đpcm) Chứng minh BĐT phương pháp lương giác BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho a2 + b2 = . Chứng minh rằng: 20a3 − 15a + 36b − 48b3 ≤ 13 . Bài 2. Cho (a − 2)2 + (b − 1)2 = . Chứng minh rằng: 2a + b ≤ 10 .  a; b ≥ Bài 3. Cho  Chứng minh rằng: a + b2 ≥ a3 + b3 a + b =     1    1 Bài 4. Cho a, b, c ≥ 1. Chứng minh rằng:  a − ÷ b − ÷ c − ÷ ≥  a − ÷ b − ÷ c − ÷ b  c  a  a  b  c   x , y, z > Bài 5. Cho  . Chứng minh rằng: 2  x + y + z + xyz = a) xyz ≤ d) xy + yz + zx ≤ xyz + Bài 6. Chứng minh rằng: b) xy + yz + zx ≤ + a2 + c) x + y + z2 ≥ 1− x 1− y 1− z + + ≥ 1+ x 1+ y 1+ z e) 1 + b2 ≤ + ab , ∀ a, b ∈ (0; 1] Bài 7. Chứng minh rằng: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) , ∀ a, b, c > 0. x y z 3  x , y, z > + + ≥ Bài 8. Cho  . Chứng minh rằng: .  xy + yz + zx = 1 − x − y − z2  x , y, z > Bài 9. Cho  . Chứng minh rằng:  x + y + z = xyz x + x2 + y + y2 + z + z2 ≤  x , y, z > Bài 10. Cho  . Chứng minh rằng:  xy + yz + zx = 1 1 2x 2y 2z + + ≥ + + . + x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 ===================================== Tái bút: cần bất đẳng thức dạng bản, thi vào lớp 10 THPT( không chuyên) bạn nên tìm hiểu kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức cauchy. Để lấy câu điểm ckứ nkể. - mìnk thấy Những sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán Trần Phương hay. Chúc bạn thành công Thân! trang 12 [...]... xy + yz + zx = 1 1 1 1 2x 2y 2z + + ≥ + + 1 + x2 1 + y2 1 + z2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 ===================================== Tái bút: nếu cần bất đẳng thức dạng cơ bản, thi vào lớp 10 THPT( không chuyên) các bạn nên tìm hiểu về kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cauchy Để lấy câu 1 điểm ckứ nkể - mìnk thấy quyển Những sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của Trần Phương cũng khá là...Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác Mặt khác: ( x 2 + y 2 + z2 ) − ( xy + yz + zx ) = 1 2 2 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  ≥ 0  2 ⇒ S = x 2 + y 2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1 ⇒ MinS = 1 3 x y... 1 + 2 = 4 + 2 = 4 2 ( Chú ý: ) ( ) * cos α + cos β = (cos α + cos β ).1 ≤ 1 * sin α sin β ≤ (sin 2 α + sin 2 β ) 2 trang 11 1 2 (cos α + cos β ) + 1  2 (đpcm) Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng: 20a3 − 15a + 36b − 48b3 ≤ 13 Bài 2 Cho (a − 2)2 + (b − 1)2 = 5 Chứng minh rằng: 2a + b ≤ 10  a; b ≥ 0 Bài 3 Cho  Chứng minh rằng: a 4 + . BĐT bằng phương pháp lượng giác CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC * Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, em xin tríck dẫn tóm tắt từ quyển bất đẳng thức của Khải và Thầy. một số dấu hiệu nhận biết sau: ( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự Công thức lượng giác x 2 1+ t 2 1 tan+ t t 2 2 1 1 tan cos + = x x 3 4. + − x 2 1− 2 1 1 cos α − 2 2 1 1 tan cos α α − = MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ I. DẠNG 1: Sử dụng hệ thức 2 2 sin cos 1 α α + = 1. Phương pháp: a) Nếu thấy x y 2